Equaes Diferenciais Ordinrias - EDO

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    14-Jun-2015

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  • 1. Equacoes diferenciais .Rodrigo Carlos Silva de Lima rodrigo.u.math@gmail.com

2. 1 3. Sumario1 Equacoes diferenciais ordinarias 31.1 Equacoes diferenciais lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.1 Caso de matriz diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Solucoes e conjugacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Teoria geral de sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Exponencial de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Autovalores com autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3 Solucao de sistemas lineares usando forma canonica de Jordan . . . . . . . 251.4 Teorema de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5 Solucoes maximas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6 Classicacao de sistemas planares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.6.1 Classicacao por conjugacao topologica . . . . . . . . . . . . . . . . 331.7 EDO e sistemas dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.8 Dependencia das solucoes em relacao as condicoes iniciais e parametros . . 351.8.1 Diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.9 Elementos da teoria qualitativa das equacoes diferenciais . . . . . . . . . . 411.9.1 Campos vetoriais e uxos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.9.2 Retrato de fase de um campo vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 432 4. Captulo 1Equacoes diferenciais ordinariasDenicao 1 (Equacao diferencial ordinaria em Rn). Sejam f : U Rn, U aberto deR Rn, (t, x) U onde t R, x Rn, x : I Rnonde I e um intervalo aberto de R,x = x(t) sendo tambem chamada de caminho. Uma equacao da formax(t) = f(t, x)e uma equacao diferencial ordinaria em Rn, denida por f, no caso queremos encontrarx que satisfaca a equacao acima. t em f(t, x) e dita ser a variavel temporal. Tal equacaox= f(t, x) e dita ser equacao vetorial, no caso de funcoes reais dizemos que a equacao eescalar.Podemos denotar x(t) = (xk(t))n1 e f(t, x) = (fk(t, x))n1 onde cada xk : I R,fk(t, x) : U R sao as funcoes coordenadas. A derivada x(t) consiste em derivarcoordenada-a-coordenadax(t) = (xk(t))n1equiparando com o lado direito, temos o sistemax1(t) = f1(t, x1(t), , xn(t))x2(t) = f2(t, x1(t), , xn(t))...xn(t) = fn(t, x1(t), , xn(t))3 5. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 4Entao a equacao diferencial vetorial x= f(t, x) e equivalente a um sistema de equacoesdiferenciais escalares. x= f(t, x) e ainda chamada de equacao de primeira ordem porenvolver apenas a derivada primeira de x. Diremos tambem que xe uma velocidade.Corolario 1. Segue da interpretacao da equacao diferencial por meio de sistema que aexistencia e unicidade de solucoes de sistema de equacoes diferenciais em R equivale aexistencia e unicidade de solucoes de equacoes diferenciais vetoriais em Rn.Denicao 2 (Solucao de equacao diferencial). Uma solucao para equacao diferencialx(t) = f(t, x) e um caminho derivavel x : I R que satisfaz a primeira equacao, xtambem pode ser chamado de curva integral.Em termos de sistemas, uma solucao consiste em n funcoes xj : I R derivaveis, taisquexj(t) = fj(t, x1(t), , xn(t)).Denicao 3 (Condicao inicial). Dada um solucao de uma equacao diferencial x= f(t, x)dizemos que x(t0) = x0 e uma condicao inicial, um problema de valor inicial e acharx : I Rncom x= f(t, x) e x(t0) = x0.Uma condicao inicial para o sistema e dada porx1(t0) = x1, x2(t0) = x2, , xn(t0) = xn.Denicao 4 (Equacao diferencial autonoma e campo de vetores). E uma equacao do tipox= f(t, x) onde f(t, x) = f(x), a funcao nao depende de t.Nesse caso interpretamos f : E Rncomo um campo de vetores, E Rn.Denicao 5 (Equacao diferencial nao-autonoma). E uma equacao do tipo x= f(t, x)onde f(t, x) depende de t.Denicao 6 (Equacao diferenciais normais). Sao equacoes do tipo x= f(t, x) onde epossvel explicitar xem funcao de (t, x). 6. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 5Denicao 7 (Equacao diferencial de ordem m). Uma equacao diferencial de ordem ordemm em Rn, e uma equacao do tipoy(m)= g(t, y, y(1), , y(m1))onde g e denida em um aberto U R Rn Rnn vezesonde y(k)e a k-esima derivada emrelacao `a t, y : I RnPropriedade 1. Toda equacao de ordem m, pode ser escrita como uma equacao diferen-cial de ordem 1.Demonstracao.Denimos o sistemax1(t) = x2(t)x2(t) = x3(t)...xm1(t) = xm(t)xm(t) = g(t, x1(t), , xm(t))com isso temos xm(t) = xm1 (t), tomando x1(t) = y(t), fazemos o sistema de ordem mrecair em um sistema de ordem 1x(t) = f(t, x)x(t) = (x1(t), x2(t), , xm(t))f(t, x) = (x2(t), x3(t), , xm(t), g(t, x1(t), , xm(t)) )as igualdades conseguimos derivando termo-a-termo x(t) e equiparando com f(t, x).Propriedade 2. Um sistema nao-autonomo pode ser reduzido a um sistema autonomo.Demonstracao. Sendo uma equacao nao-autonoma x= f(t, x), f : U Rn,denimos y = (t, x) U R Rn, denimos g : U Rn+1comg(y) = g(t, x) = (1, f(t, x)) 7. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 6e a equacao y= g(y) que resulta em (1, x) = (1, f(t, x)).Com isso temos que a existencia e unicidade de solucoes de equacoes diferenciais veto-riais dependentes da variavel temporal e equivalente `a existencia e unicidade de solucoesde equacoes diferenciais vetoriais sem dependencia na variavel temporal t.Como os casos citados recaem sobre o estudo da equacao autonoma x(t) = f(x), vamosdar enfase ao estudo desse tipo de equacao.1.1 Equacoes diferenciais linearesDenicao 8 (Campos lineares). Campos lineares sao funcoes do tipof(x) = Axonde A = (ak,j)nn e x e o vetor coluna n 1.Denicao 9 (Equacao diferencial linear). Uma equacao diferencial linear e uma equacaodo tipo x= A(x)x(t) = Ax(t),que pode ser vista comox1(t)x2(t)...xn(t)=a1,1 a1,2 a1,n... ...an,1 an,2 an,nx1(t)x2(t)...xn(t)efetuando a multiplicacao temos o sistemax1(t) = a1,1x1(t) + a1,2x2(t) + + a1,nxn(t)x2(t) = a2,1x1(t) + a2,2x2(t) + + a2,nxn(t)...xn(t) = an,1x1(t) + an,2x2(t) + + an,nxn(t)Nesta secao iremos em geral considerar matrizes com entradas reais. 8. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 7Teorema 1. Se A = (ak,j)nn e uma matriz real, entao para cada x0 Rnexiste umaunica solucao do problema de valor inicialx(t) = Ax, x(0) = x0.Demonstracao.Propriedade 3. O conjunto de todas solucoes de x= A(x) e um espaco vetorial, su-bespaco de F(R, Rn).Demonstracao. x(t) = 0v e solucao da equacao pois x(t) = 0v, A(0v) = 0v, logo temos a equacaodiferencial satisfeita. Se s1(t) e s2(t) sao solucoes de x= A(x) entao s1(t) + cs2(t) e solucao onde c Rqualquer. Temos s1(t) = As1(t), s2(t) = As2(t), c R entao cs2(t) = cAs2(t) =Acs2(t) portanto cs2(t) e solucao, juntando tais fatos temosA(s1(t) + cs2(t)) = As1(t) + cAs2(t) = s1(t) + s2(t)logo s1(t) + cs2(t) e solucao, como queramos demonstrar.Corolario 2. Por unicidade de solucao se x(t) = 0 para algum t R entao x(t) = 0 t R por unicidade de solucao.1.1.1 Caso de matriz diagonalPropriedade 4. Se A e uma matriz diagonal, A = d(1, n) entao a solucao dex(t) = Ax(t)e da formax(t) = (x1e1t, x2e2t, , xnent)onde x(0) = (t1, t2, , tn) em outra notacaox(t) = d(e1t, e2t, , ent)x0. 9. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 8Demonstracao. Pelo produto das matrizes Ax = x(t) temosx1(t)x2(t)...xn(t)=1 0 0... ...0 0 nx1(t)x2(t)...xn(t)efetuando a multiplicacao temos o sistemax1(t) = 1x1(t)x2(t) = 2x2(t)...xn(t) = nxn(t)cada uma das equacoes diferenciais pode ser resolvida, resultando em xk(t) = ckekt,usando xk(0) = tk, temos ck = tk entao a solucao e da forma como queramosx(t) = (t1e1t, t2e2t, , tnent).1.1.2 Solucoes e conjugacaoPropriedade 5. Se Q conjuga as matrizes reais A e B de Mnn, isto e, A = QBQ1,entao sao equivalentes1. y(t) e uma solucao de y= By2. x(t) = Qy(t) e uma solucao de x= Ax.Demonstracao.1. 1) 2). Vamos mostrar que se y(t) e uma solucao de y= By entao x(t) = Qy(t)e uma solucao de x= Ax. Derivamos x(t) = Qy(t)x1(t)x2(t)...xn(t)=c1,1 c1,2 c1,n... ...cn,1 cn,2 cn,ny1(t)y2(t)...yn(t)= 10. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 9=c1,1y1(t) + c1,ny1(t)c2,1y2(t) + c2,ny2(t)...cn,1yn(t) + cn,nyn(t)derivando temosc1,1y1(t) + c1,ny1(t)c2,1y2(t) + c2,ny2(t)...cn,1yn(t) + cn,nyn(t)=c1,1 c1,2 c1,n... ...cn,1 cn,2 cn,ny1(t)y2(t)...yn(t)= Qy(t)lembrando que AQ = QB e y(t) = By(t) temosx(t) = Qy(t) = QBy(t) = AQy(t) = Ax(t)como queramos demonstrar.2. 2) 1). Vamos provar que se x(t) = Qy(t) e uma solucao de x(t) = Ax(t) entaoy(t) e uma solucao de y(t) = By(t). TemosQy(t) = AQy(t)como AQ = QB tem-seQy(t) = QBy(t) y(t) = QBy(t)pois Q e invertvel, logo provamos a equivalencia.Propriedade 6. Seja A Mn matriz diagonalizavel, isto e, A = QDQ1com D diagonal.1. Se D possui todos elementos na diagonal negativos entao x(t), solucao de x(t) =Ax(t) satisfazlimtx(t) = 0.2. Se D possui todos elementos na diagonal positivos distintos, A nao nulo e y(0) naopossuir coordenada nula entaolimt|x(t)| = . 11. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 103. Cada coordenada xk satisfaz equacao diferencial linear de ordem n .Demonstracao.1. Seja y(t) solucao de y(t) = Dy(t), ela e da forma y(t) = (c1e1t, , cnent), ondeD =1 0... 00 0 .A solucao de x(t) = Ax(t) e x(t) = Qy(t),a1,1 a1,n... ...an,1 an,nc1e1t...cnent =a1,1c1e1t+ + a1,ncnent...an,1c1e1t+ + an,ncnent =x1(t)...xn(t) .logo o limite em qualquer coordenada tende a zero, poisxk(t) = ak,1c1e1t+ + ak,ncnentonde cada parcela tende a zero pois ekt 0 quando t , se os coecientes saonulos nao se altera o resultado.2. Tem-se quexk(t) = ak,1c1e1t+ + ak,ncnenttomando s o maior valor entre os (k)n1 que esteja associado a constante ak,s = 0 ,colocamos em evidencia|xk(t)| = |est||ak,1c1e(1s)t+ + ak,scs + + ak,ncne(ns)t|onde |ak,1c1e(1s)t+ + ak,scs + + ak,ncne(ns)t| e limitada pois possuemtermos que tendem a zero e o termo ak,ncn nao e nulo, por isso a expressao tambemnao se anula, como |est| tende a innito entao |xk(t)| tambem, sendo que isso valepara qualquer coordenada de x(t).3. Temos quexk(t) = ak,1c1e1t+ + ak,ncnentaplicando o operador (D 1) (D k) anulamos xk(t), logo ele satisfaz equacaodiferencial de ordem n. 12. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 111.2 Teoria geral de sistemas lineares1.2.1 Exponencial de matrizesDenicao 10 (Exponencial de matriz). Dada A Mn(C), denimos a sua exponencialcomo a matriz n n simbolizada por eA, denida comoeA=k=0Akk!que tambem pode ser denotada por exp(A).Propriedade 7. Dada A Mn(C) entaok=0Akk!converge no espaco normado Mn(C).Demonstracao. Temos quek=0||Akk!|| k=0||A||kk!= e||A||logo a seriek=0Akk!converge absolutamente e portanto converge em Mn(C).Corolario 3. Sendo A = 0 a matriz nula, temose0=k=00kk!=000!+k=10kk!0= Ipois 00= I a matriz identidade.Corolario 4. Se A e a matriz diagonal A =1 00... 00 n, temos queeA=k=0k1k! 00... 00 knk!=k=0k1k! 00... 00 k=0knk!= 13. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 12=e1 00... 00 en.Em especialeI=e1 00... 00 e1= eIe novamente tiramos que e0= I.Corolario 5. Seja a matriz n nGc(n) =0 0 0c 0 0... 00 c 0tal matriz e nilpotente e vale Gc(n)n= 0. Podemos calcular sua exponencial, sendo quesua serie truncaeGc(n)=n1k=0Gc(n)kk!calculando as potencias de tal matriz e somando podemos simplicar comoeGc(n)=1 0 0c 1 0(c22!)... 0cn1(n 1)! c22!c 1 14. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 13Exemplo 1. Obter a exponencial de A =0 bb 0. Podemos provar por inducao que0 bb 02k= (1)kb2k00 b2k0 bb 02k+1= (1)k0 b2k+1b2k+10logoeA=k=0A2k(2k)!+k=0A2k+1(2k + 1)!==k=0(1)kb2k(2k)!k=0(1)kb2k+1(2k + 1)!k=0(1)kb2k+1(2k + 1)!k=0(1)kb2k(2k)!=cos(b) sen(b)sen(b) cos(b) .Propriedade 8. Se A, B, Q Mn tais que AQ = QB entao eAQ = QeB. Em especial seA e B sao conjugadas entao eAe eBtambem o sao.Demonstracao. De AQ = QB temos por inducao que vale AsQ = QBss N, logoeAQ = (limnk=0Akk!)Q = limnk=0AkQk!= limnk=0QBkk!= QeB.Corolario 6. Se Q Mn invertvel com A = QBQ1entaoeA= eQBQ1= QeBQ1poisAQ = QB eAQ = QeB eA= QeBQ1.Se as matrizes sao conjugadas basta calcular a exponencial de uma das matrizes a daoutra e obtida por produto com Q e Q1.Propriedade 9. Sejam A, B Mn entao et(A+B)= etAetBt R AB = BA. 15. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 14Demonstracao. ).Vale que (AB)k= AkBk= BkAketAetB= (k=0tkAkk!)(k=0tkBkk!) =k=0cktkondeck =ks=0AksBs(k s)!s!=ks=0k!AksBs(k s)!s!k!=ks=0(ks)AksBsk!=(A + B)kk!o binomio de Newton pode ser aplicado pois A e B comutam, entaoetAetB=k=0(A + B)kk!tk= et(A+B).).Supondo a igualdade, derivando de ambos lados temos(A + B)et(A+B)= AetAetB+ etABetBderivando novamente(A + B)(A + B)et(A+B)= A2etAetB+ AetABetB+ AetABetB+ etAB2etBtomando t = 0 tem-se(A + B)(A + B) = A2+ AB + AB + B2= A2+ AB + BA + B2 AB = BAcomo queramos demonstrar.Propriedade 10. Vale que||eApk=0Akk!|| e||A||pk=0||A||kk! ||A||p+1e||A||,p N e A Mn.Demonstracao.||eApk=0Akk!|| = ||k=p+1Akk!|| k=p+1||A||kk!= e||A||pk=0||A||kk!temos ainda quek=p+1||A||kk!=||A||p+1(k + p + 1) (k + 1)k=0||A||kk! ||A||p+1e||A||. 16. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 15Corolario 7. Em especial no resultado anterior com p = 0 temos||eA I|| e||A|| I ||A||e||A||,caso p = 1||eA I A|| e||A|| 1 |A| ||A||2e||A||.Propriedade 11. Seja x : R Mn um caminho contnuo de matrizes que e derivavelem 0 R, com X(0) = I e x(t + u) = x(t)x(u) t, u R entao x e derivavel em R comx(t) = x(0)x(t).Demonstracao.Consideramos a expressao, com t R arbitrario xox(t + h) x(t) x(0)x(t)hh=usamos que x(t + h) = x(h + t) = x(h)x(t), substituindo tem-se=x(h)x(t) x(t) x(0)x(t)hh=[x(h) I]x(t) x(0)x(t)hh==[x(h) I x(0)(h)]hx(t) +x(0)hx(t)hx(0)x(t)(h)h==[x(h) I x(0)(h)]hx(t) 0quando h 0 pois x(s) e derivavel em s = 0, entao vale realmente x(t) = x(0)x(t).Propriedade 12. Dada A Mn, x(t) : R Mn com x(t) = etAvale quex(t + u) = x(t)x(u) t, u R.Demonstracao. Temos quenr=0(tA)rr!ns=0(uA)ss!=2nk=0ckAkondeck =ks=0tsuks(s)!(k s)!(k s)!=ks=0(ks)tsuks(k)!=(t + u)kk! 17. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 16onde essa expressao e dada pelo regra do produto de polinomios, entaonr=0(tA)rr!ns=0(uA)ss!=2nk=0(t + u)kk!Akcom n todos expressoes com somatorio convergem tomando o limite temosr=0(tA)rr!s=0(uA)ss!=k=0(t + u)kk!Ake(t+u)A= etAeuA.Corolario 8. Em especial vale quee(t+u)A= etAeuA= euAetAas expressoes comutam, pois t + u = u + t.Propriedade 13. Sejam A Mn, x0 Rn, X : R Mn com X(t) = etA, x : R Rncom x(t) = X(t)x0 = etAx0, entao x e X sao derivaveis e valed(etA)dt= AetA Mnd(etAx0)dt= AetAx0 Rn.Demonstracao. Dados A Mn e t R temos ||tA|| = |t| ||A||, temos por desigual-dade de exponencial que|| etAX(t) IX(0) tAA(t)|| 1|t|||tA||2e||tA||= |t| ||A||2e|t| ||A|| |t|||A||2e||A||com |t| < 1, onde usamos desigualdade que ja demonstramos para exponencial. Dessadesigualdade tem-se que X(0) = A por denicao de derivada. Como temosX(t + u) = X(t)X(u)tem-se que X(t) e derivavel valendoX(t) = X(0)X(t) = AX(t)por aplicacao em x0 segue que x(t) = X(t)x0 e derivavel em R e x(t) = Ax(t). 18. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 17Corolario 9. Se A Mn e x0 Rnentao o caminho x(t) = etAx0, t R dene a unicasolucao de x= Ax com condicao inicial x(0) = x0.Propriedade 14. Se A, B Mn tais que AB = BA entao eA+B= eAeB. Vejamos outrademonstracao dessa propriedade usando unicidade de solucao de equacao diferencial.Demonstracao. Como BA = AB entao B(tA) = (tA)B, da por resultado que jamostramos tem-se BetA= etAB. Fixamos x0 Rn, denindox(t) = etAetBx0a regra da derivada do produto garante quex(t) = AetAetBx0 + etABetBx0 = AetAetBx0 + BetAetBx0 = (A + B)x(t)alem disso x(0) = x0, logo x(t) e solucao de x= (A+B)x com condicao inicial x(0) = x0,porem et(A+B)x0 e a unica solucao desta equacao, disso segueetAetBx0 = et(A+B)x0tomando t = 1 segue eAeBx0 = e(A+B)x0, como x0 e arbitrario, os dois operadores devemser identicos, por issoeA+B= eAeB.Corolario 10.eAeA= eAA= e0= Ientao eAe sempre invertvel com inversa eA.Exemplo 2. Mostre que se u nao e autovalor de A entao a equacao x= Ax+eutb, possuiuma solucao da forma (t) = veut. Onde b Rn, u, t reais, logo eute a exponencial real.Substitumos (t) = veutna equacao diferencial para encontrar v.uveut= Aveut+ eutb (u A)veut= eutb (u A)v = bcomo u nao e autovalor de A det(u A) = 0 logo u A e invertvel v = (u A)1b, entaorealmente existe (t) = veutsolucao da equacao. 19. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 18Propriedade 15. Seja V < Rn, A-invariante. Entao V e etAinvariante para qualquert R xo .Demonstracao. Como V e A invariante e subespaco de Rn, entao e invariante portkAkk!e soma de aplicacoes desse operador, por isso n temosnk=0(tA)kk!(v) V v Vcomo subespacos vetoriais sao fechados a propriedade se mantem na passagem do limitek=0(tA)kk!(v) V v V.Propriedade 16. Sejam A Mn, S F(R, Rn) espaco de todas as solucoes de x= Ax.Denimos T : S Rncom T(x) = x(0). Nessas condicoes T e linear, sobrejetora einjetora, portanto e um isomorsmo e da dimS = n.Demonstracao.T e linear, pois sendo x1, x2 S, c R tem-seT(cx1 + x2) = (cx1 + x2)(0) = cx1(0) + x2(0) = cT(x1) + T(x2).T e sobrejetora pois dado x0 Rna equacao x= Ax com x(0) = x0 possui solucao,por condicao de existencia, portanto existe x S tal que T(x) = x0 = x(0).T e injetora, suponha que T(x) = T(y), x, y S entao x(0) = y(0) ambas sendosolucao de z= Az, por unicidade de solucao segue que x = y, pois coincidem na condicaoinicial.Disso conclumos que T e isomorsmo entao dimS = n.Propriedade 17. Sejam A Mn, (vk)n1 base de Rn, (sk)n1 : R Rnas solucoes dex= Ax com sk(0) = vk, k In. Entao (sk)n1 e LI em S F(R, Rn) (espaco das solucoesde x= Ax), qualquer solucao de x= Ax e combinacao linear de (sk)n1 .Demonstracao. Temos que a transformacao T : S Rncom T(s) = s(0) e umisomorsmo entao ela leva base de S em base de Rne sua inversa T1: Rn S leva basede Rnem base de S, como a imagem de (sk)n1 e (vk)n1 base de Rn, entao (sk)n1 e base deS. Por isso tal conjunto gera S, espaco das solucoes sendo tambem LI. 20. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 19Propriedade 18. Se A e idempotente, entaoeA= I + (e 1)A.Demonstracao. A e idempotente, isto e, A2= A, Ak= A para k > 0 entaoeA= I + Ak=11k!= I + A(e 1).Exemplo 3. De exemplo de matrizes A e B tais que eA+B= eAeB. Tomamos matrizesque nao comutam no produto.A =1 00 0 , B =0 01 01 00 00 01 0 =0 00 00 01 01 00 0 =0 01 0portanto elas nao comutam. B e nilpotente com B2= 0, entaoeB=1 01 1 = I + B.A e idempotente A2= A, entaoeA= I + (e 1)A =e 00 1A + B =1 01 0A + B e idempotente logoeA+B= I + (e 1)(A + B) =e 0e 1 1 21. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 20porem temoseAeB=e 00 11 01 1 =e 01 1 = eA+B.Portanto nao vale eA+B= eAeB, neste caso.Exemplo 4. Calcule a exponencial da matriza b0 a .Escrevemos a b0 a =a 00 a +0 b0 0 .as duas matrizes comutam no produto, dando em qualquer ordem0 ab0 0A =0 b0 0 satisfaz A2= 0 entaoeA=1 00 1 +0 b0 0 =1 b0 1a outra matriz possui exponencialeea00 eausando que eA+B= eAeBquando A e B comutam, temos o resultado desejado multipli-cando as matrizes, resultando emeabea0 ea . 22. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 21Exemplo 5. Calcule a exponencial da matriza bb a .Separamos a matriz como a somaa bb a =a 00 a +0 bb 0sendo que as parcelas comutam (primeira chamamos de A, segunda de B)0 bb 0a 00 a =0 abab 0 =a 00 a0 bb 0entaoeA+B= eA.eB=ea00 eacos(b) sen(b)sen(b) cos(b) == eacos(b) sen(b)sen(b) cos(b) .1.2.2 Autovalores com autovetoresPropriedade 19. Seja v Rnum autovetor de A Mn com autovalor R entaox(t) = etv, t Re a solucao de x= Ax com x(0) = v.Demonstracao.Derivamos x(t) = etv, obtemosx(t) = etv = etv = etA = A(x(t))alem disso x(0) = e0v = v que satisfaz a condicao inicial e a equacao diferencial entaotal expressao fornece a solucao por unicidade. 23. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 22Propriedade 20. Se v Rne um autovetor de A Mn e x : R Rne solucaode x= Ax tal que x(t) {av Rn|a R} = s(v), para algum t R entaox(t) S(v) t R.Demonstracao. Temos x(t) = av para algum a real, x= Ax, a solucao de talequacao com condicao inicial ex(t) = e(tt)av,pois, derivandox(t) = e(tt)av = e(tt)av = e(tt)aAv = A(e(tt)av) = Ax(t),alem disso x(t) = av, como a solucao e unica tem-se x(t) = e(tt)av S(v).Exemplo 6. Em um sistemax1(t)x2(t) =a1,1 a1,2a2,1 a2,2x1(t)x2(t)x1(t) e x2(t) satisfazem equacoes diferenciais lineares de ordem 2. Por exemplo x1satisfazx1 = (a1,1 + a2,2)x1 + (a1,2a2,1 + a2,2a1,1)x1.Propriedade 21. Suponha que A Mn possui um autovalor real < 0 entao a equacaox= Ax possui pelo menos uma solucao x(t) nao trivial tal quelimtx(t) = 0.Demonstracao.Seja v0 autovetor associado `a entao x= Ax, A(0) = v0 possui solucao da formax(t) = etv0,pois x(0) = v0 e derivandox(t) = etv0 = etv0 = etAv0 = A(etv0) = Ax(t)portanto e realmente solucao, ainda temos que limtetv0 = 0 por dominacao da exponen-cial em cada coordena do vetor solucao. 24. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 23Propriedade 22. Todas as solucoes x(t) de x= Ax tendem a 0 Rnquando t seA Mn e diagonal e todas suas entradas sao negativas.Demonstracao.A equacao diferencial e da formax1(t)...xn(t) =1 0... 00 nx1(t)...xn(t)entao em cada coordenada temos xk(t) = kxk que possui solucao da forma xk(t) =ektxk(0), com cada k > 0, portanto cada coordenada tende a zero e da x(t) 0.Propriedade 23. Seja A Mn. Se e um autovalor de A associado `a v entao ee umautovalor de eAassociado `a v.Demonstracao. Sabemos que A(v) = v, v = 0eAv = (k=0Akk!)v =k=0Akvk!=k=0kvk!= evcomo queramos demonstrar.Exemplo 7. De um exemplo de uma matriz A tal que eAtenha algum autovalor realnegativo.Seja A =0 0, sua exponencial eeA=cos() sen()sen() cos() =1 00 1que possui autovalor 1, perceba que 1 = ei, i e autovalor de A sobre C.Propriedade 24. Seja A Mn tal que ||A I|| < 1, entao A e invertvel ek=0(I A)kconverge absolutamente para A1. 25. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 24Demonstracao. Denotaremos b = ||A I|| < 1|x| = |I(x)| = |(I A)x + A(x)| |(A I)(x)| + |A(x)| ||A I|||x| + |A(x)| (1 b)>0|x| < |A(x)|1 b > 0 pois b < 1. Portanto A(x) se anula x = 0, A e injetora portanto sobrejetorae bijetora (dimensao nita).A serie converge absolutamente pois ||I A|| < 1 a norma dos termos da serie convergepor serie geometrica.[(I A) I]n1k=0(I A)k=n1k=0[(I A)k+1 (I A)k] = (I A)n I,por soma telescopica, logoAn1k=0(I A)k= I (I A)n An1k=0(I A)k I = (I A)n||An1k=0(I A)k I|| = ||(I A)||n 0com n grande, entaoAk=0(I A)k= I k=0(I A)k= A1.Propriedade 25. Se temos solucao y de y= By com y(0) = Q1x0 onde x= Ax,AQBQ1entao temos a solucao de x= Ax com x(0) = x0 dada por Qy(t).Demonstracao. A solucao de x= Ax com x(0) = x0 e x(t) = eAtx0 como At =QBtQ1entao eAt= QeBtQ1de y(t) = eBty0 = eBtQ1x0 multiplicando por Q `aesquerda, tem-seQy(t) = (QeBtQ1)eAtx0 = eAtx0. 26. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 251.3 Solucao de sistemas lineares usando forma canonicade JordanPropriedade 26. SejamB =A1 0... ...0 Amonde cada Ak e um bloco, B e matriz diagonal em bloco, entao temoseB=eA1 0... ...0 eAma exponencial de uma matriz em blocos e obtida tomando a exponencial de cada blocoao longo da diagonal.Demonstracao.1.4 Teorema de PicardTeorema 2 (Teorema de Picard). Considere o problemaX(t) = f(t, x)x(t0) = x0onde f e limitada, contnua e Lipschitz na segunda variavel em Ia Bb[x0] onde Ia =[t0 a, t0 + a],Bb[x0] = {x Rn| |x x0| b}.Entao existe uma unica solucao do problema em I onde = min{a,bM}, M e talque |f| M.Demonstracao. Sabemos que o problema e equivalente a resolver a equacao integralx(t) = x0 + tt0f(s, x(s))ds 27. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 26logo podemos denir o operador L : C0(I, Bb) C0(I, Bb)porL() = x0 + tt0f(s, (s))ds.Logo nosso problema se reduz a encontrar um ponto xo de L. Dado C0(I, Bb),L() e contnua, vericaremos que L() : I Bb|L()(t) x0| = | tt0f(s, (s))ds| M|t t0| M b.Como C0(I, Bb) e completo, basta ver que para algum m, Lme contracao.Vamos provar que para t I, temos|Ln(1)(t) Ln(2)(t)| kn|t t0|nn!|1 2|lembrando que |1 2| = suptI|1(t) 2(t)|. Provamos por inducao, para m = 0 valea desigualdade pois equivale `a|1(t) 2(t)| |1 2|suponha a validade para m entao, vamos provar para m + 1|Lm+1(1)(t) m+1L (2)(t)| = |L(Lm(1))(t) L(mL (2))(t)|substituindo pela integral temos| tt0f(s, Lm(1)(s))ds tt0f(s, Lm(2)(s))ds| tt0|f(s, Lm(1)(s)) f(s, Lm(2)(s))|ds usando a condicao de Lipschitz na segunda variavel tt0k|Lm(1)(s) Lm(2)(s)|ds usamos agora a hipotese da inducao k tt0km |s t0|mm!|1 2|ds =km+1m!|1 2| tt00|s|mds 28. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 27km+1(m + 1)!|1 2||t t0|m+1logo ca provado por inducao, alem disso temos que|Ln(1)(t) Ln(2)(t)| knnn!|1 2|pois e o comprimento do intervalo, Lme contracao para m sucientemente grande, poispara m grande temos 0 0 sucientemente pequeno tal queV = I(t0) Bb[x0] U, onde b = M, com isso estamos na condicao do teorema dePicard, o que implica solucao unica.Teorema 3 (Teorema de Peano). Dada f contnua e |f| < M em Ia[t0] Bb[x0]. Nessascondicoes existe pelo menos uma solucao dex= f(t, x), x(t0) = x0em I, onde = min{a,bM} (Notacoes como no teorema de Picard).Demonstracao. Como f e contnua em Ia Bb, existe uma sequencia (pn) de funcoesde classe cque converge uniformemente para f. (Basta aplicar o teorema de aproximacaode Weierstrass em cada coordenada).Agora considere o problema(1){x= pn(t, x)x(t0) = x0 29. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 28para n grande |pn| M em Ia Bb, (pn) e lipschitz, por ser Cem compacto. Assimpodemos aplicar o teorema de Picard, obtendo uma famlia (n) de solucoes do problema(1), temos que tal famlia e uniformemente limitada pois|n(t) x0| bt Ie vale a equicontinuidade pois|n(t) n(t)| = |x0 + tt0pn(s, n(s))ds x0 tt0pn(s, n(s))ds| == | ttpn(s, n(s))ds| tt|pn(s, n(s))|ds M|t t|para n maior que algum n0 N , perceba tambem que essa relacao nao depende de n, nacondicao de n > n0, portanto temos equicontinuidade. Denotaremos a subsequencia pelamesma notacao (n).Como temos a sequencia uniformemente limitada ( logo simplesmente limitada) eequicontnua, podemos aplicar o teorema de Arzela-Ascoli, garantindo a existencia deuma subsequencia uniformemente convergente em C([a, b], Bb) para uma funcao .Armamos que e uma solucao do problema original. De fato , para cada n n0temos quen(t) = x0 + tt0pn(s, n(s))dssabemos que n u , queremos mostrar que temos convergencia para(t) = x0 + tt0f(s, (s))ds.Para isso, iremos mostrar que pn(s, n(s)) u f(s, (s)).|pn(s, n(s)) f(s, (s))| |pn(s, n(s)) f(s, n(s))| + |f(s, n(s)) f(s, (s))| |pn f|norma do sup+|f(s, n(s)) f(s, (s))|pela continuidade de f, dado > 0 existe > 0 tal que se |(s1, x1) (s2, x2)| < |f(s1, x1) f(s2, x2)| 0, existe n1 N tal que n n1|n(s) (s)| s I 30. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 29por convergencia uniforme de n. Assim n n1 temos que|f(s, n(s)) f(s, (s))| 0 , (tk) em X e (nk) subsequencia de (n) tal que|nk(tk) (tk)| .(nk) e equicontnua e pontualente limitada, o teorema de Arzela-Ascoli implica que (nk)possui subsequencia (np ) uniformemente convergente para , mas isso e um absurdo pois|np (tp) (tp)| .Propriedade 37. Sejam fn : Rm, (fn) contnua em aberto de R Rm, fn u f0em cada parte compacta de , (tn, xn) sequencia em com (tn, xn) (t0, x0), supondoquex= fn(t0, x0), x(tn) = xn, n N,possui uma unica solucao maxima n em In = (w(n), w+(n)), seja [a, b] I0 =(w(0), w+(0)) entao existe n0 = n0(a, b) tal que para n > n0, In [a, b] e n|[a,b] u0|[a,b]. 37. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 36Demonstracao.Propriedade 38 (Continuidade nas condicoes iniciais). Sejam f contnua em abertoem R Rn A ,A e um espaco euclidiano, para cada (t0, x0, ) o problema comcondicoes iniciaisx= f(t, x, ), x(t0) = x0 xo, possua uma unica solucao = (t, t0, x0, )denida no seu intervalo maximo (w,w+), w = w(t0, x0, ), entao1.D = {(t, t0, x0, ) | (t0, x0, ) , t (w,w+)}e aberto em R 2. e contnua em D.Demonstracao.Lema 2 (Lema de Gronwall). Sejam u, v funcoes contnuas nao negativas em [a, b] taisque para 0u(t) + tav(s)u(s)ds, t [a, b]entaou(t) e ta v(s)dsem especial se = 0 entao u = 0.Demonstracao. Se > 0, seja w(t) = + tav(s)u(s)ds, temos w(a) = , w(t) > 0 pois integral de nao negativas e nao negativa, dew(t) = v(t)u(t) v(t)w(t)temosw(t)w(t) v(t) 38. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 37aplicando taobtemosln(w(t)w(a)) tav(s)ds w(t) e ta v(s)dsu(t) w(t) e ta v(s)dsPropriedade 39. Seja K a constante de Lipschitz na segunda coordenada de f (contnua), para t I(t0,x0) I(t0,y0) temos|(t, t0, x0) (t, t0, y0)| ek|tt0||x0 y0|sendo (t, t0, x0) solucao de x(t) = f(t, x), x(t0) = x0.Demonstracao. Sejam (t) = (t, t0, x0), (t) = (t) = (t, t0, y0), entao(t) (t) = x0 y0 + tt0[f(s, (s) f(s, (s))]ds,de onde segue por condicao de Lipschtiz e desigualdade de integral que|(t) (t)| |x0 y0| + | tt0K|(s) (s)|ds|se t t0 o resultado decorre do Lema de Gronwall com = |x0y0|, u(t) = |(t)(t)|e v(t) = K.Se t t0, a propriedade resulta do Lema de Gronwall aplicado a x= f(t, x), cujasolucao por (t0, x0) e (t, t0, x0) (continuar depois nao entendi a outra parte)1.8.1 DiferenciabilidadeLema 3. Seja f contnua em (a, b)K onde K e um aberto convexo de Rn. Se f admitederivada parcial D2f contnua em (a, b) K entao existe uma funcao h(a, b) K K L(Rn) contnua tal que1. h(t, x, x) = D2f(t, x), (t, x) (a, b) K2. f(t, x2) f(t, x1) = h(t, x1, x2)(x2 x1). 39. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 38L(E) denota o espaco de aplicacoes lineares de E em E, isomorfo `a Rn.Demonstracao. Denimosh(t, x1, x2) = 10D2f(t, ux2 + (1 u)x1)duque e integravel pois D2f e contnua, podemos tomar ux2 + (1 u)x1 com u variando em[0, 1] pois K, conjunto onde f toma a segunda coordenada e convexo . A continuidade de hresulta da continuidade de D2f .Basta tomar a diferenca das integrais e usar continuidadede D2f. Existe 1 > 0 tal que |(tt, x1 x1, x2 x2)| < 1 implica |(tt, ux2 +(1u)x1 ux2+(1u)x1)| < e por continuidade |D2f(t, ux2+(1u)x1)D2f(t, ux2+(1u)x1)| < da|h(t, x1, x2) h(t, x1, x2)| 10|D2f(t, ux2 + (1 u)x1) D2f(t, ux2 + (1 u)x1)|du logo a funcao e contnua.1.h(t, x, x) = 10D2f(t, ux + (1 u)x)du = 10D2f(t, x)du = D2f(t, x)como queramos demonstrar.2. Pelo teorema fundamental do calculo temosf(t, x2) f(t, x1) = 10ddu[f(t, ux2 + (1 u)x1)]du =(por regra da cadeias(?) segue que)= 10D2f(t, ux2 + (1 u)x1)(x2 x1)ducomo queramos mostrar.Teorema 4 (Dependencia diferenciavel com respeito as condicoes iniciais). Seja f : U R Rncontnua no aberto U, f(t, x), t R, x Rn, diferenciavel com relacao `a variavelx, sendofxcontnua em U.Como consequencia do teorema de Picard, temos que (t0, x0) U o problema deCauchy x= f(t, x), x(t0) = x0 admite uma unica solucao maximal = (t, t0, x0) comt tomando valores em um intervalo maximal I(t0, x0). Seja D o aberto (ver), tal que 40. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 39 : D U, entao existe e e contnua a derivada x0 (t, t0, x0), x0 : D L(Rn). Alemdisso tal derivada e a solucao da seguinte equacao diferencial ordinaria matricial linearZ=f(t, (t, t0x0))xZZ(t0) = I Identidade n n.Demonstracao.Propriedade 40. Seja f contnua em aberto de R Rn Rm, com D2f contnuaem . Entao para xo, a solucao = (t, t0, x0, ) de x= f(t, x, ), x(t0) = x0 eunica e admite derivada parcial D3 com relacao `a x0, a aplicacao com x(t, t0, x0, ) =D3(t, t0, x0, ) e contnua no seu domnioD = {(t, t0, x0, ) | (t0, x0, ) , w(t0, x0, ) < t < w+(t0, x0, )}ex(t) = D3(t, t0, x0, )ek =xk0(t, t0, x0, x)xk0 para simbolizar k-esima, para todo 1 k dimE sendo solucao dex= J(t)x, x(t0) = ekonde J(t) = J(t, t0, x0, ) =2 f(t, (t, t0, x0, ), ).Demonstracao.Propriedade 41. Se alem das hipoteses do teorema anterior f e diferenciavel em relacao`a e D3f e contnua em , entao e diferenciavel em relacao `a e D4(ek) =kecontnua em D.Alem disso, x(t) =k(t, t0, x0, ) e solucao de x= j(t)X + b(t), x(t0) = 0 ondeb(t) = B(t)ekB(t) = D3f(t, (t, t0, x0, ), ).Demonstracao. 41. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 40Propriedade 42. Seja f contnua em aberto em R Rn Rm Rp, se f(t, x, , ) ediferenciavel em relacao `a x, e D2f, D3f sao contnuas em entao para e xos,x= f(t, x, , ), x(t0) = x0possui solucao unica (t, t0, x0, , ) diferenciavel em relacao `a (t, x0, ). As derivadasD1, D3, D4, D1D3, D1D4 sao contnuas em D.Demonstracao.Propriedade 43. Seja f(t, x, , ) contnua em R Rn Rm Rpaberto, comderivadas parciais de ordem w relativas `as coordenadas de (x, ) contnuas, entao para, xox= f(t, x, , ), x(t0) = x0possui solucao unica = (t, t0, x0, , ), denida no abertoD = {(t, t0, x0, ) | (t0, x0, , ) e w(t, t0, x0, , ) < t < w+(t0, x0, , )}de R na qual admite todas derivadas parciais da formas+mk=1k+lk=1Bktsmk=1(xk0)klk=1(k)Bkcontnuas, commk=1k +lk=1Bk w, s 1.Demonstracao.Propriedade 44. Seja f = f(t, x) de classe Cmem , entao = (t, t0, x0) possui todasas derivadas parciais de ordem m com respeito as variaveis (t, x0) contnuas no abertoD = {(t, t0, x0) | (t0, x0) , w(t0, x0) < t < w+(t0, x0)}.Demonstracao. 42. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 411.9 Elementos da teoria qualitativa das equacoes di-ferenciais1.9.1 Campos vetoriais e uxosDenicao 23 (Campo vetorial de classe Ck). Seja U Rnaberto, um campo vetorial declasse Ck, 1 k em U e uma aplicacao f : U Rnde classe Ckao qual associamosa equacao diferencialx= f(x).Denicao 24 (Trajetorias-curvas integrais). As solucoes : I U (I intervalo abertode R) de x= f(x), f campo vetorial de classe Ckcomo na denicao anterior, isto e,d(t)dt= f((t)) t Isao chamadas de trajetorias ou curvas integrais de f.Neste caso o vetor velocidade de , (t) coincide com o valor do campo X em (t).Denicao 25 (Ponto singular). x U e dito ponto singular de f se f(x) = 0.Denicao 26 (Ponto regular). x U e dito ponto regular de f se f(x) = 0.Propriedade 45. Se x e ponto singular de f entao (t) = x t R e solucao dex= f(x). Se (t) = x t R e solucao de x= f(x) entao x e ponto singular de f .Demonstracao. ). Temos (t) = 0 e f((t)) = f(x) = 0 portanto(t) = f((t))e solucao da equacao diferencial.).Temos(t) = f((t)) = f(x)porem (t) = 0 portanto x e ponto singular de f. 43. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 42Denicao 27 (Curva integral maxima). Uma curva integral : I U de f chama-semaxima, se para toda curva integral : J U com I J e |I entao I = J e da = .Denicao 28 (Intervalo maximal). I na denicao anterior e chamado de intervalo maximoou maximal.Propriedade 46. Valem as propriedades1. Existencia e unicidade de solucoes maximais. Para cada x U existe um intervaloaberto Ix onde esta denida a unica solucao maxima x de x= f(x) tal quex(0) = x.2. Propriedade de grupo . Se y = x(t) e t Ix, entaoIy = Ix t = {r t | r Ix}e y(s) = x(t + s) s Iy.3. Diferenciabilidade em relacao `as condicoes iniciais. O conjuntoD = {(t, x) | x U, t Ix}e aberto em Rn+1e a aplicacao : D Rncom (t, x) = x(t) e de classe CreD1D2(t, x) = Df((t, x)) D2(t, x) (t, x) D.f sendo Cr.Demonstracao.Denicao 29 (Fluxo gerado). : D U chama-se uxo gerador por f. Tambeme chamado de uxo local ou grupo local `a um parametro gerado por f . satisfaz asrelacoes da propriedade anterior(0, x) = x(t + s, x) = (t, (s, x)). 44. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 431.9.2 Retrato de fase de um campo vetorialDenicao 30 (Orbita). O conjunto p = {(t, p), t Ip} imagem da curva integral de fpelo ponto p chama-se orbita de f pelo ponto p.Propriedade 47. q p q = p, duas orbitas de f coincidem ou sao disjuntas, Udomnio do campo f ca decomposto numa uniao disjunta de curvas diferenciaveis.Demonstracao. (analisar) Usaremos que (t, (s, p)) = (t + s, p). ). Se q ypentao existe t1 Ip (intervalo de denicao de ) tal que (t1, p) = q por outro lado(t, q) = (t, (t1, p)) = (t + t1, p)logo todo ponto de yq que e da forma (t, q) e da forma (t + t1, p) que pertence `a yp.Agora um um elemento de yp pode ser escrito como (t + t1, p) para t escolhido que eigual `a (t1, q) portanto vale a outra inclusao e os conjuntos sao iguais.). A volta vale pois yp = yq os conjuntos sao iguais.Usando o resultado provado acima. Se t yp yq entao yp = yt e yq = yt da yp = yq,portanto as orbitas ou sao disjuntas ou identicas.Denicao 31 (Retrato de fase). O retrato de fase de f : U Rn Rn, U aberto , f declasse Cr, r 1 e o conjunto U decomposto pelas orbitas de f, munido de orientacao dacurva integral.Propriedade 48. Toda curva integral de f : U Rn Rn, U aberto , f de classeCr, r 1, solucao maxima de x= f(x) em I e de um dos seguintes tipos1. e injetora, yp e homeomorfa a um intervalo de R.2. I = R, e constante, nesse caso a orbita yp chama-se ponto singular ou singulari-dade.3. yp e difeomorfa a um crculo , e periodica, neste caso existe p1 > 0 tal que (t+p1) =(t) t R e (t1) = (t2) se |t1 t2| < p1, neste caso yp chama-se orbita periodicaou fechada. 45. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 44Quando as solucoes sao periodicas ou singulares entao (w, w+) = R para as outrassolucoes isto pode nao acontecer.Demonstracao.1. Se e injetiva entao temos que a orbita e imagem pelo intervalo e temos o primeiracaso.Suponhamos que existem t1 = t2 tal que (t1) = (t2) entao o intervalo maximo e(w, w+) = R e para c = t2 t1 temos (t) = (t + c) t R, denimos B = {s R | (t) = (t + s) t R}, B e subgrupo aditivo fechado de R. Sejam a, b B entaoa + b B pois(t + a + b) = ((t + a) + b) = (t + a) = (t) t R.Se a B entao a B pois(t a) = ((t a) + a) = (t) t R.E claro tambem pela denicao que 0 B e o grupo e associativo adicao . Temos tambempropriedade de fechamento por limite pois se (an) B com an a como an Bn entao(t + a) = (t + lim an) = lim (t + an) = lim (t) = (t) t R,onde usamos continuidade da funcao para passar o limite para fora do argumento dafuncao . Um subgrupo aditivo de R e da forma kZ (multiplos inteiros de uma constante)ou denso em R, se B for denso em R temos que a orbita e uma singularidade por serfechado, se B = kZ entao e periodica de perodo k.Exemplo 8. Seja f(x) = 1 + x2com f(0) = 0, x= 1 + x2, f e C1a solucao e dada por(t) = tg(t), I0 = (2,2), e injetora, a orbita e homeomorfa a um intervalo . Nestecaso nao temos a reta toda como intervalo maximal da solucao .Propriedade 49. Seja f um campo C1em R com um numero nito de singularidades,digamos a1 < a2 < < an podemos tomar a0 = , an+1 = consideramos osintervalos da forma (ak, ak+1) com extremos nos pontos onde f se anula. f possui omesmo sinal em cada (ak, ak+1) pois se mudasse de sinal por continuidade possuiria raiz 46. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 45no intervalo, mas por hipotese ja contamos todas as razes. Agora suponha que f possuisinal positivo em (ak, ak+1) a solucao de x= f(x) e estritamente crescente no seu intervalomaximal I(x) = (w, w+) nessas condicoes vale que1. limtW(x)(t, x) = ak.2. limtW+(x)(t, x) = ak+1.Demonstracao.Denicao 32 (Campos Crequivalentes). Dados f1 : U1 Rn Rne f2 : U2 RnRn, U1, U2 abertos e f1, f2 de classe Cr, r 1, dizemos que f1 e f2 sao Crequivalentes seexiste h : U1 U2 difeomorsmo de classe Crpreservando a orientacao, comh(y1(p)) = y2(h(p))onde y1(p) e a orbita orientada de f1 passando por p, y2(h(p)) e a orbita orientada de f2passando por h(p). Neste caso h e chamado de equivalencia diferencial entre f1 e f2.Denicao 33 (Campos topologicamente equivalentes). Dados f1 : U1 Rn Rnef2 : U2 Rn Rn, U1, U2 abertos e f1, f2 de classe Cr, r 1, dizemos que f1 e f2sao topologicamente equivalentes se existe h : U1 U2 homeomorsmo preservando aorientacao, comh(y1(p)) = y2(h(p))onde y1(p) e a orbita orientada de f1 passando por p, y2(h(p)) e a orbita orientada de f2passando por h(p). Nesse caso h e chamado de equivalencia topologica f1 e f2.Denicao 34 (Topologicamente conjugado). Sejam 1 : D1 Rn, 2 : D2 Rnuxosgerados pelos campos f1 : U1 Rn, f2 : U2 Rnrespectivamente. f1 e topologicamenteconjugado `a f2 quando existe um homeomorsmo h : U1 U2 tal queh(1(t, x)) = 2(t, h(x)) (t, x) D1.Tem-se necessariamente que I1(x) = I2(h(x)). Nesse caso h chama-se conjugacao to-pologica entre f1 e f2 . 47. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 46Denicao 35 (Cr- conjugado). Sejam 1 : D1 Rn, 2 : D2 Rnuxos gerados peloscampos f1 : U1 Rn, f2 : U2 Rnrespectivamente. f1 e Crconjugado `a f2 quandoexiste um difeomorsmo Cr, h : U1 U2 tal queh(1(t, x)) = 2(t, h(x)) (t, x) D1.Tem-se necessariamente que I1(x) = I2(h(x)).Nesse caso h chama-se Crconjugacao entref1 e f2 .Propriedade 50. As relacoes de equivalencia Cr, topologica e de conjugacao Cre to-pologica sao relacoes de equivalencia. Campos Crconjugados e topologicamente conju-gados sao Crequivalentes e topologicamente equivalentes respectivamente.Demonstracao.Propriedade 51. Uma relacao de equivalencia h entre f1 e f2 levam pontos singularesem pontos singulares e orbitas periodicas em orbitas periodicas. Se h for uma conjugacaoo perodo das orbitas periodicas tambem e preservado.Demonstracao.Propriedade 52. Sejam f1U1 Rne f2 : U2 Rncampos Cre h : U1 U2 difeomor-smo de classe Cr, entao h e uma conjugacao entre f1 e f2 Dh(p)f1(p) = f2(h(p)) p U1.Demonstracao.).Sejam 1 : D1 U1 e 2 : D2 U2 os uxos de f1 e f2 respectivamente, dadosp U1 seja (t) = h(1(t, p)) I I1(p) entao e solucao de x= f2(x) com condicaoinicial (0) = h(1(0, p)) = h(p), pois derivando a funcao temos(t) = h(1(t, p)) 1(t, p) = h(1(t, p)) f1(1(t, p)) == f2(h(1(t, p))) = f2((t)) 48. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 47porem tal equacao x= f2(x) com (0) = h(p) tambem e satisfeita por 2(t, h(p)),portanto vale2(t, h(p)) = h(1(t, p))e da os campos sao conjugados , a igualdade vale por unicidade de solucoes.). Suponha que h seja uma conjugacao. Dado p U1 tem-se h(1(t, p)) = 2(t, h(p)),t Ip, derivando em relacao `a t tem-seh(1(t, p))1(t, p) = 2(t, h(p)) == Dh(1(t, p))f(1(t, p)) = f(2(t, h(p)))tomando t = 0 tem-seDh(p)f(p) = f(h(p))como queramos demonstrar.Denicao 36 (Secao transversal). Sejam f : U Rncampo de classe Cr, r 1, U Rne A Rn1abertos. Uma aplicacao g : A U de classe Crchama-se secao transversallocal de f quando a A, Dg(a)(Rn1) e f(g(a)) geram Rn. Seja = g(A) U Rncom topologia induzida. Se f : A for um homeomorsmo , diz-se que e uma secaotransversal de f.Propriedade 53. Sejam p U nao singular e {v1, , vn1, f(p)} uma base de Rn, B(0)uma bola de Rn1, para sucientemente pequeno, g : B(0) U comg(x1, , xn1) = p +n1k=1xkvke uma secao transversal de f em p.Demonstracao.Teorema 5 (Teorema do uxo tubular). Seja p um ponto nao singular de f : U Rndeclasse C2e g : A uma secao transversal local de f, g de classe Crcom g(0) = p, entaoexiste uma vizinhanca V de p em U e um difeomorsmo h : V (, ) B de classeCronde > 0 e B = B(0) e uma bola aberta em Rn1de centro na origem 0 = g1(p)tal que 49. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 481. h( V ) = {0} B2. h e uma Cr- conjugacao entre f|V e o campo constante Y : (, ) B Rn,Y = (1, 0, , 0) Rn.Demonstracao. Sejam : D U o uxo de f, F : DA = {(t, u) | (t, g(w)) D} U com F(t, u) = (t, g(u)). F aplica linhas paralelas em curvas integrais de f. Vamosmostrar que F e um difeomorsmo local em 0 = (0, 0) R Rn1, pelo teorema dafuncao inversa e suciente provar que DF(0) e um isomorsmo. Temos queD1F(0) =ddt(t, f(0))|t=0 = f((0, p)) = f(p) = 0e DjF(0) = Dj1g(0) para todo j = 2 ate j = n pois (0, g(u)) = (0, g(u)) = g(u) u A. Portanto os vetores DjF(u), j = 1 ate j = n geram Rne DF(0) e um difeomorsmopelo teorema da funcao inversa, que ainda garante a existencia de > 0 e uma bola Bem Rn1com centro em 0 tal que F|(,)B e um difeomorsmo sobre o aberto V =F((, ) B), seja h = (F|(,)B)1entao h( V ) = {0} B pois F(0, u) = g(u) u B , isto prova 1). Por outro lado h1conjuga Y e f poisDh1(t, u) Y (t, u) = DF(t, u) (1, 0, , 0) == D1F(t, u) = X((t, g(u))) = X(F(t, u)) = X(h1(t, u)) (t, u) (, ) B,logo Y e f|V sao conjugados pela condicao de conjugacao por derivada.Propriedade 54. Seja uma secao transversal de f, para todo p existe p > 0, Vvizinhanca de p em Rne T : V R de classe Cktais que T(V ) = 0 e1. q V a curva integral (t, q) de f|V e denida e biunvoca em Jq = (, +T(q), +T(q)).2. n(q) = ((T(q), q)) e o unico ponto onde (, q)|Jq intercepta a em particularq V T(q) = 0.3. n : V e de classe Cke Dn(q) e sobrejetora para todo q V mais aindaDn(q)v = 0 v = f(q) para algum R. 50. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 49Demonstracao.Denicao 37 (Ponto singular hiperbolico). Um ponto p singular de um campo f : U Rn Rnde classe Cr, r 1 e dito singular hiperbolico se Dx(p) e hiperbolico, isto e,possui todos autovalores com parte real nao nula.Denicao 38 (Indice de estabilidade de um ponto singular hiperbolico). Como na de-nicao anterior, p um ponto singular hiperbolico do campo Cr, f possui ndice de estabi-lidade s se Dx(p) possui s autovalores com parte real negativa.Propriedade 55. Se X e Y sao C2conjugados por h entao se p e singular hiperbolicode X, h(p) = q e singular hiperbolico de Y .Demonstracao.Usaremos que Y (h(p)) = Dh(p)X(p). Como P e singular de X entaoY (q) = Y (h(p)) = Dh(p)X(p) X(p)0= 0portanto q e ponto singular de Y . Temos queY (z) = Dh(h1(z))X(h1(z))da aplicando D e tomando z = q tem-seDY (q) = D[Dh(h1(q))]X(h1(q)) + Dh(h1(q))D[X(h1(q))] =onde aplicamos a regra da derivada do produto e agora aplicando a derivada da composicaosegue= D2h(h1(q))D h1(q)pX(h1(q)) + Dh(p)DX(h1(q))Dh1(q) == Dh(p)DX(h1(q))[Dh(p)]1onde usamos na ultima linha expressao de derivada do inverso.Teorema 6 (Teorema de Hartman). Seja X : U Rn Rn, U aberto, X campo vetorialde classe C1, p um ponto singular hiperbolico de X, entao existe uma vizinhanca W deP em Rne uma vizinhanca V de 0 em Rntal que X|W e topologicamente conjugado `aDx(p)|V . 51. CAPITULO 1. EQUAC OES DIFERENCIAIS ORDIN ARIAS 50Denicao 39 (Aplicacao de Poincare). Sejam yp = {(t, p), t (0, t0)} orbita periodicade perodo t0 de um campo X de classe Cr, r 1, denido em U Rnaberto, uma secaotransversal de X em p. Em virtude da continuidade do uxo de X , q proximode p a trajetoria (t, p) permanece proxima `a yp com t em um intervalo compacto prexado. (q) e o primeiro ponto em que a orbita intercepta . Temos por exemplo p e (p) = p.Dada uma vizinhanca V do ponto (t, p) obtida pelo teorema do uxo tubular, peladependencia contnua de (t, p), temos que existe 0 vizinhanca de p em tal que(t, ) V entao podemos denir 0 com (q) = n((t, q)) onde n : V com n(z) = (T(z), z) e a funcao Ckdada na proposicao corolario do Teorema do uxoTubular, entao(q) = n((t0, q)) = (T((t0, q), (t0, q))) = (t0 + T((t0, q), q))a aplicacao e Crpor ser composicao de aplicacoes Cre tambem um difeomorsmo Cr. nessas condicoes e a aplicacao de Poincare. T : V R e o tempo T(x) que leva aorbita por X em V para interceptar . Do teorema da funcao implcita T e de classe Cr.A secao e uma hiper superfcie ou uma subvariedade diferenciavel n1- dimensionalde U Rn. Pode-se supor que a variedade e um disco de um subespaco vetorial ouam de Rn. : 0 e um difeomorsmo de classe Crsobre sua imagem 1, como(t0, p) = p existe uma vizinhanca 0 de p em tal que (t0, q) V q 0Denicao 40 (Atrator periodico ou orbitalmente estavel). Uma orbita periodica yp e ditaorbitalmente estavel (ou atrator periodico)selimtd((t, q), yp) = 0 q Vyp, isto e a distancia tende a zero com o tempo para qualquer q numa vizinhanca de yp.

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