Primeira Prova EDO ufpb

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    28-Dec-2015

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Modelo de prova realizada pelo professor marivaldo da UFPB.

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UFPB - CCEN - Departamento de MatemticaClculo 3 - 07.1 Turma 01 - Prof. MPMatosExame N. 2: Seqncias e Sries NumricasProva 101. (3,0 pontos) Verdadeiro (V) ou falso (F). Justique as alternativas falsas.a. (F) Se (an) montona e 2 an 3; 8n; entoP1n=1 an converge.b. (F) Se as sriesP1n=1 an eP1n=1 bn so convergentes, ento a srieP1n=1 (anbn) convergente.c. (F) Se lim an = 0 e (bn) decrescente, ento lim (anbn) = 0:d. (F) SeP1n=1 a4n converge, entoP1n=1 a2n converge:e. (F) A seqncia 1; 1=2; 1; 1=4; 1; 1=6; 1; 1=8; : : : convergente.f. (F) SeP1n=1 an diverge, entoP1n=1 a2n eP1n=1 a2n1 so divergentes.Justicativas:(a) A seqncia (an) embora convergente no tem limite zero, porque 2 lim an 3, e,portanto, a srie divergente. (critrio do n-simo termo)(b) Considere an = bn =(1)nn. O critrio de Leibniz assegura queP1n=1 an eP1n=1 bn soconvergentes e, contudo,P1n=1 (anbn) =P1n=11n divergente.(c) Considere an = 1=n e bn = n. Temos que an ! 0; (bn) decrescente e lim anbn = 1:(d) Seja an = 1=pn. Ento,P1n=1 a4n =P1n=1 1=n2 convergente, masP1n=1 a2n =P1n=1 1=n divergente.(e) Representando por an a seqncia dada, notamos que a2n1 = 1 constante e a2n = 1=2nconverge para zero. Como lim a2n 6= lim a2n1, deduzimos que a seqncia (an) diverge.(f) Seja an = 1+ (1)n. Temos que a2n = 2 e a2n1 = 0, para todo n. Como (an) divergente,entoP1n=1 an diverge e, mesmo assim,P1n=1 a2n1 = 0 converge.02. (2,0 pontos) Prove pelo Mtodo de Induo Finita que:P (n) :1 3 5 : : : (2n 1)2 4 6 : : : (2n) 12n; 8n 2 N:Soluo:Para n = 1 a propriedade se reduz a:12 12 1 a qual bvia. Admitindo que P (n) ocorra,a propriedade P (n+ 1) que se deseja provar :P (n+ 1) :1 3 5 : : : (2n 1) (2n+ 1)2 4 6 : : : (2n) (2n+ 2) 12 (n+ 1):Ora, usando a hiptese que P (n) ocorre, encontramos:1 3 5 : : : (2n 1) (2n+ 1)2 4 6 : : : (2n) (2n+ 2) =1 3 5 : : : (2n 1)2 4 6 : : : (2n)2n+ 12n+ 2 (usar P (n) ) 12n2n+ 12n+ 2=2n+ 12n| {z }112n+ 2 12n+ 2;como queramos.03. (5,0 pontos) Use o critrio especicado e investigue a convergncia das sries:(a)1Xn=13n3pn3 + 1(Critrio da Comparao)(b)1Xn=1(1)n nn2 + 3(Critrio de Leibniz)(c)1Xn=1n!nn(Critrio da Razo)(d)1Xn=1lnnn3 + 1(Critrio da Comparao)(e)1Xn=112n+ ln2 +1n(Critrio do n-simo Termo)Soluo:(a) an =3n3pn3 + 1 3n3pn3 + 26n3=3n3p27n3= 1 = bn. Como a srie de provaPbn divergente,entoPan diverge.(b) Seja bn =nn2 + 3: Ento: bn > 0; 8n ;2 bn = nn2 (1 + 3=n2)=1n (1 + 3=n2)! 0, quando n!1; (bn) decrescente, para n > 3. De fato, a funo extenso f (x) = xx2 + 3tem derivadaf 0 (x) =x+ 3(x2 + 3)2< 0; para x > 3 e, portanto, (bn) decresce a partir de n = 3:Pelo Critrio de Leibniz, a srie alternadaP1n=1 (1)n bn convergente.(c) limn!1an+1an = limn!1 (n+ 1)!(n+ 1)n+1 nnn! = limn!1nn+ 1n= limn!11(1 + 1=n)n= 1=e < 1.Pelo Critrio da Razo a sriePan converge absolutamente.(d) an =lnnn3 + 1 nn3 + 1 nn3=1n2= bn. SendoPbn convergente, segue por comparaoquePan tambm converge.(e) limn!1 an = limn!112n+ ln2 +1n= ln 2 6= 0 e, sendo assim, a srie P an divergente.3Prova 201. (3,0 pontos) Verdadeiro (V) ou falso (F). Justique as alternativas falsas.a. (F) Se (an) limitada e decrescente, ento (an) converge para zero.b. (F) Se (an) divergente, ento (janj) tambm divergente.c. (F) Se an 0; 8n; eP1n=1 an convergente, entoP1n=1pan, tambm converge.d. (F) Se (an) uma seqncia constante, entoP1n=1 an convergente.e. (F) Se an > 0; 8n; e lim an = 0, ento a srieP1n=1anpnconverge.f. (F) SeP1n=1 a2n eP1n=1 a2n1 so divergentes, entoP1n=1 an diverge.Justicativas:(a) A seqncia an = 1 + 1=n limitada, decrescente e, contudo, no converge para zero (seulimite 1).(b) A seqncia an = (1)n divergente e janj convergente (note que janj = 1; 8n; constante).(c) Considere an = 1=n2. Ento,Pan convergente e, ainda assim,Ppan =P1=n divergente.(d) O nico caso em que (an) constante ePan convergente ocorre quando an 0. Se, porexemplo, an = 1; 8n; entoPan diverge, pelo Critrio do n-simo Termo.(e) Se an = 1=pn, ento an > 0; an ! 0 e, contudo,P1n=1anpn=P1n=11n divergente.(f) Seja an =(1)nn. Temos: a2n =12ne a2n1 =12n 1 e, portanto,P1n=1 a2n eP1n=1 a2n1so divergentes (podem ser comparadas com a srie harmnicaP1=n). A sriePan convergente,o que comprovado pelo Critrio de Leibniz.02. (2,0 pontos) Prove pelo Mtodo de Induo Finita que:P (n) : 12 + 22 + 32 + + n2 = n (n+ 1) (2n+ 1)6; 8n 2 N:Soluo:4Para n = 1 a propriedade se reduz a: 12 =1 (1 + 1) (2 + 1)6que verdadeira. Admitindo queP (n) ocorra, a propriedade P (n+ 1) que se deseja provar :P (n+ 1) : 12 + 22 + 32 + : : :+ n2 + (n+ 1)2 =(n+ 1) (n+ 2) (2n+ 3)6:Ora, usando a hiptese que P (n) ocorre, encontramos:12 + 22 + 32 + : : :+ n2| {z }usar P (n)+ (n+ 1)2 =n (n+ 1) (2n+ 1)6+ (n+ 1)2 ==n (n+ 1) (2n+ 1) + 6 (n+ 1)26==(n+ 1) [n (2n+ 1) + 6 (n+ 1)]6==(n+ 1)2n2 + 3n+ 4n+ 66==(n+ 1) [(2n+ 3)n+ 2 (2n+ 3)]6=(n+ 1) (2n+ 3) (n+ 2)6;como queramos.03. (5,0 pontos) Use o critrio especicado e investigue a convergncia das sries:(a)1Xn=233p4n3 5n (Critrio da Comparao)(b)1Xn=1(1)n n2n(Critrio de Leibniz)(c)1Xn=1(1)n+1 (n!)2(2n)!(Critrio da Razo)(d)1Xn=1lnnn2(Critrio da Comparao no Limite)(e)1Xn=1ln(2nn+ 1) 12n4(Critrio do n-simo Termo)Soluo:(a) an =33p4n3 5 33p27n3=1n= bn; n 2. Como a srie de provaPbn divergente,entoPan diverge.(b) Seja bn =n2n: Ento: bn > 0; 8n ;5 lim bn = lim n2n= (usar LHpital) = lim12n ln 2= 0, quando n!1; (bn) decrescente. De fato, bn+1bn=n+ 12n+1 2nn=n+ 12n 1; 8n:Pelo Critrio de Leibniz, a srie alternadaP1n=1 (1)n bn convergente.(c) limn!1an+1an = limn!1 [(n+ 1)!]2(2n+ 2)! (2n!)(n!)2 = limn!1 (n+ 1)2(2n+ 1) (2n+ 2) = 1=4 < 1. Pelo Critrioda Razo a sriePan converge absolutamente.(d) Seja an =lnnn2e considere a srie de prova convergenteP 1n3=2. Temoslimanbn= limlnnn2 n3=2= limlnnn1=2= (usar LHpital) = lim1=n1=2pn= lim2pn= 0:Por comparao no limite, deduzimos quePan converge.(e) limn!1 an = limn!1ln2nn+ 1 12n4= ln 2 6= 0 e, sendo assim, a srie P an divergente.6Prova 301. (3,0 pontos) Verdadeiro (V) ou falso (F). Justique as alternativas falsas.a. (F) SeP1n=1 an diverge, entoP1n=1 (an + an+1) diverge.b. (F) Se (an) limitada e montona, entoP1n=1 an converge.c. (F) A seqncia (an) denida por: a1 = 1 e an+1 = 1 an; n 1; convergente.d. (F) SeP1n=1 a2n converge, entoP1n=1 an absolutamente convergente.e. (F) Se lim (an=bn) =1 eP1n=1 bn converge, ento a srieP1n=1 an converge.f. (F) SeP1n=1 an eP1n=1 bn so convergentes, entoP1n=1 anbn converge.Justicativas:(a) A srieP1n=1 (1)n divergente, masP1n=1h(1)n + (1)n+1iconverge e tem soma zero.(b) Considere an =1n. Temos que (an) limitada e decrescente e, contudo,P1n=1 an =P1n=11n divergente.(c) Note que (an) a seqncia divergente 1; 0; 1; 0; : : : (recorde-se que a2n ! 0 e a2n1 ! 1 e,sendo assim, (an) diverge)(d) Seja an = 1=n. Ento,P1n=1 a2n =P1n=1 1=n2 converge, masP1n=1 an =P1n=1 1=n diverge.(e) Sejam an = 1=n e bn = 1=n2. Ento, lim (an=bn) = limn =1, a srieP1n=1 bn converge e,ainda assim, a srieP1n=1 an diverge.(f) Seja an =(1)npne bn =(1)npn. Como conseqncia do Critrio de Leibniz as sriesP1n=1 aneP1n=1 bn so convergentes eP1n=1 anbn a srie harmnicaP1n=1 1=n divergente.02. (2,0 pontos) Prove pelo Mtodo de Induo Finita que:12 + 32 + 52 + + (2n 1)2 = 4n3 n3; 8n 2 N:Soluo:Para n = 1 a propriedade se reduz a: 12 =4 13 13que verdadeira. Admitindo que P (n)ocorra, a propriedade P (n+ 1) que se deseja provar :P (n+ 1) : 12 + 32 + 42 + : : :+ (2n 1)2 + (2n+ 1)2 = 4 (n+ 1)3 (n+ 1)3:7Ora, usando a hiptese que P (n) ocorre, encontramos:12 + 32 + 52 + : : :+ (2n 1)2| {z }usar P (n)+ (2n+ 1)2 =4n3 n3+ (2n+ 1)2 ==4n3 n+ 3 4n2 + 4n+ 13==4n3 + 3n2 + 3n+ 1 n 16==4 (n+ 1)3 (n+ 1)3= ;como queramos.03. (5,0 pontos) Use o critrio especicado e investigue a convergncia das sries:(a)1Xn=5pnn+ 4(Critrio da Comparao)(b)1Xn=1(1)n n2n3 + 2(Critrio de Leibniz)(c)1Xn=11 3 5 : : : (2n 1)n!(Critrio da Razo)(d)1Xn=12n+ n2n3 + 1(Critrio da Comparao no Limite)(e)1Xn=1ln(n22n2 + 1) 13n4(Critrio do n-simo Termo)Soluo:(a) an =pnn+ 4pnn+ 4n=151pn= bn. Como a srie de provaPbn divergente, entoPandiverge.(b) Seja bn =n2n3 + 2: Ento: bn > 0; 8n ; lim bn = lim n2n3 (1 + 2=n3)= lim1n (1 + 2=n3)= 0, quando n!1; (bn) decrescente. De fato, considerando a funo extenso f (x) = x2x3 + 2, obtemos f 0 (x) =xx3 + 2(x3 + 2)2 0, se x 2. Portanto, (bn) decresce a partir do 2o termo.:8Pelo Critrio de Leibniz, a srie alternadaP1n=1 (1)n bn convergente.(c)limn!1an+1an = limn!1 1 3 5 : : : (2n 1) (2n+ 1)(n+ 1)! n!1 3 5 : : : (2n 1) = limn!1 2n+ 1n+ 1 = 2 > 1:Pelo Critrio da Razo a sriePan diverge.(d) Seja bn =1n: Temoslimanbn= lim2n+ n2n3 + 1 n= limn3 + 2n2n3 + 1= 1:Como1Xn=1bn divergente, ento por comparao no limite, deduzimos quePan diverge.(e) limn!1 an = limn!1lnn22n2 + 1 13n4= ln (1=2) 6= 0 e, sendo assim, a srie P an divergente.9Prova 401. (3,0 pontos) Verdadeiro (V) ou falso (F). Justique as alternativas falsas.a. (V) Se (an) convergente e todos os termos de ordem mpar so iguais a 2, ento lim an = 2.b. (F) SeP1n=1 an eP1n=1 bn so convergentes, ento a srieP1n=1pjanbnj convergente.c. (F) Se lim (pnan) = 1=2; entoP1n=1 an convergente.d. (F) Se lim an = 0; entoP1n=1 (1)n an converge:e. (F) Para a seqncia an =2n 2n+ 3o valor da expresso inf an + 3 sup an igual a 3.f. (V) SeP1n=1 a2n eP1n=1 a2n1 so convergentes, entoP1n=1 an converge.Justicativas:(a) Primeiro note que lim a2n1 = 2. Sendo (an) convergente, ento lim an = lim a2n1 = 2:(b) Considere an =(1)nne bn =(1)nn. As sriesP1n=1 an eP1n=1 bn so convergentes, peloCritrio de Leibniz, masP1n=1pjanbnj =P1n=1 1n diverge.(c) A condio lim (pnan) = 1=2 equivalente a liman1=pn= 1=2 e sendoP1n=11pnuma p-sriedivergente, segue por comparao no limite queP1n=1 an diverge.(d) Seja an = (1)n =n. Ento, lim an = 0 mas, contudo,P1n=1 (1)n an =P1n=1 1=n diverge.(e) Note que (an) a seqncia 0; 25 ;46 ;67 ; : : :, de modo que inf an = 0 e sup an = lim an = 2.Sendo assim, inf an + 3 sup an = 6:(f) Se (Sn) ; (Rn) e (Un) so as somas parciais das sriesP1n=1 a2n;P1n=1 a2n1 eP1n=1 an,respectivamente, ento:U2n = Sn +Rn ! S +R=) Un ! S +R:U2n1 = Sn1 +Rn ! S +R+ 0Sendo a soma parcial (Un) convergente, ento a srie correspondente converge.02. (2,0 pontos) Se x > 1, prove pelo Mtodo de Induo Finita que:(1 + x)n 1 + nx; 8n 2 N:10Soluo:Para n = 1 a propriedade se reduz a: (1 + x)1 = 1+ x que verdadeira!. Admitindo que P (n)ocorra, a propriedade P (n+ 1) que se deseja provar :P (n+ 1) : (1 + x)n+1 1 + (n+ 1)x:Ora, usando a hiptese que P (n) ocorre, encontramos:(1 + x)n+1 = (1 + x)n| {z }usar P (n) (1 + x) (1 + nx) (1 + x) == 1 + nx+ x+ nx2 = 1 + (n+ 1)x+ nx2|{z}+ 1 + (n+ 1)x;como queramos. (a 1a desigualdade s foi possvel porque 1 + x > 0)03. (5,0 pontos) Use o critrio especicado e investigue a convergncia das sries:(a)1Xn=13n3pn3 + 1(Critrio da Comparao)(b)1Xn=1(1)n nn2 + 3(Critrio de Leibniz)(c)1Xn=1(2)n n!nn(Critrio da Razo)(d)1Xn=1lnnn2(Critrio da Comparao no Limite)(e)1Xn=1ln3n2n+ 1(Critrio do n-simo Termo)Soluo:(a) an =3n3pn3 + 1 3n3p27n3= 1 = bn;. Como a srie de provaPbn divergente, entoPandiverge.(b) Seja bn =nn2 + 3: Ento: bn > 0; 8n ; lim bn = lim nn2 (1 + 3=n2)= lim1n (1 + 3=n2)= 0, quando n!1;11 (bn) decrescente. De fato, considerando a funo extenso f (x) = xx2 + 3, obtemos f 0 (x) =x2 + 3(x2 + 3)2 0, se x 2. Portanto, (bn) decresce a partir do 2o termo.:Pelo Critrio de Leibniz, a srie alternadaP1n=1 (1)n bn convergente.(c)limn!1an+1an = limn!1(2)n+1 (n+ 1)!(n+ 1)n+1 nn(2)n n! = 2 limn!1nn+ 1n= 2=e < 1:Pelo Critrio da Razo a sriePan converge absolutamente.(d) Seja an =lnnn2e considere a srie de prova convergenteP 1n3=2. Temoslimanbn= limlnnn2 n3=2= limlnnn1=2= (usar LHpital) = lim1=n1=2pn= lim2pn= 0:Por comparao no limite, deduzimos quePan converge.(e) limn!1 an = limn!1 ln3n2n+ 1= ln (3=2) 6= 0 e, sendo assim, a srie P an divergente.122 EXAMEProva1Prova2Prova3Prova4