Cap. 17 - Eletromagnetismo

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ELETROMAGNETISMO I

153

17

EQUAES DE MAXWELL, POTENCIAL MAGNTICO E EQUAES DE CAMPO

A formulao completa das equaes de Maxwell s ser possvel quando estudarmos os campos eletromagnticos variveis no tempo. Por enquanto, vamos fazer uma abordagem inicial destas equaes, apenas para campos invariantes no tempo. Este captulo tem por objetivo resgatar os conceitos apresentados at o momento e formul-los de uma forma mais concisa, de modo que permita uma melhor compreenso dos fenmenos j estudados. Em seguida formularemos as equaes de Poisson e de Laplace, deduzidas a partir das equaes de Maxwell.

17.1 AS QUATRO EQUAES DE MAXWELL PARA CAMPOS ELTRICOS E MAGNTICOS ESTACIONRIOS Como pudemos observar em todo o desenvolvimento deste curso, as leis bsicas do eletromagnetismo foram formuladas por cientistas do sculo XIX, a partir da observao de fenmenos eltricos e magnticos, complementadas por pesquisas experimentais. Com o auxlio das tcnicas empregadas em clculo diferencial e integral, essas equaes receberam uma apresentao formal, mais elegante e sofisticada. Esse trabalho devido a James Clerk Maxwell, cientista ingls que deu origem a um famoso grupo de equaes conhecido por Equaes de Maxwell. As equaes de Maxwell podem ser escritas tanto na forma integral, como na forma diferencial. Na verdade, o grupo de equaes de Maxwell, na sua forma integral, nada mais do que a expresso de leis e conceitos j conhecidos e estudados de campos eltricos e magnticos. Na forma integral, para campos invariantes no tempo, j vimos que:

r r .D dS = dv (C) s v

(17.1) (17.2) (17.3)

l E dL = 0r r r r H dL = J dS (A) l S

r

r

S

B dS=0

r

r

(17.4)

A equao (17.1) a justificativa matemtica para a lei de Gauss, mostrando que o fluxo total que atravessa uma superfcie fechada corresponde carga eltrica lquida por ela envolvida. Em seguida, a equao (17.2) mostra que a integral de linha do campo eltrico esttico sobre um caminho fechado nula, numa clara expresso da lei de Kirchhoff para as malhas em circuitos eltricos em corrente contnua. Em seqncia a equao (17.3) expressa a lei circuital de Ampre onde a integral de linha do campo magntico esttico sobre um caminho fechado corresponde corrente eltrica enlaada por este percurso. Finalmente, a equao (17.4) mostra que o fluxo total do campo magntico sobre uma superfcie fechada nulo e demonstra, em um paralelo com a lei de Gauss na equao (17.1), a inexistncia de cargas magnticas. A pura aplicao dos teoremas de Stokes e da Divergncia permite que as equaes de Maxwell sejam expressas na sua forma diferencial ou pontual. Assim, pela ordem:r D = (C / m 3 )

(17.5)

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r E= 0

(17.6) (17.7) (17.8)

r r H = J (A / m 2 ) r B= 0

Utilizando as identidades e relaes vetoriais j vistas (gradiente, divergente, rotacional, teorema da divergncia, teorema de Stokes), qualquer dos conjuntos de equaes pode ser obtido, a partir do outro. A interpretao fsica dada para as equaes (17.1) e (17.5) a de que podem existir cargas eltricas isoladas e que o fluxo eltrico total que atravessa uma superfcie fechada igual carga total (lquida) por ela envolvida. A segunda dupla, ou seja, as equaes (17.2) e (17.6), nos dizem que o campo eltrico estacionrio de natureza conservativa. As equaes (17.3) e (17.7) da terceira dupla informam que a corrente total que atravessa uma superfcie aberta igual integrao do vetor intensidade de campo magntico ao longo do contorno (caminho fechado) que envolve essa superfcie. Passando ao limite, quando essa superfcie aberta tende a zero, a circulao do vetor intensidade de campo magntico nos fornece a densidade e a direo da corrente eltrica naquele ponto. Por fim, a quarta dupla, formada pelas equaes (17.4) e (17.8), de uma forma elegante mostra que no possvel a existncia de plos magnticos isolados; eles sempre ocorrem aos pares. A estas equaes adicionamos as expresses relacionando D com E e B com H (chamadas de relaes constitutivas) presentes em qualquer meio onde:r r D = E (C / m 2 ) r r B = H ( Wb / m 2 )

r

r

r

r

(17.9) (17.10)

O conjunto formado pelas equaes de Maxwell, mais essas duas ltimas relaes, constituem o cerne da teoria eletromagntica. Deve-se salientar que as equaes aqui apresentadas referem-se a campos eletrostticos e magnetostticos (no variantes com o tempo). Veremos mais tarde as equaes de Maxwell tambm so formuladas matematicamente para englobar campos eltricos e magnticos variantes no tempo.

17.2 POTENCIAL ESCALAR MAGNTICO E VETOR POTENCIAL MAGNTICO Uma das maneiras encontradas para resolver problemas de campo eletrosttico pela utilizao do potencial escalar eletrosttico V. Dada uma configurao de cargas, a intensidade de campo eltrico pode ser obtida pelo gradiente dos potenciais eletrostticos uma dada regio. Devido grande semelhana nas formulaes da eletrosttica, somos levados a perguntar se esta forma de soluo no pode ser utilizada na magnetosttica, ou seja, definir uma funo potencial escalar magntico, a partir de uma distribuio de correntes, e a partir dela determinar a intensidade de campo magntico. Esta questo pode ter uma resposta afirmativa, sob certas circunstancias. Vamos ento designar uma funo potencial escalar magntico Vm, numa analogia com a eletrosttica e definir que:

r H = Vm (A / m)

(17.11)

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O sinal negativo para o lado direito da equao 17.11 deve-se estritamente analogia com a eletrosttica. Escrevendo a Lei de Ampre na forma pontual e substituindo o vetor intensidade de campo magntico pelo gradiente negativo da funo escalar potencial magntico teremos;

r r H = ( Vm ) = J

(17.12)

As identidades vetoriais mostram que o rotacional do gradiente de qualquer funo escalar identicamente nulo. Portanto, a funo potencial escalar magntico s pode ser definida quando a r densidade de corrente no ponto em que H est sendo calculado for igual a zero. Ou seja:

r H =0

(17.13)

Como muitos problemas magnticos envolvem geometrias em que os condutores ocupam uma frao muito pequena do domnio, o potencial escalar magntico pode ser til. O potencial escalar magntico tambm aplicvel a problemas envolvendo ms permanentes. Uma diferena fundamental entre a funo potencial escalar eletrosttico e a funo potencial escalar magntico que a primeira um campo conservativo, ao passo que a segunda no o . O potencial eltrico V uma funo unvoca, ou seja, uma vez que a referncia zero seja fixada, existe um, e somente um valor de V associado a cada ponto do espao. Este no o caso de Vm. Para que Vm seja uma funo unvoca, necessrio que no somente a densidade de corrente seja nula no ponto considerado, mas tambm que a corrente envolvida pela circuitao do vetor intensidade de campo magntico na regio de interesse tambm seja nula. Por exemplo, um condutor conduzindo uma corrente eltrica apresenta uma densidade de corrente somente no seu interior, o que implica na inexistncia de linhas de corrente fora dele. No entanto, fora do condutor, a circuitao do campo magntico enlaa toda a corrente existente no condutor, mostrando que neste caso, o potencial escalar magntico no pode ser determinado de forma nica. Frente s limitaes da funo potencial escalar magntico, no eletromagnetismo moderno, onde a determinao de campos eletromagnticos feita por recursos numricos associados a mtodos computacionais, outra funo, esta denominada vetor potencial magntico, mais utilizada, podendo ser estendida a regies com densidades de corrente diferentes de zero, e campos magnticos variveis no tempo. Sabemos que as linhas de fora do campo magntico so fechadas, numa clara mostra da inexistncia de cargas magnticas. Desta forma, o fluxo magntico total que atravessa uma superfcie fechada resulta sempre nulo, ou seja, numero de linhas de campo que entram na superfcie igual ao numero de linhas que dela saem. A aplicao do teorema da divergncia faz ento com que a induo magntica resulte nula. Da:

r B= 0

(17.14)

O vetor potencial magntico (bem como a funo potencial escalar magntico) no possui nenhum significado fsico (pois, ao contrrio da eletrosttica, no existem cargas magnticas isoladas). A sua definio provm de uma lei do clculo vetorial, que afirma que o divergente do rotacional de qualquer funo vetorial nulo. r Desta forma, deve existir uma funo A tal que sua circuitao produza a densidade de fluxo magntico

r B . Assim,

r r B= AFica assegurado ento que:

(17.15)

r ( A ) = 0

(17.16)

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r A funo A conhecida como o vetor potencial magntico e sua dimenso Wb/m no Sistema Internacional de Unidades.

Embora seja possvel encontrar expresses matemticas para o vetor potencial magntico, anlogas quelas para o potencial eletrosttico, em termos de uma integral envolvendo corrente (ou densidade de corrente), elementos diferenciais de comprimento (ou de superfcie, ou de volume) e as distncias r dessas distribuies a pontos onde se deseja calcular o valor de A , no o faremos aqui. Essas expresses so de uso bastante limitado em casos voltados prtica, com solues analticas bastante complexas e at mesmo impossveis. Ao invs disso, partindo da definio do vetor potencial magntico e das leis j conhecidas do eletromagnetismo, vamos formular as equaes de campo que servem como ponto de partida para o clculo de campos eltricos e magnticos por mtodos numricocomputacionais.

17.3 EQUAES DE POISSON E DE LAPLACE 17.3.1 Para a Magnetosttica A lei de Ampre para campos eletromagnticos estticos na sua forma pontual informa que:

r r H=Jou ainda pela relao constitutiva da equao (17.10):

(17.17)

r B r = J A definio do vetor potencial magntico em (17.15) faz com que a expresso acima fique:

(17.18)

r r 1 ( A) = J

(17.19)

Consideremos que o nosso problema tenha um comportamento bidimensional, ou seja, o potencial magntico s possui a componente na direo z e s varia nas direes x e y, ou: Ax = Ay = 0 e A z z = 0 . Isso pode ser ilustrado pela figura 17.1.

y By B

Az

Bx

x Figura 17.1 Campo magntico com comportamento bidimensional. Consideremos ainda que o vetor densidade de corrente J , neste caso, s possui a componente em relao ao eixo z deste sistema cartesiano de coordenadas.

r

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Desenvolvendo os rotacionais da equao (17.19) com essas simplificaes em mente chegaremos expresso:

A A = J + x x y y

(17.20)

em que a relutividade, definida como o inverso da permeabilidade magntica do meio. Se o meio no for linear, ter dependncia sobre a induo magntica B e vice-versa. A equao (17.20) uma equao diferencial no linear, mais conhecida como funo Quase-Poisson (ou equao de Poisson no linear). Se a relao entre B e H for linear, pode ser isolado na equao (17.20), recaindo na equao de Poisson, dada abaixo.

J A A + y = = J x x y Se o meio for desprovido de correntes, a equao (17.21) se reduzir equao de Laplace: 2A 2A + =0 x2 y2

(17.21)

(17.22)

A soluo da equao (17.20), que naturalmente engloba as equaes (17.21) e (17.22), permite o conhecimento do campo magntico em qualquer ponto de um circuito magntico. Entretanto esta equao no possui uma soluo analtica conhecida. Por essa razo, a nica maneira de faz-lo atravs de mtodos numricos. 17.3.2 Para a Eletrosttica A obteno da Equao de Poisson para a eletrosttica extremamente simples. A partir da forma pontual da lei de Gauss:

r D =r Da definio de D :

(17.23)

r r D = E r

(17.24

Sabendo tambm que o campo eltrico E determinado pelo gradiente negativo dos potenciais eltricos, tem-se que:r E = V

(17.25

Substituindo (17.25) e (17.24) em (17.23) vem:

( V ) = ou:

(17.26)

2V=

(17.27)

Essa a equao de Poisson para a eletrosttica, vlida para uma regio onde a permissividade eltrica do meio constante. Expandindo-a em coordenadas cartesianas temos:2 V = 2 V 2 V 2 V + + = 2 2 2 x y z

(17.28)

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Se o meio no possuir cargas livres, ou seja, se for igual a zero, a equao (17.28) recair na equao de Laplace abaixo:2V = 2V 2V 2V + 2 + 2 =0 x 2 y z

(17.29)

Onde a operao 2 chamada de Laplaciano de V. Em coordenadas cilndricas a expresso para a equao de Laplace : 2V =1 V 1 2 V 2 V + =0 r + r r r r 2 2 z 2

(17.30)

e em coordenadas esfricas temos: 2V =1 2 V V 2V 1 1 =0 r + 2 sen + 2 2 r sen 2 r 2 r r r sen

(17.31)

Tendo em vista que a equao de Poisson considera as caractersticas condutivas e dieltricas do meio, a equao de Laplace um caso particular para um meio desprovido de cargas eltricas livres.

17.4 EXEMPLOS DE SOLUO ANALTICA DA EQUAO DE LAPLACE As equaes de campo obtidas na seo anterior so equaes diferenciais onde as solues analticas s so possveis para problemas muito simples. Os meios devem ser homogneos e lineares, bem como a geometria de tratamento bastante simples. Nesta seo apresentaremos uma maneira para se obter a soluo analtica da equao de Laplace em duas dimenses. Em coordenadas retangulares, teremos para o caso bidimensional:

2V 2V =0 + x 2 y 2

(17.32)

Esta uma equao diferencial a derivadas parciais de segunda ordem (possui derivadas de segunda ordem) e primeiro grau (no possui potncias alm da primeira). A equao (17.27) a maneira mais geral de se expressar a variao do potencial eletrosttico V em relao posio (x,y,z), no sendo especfica a nenhum problema em particular. Em outras palavras, para se resolver um problema em eletrosttica utilizando esta equao de um modo particular para cada caso, devese conhecer as condies de contorno do problema. Vamos resolver a equao (17.32), caso particular da equao (17.27), utilizando o mtodo da separao de variveis, onde assumimos que V pode ser expresso como o produto de duas funes F e G tal que:

V( x, y)= F( x ) G( y)onde: F funo apenas de x e G funo apenas de y. Tomando esta expresso do potencial e aplicando-a na equao (17.32), temos:

(17.33)

G

d 2 F(x ) dx 2

+F

d 2 G (y ) dy 2

=0

(17.34)

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ELETROMAGNETISMO I Dividindo esta equao por F(x)G(y),

159

1 d 2 F(x ) 1 d 2 G (y ) + =0 F(x ) dx 2 G (y ) dy 2

(17.35)

Tendo em vista que a soma destes dois termos resulta numa constante e que o primeiro termo independente de y e o segundo de x, cada qual ser uma constante. Ento, podemos escrever:

1 d 2 F(x ) 2 =a F(x ) dx 2ou:

(17.36)

d 2 F(x ) dxe, similarmente:2

=a 2 F(x )

(17.37)

d 2 G (y ) dy2

= a 2 G (y )

(17.38)

O problema agora consiste em achar a soluo para cada varivel separadamente (da o nome separao de variveis). A expresso dada em (17.37) mostra uma equao diferencial ordinria de 2 ordem e homognea cuja soluo geral obtida pelas razes do correspondente polinmio caracterstico. Desta forma, a soluo geral para a equao (17.37) :

F(x )= A1e ax + A 2 e axou, de maneira equivalente:

(17.39)

F(x ) =C1 cosh(ax ) + C 2senh (ax )

(17.40)

onde C1 e C2 so constantes arbitrrias, obtidas a partir das condies de contorno do problema especfico. De maneira semelhante, a soluo geral apresentada para a equao (17.38) :

G (y )= A 3e jay + A 4 e jayou,

(17.41)

G (y )=C 3 cos(ay ) + C 4sen (ay )

(17.42)

Qualquer termo em (17.39) uma soluo e a soma deles tambm uma soluo. Para verificar isso, basta substituir o valor de F da equao (17.40) na equao (17.37). Desta forma, a soluo geral da equao (17.32) fica:

V(x , y )=( A1e ax + A 2 e ax )( A 3e jay + A 4 e jay )

(17.43)

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V(x , y )= [C1 cosh(ax ) + C 2senh (ax )] [C 3 cos(ay ) + C 4sen (a

(17.44)

Assim como as constantes A1, A2, A3 e A4, ou C1, C2, C3 e C4 sero determinadas em funo das condies de contorno do problema em estudo.

Exemplo 17.1 Considere um capacitor de placas paralelas, de rea 100 cm2 e distncia entre as placas 0.01 m. Sabe-se que a placa inferior est no potencial zero e a placa superior no potencial 100 V. Utilizando a equao de Laplace, determine a distribuio de potencial entre as placas, desprezando o espraiamento das linhas de fora do campo eltrico estabelecido. Soluo: O problema pede na verdade o campo eltrico estabelecido entre as placas. Neste caso, podemos desconsiderar o efeito das bordas ou o espraiamento das linhas de campo visto que a distncia entre as placas planas muito menor do que a rea delas. Assim o nosso problema recai no clssico capacitor de placas planas paralelas e infinitas, representado pela figura 17.2 abaixo. z z1 V = 100 V

V=0 y Figura 17.2 - Capacitor de placas paralelas.

No h variao do potencial nas direes y e x, mas apenas na direo z. Portanto a equao de Laplace se reduz a:

d 2V =0 dz 2Pelo fato da segunda derivada de V em relao a z ser zero, a primeira derivada deve ser igual a uma constante. Desta forma:

dV = C1 dzou:

dV = C1dzintegrando:

dV = C1dzou:

V= C1z + C 2Utilizando agora as condies de contorno, vamos determinar as constantes C1 e C2. UNESP Naasson Pereira de Alcantara Junior Claudio Vara de Aquino

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161

Em z = 0, temos V = 0. Portanto:

0= 0 + C 2 C 2 = 0Em z = 0.01 m, temos V = 100 V. Portanto:

100 = C1 0.01 C1 =10000Introduzindo os valores de C1 e C2 na equao da soluo:

V =10 4 z (V )O campo eltrico entre as placas ser ento determinado pelo gradiente dos potenciais onde r E = V . Assim,

r E = 10 4 a zPortanto, constante e de mdulo igual a V/d, como era de se esperar.

Exemplo 17.2 Calcule a distribuio da funo potencial eletrosttico na regio interna entre dois planos radiais, isolados por um gap infinitesimal, conforme ilustrado na figura 17.3.

Figura 17.3 Dois planos radiais infinitos com ngulo interior

Soluo Para essa configurao, as superfcies equipotenciais tambm so planos radiais, e a equao de Laplace em coordenadas cilndricas se reduz a:

2V =Excluindo r = 0, teremos:

1 2V r 2 2

=0

2V 2O que d como soluo

=0

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V = A + B

As condies de contorno permitem obter A e B: Para = 0, V = 0 B = 0. Para = , V = V0 A = V0/. Portanto:V = V0 (V)

Exemplo 17.3 Calcule a distribuio da funo potencial eletrosttico na regio interna da calha retangular mostrada na figura 17.4. Soluo:

z d V=0 V=0 cFigura 17.4 Calha retangular (topo isolado). Este problema recai no caso onde os potenciais so como um produto de funes independentes, cuja soluo geral j discutimos anteriormente. O potencial uma funo de x e de z sob a forma:

V =V0

V=0 x

V = [C1 cosh (az ) + C 2 senh (az )] [C 3 cos(ax ) + C 4 sen (ax )]As condies de contorno para este problema especfico implicam em: V = 0 em x = 0, V = 0 em z = 0, Estas condies fazem nulos os termos com C2 e C4, sendo requerido ento que as constantes C1 e C3 sejam nulas para que V seja igual a zero. Por outro lado, a condio V = 0 em x = c, leva-nos a concluir que a = n/c, onde n um nmero inteiro. Tendo C1 e C3 nulos a expresso geral contm apenas o produto C2C4 que substitudo por C faz com que a expresso para o potencial torne-se:

nz nx V = C senh sen c c Como n pode ser qualquer nmero inteiro, a expresso para V deve ser escrita como sendo uma srie infinita em que:

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ELETROMAGNETISMO I nx nz V = C n senh sen c c n =1

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A condio V = V0 em z = d, permite escrever:

V0 =

C n senh n =1

nx nd sen c c

O produto formado pelos dois primeiros termos resulta numa constante e a expresso acima pode ser escrita

V0 =

b n sen n =1

nx c

Cada constante bn pode ser determinada como um coeficiente de uma srie de Fourier em seno (funo mpar) para f(x) = V0 constante onde 0 < x < c. Desta forma,bn = 2V0 2 c nx 0 f (x) sen c dx = c c

0 sen

c

nx dx c

n par 0 bn = 4V0 / n n mparDa :

Cn =A funo potencial ser ento:

4V0 1 n senh (nd / c)

p / n impar

V=

4V0 senh (nz / c) nx sen c n impar n senh ( nd / c)

17.5 SOLUO DA EQUAO DE LAPLACE POR ITERAES NUMRICAS Na seo anterior apresentamos uma soluo exata para a equao de Laplace em um problema extremamente simples, para efeitos prticos. Apesar da simplicidade da configurao analisada, a soluo analtica j se mostrou bastante complexa. Configuraes mais complexas tornam a soluo analtica extremamente difcil, e, na maioria dos casos, impossvel. por essa razo que a soluo de problemas envolvendo as equaes de Poisson e Laplace, na maioria dos casos prticos, s possvel com o uso de mtodos numricos. Mtodos numricos permitem uma soluo aproximada para o problema, de acordo com uma tolerncia pr-estabelecida. Para ilustrar a utilizao dos mtodos numricos, nesta seo vamos apresentar um mtodo bastante primitivo para a soluo numrica da equao de Laplace. Este mtodo serviu como ponto de partida para a formulao do mtodo das diferenas finitas, que em sua formulao no domnio do tempo, FDTD, largamente utilizado na soluo de problemas envolvendo campos eletromagnticos variveis no tempo. Para simplificar a variao na direo z no existe. Isso reduz o nosso problema a um problema de campo bidimensional:2 V x 2 + 2 V y 2 =0

(17.45)

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164

O primeiro termo na equao 17.45 a derivada parcial segunda de V em relao a x, isto , a taxa de variao em relao a x da taxa de variao de V em relao a x. Idem para o 2 termo, em relao a y. Vamos reescrever a equao 17.45 da seguinte maneira: V y V x = x y

(

)

(17.46)

Considere agora uma distribuio bidimensional de potenciais em torno de um ponto P, como mostrado na figura 17.5. Seja o potencial no ponto P igual a V0, e os potenciais nos quatro pontos em torno dele iguais a V1, V2 V3 e V4, conforme mostrado. Vamos agora substituir as derivadas na equao 17.46 por diferenas do tipo (V0 - V1)/x (neste caso especfico, esta a inclinao da curva de V entre os pontos P e 1). A diferena das inclinaes, dividida pela distncia incremental x aproximadamente igual a 2V/x2. A equao de Laplace pode agora ser reescrita como:

[( V2 V0 ) / x] [( V0 V1) / x]x

[( V3 V0 ) / y] [( V0 V4 ) / y]y

(17.47)

V3

3

yV1 1

x

V0 P

x

V2 2

yV4 4

figura 17.5 - Construo para encontrar o potencial em P. Fazendo x = y, teremos:V1 + V2 + V3 + V4 4 V0 0

(17.48)

ou:

1 V0 (V1 + V2 + V3 + V4 ) 4

(17.49)

Se conhecermos o potencial nos pontos 1, 2, 3 e 4, podemos calcular o potencial no ponto P de acordo com a equao 17.49. Em outras palavras, o significado fsico da equao de Laplace que o potencial em um ponto simplesmente a mdia dos potenciais dos quatro pontos que o circundam, a uma mesma distncia.

Exemplo 17.4 Considere a configurao Mostrada na figura 17.6. A placa superior est a um potencial de 40 V, e isolada. O perfil em forma de U est no potencial zero. Calcular a distribuio de potenciais para esta configurao, utilizando o mtodo de soluo repetitiva da equao de Laplace. Soluo:

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Gap

40 V

Gap

Fig 17.6 - Configurao do exemplo 17.4

0

0

0 O valor de V no centro do quadrado ser

40+0+0+0 =10 (V ) 4O potencial no gap ser a mdia aritmtica entre o potencial na placa superior e o potencial nulo:

40+ 0 =20V 220 V 40 V 20 V

0

10 V

0

0 Fig 17.7 - 1 clculo do potencial O valor do potencial no centro dos novos quadrados ser:

40+ 20+10+0 =17.5 ( V) 4

0+0+10+0 =2..5 (V ) 4Calculando novamente os potenciais nos quadrados internos teremos:

10+17.5+ 2.5+ 0 =7.5V 4

,

40+17.5+17.5+10 = 21.25V 4

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2.5+ 2.5+0+10 = 3.75V 420 V 40 V 20 V 0 17.5 17.5 0 0 20 40 40 40 20 0 17.5 21.3 17.5 0 0

0

10 V

0

7.5

10 V

7.5

2.5

2.5

0

2.5

3.8

2.5

0

0 Fig. 17.8 - 2 clculo do potencial

0

0

0

0

0

Fig. 17.9 - 3 clculo do potencial

Os clculos de potenciais podem prosseguir indefinidamente. quanto maior for o nmero de potenciais calculados por esse processo, maior ser a preciso. Finalmente, a figura 17.10 apresenta um grfico com o mapeamento dos potenciais eletrostticos. Cada linha representa um valor de potencial (30, 20, 15, 10, 5 e 2.5 V)

0

20

40

40

40

20

0

0

17.5

21.3

17.5

00 7.5 10 V 7.5

00 2.5 3.8 2.5

00 0 0 0 0

Fig. 17.10 - Mapeamento dos potenciais eletrostticos Apresentamos neste captulo dois exemplos, um com a soluo analtica da equao de Laplace, outro com uma soluo numrica. A soluo analtica das equaes de Laplace e Poisson se restringem a casos onde a geometria bastante simples, e por isso ela no muito utilizada. A soluo numrica dessas equaes bastante comum, e mtodos bastantes avanados j foram desenvolvidos. Apesar de termos realizados exemplos de eletrosttica, o mesmo procedimento realizado no caso de campos magnticos, onde as complexidades de geometria e meios magnticos no lineares so ainda maior.

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Literatura Adicional Sobre o Assunto:

Eletromagnetismo, J. A. Edminister, captulo 8. (Disponvel na Biblioteca). Eletromagnetismo, J. D. Krauss, Captulo 7. (Disponvel na Biblioteca). Eletromagnetismo, W. H. Hayt Jr, Captulo 7. (Disponvel na Biblioteca).EXERCCIOS 1) - Quatro placas de 20 cm de largura formam um quadrado, conforme indicado na figura 3. se as placas so isoladas entre si, e esto submetidas aos potenciais indicados, encontre o valor do potencial nos pontos a e b, indicados na figura. 30 V

gap = 1 mm a 5 cm

40 V 15 cm 10 cm b

20 V

5 cm 10 V figura 1 - figura do problema 1 2) - Encontre o valor do potencial V nos pontos P1 e P2 da configurao abaixo.

3 cmV=0 V = 100

9 cm P1 3 cm

P2

9 cm

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3) - Um potencial em coordenadas cilndricas funo apenas de r e , no o sendo de z. obtenha as equaes diferenciais separadas para R e , onde V = R(r)(), e resolva-as. A regio sem cargas. 4) Encontre uma expresso para V0 na figura abaixo, em funo de V1, V2, V3 e V4, sabendo que h1, h2, h3 e h4 so diferentes entre si.

V3

3 h3

V1 1

h1

V0 P h4 V4 4

h2 V2 2

5) Dado o campo potencial V(r, ) = V0 a) b) c) d)

r cos : d Mostre que satisfaz a equao de Laplace. Descreva as superfcies de potencial constante. Descreva especificamente as superfcies onde V = V0 e V = 0. Escreva a expresso para o potencial em coordenadas cartesianas.

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