Trabalho de Aplicacoes de EDO

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    05-Mar-2016

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Drenagem de tanques

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Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESCCentro de Educao Superior do Alto Vale do Itaja - CEAVIDepartamento de Engenharia Sanitria

Modelagem Matemtica; Determinao da concentrao de misturas, e Drenagem de tanques.

Acadmicos: Emanuel FusinatoJos Guilherme Espndola

Ibirama, 06 de novembro de 2013.

Introduo

A modelagem matemtica a rea que estuda a simulao de sistemas a fim de prever o seu comportamento, sendo empregada principalmente nas reas da fsica, qumica, biologia e engenharias. O principal mtodo de modelagem realizado via equaes diferenciais ordinrias. Sendo que tal tcnica utilizada para modelar fenmenos desde o sculo XVII. Neste trabalho utilizaremos a modelagem matemtica e os mtodos de equaes diferenciais ordinrias para solucionar problemas como; determinao da concentrao de misturas, e drenagem de tanques.

Modelagem matemtica de concentrao de misturas

A modelagem matemtica para problemas de concentrao de misturas muitas vezes d origem a uma equao diferencial de primeira ordem para a quantidade de sal contida na mistura. Esta quantidade depende da diferena das taxas de entrada e sada de soluo do tanque. O valor destas taxas dado pela multiplicao do fluxo pela concentrao, para a entrada e sada.

Podemos ter trs diferentes casos para diferena de concentrao: taxa de entrada igual a taxa de sada, taxa de entrada menor que a taxa de sada e taxa de entrada maior que a taxa de sada. Sendo que nos ltimos dois casos a concentrao de sal dentro do tanque decrescente e crescente, respectivamente.Ainda podemos ter diferentes casos para diferena no fluxo de entrada e sada. Para isso utilizamos a frmula da taxa de sada:

Sendo que a concentrao de sada depende da concentrao da soluo do tanque, que calculada por:

A massa do soluto a nossa incgnita A(t).

O volume do solvente :

= Volume inicial= Fluxo de entrada Fluxo de sadaO exemplo escolhido foi um caso de fluxo de entrada igual ao fluxo de sada. Um grande tanque de mistura contm 300 litros de salmoura (isto , gua na qual foi dissolvida uma determinada quantidade de kilogramas de sal). Uma outra salmoura bombeada para dentro do tanque a uma taxa de trs litros por minuto; a concentrao de sal nessa segunda salmoura de 2 kilogramas por litro. Quando a soluo no tanque estiver bem misturada, ela ser bombeada para fora a mesma taxa em que a segunda salmoura entrar. Se A(t) denotar a quantidade de sal (medida em kilogramas) no tanque no instante t, a taxa segundo a qual A(t) varia ser uma taxa lquida:

A taxa de entrada de sal no tanque produto da concentrao de sal no fluxo de entrada de fludo. Percebe-se que medido por kilogramas por minuto:

Taxa de entrada de salConcentrao de sal no fluxo de entradaTaxa de entrada de salmoura

Uma vez que a soluo est sendo bombeada para fora e para dentro do tanque a mesma taxa, o nmero de litros de salmoura no tanque no instante t constante e igual a 300 litros. Assim sendo, a concentrao de sal no tanque e no fluxo de sada de A(t)/300kg/L, e a taxa de sada de sal :

Taxa de sada de salConcentrao de sal no fluxo de sadaTaxa de sada de salmoura

Logo a variao lquida torna-se:

Temos uma EDO linear de primeira ordem que pode ser resolvida utilizando o mtodo de EDOs separveis:

Podemos observar como esta equao se comporta a longo prazo aplicando um limite:

= 600

De acordo com o resultado podemos perceber que a concentrao salina do tanque tende ao valor da concentrao de entrada.

Dos dados do tanque acima, vamos colocar agora a seguinte questo: se 50 kg de sal fossem dissolvidas nos 300 L iniciais?

A soluo particular :

Graficamente:

No grfico abaixo temos a soluo particular acima, e os ponto A(50,0) e a reta y=600. O grfico comporta-se como o esperado para todo o tempo positivo.

Modelagem matemtica de drenagem de tanques

Escoamento em HidrodinmicaSe a rea da seco no nvel A(h) for conhecida, e a rea seccional a, na base por onde a gua esta sendo drenada tambm conhecida, este problema torna-se relativamente simples para encontrar a altura do nvel da gua h em funo do tempo t. A chave para resoluo do problema uma relao de equilbrio de energia elementar, que d a velocidade do efluente. O volume infinitesimal de uma superficie de gua que drenado para fora do recipiente, no tempo t , dado por: V = A(h)h(Equao 1)onde A(h) a rea da superfcie e h a componente do incremento diferencial em funo do tempo .Considera-se este volume escoado com uma perda em relao a energia potencial (Ep = mgh), onde g a constante da fora de gravidade. Esta perda de energia potencial equilibrada pela energia cintica deste volume de elementos que passam atravs do dreno. Se denotamos a velocidade do efluente por v. Quando a energia cintica :Ec = mv2(Equao 2)e relacionarmos esta com a energia potencial que escrevemos como:mv2 = mgh(Equao 3)podemos seguir com nosso estudo, lembrando que em queda livre um corpo possui sua velocidade definida por: v = Se o volume total de gua, V(h), contida no recipiente est escoando pelo dreno, com velocidade v, atravs de um buraco com seco de rea a, quando o equilbrio for atingido, podemos escrever a partir da (Equao 3):

Drenando um TanqueSuponha que um tanque cheio com gua seja drenado por meio de um buraco sob a influncia da gravidade. Gostaramos de encontrar a altura h de gua remanescente no tanque no instante t. Considere o tanque ao lado: Se a rea do buraco for Ah (em m2) e a velocidade de sada da gua do tanque for v = (em m/s), o volume de sada de gua do tanque por segundo V = Ah (em m3/s). Assim, se V denotar o volume de gua no tanque no instante t, (Equao 4)onde o sinal de subtrao indica que V est decrescendo. Observe aqui que estamos ignorando a possibilidade de atrito do buraco que possa causar uma reduo na taxa de fluxo.Assim, a (Equao 4) uma EDO Linear de Primeira Ordem, com as variveis dh e dt, que podemos resolver pelo mtodo de EDOs Separveis; onde: V(t) = Ab.h(t) Ah = .r2 (rea do buraco) Ab = .R2 (rea da base).Deduo do modelo:

Como V(t) = Ab.h(t), a taxa com que o volume do tanque ir variar ser: = Ab.Ento a (Equao 4) fica:Ab. = Como Ah = .r2 e Ab = .R2, temos:.R2. = .r2..Separamos as variveis dh, dt e integramos dos dois lados:.R2. = .r2..Obtemos:.R2. h1/2. 2 = .r2.. t + ce chegamos na equao da altura da gua no tanque em funo do tempo:h(t) = (Equao 5)Quando as condies iniciais, t = 0, e h = ho , so utilizadas, encontra-se:

que ao substituirmos na (Equao 5), obtm-se a equao particular da soluo, escrita na forma:h(t) =(Equao 6)Atravs da (Equao 6), isolando a varivel t, podemos encontrar o tempo em que o tanque esvazia:t(h) = (Equao 7)Como V(t) = Ab.h(t) e h(t) = , atravs da (Equao 6) obtemos:

Substituindo e fazendo as operaes matemticas, chegamos na equao do volume em funo do tempo:V(t) = Para analisar a variao da altura a longo prazo, calculamos o limite da (Equao 6), obtendo: = + Podemos concluir, que esta equao no apropriada para se calcular o volume ou a altura a longo prazo, pois no faz sentido a altura/volume tender ao infinito, sendo que o tanque, ao passar do tempo, tende a ficar vazio e no encher de novo.

Exemplo:Determinar o tempo necessrio para esvaziar um tanque cilndrico de raio 2m e altura 5m, cheio de gua, admitindo-se que a gua escoe atravs de um orifcio, situado na base do tanque, de raio 30cm, com uma velocidade v=m/s, sendo h a altura da gua no tanque e g = 10m/s2 a acelerao gravitacional.

Podemos calcular o tempo para esvaziar o tanque atravs da (Equao 7)t(h) = Como queremos calcular o tempo que o tanque ir esvaziar, ou seja, quando h=0, a equao fica:t(0) = Substituindo os dados da questo, temos:t(0) = = 44,44 sGraficamente:

Grfico (hxt) - Drenagem de um tanque. Demonstrao da altura h da gua no tanque aps um certo tempo t, sendo a altura em metros e o tempo em segundos.[ h (m) x t (s) ]

Atravs do grfico [ h (m) x t (s) ], podemos observar, que no tempo zero o tanque est cheio de gua, sendo assim a altura inicial (h=5 m) e aps um tempo t=44,44s o tanque esvazia completamente (h=0 m).

Concluso

Neste trabalho, utilizamos equaes diferenciais ordinrias para modelar problemas fsicos, no caso deste trabalho, a drenagem de tanques e concentrao de misturas. Em tais estudos a abordagem das equaes utilizadas bastante simples, visto que a modelagem de tais sistemas envolve somente equaes diferenciais de 1 ordem. Por meio de mtodo de fator integrante ou separveis podemos resolver os casos de concentrao de misturas, obtendo as solues particulares e gerais. Analisando-as podemos concluir que em um sistema onde os fluxos de entrada e sada so iguais obtivemos um grfico coerente com o que pode ser visualizado em um eventual experimento, j para situaes onde h uma diferena entre os fluxos de entrada ou sada, o grafico obtido apresenta uma rea valida e outra que deve ser despresada. Outro ponto a ser analisado que a concentrao do tanque tende a se estabilizar com a concentrao de entrada.Atravs do mtodo de EDOs separveis, modelamos a equao diferencial do volume de um tanque sendo drenado, em relao ao tempo t, obtendo assim as equaes do volume, altura, aps um tempo t e a equao do tempo para que o tanque ir ter determinada altura de gua. Aplicando o limite de t tendendo ao infinito, obtivemos a resposta do volume/altura a longo prazo, sendo este, +. O resultado no apropriado, pois, como podemos observar no grfico (hxt), aps um tempo t=44,44s o tanque esvaziado completamente e no volta a encher.

Referncias Bibliogrficas

http://paginapessoal.utfpr.edu.br/paulabenevides/equacoes-diferenciais/equacoes-diferencias/ED_PaulaBenevides.pdf (Acessado em 02/11/2013)

https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96626/Aloisio%20Jos%C3%A9.PDF?sequence=1 (Acessado em 04/11/2013)

Exemplo de concentrao de misturas, adaptado de: EQUAES DIFERENCIAIS

NOTAS DE AULA, Prof.a Paula Francis Benevides.

Software utilizado para plotagem dos grficos: GeoGebra.