LISTA DE EXERCCIOS 6 EDO II - MAP 0316 Assumiremos sempre ...

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    07-Jan-2017

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  • LISTA DE EXERCCIOS 6 EDO II - MAP 0316

    PROF: PEDRO T. P. LOPES WWW.IME.USP.BR/PPLOPES/EDO2

    Os exerccios a seguir foram selecionados dos livros dos autores Claus Doering-Artur Lopes e Jorge Sotomayor.(S.X.Y) indica exerccio Y do captulo X do livro do Sotomayor. (D.L.X.Y) indica exerccio Y do captulo X dolivro dos autores Claus Doering e Artur Lopes.Assumiremos sempre que os campos de vetores so de classe C1 e e as solues esto denidas

    para toda a reta real, ou seja, o intervalo mximo de todas as solues R.

    Exerccio 1 (D.L.6.1)Seja V :W R uma funo de Liapunov para o campo f : E Rn na singularidade x0 E Rn. Mostre que,

    para qualquer R, a imagem inversa C := V 1], ] E W E positivamente invariante pelo uxo docampo.

    Exerccio 2 (D.L.6.2)Mostre que o fecho (em E) e o interior de um conjunto invariante pelo uxo de um campo de vetores f : E

    Rn Rn so invariantes pelo uxo. Mostre que a interseco de uma coleo qualquer de conjuntos invariantes invariante.

    Exerccio 3 (D.L.6.3)Mostre que os conjuntos estvel e instvel de uma singularidade de um campo f : E Rn (e, em particular,

    a bacia de atrao de uma singularidade assintoticamente estvel) so sempre conjuntos invariantes pelo uxo docampo.

    Exerccio 4 (D.L.6.5)Se f : E Rn um campo gradiente, ento cada ponto z L(x) no conjunto -limite de qualquer x E

    um ponto de equilbrio de f . (Sugesto: Prove por contraposio que pontos regulares de f no podem ser pontos-limite, usando o mtodo da prova do Teorema de Liapunov II, tal como demonstrado no livro do Lopes e Doering).

    Exerccio 5 (D.L.6.6)Suponha que h : E F um difeomorsmo que conjuga os campos de vetores f : E Rn e g : F Rn.

    Mostre que

    h(Lf(x)) = Lg(h(x)),

    para qualquer x E.

    Exerccio 6 (D.L.6.11)Mostre que uma rbita peridica de um campo de vetores denido em todo o plano R2 encontra qualquer seo

    local em no mximo um ponto.

    Exerccio 7 (D.L.5.13)O Teorema do Ponto xo de Brouwer arma que qualquer aplicao contnua da bola fechada unitria Bm =

    {x Rm; |x| 1} nela mesmo tem um ponto xo. Prove este teorema no caso m = 2 para uma aplicao g : B2 B2

    (a) de classe C1, encontrando uma singularidade do campo de vetores f(x) = g(x) x e, em seguida, para umaaplicao

    (b) contnua, usando o fato de que qualquer funo contnua o limite uniforme de funes de classe C1.

    Exerccio 8 (D.L.6.14)1

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    Sejam f e g dois campos de vetores denidos em todo o plano R2 tais que

    f(x), g(x) = 0para todo x R2. Suponha que f possui uma rbita peridica . Mostre que g possui um ponto de equilbrio.

    Exerccio 9 (D.L.6.16)Mostre que as nicas rbitas compactas de um campo de vetores denido no plano todo so as singularidades e

    as rbitas peridicas.

    Exerccio 10 (D.L.6.17)Sejam f : E R2 um campo de vetores e x E um ponto regular de f . Mostre que se x L(x), ento L(x)

    uma rbita peridica de f .

    Exerccio 11 (D.L.6.25)Mostre que o campo de vetores dado por f(x1, x2) =

    (x21 + x

    22, (1 x1) (1 x2)

    )no possui rbitas peridicas.

    Exerccio 12 (D.L.6.19)Sejam f : E R2 um campo de vetores e x E um ponto. Mostre que se L(x) = = L(x) uma rbita

    peridica de f , ento x e a rbita de f por x peridica.

    Exerccio 13 (D.L.6.20)Sejam f : E R2 um campo de vetores e U um aberto no vazio tal que o fecho U E de U compacto

    e positivamente invariante pelo uxo de f . Mostre que se f tem exatamente uma singularidade em U e se estasingularidade uma fonte, ento existe uma rbita peridica de f em U .

    Exerccio 14 (D.L.6.21)Sejam f : E R2 um campo de vetores e E uma rbita peridica de f . Mostre que se atratora, ento

    a bacia de atrao da rbita peridica , dado por

    Bf () = {y E; L(y) = } um conjunto aberto que contm . Por isto costuma-se dizer que um ciclo-limite atrator do campo f .

    Use que se um ciclo limite atrator de f , ento existe uma vizinhana de tal que L(y) = para todo ynesta vizinhana.

    Exerccio 15 (D.L.6.28)Seja f = (f1, f2) um campo denido no aberto simplesmente conexo E R2 tal que

    f1x1

    +f2x2

    6= 0

    em cada ponto de E. Mostre que f no tem rbitas peridicas em E.

    Exerccio 16 (S.4.7)Determine os pontos singulares do seguinte sistema{

    x = yy = bsen(x) ay, a, b > 0

    Prove que o sistema no tem rbitas peridicas. Compare com o caso em que a = 0.

    Exerccio 17 (D.L.6.29)Prove a seguinte extenso do Teorema de Bendixson visto em sala de aula, devido a H. Dulac: Se um campo

    f : E R2, denido e de classe C1 no aberto simplesmente conexo E de R2, e uma funo : E R de classeC1 so tais que div(f) no troca de sinal em E, ento f no tem rbitas peridicas em E. (Sugesto: observe quef1dx2 f2dx1 = (f1dx2 f2dx1) = 0dt numa rbita peridica de f = (f1, f2) e use o Teorema de Green, comona prova do Teorema de Bendixson)

    Exerccio 18 (D.L.6.30)

  • LISTA DE EXERCCIOS 6 EDO II - MAP 0316 3

    Mostre que o sistema {x1 = x1 (3 2x1 2x2)x2 = x2 (2 2x1 x2)

    no tem solues peridicas no primeiro quadrante do plano x1x2. (Sugesto: use o exerccio anterior com (x, y) =

    (xy)1

    )

    Exerccio 19 (D.L.6.32)Determine o conjunto e -limite para o sistema

    x1 = x2 + x1(x21 + x

    22

    )sen

    (x21+x

    22

    )x2 = x1 + x2

    (x21 + x

    22

    )sen

    (x21+x

    22

    ) .(sugesto: analise o produto interno x1x

    1 + x2x

    2.)

    Exerccio 20 (D.L.6.35)Seja f : E R2 um campo planar com uma rbita peridica cujo interior U est todo contido em E. Mostre

    que(a) o fecho U do interior de um compacto invariante pelo uxo de f .(b) para cada x U , se L(x) = ento L(x) = .(c) para cada x U , se L(x) = ento L(x) = .

    Exerccio 21 (S.4.3)Seja f : E R2 e S E no vazio. Dizemos que S um conjunto minimal se for invariante, compacto e no

    contm subconjuntos prprios com estas propriedades. Prove que em R2 os nicos subconjuntos minimais de f soos pontos singulares e as rbitas peridicas.