Mtodo de Euler O mtodo de Euler para resolver EDO com condies iniciais o mtodo numrico mais simples. Ele consiste em aproximar a soluo y ( x.

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    07-Apr-2016

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  • Mtodo de Euler

    O mtodo de Euler para resolver EDO com condies iniciais o mtodo numrico mais simples. Ele consiste em aproximar a soluo y ( x ), no sentido de uma linearizao, por meio de suas tangentes, Figura 1.

    Considere o problema

    ou seja, so dados um ponto de partida, (x 0 , y 0), e uma direo a ser tomada, f ( x, y ) . Desejamos determinar y ( z ).

  • Mtodos numricos para resolver uma EDO

    Neste texto sero estudados mtodos de passos simples e passos mltiplos para resolver equao de primeira ordem. Nos de passos simples necessitamos apenas dos resultados de yk , do passo anterior, para determinarmos a aproximao de yk+1. Enquanto que nos de passos mltiplos para determinarmos a aproximao y k+1 dependemos dos valores de y k, y k - 1 . . . .

  • A interpretao geomtrica da Figura 1 nos permite escrever a equao:

    F (x 0 ) = y (x 0) = f (x 0 , y 0) Fazendo x1 x0 = h, vamos ter y1 = y0 + h f (x 0 , y 0) ou F(x 1) F(x 0) + F (x 0) (x1 x0 ) (Taylor).Diremos, portanto, que y1 F(x 1) = F( z )Em verdade, estamos substituindo a funo desconhecida y ( x ) por, simplesmente uma reta em todo intervalo [x 0 ; z ] e calculando a imagem de z sobre ela o que pode ser uma aproximao ruim para y ( z ).

  • Podemos, porm, melhorar esta aproximao se subdividirmos o intervalo [x 0 ; z ] em subintervalos de amplitude constante, genericamente chamada h, e como sabemos calcular a direo da funo incgnita y ( x ) em cada ponto, substituiremos talfuno por um segmento de reta, em cada um destes subintervalos. Estes segmentos tero a direo que ela (funo) tem no incio de cada dos subintervalos, Figura 2. Obtemos ento: y i + 1 = yi + h f (x i , y i ), i = 0, 1, ...

    que vem a ser o mtodo de Euler.

  • Exemplo : Considere o problema de valor inicial y ( 1 ) = 1 da equao diferencial

    y = f ( x, y ) = 2x + 3. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 1, 2 e 4 partes sucessivamente e aplicando o mtodo de Euler, determine o valor aproximado de y ( 2 ) para a equao dada.

    Soluo:

    Temos y = f ( x, y ) = 2x + 3, com y (1) = 1 ou seja, x 0 = 1 e y 0 = 1.

    Com uma diviso do intervalo, isto , h = 1, obtemos:

    y1 = y0 + h f (x 0 , y 0 ) = 1 + 1 [ 2 x 1 + 3 ] = 1 + 5 = 6.

    Com duas divises do intervalo, isto , h = 0,5 , temos

    y1 = y0 + h f (x 0 , y 0 ) = 1 + 0,5 [ 2 x 1 + 3 ] = 1 + 2,5 = 3,5

    y2 = y1 + h f (x 1 , y 1) = 3,5 + 0,5 [ 2 x 1,5 + 3 ] = 3,5 + 3,0 = 6,5

    Finalmente, considerando quatro divises, isto , h = 0,25, temos

    y1 = y0 + h f (x 0 , y 0 ) = 1 + 0,25 [ 2 x 1 + 3 ] = 1 + 1,25 = 2,25

    y2 = y1 + h f (x 1 , y 1 ) = 2,25 + 0,25 [ 2 x 1,25 + 3 ] = 2,25 + 1,375 = 3,625

    y3 = y2 + h f (x 2 , y 2 ) = 3,625 + 0,25 [ 2 x 1,5 + 3 ] = 3,625+ 1,5 = 5,125

    y4 = y3 + h f (x 3 , y 3 ) = 5,125 + 0,25 [ 2 x 1,75 + 3 ] = 5,125 + 1,625 = 6,75

  • Mtodo Modificado de Euler

    Um problema que ocorre no mtodo simples de Euler que ele pressupe que a funo que est sendo aproximada mantm, em todo intervalo, a direo que ela tem no extremo de partida dele. O mtodo modificado de Euler ir considerar tambm uma nica direo para a funo y ( x ), s que uma direo mdia entre aquela do incio do intervalo e uma estimativa da direo no final dele.

    Para tanto, em primeiro lugar, usando o mtodo simples de Euler, fazemos uma previso de y i + 1, chamada y i + 1 .

  • Logo,

    Previso :

    = yi + h f (x i , y i ).

    A partir desta previso, podemos obter o valor aproximado da direo da curva y ( x ) no ponto

    ( x i + 1 , y i + 1 ) atravs de f ( x i + 1 , ) .

    Determinamos ento a chamada correo,

    Correo :

    y i + 1 = yi + h/2 [ f (x i , y i ) + f ( x i + 1 , y i + 1 )] .

    Esta expresso conhecida como o mtodo modificado de Euler. Uma interpretao geomtrica deste mtodo pode ser vista na Figura 3.

    y i + 1

    y i + 1

    __

    Interpretao geomtrica do Mtodo modificado de Euler

    Figura 3

    x

    y

    x0

    x1

    y ( x )

    h

    ( x1 ; y1 )

    ( x1 ; y1 )

    Direo mdia

  • Exemplo - Encontrar a soluo da equao diferencial ordinria y = f ( x, y ) = 2x + 3 com a condio de valor inicial y ( 1) = 1. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em apenas uma parte, ou seja, fazendo h =1 e, aplicando o mtodo de modificado de Euler, determine o valor aproximado de y ( 2 ) para a equao dada.

  • Soluo:

    Sabendo que a cada aproximao necessrio fazer um processo de previso correo e, considerando h =1, temos

    Previso

    = yi + h f (x i , y i ) , no caso

    = y0 + h f (x 0 , y 0 )

    = 1 + 1 f (1 ,1 ) = 1 + 1 ( 2 x 1 + 3 ) = 6

    Correo :

    y i + 1 = yi + h/2 [ f (x i , y i ) + f ( x i + 1 , ) ] .

    y1 = 1 + 1/2 [ f (1 , 1 ) + f ( 2 , 6 ) ] =

    1 + 1/2 [ 5 + 2 x 2+3 ] = 1 + 6 = 7.

    y i + 1

    y 1

    y 1

    y i + 1

  • Mtodos de Runge-Kutta

    Os mtodos de Runge-Kutta so uma famlia de mtodos numricos para solucionar equaes diferenciais ordinrias. So mtodos que podem ser obtidos pela srie de Taylor sem a necessidade de calcular qualquer derivada. Devido sua larga utilizao, ser considerado neste texto apenas o clssico mtodo de Runge-Kutta de 4a ordem. Por ser sua deduo bastante trabalhosa, limitamo-nos a enunciar apenas sua expresso. Detalhes e provas deste mtodo podem ser vistas em Schwarz.

  • A expresso do mtodo de Runge-Kutta de 4a ordem dada por:

    y i + 1 = yi + 1/6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) ,

    onde

    k 1 = h f ( x i , y i )

    k 2 = h f ( xi + h/2 , y i + k 1 /2 )

    k 3 = h f ( xi + h/2 , y i + k 2 /2 )

    k 4 = h f ( xi+ 1 , y i + k 3 )

  • Exemplo - Dada a EDO a seguir, determine o valor aproximado de y ( 1 ), usando o mtodo de Runge-Kutta de 4a ordem, considerando h=1.

    = f (x , y ) = y ;y ( 0 ) = 1

    Soluo:

    Usando o mtodo de Runge-Kutta de 4a ordem, temos

    y1 = y0 + 1/6 ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 ) ,

    d y

    d x

  • Logo,

    k 1 = 1 f ( 0 , 1 ) = 1

    k 2 = 1 f ( 0 + 1/2 , 1 + 1/2 ) = 1 x 1,5 = 1,5

    k 3 = 1 f ( 0 + 1/2 , 1 + 1,5 /2 ) = 1 x 1,75 = 1,75

    k 4 = 1 f ( 1 , 1 + 1,75) = 1 x 2,75 = 2,75

    y1 = 1 + 1/6 ( 1 + 2 x 1,5 + 2 x 1,75 + 2,75 )

    = 1 + 1/6 ( 10,25 ) = 2,708333.

    (Soluo exata e = 2,7182818 )

  • Estendendo este problema para valores diferentes de h e aplicando os mtodos de Euler, Modificado de Euler e RungeKutta de 4a ordem, obtemos os resultado apresentados na tabela a seguir.

    No divises

    Euler

    Modificado de Euler

    Runge-Kutta

    1

    2,

    2,5

    2,708333

    2

    2,25

    2,640625

    2,717346

    4

    2,441406

    2,694856

    2,718209

    8

    2,565784

    2,711840

    2,718276

    16

    2,637927

    2,716590

    2,718277

    ---

    ( 2048 div.) 2,717119

    ( 128 div.) 2,718225

    ---

  • Mtodos de passos MltiplosUm mtodo de passos simples determina a aproximao yk+1 em xk+1 = xk + h usando apenas o ponto de aproximao (xk , yk). Diferentemente deste, um mtodo de passo mltiplo usa as informaes de valores anteriores xk-1, xk-2, . . . , xk-m que so assumidos ser equidistantes para computar yk+1.

    O Mtodo de Adams-Bashforth / Adams-Moulton um mtodo preditor - corretor como a frmula modificada de Euler.A frmula de Adams-Bashforth dada por

  • yn+1 = yn + h / 24 (55yn - 59yn -1 + 37yn -2 - 9yn -3),onde yn = f(xn , yn) Note que para calcular y4 yn -1 = f(xn -1 , yn -1) precisamos conhecer y0 , y1, yn -2 = f(xn -2 , yn -2) y2 e y3 . O valor de y0 a yn-3 = f(xn -3 , yn -3) condio inicial e os valores y1, y2 e y3 so calculados por um mtodo como a frmula de Runge-Kutta.Para n 3, como preditor, podemos levar o valor de yn+1 no corretor de Adams - Moulton e assim, obtermos

  • yn+1 = yn + h / 24 (9yn +1 + 19yn - 5yn -1 + yn -2), com yn+1 = f (xn+1, yn+1*)Exemplo: Aplique o mtodo de Adams-Bashforth / Adams-Moulton com h = 0,2 para obter uma aproximaode y(0,8) para a soluo de y = x + y -1, y(0) = 1.Soluo: Com um passo h = 0,2, y(0,8) ser aproximado por y4.Inicialmente, aplicando o mtodo de Runge-Kutta com x0 = 0, . y0 = 1 e h = 0,2 para obtermos: y1 = 1,0214; y2 = 1,0918 e y3 = 1,2221.

  • Como f (x,y) = x + y -1, temos y0 = f (x0, y0) = f (0, 1) = ) + 1 - 1 = 0 y1 = f (x1, y1) = 0,2 + 1,0214 - 1 = 0,2214 y2 = f (x2, y2) = 0,4 + 1,0918 - 1 = 0,4918 y3 = f (x3, y3) = 0,6 + 1,2221 - 1 = 0,8221E assim, aplicando a frmula de Adams-Bashforth, obtemos: y4 = y3 + 0,2 / 24 (55y3 - 59y2 + 37y1 - 9y0) = 1,4254. E para y4 = f (x4, y4*) = 0,8 + 1,4254 -1 = 1,2254Finalmente, y4 = y3 + 0,2 / 24 (9y4 +19y3 - 5y2 + y1) = 1,4255. (Valor exato 1,4255)

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