Fscia 1 completo

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Fscia bsica

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1. Maria Antonieta T. de AlmeidaVolume 3 - Mdulo 3 3 edio Introduo s Cincias Fsicas 1 Apoio:Apoio: FaperjFaperj - Fundao Carlos Chagas Filho de Amparo Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro- Fundao Carlos Chagas Filho de Amparo Pesquisa do Estado do Rio de Janeiro 2. Material Didtico A447i Almeida, Maria Antonieta T. de. Introduo s cincias fsicas 1. v.3 / Maria Antonieta T. de Almeida. 3.ed. Rio de Janeiro : Fundao CECIERJ, 2006. 185p.; 21 x 29,7 cm. ISBN 85-7648-195-2 1. Movimentos. 2. Vetores. 3. Cinemtica vetorial. 4. Leis de Newton. I. Ttulo. CDD: 530.1 Referncias Bibliogrcas e catalogao na fonte, de acordo com as normas da ABNT. Copyright 2005, Fundao Cecierj / Consrcio Cederj Nenhuma parte deste material poder ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrnico, mecnico, por fotocpia e outros, sem a prvia autorizao, por escrito, da Fundao. ELABORAO DE CONTEDO Maria Antonieta T. de Almeida EDITORA Tereza Queiroz COORDENAO EDITORIAL Jane Castellani COORDENAO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL Cristine Costa Barreto COORDENAO DE LINGUAGEM Maria Anglica Alves DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISO Alexandre Rodrigues Alves Mrcia Pinheiro Nilce P. Rangel Del Rio REVISO TIPOGRFICA Equipe CEDERJ COORDENAO GRFICA Jorge Moura PROGRAMAO VISUAL Katy Arajo Vera Abreu ILUSTRAO Fbio Muniz de Moura Morvan de Araujo Neto CAPA Eduardo Bordoni Fbio Muniz de Moura EDITORAO DE FRMULAS Giuseppe Luigi Toscano PRODUO GRFICA Ana Paula Trece Pires Andrea Dias Fies Rua Visconde de Niteri, 1364 - Mangueira - Rio de Janeiro, RJ - CEP 20943-001 Tel.: (21) 2299-4565 Fax: (21) 2568-0725 Fundao Cecierj / Consrcio Cederj Vice-Presidente de Educao Superior a Distncia Presidente Celso Jos da Costa Carlos Eduardo Bielschowsky Diretor Material Didtico Carlos Eduardo Bielschowsky Coordenao do Curso de Fsica Luiz Felipe Canto 2006/2 3. Universidades Consorciadas Governo do Estado do Rio de Janeiro Secretrio de Estado de Cincia, Tecnologia e Inovao Governadora Wanderley de Souza Rosinha Garotinho UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO Reitor: Raimundo Braz Filho UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitor: Nival Nunes de Almeida UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitora: Malvina Tania Tuttman UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO Reitor: Ricardo Motta Miranda UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Reitor:Alosio Teixeira UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Reitor: Ccero Mauro Fialho Rodrigues 4. MDULO 3 As medidas experimentais e as observaes terrestres Recomeando... .........................................................................................................................9 Aula 1 A descrio do movimento Introduo ..................................................................................................................... 11 O que sei sobre partculas, trajetrias e os vetores deslocamentos? ............................... 12 Partculas e suas trajetrias ........................................................................................... 13 Referncias, observadores e sistemas de coordenadas .................................. 16 Leituras e exerccios 1 ................................................................................... 17 Vetores .......................................................................................................... 19 Exerccios 2 ................................................................................................... 31 Exerccios programados 5 .............................................................................................. 32 Gabarito ...................................................................................................................... 33 Aula 2 Os vetores e suas bases Introduo ..................................................................................................................... 37 O que sei sobre a decomposio de vetores em bases ortogonais? .............................. 38 Decomposio de vetores ............................................................................................. 39 Exerccios 3 .................................................................................................. 48 Exerccios programados 6 .............................................................................................. 50 Gabarito ...................................................................................................................... 52 Aula 3 Cinemtica vetorial Introduo .................................................................................................................... 55 O que sei sobre os vetores cinemticos e suas relaes com as trajetrias? ................. 56 Vetores cinemticos ....................................................................................................... 57 Vetor deslocamento ........................................................................................ 58 Vetor posio ................................................................................................ 59 Leituras e exerccios 4 ................................................................................... 61 Vetor velocidade ........................................................................................... 62 Vetor acelerao ........................................................................................... 67 Movimento unidimensional .......................................................................................... 70 Componentes dos vetores cinemticos ......................................................... 70 Signicado geomtrico da componente da velocidade e da acelerao no movimento unidimensional ...................................................................... 70 Problema inverso ......................................................................................................... 74 Movimento retilneo uniforme ....................................................................................... 75 Movimento retilneo uniformemente acelerado ............................................................. 76 Leituras e exerccios 5 ................................................................................................... 78 Exerccios programados 7 .............................................................................................. 79 Gabarito ...................................................................................................................... 80 Introduo s Cincias Fsicas 1 SUMRIO Volume 3 - Mdulo 3 5. Aula 4 O que muda o movimento Prtica 1 ............................................................................................................................ 83 Aula 5 Leis de Newton Introduo ...................................................................................................................... 89 O que sei sobre as leis do movimento e as foras? ...................................................... 90 Foras e suas caractersticas ......................................................................................... 91 Denio .......................................................................................................... 91 Foras de contato ............................................................................................ 92 Foras de ao a distncia ............................................................................... 95 As interaes fundamentais da Natureza ........................................................ 97 Intensidade, direo e sentido de uma fora ................................................... 98 Identicando as foras que atuam sobre corpos ............................................. 99 Leituras e exerccios 6 ................................................................................................ 100 As Leis de Newton ............................................................................................ 102 Primeira Lei de Newton ................................................................................ 102 As idias de Galileu sobre o movimento ....................................................... 103 Inrcia ........................................................................................................... 104 A Primeira Lei de Newton ............................................................................. 105 Leituras e exerccios 7 .................................................................................. 110 Segunda Lei de Newton ..................................................................................... 112 Leituras e exerccios 8 .................................................................................................118 Terceira Lei de Newton ...................................................................................... 119 Leituras e exerccios 9 ................................................................................................ 123 Exerccios programados 8 ............................................................................................124 Gabarito ....................................................................................................................126 Aula 6 Outros tipos de movimento Introduo ................................................................................................................... 135 O que sei sobre a fora gravitacional, a fora de atrito e os movimentos planos?........137 Conhecendo melhor as foras gravitacionais ...............................................................138 Conhecendo melhor a fora de atrito ..........................................................................139 Leituras e exerccios 10 ...............................................................................................141 Cinemtica do movimento de um projtil e do movimento circular ............................142 Trajetrias parablicas ..................................................................................150 Leituras e exerccios 11 ...............................................................................................152 Movimento circular ........................................................................................153 Explicando a Terceira Lei de Kepler ................................................................156 Movimento de corpos onde atuam foras impulsivas ..................................................157 Leituras e exerccios 12 ................................................................................................159 Exerccios programados 9 ............................................................................................160 Gabarito ......................................................................................................................162 6. Aula 7 A utuao dos corpos .............................................................................................169 Prtica 2 .......................................................................................................................169 E para terminar... .................................................................................................................177 Complementos Complemento 1 O centro de massa .........................................................................179 Complemento 2 Propagao de erros .......................................................................181 Complemento 3 Construo de um grco ...............................................................185 Referncias Bibliogrcas ..............................................................................................187 Agradecimentos ...................................................................................................................189 7. Recomeando... As medidas experimentais e as observaes terrestres Voc est recebendo agora o material referente ao terceiro mdulo da nossa disciplina. No Mdulo 2, tentamos entender de forma qualitativa e descritiva fenmenos associados aos corpos celestes do Sistema Solar. Aprendemos que todos os planetas giram em torno do Sol em rbitas elpticas, que a inclinao do eixo da Terra em relao sua rbita em torno do Sol a responsvel pelas estaes do ano; que as fases da Lua esto associadas ao seu movimento em torno do Terra; que as mars dependem das posies da Lua (em maior escala) e do Sol (em menor escala) em relao Terra; que o sistema solar surgiu de um colapso gravitacional de uma nuvem de gs e poeira em rotao etc. Neste mdulo, estamos interessados em descrever quantitativamente os movimentos de sistemas simples e entender as suas causas. Nele, iniciaremos o estudo da teoria denominada Mecnica da Partcula. A escolha dos conceitos relevantes para a descrio dos movimentos e o estabelecimento das leis que explicam suas causas constituem um exemplo belssimo de modelagem da Natureza construda por cientistas brilhantes como Kepler, Galileu, Newton etc. As Leis da Mecnica da Partcula foram apresentadas por Newton no seu livro Philosophiae naturalis principia mathematica. As aulas deste mdulo devem ser complementadas por leituras e exerccios dos livros de Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga: Fsica volume nico, e do Gref: Fsica 1. Este mdulo foi programado para ter durao mdia de trs semanas e meia. constitudo de sete aulas, iniciado por este texto, Recomeando...(que voc est lendo agora) e acaba no E para terminar... As aulas so: 1. A descrio dos movimentos 2. Os vetores e suas bases 3. Cinemtica vetorial 4. O que muda o movimento 5. Leis de Newton 6. Outros tipos de movimento 7. A utuao dos corpos Ao nal do mdulo, voc encontrar tambm um complemento sobre o centro de massa, outro complemento sobre incertezas experimentais e a bibliograa. 8. Nas Aulas de 1 a 3 sero introduzidos os conceitos necessrios descrio dos movimentos: referenciais, partculas, trajetrias, vetor deslocamento, vetor posio, vetor velocidade e vetor acelerao. A construo da trajetria de uma partcula a partir do conhecimento da sua posio inicial e da sua velocidade inicial ser realizada qualitativamente e de forma geomtrica. A Aula 4 um experimento que tem como nalidade mostrar que as foras so vetores. Na Aula 5 sero discutidas as causas dos movimentos e enunciadas as Leis de Newton. Elas so a base da Mecnica da Partcula. Sero apresentados alguns exemplos simples da aplicao dessas leis. Na Aula 6 sero analisados movimentos planos, com as Leis de Newton. A Terceira Lei de Kepler ser demonstrada para rbitas circulares. Os conceitos de quantidade de movimento e de fora mdia necessrios descrio de colises tambm sero apresentados A Aula 7 uma prtica que tem como nalidade discutir as caractersticas da fora empuxo e fazer medidas de massas, volumes, densidades etc. O material para os experimentos a serem utilizados no plo j est disponvel, e os tutores o conhecem bem. Os principais conceitos abordados so: referencial partcula trajetria vetor deslocamento vetor posio vetor velocidade vetor acelerao foras Para acompamhar as discusses feitas, voc precisa conhecer as idias bsicas de trigonometria e geometria, saber manipular funes trigonomtricas simples e expresses algbricas elementares. 9. A descrio do movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 1 11 A descrio do movimento Objetivo Denir alguns dos conceitos necessrios para descrever os movimentos: referenciais, trajetrias e vetores. Introduo Estamos cercados por corpos que se movimentam. A ma que cai da macieira, a Lua que gira em torno da Terra, a Terra que gira em torno do seu eixo e translada em torno do Sol etc. Descrever e descobrir as causas dos movimentos dos corpos o objetivo da Mecnica. Nesta aula deniremos alguns dos conceitos necessrios para a descrio dos movimentos. Ela composta por quatro partes: O que sei sobre partculas, trajetrias e os vetores deslocamentos? um questionrio que tem como nalidade levantar as suas idias prvias sobre o assunto. Partculas e suas trajetrias um texto que discute estes conceitos. Referncias, observadores e sistemas de coordenadas um texto que discute estes conceitos. Vetores um texto onde so discutidos os vetores e suas propriedades. Leituras e exerccios 1 so textos e exerccios sobre os conceitos tratados nesta aula, dos livros Mecnica 1 (Gref) e Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga). Bom trabalho! 10. A descrio do movimentoINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 12 O que sei sobre partculas, trajetrias e os vetores deslocamentos? As questes apresentadas a seguir tm como nalidade investigar e organizar os seus conhecimentos e idias prvias sobre partculas, trajetrias e vetores. Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostas s questes. No consulte livros ou notas de aulas, mas no deixe de respond-las. A comparao entre suas idias e conhecimentos sobre partculas, trajetrias e vetores antes e depois de trabalhar esta aula importante para o seu aprendizado. Questionrio 1 1. O que uma partcula? 2. Quando um corpo pode ser tratado como partcula? D exemplos. 3. O que a trajetria de uma partcula? 4. O que um referencial? 5. O que um observador? 6. O que so coordenadas cartesianas planas? 7. O que so coordenadas cartesianas tridimensionais? 8. Qual a denio do vetor deslocamento? 9. Qual a regra para somar vetores? 10. Qual a regra para multiplicar um vetor por um nmero real? 11. Quaisaspropriedadesdasomadevetoresedamultiplicaodeumvetor por um nmero real? 11. A descrio do movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 1 13 Todo movimento relativo, isto , depende de quem observa. A escolha do ponto de observao muito importante na descrio dos movimentos dos corpos. Por exemplo, em um parque de diverses, a carrocinha (objeto de estudo) do pipoqueiro est em repouso para a criana (observador 1) que espera pacientemente a sua pipoca, est se deslocando em linha reta para a me (observador 2) que acompanha o lho no passeio do trenzinho e est girando em alta velocidade para o adolescente (observador 3) que est no crculo da morte. Partculas e suas trajetrias Na Aula 2 do Mdulo 2 foram apresentadas as teorias de Ptolomeu e Coprnico sobre o Sistema Solar. A Teoria de Ptolomeu arma que o Sol e todos os planetas giram em torno da Terra e a Teoria de Coprnico diz que so os planetas que giram em torno do Sol. Uma pessoa com pouca cultura cientca ao ser questionada se a Terra que gira em torno do Sol ou se o Sol que gira em torno da Terra responder que o Sol que gira em torno da Terra. Todos os dias, todos observam o Sol se deslocar no cu do Leste para o Oeste. Anal de contas, a Terra que gira em torno do Sol ou o Sol que gira em torno da Terra? As duas respostas esto corretas, porque a pergunta est incompleta. Para se descrever o movimento de um corpo necessrio se denir o que (objeto de estudo) est se observando e quem (observador) est observando. Na pergunta anterior, o observador no foi especicado. Para um observador xo na Terra, o Sol que gira em torno da Terra. Todavia, para um observador xo no Sol a Terra que gira em torno do Sol. O que incorreto dizer que todos os planetas e o Sol giram em crculos em torno da Terra. Na Aula 1 do Mdulo 2, foi apresentado o argumento utilizado por Galileu para demonstrar que a rbita de Vnus em torno da Terra no podia ser circular. 12. A descrio do movimentoINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 14 Portanto, podemos concluir que a descrio de um movimento diferente para diferentes observadores, isto , todo movimento relativo a um observador. Alm disso, existem pontos de observao onde a descrio do movimento mais simples. No caso do nosso exemplo, ele mais simples para o menino que est esperando a pipoca. Por isso, quando for possvel, escolheremos o ponto de observao que permita a descrio mais simples do movimento. Dopontodevistaprtico,nemsemprepossvelanalisaromovimentodeumponto de observao onde a sua descrio a mais simples. Por exemplo, na ocasio em que foram feitos os estudos para descobrir qual era o movimento dos planetas, as observaes s eram possveis da Terra. No entanto, a descrio do movimento dos planetas mais simples com o ponto de observao no Sol. Um corpo pode ter um movimento simples, como no caso de um pequeno pedao de giz que arremessado por um estudante para atingir o seu colega de classe, ou um movimento mais complicado, como um atleta de saltos ornamentais que se encolhe aps pular de um trampolim. O giz se desloca no espao sem girar e sem se deformar e o atleta se desloca no espao girando e deformando. Figura 1 Movimento de translao. Figura 2 Movimento de translao e rotao. PARTCULA TRAJETRIA A B A B Nesta aula, deniremos os conceitos relevantes para a descrio dos movimentos de corpos que se deslocam no espao sem girar e sem deformar (Figura 1). Neste caso, o conhecimento da forma do corpo e do movimento de um dos seus pontos (por exemplo, do ponto A) permite a descrio completa do seu movimento (Figura 1). Dizemos nesse caso que o corpo pode ser tratado como uma partcula. PARTCULA um modelo utilizado na descrio do movimento de um corpo em que se supe que toda a massa do corpo est em um ponto. A linha gerada pelo deslocamento de uma partcula denominada de TRAJETRIA. A descrio do movimento de corpos que transladam e giram (Figura 2) s ser apresentada na disciplina de Fsica I. Em algumas ocasies, quando estamos interessados em descrever parcialmente o movimento de um corpo, podemos tratar sistemas que giram e deformam como partculas. A A B B 13. A descrio do movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 1 15 Ver Aula 1 do Mdulo 2. Sistema Exterior Centro de massa Leia mais detalhes sobre o centro de massa no Complemento 1. Por exemplo, na descrio da rbita da Terra em torno do Sol (ponto de observao) podemos tratar a Terra como uma partcula porque a distncia mdia da Terra ao Sol muito maior do que o raio da Terra, sendo portanto as dimenses da Terra irrelevantes para solucionar esse problema. No entanto, se quisermos analisar as estaes do ano nosso planeta no pode ser tratado como partcula. P1 O QUE UMA PARTCULA? P2 QUANDO UM CORPO PODE SER TRATADO COMO PARTCULA? D EXEMPLOS. P3 O QUE A TRAJETRIA DE UMA PARTCULA? Chamaremos, a partir de agora, o corpo ou conjunto de corpos que esto sendo observados de SISTEMA. Todo o resto do Universo ser denominado de exterior. Por exemplo, se a Terra for o nosso sistema, o EXTERIOR ser constitudo por tudo que no a Terra, por exemplo, corpos celestes, poeira csmica etc. Na realidade, possvel demonstrar que para qualquer sistema sempre existe um ponto do espao, o CENTRO DE MASSA, que ao se deslocar gera uma curva (trajetria do centro de massa) igual da trajetria de uma partcula com a massa do sistema e que sofre as mesmas aes que o exterior exerce sobre o sistema. Por exemplo, se considerarmos a Terra como uma esfera rgida o centro de massa ser o centro da esfera. Se considerarmos que somente o Sol atua sobre a Terra, isto , que as aes dos outros corpos celestes sobre ela so desprezveis, a trajetria do centro de massa ser igual trajetria de uma partcula com a massa da Terra e que sofre apenas a ao do Sol. A seguir, deniremos alguns dos conceitos necessrios para a descrio do movimento de uma partcula. 14. A descrio do movimentoINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 16 REFERENCIAL COORDENADAS CARTESIANAS PLANAS COORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS Figura 5 Referencial S. Referncias, observadores e sistemas de coordenadas SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO: par ordenado que deter- mina a distncia perpendicular a dois eixos perpendiculares. Na Figura 3 as coordenadas cartesianas do ponto A so o par ordenado (XA, YAY ). Figura 4 As coordentadas cartesianas do ponto A so XA,YA e ZA. A O X Y A AY X Z A O X Y AYA XA COORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS: conjunto ordenado com 3 nmeros que medem a distncia perpendicular de um ponto a trs eixos perpendiculares. REFERENCIAL: um corpo rgido em relao ao qual se podem especicar as coordenadas espaciais e temporais de eventos fsicos. Para se medir distncias utiliza-se uma rgua, e para medir tempos utilizam-se relgios. Um referencial S pode ser visualizado em termos bem concretos: por exemplo, trs barras rgidas denindo um sistema de eixos cartesianos, que podem ser tomados como comprimentos unitrios, para medidas das coordenadas e um relgio para medida de tempos (Figura 5). Na disciplina de Fsica I ser realizada uma discusso mais detalhada sobre esse conceito. comum representar os referenciais nas guras dos livros apenas pelo seu sistema de eixos cartesianos. essa representao grca simplicada dos referenciais que ser adotada neste mdulo. 15. A descrio do movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 1 17 OBSERVADOROBSERVADOR: um agente fsico em um referencial capaz de realizar medies. Ele pode ser uma pessoa ou aparelho programado para medir. P4 O que so COORDENADAS CARTESIANAS PLANAS? P5 O que so COORDENADAS CARTESIANAS TRIDIMENSIONAIS? P6 O que UM REFERENCIAL? P7 O que UM OBSERVADOR? Leituras e exerccios 1 Leitura Leia sobre os assuntos Conceito do movimento na seo 2.1 do Captulo 2 do livro de Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga, Fsica - volume nico. Dessa mesma seo resolva os exerccios de xao de nmeros de 1 at 6. Figura 6 Carrinho em um trilho de ar. Exerccio 1 A Figura 6 uma cpia da foto estroboscpica de carrinho que se desloca em um trilho de ar da esquerda para a direita. 1. Neste movimento, o carrinho pode ser tratado como partcula? Justique a sua resposta. 2. Escolha um dos pontos do carrinho (A) e desenhe a sua trajetria para o referencial S xo no trilho e com os eixos coordenados OXY desenhados na Figura 6. 3. Mea na Figura 6 a coordenada x do ponto A para o sistema de referncia S representado pelos eixos coordenados OXY desenhados na Figura 6. 4. Faa um grco de x versus t para o carrinho. O intervalo de tempo entre as fotograas o mesmo. Considere este intervalo como unitrio. Utilize papel milimetrado. 5. Repita os itens de 2 at 3 para o ponto A e para o referencial S xo na Terra com eixos OXY. Veja o Complemento 3 Construo de um grfico. 16. A descrio do movimentoINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 18 Exerccio 2 A Figura 7 uma cpia da foto estro- boscpica de uma esfera em queda livre. 1. Neste movimento, a esfera pode ser tratada como partcula? Justique a sua resposta. 2. Escolha um dos pontos da esfera (A) e desenhe a sua trajetria para o referencial S xo na Terra e com os eixos coordenados OXY desenhados na Figura 7. 3. Mea na Figura 7 a coordenada y do ponto A para o sistema de eixos coordenados OXY desenhado na gura. 4. Faa um grco de y versus t da esferat em funo do tempo. O intervalo de tempo entre as fotograas o mesmo. Considere este intervalo como unitrio. Utilize papel milimetrado. 5. Repita os itens de 2 at 3 para o ponto A e para o referencial S xo no trilho com eixos OXY. Figura 7 Queda livre de uma esfera. Figura 8 Esfera arremessada. Exerccio 3 A Figura 8 uma cpia da foto estroboscpica de uma esfera que foi arremessada de uma plataforma de madeira. 17. A descrio do movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 1 19 1. Neste movimento, a esfera pode ser tratada como partcula? Justique a sua resposta. 2. Escolha um dos pontos da esfera e desenhe a sua trajetria para o referencial S xo na Terra e representado pelos eixos coordenados OXY desenhados na gura 8. 3. Mea na Figura 8 as coordenadas (x,y) do ponto A para o referencial S. Faa os grcos x versus t et y versus t para a esfera. O intervalo de tempo entret as fotograas o mesmo. Considere este intervalo como unitrio. Utilize papel milimetrado. 4. Repita os itens de 2 at 3 para o ponto A e para o referencial S xo na plataforma com eixos OXY. Vetores Vetor deslocamento Iniciaremos a nossa discusso sobre vetores analisando deslocamentos entre dois pontos. A B Figura 10- O menor caminho entre dois pontos em uma superfcie esfrica. A B Figura 9 Menor caminho entre dois pontos de um plano. Em um plano, o menor caminho entre dois pontos uma linha reta. Na Figura 9 representamos o menor caminho entre os pontos A e B localizados em um plano. Em um espao curvo, o menor caminho entre dois pontos no uma reta. Por exemplo, em uma superfcie esfrica o menor caminho entre dois pontos um arco de crculo. A Figura 10 mostra o menor caminho entre os pontos A e B de uma superfcie esfrica. 18. A descrio do movimentoINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 20 pedra porto Figura 11 Terreno onde o objeto foi enterrado. O arco de crculo pode ser tratado aproximadamente como uma reta quando as suas dimenses so muito menores que o raio da esfera. A superfcie da Terra pode ser considerada aproximadamente como uma esfera com raio da ordem de 6400km. As reas das cidades terrestres so muito menores do que a rea da Terra. Por isso, podemos tratar as superfcies das cidades como planos. Nelas o menor caminho entre dois pontos uma reta. Certamente, essa uma das razes pelas quais os deslocamentos retilneos adquiriram importncia no estudo do movimento dos corpos. Vamos estudar agora as propriedades relevantes desses deslocamentos. Para entender quais as propriedades importantes de um deslocamento retilneo, vamos imaginar que, em uma gincana, a ltima tarefa da equipe consiste em encontrar um objeto que foi enterrado em um terreno com forma retangular. O terreno est completamente vazio e o seu centro foi marcado por uma pequena pedra (Figura 11). A organizao da gincana fez trs mapas sem desenhos. Os mapas s contm informaes escritas. Eles so sorteados entre as equipes e os seus contedos so: Mapa 1: a partir do centro do terreno ande um metro. Mapa 2: a partir do centro do terreno ande um metro na direo perpendicular ao porto. Mapa 3: a partir do centro do terreno ande um metro, se aproximando do porto e na direo perpendicular a ele. Quem vai encontrar o objeto primeiro? Certamente, a equipe que tem a maior chance de encontrar o objeto aquela que recebeu o mapa 3. Descrevemos a seguir os pontos indicados por cada um dos mapas. A equipe que recebeu o mapa 1 tem que procurar o objeto enterrado em todos os pontos do crculo com raio de 1m e centro na pedra (Figura 12-a). A equipe com o mapa 2 precisa procurar o objeto apenas nos pontos A e B (Figura 12-b). Aquela com o mapa 3 pode ir direto ao local em que o objeto est enterrado, que o ponto A da Figura 12-c. 19. A descrio do movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 1 21 Figura 12-a Mapa 1. A B Figura 12-b Mapa 2. A Figura 12-c Mapa 3. A 1m Figura 13 Deslocamento. A discusso anterior mostra que as informaes completas sobre um deslocamento tm que conter alm do seu tamanho (1m), a sua direo (perpendicular ao muro que contm o porto) e o seu sentido (se aproximando do porto). A gura geomtrica que contm todas essas informaes um segmento de reta orientado com comprimento de 1m (Figura 13). Para reforar que um deslocamento um segmento de reta orientado, costume represent-lo por uma letra com um segmento de reta orientado em cima, por exemplo, . Dizemos que a representao simblica de um deslocamento, e o segmento de reta orientado a representao geomtrica do deslocamento. 20. A descrio do movimentoINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 22 Consideraremos iguais os deslocamentos com a mesma direo, o mesmo mdulo (tamanho) e o mesmo sentido, independente do fato de eles serem aplicados em pontos diferentes (pontos A e B da Figura 14). Figura 14 Deslocamentos iguais. Figura 15 Deslocamentos. Figura 16 Soma de deslocamentos. Apesar de o menor caminho entre dois pontos ser uma reta, nem sempre na vida prtica possvel se deslocar em linha reta entre dois pontos. Por exemplo, o muro que cerca o terreno representado da Figura 15 impede o deslocamento retilneo de uma pessoa entre os pontos C e D. Nesse caso, o menor caminho entre os pontos C e D constitudo por dois deslocamentos retilneos. O primeiro deslocamento um segmento reta orientado que vai de C para E com tamanho e o segundo um segmento de reta orientado que vai de E para D e tem tamanho (Figura 16). Dizemos que se deslocar de C para E a seguir se deslocar de E para D equivalente a se deslocar diretamente de C para D. Na Figura 16 est representado o segmento de reta orientado associado ao deslocamento de C para D ( ). 21. A descrio do movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 1 23 Na realidade, podemos pensar que os deslocamentos foram somados, onde somar dois deslocamentos signica encontrar um deslocamento que permita sair diretamente do ponto de origem (C) at o ponto de chegada (D). Na prtica, isto signica fazer as seguintes operaes: 1. Ligar o nal do segmento de reta orientado que representa o primeiro deslocamento (parte com a seta) com o incio do segmento de reta orientado que representa o segundo deslocamento (parte sem a seta na Figura 17-a); 2. Ligar o incio do segmento de reta orientado que representa o primeiro deslocamento (parte sem a seta) com o nal do segmento de reta orientado que representa o segundo deslocamento (parte com a seta). Figura 17-b Soma de deslocamentos. Na Figura 17-b esto representados os deslocamentos sucessivos e e a sua soma, que o deslocamento . A representao simblica da operao descrita acima . Atividade 1: Transforme os quatro metros de pedreiro da sua Caixa de experimentos em segmentos de reta orientados da seguinte forma: corte trs tringulos de papelo. Cole-os em uma das extremidades do metro de pedreiro. O nal do segmento de reta orientado vai coincidir a ponta da seta. A ponta da seta deve coincidir com uma das extremidades do metro de pedreiro. O incio do segmento de reta orientado pode ser marcado com um palito. Figura 18 Metro de pedreiro transformado em segmento de reta orientado. 22. A descrio do movimentoINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 24 Atividade 2: Faa com os metros de pedreiro j transformados em segmentos de reta orientados as seguintes somas de deslocamentos: . Lembre-se de que somar deslocamentos repetir as operaes 1 e 2 denidas anteriormente e representadas nas Figuras 17-a e 17-b. Os deslocamentos esto representados na Figura 19. A unidade de medida denida pelo quadriculado da Figura 19 vale 20cm. Figura 19 Atividade 2. A Figura 20 mostra que a aplicao sucessiva dos deslocamentos e ao ponto A produz o mesmo ponto D, independentemente da ordem em que os deslocamentos ocorrem. Figura 20 Regra do paralelogramo. Podemos deslocar com at B e com at D ou com at C e at D. Isto , a soma de dois deslocamentos comutativa. A Figura 20 mostra que o desenho que descreve as somas e um paralelogramo; dizemos que os deslocamentos se somam pela regra do paralelogramo. P8 QUAIS SO AS INFORMAES NECESSRIAS PARA CARACTERIZAR COMPLETAMENTE UM deslocamento? P9 COMO SE SOMAM DOIS DESLOCAMENTOS? 23. A descrio do movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 1 25 Atividade 3: Utilize os metros de pedreiro para vericar a veracidade da regra do paralelogramo para os deslocamentos e obtidos na atividade 2 (Figura 18). Na Figura 20 est representada a soma de deslocamentos e . O deslocamento resultante foi obtido atravs da aplicao da regra da soma aos deslocamentos e , seguida da aplicao da mesma regra aos deslocamentos e . Figura 22-a Soma de deslocamentos sucessivos. Figura 22-b Soma de deslocamentos sucessivos. A observao da Figura 21 mostra que para somar deslocamentos sucessivos suciente realizar os seguinte passos: 1. Ligar o nal (parte com a seta) do deslocamento anterior com o incio (parte sem a seta) do deslocamento seguinte; 2. ligar o incio (parte sem seta) do primeiro deslocamento com o nal (parte com seta) do ltimo deslocamento. 24. A descrio do movimentoINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 26 Atividade 4: Utilize os deslocamentos representados na Figura 19 para fazer com os metros de pedreiro a soma do deslocamento com o deslocamento . Represente o deslocamento resultante (soma dos deslocamentos) com um quarto metro de pedreiro. Alm da soma de deslocamentos, existe uma outra operao com os deslocamentos que relaciona deslocamentos com a mesma direo. Produto de um Deslocamento por um Nmero Real Vetores Figura 23 Deslocamentos com a mesma direo. d1 d2 d3 Na Figura 23, observamos deslocamentos com a mesma direo e comprimentos proporcionais a 1:2:3. Os dois menores tm o mesmo sentido e o maior tem sentido contrrio a eles. Podemos represent-los da seguinte forma: Isto , podemos denir uma operao de multiplicao de um deslocamento por um nmero real da seguinte forma: Se > 0 o deslocamento tem a mesma direo do deslocamento , o mesmo sentido e mdulo . Se o deslocamento tem a mesma direo do deslocamento , o sentido contrrio ao de e mdulo . Atividade 5: Represente um deslocamento com um dos metros de pedreiro. Construa com o outro metro de pedreiro os deslocamentos P10 Qual a regra para MULTIPLICAR UM DESLOCAMENTO POR UM NMERO REAL? As grandezas que podem ser representadas por segmentos de retas orientados, que se somam pela regra do paralelogramo e tm uma operao de multiplicao por um nmero real so denominadas VETORES. A soma e a multiplicao de os nmeros reais tm as seguintes propriedades: 25. A descrio do movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 1 27 So estas propriedades que permitem uma manipulao algbrica simples dos nmeros reais. Com elas podemos inverter a ordem dos fatores na soma e na multiplicao, associar e desassociar elementos de uma soma, fatorar expresses colocando os termos comuns em evidncia, distribuir o produto sobre a soma de nmeros reais, trocar de lados elementos de uma igualdade e de uma desigualdade etc. A operao de soma e a multiplicao de um vetor por um nmero real apresentam algumas das propriedades da soma e da multiplicao dos nmeros reais. Listamos algumas destas propriedades a seguir. . A comutatividade da soma de vetores j foi demonstrada. Ela permite trocar a ordem dos vetores em uma soma. . O vetor o elemento neutro da soma de vetores. Ele um vetor com mdulo zero. . A aplicao da regra do paralelogramo aos vetores e mostra que o elemento simtrico de um vetor o vetor . -a a Figura 24-a Elemento simtrico. Soma de um vetor com o vetor simtrico do vetor dene a subtrao de vetores. Ela denotada de forma simplicada como . Para realiz-la suciente aplicar a regra do paralelogramo aos vetores e . Figura 24-b Subtrao de vetores. 26. A descrio do movimentoINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 28 Atividade 6: Utilize os deslocamentos representados na Figura 19 para fazer com os metros de pedreiro a subtrao de deslocamentos . . A propriedade de associatividade da soma de vetores facilmente observada na Figura 25. Figura 25 Associatividade da soma de vetores. As propriedades 1 e 4 permitem escrever a soma de vetores sem os parnteses, uma vez que a ordem em que os vetores so acionados no altera o resultado, isto , . . A vericao da propriedade 5 imediata, uma vez que: O vetor tem a direo do vetor e o mdulo . Se o sentido de igual ao de , e se for negativo o sentido contrrio. O vetor tem a direo do vetor , que a mesma do vetor , e mdulo . O sentido de ser igual ao sentido de se , e contrrio se . Por exemplo, suponha que e , neste caso o vetor tem o sentido contrrio ao do vetor e o vetor tem o sentido contrrio ao do vetor , sendo o seu sentido igual ao sentido do vetor . No caso em que e tem o sentido contrrio ao sentido do vetor e o vetor tem o mesmo sentido do vetor , sendo o seu sentido contrrio ao sentido do vetor . O vetor tem a direo do vetor e o mdulo igual a . O seu sentido ser igual ao sentido de se , e contrrio se . A comparao entre os mdulos, as direes e os sentidos dos vetores e mostram que eles so iguais. 27. A descrio do movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 1 29 A propriedade 6, que permite distribuir o produto de um nmero real sobre a soma de vetores, fcil de demonstrar utilizando-se propriedades de tringulos semelhantes. Vamos supor inicialmente que . Figura 27 Desigualdade triangular. Figura 26 Distribuindo o produto sobre a soma de vetores. A Figura 26 mostra o tringulo 123 construdo com vetores , e com o vetor . O tringulo 146 foi construdo prolongando-se os lados e e passando pelo ponto 4, que dista do ponto 1, uma reta paralela ao vetor . Ele semelhante ao tringulo 123, uma vez que todos os seus ngulos so iguais aos ngulos do tringulo 123. A semelhana entre os tringulos permite escrever as relaes: Por isso, o segmento de reta orientado o vetor , o segmento orientado o vetor e o segmento orientado o vetor . O tringulo 146 dene a soma dos vetores e tem como resultado o vetor , isto , . A propriedade 6 est demonstrada para . A demonstrao para anloga e no ser apresentada. P11 POR QUE OS NGULOS DO TRINGULO 123 E 146 SO IGUAIS? . A propriedade 7 uma conseqncia imediata da regra que dene a soma de vetores e das propriedades geomtricas de um tringulo. A Figura 27 mostra o tringulo construdo com os vetores , e . 28. A descrio do movimentoINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 30 Os lados de um tringulo satisfazem a desigualdade triangular, isto , |a | | b | |c | |a | + | b | na expresso anterior d origem propriedade 7. Ela mostra claramente que em geral o mdulo de uma soma de vetores menor do que a soma dos mdulos dos vetores. A igualdade s se verica se os vetores forem colineares (com a mesma direo e o mesmo sentido). P12 QUAIS AS PROPRIEDADES DA SOMA DE VETORES E DA MULTIPLICAO DE UM VETOR POR UM NMERO REAL? P13 MOSTRE QUE QUANDO DOIS VETORES SO COLINEARES O MDULO DA SOMA DOS VETORES IGUAL SOMA DOS MDULOS DOS VETORES. As propriedades demonstradas anteriormente permitem a simplicao de expresses vetoriais e a decomposio dos vetores em bases ortogonais. Essa decomposio ser apresentada na aula 2 deste mdulo. Exemplo 1. Simplique a seguinte expresso vetorial: . Soluo: As propriedades discutidas anteriormente permitem fazer as seguintes simplicaes na expresso apresentada: 3 8 56 20 56 0 45 76 0 76 45 + ( ) + +( ) = + = = a b a b a b 29. A descrio do movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 1 31 Exerccios 2 Exerccio 4 Simplique a seguinte expresso: . Exerccio 5 Na Figura 19, repetida a seguir, esto representados alguns vetores. Realize geometricamente as operaes descritas nos itens de a at e. Quais so, em cada um dos casos, o mdulo e a direo do vetor ? : Responda novamente ao questionrio 1. Nesta aula definimos alguns dos conceitos necessrios para descrever os movimentos: referenciais, trajetrias e vetores. Figura19 Exerccio 2. 30. A descrio do movimentoINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 32 Exerccios programados 5 Exerccio 1 Projete o ponto na direo da reta a seguir: Exerccio 2 Projete o ponto A na direo dos eixos OXY e encontre as coordenadas do ponto. A A Y O X O Exerccio 3 Represente os pontos alcanados por trs partculas que sofrem deslo- camentos retilneos a partir da origem indicada a seguir. a. A primeira se desloca 2cm da origem. Onde ela est? b. A segunda se desloca 2cm da origem na direo da reta representada ao lado. Onde ela est? c. A terceira se desloca 2cm da origem na direo da reta representada ao lado, de baixo para cima do papel. Onde ela est? Concluso: Para se determinar univocamente um deslocamento necessrio fornecer: _____________________, __________________________ e ___________ ____________. Exerccio 4 Assista minipalestra A descrio do movimento. Ela est disponvel no site: http://tv.ufrj.br/ladif. 31. A descrio do movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 1 33 A Reta ao longo da qual desejamos projetar o ponto A Projeo do ponto A Ay A Ax x y Gabarito Exerccio 1 Projete o ponto na direo da reta a seguir: Projetar um ponto na direo de uma dada reta traar uma reta perpen- dicular a essa reta, que passe pelo ponto que se deseja projetar. O ponto onde ocorre a interseo entre as duas retas a projeo do ponto A: Exerccio 2 Projete o ponto A da direo dos eixos OXY e encontre as coordenadas do ponto. Da mesma forma que no exerccio anterior, as projees do ponto A so obtidas traando retas perpendiculares aos eixos x e y, que passam pelo ponto A. As projees do ponto A so os pontos de interseo dessas retas com os eixos coordenados: As coordenadas do ponto A so as distncias entre a origem e as projees do ponto. Por exemplo, se o ponto projetado estiver na parte negativa do eixo a coordenada ser negativa. Se as unidades dos eixos estiverem em centmetros, basta medir com uma rgua as coordenadas do ponto: 32. A descrio do movimentoINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 34 O Ay Ax A x y O A Ay OAx x y Coordenadas do ponto A no primeiro quadrante: xA =A (1,2 0,1)cm yA =A (1,0 0,1)cm Coordenadas do ponto A no segundo quadrante: xA =A (-1,2 0,1)cm yA =A (1,0 0,1)cm Exerccio 3 Represente os pontos alcanados por trs partculas que sofrem deslo- camentos retilneos a partir da origem indicada a seguir. a. A primeira se desloca 2cm da origem. Onde ela est? Como s foi informado o tamanho do deslocamento da partcula, ela pode estar em qualquer ponto de uma circunferncia com 2 cm de raio centrada na origem: b. A segunda se desloca 2cm da origem na direo da reta representada abaixo. Onde ela est? Agora sabemos o tamanho do deslocamento e tambm a direo ao longo da qual se d esse deslocamento. Mas ainda assim a partcula pode ter se deslocado 2 cm para cima ou 2 cm para baixo. Portanto ela pode estar em dois pontos, como mostrado na gura abaixo: 33. A descrio do movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 1 35 Posio da partcula aps o deslocamento 2 cm c. A terceira se desloca 2cm da origem na direo da reta, de baixo para cima do papel. Onde ela est? Concluso: Para se determinar univocamente um deslocamento precisa-se fornecer: _____________________, __________________________ e ___________ ____________. Sabemos agora o tamanho do deslocamento (2 cm), a direo na qual se d o deslocamento (ao longo da reta desenhada) e o sentido do deslocamento (de baixo para cima). A posio nal da partcula aps o deslocamento pode ser ento representada no desenho abaixo: Portanto, para se determinar univocamente um deslocamento preciso conhecer seu mdulo (isto , seu tamanho), sua direo e seu sentido. 1. Para o referencial S Para qualquer ponto do carrinho, por exemplo, o ponto A no centro do carrinho, temos que a trajetria para o referencial S uma linha paralela ao eixo OX. Exerccio 4 Individual. O 34. Os vetores e suas bases C E D E R J MDULO 3 - AULA 2 37 Os vetores e suas bases Objetivo Representar os vetores de um plano utilizando bases ortogonais. Introduo Na Aula 1 iniciamos a discusso do movimento dos corpos. Conclumos que a escolha do ponto de observao muito importante na descrio dos movimentos dos corpos. Descrevemos o movimento de alguns corpos (carrinho em um trilho de ar, esferas etc.) tratando-os como partculas. Falamos sobre trajetrias e deslocamentos. Nesta aula vamos denir os conceitos do vetor posio. Sero discutidas tambm a decomposio de vetores em bases ortogonais. Esta aula composta por trs partes: O que sei sobre a decomposio de vetores em bases ortogonais? um questionrio que tem como nalidade levantar as suas idias prvias sobre estes assuntos. Decomposio de vetores em bases ortogonais um texto no qual o assunto discutido. Exerccios 3 so exerccios propostos sobre vetores. 35. Os vetores e suas basesINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 38 O que sei sobre a decomposio de vetores em bases ortogonais? As questes apresentadas a seguir tm como nalidade investigar e organizar os seus conhecimentos e idias prvias sobre a decomposio de vetores em bases ortogonais. Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostas s questes. No consulte livros ou notas de aulas, mas no deixe de respond- las. A comparao entre suas idias e conhecimentos sobre a decomposio de vetores em bases ortogonais e o vetor posio antes e depois de trabalhar esta aula importante para o seu aprendizado. Questionrio 2 1.O que um vetor unitrio? 2.Como se projeta um vetor na direo de um vetor unitrio ? D exemplos. 3.O que uma base de vetores ortogonais? D exemplos. 4.O que so componentes de um vetor em uma base ortogonal? D exemplos. 5.Enuncie a regra para somar vetores utilizando as suas componentes. 36. Os vetores e suas bases C E D E R J MDULO 3 - AULA 2 39 Decomposio de vetores Projeo de vetores As regras para somar vetores e multiplicar vetores por nmeros reais apresentadas na aula 1 so geomtricas. Elas tm o inconveniente de dependerem da qualidade dos desenhos elaborados. Nesta aula, vamos transformar essas regras em soma e multiplicao de nmeros reais. Com esta nalidade vamos representar os vetores em bases apropriadas. Tal representao aparece naturalmente quando tentamos responder s seguintes perguntas: 1. Quantos vetores existem em um plano? 2. Ser que eles esto relacionados? O nmero de vetores em um plano innito. Todavia, eles esto relacionados. Mostraremos a seguir que qualquer vetor de um plano pode ser representado como a combinao linear de dois vetores com direes diferentes. Na Figura 28, vemos que o vetor pode ser escrito como a soma de dois vetores paralelos aos vetores e , isto , O vetor tem a mesma direo do vetor e o vetor tem a mesma direo do vetor . Portanto, podemos escrever e . Conseqentemente, temos que d2 + d3 . Dizemos que a projeo do vetor na direo do vetor e que a projeo do vetor na direo do vetor . A soma d2 + d3 denominada combinao linear dos vetores e . Figura 28 Decomposio de vetores em uma base oblqua. d1 d2 d12 d3 d13 Por uma questo de simplicidade, escolhe-se representar todos os vetores de um plano em termos de dois vetores unitrios perpendiculares. Vetores unitrios so aqueles que tm mdulo um. So representados por uma letra com um acento circunexo em cima, por exemplo, . Dizemos, nesse caso, que os vetores unitrios formam uma base ortogonal para os vetores do plano. Os vetores unitrios mais utilizados so aqueles que tm a direo e o sentido dos eixos. No caso dos eixos OX e OY eles so denominados comumente por e . BASE DE VETORES ORTOGONAIS 37. Os vetores e suas basesINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 40 componentes de um vetor projeo de um vetor O OX X YY ^ ^ ^ ^ d1y d1 d1x d2 d2x d2y Na Figura 29 esto representados o vetor , as bases e e as projees do vetor na base escolhida. A projeo do vetor na direo do unitrio foi denominada e aquela na direo do unitrio por . d1 d1y d1x ^ ^ Figura 29 Decomposio de vetores em uma base ortogonal. As projees e podem ser escritas da seguinte forma: ; , onde o nmero que deve multiplicar a base para obter o vetor projetado na direo do unitrio e , o nmero por que se deve multiplicar a base para obter . Os nmeros e so denominados componentes do vetor nas direes dos vetores unitrios e . Na Figura 30, observamos que as componentes , e dos vetores e so positivas e que a componente negativa. A componente negativa porque para se obter o vetor projetado a partir do vetor unitrio necessrio multiplic-lo por um nmero negativo, uma vez que o sentido de contrrio ao sentido de . Figura 30 Sinais das componentes dos vetores. P1 O que um VETOR UNITRIO? P2 Como se projeta um VETOR NA DIREO DE UM VETOR UNITRIO ? D EXEMPLOS. P3 O que uma BASE DE VETORES ORTOGONAIS? D EXEMPLOS. P4 O que so componentes de um vetor EM UMA BASE ORTOGONAL? D EXEMPLOS. 38. Os vetores e suas bases C E D E R J MDULO 3 - AULA 2 41 45 Y O S X A B ^ ^ Figura 32-a - Vetor deslocamento do carro. Exemplo 1: A gura 31 mostra um carro que parte do ponto A e se desloca at um ponto B que dista 80km de A. A reta que une os pontos A e B faz um ngulo de 45o com o eixo OX . a. Desenhe o vetor deslocamento do carro. b. Desenhe os vetores projetados e . c. Calcule as componentes e do vetor deslocamento do carro nas direes dos vetores unitrios e . d. Escreva os vetores projetados e em funo dos vetores unitrios e . Figura 31 Um carro que se desloca 80km na direo Nordeste. Resoluo: a. O vetor deslocamento do carro vai de A at B e est desenhado na Figura 32-a. b. Para projetar o vetor deslocamento na direo do vetor unitrio , necessrio levantar duas retas perpendiculares direo do vetor unitrio , a partir do eixo OX , e que passem pelo incio e pelo nal de (Figura 32b). O vetor projetado aquele que tem a direo do vetor unitrio , e o mdulo igual distncia entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor (Figura 32 b). 39. Os vetores e suas basesINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 42 Para projetar o vetor deslocamento na direo do vetor unitrio necessrio levantar duas retas perpendiculares direo do vetor unitrio a partir do eixo OY que passem pelo incio e pelo nal de (Figura 32- b). O vetor projetado aquele que tem a direo do vetor unitrio , e o mdulo igual distncia entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor (Figura 32-b). Figura 32-b Decomposio do vetor deslocamento. c. A componente o nmero pelo qual se deve multiplicar o vetor unitrio para se obter o vetor projetado . O mdulo da componente igual ao mdulo do vetor projetado. O mdulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que . Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitrio , a componente positiva e igual a . A componente o nmero pelo qual se deve multiplicar o vetor unitrio para se obter o vetor projetado . O mdulo da componente igual ao mdulo do vetor projetado. O mdulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que . Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitrio , a componente positiva e igual a . d. Os vetores projetados escritos em funo dos unitrios e so: dx = 40 2 (km) e dy = 40 2 (km) 40. Os vetores e suas bases C E D E R J MDULO 3 - AULA 2 43 Resoluo: a. O vetor deslocamento do carro vai de A at B e est desenhado na Figura 34 a. 45 d A B 135 S Y O ^ ^ Figura 34-a Vetor deslocamdno do carro. Exemplo 2: A gura 33 mostra um carro que parte do ponto A e se desloca at um ponto B que dista 80km de A. A reta que une os pontos A e B faz um ngulo de 135o com o eixo OX. Desenhe o vetor deslocamento do carro. a. Desenhe os vetores projetados e . b. Calcule as componentes e do vetor deslocamento do carro nas direes dos vetores unitrios associados aos eixos representados na gura 33. c. Escreva os vetores projetados e em funo dos vetores unitrios e . Figura 33 Exemplo 3. b. Para projetar o vetor deslocamento na direo do vetor unitrio necessrio levantar duas retas perpendiculares direo do vetor unitrio a partir do eixo OX que passem pelo incio e pelo nal de (Figura 34-b). O vetor projetad aquele que tem a direo do vetor unitrio , com o mdulo igual distncia entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor (Figura 34-b). 41. Os vetores e suas basesINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 44 c. A componente o nmero pelo qual se deve multiplicar o vetor unitrio para se obter o vetor projetado . O mdulo da componente mdulo do vetor projetado. O mdulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que . Como o vetor tem o sentido contrrio ao do vetor unitrio a componente negativa e igual a . A componente o nmero pelo qual se deve multiplicar o vetor unitrio para se obter o vetor projetado . O mdulo da componente igual ao mdulo do vetor projetado. O mdulo da componente pode ser calculado por trigonometria, uma vez que . Como o vetor tem o mesmo sentido do vetor unitrio , a componente positiva e igual a +40 2 km. d. Os vetores projetados escritos em funo dos unitrios e so: e 45 d A B 135 S Y O ^ ^ dy dx Para projetar o vetor deslocamento na direo do vetor unitrio necessrio levantar duas retas perpendiculares direo do vetor unitrio a partir do eixo OY que passem pelo incio e pelo nal de (Figura 34-b). O vetor projetado aquele tem a direo do vetor unitrio , com o mdulo igual distncia entre as retas que o projetaram e o sentido do vetor (Figura 34-b). Figura 34-b Decomposio do vetor deslocamento. 42. Os vetores e suas bases C E D E R J MDULO 3 - AULA 2 45 Representao polar de um vetor em um plano. Os exemplos 2 e 3 mostram que possvel caracterizar completamente um vetor em um plano fornecendo-se ou as suas componentes e ou o seu mdulo (tamanho) e ngulo medido no sentido anti-horrio a partir da direo do eixo OX (e a sua direo e sentido). A representao de um vetor que utiliza o seu mdulo e o ngulo que ele forma com o eixo OX denominada polar, e aquela que utiliza as componentes nas direes dos unitrios dos eixos denominada cartesiana. A relao entre estas duas representaes de vetores pode ser deduzida facilmente da Figura 35. S Y O ^ ^ B d dy dx Y O ^ ^ ax ay bx cx cy by a b c Figura 36 Componentes de uma soma de vetores. Figura 35 Representaes polar e cartesiana de um vetor. Se so conhecidos e , possvel obter e com as seguintes relaes: Quando so conhecidos e , possvel obter e com as seguinte relaes: A Figura 36 mostra que as componentes da soma de dois vetores so iguais soma das componentes, isto , se e . P5 ENUNCIE A REGRA PARA SOMAR VETORES UTILIZANDO AS SUAS COMPONENTES. 43. Os vetores e suas basesINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 46 Exemplo 3: Um carro se desloca 80km entre os pontos A e B e a seguir 40km entre os pontos B e C (Figura 37). Os deslocamentos so retilneos. A reta que une os pontos A e B tem a direo leste-oeste e aquela que une os pontos B e C forma um ngulo de 30o com a direo leste-oeste. A B 30o C d1 d2 d3 Y S XO ^ ^ Figura 38-a Vetor deslocamento resultante do carro. Figura 37 Exemplo 4 a. Desenhe os vetores deslocamento entre os pontos A e B , entre os pontos B e C e entre os pontos A e C . b. Encontre as componentes dos vetores e na direo dos eixos OXY desenhados na Figura 37. c. Encontre as componentes do vetor na direo dos vetores unitrios e desenhados na Figura 37. Expresse o vetor em termos dos vetores unitrios. d. Encontre o mdulo do deslocamento e o ngulo que ele faz com o eixo OX. Resoluo: a. Os vetores deslocamentos , e esto representados na Figura 38-a. b. A gura 38-b mostra que o vetor projetado igual ao vetor . O vetor projetado nulo porque as duas retas perpendiculares ao vetor unitrio que projetam o vetor neste eixo coincidem. Por isso, as componentes do vetor so: 44. Os vetores e suas bases C E D E R J MDULO 3 - AULA 2 47 Na Figura 38-b, esto representados os vetores e . Os mdulos das componentes do vetor so: e . As componentes e so positivas, uma vez que os vetores projetados e tm os mesmos sentidos dos vetores unitrios e . Portanto, temos: . c. As componentes do vetor deslocamento so: d3x = d1x + d2x = (80 + 20 3) km = 115 km e . Portanto, temos . d. O mdulo do vetor O ngulo que o vetor faz com o eixo OX pode ser obtido da seguinte forma: . A decomposio de vetores do espao tridimensional requer trs bases. Uma das bases mais utilizadas aquela que utiliza os vetores unitrios , e nas direes dos eixos OX, OY e OZ. A Figura 39 mostra as projees do vetor nas direes desses unitrios. Figura 39 Base tridimensional. A B 30 o C d2 d3 Y S XO ^ ^ d1 d1x = d2y d2x Figura 38-b Decomposio do vetor deslocamento resultante. Nessa base, o vetor representado por , onde , e so as componentes do vetor. 45. Os vetores e suas basesINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 48 P18 VERIFIQUE A VERACIDADE DA DECOMPOSIO ANTERIOR. Existem grandezas que tm mdulo, direo e sentido e no so vetores. Por exemplo, as rotaes em torno de um eixo. Toda rotao tem um eixo de rotao, um ngulo de rotao e um sentido (horrio ou anti-horrio). No entanto, voc aprender na disciplina Fsica I que duas rotaes no se somam segundo a regra do paralelogramo. Vrias grandezas fsicas so vetores. Na aula 3 alguns desses vetores sero discutidos. Exerccios 3 Exerccio 6 Na Figura 19 repetida a seguir esto representados alguns vetores. Calcule componentes dos seguintes vetores: Considere o tamanho do quadriculado como unidade. 46. Os vetores e suas bases C E D E R J MDULO 3 - AULA 2 49 Exerccio 7 Uma motocicleta se desloca 40km para o Norte, 60km na direo Nordeste e 20km na direo Oeste. a. Desenhe os vetores deslocamentos da motocicleta. No esquea de desenhar o deslocamento resultante. b. Represente todos os deslocamentos utilizando os seguintes vetores unitrios: vetor unitrio que tem direo Leste-Oeste e aponta para o Leste ( ) ; vetor unitrio que tem direo Norte-Sul e aponta para o Norte ( ) . c. Calcule o mdulo do deslocamento resultante e o ngulo que ele faz com a direo Leste-Oeste. Questionrio: Responda novamente ao questionrio 2. 47. Os vetores e suas basesINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 50 Exerccios programados 6 Exerccio 1 1. Projete as retas AB, CD e EF representadas na Figura 1, na direo do eixo OX. Com uma rgua mea o tamanho da reta projetada; Projete as retas AB, CD e EF na direo do eixo OY. Com uma rgua, mea o tamanho da reta projetada. Y A B C D F E X Exerccio 2 1. Projete os vetores d d d1 2 3, e representados na Figura 2, na direo do eixo OX. Desenhe os vetores projetados na direo OX. Mea com uma rgua os mdulos desses vetores projetados. 2. Projete os vetores d d d1 2 3, e representados na Figura 2, na direo do eixo OY. Desenhe os vetores projetados na direo OY. Mea com uma rgua os mdulos desses vetores projetados. Figura 1 Y A B C D F E X d1 d2 d3 Figura 2 48. Os vetores e suas bases C E D E R J MDULO 3 - AULA 2 51 Exerccio 3 Utilize os mdulos dos vetores projetados medidos no exerccio 2 para responder s seguintes perguntas: 1. Escreva as componentes ( d d dx x x1 2 3, e ) e ( d d dy y y1 2 3, e ) dos vetores d d d1 2 3, e representados na Figura 3. Escreva os vetores projetados ( d d dx x x1 2 3, e ) e ( d d dy y y1 2 3, e ) como mltiplos dos vetores unitrios representados na Figura 3. Y A B C D F E X d1 d3 Figura 3 d2 Exerccio 4 Assista minipalestra Vetores e suas bases. Ela est disponvel no site: http://tv.ufrj.br/ladif, ou voc pode copiar o CD disponvel no seu plo. 49. Os vetores e suas basesINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 52 Gabarito Exerccio 1 Projete as retas AB, CD e EF representadas na Figura 1, na direo do eixo OX. Com uma rgua mea o tamanho da reta projetada. Y 1,0 cm 1,4 cm 1,4 cm 2,0 cm X E F D C BA Projete as retas AB, CD e EF na direo do eixo OY. Com uma rgua mea o tamanho da reta projetada. As linhas pontilhadas delimitam o tamanho das projees sobre os eixos OX e OY de cada um dos segmentos de reta. O tamanho da projeo da reta AB no eixo OX :( 1,4 0,1) cm O tamanho da projeo da reta AB no eixo OY : (0,0 0,1) cm (ponto) O tamanho da projeo da reta CD no eixo OX :( 2,0 0,1) cm O tamanho da projeo da reta CD no eixo OY : (1,0 0,1) cm O tamanho da projeo da reta EF no eixo OY : (1,4 0,1) cm O tamanho da projeo da reta EF no eixo OX :( 0,0( 0,1) cm (ponto) Exerccio 2 1. Projete os vetores d d d1 2 3, e representados na Figura 2, na direo do eixo OX. Desenhe os vetores projetados na direo OX. 2. Projete os vetores d d d1 2 3, e representados na Figura 2, na direo do eixo OY. Desenhe os vetores projetados na direo OY. Denominaremos d d dx x x1 2 3, e as projees dos vetores d d d1 2 3, e na direo OX. Denominaremos d d dy y y1 2 3, e as projees dos vetores d d d1 2 3, e na direo OY. 50. Os vetores e suas bases C E D E R J MDULO 3 - AULA 2 53 Y X E F D BA C d1 d x1 d2 d x2 1. Vetor d3 projetado em OY Vetor d2 projetado em OY d1d d3 d y3 d y1 0= Y X E F D BA C 2. d y2 d2 Exerccio 3 1. Escreva as componentes ( d d dx x x1 2 3, e ) e ( d d dy y y1 2 3, e ) dos vetores d d d1 2 3, e representados na Figura 3. As componentes dos vetores d1 so: d1x =( 1,4 0,1)cm d1y = (0,0 0,1)cm As componentes dos vetores d2 so: d2x =( 2,0 0,1)cm d2y = (1,0 0,1)cm d x3 0= d3 51. Os vetores e suas basesINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 54 As componentes dos vetores d3 so: d3x = (0,0 0,1)cm d3y =( -1,4 0,1)cm 2. Escreva os vetores projetados ( d d dx x x1 2 3, e ) e ( d d dy y y1 2 3, e ) como mltiplos dos vetores unitrios representados na gura 3. Os vetores projetados, escritos como mltiplos dos vetores unitrios, so obtidos multiplicando-se as componentes pelos vetores unitrios correspondente aos eixos. d cm d cm d cm d x y x y 1 1 2 2 1 4 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 0 = = = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , = 0 1 1 4 0 13 3 , ) ( , , ) cm d c= 0 00 03 (00 )11 m d cmx yd3 Exerccio 4 Individual. 52. Cinemtica vetorial 5555 C E D E R J MDULO 3 - AULA 3 55 Cinemtica vetorial Objetivos Denir os vetores posio, velocidade e acelerao de uma partcula e entender as suas relaes com a trajetria da partcula. Introduo Nas Aulas 1 e 2 estudamos os vetores deslocamento. Nesta aula vamos denir novos vetores cinemticos (vetor posio, vetor velocidade e vetor acelerao de uma partcula) e entender suas relaes com a trajetria da partcula. Esta aula composta por quatro partes: O que sei sobre os vetores cinemticos e as suas relaes com a trajetria? um questionrio que tem como nalidade levantar suas idias prvias sobre estes assuntos. Vetores cinemticos um texto onde esse tema discutido. Movimento unidimensional um texto onde o assunto discutido. Leituraseexerccios4renetextoseexercciossobreasgrandezascinemticas (vetor posio, vetor velocidade e vetor acelerao) dos livros Mecnica 1 (Gref) e Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga). 53. Cinemtica vetorial 5656 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 56 O que sei sobre os vetores cinemticos e as relaes com as trajetrias? As questes apresentadas a seguir tm como nalidade investigar e organizar os seus conhecimentos sobre os vetores cinemticos e as suas relaes com a trajetria. Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostas s questes. No consulte livros ou notas de aulas, mas no deixe de respond-las. A comparao entre suas idias e conhecimentos sobre os vetores cinemticos e suas relaes com a trajetria, antes e depois de trabalhar esta aula, importante para o seu aprendizado. Questionrio 3 1. O que o vetor posio? 2. O que o vetor velocidade mdia? 3. O que o vetor velocidade instantnea? 4. O que o vetor acelerao mdia? 5. O que o vetor acelerao instantnea? 6. Mostre gracamente como possvel obter o vetor posio em um instante qualquer de tempo quando se conhece a posio inicial da partcula e a sua velocidade instantnea em qualquer instante do tempo. 7. Mostre gracamente como possvel obter o vetor velocidade em um instante qualquer de tempo quando se conhece a velocidade inicial da partcula e sua acelerao instantnea em qualquer instante do tempo. 8. Quais as equaes horrias da posio, da velocidade e da acelerao de uma partcula que est se deslocando em um movimento retilneo uniforme sobre o eixo OX? 9. Quais as equaes horrias da posio, da velocidade e dae acelerao de uma partcula que est se deslocando em um movimento retilneo uniformemente acelerado sobre o eixo OX? 54. Cinemtica vetorial 5757 C E D E R J MDULO 3 - AULA 3 57 Introduo A trajetria de uma partcula uma curva no espao. J vimos que possvel representar a trajetria de uma partcula fornecendo as coordenadas cartesianas dos seus pontos. Por exemplo, na gura 40 a reta AB representa a trajetria de um carro no sistema de referncia S xo Terra. Figura 40 Equao da trajetria no sistema de eixos coordenados OXY: y=0. No sistema de coordenadas OXY, a equao da trajetria do carro y=0. Por outro lado, se tivssemos utilizado um outro sistema de referncia S xo na Terra com o sistema de eixos coordenados O`X`Y` a equao seria diferente, isto , y=x/ 2 (ver Figura 41). Y O S X carro B 1m 2m Y A X Figura 41 Equao da trajetria do carro no sistema de referncia S com os eixos de coordenadas OXY: y=x/ 2 . Visivelmente, a forma da trajetria de uma partcula no depende do sistema de eixos coordenados escolhidos. Ser que existe uma outra representao para a trajetria mais essencial, isto , uma que no dependa do sistema de eixos coordenados? Existe, a representao vetorial da trajetria, que ser estudada a seguir. 55. Cinemtica vetorial 5858 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 58 Vetor deslocamento Na aula 1 aprendemos o vetor deslocamento. O vetor deslocamento no coincide com a trajetria da partcula (ver Figura 42). Figura 44 Poligonal construda com vrios pequenos deslocamentos sucessivos entre os pontos A e B. Figura 43 Vetor deslocamento entre os pontos A e B associado a duas trajetrias C1 e C2 diferentes. Figura 42 Vetor deslocamento. O d1 Existem vrias trajetrias possveis entre as extremidades do vetor deslocamento. Um grande nmero de vetores deslocamento sucessivos entre os pontos A e B fornece uma linha poligonal que parecida com a trajetria (ver Figura 44). Conseqentemente, fcil concluir que qualquer trajetria pode ser aproximada por um nmero muito grande de vetores deslocamento sucessivos. 56. Cinemtica vetorial 5959 C E D E R J MDULO 3 - AULA 3 59 Vetor posio Podemos caracterizar a trajetria de uma partcula utilizando o vetor posio. O vetor posio de um ponto o vetor deslocamento da origem O at o ponto (ver gura 45-a). vetor posio Figura 45-a Vetor posio. P1 O que o VETOR POSIO? A trajetria ca completamente denida quando se conhece o vetor posio da partcula em todos os instantes do tempo. Quando o movimento ocorre no plano, podemos expressar o vetor posio em funo dos vetores unitrios e associados ao sistema de eixos coordenados OXY. A gura 45-b mostra que as componentes e do vetor posio coincidem com as coordenadas e do ponto onde a partcula se encontra, isto , e . A rA X Y yA xA O ^ ^ Figura 45-b Vetor posio do ponto A. Por isso comum se representar o vetor posio da seguinte forma: r = x + y. 57. Cinemtica vetorial 6060 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 60 Exemplo 1: Um carro se desloca 80km entre os pontos A e B e a seguir 40km entre os pontos B e C (veja Figura 45-c). Os deslocamentos so retilneos. A reta que une os pontos A e B tem a direo Leste-Oeste e aquela que une os pontos B e C forma um ngulo de 30o com a direo LesteOeste. Escreva o vetor posio do carro associado aos pontos A, B e C em funo dos vetores unitrios e . As coordenadas do ponto A no sistema de eixos coordenados OXY so e . Resoluo: Figura 45-c Exemplo 1. A Figura 45-d mostra os vetores posio dos pontos A, B e C. As coordenadas dos pontos B so e . Figura 45-d Vetor deslocamento resultante. Figura 45-e Vetor deslocamento . 58. Cinemtica vetorial 6161 C E D E R J MDULO 3 - AULA 3 61 O tringulo BC1 da Figura 45-e mostra que: cos (300) = B1 BC B1 = 40 3 2 = 20 3 km = 35 km sen(300) = C1 BC C1 = 40 1 2 = 20 km. Por isso, as coordenadas do ponto C so xC = 16 + 80 + 35 = 131 km e yC = 16 + 20 = 36 km. Conseqentemente, os vetores posio dos pontos A, B e C so respectivamente iguais a O vetor posio associado trajetria do carro (Figuras 40 e 41) , onde s(t) a distncia do carro at a origem O e o vetor unitrio (mdulo 1) na direo da reta que dene a trajetria (ver Figura 46). O s(t) r(t) Esta representao a mesma para os sistemas de eixos coordenados OXY e OXY. Podemos concluir ento que a representao vetorial da trajetria de uma partcula mais essencial do que a representao em coordenadas. Leituras e exerccios 4 Leia sobre os assuntos Posio, Deslocamento nas sees 4.4 e 4.6 do texto Fsica I-Mecnica do Gref.ff Faa os exerccios propostos. Figura 46 Representao da trajetria do carro com o vetor posio 59. Cinemtica vetorial 6262 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 62 VELOCIDADE MDIA Vetor velocidade Na vida prtica importante conhecer os deslocamentos associados a um corpo e a rapidez com que esses deslocamentos ocorrem. Por exemplo, comum se dizer que algum se deslocou do Rio para So Paulo em seis horas. A grandeza que est associada rapidez com que um deslocamento ocorre a velocidade. O vetor velocidade mdia denido da seguinte forma: v m(t1, t2) = d (t2 t1) = d (t) . A velocidade mdia um vetor porque o resultado da multiplicao do vetor deslocamento pelo nmero real positivo . Ela tem a direo do deslocamento, isto , a direo da reta secante trajetria. Na Figura 47 esto representados o vetor deslocamento da partcula entre os instantes t1 t2 e o vetor velocidade mdia entre esses instantes. Figura 47 Vetores deslocamento e velocidade mdia. A gura 47 mostra que o vetor deslocamento a diferena entre os vetores posio nos instantes t1 e t2 , uma vez que r (t2) = r (t1) + d d = r (t2) r (t1) vetor deslocamento entre os pontos A e B. O vetor deslocamento dado por d1 = 80 (km). A diferena entre os vetores posio dos pontos A e B . Portanto, o vetor deslocamento do ponto A para o ponto B a diferena entre os vetores posio dos pontos B e A. habitual denominar o vetor deslocamento por No adotaremos essa notao nesta aula para no sobrecarregar as expresses. 60. Cinemtica vetorial 6363 C E D E R J MDULO 3 - AULA 3 63 P2 O QUE O VETOR VELOCIDADE MDIA? Exemplo 2: O carro do Exemplo 1 parte do ponto A e leva uma hora para se deslocar do ponto A at o ponto B e meia hora para se deslocar do ponto B at o ponto C. Calcule o vetor velocidade mdia do carro associada ao deslocamento de A at C. Resoluo: A velocidade mdia . O conhecimento da velocidade mdia entre dois instantes permite calcular o deslocamento entre esses instantes, isto , d = v m(t1, t2)(t2 t1). A velocidade mdia associada a intervalos de tempo pequenos conduz ao conceito de velocidade instantnea. Os matemticos tm uma operao que se adapta perfeitamente denio de velocidade instantnea, a operao de limite. Na Figura 48 est representada gracamente a operao matemtica de limite utilizada na denio da velocidade instantnea. Velocidade Instantnea Figura 48 Representao grfica do processo limite aplicado velocidade mdia. 61. Cinemtica vetorial 6464 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 64 medida que o intervalo de tempo diminui, a velocidade mdia se aproxima da velocidade instantnea. A velocidade mdia est mais prxima da velocidade instantnea que a velocidade mdia . Portanto, podemos dizer que quanto menor o intervalo de tempo melhor ser a seguinte aproximao: v m(t1, t1 + t) = v (t1). . A Figura 48 mostra que, medida que o intervalo de tempo diminui, a direo da velocidade mdia se aproxima da direo da reta tangente trajetria. Conseqentemente, podemos intuir que a direo da velocidade instantnea igual direo da reta tangente trajetria. P3 O que o vetor VELOCIDADE INSTANTNEA? A trajetria de uma partcula ca completamente determinada quando se conhece o vetor posio em todos os instantes de tempo. A Figura 49 mostra que, se conhecermos o vetor posio em um instante e o vetor deslocamento entre os instantes e , possvel obter o vetor posio em um instante . Figura 49 Soma do vetor posio com o vetor deslocamento. Quando o intervalo de tempo pequeno, o vetor deslocamento d = v m(t0, t0 + t) t pode ser obtido de forma aproximada com o vetor velocidade instantnea, isto , Exemplo 3: A Figura 50 mostra o vetor posio e o vetor velocidade instantnea de uma partcula no tempo t=1s. Desenhe o vetor posio aproximado no instante de tempo t=1,1s . 62. Cinemtica vetorial 6565 C E D E R J MDULO 3 - AULA 3 65 a velocidade instantnea so muito diferentes e a aproximao empregada anteriormente para se calcular o vetor deslocamento no pode ser utilizada. Neste caso, necessrio obter o vetor deslocamento , somando-se deslocamentos sucessivos (ver Figura 52, com n=6) associados a n intervalos de tempo pequenos . Resoluo: O vetor deslocamento associado ao intervalo de tempo 0,1 s dado por: d = 0, 1vm . O vetor posio no instante de tempo 1,1s . Como o intervalo de tempo 0,1s pequeno, podemos aproximar a velocidade mdia pela velocidade instantnea Conseqentemente, temos que: A representao aproximada do vetor posio est na gura 51. Figura 51 Vetor posio. Figura 52 Obteno do vetor deslocamento a partir de seis deslocamentos sucessivos associados a tempos iguais a t/6 . Os pequenos deslocamentos sucessivos podem ser obtidos aproximadamente com as velocidades instantneas, isto , 63. Cinemtica vetorial 6666 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 66 O vetor deslocamento pode ser escrito com uma boa aproximao da seguinte forma: , onde . A aproximao anterior se transforma em uma identidade quando o nmero de intervalos n tende para innito, isto , . Conseqentemente, podemos concluir que o conhecimento do vetor posio inicial de uma partcula e da sua velocidade instantnea em toda a trajetria permite obter o vetor posio no instante do tempo , uma vez que . Como o intervalo de tempo foi escolhido arbitrariamente, podemos concluir que possvel conhecer o vetor posio em todo instante de tempo a partir do conhecimento do vetor posio inicial de uma partcula e da sua velocidade instantnea em toda a trajetria. P4 MOSTRE GRAFICAMENTE COMO POSSVEL OBTER O VETOR POSIO EM UM INSTANTE QUALQUER DE TEMPO QUANDO SE CONHECE A POSIO INICIAL DA PARTCULA E A SUA VELOCIDADE INSTANTNEA EM TODO INSTANTE DO TEMPO. 64. Cinemtica vetorial 6767 C E D E R J MDULO 3 - AULA 3 67 Vetor acelerao Outra informao importante associada a uma trajetria a rapidez com que a velocidade instantnea muda. Nesse caso, temos a acelerao mdia e a acelerao instantnea. Figura 53 A acelerao mdia. A acelerao mdia (Figura 53) entre dois instantes e tem a seguinte denio: Exemplo 4: O carro do Exemplo 1 se desloca entre os pontos A e B com uma velocidade com mdulo igual a 40km/h e de B para C com uma velocidade com mdulo igual a 40km/h. O primeiro deslocamento se d em duas horas e o segundo em uma hora. Qual o vetor acelerao mdia do carro? Resoluo: A gura anterior mostra as velocidades do carro. As componentes dos vetores velocidades e so: ACELERAO MDIA 65. Cinemtica vetorial 6868 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 68 O clculo das componentes da segunda velocidade realizado de maneira anloga ao do Exemplo 1 e utiliza o tringulo BC1. As componentes da acelerao mdia so: a v v km h a v v mx x x my y y 0 3 3 35 40 3 5 3 0 3 3 0 20 3 2 1 2 2 1 , / , ( ) = = ( ) = = = 220 3 2 km h/ O vetor acelerao mdia dado por: a i j Km hm 0 3 1 7 6 7 2 , , , /( ) +( ) velocidade instantnea em um intervalo de tempo t , isto , A acelerao instantnea a acelerao mdia tomada em intervalos de tempo muito pequenos e denida pela operao de limite. , onde e . Em intervalos de tempo pequenos, temos que a acelerao mdia aproximadamente igual acelerao instantnea. . Quando o intervalo de tempo pequeno, a variao de velocidade pode ser obtida de forma aproximada com o vetor acelerao e instantnea, isto , a acelerao instantnea so muito diferentes e a aproximao utilizada anteriormente para calcular a variao de velocidade no pode ser utilizada. Nesse caso, necessrio obter a variao de velocidade somando variaes de velocidades sucessivas (ver Figura-54,com n=6) associadas a n intervalos de tempos pequenos . ACELERAO INSTANTNEA 66. Cinemtica vetorial 6969 C E D E R J MDULO 3 - AULA 3 69 As pequenas variaes de velocidade podem ser obtidas aproximadamente com as aceleraes instantneas, isto , , onde . A variao de velocidade pode ser escrita como uma boa aproximao da seguinte forma: v = a (t0) t n + a (t1) t n + . . . + a (tn1) t n . . A aproximao anterior se transforma em uma identidade quando o nmero de intervalos n tende para innito, isto , . Conseqentemente, podemos concluir que o conhecimento do vetor velocidade inicial de uma partcula e da sua acelerao instantnea em toda a trajetria permite obter o vetor velocidade em um instante de tempo t = t0 + t, uma vez que . Como o intervalo de tempo foi escolhido arbitrariamente, podemos concluir que possvel conhecer o vetor velocidade em todo instante de tempo a partir do conhecimento do vetor velocidade inicial de uma partcula e da sua acelerao instantnea em toda a trajetria. A Mecnica da Partcula tem como objetivo encontrar a trajetria da partcula a partir das suas leis. Veremos na aula 5 que as Leis de Newton fornecem a acelerao instantnea da partcula. Portanto, se conhecermos a posio inicial, a velocidade inicial da partcula e a sua acelerao instantnea j sabemos como construir gracamente a sua trajetria. P5 Defina ACELERAO MDIA. P6 Defina ACELERAO INSTANTNEA. Figura 54 Soma de variaes sucessivas de velocidades em intervalos de tempos iguais a . 67. Cinemtica vetorial 7070 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 70 Movimento unidimensional Componentes dos vetores cinemticos Os vetores cinemticos podem ser representados por suas componentes. Essa representao simples no caso de movimentos unidimensionais quando um dos eixos coordenados coincide com a direo do movimento. Por exemplo, no caso em que o eixo OX coincide com a direo do movimento temos que: r (t) = x(t); a = (x(t2)x(t1)); v inst(t1) = lim t0 x(t2) x(t1) t ; a inst(t1) = lim t0 vx(t2) vx(t1) t ; Em alguns livros se denomina a componente x(t) do vetor posio por p(t) ou s(t). Os ndices x na acelerao e na velocidade tambm so esquecidos. Esse relaxamento na notao no deve induzir voc a pensar que p(t) ou s(t), v(t) e a(t) so os mdulos destas grandezas. Signicado geomtrico da componente da velocidade e da acelerao no movimento unidimensional Signicado geomtrico da componente da velocidade A trajetria de uma partcula que se desloca no eixo OX determinada pela sua posio x(t). A velocidade mdia e a velocidade instantnea tm um signicado geomtrico de fcil visualizao no grco de x versus t. Figura 55 Significado geomtrico da velocidade mdia. No grfico x versus t, a velocidade mdia o coeficiente angular da reta secante que passa pelos pontos com coordenadas (t1,x1) e (t2,x2). 68. Cinemtica vetorial 7171 C E D E R J MDULO 3 - AULA 3 71 As velocidades mdias e instantneas so iguais quando elas so constantes. No grfico x versus t a velocidade instantnea o coeficiente angular da reta tangente curva no instante considerado. Figura 56 Representao geomtrica da velocidade instantnea. Figura 57 Na Figura 55 est representada a posio x da partcula para os instantes de tempo e . O coeciente angular da reta secante curva que passa pelos pontos com coordenadas (t1, vx1 )e (t2, vx2 ) . Esse coeciente angular , por denio, a velocidade mdia da partcula, isto , . Essa a interpretao geomtrica da componente velocidade mdia em um movimento unidimensional. Nagura56foramdesenhadasvriasretassecantesassociadassvelocidades mdias em intervalos de tempos cada vez menores . Observe que medida que o intervalo de tempo tende a zero, a reta secante se aproxima da reta tangente. Por isso, a velocidade instantnea representada geometricamente pelo coeciente angular da reta tangente curva de no ponto da curva com coordenadas . A gura 57 mostra que, no caso em que o grco de x versus t uma reta,t a velocidade mdia o coeciente angular da reta, sendo portanto constante. A reta tangente em cada ponto da reta coincide com a prpria reta. Como a velocidade instantnea o coeciente da reta tangente, ela constante e igual velocidade mdia, isto , . 69. Cinemtica vetorial 7272 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 72 Neste caso, a acelerao mdia e a acelerao instantnea so nulas. Quando o grco de no uma reta, o clculo da velocidade instantnea tem que ser feito com a denio exata de limite que ensinada na disciplina Clculo I. Todavia, possvel obter uma estimativa numrica da velocidade instantnea calculando a velocidade mdia em intervalos de tempo cada vez menores e vericando para que valor a velocidade mdia est tendendo. Exemplo 5: Uma partcula se desloca sobre o eixo OX em uma trajetria descrita pela equao horria (metros). 1. Demonstre que a velocidade mdia entre os instantes de tempo e dada por 2. Calcule a velocidade mdia para os intervalos de tempo iguais a 0,100s, 0,025s, 0,010s, 0,0005s e 0,0001s. D a sua resposta com quatro alga- rismos signicativos, 3. Calcule a velocidade instantnea da partcula no instante t = 2,000s. 4. Para quais intervalos de tempo as velocidades mdias calculadas no item 2 e a velocidade instantnea em t = 2,000s so iguais? Soluo: 1. A velocidade mdia da partcula entre os instantes de tempo e dada por 2. A tabela a seguir mostra os valores da velocidade mdia nos instantes solicitados. As velocidades mdias foram expressas com quatro algarismos signicativos. (s) 0,1000 12,61 0,0250 12,15 0,01000 12,06 0,0005 12,00 0,0001 12,00 70. Cinemtica vetorial 7373 C E D E R J MDULO 3 - AULA 3 73 Signicado geomtrico da componente da acelerao No grfico vx versus t at componente da acelerao instantnea o coeficiente angular da reta tangente no instante considerado. Figura 59 Significado geomtrico da componente da acelerao instantnea. Figura 58 Significado geomtrico da componente da acelerao mdia. A acelerao mdia e a acelerao instantnea tm um signicado geomtrico que de fcil visualizao quando fazemos o grco de . Na Figura 58, est representada a velocidade instantnea da partcula para os instantes de tempo e . O coeciente angular da reta secante curva que passa pelos pontos com coordenadas (t1, vx1 ) e (t2, vx2 ) . Esse coeciente angular , por denio, a acelerao mdia da partcula, isto , . 3. A velocidade instantnea em t = 2s v v t t t m sm2 2 2 12 6 122 ( ) = +( ) = + +( ) = lim limt 0 t 0 , / . 4. As velocidades mdias associadas aos intervalos de tempo 0,010s, 0,005s e 0,001s so iguais velocidade instantnea em t = 2,000s 71. Cinemtica vetorial 7474 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 74 Na Figura 59 foram desenhadas vrias retas secantes associadas s aceleraes mdias em intervalos de tempos cada vez menores. Neles, o instante que dene a acelerao mdia ca cada vez mais prximo do instante de tempo . Observe que medida que o intervalo de tempo tende a zero, a reta secante se aproxima da reta tangente. Portanto, a acelerao instantnea representada geometricamente pelo coeciente angular da reta tangente curva no grco de no ponto da curva com coordenadas (t1, vx1 ). Figura 60 Movimento uniformemente acelerado. A Figura 60 mostra que, no caso em que o grco de vx versus t umat reta, a acelerao mdia o coeciente angular da reta, sendo portanto constante. A reta tangente em cada ponto da reta coincide com a prpria reta. Como a acelerao instantnea o coeciente da reta tangente, ela tambm constante e igual acelerao mdia. Problema inverso Vimos anteriormente que o objetivo da Mecnica da Partcula encontrar o vetor posio da partcula como funo do tempo. No caso de um movimento unidimensional no eixo OX, o vetor posio da partcula ca completamente determinado quando conhecemos x(t). Como as Leis da Mecnica da Partcula fornecem a acelerao instantnea da partcula, nosso problema se reduz a encontrar x(t) a partir do conhecimento de ax(t). Esse problema denominado de problema inverso. Ele ser resolvido de forma qualitativa e geomtrica apenas para o movimento retilneo uniforme (ax=0) e o para o movimento uniformemente acelerado . A soluo rigorosa desse problema e de problemas com aceleraes variveis ser deixada para a disciplina de Fsica I. As aceleraes mdias e instantneas so iguais quando elas so constantes. 72. Cinemtica vetorial 7575 C E D E R J MDULO 3 - AULA 3 75 Movimento retilneo uniforme O movimento retilneo uniforme aquele em que a acelerao instantnea e a acelerao mdia so nulas. Nesse caso temos que a velocidade instantnea constante, uma vez que . Como a velocidade instantnea constante, o grco de x versus t uma reta (veja a Figura 61). Portanto, a velocidade mdia constante e igual velocidade instantnea. Conseqentemente, podemos obter x(t) utilizando a interpretao geomtrica da velocidade mdia. Existe uma representao geomtrica para o deslocamento . A gura 62 mostra que o deslocamento a rea sob a curva de versus t. x. 73. Cinemtica vetorial 7676 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 76 Se considerarmos o intervalo de tempo entre os instantes e temos que: Portanto, o grco de x versus t uma reta com coeciente angular igualt velocidade instantnea. importante ressaltar que necessrio conhecer a posio inicial da partcula x(0) e a sua velocidade inicial vx(0) para que o vetor posio da partcula que completamente determinado. Movimento retilneo uniformemente acelerado O movimento retilneo uniformemente acelerado aquele em que a acelerao instantnea constante. J sabemos que nesse caso a acelerao mdia tambm constante. Portanto, podemos obter com facilidade a dependncia da velocidade instantnea com o tempo. Se considerarmos o intervalo de tempo entre os instantes e temos: . Portanto, a equao horria que descreve a velocidade instantnea no movimento retilneo uniformemente acelerado A posio no movimento uniformemente acelerado pode ser obtida a partir do grco de da seguinte forma: Imagina-se um movimento diferente do real composto de N movimentos retilneos uniformes, cada um deles com durao . Figura 63 Representao geomtrica do deslocamento x. 74. Cinemtica vetorial 7777 C E D E R J MDULO 3 - AULA 3 77 Na Figura 63 dividimos o movimento em 10 intervalos (N=10) e representamos a velocidade do novo movimento (linha poligonal). Este movimento e o real no so iguais. Eles tm em comum o ponto de partida, o ponto de chegada e os valores das velocidades . O deslocamento total do movimento imaginrio dado por: onde denominamos . Observe que o deslocamento imaginrio a soma das reas dos retngulos, isto , . Uma anlise qualitativa da Figura 63 permite intuir que, quando o nmero de movimentos retilneos tender para innito, o deslocamento imaginrio se transformar no deslocamento real e a soma das reas dos retngulos se transformar na rea sob a reta que representa a velocidade de v em funo do tempo t. Ela a rea do trapzio retngulo de bases e e altura . Portanto, o deslocamento no movimento uniformemente acelerado se reduz a . No caso em que o instante e (t = t) o deslocamento no movimento uniformemente acelerado se reduz a . Portanto, a equao horria do movimento retilneo uniformemente acelerado . fundamentalquevocpercebaqueasequaeshorriasobtidasanteriormente s podem ser utilizadas em movimento em que a acelerao instantnea constante ou nula, uma vez que elas foram obtidas a partir dessas hipteses. 75. Cinemtica vetorial 7878 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 78 Leituras e exerccios 5 Leituras Leia sobre os assuntos Posio, Deslocamento, Velocidade e Acelerao e Cinemtica Escalar nas sees 4.4 e 4.6 do texto Fsica I-Mecnica do Gref. Faa os Problemas e questes de vestibulares do captulo 2 do livro de Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga, Fsica - volume nico. Exerccio 1 Um homem parte do ponto A e vai at o ponto C passando pelo ponto B (ver gura a seguir). O mdulo da sua velocidade constante eigual a 3km/h. Os deslocamentos so retilneos. Y O S X A BC Obtenha, em termos dos unitrios e : os vetores posio dos pontos A, B e C; os vetores deslocamento entre A e B, entre B e C e entre A e C; o vetor velocidade mdia associado ao deslocamento total; o vetor acelerao mdia associado ao deslocamento total. Considere que o lado do quadriculado corresponde a 1m. Responda novamente ao Questionrio 3. Nesta aula definimos as velocidades e as aceleraes e suas relaes com as trajetrias. Observamos que possvel construir grafi- camente a trajetria de uma partcula a partir da sua acelerao instantnea, da posio inicial e da velocidade instantnea inicial. A discusso do movimento unidimensional permitiu obter uma soluo geomtrica para as trajetrias dos movimentos retilneo uniforme e uniformemente acelerado. 76. Cinemtica vetorial 7979 C E D E R J MDULO 3 - AULA 3 79 Exerccios programados 7 1. Veja a minipalestra Cinemtica Vetorial. 2. Um carro vai do ponto A at o ponto B, como ilustra a Figura 1. i. desenhe os vetores-posio dos pontos A e B. Expresse esses vetores em termos dos unitrios e . ii. desenhe os vetores-deslocamento do ponto A ao ponto B e expresse em termos dos unitrios e . iii. supondo que o deslocamento ocorreu em 2h, calcule o vetor velocidade mdia entre os pontos A e B. iv. As velocidades instantneas do carro nos pontos A e B so respectivamente iguais a vA (80 + 40 )km/h e vB (80 )km/h. Calcule a acelerao vetorial mdia do carro entre os pontos A e B. Considere que cada quadrado vale 10km. Figura 1 77. Cinemtica vetorial 8080 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 80 Gabarito 1. Individual 2. Um carro vai do ponto A at o ponto B como ilustra a gura a seguir. i. Desenhe os vetores posio dos pontos A e B. Expresse esses vetores em termos dos unitrios e . rAr = 30km + 20km rB = 170km + 70km ii. Desenhe o vetor deslocamento do ponto A ao ponto B e expresse-o em termos dos unitrios e . r r rAB B A= = 170km + 70km (30km + 20km ) = 140km + 50km rA rB rAB = 78. Cinemtica vetorial 8181 C E D E R J MDULO 3 - AULA 3 81 iii. Suponha que o deslocamento ocorreu em 2h calcule o vetor velocidade mdia entre os pontos A e B. v r t i j i j km hm AB = = + = +( ) 140 50 2 70 25 / iv. As velocidades instantneas do carro nos pontos A e B so respectivamente iguais a vA (80 + 40 )km/h e vB (80 )km/h. Calcule a acelerao vetorial mdia do carro entre os pontos A e B. A acelerao mdia de uma partcula entre dois pontos o produto do vetor variao de velocidade entre esses pontos ( v ) pelo nmero 1/ t, onde t o intervalo de tempo que a partcula gasta para se deslocar entre esse pontos. Assim, temos: a v v t i i j km h jm B A = = + = 80 80 40 2 20 2( ) / 79. O que muda o movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 4 83 O que muda o movimento Prtica 1 Mesa de Foras Experimento - Equilbrio de trs foras coplanares concorrentes decomposio em componentes; obteno da resultante de um dos pares; equilbrio do sistema. Figura 64 Mesa de foras. ms transferidor de acrlico superm Objetivo Mostrar experimentalmente que as foras so vetores. Material utilizado painel de foras para xao magntica, apoiado verticalmente sobre par de trips; 3 dinammetros de xao magntica, graduados em newtons (mx. 2N); 3 ms de terras raras para xar os dinammetros; escala angular pendular, com divises em graus; 3 cordinhas com anis em suas extremidades. 83 C E D E R J MDULO 3 - AULA 1 80. O que muda o movimentoINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 84 Precaues Antes de iniciar a experincia,, o aluno deve ler as instrues bsicas existentes no manual do painel de foras. Aqui repetiremos apenas as que podem prevenir danos: 1. Nunca utilize o dinammetro acima de sua capacidade (2N). 2. Nunca solte bruscamente a mola do dinammetro quando estiver esticada.a 3. Nunca puxe os ms sem antes inclin-los levemente. Para soltar os ms de terras raras, use seus manpulos (pequenos cabos) para primeiro inclin-los, diminuindo a fora de reteno. 4. Antes de comear o experimento zere os dinammetros. Informaes preliminaresInformaes preliminares As foras so puxes ou empurres e podem ser representados por segmentos de retas orientados. Na Figura 65 esto representadas as foras e . Figura 65 Soma de foras pela regra do paralelogramo. Cuidado!! O dinammetro que mede a fora F3 tem que ser zerado na posio em que ele vai ser utilizado. Vamos vericar se o modelo que trata as foras como vetores tem comprovao experimental. A condio necessria para que as foras sejam vetores que elas se somem pela regra do paralelogramo, isto , que as seguintes relaes sejam satisfeitas: R = F1 2 + F2 2 2F1F2 cos () e sen() R = sen() F2 . 81. O que muda o movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 4 85 Outra forma de expressar esse resultado atravs das componentes das foras, isto , Rx = F1x + F2x; Ry = F1y + F2y Esse experimento permite medir as foras , e a fora (ver Figura 66). A Figura 66 mostra que a fora anula o efeito das foras e . Portanto, ela fora . Logo, podemos medir diretamente a fora . Assim, a mesa de foras tambm permite medir a fora resultante . Atividade experimental 1. Monte o painel de foras na posio vertical, usando um nvel de bolha circular para o nivelamento dos trips e do suporte do painel. 2. Acople os trs dinammetros D, conforme a Figura 64. Use uma cordinha para os dois de cima, com um anel de cada extremidade conectado a cada um deles. Dobre ao meio uma outra cordinha, passe-a sobre a primeira e prenda seus dois anis no dinammetro de baixo. 3. Acople a escala angular pendular C ao painel. Veja a Figura 64. Cuidado, no deixe essa escala cair. Em caso de dvida na colocao do painel, consulte o manual da mesa de foras. 4. Movimente os dinammetros de forma a conseguir que o ponto de concorrncia das foras situe-se no centro da escala angular pendular e que os ngulos medidos em relao ao eixo positivo dos X sejam e (o ngulo entre as foras ser de 1200 ). X Y D D C F3 3 F1 F2 q1 q2 D Figura 66 Medidas diretas das foras. 82. O que muda o movimentoINTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 86 5. Preencha as tabelas Anlise dos dados As componentes das foras , e so, respectivamente: F1x = F1 cos (1) ; F1y = F1sen(1) F2x = F2 cos (2) ; F2y = F2sen(2) F3x = 0 ; F3y = F3 O erro de uma soma de uma funo O erro de uma funo . O erro de uma funo . Leia o complemento 2 sobre o clculo de erros. F1x F2x F1y F2y F1x + F2x F1y + F2y [N] [N] [N] [N] [N] [N] |F1x| |F1y| |F2x| |F2y| |F1x + F2x| |F1y + F2y| [N] [N] [N] [N] [N] [N] Tabela 2 Medidas indiretas. Tabela 3 Erros das medidas indiretas. |F1| |F2| |F3| 1 2 |F1| |F2| |F3| 1 2 3 [N] [N] [N] (graus) (graus) [N] [N] [N] (radianos) (radianos) (radianos) Tabela 1 Medidas diretas. 83. O que muda o movimento C E D E R J MDULO 3 - AULA 4 87 Compare as componentes da soma das foras e obtidas por clculo indireto (Tabela 2) com as componentes da fora medidas diretamente (Tabela 1) e verique se o modelo que soma foras como vetores comprovado por esse experimento. Concluso: 84. Leis de Newton 89 C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 89 Leis de Newton Objetivos: Discutir o conceito de fora e as Leis de Newton. Introduo Nas Aulas 1, 2 e 3 apresentamos os conceitos necessrios para a descrio dos movimentos. Nesta aula vamos estudar as causas dos movimentos. Ela composta de sete partes. O que sei sobre as leis do movimento e as foras? um questionrio que tem como nalidade levantar as suas idias prvias sobre o assunto. Foras e suas caractersticas um texto que discute as idias intuitivas sobre foras. Leis de Newton um texto que discute as leis que permitem entender e prever os movimentos dos corpos. Leituras e exerccios 6 so textos e exerccios sobre foras no livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga) e exerccios propostos. Leituras e exerccios 7 so textos e exerccios sobre a Primeira Lei de Newton (a lei da inrcia) no livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga) e exerccios propostos. Leituras e exerccios 8 so textos e exerccios sobre a Segunda Lei de Newton no livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga) e no livro Fsica 1- Mecnica, do Gref, e exerccios propostos. Leituras e exerccios 9 so textos e exerccios sobre a Terceira Lei de Newton (a lei da ao e reao) no livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga). 85. Leis de Newton 90 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 90 O que sei sobre as leis do movimento e as foras? As questes apresentadas a seguir tm como nalidade investigar e organizar os seus conhecimentos e idias prvias sobre foras e as leis de Newton. Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostas s questes. No consulte livros ou notas de aulas, mas no deixe de respond-las. A comparao entre suas idias e conhecimentos sobre as foras e as leis de Newton antes e depois de trabalhar esta unidade importante para o seu aprendizado. Questionrio 4 1. Qual a noo intuitiva de fora ? 2. O que so foras de contato? D exemplos. 3. O que so foras de ao a distncia? D exemplos. 4. Como se medem as foras? 5. As foras so vetores? Por qu? 6. Qual a expresso da fora gravitacional entre duas massas?l 7. Enuncie a Primeira Lei de Newton. 8. Enuncie a Segunda Lei de Newton. 9. Enuncie a Terceira Lei de Newton. 10. O que a massa mede? 86. Leis de Newton 91 C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 91 de costas est empurrando o outro lutador, isto , est exercendo um fora sobre ele. Foras e suas caractersticas Denio Desde a Antigidade, vrias perguntas preocupavam os cientistas: Quais so as causas do movimento? H necessidade de alguma ao para manter um corpo em movimento? O que pode alterar o movimento de um corpo e de que forma essa alterao se realiza? As respostas a essas questes foram dadas h aproximadamente trs sculos por Isaac Newton. Ele formulou as trs leis que explicam as causas do movimento baseando-se nas suas observaes e em trabalhos de alguns cientistas que o antecederam, como Galileu. Iniciaremos o estudo dessas leis discutindo o conceito de fora. A nossa experincia cotidiana mostra que puxes e empurres podem provocar o incio e o nal de um movimento. Esses puxes e empurres so denominados foras. FORAS Figura 67 A bola entra em movimento quando empurrada pelo p do jogador. O p do jogador exerce uma fora sobre a bola. Figura 70 O homem est puxando a corda, isto , est exercendo uma fora sobre ela. Figura 69 O remo est empurrando a gua para trs, isto , est exercendo uma fora sobre a gua. 87. Leis de Newton 92 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 92 P-1 Qual a definio intuitiva de foras? Foras de contato Em todos os exemplos apresentados anteriormente, a fora que atua sobre o corpo exercida por outro corpo que est em contato com ele. Essas foras so denominadas foras de contato. A fora que atua na bola exercida pelo p que est em contato com ela. A fora que atua sobre o lutador de sum que est de frente exercida pelas mos do outro lutador. Elas esto em contato com ele. A fora que atua sobre a gua est sendo exercida pelo remo que est em contato com ela. A fora que puxa a corda est sendo exercida pelas mos do homem, que esto em contato com a corda. As foras de contato surgem quando tentamos deformar, arrastar ou puxar um corpo. Figura 71-a A cama elstica empurra o menino para cima. Figura 71-b A mola puxa a mo quando esticada e a empurra quando comprimida. FORAS DE CONTATO A cama elstica empurra o menino para cima quando esticada para baixo (gura 71-a). A mola empurra a mo quando comprimida e a puxa quando esticada (gura 71-b). 88. Leis de Newton 93 C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 93 A mo que empurra a parede na gura 72 deforma a superfcie da parede. Nesse caso, a deformao muito pequena , sendo imperceptvel. Como a cama elstica, a parede deformada empurra a mo para fora. FORA NORMAL Fora de atrito entre superfcies slidas. A fora que uma superfcie exerce sobre um corpo na direo perpendicular a ela denominada fora normal. A resistncia que encontramos quando tentamos arrastar um objeto sobre uma superfcie depende do par de superfcies. A superfcie de uma caixa desliza com mais facilidade sobre uma superfcie de mrmore do que sobre um tapete (gura 73). A fora que diculta o deslizamento da superfcie de um corpo sobre a superfcie de outro corpo chamada fora de atrito. Ela tem a direo das retas tangentes superfcie. O seu sentido tal que ela se ope ao movimento ou tendncia ao movimento de uma superfcie em relao a outra superfcie. Figura 72 A superfcie da parede empurra a mo, impedindo-a de penetrar no seu interior. Podemos entender qualitativamente o aparecimento da fora de atrito com um modelo simples. Nesse modelo supomos que as superfcies apresentam pequenas irregularidades . Elas dicultam o deslizamento de uma superfcie sobre a outra. Figura 73 A superfcie da caixa desliza com mais facilidade sobre um piso de mrmore do que sobre um tapete. Figura 74 As pequenas irregularidades entre as superfcies criam a fora de atrito que dificulta o deslizamento da caixa. 89. Leis de Newton 94 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 94 Dizemos que uma superfcie lisa quando as foras de atrito exercidas por outras superfcies sobre ela so desprezveis. Quandoasuperfciedeumcorposemovimentanointeriordeumacamadade uido,comoporexemplodear,ouidoexerceumaforadeatrito(resistnciadoar) sobre ele. A nossa experincia diria mostra que essa resistncia do ar aumenta com o tamanho da superfcie do corpo e com a sua velocidade. Por exemplo, fcil perceber que uma folha de papel aberta cai muito mais devagar do que uma folha de papel amassada. Em um dia sem vento, no sentimos a presena do ar quando caminhamos. No entanto, se estivermos em um carro com velocidade de 80km/h e colocarmos a mo para fora do carro, sentiremos nitidamente a nossa mo ser empurrada para trs pelo ar. Quando entramos em uma piscina nos sentimos mais leves. Isso ocorre porque a gua nos empurra para cima com a fora empuxo. Veremos na aula 7 que o mdulo da fora empuxo igual ao peso do volume de gua deslocado. Um objeto imerso no ar tambm empurrado para cima pela fora empuxo que o ar exerce sobre ele. Quando o peso do objeto muito maior do que o peso do ar deslocado, a fora empuxo pode ser desprezada. Este o caso de objetos com densidades muito maiores do que a densidade do ar . No caso de um objeto com densidade menor do que a densidade do ar (um balo, por exemplo) a fora empuxo no pode ser desprezada. P2 O que so foras de contato? P3 Descreva as caractersticas da fora normal. Por que a fora normal aparece? P4 Descreva as caractersticas da fora de atrito. Por que ela aparece? P5 Descreva as caractersticas da fora empuxo. Por que ela aparece? P6 Descreva as caractersticas da fora de atrito com ar. Por que ela aparece? Resistncia do ar Fora empuxo 90. Leis de Newton 95 C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 95 , exerce uma fora sobre a bola a distncia. Foras de ao a distncia A constatao de que na maioria das vezes em que um corpo colocado em movimento h um outro corpo em contato empurrando-o ou puxando- o nos faz crer erradamente que para que haja fora tem que existir contato entre os corpos. Essa crena aparece nos filmes. Neles, somente fadas e bruxas conseguem movimentar os objetos sem toc-los. Foras de ao a distncia Existem foras que so exercidas sem que haja contato entre os corpos. Elas so denominadas foras de ao a distncia. A fora gravitacional e a fora eletromagntica so foras de ao a distncia. A Terra puxa os corpos mesmo quando no est em contato com eles. Na gura 76, a Terra est puxando a ma mesmo sem estar em contato com ela. Figura 76 A ma puxada pela Terra, que no est em contato com ela. 91. Leis de Newton 96 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 96 O valor da razo entre os mdulos das foras gravitacionais exercidas pela Lua e pela Terra sobre um corpo na superfcie da Terra nos permite desprezar a fora gravitacional da Lua sobre esse corpo. Analogamente, o valor da razo entre os mdulos das foras gravitacionais exercidas pelo Sol e pela Terra sobre um corpo na superfcie da Terra nos permite desprezar a fora gravitacional do Sol sobre esse corpo. Podemos ento concluir que as foras gravitacionais exercidas pelos corpos celestes sobre corpos prximos Terra podem ser desprezadas. Os ms e os corpos eletrizados tambm exercem foras de ao a distncia. Na gura 77 o m puxa o prego, que no est em contato com ele. Figura 77 O m puxa o prego, que no est em contato com ele. As foras gravitacionais decorrem da interao entre massas. A fora gravitacional entre duas massas proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre elas. A razo entre a atrao gravitacional exercida por dois corpos celestes sobre uma massa m 1 e m2 so as massas dos corpos celestes e d1 e d2 so as distncias entre eles e a massa m. Os dados apresentados a seguir permitem calcular a razo entre os mdulos das foras gravitacionais exercidas pela Lua e pela Terra e a razo entre os mdulos das foras gravitacionais exercidas pelo Sol e pela Terra em um corpo que est sobre a superfcie da Terra. Ver aula 2 no Mdulo 2 FORAS GRAVITACIONAIS 92. Leis de Newton 97 C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 97 FUNDAMENTAIS Neutrino uma partcula sem massa e sem carga eltrica. Estimemos agora a fora gravitacional entre corpos do nosso cotidiano (pessoas, mesas, cadeiras, nibus, caminhes etc). Por exemplo, vamos calcular a fora gravitacional entre um homem e uma mulher com massas iguais a 100kg e que esto separados de uma distncia de 1m. O mdulo da fora gravitacional exercida pela mulher sobre o homem . Ela muito pequena e pode ser desprezada. Fica claro por essa estimativa que as atraes gravitacionais entre objetos do nosso cotidiano (bicicletas, pessoas, casas, edifcios etc.) em relao aos seus pesos podem ser desprezadas. P7 O QUE SO FORAS DE AO A DISTNCIA? CITE EXEMPLOS. P8 QUAL A RELAO ENTRE AS FORAS GRAVITACIONAIS EXERCIDAS PELO SOL E PELA TERRA EM UM OBJETO DE MASSA M LOCALIZADO NA SUPERFCIE DA TERRA? P9 QUAL A RELAO ENTRE AS FORAS GRAVITACIONAIS EXERCIDAS PELA LUA E PELA TERRA EM UM OBJETO DE MASSA M LOCALIZADO NA SUPERFCIE DA TERRA? P10 QUAL A RELAO ENTRE AS FORAS GRAVITACIONAIS EXERCIDAS POR UM CORPO COM MASSA DE 100KG E PELA TERRA EM UM OBJETO DE MASSA M LOCALIZADO NA SUPERFCIE DA TERRA? A DISTNCIA ENTRE A MASSA M E A MASSA DE 100KG DE UM METRO. As interaes fundamentais da Natureza primeira vista, poderia parecer que existe uma grande diversidade de foras na Natureza; no entanto, at hoje s foram identicados quatro tipos de interaes fundamentais. A interao gravitacional entre as massas. A interao eletromagntica entre cargas eltricas, ms e correntes eltricas.a A interao nuclear entre prtons, nutrons etc. A interao fraca entre nutrons, prtons, eltrons, neutrinos etc. A interao nuclear entre os prtons e nutrons dos ncleos responsvel pela estabilidade dos ncleos dos tomos. As foras de contato (normais, foras de atrito, foras de molas, foras de cordas etc.) tm natureza eletromagntica. Elas so resultantes das interaes entre as cargas eltricas dos tomos e molculas das superfcies dos corpos neutros. Lembre-se de que todos os corpos neutros so compostos por um nmero igual de cargas eltricas positivas e negativas distribudas nos seus volumes. Leia sobre corpos neutros no Mdulo 4. 93. Leis de Newton 98 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 98 F F=0 F=A F=2A d 2d d=0 a b c d Figura 79 A fora uma grandeza que tem mdulo, direo e sentido. P11Quais so as interaes fundamentais da natureza? Intensidade, direo e sentido de uma fora As intensidades das foras podem ser medidas com molas lineares. Molas lineares so aquelas cujas elongaes so proporcionais s foras que atuam sobre as suas extremidades, isto , (d a elongao da mola). O instrumento que utiliza molas para medir foras chamado de dinammetro. Figura 78 Os dinammetros so utilizados para medir foras. O efeito de uma fora sobre um objeto depende da intensidade, direo e sentido em que ela aplicada. Na gura 79 observamos a trajetria de uma bola de bilhar inicialmente em repouso devido a tacadas com direes e sentidos diferentes. Comoasforastmmdulo,direoesentido,sorepresentadasporsegmentos de reta orientados. Alm disso, resultados experimentais demonstram que as foras se somam pela regra do paralelogramo. Conseqentemente, elas so vetores. P12 Como se medem as foras? AS FORAS SO VETORES. 94. Leis de Newton 99 C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 99 Identicando as foras que atuam sobre corpos O movimento de um corpo vai depender das foras que atuam sobre ele. Faz-se necessrio na anlise do movimento de um corpo identicar todas as foras que atuam sobre o corpo. Essa identicao facilitada quando construmos o diagrama de foras do corpo. Propomos o seguinte algoritmo para construir diagramas de foras: 1. Identicar o sistema que vai ser analisado (objeto de estudo). Fazer um desenho do objeto de estudo separado dos outros corpos. 2. Identicar os corpos que pertencem ao exterior do sistema e que esto em contato com ele. No caso em que eles exercem foras sobre o sistema (empurres ou puxes), desenhar essas foras sobre ele. 3. Vericar se existem foras gravitacionais. Neste mdulo, iremos supor que no existem foras eletromagnticas produzidas por corpos carregados, correntes eltricas e ms atuando sobre os corpos. Exemplo 1: Um menino est empurrando a caixa com uma fora horizontal. Faa o diagrama de foras da caixa. Despreze a fora exercida pelo ar. N P fA F1 Figura 81 Desenho que representa o objeto de estudo. Figura 80 Menino empressando a caixa. Algoritmo um conjunto finito de passos para se chegar a um resultado. Algoritmo do diagrama de foras produzidas por corpos carregados, correntes e mas. Vamos aplicar o algoritmo de diagramas de foras caixa. A caixa o objeto de estudo. Ela foi desenhada separada dos outros corpos, na gura 81. Esto em contato com a caixa as mos do menino, o piso e o ar. O exerccio manda desprezar a resistncia do ar. As mos do menino esto empurrando a caixa na direo horizontal. A fora associada a esse empurro foi denominada . O piso est sendo empurrado pela caixa que tenta penetrar nele. Ele se deforma de maneira imperceptvel e empurra a caixa para cima, como se fosse uma cama elstica. Esse empurro a fora normal N . As imperfeies da superfcie do piso empurram a superfcie da caixa em sentido contrrio ao da fora . Esse empurro a fora de atrito . 95. Leis de Newton 100 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 100 Figura 82 Ma caindo. Figura 83 A ma est em repouso no solo. Das foras gravitacionais que atuam sobre a caixa, apenas a fora gravitacional P exercida pela Terra no desprezvel. Todas as foras que atuam na caixa esto representadas na gura 81. Leituras e exerccios 6 Leituras Leia a seo 3.1, intitulada Foras e suas caractersticas, Intensidade, direo e sentido de uma fora, Representao de uma grandeza vetorial e Medida de uma fora, no livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga). Dessa mesma seo faa os exerccios de xao de 1 at 7. Exerccio 9 A gura 82 mostra uma ma caindo. Aplique o algoritmo do diagrama de foras ma. Despreze a resistncia do ar. Exerccio 10 A gura 83 mostra uma ma em repouso no solo. Aplique o algoritmo do diagrama de foras ma. Despreze a resistncia do ar. 96. Leis de Newton 101C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 101 Figura 86 Poltico no palanque. Exerccio 12: A gura 85 mostra uma ma deslizando sobre um plano inclinado liso. Aplique o algoritmo do diagrama de foras ma. Despreze a resistncia do ar. Figura 84 Ma sendo empurrada em um plano liso. Exerccio 11 A gura 84 mostra uma ma sendo empurrada em uma superfcie lisa. Aplique o algoritmo do diagrama de foras ma. Despreze a resistncia do ar. Figura 85 A ma descendo um plano inclinado liso. Exerccio 13 A gura 86 mostra um poltico em um palanque improvisado (caixa) que est sobre o solo (o cho). Aplique o algoritmo do diagrama de foras: a) caixa; b) ao poltico. Despreze a resistncia do ar. 97. Leis de Newton 102 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 102 Exerccio 14 A gura 87 mostra um menino que est empurrando uma caixa sobre uma parede com uma fora horizontal. Aplique o algoritmo do diagrama de foras: a) caixa; b) ao menino. Despreze as foras exercidas pelo ar sobre a caixa. As Leis de Newton Aps a discusso qualitativa sobre foras (empurres e puxes ou interaes a distncia entre os corpos), vamos retornar s questes iniciais desta aula. Quais so as causas do movimento? H necessidade de alguma ao para manter um corpo em movimento? O que pode alterar o movimento de um corpo e de que forma essa alterao se realiza? Primeira Lei de Newton Vimos na aula 1 que todo movimento relativo. A escolha de um referencial muito importante na descrio dos movimentos dos corpos. As leis do movimento dos corpos foram obtidas utilizando-se a Terra como referencial. Discutiremos agora algumas das observaes que ajudaram e atrapalharam a descoberta das leis do movimento. Tentaremos responder s duas primeiras questes que foram apresentadas no incio desta aula. Quais as causas do movimento, do ponto de vista do referencial da Terra? Figura 87 Menino empurrando a caixa sobre a parede 98. Leis de Newton 103C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 103 Quem pra os corpos so as foras de atrito. O nosso mundo tem atrito por toda parte. Por isso, durante muito tempo, a lei do movimento aceita como correta era: Um corpo s pode permanecer em movimento se existir uma fora atuando sobre ele. (gura 88). Qualquer pessoa que no conhea as leis da mecnica concordar com essa lei. As idias de Galileu sobre o movimento O cientista Galileu fez uma srie de experimentos com corpos em movimento. Imaginou um mundo sem atrito e concluiu que nesse mundo poderia haver movimento sem que houvesse foras atuando sobre um corpo (gura 89). Os exemplos apresentados anteriormente nos levam a concluir que so as foras que colocam os corpos em movimento: a ma puxada na direo da superfcie da Terra pela fora peso, a bola de bilhar empurrada pelo taco, a caixa empurrada pelo menino etc. H necessidade de alguma ao para manter um corpo em movimento? Desde a nossa infncia sabemos que, para manter um corpo em movimento, precisamos empurr-lo de vez em quando, isto , precisamos aplicar uma fora sobre ele. Era isso que fazamos quando empurrvamos o nosso carrinho de beb, a cadeira da sala etc. Todos sabemos que se arremessarmos uma caixa sobre a superfcie de uma mesa muito comprida ela pra antes de cair. mento enquanto empurrado. Figura 89 Movimento de um corpo em uma mesa longa e sem atrito. Galileu Galilei-Fsico e astrnomo italiano (Pisa, 1564 Arcetri, perto de Florena, 1642). Fez experimentos decisivos para estabelecer os princpios da dinmica 99. Leis de Newton 104 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 104 Uma das verses atuais da lei do movimento enunciada por Galileu : Se um corpo estiver em repouso, necessria a ao de uma fora sobre ele para coloc-lo em movimento; cessando a ao das foras, o corpo continuar a se mover indenidamente em linha reta, com velocidade constante. Essa lei conhecida como Lei da Inrcia. Portanto, a lei do movimento de Galileu responde nossa primeira pergunta. No h necessidade da ao de uma fora para manter um corpo em movimento. Inrcia Existem vrios exemplos do cotidiano onde a lei da inrcia comprovada. Por exemplo, um corpo que est em repouso sobre a superfcie da Terra permanece em repouso sobre ela, a menos que uma fora atue sobre ele. Um esquiador que se coloca em movimento empurrando a neve para trs permanece em movimento retilneo uniforme em uma superfcie de neve plana at que volte a empurrar a neve para parar (gura 90). Isso ocorre porque o atrito entre a camada de gua que est em contato com o esqui e o esqui pequeno. Pense em outros exemplos em que os corpos tm a tendncia a manter o seu estado de movimento. Essa propriedade dos corpos denominada inrcia. Figura 90 O esquiador sabe que em uma superfcie de neve plana ele permanece em movimento retilneo uniforme, enquanto no empurrar a neve para parar. 100. Leis de Newton 105C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 105 A Primeira Lei de Newton Isaac Newton formulou, vrios anos aps Galileu, as trs leis que regem o movimento dos corpos na Terra e nos cus. A Primeira Lei de Newton a Lei da Inrcia de Galileu. PRIMEIRA LEI DE NEWTON Existem referenciais onde um corpo isolado permanece em repouso ou continua em movimento retilneo com velocidade constante. Dizemos que um corpo est isolado quando a fora resultante que atua sobre ele nula. Os referenciais onde vale a Primeira Lei de Newton so denominados referenciais inerciais. As Leis de Newton foram descobertas no referencial da Terra. Logo, podemos concluir que, pelo menos nas anlises dos movimentos dos corpos associados ao nosso cotidiano (movimento de carros, bicicletas etc.), ela pode ser considerada inercial. Na realidade, a Terra no um referencial inercial porque ela gira em torno do seu eixo. Entretanto, o movimento de rotao da Terra em torno do seu eixo afeta muito pouco os movimentos usuais, na escala de laboratrio, e na prtica empregamos o laboratrio como um referencial inercial. Por outro lado, um referencial ligado s estrelas xas , com excelente aproximao, um referencial inercial. importante entender o signicado da fora resultante. Na aula 4 foi vericado experimentalmente que as foras so vetores, somando-se portanto pela regra do paralelogramo. Isso signica que o empurro ou puxo que vrias foras exercem sobre um corpo equivalente a um nico empurro ou puxo caracterizado pelo mdulo, direo e sentido da fora resultante. A fora resultante P a soma vetorial de todas as foras que atuam em um corpo. P14- Enuncie a Primeira Lei de Newton. Vamos calcular as foras resultantes dos sistemas descritos nos exerccios de 6 a 9. Mas, antes, fundamental relembrar as vrias representaes de vetores e das somas de vetores: REFERENCIAIS INERCIAIS FORA RESULTANTE Estrelas fixas so aquelas que no apresentam movimento relativo entre si. 101. Leis de Newton 106 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 106 Representao simblica de um vetor: o vetor representado por uma letra com uma seta em cima, por exemplo, P . Ela abstrata e no fornece nenhuma informao sobre o mdulo, direo e sentido do vetor. Ela pode fornecer informaes relativas entre vetores, por exemplo, o vetor tem a mesma direo e o mesmo mdulo do vetor P e sentido contrrio ao dele. Representao simblica de uma soma de vetores: a soma dos vetores e denotada por . Ela tambm abstrata e signica que os vetores devem ser somados pela regra do paralelogramo. Ela no fornece a direo, o mdulo e o sentido do vetor obtido pela soma, isto , do vetor resultante. Representao geomtrica de um vetor: o segmento de reta orientado que representa geometricamente o vetor. Por exemplo, no exemplo 9, a representao da fora P a seta vertical com o sentido de cima para baixo representada na Figura 81. Representao geomtrica da soma de vetores: o segmento de reta orientado obtido aplicando-se a regra do paralelogramo aos segmentos de reta orientados que representam os vetores. Representao em componentes de um vetor: fornecem-se os eixos coordenados com os seus unitrios e os valores das componentes dos vetores. Por exemplo, no sistema de eixos cartesianos da gura ao lado, o vetor representado por . Lembre-se de que a componente de um vetor em uma direo caracterizada por um vetor unitrio o nmero por que se deve multiplicar o vetor unitrio naquela direo para se obter o vetor projetado. Ela positiva quando o vetor projetado tem o sentido de e negativa quando o sentido contrrio. Projetar um vetor em uma direo caracterizada por uma reta (1- 2), levantar, a partir dessa reta, perpendiculares que passam pelo incio e pelo nal do vetor. O mdulo da projeo|Au| = d a distncia entre as perpendiculares. Precisamos desse lembrete para calcular as componentes dos vetores. No caso em que o vetor perpendicular a um dos eixos, o vetor projetado naquele eixo nulo porque a distncia entre as duas retas que o projetam nula. Veja na gura ao lado as projees da fora peso. O vetor peso projetado na direo OX nulo porque as duas retas perpendiculares ao eixo OX que fazem a projeo coincidem, sendo portanto a distncia entre elas nula. O mdulo do vetor projetado da fora peso na direo do eixo OY P. A sua componente negativa porque o seu sentido contrrio ao do unitrio . , . 102. Leis de Newton 107C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 107 Exemplo 2: Qual a fora resultante que atua em uma ma que est caindo? Fornea a representao simblica, geomtrica e em componentes da fora resultante. Despreze a resistncia do ar. Figura 92 Fora resultante na ma que est em repouso no solo. Figura 91 Fora resultante na ma. Resoluo: Vamos construir o diagrama de foras do nosso sistema utilizando o algoritmo do diagrama de foras. O nosso objeto de estudo a ma. A ma desenhada separada dos outros corpos, no lado direito da gura 91. Nesse caso, somente o ar est em contato com a ma. Como o problema informa que a fora que o ar exerce sobre a ma desprezvel, no existe fora de contato. A nica fora gravitacional que no desprezvel o peso P da ma. A representao simblica da fora resultante na ma . A representao geomtrica da fora resultante a seta que representa a fora peso na gura 91. A representao em componentes da fora resultante R = P . O mdulo da fora resultante P. Exemplo 3: Qual a fora resultante que atua em uma ma que est no solo? Considere o mdulo da normal igual ao mdulo da fora peso. Fornea a representao simblica, geomtrica e em componentes da fora resultante. Despreze a resistncia do ar. 103. Leis de Newton 108 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 108 Resoluo: Vamos construir o diagrama de foras do nosso sistema utilizando o algoritmo do diagrama de foras. O nosso objeto de estudo a ma. A ma foi desenhada separada dos outros corpos no lado direito da gura 92. Nesse caso, esto em contato com a ma o ar e o solo. Como o problema informa que a fora que o ar exerce sobre a ma desprezvel, a nica fora de contato que existe a que o solo exerce sobre ela. A ma tenta penetrar no solo deformando de forma imperceptvel (como uma cama elstica). A superfcie do solo deformada empurra a ma para cima, isto , exerce a fora normal sobre a ma. Como ningum est tentando arrastar a ma no solo, no existe fora de atrito. A nica fora gravitacional que no desprezvel o peso P da ma. A representao simblica da fora resultante que atua na ma a fora peso, . A representao geomtrica obtida aplicando a regra do paralelogramo s setas que representam a fora peso e a fora normal. A gura ao lado mostra que a fora resultante nula. A fora resultante na representao de componentes nula, . O mdulo R da fora resultante . Exemplo 4: Qual a fora resultante que atua em uma ma que desliza sobre uma superfcie sem atrito empurrada horizontalmente para a direita por uma mo (ver gura 93)? Considere o mdulo da fora peso igual ao mdulo da fora normal. Fornea a representao simblica, geomtrica e em componentes. O nosso objeto de estudo a ma. A ma foi separada dos outros corpos e colocada no lado direito da gura 93. Nesse caso, esto em contato com a ma o ar, e o solo e a mo. Como o problema informa que a fora que o ar exerce sobre a ma desprezvel, as foras de contato so exercidas pelo solo e pela mo. A ma tenta penetrar no solo deformando-o de forma imperceptvel (como uma cama elstica). Figura 93 Ma sendo empurrada em um plano liso. 104. Leis de Newton 109C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 109 A superfcie do solo deformada empurra a ma para cima, isto , exerce a fora normal sobre a ma. Como a superfcie lisa, no tem atrito. A mo que est em contato com a ma exerce sobre ela uma fora horizontal . A nica fora gravitacional que no desprezvel o peso da ma. A representao simblica da fora resultante que atua na ma A aplicao da regra do paralelogramo aos vetores mostra que a fora resultante igual fora . Por isso, a sua representao geomtrica igual da fora . O mdulo da fora resultante F. A representao em componentes da fora resultante . Exemplo 5 Qual a fora resultante que atua em uma ma que desce sobre um plano inclinado liso (Figura 94)? Fornea a representao simblica, geomtrica e em componentes da fora resultante. Figura 94 A ma descendo um plano inclinado liso. O nosso objeto de estudo a ma. A ma foi desenhada separada dos outros corpos e colocada no lado direito da gura 94. Nesse caso, esto em contato com a ma o ar e a superfcie do plano inclinado. Como o problema informa que a fora que o ar exerce sobre a ma desprezvel, as foras de contato so exercidas pela superfcie do plano. A ma tenta penetrar na superfcie do plano deformando-a de forma imperceptvel (como uma cama elstica). A superfcie deformada empurra a ma para cima perpendicularmente superfcie, isto , exerce a fora normal sobre a ma. Como a superfcie lisa, no h atrito. A nica fora gravitacional que no desprezvel o peso da ma. A representao simblica da fora resultante que atua na ma R = N + P . A representao geomtrica obtida somando-se os vetores e pela regra do paralelogramo. 105. Leis de Newton 110 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 110 Figura 95 A fora resultante que atua na ma. A representao da fora resultante em componentes R = Psen + (N Pcos) . Leituras e exerccios 7 Leituras Leia as sees 3.2 e 3.3, intituladas Inrcia - A Primeira Lei de Newton e Fora de atrito do livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga). Dessa mesma seo faa os exerccios de xao de 8 at 15. Exerccio 15 O diagrama de foras de uma ma que est em repouso no5 solo foi desenhado na gura 92 , repetida abaixo. Considere que os mdulos da normal e da fora peso so iguais, N=P. Figura 96 Fora resultante na ma que est em repouso no solo. a) Faa a representao geomtrica do vetor . Qual o mdulo desse vetor? b) Faa a representao geomtrica do vetor e compare com a fora resultante que atua na ma. Qual o mdulo desse vetor? 106. Leis de Newton 111C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 111 Exerccio 16 Uma ma com peso de desce um plano inclinado liso. O ngulo que o plano inclinado faz com a horizontal (Figura 97). Figura 97 A ma descendo um plano inclinado liso. a) Faa o diagrama de foras da ma. b) Projete o vetor peso nas direes e OY. c) Desenhe o vetores e . Veja a denio da operao produto de um vetor por um nmero real na aula 2. d) Compare as direes dos vetores representados no item (c) com os vetores projees da fora peso obtidas em (b). 107. Leis de Newton 112 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 112 Segunda Lei de Newton O que pode alterar o movimento de um corpo e de que forma essa alterao se realiza? Os exemplos do nosso cotidiano mostram que so as foras que modicam o movimento dos corpos. Resta saber de que forma essa modicao ocorre. As anlises de alguns experimentos nos ajudaro a entender a lei do movimento que responde a essa pergunta. Iniciaremos a nossa discusso relembrando o conceito intuitivo de massa. Massa a quantidade de matria de um corpo. A massa de um corpo medida, desde os tempos antigos, com balanas. As balanas mais simples so aquelas que tm um brao ligado a dois pratos. Medir uma massa desconhecida equivale a equilibr-la com um conjunto de massas padres. Quando o brao ca em equilbrio dizemos que a massa do corpo igual soma do conjunto das massas padres. Figura 99 Um corpo submetido a uma fora resultante constante na direo da sua velocidade adquire uma acelerao constante com a mesma direo e o mesmo sentido da fora. Figura 98 Balana em equilbrio. A experincia mostra que um corpo submetido a uma fora resultante constante na direo de sua velocidade adquire uma acelerao constante com a mesma direo e o mesmo sentido da fora aplicada. Na gura 99 a fora mantida constante com um dinammetro. Figura 100 Corpos com massas diferentes apresentam aceleraes diferentes quando so submetidos mesma fora resultante. O corpo de maior massa acelera menos. Na gura 100, dois corpos com massas diferentes m1 e m2 (m1>m2) so acelerados por foras resultantes iguais. O corpo de maior massa acelera menos. 108. Leis de Newton 113C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 113 Verica-se experimentalmente que a razo entre as aceleraes dos corpos inversamente proporcional razo das massas, isto , . A expresso anterior mostra que quanto maior a massa de um corpo menor a sua acelerao. difcil acelerar e desacelerar um corpo de massa grande. fcil acelerar e desacelerar um corpo de massa pequena. A massa de um corpo mede a inrcia que ele apresenta mudana do seu estado de movimento. Ningum em juzo perfeito permaneceria na trajetria de um elefante em movimento se tivesse a opo de se colocar na frente de um inseto em movimento. A gura 99 mostra que a acelerao instantnea do corpo e a fora resultante que atua sobre ele tm a mesma direo e o mesmo sentido. Ser que isso sempre verdade? Na gura 102 est representada a trajetria de uma bala que foi arremessada por um canho. Foram desenhadas sobre a bala a sua velocidade, acelerao e a fora resultante. A resistncia do ar foi desprezada. A fora resultante no tem a direo da velocidade da bala. Ela tem a direo da acelerao da bala. Figura 101 muito mais difcil parar um elefante do que um inseto. a P v Figura 102 A fora resultante que atua na bala tem a direo da acelerao da bala do canho. 109. Leis de Newton 114 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 114 Sol Terra a Fg v Sir Isaac Newton- Matemtico e fsico ingls (Woolsthorpe,1642- Kensington ,1727). Os resultados dos seus estudos sobre os movimentos dos corpos esto sintetizados na sua obra mais importante: Philosophiae naturalis principia mathematica (1686-1687). Na gura 103 est representada a trajetria da Terra em torno do Sol. Foram desenhadas sobre a Terra a sua velocidade, a acelerao e a fora resultante, que no tem a direo da velocidade da Terra. Ela tem a direo da acelerao da Terra. Newton analisou vrios experimentos e concluiu que a acelerao de um corpo sempre proporcional fora resultante que atua sobre ele. Esse resultado est enunciado na Segunda Lei de Newton. SEGUNDA LEI DE NEWTON Em um referencial inercial, a acelerao de um corpo diretamente proporcional fora resultante que atua sobre ele. A constante de proporcionalidade m a massa do corpo. P16 ENUNCIE A SEGUNDA LEI DE NEWTON. Podemos resumir as discusses e os resultados obtidos at agora da seguinte forma: A Mecnica a cincia cuja nalidade descrever o movimento dos corpos. Existem alguns corpos que podem ser tratados como partculas. O conhecimento da acelerao da partcula em funo do tempo e das condies iniciais do movimento da partcula (velocidade e posio iniciais) permite obter o vetor posio da partcula em funo do tempo. A acelerao da partcula obtida com a aplicao da Segunda Lei de Newton a ela. Sugerimos o seguinte algoritmo para encontrar a trajetria de uma partcula: Escolher o referencial inercial a ser utilizado. Aplicar o algoritmo do diagrama de foras para encontrar a fora resultante. Aplicar a Segunda Lei de Newton ao sistema. Analisar os vnculos (restries ao movimento do sistema). Calcular a acelerao. Obter o vetor posio da partcula em funo do tempo a partir da acelerao e das condies iniciais (velocidade inicial e posio inicial). Figura 103 A fora resultante que atua na Terra tem a direo da acelerao da Terra. 110. Leis de Newton 115C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 115 Exemplo 6: Na gura 104, uma ma de massa m est caindo. Calcule a fora resultante e a acelerao da ma. Despreze a resistncia do ar. Considere conhecido o mdulo P do peso da ma Figura 104 Fora resultante na ma caindo Resoluo: O referencial escolhido a Terra. No exemplo 2, mostramos que a fora resultante que atua na ma a fora peso, isto , R = P = P . A aplicao da Segunda Lei de Newton ma fornece: . No existe nenhum vnculo ao movimento da ma antes de ela chegar ao solo. A acelerao do sistema a = P m = g . A razo entre o peso do sistema e a sua massa habitualmente denominada de acelerao da gravidade . costume escrever o peso de um corpo como . Adotaremos essa notao a partir de agora. Exemplo 7: Na gura 105, uma ma de massa m est em repouso sobre o solo. Calcule a fora normal e a fora resultante. Despreze a resistncia do ar. Suponha que a fora peso conhecida. Figura 105 Fora resultante na ma que est em repouso no solo. 111. Leis de Newton 116 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 116 Resoluo: O referencial escolhido a Terra. No exemplo 3, mostramos que a fora resultante que atua na ma . A aplicao da Segunda Lei de Newton ma fornece: O problema informa que a ma est parada. Conseqentemente, a sua acelerao nula. Portanto temos que: . Exemplo 8: Na gura 106, uma ma de massa m est no interior de um elevador com acelerao para cima. A ma nunca perde o contato com o piso. Calcule a fora normal, a fora resultante e a acelerao da ma. Despreze a resistncia do ar. Resoluo: O referencial escolhido a Terra. O piso do elevador e o ar esto em contato com a ma. Como a resistncia do ar desprezvel, apenas o piso exerce fora de contato sobre a ma. O piso deformado pela ma empurra a ma para cima com a fora normal. A Terra puxa a ma com a fora peso para baixo. A fora resultante que atua na ma . A aplicao da Segunda Lei de Newton ma fornece: Nesse caso, existe um vnculo ao movimento da ma. Ela permanece sempre em contato com o piso do elevador. Logo, ela tem a mesma acelerao do elevador, isto , . Portanto, temos que Figura 106 Ma no piso de um elevador acelerado para cima. 112. Leis de Newton 117C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 117 Resoluo: O referencial a Terra. A caixa foi desenhada separada dos outros corpos no lado direito da gura 107 Esto em contato com a caixa: o piso, a corda e o ar. O problema diz que a resistncia do ar desprezvel. A corda puxa o corpo com a fora . A superfcie deformada de maneira imperceptvel empurra a caixa para cima, como uma cama elstica, exercendo sobre ela a fora normal . No existe resistncia ao deslizamento relativo das superfcies porque elas so lisas. A fora gravitacional que a Terra exerce sobre a caixa a nica fora gravitacional que no desprezvel. Ela o peso da caixa. A representao simblica da fora resultante R P N F= + + . As componentes da fora resultante so: Rx = Px + Nx + Fx Ry = Py + Ny + Fy . Pela gura 107, vemos que as componentes de cada uma das foras so: Px = 0 , Py = P Nx = 0 , Ny = N Fx = Fcos , Fy = Fsen importante ressaltar que nesse caso a normal maior do que a fora peso. Isso sempre vai ocorrer quando o elevador estiver acelerando para cima. Todos ns j experimentamos um aumento de presso nos ps em elevadores acelerados para cima. Voc ler uma discusso sobre peso aparente no livro do Gref. Exemplo 9: Na gura 107, uma caixa de massa m puxada sobre uma superfcie lisa por uma corda de massa desprezvel que faz um ngulon de 30o com a horizontal. Calcule a fora normal, a fora resultante e a acelerao da caixa. Suponha conhecida a fora que a corda exerce sobre a caixa. Despreze a resistncia do ar. Figura 107 Caixa deslizando em um piso liso. 113. Leis de Newton 118 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 118 Portanto, as componentes da fora resultante so: . A fora resultante na representao de componentes R = Fcos + (N P + Fsen) . A aplicao da Segunda Lei de Newton caixa fornece: . No caso do nosso problema, a caixa tem de car sobre a superfcie. Esse vnculo (restrio ao movimento) faz com que a acelerao da caixa seja horizon- tal. Portanto, a componente da acelerao nula. A aplicao desse vnculo equao da componente y da fora resultan- te fornece a fora normal. .Ry = 0 N P + Fsen = 0 N = P Fsen N = (P Fsen) R = F cos . Leituras e exerccios 8 Leituras Leia a seo 3.4, intitulada A Segunda Lei de Newton, do livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga). Dessa mesma seo, faa os exerccios de xao de 24 at 33. Leia a seo intitulada Exerccios complementares, do livro Fsica 1- Mecnica do Gref, faa o exerccio C.14 sobre peso aparente. Exerccio 17 Uma ma desce um plano inclinado liso. Calcule a fora resultante, a normal e a acelerao que atua sobre ela. (ver gura 108). Suponha conhecidos o peso P, o ngulo e a massa da ma. X O Y ^ ^ Figura 108 A ma desce um plano inclinado liso. 114. Leis de Newton 119C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 119 Terceira Lei de Newton A Segunda Lei de Newton diz respeito mudana de movimento do corpo que objeto de estudo. A ma caindo, a ma no solo, a ma no elevador etc. Nela no existe nenhuma referncia ao do objeto de estudo (a ma) sobre os agentes externos que atuaram sobre ele (a Terra, o solo, a superfcie lisa, a mo). Ela se refere apenas a um dos elementos da interao e ignora o fato de que as interaes mais simples ocorrem aos pares. Antes de enunci-la, vamos descrever o que vemos e sentimos em algumas situaes do cotidiano. No podemos esquecer de denir claramente quem o par que est interagindo antes de fazer qualquer anlise. Figura 109 Lutadores de sum se empurrando. Ser que quem empurra empurrado? De que forma? Quando somos empurrados, devido nossa inrcia, empurramos quem nos empurrou. Na gura 109, os lutadores de sum esto se empurrando. Se o nosso objeto de estudo o lutador de sum que est de frente e o agente externo aquele est de costas, podemos dizer: O lutador de sum que est de costas age sobre o lutador que est de frente aplicando-lhe um empurro (uma fora de ao) e o lutador de sum que est de frente reage empurrando (fora de reao) o lutador que est de costas. Concluso: quem empurra empurrado!!! Que relao existe entre a ao e a reao? Elas tm a mesma direo, o mesmo sentido, o mesmo mdulo? Uma maneira simples de analisar as direes e os sentidos da ao e da reao solicitar aos dois lutadores que se empurrem sem se agarrarem. Ficar ntido que a direes da ao e da reao so iguais e os sentidos so opostos. Todos ns j vivenciamos essa situao na infncia quando empurramos algum. 115. Leis de Newton 120 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 120 A visualizao da relao entre os mdulos requer medidas mais apuradas, uma vez que o que observamos so as aceleraes dos lutadores e elas dependem da ao e da reao e das massas dos lutadores. fcil observar que se as massas so iguais eles sero acelerados da mesma forma nos dois sentidos. No entanto, se as massas forem diferentes difcil tirar alguma concluso sem medir as aceleraes dos lutadores. O que vericamos que se as massas forem diferentes o mais leve ter a maior acelerao. movimentar visivelmente a enorme massa da Terra. Ser que quem puxa puxado? De que forma? Vamos analisar agora o par formado pela corda+bloco (objeto de estudo) e pelo menino que puxa o bloco (agente externo). O menino puxa a corda+bloco (ao) e a corda puxa a mo do menino (reao). Essa a vivncia que temos do cotidiano. Quem puxa um objeto puxado por ele. Que relao existe entre a ao e a reao? Elas tm a mesma direo, o mesmo sentido, o mesmo mdulo? Aqui tambm fcil perceber que a ao e a reao tm a mesma direo e sentidos contrrios. O conhecimento da relao entre as intensidades depende novamente da medida das aceleraes provocadas pela ao no bloco+corda e pela reao no menino. Figura 110 A corda e o menino esto se puxando. Ser que sempre existe ao e reao? Vemos a Terra puxar a ma, mas no vemos a ma puxar a Terra. 116. Leis de Newton 121C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 121 Newton realizou experimentos que lhe permitiram concluir que sempre existe reao e que a sua intensidade igual da ao. No vemos a Terra acelerar na direo e sentido da ma porque sua massa muito grande e a reao muito pequena para produzir um deslocamento perceptvel da Terra. O mesmo ocorre quando empurramos a Terra para andar. A fora de reao exercida sobre a Terra a desloca de forma imperceptvel. A LEI DA AO E REAO DE NEWTON: A toda ao corresponde uma reao igual e contrria ou Quando o corpo A sofre a ao de um agente externo B ele exerce sobre o agente externo uma fora denominada de reao que tem o mesmo mdulo, a mesma direo e o sentido contrrio ao da ao. Fica claro pelo enunciado da terceira lei que a ao e a reao atuam em corpos diferentes e que nome ao e reao depende do objeto de estudo. P16 Enuncie a Terceira Lei de Newton Vamos fazer alguns exemplos para entender melhor a terceira lei. Todavia, importante ressaltar que para descobrir a reao de uma fora preciso fazer a pergunta correta. A pergunta correta Quem exerceu a fora sobre o agente externo? E a pergunta errada Por que a fora foi exercida? Exemplo 10: Iniciemos o estudo com o exemplo 10. O par que interage a Terra e a ma. A ma o objeto de estudo e a Terra, o agente externo. As aes so as foras que atuam na ma. No caso desse exemplo, a nica ao a fora peso. Quem exerce a fora peso na ma? a Terra. A reao fora peso age sobre a Terra e igual a . Se o objeto de estudo fosse a Terra, a ao seria e a reao . -P P Figura 112 Reao fora peso da ma. 117. Leis de Newton 122 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 122 Exemplo 11: Vamos analisar as aes e reaes do exemplo 7. Nesse exemplo, existem dois pares de interao. O primeiro par que interage a Terra e a ma e o segundo par a ma e o solo. A anlise do par Terra+ma anloga anterior, j que uma interao no altera a outra. Portanto, basta analisar o par ma+solo. A ma o objeto de estudo e o solo o agente externo. A ao a normal. A reao est em quem causou a normal. Quem empurrou a ma foi o solo, que, deformado imperceptivelmente pela ma, empurrou a ma para cima. Portanto, a reao fora normal est no solo e . -P P N -N Alguns alunos respondem erroneamente que a reao fora normal a fora peso. Esses alunos fazem a pergunta errada Por que o solo empurra a ma? E respondem, porque a fora peso puxa a ma para baixo deformando o solo. Concluindo, assim, que a reao fora normal a fora peso. Eles no percebem que para se descobrir a reao devem perguntar Quem exerceu a fora sobre o objeto de estudo? e no Por que a fora foi exercida? Alm disso, para que duas foras sejam ao e reao elas tm que ter mdulos iguais e direes iguais. Existem vrios exemplos onde a fora normal e a fora peso no apresentam essas caractersticas. Podemos citar o exemplo do elevador, onde os mdulos das foras peso e normal so diferentes, e o exemplo do plano inclinado, onde os mdulos e direes das foras peso e normal so diferentes. Exemplo 12: No Exemplo 9, existem trs pares de interao. O primeiro par que interage a Terra e a caixa, o segundo par a caixa e a superfcie e o terceiro caixa e a corda. A anlise dos dois primeiros pares j foi feita. Nos ateremos apenas Figura 113 - Reaes fora peso da ma e fora normal que atua na ma. Figura 114 Reao fora exercida pela corda sobre a caixa. 118. Leis de Newton 123C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 123 ao terceiro par. A caixa o objeto de estudo e a corda o agente externo. A corda est puxando a caixa com (ao) e a caixa puxa a corda com . Novamente, para concluir corretamente onde esto as reaes o aluno tem que fazer a pergunta correta. Por exemplo, o aluno que pergunta Quem est puxando a caixa? responde que a corda. Ele conclui corretamente que a reao fora est na caixa. No entanto, o aluno que faz a pergunta Por que a corda puxa a caixa? responde: porque que o menino puxa a corda. Ele conclui erradamente que a reao fora est na mo do menino. Leituras e exerccios 9 Leituras Leia a seo 3.5, intitulada Ao e reao-A Terceira Lei de Newton do livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga). Dessa mesma seo, faa os exerccios de xao de 24 at 33. Questionrio: Responda novamente ao questionrio 4. Nesta aula, apresentamos os conceitos de fora e as trs leis de Newton. Na prxima aula, estudaremos outros movimentos com auxlio dessas leis. 119. Leis de Newton 124 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 124 Exerccios programados 8 1. As expresses a seguir apresentam erros na notao vetorial. Reescreva-as de forma correta. De acordo com as foras apresentadas na Figura 1: a. T P ma = b. P = mg c. g = (10g m/s2) De acordo com as foras apresentadas na Figura 2: d. N Py y = 0 e. N Nsenx = f. N N= cos N sen+ T a P Figura 1 a N y x P Figura 2 De acordo com as foras apresentadas na Figura 3: g. f Natrito = h. P N= N P fatrito F Diagrama de foras do bloco que est sendo empurrado pelo menino. Figura 3 120. Leis de Newton 125C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 125 2. Uma caixa de 1.200kg est sendo rebocada para cima em um plano inclinado, por meio de um cabo rgido amarrado na traseira de um caminho guincho com uma acelerao de mdulo a = 0,1m/s2. O cabo faz um ngulo de = 30 com o plano inclinado e o ngulo que o plano inclinado faz com a horizontal tambm igual a = 30. O coeciente de atrito entre a superfcie e a caixa = 0,8. Despreze a resistncia do ar. Analise o problema a partir de um referencial xo na Terra. a. O nosso objeto de estudo a caixa. Faa um desenho da caixa separada do seu exterior. b. Quais os corpos que esto em contato com ela? c. Quais os corpos que esto em contato com a caixa e que exercem fora sobre a mesma? Desenhe as foras de contato sobre a caixa. d. Existem foras gravitacionais que atuam sobre a caixa? Qual delas no desprezvel? e. Onde esto aplicadas as reaes s foras desenhadas sobre a caixa? f. Calcule todas as foras que atuam sobre a caixa. Expresse todos estes vetores em termos dos vetores unitrios e . 30 30 Figura 4 121. Leis de Newton 126 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 126 Gabarito 1. As expresses a seguir apresentam erros na notao vetorial. Reescreva-as de forma correta. Todos os diagramas foram consi- derados a partir do referencial da Terra. a. Subtrair dois vetores o mesmo que somar um vetor com o seu simtrico, isto , T P T P = + ( ). A gura a seguir mostra a soma do vetor T com o vetor simtrico do vetor P , que P . T a P Figura 1 P T T A Segunda Lei de Newton se refere soma de vetores e no diferena de vetores. Quem escreve a Segunda Lei como a diferena T P ma = , est confun- dindo a fora resultante com o seu mdulo. Veja gura anterior! Por isso, o correto T P ma+ = b. P mgj= Quando multiplicamos um vetor por um nmero, obtemos um vetor com a mesma direo do vetor. Se o nmero for positivo, o vetor obtido pela multiplicao tem o mesmo sentido do vetor que foi multiplicado. Logo, pela expresso P mgj= , a fora peso tem a mesma direo e o mesmo sentido do vetor unitrio , uma vez que pela nossa conveno a letra g associada ao vetorg g representa o mdulo do vetor acelerao da gravidade e a massa sempre um nmero positivo. A gura mostra que a fora-peso tem o sentido contrrio ao do vetor unitrio . P T P T P T P+ + = 122. Leis de Newton 127C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 127 a N y x P Figura 2 A conveno adotada no Mdulo 3 e nos livros de Fsica mais avanados coloca um sinal na componente que relaciona o sentido do vetor projetado com o sentido do unitrio. Se o sentido do vetor projetado igual ao sentido do vetor unitrio, a componente positiva. Se o sentido for contrrio, a componente negativa. O vetor a representado pelas componentes ax = 2 e ay = 2, est no primeiro quadrante porque os vetores projetados nas direes dos unitrios e tm o mesmo sentido dos unitrios. O vetor ax = 2 e ay = 2 est no segundo quadrante porque o vetor projetado na direo do unitrio tem o sentido do unitrio e o vetor projetado na direo do unitrio tem o sentido contrrio ao do unitrio . a ax ay O X Y ay a ax O X Y Portanto, a expresso correta : P = mg j c. g = (10g m/s 2 ) j No podemos igualar um nmero real a um vetor, uma vez que um vetor no um nmero real. Na expresso anterior, g o mdulo da acelerao dag gravidade e o vetor unitrio na direo do eixo OY com o sentido do eixo OY. A expresso anterior poderia ter as seguintes formas: g = (10m/s 2 ) j ou g = 10g m/s 2 ou gy = 10m/s 2 d. N Py y = 0 Pela nossa denio de componentes, a componente Py da fora peso negativa porque o vetor projetado P Py = tem o sentido contrrio ao do unitrio . A expresso correta NyNN + Py = 0. 123. Leis de Newton 128 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 128 e. N Nsenx = n est errada porque as componentes dos vetores so nmeros e no podemos escrever que um vetor igual a um nmero. Uma forma correta N Nsenx = . f. N N i Nsen j= +cos Qualquer vetor pode ser escrito como N N i N jx y= + A gura ao lado mostra que de acordo com as denies de seno e cosseno temos que: sen( ) = = N N x e cos( ) N N y Portanto, temos que: N N N N x x = = =sen( ) e N Ncos( )y Cuidado! comum encontrar nos livros do Ensino Mdio uma conveno para as componentes de um vetor que estipula que elas so sempre nmeros positivos que representam o tamanho da projeo do vetor. Nessa conveno, para se caracterizar univocamente um vetor com suas componentes, necessrio fornecer as componentes do vetor, acompanhadas do quadrante em que o vetor se encontra. Por exemplo, se informo que o vetor a tem componentes ax = 2 e ay = 2, sem dizer em que quadrante est, ele pode ser um dos quatro vetores representados a seguir: a a a a ou ou ou Se tivssemos informado que o vetor a tem componentes ax = 2 e ay = 2 e est no segundo quadrante, o vetor seria a Essa conveno no est errada, mas inadequada para denir operaes mais complexas com vetores, tais como o produto escalar entre vetores e o produto vetorial entre vetores. Por essa conveno, a expresso NyNN Py = 0 est correta, porque ambas componentes so positivas. No usaremos essa conveno! a N y x P Figura 2 N O X Y NyNN NxN 124. Leis de Newton 129C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 129 A expresso correta : N N i N j= +sen cos De acordo com as foras apresentadas na Figura 3: g. f Natrito = A expresso anterior arma que a fora de atrito igual ao vetor que representa a fora normal multiplicada pelo coeciente de atrito, que um nmero. Logo, pela expresso escrita, a fora de atrito tem a mesma direo e o mesmo sentido da fora normal, o que no est correto. As expresses corretas so: f Natrito = ou f N jatrito = . N P fatrito F Figura 3 Diagrama de foras do bloco que est sendo empurrado pelo menino. h. P N= A expresso anterior arma que a direo da fora peso igual direo da fora normal, o que no est de acordo com a Figura 3, que mostra que os mdulos da fora peso e da fora de atrito so iguais. Logo, a expresso correta P fatrito= 2. Uma caixa de 1.200kg est sendo rebocada para cima em um plano inclinado, por meio de um cabo rgido amarrado na traseira de um caminho guincho, com uma acelerao de mdulo a = 0,1m/s2 . O cabo faz um ngulo de = 30 com o plano inclinado e o ngulo que o plano inclinado faz com a hori- zontal tambm igual a = 30. O coeciente de atrito entre a superfcie e a caixa = 0,8. Despreze a resistncia do ar. a. O nosso objeto de estudo a caixa. Faa um desenho da caixa separada do seu exterior. b. Quais os corpos que esto em contato com ela? c. Quais os corpos que esto em contato com a caixa e que exercem fora sobre a mesma? Desenhe as foras de contato sobre a caixa. 125. Leis de Newton 130 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 130 d. Existem foras gravitacionais que atuam sobre a caixa? Qual delas no desprezvel? e. Onde esto aplicadas as reaes s foras desenhadas sobre a caixa? f. Calcule todas as foras que atuam sobre a caixa. Expresse todos estes vetores em termos dos vetores unitrios e . 30 30 Figura 4 a. O nosso objeto de estudo a caixa. Faa um desenho da caixa separada do seu exterior. b. Quais os corpos que esto em contato com ela? Vamos analisar o problema no referencial da Terra, que pode ser consi- derado inercial. Onossoobjetodeestudoacaixa.Acaixaestdesenhadaesquematicamente na gura acima. Os corpos que esto em contato com ela so o ar, a super- fcie do plano inclinado e o cabo. c. Quais os corpos que esto em contato com a caixa e que exercem fora sobre a mesma? Desenhe as foras de contato sobre a caixa. O enunciado informa que a resistncia do ar desprezvel. Assim, os corpos que esto em contato com a caixa e que exercem fora sobre a mesma so a superfcie do plano e o cabo. As foras de contato so a fat , a normal N e a fora F. A caixa tenta penetrar na superfcie do plano inclinado, deformando-a de forma imperceptvel. A superfcie deformada empurra a caixa para cima perpendicularmente superfcie, isto , exercendo a fora normal N, sobre a caixa. A fora com que o cabo puxa a caixa representada na gura a seguir por F. 126. Leis de Newton 131C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 131 d. Existem foras gravitacionais que atuam sobre a caixa? Qual delas no desprezvel? A nica fora gravitacional que no desprezvel o peso P da caixa. No Mdulo 3, pginas 84 e 85, so feitas estimativas das ordens de grandeza das foras gravitacionais exercidas pelos corpos celestes sobre corpos prximos Terra e entre corpos do nosso cotidiano. A concluso que a nica fora gravitacional no desprezvel o peso da caixa. e. Onde esto aplicadas as reaes a essas foras? As foras e as suas reaes so respectivamente: Fora (atuando na caixa) Reao fat fat No plano inclinado P P No centro da Terra N N No plano inclinado F F No guincho do caminho fat N F P 30 127. Leis de Newton 132 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 132 f. Calcule todas as foras que atuam sobre a caixa. Decompondo as foras de acordo com o sistema de coordenadas ilustrado na gura a seguir, temos: fat N P 30 O X Y Pela Segunda Lei de Newton temos: P N P f maat+ + + = Escrevendo a Segunda Lei de Newton para cada eixo, temos: Eixo x: F P f ma F Psen f ma x x atx x at + + = + + = cos( ) ( ) ( ) 1 Eixo y: F P f N may y aty y y+ + + = O vnculo do problema que a caixa no desloca do plano inclinado. Logo, ay = 0. Temos ento: Fsen()) cos( ) cos( ) ( ) ( )+ = = N P N P Fsen 0 2 O mdulo da fora de atrito dado por: f Nat = Substituindo o mdulo da normal na equao acima obteremos: f P Fsenat = [ cos( ) ( )] ( )3 A introduo da fora de atrito na expresso (1) permite calcular o mdulo da acelerao: + + = F Psen P Fsen ma F Psen P cos( ) ( ) [ cos( ) ( )] cos cos (( ) cos( ) sin( ) sin( ) cos( ) + = +( ) = + +( ) = Fsen ma F ma P F ma ++ +( ) + P sin( ) cos( ) cos( ) sin( ) 128. Leis de Newton 133C E D E R J MDULO 3 - AULA 5 133 Substituindo os valores fornecidos pelo problema, temos: F N= + +( ) + = 1200 0 1 12000 0 5 0 7 0 86 0 4 11523 8 , , , , , , Da equao (2) temos: N = 12000 . 0,86 11523,8 . 0,5 = 4558,1N N A equao (3) fornece: fat = 0,8 . 4558,1 = 3646,5N E, P = m.g = 1200 . 10 = 12000g N Escrevendo as foras acima em termos dos unitrios e , temos: P i j N N j N F i j N fat = = = + = ( ) ( , ) ( ) ( 6000 9600 4558 1 9980 5762 3646,, )5i N 129. Outros tipos de movimento 135C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 135 Outros tipos de movimento Objetivo: Analisar movimentos de partculas que se deslocam em um plano. Introduo Podemos resumir as discusses e os resultados obtidos at agora da seguinte forma: A Mecnica a cincia cuja nalidade descrever o movimento dos corpos. Existem alguns corpos que podem ser tratados como partculas. O conhecimento da acelerao, da posio inicial e da velocidade inicial de uma partcula permite obter o seu vetor posio . A acelerao da partcula obtida com a aplicao da Segunda Lei de Newton a ela. Nesta aula, utilizaremos esses resultados para entender alguns movimentos de partculas que se deslocam em um plano. Ela composta por oito partes: O que sei sobre a fora gravitacional, a fora de atrito e os movimentos planos um questionrio que tem como nalidade levantar as suas idias prvias sobre o assunto. Conhecendo melhor a fora gravitacional um texto que introduz o conceito de acelerao da gravidade e que discute as trajetrias de partculas que esto sob a ao exclusiva de foras gravitacionais. Conhecendo melhor a fora de atrito um texto que discute as leis do atrito entre superfcies slidas. 130. Outros tipos de movimento 136 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 136 Cinemtica do movimento de um projtil e do movimento circular um texto que discute as grandezas cinemticas desses movimentos. Fora mdia e quantidade de movimento um texto que analisa os movimentos de partculas que sofrem colises e introduz os conceitos de quantidade de movimento e fora mdia. Leituras e exerccios 10 so textos e exerccios sobre a fora de atrito e aplicaes das leis de Newton dos livros Mecnica 1 (Gref) e Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga). Leituras e exerccios 11 so textos e exerccios sobre a independncia dos movimentos e movimento de um projtil, do livro FsicaVolume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga). Leituras e exerccios 12 so textos e exerccios sobre movimento circular, fora mdia e quantidade de movimento dos livros Mecnica 1 (Gref) e Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga). 131. Outros tipos de movimento 137C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 137 O que sei sobre a fora gravitacional, a fora de atrito e os movimentos planos? As questes apresentadas a seguir tm como nalidade investigar e organizar os seus conhecimentos e idias prvias sobre a fora gravitacional, a fora de atrito e os movimentos planos. Escreva em seu caderno, de forma organizada, as respostas s questes. No consulte livros ou notas de aulas, mas no deixe de respond-las. A comparao entre suas idias e conhecimentos sobre a fora gravitacional, a fora de atrito e os movimentos planos antes e depois de trabalhar esta unidade importante para o seu aprendizado. Questionrio 5 1. Descreva as propriedades da fora gravitacional que a Terra exerce sobre os corpos que esto prximos sua superfcie. 2. Descreva as propriedades da fora de atrito esttico entre superfcies slidas. 3. Descreva as propriedades da fora de atrito cintico entre superfcies slidas. 4. Em que circunstncias uma fora resultantett d origem a um movimento retilneo? D exemplos. 5. Em que circunstncias uma fora resultante d origem a um movimento curvilneo? D exemplos. 6. Escreva as expresses das grandezas cinemticas do movimento de uma partcula submetida a uma fora resultante constante. 7. Quais as caractersticas do vetor velocidade em um movimento circular uniforme? 8. Quais as caractersticas da velocidade angular em um movimento circular uniforme? 9. Qual o signicado fsico da fora resultante mdia? 10. Qual a denio de quantidade de movimento? 11. Enuncie a Segunda Lei de Newton utilizando os conceitos de fora mdia e de quantidade de movimento. 132. Outros tipos de movimento 138 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 138 -P P LEI DA GRAVITAO UNIVERSAL, DE NEWTON ACELERAO DA GRAVIDADE Conhecendo melhor as foras gravitacionais No Mdulo 2 enunciamos a Lei da Gravitao Universal, de Newton. A fora gravitacional entre duas partculas diretamente proporcional ao produto das massas e inversamente proporcional ao quadrado da distncia entre elas. Ela tem a direo da reta que une as duas massas e atrativa. A expresso vetorial dessa lei : A fora peso a fora gravitacional exercida pela Terra sobre os corpos, isto , . Ela est representada na Figura 116. Figura 115 Fora gravitacional entre duas partculas. Algumas observaes sobre a fora peso so importantes: A Lei da Gravitao Universal diz respeito a partculas. A Terra um corpo extenso. Por que calculamos a fora gravitacional que a Terra exerce sobre os corpos como se ela fosse uma partcula? Para calcular a fora gravitacional que a Terra exerce sobre uma partcula preciso dividi-la em partculas e somar as foras exercidas por elas no corpo que est sendo atrado. Essa soma s pode ser realizada com clculo integral. O resultado obtido mostra que, para efeito da fora gravitacional, a Terra pode ser tratada como uma partcula com a A razo entre a fora peso e a massa do corpo s depende das propriedades da Terra e denominada acelerao da gravidade . A fora peso o produto da massa do corpo pela acelerao da gravidade, . Quandoaforaresultantequeatuasobreumcorpoaforagravitacional, a sua acelerao igual acelerao da gravidade. Portanto, nesse caso os corpos com massas diferentes caem todos com a mesma acelerao . Isto s ocorre quando possvel desprezar a resistncia do ar. Figura 116 A Terra pode ser considerada como partcula para efeito de clculo da fora gravitacional que ela exerce sobre os corpos. 133. Outros tipos de movimento 139C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 139 daquela de uma folha papel amassado. A resistncia do ar na folha aberta no pode ser desprezada em relao fora peso. O valor da acelerao da gravidade na superfcie da Terra (r = RT = 6400 km) pode ser calculada com os valores da massa da Terra e da constante da gravitao universal G e igual a . Ela varia pouco nas proximidades da Terra; por exemplo, a acelerao da gravidade em uma altitude de 2000m a mesma que na superfcie da Terra, se utilizarmos dois algarismos signicativos. Por isso, podemos considerar que a acelerao da gravidade constante na superfcie da Terra. O valor da acelerao da gravidade a uma distncia igual ao dobro do raio da Terra . Nesta aula, analisaremos o movimento de corpos caindo na Terra e demonstraremos a Segunda Lei de Kepler. P1 DESCREVA AS PROPRIEDADES DA FORA GRAVITACIONAL QUE A TERRA EXERCE SOBRE OS CORPOS QUE ESTO PRXIMOS SUA SUPERFCIE. Conhecendo melhor a fora de atrito Quando um corpo slido empurrado sobre uma superfcie slida, aparece a fora de atrito. O atrito pode ser de dois tipos. O atrito esttico, que aparece quando um objeto empurrado e no entra em movimento. Nesse caso, dizemos que a fora de atrito aparece no sentido de evitar a tendncia ao movimento. Ela nula quando o corpo no est sendo empurrado e pode variar at um valor mximo que proporcional ao valor do mdulo da normal superfcie, . A constante de proporcionalidade denominada coeciente de atrito esttico. Figura 117 O menino est empurrando a caixa sobre o tapete. O tapete tenta evitar o deslizamento da superfcie da caixa exercendo a fora de atrito sobre ela. Fora de Atrito Esttico 134. Outros tipos de movimento 140 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 140 fa F1 eN cN FORA DE ATRITO CINTICA fae v A Figura 117 representa uma caixa que est sendo empurrada horizontalmente pelo menino. A caixa no descola do cho. Ele vai aumentando gradativamente a fora sobre a caixa. Inicialmente, a caixa no desliza. A aplicao da Segunda Lei de Newton caixa fornece: . Enquanto a caixa no desliza a fora de atrito igual fora horizontal. Quando a fora horizontal ca maior do que a fora de atrito mxima , a fora resultante no nula e a caixa comea a deslizar,umavezqueaaceleraodosistemanonula . Depois que o deslizamento se inicia, o mdulo da fora de atrito diminui, cando menor do que a fora de atrito mxima. O seu mdulo ainda proporcional fora normal, mas a constante de proporcionalidade diferente e menor, . A constante de proporcionalidade denominada coeciente de atrito cintico e a fora de atrito, fora de atrito cintica. A Figura 118 representa o grco da fora de atrito em funo da fora horizontal . importante ressaltar que a fora de atrito aparece quando existe uma tendncia ou um movimento relativo entre as superfcies. errado dizer que a fora de atrito tem o sentido contrrio ao movimento. A Figura 119 mostra um arremessador de peso que est freando, e a Figura 120 um corredor que est acelerando. O arremessador de pesos empurra a Terra para a frente e empurrado para trs por ela. Neste caso, a fora de atrito se ope ao movimento do arremessador de pes Figura 118 Grfico da fora de atrito em funo da fora horizontal que est sendo aplicada na caixa. Figura 119 O arremessador de pesos empurra a Terra para a frente e empurrado pela Terra para trs. O sentido da fora de atrito contrrio ao movimento do arremessador de pesos. 135. Outros tipos de movimento 141C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 141 para a frente. Neste caso, a fora de atrito tem o sentido do movimento. fae v Em ambos os casos a fora de atrito est se opondo tendncia de deslizamento relativo entre as superfcies (sola do tnis e supercie do solo). P2 Descreva as propriedades da FORA DE ATRITO ESTTICO entre superfcies slidas. P3Descreva as propriedades da FORA DE ATRITO CINTICO entre superfcies slidas. Leituras e exerccios 10 Leituras Leia a seo 3.7, intitulada Coeciente de atrito no livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga). Dessa mesma seo, faa os exerccios de xao de 44 at 48. Do captulo 3 desse mesmo livro faa os problemas 7 at 24. Leia o Apndice 1-Fora de Atrito do livro Fsica 1-Mecnica,de Gref. Figura 120 O corredor empurra a Terra para trs e empurrado para a frente por ela. A fora de atrito tem o sentido do movimento do corredor. 136. Outros tipos de movimento 142 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 142 Cinemtica do movimento de um projtil e do movimento circular A trajetria de uma partcula depende da fora resultante que atua sobre ela, da sua posio inicial e de sua velocidade inicial. Isto fcil de observar quando impulsionamos um pedao de giz de maneiras diferentes. Figura 121-a Giz largado do ponto A. A trajetria giz v0 A giz trajetria v0 A giz trajetria B Figura 121-b Giz arremessado para cima a partir do ponto A. Figura 121-c Giz arremessado horizontalmente do ponto A. Figura 121-d Giz largado do ponto B. Quando largamos o pedao de giz do ponto A, ele cai verticalmente; quando ele arremessado para cima da mesma posio com uma velocidade inicial com mdulo , ele sobe verticalmente e depois desce; quando arremessado horizontalmente do ponto A com velocidade , ele cai percorrendo uma trajetria curva (ver Figura 121-c). A dependncia da trajetria com a posio inicial do giz aparece quando largamos o giz de dois pontos diferentes (A e B). A trajetria do giz que largado do ponto A diferente da trajetria do giz que largado do ponto B (Figura 121-d). 137. Outros tipos de movimento 143C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 143 a mesma, a = g . A resistncia do ar foi desprezada. O que diferencia as situaes descritas na Figura 121 so as velocidades e posies iniciais do giz. Em que situao uma fora resultante produz uma trajetria curvilnea plana? A trajetria do giz que largado retilnea. A trajetria do giz que arremessado curvilnea e plana. Nesta seo, estamos interessados em entender em que condies a trajetria de uma partcula curvilnea e plana. Discutiremos alguns exemplos com essa nalidade. No movimento retilneo, a velocidade do corpo em qualquer instante de tempo tem a direo da reta que dene a sua trajetria. As variaes de velocidade do corpo tambm tm a direo da trajetria. Para pequenos intervalos de tempo, as variaes de velocidade do corpo so proporcionais s aceleraes instantneas. Como a acelerao instantnea proporcional fora resultante que atua no corpo, podemos dizer que: A condio necessria e suciente para que um corpo permanea em uma trajetria retilnea que a fora resultante que atua sobre ele tenha em qualquer instante de tempo a direo da velocidade inicial do corpo (Figura 122). Em um movimento retilneo a fora resultante pode mudar o mdulo e o sentido da velocidade, mas no a sua direo. O exemplo 1 ilustra a ao da fora resultante em um movimento retilneo. Figura 122 Quando, durante o movimento de um corpo, a fora resultante tem sempre a mesma direo de suas velocidades, o movimento retilneo. t 138. Outros tipos de movimento 144 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 144 Exemplo 1 Na Figura123-a, um patinador est se deslocando com velocidade constante v1 . Quando ele passa pelo ponto A (Figura 123-b), apanha uma corda que est sendo puxada por sua amiga. Ela se encontra fora do rinque de patinao. Por que, para um observador que est parado fora do rinque de patinao, a trajetria do patinador aps ele segurar a corda continua retilnea? Figura 123-a Patinador livre v1 A Figura 123-b Patinador apanha a corda Figura 123-c Patinador sendo puxado pela amiga. A descrio do movimento do patinador vai ser dividida em duas partes. A primeira parte o movimento antes do ponto A (antes de ele apanhar a corda) e a segunda aquela depois do ponto A (depois que ele apanha a corda). 139. Outros tipos de movimento 145C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 145 O referencial escolhido o rinque de patinao. Figura 124-a Diagrama de foras do patinador livre. N P T T Figura 124-b Diagrama de foras do patinador segurando a corda. O Z X O eixo OZ aponta para fora da folha do papel. O Z X O eixo OZ aponta para fora da folha do papel. Primeira parte: Movimento do patinador analisado do referencial da terra antes do ponto A. O objeto de estudo o patinador. Ele foi desenhado separado dos outros corpos na Figura 124-a. S esto em contato com o patinador o gelo e o ar. Se desprezarmos a resistncia do ar e a fora de atrito entre os patins e o gelo, a nica fora de contato que atua o sobre patinador a normal que o gelo exerce sobre ele. A Terra puxa o patinador com a fora peso . A fora resultante que atua no patinador A aplicao da Segunda Lei de Newton ao patinador fornece: Como o patinador no se desloca na direo vertical, sua acelerao nessa direo nula, . A componente da acelerao na direo do movimento tambm nula, porque . Portanto, a acelerao do patinador nula. Conseqentemente, a sua velocidade permanece constante, sendo a sua trajetria retilnea. Segunda parte: Movimento do patinador analisado do referencial da terra depois do ponto A (o patinador est segurando a corda). O objeto de estudo o patinador. Ele foi desenhado separado dos outros corpos na Figura 124-b. S esto em contato com o patinador o gelo, o ar e a corda. Se desprezarmos a resistncia do ar e a fora de atrito entre os patins e o gelo, as foras de contato que atuam no patinador so a normal exercida pelo gelo e a tenso exercida pela corda. O Z X Y 140. Outros tipos de movimento 146 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 146 A Terra puxa o patinador com a fora peso . A fora resultante que atua no patinador R = 2 T + P + N Rx = 2Tx = 2T; Rz = Pz + Nz = N P. A aplicao da Lei de Newton ao patinador fornece: . Como o patinador no se desloca na direo vertical, sua acelerao nesta direo nula, . Conseqentemente, a acelerao do patinador . Ela tem a direo da fora resultante. Vimos na aula 3 que, para intervalos de tempo pequenos, podemos aproximar a acelerao mdia pela acelerao instantnea, isto , . Por isso, a variao da velocidade do patinador nesse intervalo de tempo se reduz a . vv v (t + t) A Figura 125 mostra que essa acelerao muda apenas o mdulo da velocidade. Ela no consegue modicar a direo da velocidade, garantindo dessa forma que o corpo permanecer em uma trajetria retilnea. Um corpo que se movimenta em um plano tem a sua velocidade instantnea sempre paralela a esse plano. Por exemplo, se o plano do movimento coincidir com o plano OXY, a componente da velocidade instantnea do corpo tem que ser nula em todo instante de tempo. Para que isso ocorra, a componente da sua acelerao instantnea tambm tem que ser nula em todo instante de tempo. Como a acelerao instantnea paralela fora resultante, ela tambm no pode ter componente na direo perpendicular ao plano. Para que a trajetria no seja retilnea necessrio que a velocidade do corpo mude de direo. Portanto, a acelerao do corpo no pode ser paralela velocidade instantnea em todos os instantes do tempo. A Figura 126 mostra a variao de velocidade produzida pela acelerao em um pequeno intervalo de tempo . Figura 125 Variao da velocidade do patinador aps o ponto A Figura 126 A acelerao s muda a direo da velocidade se a sua direo for diferente da direo da velocidade. 141. Outros tipos de movimento 147C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 147 a condio necessria e suciente para que a trajetria de um corpo seja curvilnea que a componente da fora resultante perpendicular ao plano (OXY) que contm a trajetria seja nula em todos os instantes de tempo e que a fora resultante no tenha a mesma direo da velocidade inicial do corpo. A Figura 127 representa essa situao. O exemplo 2 ilustra a ao da fora resultante em um movimento plano no retilneo. Exemplo 2 Na Figura 128-a um patinador est se deslocando com velocidade constante v1 . Quando ele passa pelo ponto A ( Figura 128-b), apanha uma corda que est presa nas grades do rinque de patinao. A partir desse instante, at atingir as grades do rinque, ele se desloca sobre um crculo. O brao do patinador se mantm rgido durante o seu movimento Por que a trajetria do patinador curvilnea aps o ponto A ? Figura 127 A fora resultante que atua em um corpo cuja trajetria curvilnea e plana no tem componente na direo perpendicular ao plano da curva em nenhum instante de tempo nem pode ter a direo da velocidade inicial em todos os instantes do tempo. Figura 128-a O patinador est livre. 142. Outros tipos de movimento 148 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 148 A anlise do movimento do patinador do referencial da terra antes de ele pegar a corda anloga realizada no exemplo 1 e no ser repetida. S analisaremos o movimento do patinador depois do ponto A (o patinador est segurando a corda). patinador corda v1 patinador v2 corda N P T Figura 128-b O patinador apanha a corda. Figura 128-c O patinador segura a corda. O objeto de estudo o patinador. Ele foi desenhado separado na dos outros corpos na Figura 129. S esto em contato com o patinador o gelo, o ar e a corda. Se desprezarmos a resistncia do ar e a fora de atrito entre os patins e o gelo, as foras de contato que atuam sobre o patinador so a normal exercida pelo gelo e a tenso exercida pela corda. Figura 129 O patinador faz uma curva ao segurar a corda. 143. Outros tipos de movimento 149C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 149 A Terra puxa o patinador com a fora peso . A fora resultante que atua no patinador A aplicao da Segunda Lei de Newton ao patinador fornece: . Como o patinador no se desloca na direo vertical, sua acelerao nessa direo nula, . Conseqentemente, a soma da fora peso e da normal nula, . A acelerao do patinador . Ela tem a direo da fora resultante e perpendicular velocidade do patinador. Vimos na aula 3 que para intervalos de tempo pequenos podemos aproximar a acelerao mdia pela acelerao instantnea, isto , . Por isso, a variao da velocidade do patinador nesse intervalo de tempo se reduz a . T a v(t) v v (t + t) A Figura 130 mostra que a tenso que a corda exerce sobre o patinador que obriga o patinador a fazer a curva, uma vez que ela produz uma acelerao com a direo diferente da velocidade. P4 Em que circunstncias uma FORA RESULTANTE d origem a um MOVIMENTO RETILNEO? D exemplos. P5 Em que circunstncias uma FORA RESULTANTE d origem a um MOVIMENTO CURVILNEO? D exemplos. Analisaremos a seguir dois movimentos planos cujas trajetrias so parbolas e crculos. Figura 130 Variao da velocidade do patinador no instante representado ao lado 144. Outros tipos de movimento 150 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 150 Trajetrias parablicas Estamos interessados em estudar o movimento de partculas onde atuam foras resultantes constantes, por exemplo, o movimento dos corpos que caem nas proximidades da superfcie da Terra sob a ao exclusiva da fora peso. A acelerao de uma partcula submetida a uma fora resultante constante tambm constante, uma vez que: . Na aula 3 foram analisados alguns movimentos retilneos com aceleraes constantes: o movimento retilneo uniforme e o movimento retilneo uniformemente acelerado. ^ xO r(t) v(t) a=0 x(t) vX (t) y O r(t) v(t) a y(t) vy (t) ay(t)=constante Figura 132 Vetores cinemticos de um movimento uniformemente acelerado no eixo OY. A Figura 131 mostra os vetores cinemticos de uma partcula que se desloca em movimento retilneo uniforme (com acelerao nula) no eixo OX. Os seus vetores cinemticos so: A Figura 132 mostra os vetores cinemticos de uma partcula que se desloca em movimento retilneo uniformemente acelerado no eixo OY. Os seus vetores cinemticos so: Figura 131 Vetores cinemticos do movimento retilneo uniforme. 145. Outros tipos de movimento 151C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 151 ao mesmo tempo e da mesma altura. O y x v0 a R r(0) x(0) y(0) Figura 133 Representao das condies iniciais de uma partcula submetida a uma fora resultante constante. Figura 134 Quando a fora resultante constante, os movimentos da partcula na direo da fora e na direo perpendicular a ela so independentes A descrio do movimento de uma partcula submetida a uma acelerao constante ca simplicada quando escolhemos um dos eixos coordenados com a direo da fora resultante ( Figura 133). Uma observao detalhada das posies verticais das duas esferas mostra que o movimento vertical da esfera que se desloca horizontalmente igual ao da outra esfera que cai verticalmente. Quer dizer, o movimento horizontal da esfera no modicou o movimento vertical. Esse fato conhecido como princpio da independncia dos movimentos. possvel demonstrar com clculo diferencial e integral que o princpio da independncia dos movimentos vale para aceleraes constantes. Ele permite escrever o movimento da partcula como a composio de um movimento retilneo uniforme no eixo OX e uniformemente acelerado no eixo OY, isto , 146. Outros tipos de movimento 152 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 152 onde e so as componentes do vetor velocidade inicial nas direes dos eixos. A equao da trajetria da partcula obtida facilmente se expressarmos o tempo em funo da coordenada e introduzirmos a expresso obtida na equao da coordenada : A equao que relaciona com a equao de uma parbola. Esse resultado ca mais fcil de visualizar se colocarmos a origem do sistema de coordenadas sobre a posio inicial da partcula. Nesse caso temos que: Uma aplicao interessante dos resultados que acabamos de obter a da queda dos corpos nas proximidades da Terra sob a ao exclusiva da fora peso. Nesse caso, a acelerao dos corpos constante e igual a e os seus vetores cinemticos so: onde g o mdulo da acelerao da gravidade. Conseqentemente, as trajetrias dos corpos so parbolas. P6 ESCREVA AS EXPRESSES DAS GRANDEZAS CINEMTICAS DO MOVIMENTO DE UMA PARTCULA SUBMETIDA A UMA FORA RESULTANTE CONSTANTE. Leituras e exerccios 11 Leituras Leia as sees 3.6 e 4.8, intituladas Independncia das velocidades, Movimento de um projtil no livrol Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga). Da seo 4.8 faa os Exerccios de xao de 46 at 50 e os Problemas e questes de vestibular de 18 at 21. 147. Outros tipos de movimento 153C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 153 O movimento circular aquele em que a trajetria do corpo um crculo ou um arco de crculo. Ele comum no nosso cotidiano. Giram em movimento circular a criana do carrossel, os namorados na roda-gigante, o carro que faz uma curva etc. Giram em movimento quase circular a Lua em torno da Terra, a Terra em torno do Sol etc. Oscilam em movimento circular os pndulos. s a variao do comprimento do arco s no intervalo de tempo t. No movimento circular, a partcula pode ser localizada pelo vetor posio , ou pelo arco ou pelo ngulo subentendidos pelo vetor posio e pelo eixo OX. Tanto o arco como os ngulos so medidos a partir do eixo OX no sentido anti-horrio. A velocidade da partcula tangente ao crculo. A sua componente na direo do vetor unitrio tangente ao crculo e que aponta na direo em que o ngulo aumenta v = lim t0 S t . Ela positiva quando o movimento no sentido anti-horrio (o arco aumenta) e negativa quando o movimento no sentido horrio (o arco diminui). A velocidade angular a variao do ngulo por unidade de tempo: Quando o arco expresso em radianos, as grandezas lineares podem ser obtidas multiplicando-se as grandezas angulares por r, isto , Figura 135 Localizando uma partcula no movimento circular. 148. Outros tipos de movimento 154 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 154 O movimento circular mais simples o movimento circular uniforme. Ele est representado na Figura 136. Nele, a velocidade angular constante; isso signica que o vetor posio da partcula percorre ngulos iguais em intervalos de tempo iguais. Por isso, sua velocidade angular constante, constante. v(2) v(1) v(3) r(3) r(2) r(1) Figura 137 No movimento circular que no uniforme, as velocidades angular e tangencial variam. v(2) v(1) v(3) v(4) r(4) r(3) r(2) r(1) Na Figura 137 est representado um movimento circular que no uniforme. Neste tipo de movimento os ngulos varridos em tempos iguais so diferentes e o mdulo da velocidade tangencial varia no tempo. Podemos observar esse tipo de movimento em uma roda-gigante que est parando, um carrossel que est acelerando etc. Nesta disciplina, s abordaremos o movimento circular uniforme. Nesse movimento a variao angular proporcional velocidade angular, isto , . O perodo do movimento circular o tempo que a partcula leva para completar uma volta, isto , percorrer um ngulo de . Portanto, o perodo do movimento circular . No movimento circular uniforme, o mdulo da velocidade tangencial permanece constante. Apenas a direo da velocidade muda. Conseqentemente, a acelerao do movimento tem que ser radial. Esse resultado pode ser apreendido com facilidade se analisarmos a curva gerada pelos vetores velocidades quando eles so colocados sobre uma mesma origem, por exemplo, sobre . 149. Outros tipos de movimento 155C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 155 geram um crculo com raio constante e igual ao mdulo v das velocidades. Asoma dos ngulos do quadriltero gerado pelos vetores , ,v (2)t e o prolongamento da direo de 360o. So conhecidos os dois ngulos de 90o (as direes das velocidades so perpendiculares aos raios) e o ngulo . O quarto ngulo do quadriltero vale . Conseqentemente, o ngulo entre as duas velocidades tambm .. A acelerao instantnea . A Figura 139 mostra a variao de velocidade correspondente ao intervalo de tempo . Quando o intervalo de tempo tende a zero, o mdulo do vetor se aproxima do arco de crculo de raio v subentendido pelo ngulo ., isto , . Como a velocidade v da partcula , o mdulo da acelerao . Tambm fcil de perceber que a direo do vetor tende a car perpendicular ao vetor velocidade v (t). Por isso, o vetor acelerao instantnea perpendicular velocidade, tendo portanto a direo do raio e o sentido de fora para dentro do crculo. Ela denominada acelerao centrpeta. P7 Quais as caractersticas do vetor velocidade em um movimento circular uniforme? O1 v Dq v(t) v(t+ t) O1 v(t)a(t) r^ Figura 139 Anlise das propriedades do vetor acelerao instantnea no movimento circular uniforme. Figura 138 Os vetores velocidades associados a uma partcula em movimento circular uniforme, quando colocados em uma mesma origem O1, geram um crculo com traio v. 1 150. Outros tipos de movimento 156 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 156 P8 Quais as caractersticas da velocidade angular em um movimento circular uniforme? Explicando a Terceira Lei de Kepler Na terceira aula do Mdulo 2 enunciamos as leis de Kepler. A primeira lei arma que as rbitas dos planetas so elipses com o Sol em um dos seus focos. A terceira lei diz que o quadrado do raio da rbita proporcional ao cubo do perodo. Vamos deduzir a Terceira Lei de Kepler utilizando a Segunda Lei de Newton, a Lei da Gravitao de Newton e a aproximao de que as rbitas dos planetas so crculos. O referencial utilizado vai ser o Sol. Vamos considerar que a nica fora gravitacional que no desprezvel a do Sol. Por isso, a fora resultante que atua no planeta a fora gravitacional do Sol. Ela sempre perpendicular velocidade do planeta e por isso muda a velocidade do planeta, mas no altera o seu mdulo. Portanto, o planeta ca em movimento circular uniforme com raio r. A Segunda Lei de Newton aplicada ao planeta fornece: A introduo do mdulo fora gravitacional entre o Sol e o planeta e a velocidade angular na segunda lei fornece: Portanto, o raio da rbita ao cubo proporcional ao quadrado do perodo. Sol Terra a FG v Figura 140 O movimento da Terra em torno do Sol. 151. Outros tipos de movimento 157C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 157 Existem muitos exemplos de movimentos planos no nosso cotidiano produzidos por processos de coliso; por exemplo, a bola de bilhar que colide com outra bola, um carro que colide com um caminho em uma esquina, uma bolinha de pingue-pongue que encontra a raquete etc. Nesses processos, atuam durante um pequeno intervalo de tempo foras muito intensas (impulsivas) cujos valores se desconhecem. Para descrever os processos de coliso faz-se necessria a denio de novos conceitos: o conceito de fora resultante mdia e o conceito de quantidade de movimento. A fora resultante mdia , por denio, a fora constante que produziria uma acelerao instantnea igual acelerao mdia do sistema, isto , . Podemos encontrar uma relao entre a fora resultante mdia e a variao de velocidade introduzindo a expresso da acelerao mdia na denio da fora resultante mdia, isto , . A grandeza fsica denominada quantidade de movimento . Ela de grande importncia na Fsica. A relao entre a fora resultante mdia e a variao da quantidade de movimento fornece uma outra expresso da Segunda Lei de Newton. Q = R t Vamos analisar a coliso entre uma bolinha de pingue-pongue e uma raquete para entender melhor o conceito de fora mdia. A Figura 141 mostra uma bolinha de pingue-pongue sendo rebatida por uma raquete lisa, reetida como um raio luminoso em um espelho. Apenas a direo da velocidade muda. v1 v2 espelho. Ao ser refletida, o mdulo da sua velocidade no muda. FORA RESULTANTE MDIA QUANTIDADE DE MOVIMENTO SEGUNDA LEI DE NEWTON NOVA VERSO 152. Outros tipos de movimento 158 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 158 A Figura 142 mostra a variao da velocidade da bolinha e o diagrama de foras que atuam sobre ela durante a sua coliso com a raquete. A variao de velocidade foi obtida no desenho pela regra do paralelogramo. O algoritmo do diagrama de foras aplicado bolinha permite calcular a fora resultante mdia que atua na bolinha. v -v1 v2 N P N R P A bolinha foi isolada no lado direito da Figura 142. Apenas a raquete e o ar esto em contato com a bolinha. A bolinha empurra a raquete, deformando-a de forma imperceptvel; a raquete, como uma cama elstica, empurra a bolinha para cima exercendo sobre ela a fora normal Como a fora que a raquete exerce sobre a bolinha durante a coliso muito grande, podemos desprezar a resistncia do ar. A nica fora gravitacional que no desprezvel a da Terra, o peso da bolinha. A representao simblica da fora resultante . A representao geomtrica da fora resultante foi obtida no desenho com a regra do paralelogramo. A acelerao mdia da bolinha entre o instante imediatamente anterior coliso e imediatamente aps a coliso . Portanto, a fora resultante mdia . P10 Qual o significado fsico da FORA RESULTANTE MDIA? P11 Qual a definio de QUANTIDADE DE MOVIMENTO? P12 Enuncie a SEGUNDA LEI DE NEWTON utilizando os conceitos de FORA RESULTANTE MDIA e de QUANTIDADE DE MOVIMENTO. Figura 142 O diagrama de foras que atuam na bolinha e a variao total da velocidade da bolinha de durante a coliso. 153. Outros tipos de movimento 159C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 159 Leituras Leia as sees 4.1, 4.3 e 4.6, intituladas Movimento circular uniforme, Gravitao universal, Clculo da velocidade e do perodo de um satlite no livro Fsica Volume nico (Antonio Mximo e Beatriz Alvarenga). Da seo 4.1 faa os Exerccios de xao de 1 at 9. Do captulo 4 faa Problemas e questes de vestibular de 1 at 7.r Leia as sees de 1.2.1 at 1.25 no livro Fsica 1-Mecnica, do Gref. Reproduza em detalhes o exerccio resolvido 1.5. Nesta aula discutimos a cinemtica do movimento circular uniforme e do projtil, introduzimos os conceitos de fora mdia e quantidade de movimento. 154. Outros tipos de movimento 160 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 160 Exerccios programados 9 1. Uma pedra de massa m = 100g colocada para girar, em um crculog vertical, presa a um o esticado (Figura 1). Despreze a resistncia do ar e considere o referencial xo na Terra. A B C O FIGURA 1 Responda, considerando o ponto A: a) Desenhe a pedra separada do seu exterior e diga quais os corpos que esto em contato com ela. Desenhe as foras de contato sobre a pedra. b) Existem foras gravitacionais que atuam sobre a pedra? Qual delas no desprezvel? Represente-a no seu desenho do item a. c) Onde esto aplicadas as reaes s foras aplicadas sobre a pedra? d) Desenhe os vetores velocidade e acelerao. Considere que o raio da trajetria igual a r = 50cm e o mdulo da velocidade igual a v = 4m/s. e) Calcule o valor da tenso que a corda exerce sobre o o. f) Calcule a fora resultante. Expresse todos estes vetores em termos dos vetores unitrios e . Refaa esse exerccio para os pontos B e C. Mas considere o mdulo da velocidade no ponto B vB = 5m/s e no ponto C vC =C 6m/s. 155. Outros tipos de movimento 161C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 161 m de altura em relao ao solo, com velocidade inicial v0 = (40 )m/s. Considere a resistncia do ar desprezvel, o referencial xo Terra e g = 10g m/s2. Corpo 180m trajetria A Figura 2 a) Escreva x(t),y(t),vx(t) e vy(t) para o corpo. b) Escreva o vetor posio e o vetor velocidade instantnea do corpo para um instante de tempo t. c) Escreva o vetor posio e o vetor velocidade instantnea em t=3s. d) Obtenha a velocidade mdia e a acelerao mdia entre o tempo t=0s e t=3s. e) Obtenha o tempo gasto para o corpo atingir o solo. f) Obtenha o alcance mximo do corpo (maior distncia horizontal percorrida). vo Y 156. Outros tipos de movimento 162 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 162 Gabarito 1. Uma pedra de massa m = 100g colocada para girar em um crculo ver-g tical, presa a um fio esticado (Figura 1). Despreze a resistncia do ar e considere o referencial fixo na Terra. A B C O Figura 1 Responda para o ponto A: a) Desenhe a pedra separada do seu exterior e diga quais os corpos que esto em contato com ela. Esto em contato com a pedra o ar e o fio. O enunciado informa que a resistncia do ar desprezvel, logo, o fio o nico corpo em contato com a pedra que exerce fora sobre a mesma. A fora est desenhada na figura A e a tenso T . P T Figura A b) Existem foras gravitacionais que atuam sobre a pedra? Qual delas no desprezvel? Represente-a no seu desenho do item a. Sim, A nica fora gravitacional que no desprezvel o peso da pedra. No Mdulo 3, pginas 84 e 85, so feitas estimativas das ordens de grandeza das foras gravitacionais exercidas pelos corpos celestes sobre corpos prximos Terra e entre corpos do nosso cotidiano. A concluso que a nica fora gravitacional no desprezvel o peso da pedra. c) Onde esto aplicadas as reaes s foras aplicadas sobre a pedra? A reao tenso T est aplicada no fio e T . A reao fora peso P est localizada no centro da Terra e P . 157. Outros tipos de movimento 163C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 163 v acp Considere que o raio da trajetria igual a r = 50cm e o mdulo da velo- cidade no ponto A igual a v = 4m/s. e) Calcule o valor da tenso. Atravs da Segunda Lei de Newton, temos: Segunda Lei de Newton: R ma= A representao simblica da fora resultante : R T P= + As componentes da fora resultante so: R T P R T P x x x y y y = + = + Pela figura A, vemos que as componentes de cada uma das foras so: Tx = = = = 0 0P T T P P x y y Portanto, as componentes da fora resultante so: Rx = = 0 R T Py A Segunda Lei de Newton fornece: = + = = =T P mv r T P mv r T N 2 2 2 0 1 4 0 5 0 1 10 2 2 , . , , A representao simblica da tenso no ponto A : T N j= 2 2, f) Calcule a fora resultante. Como foi visto no item anterior, a fora resultante : R R j R T P N R j N y y = = = = = 2 2 1 3 2 3 2 , , ( , ) Expresse todos estes vetores em termos dos vetores unitrios e . T j N P j N R j N v j m s a j m scp = = = = = ( , ) ( ) ( , ) ( ) / ( ) / 2 2 1 3 2 4 32 2 T N j= 2 2, 158. Outros tipos de movimento 164 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 164 Refaa para os pontos B e C. Mas considere o mdulo da velocidade no ponto B, v m sB = 5 / e v m sC = 6 / . Para o ponto B, temos: a) Pedra isolada do exterior com as foras que agem nela: T P Os itens: b), c), d) e e) so iguais aos referentes ao ponto (A). f) a O B V ax ay a Segunda lei de Newton: R ma= A representao simblica da fora resultante : R T P= + As componentes da fora resultante so: R T P R T P x x x y y y = + = + Pela figura A, vemos que as componentes de cada uma das foras so: Tx = = = = T P T P P x y y 0 0 A Segunda Lei de Newton fornece: = = = = = T mv r T mv r T N T i N 2 2 2 0 1 5 0 5 5 5 , . h) O valor da fora resultante : No eixo OY, a pedra move-se em queda livre, logo a Segunda Lei de Newton fornece: P mg N P jN= = = = 0 1 10 1 1, A fora resultante R Rx= +i R jy R i j N= ( )5 1 159. Outros tipos de movimento 165C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 165 T i N P j N R i j N v j m s a j m scp = = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) / ( ) / 5 1 5 1 5 5 2 Para o ponto C, temos: a) Pedra isolada do exterior com as foras que agem nela: T P Figura C Os itens: b), c), d) e e) so iguais aos referentes ao ponto (A). f) v a g) Calcule o valor da tenso que a corda exerce sobre o fio. De acordo com a segunda lei de Newton temos: Segunda lei de Newton: R ma= A representao simblica da fora resultante : R T P= + As componentes da fora resultante so: R T P R T P x x x y y y = + = + Pela figura C, vemos que as componentes de cada uma das foras so: Tx = = = = 0 0P T T P P x y y Portanto, as componentes da fora resultante so: Rx = = 0 R T Py 160. Outros tipos de movimento 166 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 166 A fora resultante perpendicular velocidade da pedra e, por isso, muda a direo da mesma mas no muda o seu mdulo. Portanto, a pedra fica em movimento circular uniforme com raio R. A Segunda Lei de Newton fornece: T P mv r T P mv r T N = = + = + = 2 2 2 0 1 6 0 5 0 1 10 8 2 , . , , A representao vetorial da tenso no ponto C : T N j= 8 2, h) Calcule o valor da fora resultante R R j R T P N R j N y y = = = = = 8 2 1 7 2 7 2 , , ( , ) Expresse todos estes vetores em termos dos vetores unitrios e . T j N P j N R j N v i m s a j m s = = = = = ( , ) ( ) ( , ) ( ) / ( ) / 8 2 1 7 2 6 72 2 2. Um corpo lanado horizontalmente do alto de uma plataforma de 180m de altura em relao ao solo, com velocidade inicial v i m s0 40= ( ) / . Considere a resistncia do ar desprezvel, o referencial fixo Terra e g = 10m /s2 : Corpo 180m trajetria O Figura 2 X Y vo 161. Outros tipos de movimento 167C E D E R J MDULO 3 - AULA 6 167 x(t),y(t),vx(t) e vy(t) para o corpo. No eixo OX, o corpo move-se em movimento retilneo uniforme: x t x v to ox( ) = + onde x v m s x t to ox= = =0 40 40e / ( ) . No eixo OY, o corpo move-se por ao da fora gravitacional. Logo, y t y v t a t y y ( ) = + + 0 0 2 2 onde y v e a m s y t toy y0 2 2 0 0 10 5= = = =, / ( ) . v t v t v a t t x y y y ( ) ( ) = = + = 40 100 b) Escreva os vetores posio, velocidade e acelerao instantneas do corpo para um instante de tempo t. O vetor posio : r t x t i y t j t i t j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + = +40 5 2 v t v t i v t j i t j x y( ) ( ) ( ) ( ) = + = +40 10 O vetor acelerao instantnea : a(t) ax= + =i a j jy 10 c) Escreva o vetor posio e o vetor velocidade instantnea em t=3s. O vetor posio para t = 3s: r i j i j m( ) ( )3 40 3 5 3 120 452 = + = + O vetor velocidade instantnea para t = 3s: v i j i j m s( ) ( ) /3 40 10 3 40 30= + = + d) Obtenha as velocidade mdia e acelerao mdia entre o tempo t=0s e t=3s. velocidade mdia: v r r i j i j m sm = = + = + ( ) ( ) ( ) / 3 0 3 120 45 3 40 15 acelerao mdia: a v v i j i j m sm = = + = ( ) ( ) ( ) / 3 0 3 40 30 40 3 10 2 162. Outros tipos de movimento 168 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 168 e) Obtenha o tempo gasto para o corpo atingir o solo. O tempo gasto para atingir o solo o tempo que o projtil atinge y(t) = 180m. y t t t t s ( ) = = = = 5 5 180 180 5 6 2 2 f) Obtenha o alcance mximo do corpo (maior distncia horizontal percorrida). A maior distncia horizontal percorrida igual distncia que o mvel percorre no eixo x durante o tempo de queda: x t t x m( ) ( )= = =40 6 40 6 240 . 163. A flutuao dos corpos 169C E D E R J MDULO 3 - AULA 7 169 Figura 143 Equipamento experimental. A flutuao dos corpos Prtica 2 Experimento 1 Medir empuxo em um corpo de prova e sua densidade Objetivo Sero efetuadas medies de: Massa de um corpo de prova, com uma balana; Peso de um corpo de prova, com um dinammetro; Empuxo; Densidade de um corpo de prova. Material utilizado Corpo de prova 1: 1 cilindro de alumnio com dois ganchos, com peso de aproximadamente 1N (incluindo os ganchos); Corpo de prova 2: 1 cilindro de alumnio com um gancho, com peso de aproximadamente 0,5N (incluindo o gancho); 1 dinammetro graduado em newtons, com prendedor magntico; 1 balana graduada em gramas; 1 proveta graduada em ml (ou cm3), cujo volume total igual a 500ml, altura aproximadamente igual a 40cm e dimetro externo de 5cm; 164. A flutuao dos corpos 170 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 170 Figura 145 Corpo imerso no fluido em equilbrio. Informaes preliminares: Na Figura 144 esto representados um uido em equilbrio e o diagrama de foras de uma poro desse uido com volume . O uido que est em contato com a poro de uido com volume exerce sobre ela a fora . A Terra atrai a poro de uido com a fora peso . Como a poro de uido est em equilbrio, a fora resultante que atua sobre ela nula. Conseqentemente o mdulo da fora igual ao mdulo da fora peso, isto , , onde a densidade volumtrica do uido e g a acelerao da gravidade. Vamos considerar apenas uidos com densidadesg volumtricas constantes. A Figura 145 representa um corpo imerso em um uido em equilbrio. O volume de uido deslocado pelo corpo igual ao da poro de uido da Figura 144. A quantidade de uido que envolve o corpo igual da Figura 144. A fora exercida sobre o corpo pelo uido que est em contato com ele igual fora . O corpo empurrado para fora do uido pela fora , denominada fora empuxo. A fora empuxo tem a direo e o sentido contrrio ao da fora peso e mdulo igual ao peso do volume deslocado, isto , . . Fora Empuxo 165. A flutuao dos corpos 171C E D E R J MDULO 3 - AULA 7 171 Figura 146 Diagrama de foras do corpo de prova imerso no ar. A Figura 146 apresenta um corpo de prova que est pendurado por uma linha em um dinammetro e os diagramas de foras do corpo e da linha. O corpo de prova est imerso no ar Vamos aplicar o algoritmo do diagrama de foras ao corpo e ao o para obter os seus diagramas de foras. O corpo foi desenhado separado do seu exterior na Figura 146. Esto em contato com ele o o e o ar. A fora que o ar exerce sobre o corpo a fora empuxo, que igual ao peso do volume do ar deslocado. Ela desprezvel em relao ao peso do corpo e no ser considerada. O o exerce sobre o corpo a fora . A Terra atrai o corpo com a fora . O equilbrio nos d que: . A leitura do dinammetro o mdulo da fora que o o exerce sobre o dinammetro. O o foi desenhado separado do seu exterior na Figura 146. Esto em contato com ele o ar, o corpo e o dinammetro. A fora empuxo exercida pelo ar sobre o o desprezvel em relao fora exercida pelo corpo sobre ele, uma vez que o volume de ar deslocado pelo o muito pequeno. A fora exercida pelo corpo sobre o o , uma vez que a sua reao a fora que o o exerce sobre o corpo que . A fora que o dinammetro exerce sobre o o , uma vez que a sua reao a fora que o o exerce sobre o dinammetro. A fora gravitacional que a Terra exerce sobre o o desprezvel porque o o tem massa muito menor que a massa do corpo de prova. Pelo equilbrio temos que . Portanto, a leitura no dinammetro igual ao mdulo do peso do corpo de prova (P)P . 166. A flutuao dos corpos 172 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 172 Vamos aplicar o algoritmo do diagrama de foras ao corpo e ao o para obter os seus diagramas de foras. O corpo foi desenhado separado do seu exterior na gura 147. Esto em contato com ele o o e a gua. A fora que a gua exerce sobre o corpo a fora empuxo que igual ao volume de gua deslocada o exerce sobre o corpo a fora . A Terra atrai o corpo com a fora . O equilbrio nos d que: . A leitura do dinammetro o mdulo da fora que o o exerce sobre o dinammetro. O o foi desenhado separado do seu exterior na gura 147. Esto em contato com ele o ar, o corpo e o dinammetro. A fora empuxo exercida pelo ar sobre o o desprezvel em relao fora exercida pelo corpo sobre ele, uma vez que o volume de ar deslocado pelo o muito pequeno. A fora exercida pelo corpo sobre o o , uma vez que a sua reao a fora que o o exerce sobre o corpo, que . A fora que o dinammetro exerce sobre o o , uma vez que a sua reao a fora que o o exerce sobre o dinammetro. A fora gravitacional que a Terra exerce sobre o o desprezvel porque o o tem massa muito menor que a massa do corpo de prova. Pelo equilbrio temos que . Portanto, a leitura no dinammetro igual ao mdulo da fora que igual a A fora denominada peso aparente . A Figura 147 apresenta um corpo de prova que est pendurado por uma linha em um dinammetro e os diagramas de foras do corpo e da linha. O corpo de prova est imerso na gua. Figura 147 Diagrama de foras do corpo de prova imerso na gua. 167. A flutuao dos corpos 173C E D E R J MDULO 3 - AULA 7 173 Atividade experimental Figura 148 Equipamento experimental. 1. Encha o recipiente com gua at, por exemplo, o nvel . Estime a incerteza nessa leitura, . Coloque e na Tabela 1. 2. Usando a balana, leia a massa do corpo, , e estime a incerteza nessa leitura , e coloque na Tabela 1. No se esquea de calibrar a balana. 3. Posicione o dinammetro no quadro magntico como mostrado na Figura 148 repetida acima. No se esquea de fazer o ajuste inicial do dinammetro, bem como seu alinhamento na prancha vertical. Alinhamento inicial do dinammetro: Solte o parafuso libertador da capa e a movimente para cima ou para baixo, nivelando o primeiro trao da escala com a extremidade da capa (referncia). 4. Corte um pedao de linha de alta resistncia com um comprimento da ordem de 20cm. Dobre a linha e d um lao. Prenda uma das extremidades da linha no dinammetro e a outra no corpo de prova 1. 5. Leia o dinammetro e estime a incerteza dessa leitura e coloque na Tabela 1. 6. Preencha a proveta com gua. Verique se ela est com uma esponja no fundo. 7. Introduza o peso na proveta com gua, como na gura 148. Tenha cuidado para no deixar o peso cair. Evite a queda do peso sobre o fundo da proveta. 8. Com muito cuidado repita a medio, agora com o corpo de prova 2 inteiramente mergulhado na gua do recipiente. Cuidado para no bater com o corpo de prova nas paredes do recipiente de vidro. 168. A flutuao dos corpos 174 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 174 9. Leia o novo nvel dgua e a sua incerteza experimental e coloque na Tabela 1. 10. Leia o dinammetro e estime a incerteza dessa leitura e coloque na Tabela 1. Tabela 1 Medidas diretas Clculo das medidas indiretas e de suas incertezas experimentais Nos clculos a seguir considere os seguintes valores para a acelerao da gravidade e a densidade dgua: , . Calcule o volume do corpo mergulhado pela diferena do nvel da gua antes e depois que ele foi imerso na gua: . Calcule a incerteza experimental associada a essa medida: = Coloque os valores de e na Tabela 2. Calcule a densidade do corpo de prova e a sua incerteza experimental . Coloque os valores de e na Tabela 2. Calcule, utilizando os dados da Tabela 1 e o valor da acelerao da gravidade, o peso do corpo de prova: . Calcule a incerteza experimental associada a essa medida: . A incerteza na medida da acelerao da gravidade foi desprezada em relao incerteza na medida da massa. Coloque os valores de e na Tabela 2. Calcule, utilizando os dados da Tabela 1, os valores do empuxo incertezas nas medidas da acelerao da gravidade e da densidade da gua foram desprezadas em relao incerteza na medida do volume do deslocada de gua. 169. A flutuao dos corpos 175C E D E R J MDULO 3 - AULA 7 175 Coloque os valores de e na Tabela 2. Calcule, utilizando os dados da Tabela 1, os valores do empuxo da sua incerteza experimental . As incertezas nas medidas da acelerao da gravidade e da densidade da gua foram desprezadas em relao incerteza na medida do volume deslocado de gua. Coloque os valores de e na Tabela 2. Anlise dos dados O dinammetro mede a fora que o o exerce sobre ele. Portanto, de acordo com as informaes anteriores, temos que: Lo=F=P e L=Q=Paparente . 1. Transra para a Tabela 3 os valores de Lo, Lo , P e P. Tabela 2 Medidas indiretas. Tabela 3 Medidas dos pesos. Escreva o intervalo dos nmeros reais I1 = [Lo Lo, Lo + Lo] = ______ que representa a faixa de valores experimentais para o peso do corpo obtido diretamente da leitura do dinammetro. Escreva o intervalo dos nmeros reais I2 = [P P, P + P] = ____________ que representa a faixa de valores experimentais para o peso do corpo obtido indiretamente com a medida da massa do corpo e da acelerao da gravidade. Qual interseco dos intervalos I1 e I2? As faixas de valores obtidas pela medida direta e indireta do peso do corpo so compatveis? Justique a sua resposta. 2. Transra para a Tabela 4 os valores de E E calculados com a densidade da gua, o volume deslocado pelo corpo e a acelerao da gravidade e os valores de E E calculados com as leituras do dinammetro L e Lo . Tabela 4 Medidas do empuxo. 170. A flutuao dos corpos 176 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 176 Escreva o intervalo I3 = [E E, E + E] = _______________ dos nmeros reais que representa a faixa de valores experimentais para empuxo calculado pelo volume deslocado. Escreva o intervalo I4I = [E E, E + E] = _______________ dos nmeros reais obtidos indiretamente das leituras L e Lo do dinammetro. Qual interseco dos intervalos I3 e I4? As faixas de valores do empuxo obtidas pelas leituras dos dinammetros e pelo volume deslocado so compatveis? Justique a sua resposta. 3. O Handbook de Qumica fornece para a densidade do alumnio puro a seguinte faixa de valores: Al = (2,699l 0,001)g/cm3. Transra para a Tabela 5 os valores de corpo corpo da Tabela 2. Escreva o intervalo dos nmeros reais I5= [Al Al , Al + Al] associado faixa de valores do alumnio puro. Tabela 5 Medidas de densidade. Escreva o intervalo dos nmeros reais I6 = [corpo corpo , corpo+ corpo] = ________ que representa a faixa de valores das densidades dos corpos. Qual a interseo do intervalo I5 e I6? As faixas de valores para a densidade do corpo e a faixa e valores para o alumnio fornecido pelo Handbook so compatveis? Justique a sua resposta. 171. 177 E para terminar... Neste mdulo inciamos o estudo da Mecnica da Partcula. Essa teoria um dos pilares da Fsica. Ela o modelo que explica o movimento de corpos que podem ser tratados como partculas no mundo macroscpico. Voc aprendeu que todo movimento relativo, que para descrever um movimento necessrio denir um referencial, que os vetores cinemticos simplicam a representao e a descrio das trajetrias, que so as foras que mudam os movimentos e que as Leis de Newton permitem encontrar as trajetrias de partculas cujas velocidades e posies iniciais so conhecidas. Vimos que as foras so o resultado das interaes entre os corpos e que todas as foras de contato tm natureza eletromagntica. O conhecimento da interao eletromagntica permitiu o desenvolvimento do mundo moderno. Associadas a ela esto a luz que ilumina cidades, o calor produzido nos aquecedores eltricos, a transmisso de informaes utilizadas nos rdios, telefones, televisores, computadores etc. No Mdulo 4, iniciaremos com o auxlio da Mecnica da Partcula o estudo da interao eletromagntica. 172. O centro de massa 179C E D E R J COMPLEMENTO 1 179 O centro de massa Na disciplina de Fsica I ser demonstrado que o centro de massa de um sistema um ponto do espao denido pela distribuio de massa do sistema. Ele tem a trajetria de uma partcula com a massa total do sistema e que est submetida a todas as foras que o exterior realiza sobre o sistema. Por exemplo, um carro composto por muitas partes, as rodas, o volante etc. O centro de massa do carro depende da forma com que a sua massa total M est distribuda no seu volume. Quando o carro est se deslocando em uma estrada, o seu centro de massa tem a trajetria igual de uma partcula que tem massa M e sofre a ao do peso do carro, das normais e das foras de atrito que atuam sobre as rodas e da resistncia que o ar oferece ao deslocamento do carro. Neste complemento estamos interessados apenas em denir o vetor posio do centro de massa de um sistema para comear a desenvolver nossa intuio em relao sua posio. Ele uma espcie mdia ponderada pelas massas dos vetores posio das partes que compem o sistema. A denio do vetor posio do centro de massa de um sistema de partculas : Vamos calcular o vetor posio do centro de massa de um sistema formado por duas partculas com massas e que esto separadas por uma distncia . O vetor posio do centro de massa . Os vetores posio so dados por: . As componentes do vetor posio do centro de massa so: CENTRO DE MASSA 173. O centro de massa 180 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 180 As expresses encontradas mostram que no casos em que as massas so iguais temos : e . ^ d CM d 2 Portanto, o centro de massa entre duas partculas est no ponto mdio entre elas, isto , a igual distncia das massas. No caso em que as coordenadas do centro de massa so: e Neste caso, o centro de massa est mais prximo da maior massa. Isto vai sempre ocorrer, uma vez que o vetor posio das partculas mais pesadas contribuem mais no clculo do vetor posio do centro de massa. O clculo da posio do centro de massa de sistemas mais complicados ser realizado em disciplinas mais avanadas do curso. Ser possvel demonstrar com bastante facilidade com o auxlio do clculo diferencial e integral que o centro de massa de sistemas homognos e simtricos esto no seu centro de simetria. Por exemplo, o centro de massa de uma esfera com distribuio de massa homognea est no centro da esfera, o centro de massa de um tijolo homogneo est no centro do tijolo etc. 174. Propagao de Erros 181C E D E R J COMPLEMENTO 2 181 Propagao de erros No Mdulo 1, foi discutido no Complemento 3 Incerteza numa medida experimental - que o valor exato de uma grandeza experimentall 1 sempre desconhecido. Por melhores que sejam os mtodos e os instrumentos de medida, o valor encontrado para a grandeza ser uma estimativa para o seu valor verdadeiro. Associamos, ento, a cada medida uma incerteza ou erro. Assim, ao medirmos o valor de uma grandeza experimental determinamos qual o valor mais provvel e o quo prxima dol valor verdadeiro est essa medida, com base num tratamento estatstico dos dados. Neste mesmo mdulo, nos confrontamos, no laboratrio, com situaes em que o resultado do experimento medido indiretamente, em termos de duas ou mais medidas obtidas diretamente. Por exemplo, o clculo do tamanho da mancha luminosa em funo do dimetro do orifcio da mscara e das distncias da fonte mscara e da mscara at o anteparo . Ou seja, nos defrontamos com a questo de determinar qual a incerteza no resultado nal , medida indireta, em funo das incertezas das medidas diretas . A sugesto de estimativa para a determinao da incerteza foi calcular o valor mximo e mnimo para . Mas, em geral, para resolver esse problema aplicamos o mtodo mais usual, conhecido como propagao de erros, que se baseia na aplicao de resultados do clculo diferencial que voc estudar em cursos posteriores. Para ilustrar como os erros se propagam, apresentamos na gura abaixo uma representao grca esquemtica da propagao do erro de uma medida direta para uma medida indireta , tal que . Nesta ilustrao, vemos que uma variao no valor de resulta numa variao no valor de . Figura 1 Representao grfica esquemtica da propagao do erro de uma medida direta x para uma medida indireta y, tal que y = f(x). 1 Por grandeza experimental entendemos que se trata de toda grandeza cujo valor obtido por medidas. 175. Propagao de Erros 182 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 182 Por enquanto, as expresses especcas para alguns casos mais usuais foram dedu- zidas para voc e esto resumidas na tabela a seguir, onde a grandeza calculada como funo de outras grandezas e medidas diretamente, sendo e as incertezas correspondentes. Os parmetros e so supostos isentos de erro, e as incertezas e so completamente independentes entre si (no-correlacionadas). Para exemplicar, vamos considerar um problema real. Medimos no labo- ratrio a diferena de potencial nos terminais de uma lmpada e a corrente que a percorre como sendo, respectivamente, iguais a dissipada na lmpada, bem como sua incerteza . Podemos calcular a potncia dissipada usando a denio: . Logo, . Falta determinarmos a respectiva incerteza. Consultando a tabela acima identicamos que a funo correspondente ao nosso caso f = axy, onde , , e , ou seja, . A expresso para a incerteza em pode ser escrita como: Vamos apresentar a incerteza com apenas um algarismo signicativo; assim, ao arredondarmos eliminamos os algarismos excedentes direita do 5 e aumen- tamos o 3 para 4. Logo, . Tabela 2 Frmulas especficas, para alguns casos mais usuais, para o clculo da incerteza de uma medida obtida indiretamente. 176. Propagao de Erros 183C E D E R J COMPLEMENTO 2 183 A incerteza dada com 1 algarismo signicativo, , determina os algarismos signicativos no resultado da potncia, . Portanto, como o 4 se encontra na segunda casa decimal, o ltimo algarismo da potncia deve tambm estar na segunda casa decimal, . Temos, ento, . Para nalizar, a interpretao desse resultado dentro do formalismo da teoria de erros2 nos diz que o valor mais provvel para e que o intervalo denido por , concentra 2/3 dos valores possveis para . Isto equivalente a dizer que se voc tivesse feito um nmero, , muito grande de medidas, 2/3 delas estariam nesse intervalo. A justicativa para esta interpretao ser feita ao longo das prximas disciplinas de Fsica que voc cursar. 2 Para uma leitura mais aprofundada consulte o livro Fundamentos da teoria de erros de, J.H. Vuolo. 177. Construo de um grfico 185C E D E R J COMPLEMENTO 3 185 Construo de um grfico Os resultados de medidas experimentais so representados em tabelas e grfi- cos. Nesse complemento, discutiremos a construo de grficos. Construiremos um grfico com os dados representados na tabela a seguir: t t x x [s] [s] 0, 100 0, 001 21, 5 0, 2 0, 200 0, 001 22, 7 0, 2 0, 300 0, 001 23, 9 0, 2 0, 400 0, 001 25, 1 0, 2 0, 500 0, 001 26, 3 0, 2 0, 600 0, 001 27, 5 0, 2 0, 700 0, 001 28, 7 0, 2 0, 800 0, 001 29, 9 0, 2 0, 900 0, 001 31, 1 0, 2 Use papel milimetrado para fazer o seu grfico. Os seguintes critrios e requi- sitos devem ser atendidos para que se tenha um bom grfico: 1. O grfico deve ter um ttulo. No nosso exemplo, o ttulo Distncias versus tempo. 2. Deve-se indicar nos eixos as grandezas fsicas correspondentes e suas respectivas unidades. Veja, na Figura 26, distncia x em cm e tempo em segundos (s). 3. O grfico deve ter leitura fcil. Portanto, o centmetro do papel no deve corresponder a valores do tipo 0,66 ou 1,43 etc. Para voc escolher o valor do centmetro do papel milimetrado, divida a sua faixa de valores pela faixa de valores do papel milimetrado e escolha um valor maior ou igual aquele obtido. No nosso exemplo, o eixo dos tempos tem 15cm e a faixa de valores do tempo 0,8s, portanto o centmetro tem que ter um valor maior ou igual a (0, 9 0, 1)/15 = 0, 0533. O grfico cujo centmetro tem o valor 0,0533... no de leitura fcil. O valor escolhido para o centmetro foi 0,1s. O eixo das distncia percorridas (x) tem 10cm e a faixa de valores das distncias de 11cm . O centmetro deste eixo tem que ter um valor maior ou igual a (32, 2 21, 5)/15 = 1, 1. O valor escolhido para o centmetro foi 2cm. 178. Construo de um grfico 186 INTRODUO S CINCIAS FSICAS 1CINCIAS FSICAS 1 C E D E R J 186 4. O eixo deve conter apenas os valores correspondentes aos valores dos centmetros; por exemplo, no eixo dos tempos 0,1s a 1,5s; no eixo das distncias de 20cm at 40cm. No se escrevem os valores medidos; por exemplo, a distncia para t=0,1s 21,5 cm. Esse valor no colocado no eixo das distncias. 5. No use linhas de chamada, linhas perpendiculares aos eixos utilizadas para localizar os pontos. Elas confundem a leitura dos pontos interpolados. 6. Escolha o eixo e a orientao do papel de tal forma que a maior faixa de valores fique sobre o eixo que coincide com a maior dimenso do papel. 7. Os dados devem ocupar a maior parte das escalas, para que seja possvel ler os pontos que no foram medidos (interpolados) com maior preciso. No necessrio que a origem do grfico coincida com o zero da medida. No nosso gr- fico, a origem do eixo das distncias coincide com o valor 20 cm. 8. As barras de incerteza, [ ]devem ser marcadas nos pontos (ver figura 26). Em algumas situaes, as faixas de incertezas so muito pequenas e no podem ser marcadas no grfico. Este o caso das faixas de incertezas associadas s medidas de tempo. 9. Avalie os pontos e trace a curva que melhor descreve seus dados. Ela deve interpolar os pontos medidos, cortando o maior nmero de barras de incertezas possvel. Alguns pontos podem ficar fora da sua curva. 179. Referncias bibliogrcas C E D E R J187 REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS Referncias Bibliogrficas GRUPO DE REELABORAO DO ENSINO DA FSICA. USP. Fsica. So Paulo: EdUSP, 2001. 3v. LUZ, Antonio Maximo Ribeiro; ALVARES, Beatriz Alvarenga. Fsica: volume nico. So Paulo: Scipione, 1997. 670p. NUSSENZVEIG, H. Moyss. Curso de Fsica Bsica. v.1: Mecnica. So Paulo: Editora Edgard Blcher, 1997. RESNICK, R.; HALLIDAY, D. Fsica. v.1: Mecnica. Rio de Janeiro: Livros Tcnicos e Cientcos, 1981. 180. Agradecimentos AGRADECIMENTOS C E D E R J189 Agradecimentos Aos professores do Instituto de Fsica da UFRJ, Leandro Salasar de Paula, Marcus Vencius C. Pinto, Carlos Farina de Souza, pelas sugestes e comentrios. Ao professor Stenio Dore de Magalhes, pelo projeto do experimento da fora empuxo. Aos tutores do Instituto de Fsica da UFRJ, Tatiana da Silva Gisele Cristina Coelho Pinto Jos Roberto da Rocha Bernardo, pelo teste do material e pelas sugestes. Ao funcionrio do Instituto de Fsica da UFRJ, Francisco de Souza Oliveira, pela participao na elaborao dos experimentos. funcionria do CEDERJ Elizabeth Brito, pela participao na elaborao dos experimentos.