Exercicios resolvidos red matematica

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    23-Jun-2015

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  • 1. Redacao em Matematica Leandro Augusto FerreiraCoord. Profa. Dra Edna Maura Zuffi Centro de Divulgao Cientca ca e CulturalUniversidade de So Paulo - CDCC a Agosto - 2008

2. 2 3. Sumrio a1 Formalizao do textoca71.1 Dissertao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 71.2 Dissertao em matemtica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . caa71.3 Simbologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81.4 Estrutura dissertativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .91.4.1 Introduo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ca91.4.2 Desenvolvimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .101.4.3 Concluso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .a121.5 Modelos de dissertao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .ca 131.5.1 A dissertao escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca131.5.2 Receita para um texto dissertativo . . . . . . . . . . . . 131.5.3 Exemplos de textos dissertativos - Exerccios de vestibular 141.6 Exerccios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .192 Lgica matemticaoa 202.1 Denies gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co. . . . . 202.2 Princpios da lgica matemtica . . . . . . . . . . . . . .oa . . . . . 21 2.2.1 No contradio . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ca. . . . . 21 2.2.2 Terceiro exclu do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Proposies do tipo se A, ento B . . . . . . . . . . . coa . . . . . 212.4 A recproca de uma proposio . . . . . . . . . . . . . .ca . . . . . 222.5 Proposies do tipo A se, e somente se B . . . . . . . co. . . . . 222.6 Negao de uma Proposio . . . . . . . . . . . . . . . .caca . . . . . 23 2.6.1 Negao de conectivos . . . . . . . . . . . . . . . ca. . . . . 232.7 Exerc cios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 242.8 Tipos de Demonstraes . . . . . . . . . . . . . . . . . .co . . . . . 24 2.8.1 Demonstrao direta . . . . . . . . . . . . . . . . ca. . . . . 24 2.8.2 Demonstrao por meio de argumentos lgicos . ca o. . . . . 25 2.8.3 Demonstrao por contradio (ou por absurdo) caca. . . . . 262.9 Nomenclatura para proposies . . . . . . . . . . . . . . co. . . . . 272.10 Exerccios Resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 282.11 Exerccios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31Sugestes e Respostaso32Apndicee333 4. SUMARIO4A Clculo de inversa de matrizes a34A.1 Via sistemas lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34A.2 Via matriz dos cofatores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35B Mtodo para resoluo de sistemas lineares eca37C Equaes algbricascoe 39Referncias Bibliogrcas ea 40Indice Remissivo41 5. SUMARIO 5No se preocupem com as diculdades em matemtica, as minhas so muito maioresaa aAlbert Einstein 6. PrefcioaEsta apostila foi elabora para a utilizao no curso Redao em matemtica,cacaaministrado no CDCC (Centro de Divulgao Cient caca e Cultural) da USP emSo Carlos. Pode servir como material de apoio para alunos do Ensino Mdio, e aetem como principal objetivo auxiliar no aprendizado da escrita em matemtica. aA apostila est dividida de acordo com a ordem do curso: no Cap a tulo 1,tratamos da formalizao do texto, caracterizando a dissertao em matemticaca caade forma simplicada e prtica, trabalhando com exemplos de exerc acios devestibulares de forma progressiva, conforme a ordem: introduo, desenvolvi- camento e concluso. Demos ainda algumas orientaes de como redigir um bom a cotexto, mostrando algumas coisas que devemos evitar numa redao. No Capca tulo2, trabalhamos com a lgica matemtica, assunto absolutamente importante no o aensino de matemtica, mas alertamos, que este assunto foi tratado com bas- atante simplicidade, deixando um pouco de lado o rigor dos bons livros de lgica, otentando passar apenas algumas idias elementares. Ainda nesses cap e tulo, trou-xemos alguns exerccios resolvidos e propostos. Deixamos algumas sugestes de ocomo resolv-los no nal desta apostila.eAlguns assuntos, talvez pouco explorados no Ensimo Mdio, foram acrescen- etados como apndice, pois acreditamos que sero de grande valia ao leitor em e asua base Matemtica para empliar a compreenso e a redao de textos da rea. a aca aGostaria de agradecer ao apoio dado pela Profa. Dra. Edna Maura Zu nacoordenao deste projeto, ao apoio de Jonas Eduardo Carraschi pela colabora- cao na ministrao do minicurso e a todos os participantes do mesmo.cacaLeandro Augusto FerreiraSo Carlos, 28 de Julho de 2008. a6 7. Cap tulo 1Formalizao do texto caPara redigir um bom texto, necessrio estimular o racioc ea nio, a capacidadede anlise e sa ntese. E preciso desenvolver um pensamento ordenado, revestidopor um vocabulrio expressivo, revelando assim, um repertrio preciso e comu-a onicativo.Em matemtica no diferente: temos as mesmas necessidades quando de-a a esejamos redigir um bom texto, seja ele na resoluo de um exerc ou na de-caciomonstrao de uma proposio. cacaDaremos aqui alguns conceitos necessrios para uma boa escrita. Nossos tex- atos sero todos dissertativos, por isso estudaremos como fazer uma dissertao. aca1.1Dissertao caDissertar desenvolver uma idia, uma opinio, um conceito ou tese sobreeeaum determinado assunto. Como outras formas de redao, a dissertao se apiaca caoem alguns elementos: introduo, desenvolvimento e conluso.ca aA introduo deve apresentar, de maneira clara, o assunto que ser tratadocaae delimitar as questes referentes a ele que sero abordadas. Neste momento oapode-se formular uma tese, que dever ser discutida e provada no texto, propor auma pergunta, cuja resposta dever constar no desenvolvimento e explicitada naaconcluso. aO desenvolvimento a parte do texto em que as idias, pontos de vista, con-e eceitos, informaes de que se dispe sero desenvolvidas, desenroladas e avaliadascoo aprogressivamente.A concluso o momento nal do texto, e dever apresentar um resumo fortea e ade tudo o que j foi dito, expondo uma avaliao nal do assunto discutido. a ca1.2Dissertao em matemtica caaQuando resolvemos um exerccio ou um problema de matemtica, por e- axemplo, estamos tambm dissertando; estamos convencedo o leitor de que nosso eraciocnio est correto. De forma anloga, vamos estabelecer os conceitos dea aintroduo, desenvolvimento e concluso, vistos na seo anterior.caacaA introduo deve apresentar as variveis utilizadas no texto, bem como acaaque conjuntos pertencem e o que representam no problema. E claro que exis-7 8. CAP ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO8tem vrias formas de fazer uma introduo: veremos basicamente duas formas,a caposteriormente.O desenvolvimento a parte do texto em que as idias devem ser trabalhadas e eatravs da lgica, dos dados do problema e da simbologia matemtica. Esta eoa ea parte mais complexa do texto matemtico, por isso no exibiremos aqui umaamtodo e, sim, resolveremos alguns problemas e comentaremos alguns tpicose omais relevantes.A concluso parte mais simples, nalizamos o texto explicitando a respostaa edo problema, ou o que queramos provar numa demonstrao de uma proposio. ca caDaqui por diante, quando mencionarmos a palavra dissertao, estamos nacaverdade nos referindo a dissertao em matemtica. caa1.3SimbologiaMuita gente se pergunta: Por que devemos utilizar os s mbolos quandoredigimos um texto matemtico?. A resposta para esta pergunta bastanteaesimples, utilizamos s mbolos para escrever um texto de uma forma mais compactae concentramos nossos esforos nos racioccnios, mais do que nas palavras em si.Tome cuidado com o exagero em sua utilizao, pois os textos em geral cam cacarregados com o uso excessivo da simbologia, e nesse caso caro cansativos de aserem lidos.Vejamos agora alguns dos principais s mbolos matemticos:a N: Nmeros naturais. u Z: Nmeros inteiros. u Q: Nmeros racionais. u I ou R-Q: Nmeros irracionais.u R: Nmeros reais. u C: Nmeros Complexos. u : Pertence : Contido : Contme : Implica : Portanto : Existe : Para todo, ou para qualquer.Caso voc no conhea o emprego correto destes se a cmbolos, no tente sim- aplesmente memoriz-los, eles aparecem natulmente no estudo da matemtica doaaensino fundamental e mdio, e alguns deles sero comentados no cap ea tulo 2:Lgica matemtica. o a 9. CAP ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 91.4 Estrutura dissertativaAssim como existem muitas maneiras de escrever um texto, uma introduo,cao mesmo ocorre para o desenvolvimento e a concluso. Na verdade mostraremos aas maneiras mais comuns, na matemtica, para tratar da resoluo de exercacaciose problemas.1.4.1 Introduo ca Como foi dito anteriormente, devemos exibir as variveis do problema: para aisto, uma maneira batante simples nomear as variveis colocando dois pontos ea(:) na frente delas e explicando o que representam. Esta forma no nada rigo-a erosa, pois no dizemos, necessariamente, a que conjunto pertencem as variveis,a apor exemplo, mas para exerc cios de sistemas lineares, uma forma bastante eprtica, pois j sabemos, pelo contexto do problema, a que conjunto as variveis a a apertencem. Vejamos o exemplo abaixo, que mostra a utilizao deste formato de in-catroduo.caExemplo 1.4.1 Joao entrou na lanchonete BOG e pediu 3 hambur- gueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando R$21,50. Na mesa ao lado,algumas pessoas pediram 8 hamburgueres, 3 sucos de laranjae 5 cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preco de um hamburguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocadatotaliza R$ 10,00, calcule o preco de cada um desses itens. A introduo ser feita da seguinte maneira:ca a x: quantitade de hamburgueres y: quantitade de sucos de laranja z: quantitade de cocadasNo texto ca bem claro que x,y,z N, (x, y e z so nmeros naturais), por a uisso foi omitido na introduo, mas em textos mais rigorosos, existe a necessidade cadesta informao, por isso adotaremos, sempre, uma maneira mais rigorosa para cafazer uma introduo. caUma outra forma de fazer a introduo, seria utilizando a palavra seja,capara dizer quem so as variveis do problema, logo em seguida a que conjuntos a aelas pertencem e o que representam no problema. Veja o exemplo abaixo:Exemplo 1.4.2 Ainda no problema do exemplo 1.4.1, a introduo poder ser ca afeita da seguinte maneira: Sejam x, y, z N, que representam respectivamente, quantidade de hambur-gueres, de sucos de laranja e cocadas. 10. CAP ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 10Este formato muito mais formal e completo, como j foi dito, mas caso oe aleitor no se sentiu muito ` vontade em utiliz-lo, daremos a seguir mais umaaaexemplo de sua utilizao.caExemplo 1.4.3 Como resultado de uma pesquisa sobre a relacao en-tre o comprimento do pe de uma pessoa, em cent metros, e o numero (tamanho) do calcado brasileiro, Carla obteve uma formula que da, em media, o numero inteiro n (tamanho do calcado) em funcao do comprimento c, do pe, em cm. Pela formula, tem-se n = [x], onde5x = 4 c + 7 e [x] indica o menor inteiro maior ou igual a x. Por exem- plo, se c = 9 cm, entao x = 18, 25 e n = [18, 25] = 19. Com base nessa formula, a) determine o numero do calcado correspondente a um pe cujo comprimento e 22 cm. b) se o comprimento do pe de uma pessoa e c = 24 cm, entao ela calca 37. Se c > 24 cm, essa pessoa calca 38 ou mais. Determine o maior comprimento poss vel, em cm, que pode ter o pe de uma pessoa que calca 38. Sejam x R e n N, como no enunciado.+Desta vez, de uma forma mais resumida, dizemos simplesmente que as variveis aso da mesma forma como no enunciado, j que no problema estava bem explicito aao que x e c representavam.1.4.2 Desenvolvimento Chegamos, agora, na parte mais trabalhosa da dissertao e o mais impor-catante tentar escrever seu texto numa forma lgica sequencial, caso contrrio,e o atornaremos a leitura do exerc uma verdadeira caa ao tesouro.cio c Prosseguiremos na resoluo dos exemplos vistos no tpido introduo. caocaExemplo 1.4.4 Pelo exemplo 1.4.1, t nhamos conclu que: do x: quantitade de hamburgueres y: quantitade de sucos de laranja z: quantitade de cocadas Ento,a do enunciado, temos o seguinte sistema linear: 3x + y + 2z = 21, 50 8x + 3y + 5z = 57 x + y + z = 10 11. CAP ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO11 Pela regra de Crammer, temos: 21, 5 1 257 3 510 1 1 4x= = = 4,3 1 218 3 51 1 13 21, 5 23 1 21, 58 57 5 8 3 571 10 12, 5 1 1 103, 5 y= == 2, 5 e z === 3, 53 1 213 1 2 18 3 5 8 3 51 1 1 1 1 1Faremos algumas observaes sobre o texto acima: co1. Utilizamos poucos smbolos na resoluo. ca2. Escrevemos o texto de forma objetiva, omitimos alguns clculos.a Ex: No escrevemos passo a passo os clculos dos determinantes. a a3. Citamos a Regra de Crammer, pois a utilizamos na resoluo.ca Faremos a resoluo de outro exemplo iniciado no tpico introduo. caocaExemplo 1.4.5 Pelo exemplo 1.4.3, temos:a) Pela frmula dada, temos: o5 x= 22 + 7 x = 34, 54 n = 35b) Podemos escrever a desigualdade: 537 c + 7 38 4 Resolvendo, temos:5 30 c 314 4 424 = 30 c 31 = 24, 8 5 5 Portanto, c = 24, 8. Faremos algumas observaes sobre o texto acima:co1. Utilizamos alguns smbolos na resoluo. ca 12. CAP ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO 122. Escrevemos o texto de forma objetiva e omitimos alguns clculos. a Ex: No escrevemos passo a passo os clculos nas desigualdades. a a3. Em x = 5 22+7 x = 34, 5 , poder 4 amos ter escrito x = 5 22+7 = 34, 5, 4 sem a utilizao do scambolo de implicao (). Note que os s cambolos e = no so usados com as mesmos signicados, em geral. Pense por a a qu. e1.4.3 Concluso a Como j dissemos anteriormente, esta parte mais simples do texto, uma a evez que a resoluo esteja feita, de forma clara, devemos destacar, no caso decaum exerc ou problemas a sua resposta, ou, no caso de uma demonstrao, o cio caque queramos demonstrar. E importante sempre indicar as unidades de medida da varivel utilizada.aVejamos, agora, alguns exemplos mostrando como devemos proceder.Exemplo 1.4.6 Pelo exemplo 1.4.4, temos: Logo o preo do hamburguer R$ 4,00, o do suco de laranja R$ 2,50 e o ce eda cocaca R$ 3,50.eExemplo 1.4.7 Pelo exemplo 1.4.5, temos:a) Portanto o nmero do calado ser 35. u c ab) Portanto, o maior tamanho de p ser 24, 8 cm. eaNas provas de vestibular, em geral, devemos ainda explicitar, no nal daresoluo, todas as respostas de cada item de forma resumida. Vejamos comocacariam os exemplos anteriores com este formato.Exemplo 1.4.8 Pelo exemplo 1.4.4, temos:Logo o preo do hamburguer R$ 4,00, o do suco de laranja R$ 2,50 e o dace ecocaca R$ 3,50. e Respostas: R$4,00, R$2,50 e R$3, 50Exemplo 1.4.9 Pelo exemplo 1.4.5, temos:a) Portanto o nmero do calado ser 35. u c ab) Portanto o maior tamanho de p ser 24, 8 cm.eaRespostas:a) 35b) 24,8 cm 13. CAP ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO131.5 Modelos de dissertao caTrataremos, aqui, do tipo de dissertao que interessa ao aluno do Ensino caMdio. Em especial, daremos nesta seo uma contextualizao para a formali-eca cazao do texto.ca1.5.1 A dissertao escolarcaO aluno de Ensino Mdio, principalmente o vestibulando, depara-se com uma egrande diculdade de elaborar textos matemticos. A expresso das idias algoaae ea ser conquistado, e em geral, o aluno precisa adquirir uma certa maturidade paraexpressar suas idias de forma to precisa. eaApesar de tratarmos aqui de alguns aspectos da criao de textos, sabemoscao esforo que o aluno ter para aprender a escrever uma dissertao, ao longo de c acatoda a sua formao escolarca1.5.2 Receita para um texto dissertativoConsiderando toda a formalizao apresentada at aqui, observe a scae ntese dasprincipais idias de como elaborar um texto dissertativo. e Como comear?c Leia atentamente e interprete o enunciado. Como elaborar? Comece dizendo quais so as variveis do problema, bem como a qual a a conjunto elas pertencem. Como argumentar? Seja claro e siga uma sequencia lgica no desenvolvimento, utilizando deo forma moderada a simbologia matemtica.a Como concluir? Para concluir, interprete o racocinio desenvolvido e escreva a resposta.Etapas para elaborar uma dissertao ca1. Ler atentamente o tema e reetir sobre o assunto.2. Fazer um esboo do encadeamento das idias.ce3. Ler o texto, submetendo-o a uma avaliao cr catica.4. Pass-lo a limpo. aOrientao para elaborar uma dissertao caca Seu texto deve apresentar introduo, desenvolvimento e concluso.caa Redija na 3o pessoa do singular ou do plural, ou ainda na 1o pessoa do plural. Por exemplo: 14. CAP ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO14 Sejam a, b, c variveis . . . a Sabemos que a2 = b2 + c2 . . . Tome f (x) = x2 . . . Desta forma obtemos o polinmio p(x) = x2 1 . . .o Se no souber resolver o exerc a cio, no tente inventar teorias matemticasaa para aparentar resolv-lo.e No construa frases embromatrias. Verique se as palavras e sa ombolos empregados so fundamentais e informativos. a No utilize sa mbolos em demasia; isso pode tornar seu texto enfadonho. Observe se h repetio de idias, falta de clareza e construes sem nexo. a ca e co Verique se os argumentos utilizados so convincentes. a Tente citar os nomes dos principais teoremas e resultados da teoria que est utilizando, isso enriquece o texto, mas cuidado para no utiliz-losa aa erroneamente. No utilize abreviaes das palavras usuais sa L acongua Portuguesa: voc e corre o risco do leitor no enterder o que quer dizer.a1.5.3 Exemplos de textos dissertativos - Exerccios de vestibularExerc cio 1.5.1 Em uma determinada residncia, o consumo mensal de guaeacom descarga de banheiro corresponde a 33% do consumo total e com higienepessoal, 25% do total. No ms de novembro foram consumidos 25 000 litros de egua no total e, da quantidade usada pela residncia nesse ms para descarga dea e ebanheiro e higiene pessoal, uma adolescente, residente na casa, consumiu 40%.Determine a quantidade de gua, em litros, consumida pela adolescente no msaede novembro com esses dois itens: descarga de banheiro e higiene pessoal. Resoluo: Sejam Qd , Qh e Qa , respectivamente, as quantidades de descarga cade banheiro, higiene pessoal e total de gua consumida, por essa adolescente.aTemos:Qd = 25% 25000 = 6250Qh = 33% 25000 = 8250 Logo, Qa = (40% Qd ) + (40% Qh ) = (40% 6250) + (40% 8250) = = 2500 + 3300 = 5800Portanto a adolescente gastou 2500 litros com descarga, 3300 litros comhigiene pessoal, somando no total 5800 litros. Resposta: 2500 litros, 3300 litros e 5800 litros 15. CAP ITULO 1. FORMALIZACAO DO TEXTO15Exerc cio 1.5.2 Uma empresa pretende, no ano de 2006, reduzir em 5% aproduo de CO2 com a queima de combust de sua frota de carros, diminuindoca vela quantidade de quilmetros a serem rodados no ano. O total de quilmetros ro-oodados pelos carros dessa empresa em 2005 foi de 199 200 km. Cada carro fazem mdia 12 km por litro de gasolina, e a queima de cada 415 litros desse com-ebust pelos carros da empresa produz aproximadamente uma tonelada de CO2 .velMantidas as mesmas condies para os carros, em termos de consumo e queimacode combust vel, determine quantas toneladas a menos de CO2 os carros da em-presa deixariam de emitir em 2006, relativamente ao ano de 2005. Resoluo: Sejam Ql e Qt , respectivamente, a quantidade de combustca vel,em litros, em 2005, e a quantidade, em toneladas, de CO2 produzida pela queimadesse combust vel, ento:a 199200 Ql == 16600 12 16600Qt == 40 415Portanto os carros deixariam de emitir 5% de 40t, que igual a 2t.e Resposta: 2t (ou 2 toneladas)Exerc cio 1.5.3 Seja x o nmero de anos decorridos a partir de 1960 (x = 0). uA funo y = f (x) = x+320 fornece, aproximadamente, a mdia de concentraoca ecade CO2 na atmosfera em ppm (partes por milho) em funo de x. A mdia de aca evariao do nca vel do mar, em cm, em funao de x, dada aproximadamentec epela funo g(x) = x . Seja h a funo que fornece a mdia de variao do ca5ca e can do mar em funo da concentrao de CO2 . No diagrama seguinte esto vel ca caarepresentadas as funes f , g e h.cog T / MV