Tema13 - Definicion Del N-factorial - Coeficiente y Teorema Del Binomio

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    07-Oct-2015

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DenicionSi n es cualquier numero natural, el numero n (n ? 1) 3 2 1 se llama el factorial de n; y se denota n!n! = n (n ? 1) 3 2 1:Se dene 0! = 1:Esta expresion puede usarse para expresar el numero total deformas de ordenar o acomodar un numero de objetos distintos.As, el numero total de formas de diferentes de acomodarn objetos distintos es n!

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  • MATEMATICAS BASICASUNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLIN

    DEFINICION DEL n-FACTORIAL - COEFICIENTE Y TEOREMA DEL BINOMIO

    Definicion

    Si n es cualquier numero natural, el numero n (n 1) 3 2 1 se llama el factorial de n, y se denota n!

    n! = n (n 1) 3 2 1.

    Se define 0! = 1.

    Esta expresion puede usarse para expresar el numero total deformas de ordenar o acomodar un numero de objetos distin-tos. As, el numero total de formas de diferentes de acomodarn objetos distintos es n!

    Combinaciones.

    Si queremos formar todos los posibles subconjuntos detamano r de un conjunto de n elementos, r n, sin importarel orden, diremos que estamos haciendo combinaciones delos elementos.Como el orden de los elementos en un conjunto carece deimportancia, las combinaciones {A, B, C} y {A, C, B} soniguales. El numero de combinaciones de n objetos tomadosen grupos de r a la vez (esto es, el numero de subconjuntos

    de tamano r, dado un conjunto de tamano n) se denota

    (n

    r

    ).

    Ejemplo

    En un club, cuyos miembros son

    {Andres, Bernardo, Catalina, David, Estela}= {A, B,C, D, E} ,

    se quiere formar comites de 3 miembros. Se pueden formarlos siguientes:

    {A, B, C} , {A, B, D} , {A, B, E} , {A, C, D} ,{A, C, E} , {A, D, E} , {B, C, D} , {B, C, E} ,{B, D, E} , {C, D,E} .

    Es decir, hay 10 posibles comites. Como en las permuta-ciones, no se permiten repeticiones, en este caso {B, B, E}no es un subconjunto o comite valido.

    Teorema

    El numero de combinaciones o subconjuntos, de n objetosdistintos tomados en grupos de r a la vez, donde r n, estadado por (

    n

    r

    )=

    n!

    r! (n r)! .

    La expresion

    (n

    r

    )se lee n tomados en grupos de r.

    Cuando Aplicar Combinaciones?

    Las combinaciones se aplican cuando(1) no se permiten las repeticiones, y(2) el orden no es importante.

    Ejemplo

    Esteban quiere comprar 10 libros diferentes pero solo tienedinero para comprar 4. De cuantas maneras puede hacer suseleccion?

    Solucion

    Los cuatro libros elegidos deben ser distintos (no se permitenlas repeticiones), y ademas el orden no es importante en estecaso, entonces usamos combinaciones:(

    10

    4

    )=

    10!

    4! (10 4)! = 210 maneras.

    Luego, Esteban puede seleccionar los 4 libros de 210 manerasdistintas.

    Ejemplo

    Todos los miembros de una comunidad desean ir a un evento,pero solo hay cupo para 12 de ellos. De cuantas maneraspodra elegirse los 12 participantes si hay un total de 24 miem-bros?

    Solucion

    En este caso, se requieren 12 personas distintas (no se per-miten las repeticiones) y el orden de la seleccion no importa,entonces usamos combinaciones. As,(

    24

    12

    )=

    24!

    12! (24 12)! = 2, 704, 156 maneras.

    Luego, la seleccion de las 12 personas que participaran en elevento puede hacerse de 2, 704, 156 maneras diferentes.

    El Teorema del Binomio

    Realizando multiplicaciones se pueden encontrar desarrollosde la primera, segunda, tercera, cuarta y quinta potencia deun binomio. Veamos

    (x + y)1

    = x + y

    (x + y)2

    = x2 + 2xy + y2

    (x + y)3

    = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3

    (x + y)4

    = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4

    (x + y)5

    = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5.

    1

  • Los resultados anteriores se pueden generalizar de la siguiente forma:

    Teorema:

    Si n Z+, entonces

    (x + y)n

    =

    (n

    0

    )xn +

    (n

    1

    )xn1y +

    (n

    2

    )xn2y2 +

    (n

    3

    )xn3y3 + . . . +

    (n

    n 1)xyn1 +

    (n

    n

    )yn,

    o lo que es equivalente

    (x + y)n

    = xn+nxn1y+n (n 1)

    2!xn2y2 +

    n (n 1) (n 2)3!

    xn3y3 +n (n 1) (n 2) (n 3)

    4!xn4y4 + +nxyn1 +yn.

    Ejemplo

    Desarrollar la expresion (2a + b)6.

    Solucion

    Aqu x = 2a, y = b y n = 6, entonces

    (2a + b)6

    =

    (6

    0

    )(2a)

    6+

    (6

    1

    )(2a)

    5b +

    (6

    2

    )(2a)

    4b2 +

    (6

    3

    )(2a)

    3b3 +

    (6

    4

    )(2a)

    2b4 +

    (6

    5

    )(2a) b5 +

    (6

    6

    )b6

    = (2a)6

    + 6 (2a)5b +

    6 52!

    (2a)4b2 +

    6 5 43!

    (2a)3b3 +

    6 5 4 34!

    (2a)2b4+

    +6 5 4 3 2

    5!(2a) b5 +

    6 5 4 3 2 16!

    b6

    = 64a6 + 192a5b + 240a4b2 + 160a3b3 + 60a2b4 + 12ab5 + b6.

    Ejemplo

    Desarrollar la expresion (2x 5y)4.Solucion

    Observemos que 2x es el primer termino y (5y) el segundo, luego

    (2x 5y)4 = (2x)4 + 4 (2x)3 (5y) + 4 32!

    (2x)2

    (5y)2 + 4 3 23!

    (2x) (5y)3 + (5y)4

    = 16x4 160x3y + 600x2y2 1000xy3 + 625y4.

    Ejemplo

    Encuentre el coeficiente del termino x15y4 en el desarrollo de

    (x +

    y2

    2

    )32.

    Solucion

    El tercer termino de este desarrollo es(32

    2

    )(x)322(y2

    2

    )2= 16 31 x15 y

    4

    4= 124 x15y4.

    Por lo tanto, el coeficiente pedido es 124.

    2