Primeira Prova EDO ufpb

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    28-Dec-2015

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Modelo de prova realizada pelo professor marivaldo da UFPB.

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  • UFPB - CCEN - Departamento de Matemtica

    Clculo 3 - 07.1 Turma 01 - Prof. MPMatos

    Exame N. 2: Seqncias e Sries Numricas

    Prova 101. (3,0 pontos) Verdadeiro (V) ou falso (F). Justique as alternativas falsas.

    a. (F) Se (an) montona e 2 an 3; 8n; entoP1n=1 an converge.

    b. (F) Se as sriesP1n=1 an e

    P1n=1 bn so convergentes, ento a srie

    P1n=1 (anbn) convergente.

    c. (F) Se lim an = 0 e (bn) decrescente, ento lim (anbn) = 0:

    d. (F) SeP1n=1 a

    4n converge, ento

    P1n=1 a

    2n converge:

    e. (F) A seqncia 1; 1=2; 1; 1=4; 1; 1=6; 1; 1=8; : : : convergente.

    f. (F) SeP1n=1 an diverge, ento

    P1n=1 a2n e

    P1n=1 a2n1 so divergentes.

    Justicativas:

    (a) A seqncia (an) embora convergente no tem limite zero, porque 2 lim an 3, e,portanto, a srie divergente. (critrio do n-simo termo)

    (b) Considere an = bn =(1)nn

    . O critrio de Leibniz assegura queP1n=1 an e

    P1n=1 bn so

    convergentes e, contudo,P1n=1 (anbn) =

    P1n=1

    1

    n divergente.

    (c) Considere an = 1=n e bn = n. Temos que an ! 0; (bn) decrescente e lim anbn = 1:(d) Seja an = 1=

    pn. Ento,

    P1n=1 a

    4n =

    P1n=1 1=n

    2 convergente, masP1n=1 a

    2n =

    P1n=1 1=n

    divergente.

    (e) Representando por an a seqncia dada, notamos que a2n1 = 1 constante e a2n = 1=2n

    converge para zero. Como lim a2n 6= lim a2n1, deduzimos que a seqncia (an) diverge.(f) Seja an = 1+ (1)n. Temos que a2n = 2 e a2n1 = 0, para todo n. Como (an) divergente,

    entoP1n=1 an diverge e, mesmo assim,

    P1n=1 a2n1 = 0 converge.

  • 02. (2,0 pontos) Prove pelo Mtodo de Induo Finita que:

    P (n) :1 3 5 : : : (2n 1)2 4 6 : : : (2n)

    1

    2n; 8n 2 N:

    Soluo:

    Para n = 1 a propriedade se reduz a:1

    2 12 1 a qual bvia. Admitindo que P (n) ocorra,

    a propriedade P (n+ 1) que se deseja provar :

    P (n+ 1) :1 3 5 : : : (2n 1) (2n+ 1)2 4 6 : : : (2n) (2n+ 2)

    1

    2 (n+ 1):

    Ora, usando a hiptese que P (n) ocorre, encontramos:

    1 3 5 : : : (2n 1) (2n+ 1)2 4 6 : : : (2n) (2n+ 2) =

    1 3 5 : : : (2n 1)2 4 6 : : : (2n)

    2n+ 1

    2n+ 2

    (usar P (n) )

    1

    2n

    2n+ 1

    2n+ 2

    =

    2n+ 1

    2n

    | {z }

    1

    1

    2n+ 2

    12n+ 2

    ;

    como queramos.

    03. (5,0 pontos) Use o critrio especicado e investigue a convergncia das sries:

    (a)1Xn=1

    3n3pn3 + 1

    (Critrio da Comparao)

    (b)1Xn=1

    (1)n nn2 + 3

    (Critrio de Leibniz)

    (c)1Xn=1

    n!

    nn(Critrio da Razo)

    (d)1Xn=1

    lnn

    n3 + 1(Critrio da Comparao)

    (e)1Xn=1

    1

    2n+ ln

    2 +

    1

    n

    (Critrio do n-simo Termo)

    Soluo:

    (a) an =3n

    3pn3 + 1

    3n3pn3 + 26n3

    =3n

    3p27n3

    = 1 = bn. Como a srie de provaPbn divergente,

    entoPan diverge.

    (b) Seja bn =n

    n2 + 3: Ento:

    bn > 0; 8n ;

    2

  • bn = nn2 (1 + 3=n2)

    =1

    n (1 + 3=n2)! 0, quando n!1;

    (bn) decrescente, para n > 3. De fato, a funo extenso f (x) = xx2 + 3

    tem derivada

    f 0 (x) =x+ 3(x2 + 3)2

    < 0; para x > 3 e, portanto, (bn) decresce a partir de n = 3:

    Pelo Critrio de Leibniz, a srie alternadaP1n=1 (1)n bn convergente.

    (c) limn!1

    an+1an = limn!1

    (n+ 1)!(n+ 1)n+1 nnn! = limn!1

    n

    n+ 1

    n= lim

    n!11

    (1 + 1=n)n= 1=e < 1.

    Pelo Critrio da Razo a sriePan converge absolutamente.

    (d) an =lnn

    n3 + 1 nn3 + 1

    nn3=1

    n2= bn. Sendo

    Pbn convergente, segue por comparao

    quePan tambm converge.

    (e) limn!1 an = limn!1

    1

    2n+ ln

    2 +

    1

    n

    = ln 2 6= 0 e, sendo assim, a srie P an divergente.

    3

  • Prova 201. (3,0 pontos) Verdadeiro (V) ou falso (F). Justique as alternativas falsas.

    a. (F) Se (an) limitada e decrescente, ento (an) converge para zero.

    b. (F) Se (an) divergente, ento (janj) tambm divergente.

    c. (F) Se an 0; 8n; eP1n=1 an convergente, ento

    P1n=1

    pan, tambm converge.

    d. (F) Se (an) uma seqncia constante, entoP1n=1 an convergente.

    e. (F) Se an > 0; 8n; e lim an = 0, ento a srieP1n=1

    anpnconverge.

    f. (F) SeP1n=1 a2n e

    P1n=1 a2n1 so divergentes, ento

    P1n=1 an diverge.

    Justicativas:

    (a) A seqncia an = 1 + 1=n limitada, decrescente e, contudo, no converge para zero (seu

    limite 1).

    (b) A seqncia an = (1)n divergente e janj convergente (note que janj = 1; 8n; constante).

    (c) Considere an = 1=n2. Ento,Pan convergente e, ainda assim,

    Ppan =

    P1=n

    divergente.

    (d) O nico caso em que (an) constante ePan convergente ocorre quando an 0. Se, por

    exemplo, an = 1; 8n; entoPan diverge, pelo Critrio do n-simo Termo.

    (e) Se an = 1=pn, ento an > 0; an ! 0 e, contudo,

    P1n=1

    anpn=P1n=1

    1

    n divergente.

    (f) Seja an =(1)nn

    . Temos: a2n =1

    2ne a2n1 =

    12n 1 e, portanto,

    P1n=1 a2n e

    P1n=1 a2n1

    so divergentes (podem ser comparadas com a srie harmnicaP1=n). A srie

    Pan convergente,

    o que comprovado pelo Critrio de Leibniz.

    02. (2,0 pontos) Prove pelo Mtodo de Induo Finita que:

    P (n) : 12 + 22 + 32 + + n2 = n (n+ 1) (2n+ 1)6

    ; 8n 2 N:

    Soluo:

    4

  • Para n = 1 a propriedade se reduz a: 12 =1 (1 + 1) (2 + 1)

    6que verdadeira. Admitindo que

    P (n) ocorra, a propriedade P (n+ 1) que se deseja provar :

    P (n+ 1) : 12 + 22 + 32 + : : :+ n2 + (n+ 1)2 =(n+ 1) (n+ 2) (2n+ 3)

    6:

    Ora, usando a hiptese que P (n) ocorre, encontramos:

    12 + 22 + 32 + : : :+ n2| {z }usar P (n)

    + (n+ 1)2 =n (n+ 1) (2n+ 1)

    6+ (n+ 1)2 =

    =n (n+ 1) (2n+ 1) + 6 (n+ 1)2

    6=

    =(n+ 1) [n (2n+ 1) + 6 (n+ 1)]

    6=

    =(n+ 1)

    2n2 + 3n+ 4n+ 6

    6

    =

    =(n+ 1) [(2n+ 3)n+ 2 (2n+ 3)]

    6=(n+ 1) (2n+ 3) (n+ 2)

    6;

    como queramos.

    03. (5,0 pontos) Use o critrio especicado e investigue a convergncia das sries:

    (a)1Xn=2

    33p4n3 5n (Critrio da Comparao)

    (b)1Xn=1

    (1)n n2n

    (Critrio de Leibniz)

    (c)1Xn=1

    (1)n+1 (n!)2(2n)!

    (Critrio da Razo)

    (d)1Xn=1

    lnn

    n2(Critrio da Comparao no Limite)

    (e)1Xn=1

    ln(

    2n

    n+ 1) 1

    2n4

    (Critrio do n-simo Termo)

    Soluo:

    (a) an =3

    3p4n3 5

    33p27n3

    =1

    n= bn; n 2. Como a srie de prova

    Pbn divergente,

    entoPan diverge.

    (b) Seja bn =n

    2n: Ento:

    bn > 0; 8n ;

    5

  • lim bn = lim n2n= (usar LHpital) = lim

    1

    2n ln 2= 0, quando n!1;

    (bn) decrescente. De fato, bn+1bn

    =n+ 1

    2n+1 2

    n

    n=n+ 1

    2n 1; 8n:

    Pelo Critrio de Leibniz, a srie alternadaP1n=1 (1)n bn convergente.

    (c) limn!1

    an+1an = limn!1

    [(n+ 1)!]2(2n+ 2)! (2n!)(n!)2 = limn!1 (n+ 1)2(2n+ 1) (2n+ 2) = 1=4 < 1. Pelo Critrio

    da Razo a sriePan converge absolutamente.

    (d) Seja an =lnn

    n2e considere a srie de prova convergente

    P 1n3=2

    . Temos

    limanbn= lim

    lnn

    n2 n3=2

    = lim

    lnn

    n1=2

    = (usar LHpital) = lim

    1=n

    1=2pn= lim

    2pn= 0:

    Por comparao no limite, deduzimos quePan converge.

    (e) limn!1 an = limn!1

    ln

    2n

    n+ 1

    12n4

    = ln 2 6= 0 e, sendo assim, a srie P an divergente.

    6

  • Prova 301. (3,0 pontos) Verdadeiro (V) ou falso (F). Justique as alternativas falsas.

    a. (F) SeP1n=1 an diverge, ento

    P1n=1 (an + an+1) diverge.

    b. (F) Se (an) limitada e montona, entoP1n=1 an converge.

    c. (F) A seqncia (an) denida por: a1 = 1 e an+1 = 1 an; n 1; convergente.

    d. (F) SeP1n=1 a

    2n converge, ento

    P1n=1 an absolutamente convergente.

    e. (F) Se lim (an=bn) =1 eP1n=1 bn converge, ento a srie

    P1n=1 an converge.

    f. (F) SeP1n=1 an e

    P1n=1 bn so convergentes, ento

    P1n=1 anbn converge.

    Justicativas:

    (a) A srieP1n=1 (1)n divergente, mas

    P1n=1

    h(1)n + (1)n+1

    iconverge e tem soma zero.

    (b) Considere an =1

    n. Temos que (an) limitada e decrescente e, contudo,

    P1n=1 an =

    P1n=1

    1

    n divergente.

    (c) Note que (an) a seqncia divergente 1; 0; 1; 0; : : : (recorde-se que a2n ! 0 e a2n1 ! 1 e,sendo assim, (an) diverge)

    (d) Seja an = 1=n. Ento,P1n=1 a

    2n =

    P1n=1 1=n

    2 converge, masP1n=1 an =

    P1n=1 1=n diverge.

    (e) Sejam an = 1=n e bn = 1=n2. Ento, lim (an=bn) = limn =1, a srieP1n=1 bn converge e,

    ainda assim, a srieP1n=1 an diverge.

    (f) Seja an =(1)npn

    e bn =(1)npn. Como conseqncia do Critrio de Leibniz as sries

    P1n=1 an

    eP1n=1 bn so convergentes e

    P1n=1 anbn a srie harmnica

    P1n=1 1=n divergente.

    02. (2,0 pontos) Prove pelo Mtodo de Induo Finita que:

    12 + 32 + 52 + + (2n 1)2 = 4n3 n3

    ; 8n 2 N:

    Soluo:

    Para n = 1 a propriedade se reduz a: 12 =4 13 1

    3que verdadeira. Admitindo que P (n)

    ocorra, a propriedade P (n+ 1) que se deseja provar :

    P (n+ 1) : 12 + 32 + 42 + : : :+ (2n 1)2 + (2n+ 1)2 = 4 (n+ 1)3 (n+ 1)3

    :

    7

  • Ora, usando a hiptese que P (n) ocorre, encontramos:

    12 + 32 + 52 + : : :+ (2n 1)2| {z }usar P (n)

    + (2n+ 1)2 =4n3 n3

    + (2n+ 1)2 =

    =4n3 n+ 3 4n2 + 4n+ 1

    3=

    =4n3 + 3n2 + 3n+ 1

    n 16

    =

    =4 (n+ 1)3 (n+ 1)

    3= ;

    como queramos.

    03. (5,0 pontos) Use o critrio especicado e investigue a convergncia das sries:

    (a)1Xn=5

    pn

    n+ 4(Critrio da Comparao)

    (b)1Xn=1

    (1)n n2n3 + 2

    (Critrio de Leibniz)

    (c)1Xn=1

    1 3 5 : : : (2n 1)n!

    (Critrio da Razo)

    (d)1Xn=1

    2n+ n2

    n3 + 1(Critrio da Comparao no Limite)

    (e)1Xn=1

    ln(

    n2

    2n2 + 1) 1

    3n4

    (Critrio do n-simo Termo)

    Soluo:

    (a) an =pn

    n+ 4

    pn

    n+ 4n=1

    5

    1pn= bn. Como a srie de prova

    Pbn divergente, ento

    Pan

    diverge.

    (b) Seja bn =n2

    n3 + 2: Ento:

    bn > 0; 8n ;

    lim bn = lim n2

    n3 (1 + 2=n3)= lim

    1

    n (1 + 2=n3)= 0, quando n!1;

    (bn) decrescente. De fato, considerando a funo extenso f (x) = x2

    x3 + 2, obtemos f 0 (x) =

    xx3 + 2(x3 + 2)2

    0, se x 2. Portanto, (bn) decresce a partir do 2o termo.:

    8

  • Pelo Critrio de Leibniz, a srie alternadaP1n=1 (1)n bn convergente.

    (c)

    limn!1

    an+1an = limn!1 1 3 5 : : : (2n 1) (2n+ 1)(n+ 1)! n!1 3 5 : : : (2n 1) = limn!1 2n+ 1n+ 1 = 2 > 1:

    Pelo Critrio da Razo a sriePan diverge.

    (d) Seja bn =1

    n: Temos

    limanbn= lim

    2n+ n2

    n3 + 1 n

    = lim

    n3 + 2n2

    n3 + 1

    = 1:

    Como1Xn=1

    bn divergente, ento por comparao no limite, deduzimos quePan diverge.

    (e) limn!1 an = limn!1

    ln

    n2

    2n2 + 1

    13n4

    = ln (1=2) 6= 0 e, sendo assim, a srie P an

    divergente.

    9

  • Prova 4

    01. (3,0 pontos) Verdadeiro (V) ou falso (F). Justique as alternativas falsas.

    a. (V) Se (an) convergente e todos os termos de ordem mpar so iguais a 2, ento lim an = 2.

    b. (F) SeP1n=1 an e

    P1n=1 bn so convergentes, ento a srie

    P1n=1

    pjanbnj convergente.c. (F) Se lim (

    pnan) = 1=2; ento

    P1n=1 an convergente.

    d. (F) Se lim an = 0; entoP1n=1 (1)n an converge:

    e. (F) Para a seqncia an =2n 2n+ 3

    o valor da expresso inf an + 3 sup an igual a 3.

    f. (V) SeP1n=1 a2n e

    P1n=1 a2n1 so convergentes, ento

    P1n=1 an converge.

    Justicativas:

    (a) Primeiro note que lim a2n1 = 2. Sendo (an) convergente, ento lim an = lim a2n1 = 2:

    (b) Considere an =(1)nn

    e bn =(1)nn

    . As sriesP1n=1 an e

    P1n=1 bn so convergentes, pelo

    Critrio de Leibniz, masP1n=1

    pjanbnj =P1n=1 1n diverge.(c) A condio lim (

    pnan) = 1=2 equivalente a lim

    an1=pn= 1=2 e sendo

    P1n=1

    1pnuma p-srie

    divergente, segue por comparao no limite queP1n=1 an diverge.

    (d) Seja an = (1)n =n. Ento, lim an = 0 mas, contudo,P1n=1 (1)n an =

    P1n=1 1=n diverge.

    (e) Note que (an) a seqncia 0; 25 ;46 ;67 ; : : :, de modo que inf an = 0 e sup an = lim an = 2.

    Sendo assim, inf an + 3 sup an = 6:

    (f) Se (Sn) ; (Rn) e (Un) so as somas parciais das sriesP1n=1 a2n;

    P1n=1 a2n1 e

    P1n=1 an,

    respectivamente, ento:

    U2n = Sn +Rn ! S +R=) Un ! S +R:

    U2n1 = Sn1 +Rn ! S +R+ 0

    Sendo a soma parcial (Un) convergente, ento a srie correspondente converge.

    02. (2,0 pontos) Se x > 1, prove pelo Mtodo de Induo Finita que:

    (1 + x)n 1 + nx; 8n 2 N:

    10

  • Soluo:

    Para n = 1 a propriedade se reduz a: (1 + x)1 = 1+ x que verdadeira!. Admitindo que P (n)

    ocorra, a propriedade P (n+ 1) que se deseja provar :

    P (n+ 1) : (1 + x)n+1 1 + (n+ 1)x:

    Ora, usando a hiptese que P (n) ocorre, encontramos:

    (1 + x)n+1 = (1 + x)n| {z }usar P (n)

    (1 + x) (1 + nx) (1 + x) =

    = 1 + nx+ x+ nx2 = 1 + (n+ 1)x+ nx2|{z}+

    1 + (n+ 1)x;

    como queramos. (a 1a desigualdade s foi possvel porque 1 + x > 0)

    03. (5,0 pontos) Use o critrio especicado e investigue a convergncia das sries:

    (a)1Xn=1

    3n3pn3 + 1

    (Critrio da Comparao)

    (b)1Xn=1

    (1)n nn2 + 3

    (Critrio de Leibniz)

    (c)1Xn=1

    (2)n n!nn

    (Critrio da Razo)

    (d)1Xn=1

    lnn

    n2(Critrio da Comparao no Limite)

    (e)1Xn=1

    ln

    3n

    2n+ 1

    (Critrio do n-simo Termo)

    Soluo:

    (a) an =3n

    3pn3 + 1

    3n3p27n3

    = 1 = bn;. Como a srie de provaPbn divergente, ento

    Pan

    diverge.

    (b) Seja bn =n

    n2 + 3: Ento:

    bn > 0; 8n ;

    lim bn = lim nn2 (1 + 3=n2)

    = lim1

    n (1 + 3=n2)= 0, quando n!1;

    11

  • (bn) decrescente. De fato, considerando a funo extenso f (x) = xx2 + 3

    , obtemos f 0 (x) =

    x2 + 3(x2 + 3)2

    0, se x 2. Portanto, (bn) decresce a partir do 2o termo.:

    Pelo Critrio de Leibniz, a srie alternadaP1n=1 (1)n bn convergente.

    (c)

    limn!1

    an+1an = limn!1

    (2)n+1 (n+ 1)!(n+ 1)n+1 nn(2)n n! = 2 limn!1

    n

    n+ 1

    n= 2=e < 1:

    Pelo Critrio da Razo a sriePan converge absolutamente.

    (d) Seja an =lnn

    n2e considere a srie de prova convergente

    P 1n3=2

    . Temos

    limanbn= lim

    lnn

    n2 n3=2

    = lim

    lnn

    n1=2

    = (usar LHpital) = lim

    1=n

    1=2pn= lim

    2pn= 0:

    Por comparao no limite, deduzimos quePan converge.

    (e) limn!1 an = limn!1 ln

    3n

    2n+ 1

    = ln (3=2) 6= 0 e, sendo assim, a srie P an divergente.

    12

    2 EXAMEProva1Prova2Prova3Prova4