Estudo dos coeficientes da funo do 2 grau

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    22-Jul-2016

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Estudo dos coeficientes da funo do 2 grau

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    ESTUDO DOS COEFICIENTES DA FUNO QUADRTICA

    COEFICIENTE "a"

    O coeficiente "a" desempenha no grfico a propriedade de concavidade da parbola.

    Significa que se o "a" for positivo (a>0), a parbola ter concavidade para cima (boca

    sorridente), como no

    exemplo:

    Se este fosse negativo

    (a

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    Veja voc que os coeficiente no dependem um do outro. Podemos ter "a" positivo com

    "b" negativo; "a" positivo com "b" positivo, ou seja, qualquer combinao de sinais.

    COEFICIENTE "b"

    Agora sim, o coeficiente "b". No que ele seja muito difcil de se interpretar, mas

    melhor voc aprend-lo aps ter visto todos os outros. Ento, vamos l.

    A anlise do coeficiente "b" nos diz a inclinao que a parbola toma aps passar o eixo

    Y. Viu como um pouco complicado? Mas vamos falar em midos. Primeiro olhe a

    figura abaixo:

    Neste exemplo, o "b" negativo (b

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    Neste exemplo o "b" maior que zero, pois

    acompanhando a curva iremos subir aps o

    ponto de corte.

    Neste exemplo, "b" igual a zero, pois logo

    aps o ponto de corte, iremos reto. Este exemplo

    muito particular, porque voc pode achar que

    positivo, pois ir subir. Porm, a regra diz que

    tem que ser no ponto mais prximo do corte, ou

    seja, milimetricamente, ento neste exemplo vai

    reto. b=0.

    1) Esboce o grfico da funo :

    - Desenvolvimento:

    Vamos primeiro calcular as razes usando Bhaskara. Os coeficientes so: a=1,

    b=-1 e c=-2. Colocando na frmula de Bhaskara, temos:

    As duas razes so 2 e 1, ento j sabemos os pontos por onde a parbola corta o eixo X. No grfico, fica:

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    As duas razes so 2 e 1, ento j sabemos os pontos por onde a parbola corta o eixo X. No grfico, fica:

    Agora fazemos o estudo dos coeficientes. Vamos primeiro olhar para o c. Ele vale 2, ento o grfico da parbola com certeza corta o eixo Y no ponto 2. Vamos marc-lo:

    Pelo coeficiente a sabemos que ela tem a concavidade para cima, e pelo b sabemos que logo aps o ponto de corte com Y ela tem que descer. Traando o esboo, temos o

    seguinte:

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    Vamos rever a frmula de Bhaskara dada na lio anterior:

    Esta frmula est correta!

    O que iremos mudar a parte de dentro da raiz (radicando), que chamada de

    "DISCRIMINANTE" e representada pela letra grega (delta).

    Portanto, a frmula "super correta" de Bhaskara , na verdade:

    Onde "a", "b" e "c" so os coeficientes dos termos de nossa funo quadrtica.

    Neste captulo vamos estudar o papel desempenhado por esse "delta" no grfico de

    nossa funo.

    Na frmula de Bhaskara, o est dentro de uma raiz ( um "radicando") e logo aps um sinal (mais ou menos).

    Este fato de primeiro somar e depois diminuir o que diferencia uma raiz da outra, pois

    "mais" diferente de "menos" .

    E se este delta for igual zero (=0), no teremos diferena entre as razes. Como uma funo quadrtica sempre tem que ter duas razes, dizemos que a funo com =0 tem as duas razes idnticas. Se 0, ento a funo tem duas razes distintas:

    = 0 razes reais e idnticas (iguais);

    0 razes distintas (diferentes).

    Agora, quando 0 (razes distintas), teremos duas situaes: quando for positivo (>0)e quando for negativo (

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    > 0 razes REAIS;

    < 0 razes complexas NO REAIS.

    Como sabemos, raiz de uma funo o ponto em que o grfico da funo "corta" o eixo

    X, ento podemos agora analisar o comportamento do grfico para cada um dos tipos de

    discriminante.

    > 0 Duas Razes REAIS

    Com o discriminante positivo as razes so REAIS, ento existem dois pontos em que o

    grfico "corta" o eixo X.

    O grfico pode ser destes dois tipos:

    ou

    Note que, nos dois exemplos, h dois pontos de "corte".

    = 0 Duas Razes Reais e IDNTICAS

    Com o =0 teremos duas razes idnticas.

    No grfico, a parbola ir apenas "tocar" no eixo X, no atravessando para o outro lado.

    Veja os desenhos abaixo:

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    ou

    < 0 Duas Razes distintas e NO REAIS

    Quando tivermos < 0, as razes no sero reais, sero COMPLEXAS, portanto no iro tocar ou cortar o eixo X, e o grfico poder ser:

    ou

    Primeiro devemos ter em mente: o que "FATOR"?

    Se voc no se lembra l do primeiro grau, fator cada parte de uma multiplicao!!

    Veja a imagem abaixo:

    Ento, o que devemos fazer em uma "fatorao de uma funo quadrtica" achar

    quais os fatores desta funo, ou seja, achar alguma "conta de multiplicao" que

    resulte na funo desejada.

    Veja o exemplo abaixo:

    A funo fatorada fica , ento seus fatores so

    e .

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    Para verificar se est correto, vamos efetuar a multiplicao:

    Veja que, ao efetuarmos a multiplicao, voltamos funo inicial.

    Agora, como devemos fazer para achar estes fatores?

    A regra prtica diz o seguinte: sendo "r1" e "r2" as razes da funo que queremos

    fatorar, simplesmente colocamos na frmula:

    Onde "a" o coeficiente de x2 na lei da funo, e "r1" e "r2" so as razes da funo.

    Vejamos uns exemplos:

    f(x)= 2x2 - 6x - 20

    Aplicando Bhaskara achamos as razes 5 e -2, e o valor de "a"

    2 (a=2). Ento, fatorando esta funo, temos:

    Ateno para os sinais! Como a frmula

    , ento o MENOS da frmula com o

    MENOS da raiz fica MAIS.

    f(x) = 3x2 + 24x + 36

    razes so -6 e -2, e a=3. Portanto, a fatorao desta funo

    fica:

    f(x) = x2 - 4

    razes so 2 e -2, e a=1

    Fatorao:

    f(x) = x2 + 12x

    razes: 0 e -12, a=1

    Fatorao:

    f(x) = 4x2 - 12x + 9

    razes: e , a=4

    Fatorao: ou

    Como j vimos anteriormente, uma funo quadrtica sempre ter duas razes, portanto

    sempre ter dois fatores (mais o "a", que pode ser 1, mas nunca 0).

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    Fatorando uma funo, podemos ver com mais clareza o porqu das razes serem os

    "zeros" das funes.

    Veja nesta funo fatorada: f(x)=(x-2)(x+2). Os "zeros" (ou razes da funo) so 2 e -2,

    pois se colocarmos 2 no lugar de "x" no primeiro fator, este fator ser 2-2, que zero, e

    qualquer coisa "vezes" zero resulta em zero.

    A funo toda zerada, e acontece a mesma coisa se colocarmos -2 no segundo fator.

    Qual a funo que possui possui as razes -4 e -2 e passa pelo ponto (2, 48)?

    Usando a fatorao temos:

    Agora devemos encontrar o valor de "a", para isso utilizaremos o ponto dado no

    enunciado.

    Se esta funo passa pelo ponto (2, 48), ento se substituirmos x=2 e y=48, teremos

    uma igualdade (lembrando que y a mesma coisa que f(x)).

    Portanto, a funo pedida :

    Em alguns exerccios pedido que se ache o valor da SOMA ou PRODUTO das razes

    de uma funo do segundo grau.

    Uma maneira seria aplicar Bhaskara, achar as duas e som-las ou multiplic-las, mas

    existe um mtodo mais rpido. Veja s!

    Vamos usar uma funo genrica do segundo grau, que tenha razes "r1" e "r2".

    Usando seus fatores, ficamos com:

    Efetuando as multiplicaes, temos:

    Nos termos que possuem "x" podemos coloc-lo em evidncia:

  • 10

    Agora, terminando de efetuar as multiplicaes, ficamos com:

    Verifique agora os coeficientes desta funo:

    O coeficiente "b" nada mais do que a SOMA DAS razes (r1+r2), multiplicado por "-

    a". Ento, para a soma de razes (S), podemos utilizar a frmula:

    Olhando para o coeficiente "c", vemos tambm que ele o produto das razes (r1.r2)

    multiplicado por "a". Portanto, tambm para o produto, usamos uma frmula:

    Exemplos:

    f(x) = x2 - x - 2

    Soma=-(-1)/1 = 1 Obs.: No rateie no sinal de

    "b"!

    Produto = -2/1 = -2

    f(x) = 2x2 - 4x - 16

    Soma = -(-4)/2 = 2

    Produto = -16/2 = -8

    f(x) = 2x2 + 8x

    Soma = -(8)/2 = -4

    Produto = 0/2 = 0

    f(x) = 4x2 - 24x + 36

    Soma = -(-24)/4 = 6

    Produto = 36/4 = 9

    f(x) = x2 - 25

    Soma = -(0)/1 = 0

    Produto = (-25)/1

    Vamos nos situar nos estudos. O que vrtice de uma parbola?

    - o ponto em que a parbola atinge seu valor mximo ou mnimo.

    Como assim?

    Veja os exemplos abaixo:

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    O vrtice de todas as parbolas tem uma caracterstica prpria, ele sempre se encontra

    "equidistante" de ambas as razes, ou seja, a coordenada "x" do vrtice fica exatamente

    no meio das coordenadas das duas razes. Trocando em midos, a coordenada "x" do

    vrtice a mdia aritmtica das coordenadas "x" das razes, isto , a soma das duas

    dividido por dois. Vamos cham-lo de Xv ("x" do vrtice):

    Esta a frmula para encontrarmos o Xv. Se voc no conseguir se lembrar na hora,

    faa a deduo como est a em cima. bem fcil!

  • 12

    Agora que j sabemos o Xv, devemos descobrir o Yv ("y" do vrtice). Este valor

    podemos conseguir substituindo o "x" da funo pelo "Xv", pois com isso estaremos

    calculando qual o valor de Y para o Xv, que justamente o Yv ou f(Xv). A equao geral

    de uma funo do segundo grau f(x)=ax2+bx+c. Ento vamos substituir todos "x" pelo

    valor de Xv da frmula acima:

    Veja que na ltima igualdade temos como denominador -(b2-4ac) e isso justamente

    igual - , portanto a frmula final para o clculo de Yv, tambm chamado de f(Xv) :

    IMAGEM

    Agora que j vimos como calcular o Yv, podemos calcular a imagem de qualquer funo

    do segundo grau.

    Imagem, como vocs se lembram, o conjunto de todos os valores do eixo Y em que a

    funo existe.

    O QU ?????

    Hehehe, j explico.

    Imaginem agora uma prensa "esmagando" toda funo em cima do eixo Y, como na

    animao abaixo:

    A imagem da funo ser o conjunto de todos valores de Y que conseguirmos esmagar a

    funo. No exemplo acima, o conjunto imagem de 1 para cima, ou seja, o intervalo

    [1, +). Para calcular a imagem de qualquer funo, temos que analisar somente duas coisas: a

    concavidade da parbola (sinal do coeficiente "a") e o valor do Yv.

    Se o "a" for positivo (a>0) a concavidade para cima, ento a imagem do Yv at

    "mais" infinito [Yv,+);

  • 13

    se o "a" for negativo (a0 e

    portanto, o conjunto imagem desta funo o intervalo

    [-1/4,+)

    f(x) = -2x2 + 12x - 16

    a < 0 e

    portanto, o conjunto imagem desta funo o intervalo

    (-, +4]

    Fazer uma anlise de sinais em uma funo quadrtica pode ser muito til para resolver

    inequaes e tambm para determinar o domnio de algumas funes mais elaboradas

    (com diviso, com raiz quadrada...).

    Vamos ver o que a tal de "anlise de sinal". D uma olhada na imagem abaixo:

    Veja voc que esta parbola (vendo da esquerda para direita) vem l de cima (infinito) e

    vai descendo at o vrtice, quando troca de sentido e passa a subir at o infinito

    novamente. Fazer a "anlise de sinais" verificar qual o sinal de Y em cada ponto do

    eixo X. Olhe novamente a figura. At o ponto x=-3 a parbola est acima do eixo X,

    portanto ela positiva. De -3 at 1 ela est abaixo do eixo X, portanto negativa. Se

    houver um exerccio, pedindo qual o intervalo em que esta parbola negativa, a

    resposta ser:

    S = (-3, 1)

    Note que foi utilizado parnteses, isso indica que o ponto -3 no est no intervalo, pois

    nele a funo vale zero (est em cima do eixo). Idem para o ponto 1.