Isometrias ficha de reviso

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    29-Dec-2014

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  • 1. Nome:___________________________________________________ Data: ____/_____/20____ Isometria ISOMETRIA: Transformao geomtrica que preserva as distncias entre pontos e consequentemente as amplitudes dos ngulos, transformando figuras noutras geometricamente iguais (congruentes). Quatro tipos fundamentais de isometrias: Rotao Translao Reflexo Reflexo deslizante ROTAO: Consiste em rodar uma figura em torno de um ponto chamado centro de rotao (O). A distncia dos pontos ao centro de rotao mantm-se constante. A 180 A Numa rotao: um segmento de reta transformado num segmento de reta geometricamente igual um ngulo transformado noutro ngulo geometricamente igual e com o mesmo sentido Uma rotao uma transformao geomtrica, associada a um ponto, o centro da rotao, e a um ngulo, cuja amplitude pode ser positiva ou negativa ngulo orientado. Deste modo, convencionou-se que o sentido contrrio ao do movimento dos ponteiros de um relgio o sentido positivo, enquanto que o sentido do movimento dos ponteiros de um relgio o sentido negativo. Fig. 1 Fig. 2 O
  • 2. Rotao no sentido positivo Rotao no sentido negativo TRANSLAO: Deslocamento de uma figura segundo um vetor que caracterizado por uma direo, um sentido e um comprimento. Em baixo, a figura B foi obtida da figura A deslocando todos os seus pontos segundo a mesma direo, o mesmo sentido e percorrendo a mesma distncia. A figura B diz- se que foi obtida por translao da figura A. A figura A a figura original (o objeto) e a figura B a sua imagem atravs de uma translao. Uma translao transforma uma figura numa outra figura geometricamente igual. Todos os pontos da imagem resultam da figura original por um deslocamento dos seus pontos definido por:
  • 3. uma direo; um sentido; um comprimento Um segmento de reta orientado (segmento de reta ao qual est associado um sentido uma direo e um comprimento) representa um vetor. Todos os segmentos orientados que tm a mesma direo, o mesmo sentido e o mesmo comprimento (norma) representam o mesmo vetor. Um vetor fica ento definido desde que se conhea: a direo (que dada pela reta onde esse vetor se encontra: a reta suporte do vetor) o sentido (um dos dois possveis na direo) o comprimento (ou norma) Uma translao transforma um segmento de reta num outro segmento de reta paralelo e geometricamente igual; Uma translao transforma um ngulo noutro ngulo geometricamente igual (com a mesma amplitude). Uma translao transforma uma figura noutra figura geometricamente igual. REFLEXO: a transformao geomtrica que faz corresponder a cada ponto O do plano o ponto O (imagem de O) de tal modo que a reta s a mediatriz do segmento [OO]; se o ponto O pertence a s, a sua imagem coincide com O. Translao associada ao vetor u
  • 4. REFLEXO DESLIZANTE: A reflexo deslizante a combinao de uma reflexo com uma translao. Figura final, quadriltero [ABCD] sofreu uma translao associada ao vetor u paralelo ao eixo r e, em seguida, sofre uma reflexo de eixo r. SIMETRIAS H uma simetria para cada um dos quatro tipos de isometrias referidos. - Simetria de rotao (ou simetria rotacional) - Simetria de translao - Simetria de reflexo (ou simetria axial) - Simetria de reflexo deslizante Falar de simetria falar de simetria de uma figura . Figura: um conjunto de pontos do plano ou do espao. Exemplos: Reta, retngulo, esfera, desenho artstico, No tem sentido perguntar se as duas bonecas (duas figuras) so simtricas Embora possa perguntar- se se a boneca (uma figura) tem simetria. Figura original Figura transformadau
  • 5. Os quatro tipos de simetrias no plano Um modelo simtrico se houver pelo menos uma simetria (rotao, translao, reflexo, reflexo deslizante) que no muda o modelo, isto , que deixa a figura globalmente invariante. Simetria de rotao de uma figura Existe, pelo menos, uma rotao com uma amplitude superior a 0 e inferior a 360 que deixa a figura globalmente invariante. Podemos identificar isso se conseguirmos girar a figura em torno de um ponto fixo, de modo a que a imagem resultante, atravs da rotao, coincida com a figura original. O centro da simetria rotacional o ponto em torno do qual a figura roda. O ngulo da simetria rotacional o ngulo orientado que descreve o movimento da figura ngulo da simetria rotacional: ngulo orientado que descreve o movimento da figura. Simetria de translao de uma figura Existe, pelo menos, uma translao que deixa a figura globalmente invariante. Como a reconhecemos? Se podemos movimentar a figura segundo uma dada distncia e uma dada direo (identificadas pelo vetor de translao) de tal modo que o seu transformado coincide com a figura original; C: Centro da simetria rotacional (ponto em torno do qual a figura roda)
  • 6. Se a figura for infinita, existe essa possibilidade Simetria de reflexo de uma figura Como a reconhecemos? Existem vrias hipteses: Se conseguirmos dobrar a figura de tal modo que as duas partes obtidas se sobreponham exatamente; Se conseguirmos colocar um espelho ou mira sobre a figura de modo a que a juno da parte refletida com a no refletida seja exatamente igual figura toda; Se recortarmos a figura e conseguirmos preencher exatamente o buraco que fica na folha com a parte recortada mas virada ao contrrio (com a parte de baixo do papel virada para cima). A simetria de reflexo tambm se designa por simetria axial; o eixo de reflexo tambm se designa por eixo de simetria ou linha de simetria Eixo de simetria de uma figura a reta sobre a qual se faz a dobra ou se coloca o espelho/mira que divide a figura ao meio de modo que uma metade da figura seja a reflexo da outra metade. Caso contrrio, a reta no eixo de simetria. 1 eixo 2 eixos 6 eixos no tem eixos de simetria Os eixos de simetria duma circunferncia so as rectas que passam pelo centro.
  • 7. Uma circunferncia tem uma infinidade de eixos de simetria. EIXOS DE SIMETRIA em polgonos regulares Um polgono regular com n lados tem n eixos de simetria Se o nmero de lados do polgono regular mpar, cada um dos eixos de simetria une um vrtice ao ponto mdio do lado oposto Se o nmero de lados do polgono regular par, cada um dos eixos de simetria une dois vrtices opostos ou une os pontos mdios dos lados opostos SIMETRIA DE REFLEXO DESLIZANTE Uma simetria de reflexo deslizante combina uma reflexo com uma translao ao longo do sentido da linha do espelho. As reflexes deslizantes so os nicos tipos de simetria que envolvem mais de uma etapa.
  • 8. r Esta simetria de reflexo deslizante caracteriza-se por ser uma reflexo que envia a pegada direita para a esquerda seguida de um deslizamento que a faz avanar um passo. 1 A pegada sofre uma reflexo em torno da reta r. 2 A pegada sofre uma translao (na direo e no sentido do vetor indicado). Notas finais: As simetrias criam modelos que nos ajudam a organizar o nosso mundo conceitualmente. Os modelos simtricos ocorrem na natureza, so inventados por artistas, por msicos, por coregrafos, e por matemticos. Ns trabalharemos aqui s com simetrias planas, aquelas que ocorrem no plano, mas podem ser generalizadas s simetrias espaciais, as que ocorrem no espao. A simetria plana consiste em mover todos os pontos sobre o plano de modo que suas posies relativas permaneam as mesmas, embora suas posies absolutas possam mudar. Distncias, ngulos, tamanhos, e forma so preservadas pelas simetrias. BOM TRABALHO!