ensinar multiplicao e divisao

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PROGRAMA DE FORMAO CONTNUA EM MATEMTICA PARA PROFESSORES DOS 1 e 2 CICLOS

Quantos olhos? Quantos dedos?

Livros para as minhas amigas. Quantos para cada uma?

Escola Superior de Educao de Lisboa

Ana Paula Monteiro Cristina Loureiro Fernando Nunes Henriqueta Gonalves

Junho 2007

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IntroduoH muito mais na compreenso da multiplicao e diviso do que calcular quantidades. A criana deve aprender um conjunto inteiramente novo de sentidos de nmero e um novo conjunto de variveis todos relacionados com a multiplicao e a diviso.(Nunes et al, 1997, p. 142)

A

compreenso

das

operaes

desempenha

um

papel

central

no

conhecimento da matemtica (NCTM, 1991). Mas compreender uma operao no se resume a saber fazer o algoritmo. Compreender uma operao saber aplic-la a situaes do dia-a-dia, a situaes da vida real, saber que determinada situao se pode resolver, usando determinada operao, saber us-la significativamente. Desta forma o trabalho exploratrio com situaes problemticas, envolvendo por vezes, materiais manipulveis em que possvel ver os efeitos das operaes, fundamental para o desenvolvimento do significado destas, contextualizando assim a aprendizagem dos procedimentos de clculo (Abrantes et al, 1999). Verschaffel et al (1996) referem a necessidade do aluno passar por uma fase conceptual extensa, durante a qual contactar com uma grande variedade de modelos de situaes para cada operao aritmtica. Mas esta preocupao nem sempre muito evidente. Nas escolas continua a sentir-se uma certa pressa em iniciar os registos escritos de procedimentos, muitas vezes com pouco significado para quem os faz (Serrazina, 2002). As crianas necessitam de muito tempo e de uma grande variedade de experincias para relacionarem a linguagem informal com a linguagem matemtica na construo dos conceitos subjacentes s operaes, antes do ensino explcito dos smbolos (Fernandes, 1994). A expectativa de que os alunos se apropriem muito rapidamente dos procedimentos de clculo, leva alguns professores a centrar o ensino na memorizao de factos e regras necessrias execuo de procedimentos, em lugar de trabalharem o uso reflectido das operaes e das relaes entre os nmeros. Antes do ensino formal e do trabalho com os smbolos, no domnio das operaes, necessrio dedicar algum tempo ao desenvolvimento conceptual pois este fornece significado e contexto para o trabalho subsequente em destrezas de clculo (NCTM, 1991). De acordo com o NCTM (1991), existem quatro componentes no sentido das operaes: saber aplicar a operao a situaes da vida real; ter a percepo dos modelos e das propriedades de uma operao; perceber as relaes entre as operaes;

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ter uma compreenso intuitiva dos efeitos duma operao num par de nmeros.

De acordo com muitos autores, o desenvolvimento do raciocnio multiplicativo tanto mais rico quanto for a diversidade de situaes com as quais a criana se depare. O mesmo tipo de concluso se pode afirmar sobre a diviso. Experincias feitas no Jardim de Infncia mostram que as crianas j resolvem problemas de diviso e de multiplicao simples, usando material concreto para modelar as situaes propostas e usando diferentes tipos de estratgias, muito antes da aprendizagem formal destes conceitos. Assim, estes devem ser introduzidos o mais cedo possvel no currculo do 1 Ciclo, na medida em que propiciam s crianas bases para a aprendizagem formal destes conceitos, alargando as possibilidades do aluno resolver problemas em contextos variados. Tudo isto vai ajudar o aluno a desenvolver a sua compreenso matemtica, no campo destas operaes, numa forma que para ele tem mais significado. Existe uma enorme variedade de classificaes para os diferentes tipos de problemas de multiplicao e diviso. O fundamental que as crianas precisam de uma variedade de experincias com problemas que apresentem diferentes tipos de situaes, em vez de praticarem um nmero restrito de situaes para cada operao Este conjunto de tarefas est organizado segundo marcos fundamentais na construo e compreenso dos conceitos de multiplicao e diviso. Cada marco est perfeitamente definido pelos objectivos que para ele so indicados. As tarefas apresentadas tm notas globais para o professor. Importa salientar que este conjunto de actividades foi pensada fundamentalmente para os 3s e 4s anos, no entanto, grande parte delas podero ser usadas nos 1 e 2 anos de escolaridade. Problemas que envolvam repetio da adio duma determinada quantidade e a partilha equitativa devero ser introduzidos logo no 1 ano. Os alunos comeam por escrever as operaes sob a forma de adies ou subtraces sucessivas, as quais ao longo da escolaridade vo sendo substitudas pelas notaes da multiplicao (x) e da diviso (:).

claro que esta publicao no pretende esgotar o assunto, nem deve ser vista como um trabalho acabado. Muita da actividade de sala de aula que poder ser originada nas ideias expostas dever articular-se com outro temas curriculares, nomeadamente as grandezas e medidas, a estatstica e a lgebra.

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Multiplicao 1 Relao entre adio e multiplicaoObjectivos: Desenvolver o sentido da multiplicao a partir de problemas simples e significativos, com nmeros acessveis. Introduzir a escrita da multiplicao com significado a partir da relao entre a multiplicao e a adio. Resolver problemas de multiplicao antes da aprendizagem formal do algoritmo da multiplicao.

Notas para o professor: Estes problemas pretendem que os alunos relacionem a linguagem matemtica e o simbolismo das operaes (adio/multiplicao) com situaes problemticas e a linguagem informal, permitindo ainda, estabelecer conexes entre as vivncias dos alunos e a Matemtica. Em todas as situaes fundamental que os alunos usem as suas estratgias, explicando como encontraram a resposta. Esta explicao de incio poder ser oral, mas progressivamente dever aparecer por escrito.

Inicialmente os alunos podero recorrer ao desenho e consequentemente a adies sucessivas. Cabe depois ao professor levar os alunos a perceber que uma dada quantidade se repete um certo nmero de vezes, podendo assim ser representado por uma multiplicao (relao entre o raciocinio aditivo e o raciocnio multiplicativo). Por exemplo, na tarefa 2, os alunos podero usar vrias estratgias para encontrar a resposta ao problema.

6 + 6 + 6 + 6= 24 4 x 6 = 24 ou 2 x 6 + 2 x 6 = 12 +12 = 2 x 12 = 24

Na tarefa 4, o nmero de alunos a ser usado, poder ser qualquer um (por ex. o nmero de alunos da turma). O professor poder levantar outras questes, alm das indicadas.

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Tarefa 1: Enfeitar a salaNa segunda-feira, na tera-feira e na quarta-feira, a Maria, o Joo e o David fizeram tiras de bonecos, iguais aos da figura. Quantos bonecos fizeram nos trs dias?

(1 dia)

(2 dia)

(3 dia)

Tarefa 2: Material para a sala de aulaPara a sala de aula a professora comprou estes lpis. Quantos lpis comprou?

Tarefa 3: DesenhandoUm aluno fez este desenho no seu caderno e disse a um amigo: - Pintei 7 cavalos no meu caderno. Quantas patas pintei? E quantas orelhas?

Explica como contaste.

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Tarefa 4: No supermercadoNuma prateleira do supermercado h 8 embalagens iguais da figura. Quantas so as garrafas ali existentes?

Tarefa 5: Vamos contar narizes, olhos, pernas, braos, mo, ps e dedos5.1. Na tua sala de aula h os narizes? alunos. Quantos so

5.2. E quantos so os olhos? E os dedos? ...

Tarefa 6: Rodas de motas, automveis e triciclos 6.1. No parque de estacionamento h 12 motas. Quantas rodas h?

6.2. E se houver o mesmo nmero de automveis, quantas sero as rodas?

6.3. E se fossem triciclos? Quantas seriam as rodas?

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Tarefa 7: Quantos chocolates 7.1. Qual o total de chocolates da figura?

7.2. Se comprarmos 7 caixas de chocolates como a da figura, com quantos chocolates ficamos?

7.3. Para uma festa da escola compraram-se 5 embalagens de chocolates iguais s da figura. Qual foi o total de chocolates comprados?

7.4. Numa fbrica de chocolates todos os dias so produzidos 350 bombons. Quantos bombons so produzidos numa semana?

E num ms? E num ano?

Ateno que a fbrica est fechada aos sbados e aos domingos.

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Tarefa 8: Ovos para muitos doces.8.1. Para a festa de anos da Maria, a me fez vrios doces. Como eles levavam muitos ovos ela teve que comprar 6 embalagens como a que vs na figura. Quantos ovos comprou a me?

8.2. Na cantina da escola da Maria os ovos vm em embalagens que tm o dobro dos ovos, cada uma. Se ali se comprarem 3 embalagens, quantos sero os ovos que a escola adquire?

Tarefa 9: FotosEstas frias, vou arrumar em lbuns, as fotos que tenho l em casa. Cada folha leva 4 fotos, de cada lado. Quantas fotos posso arrumar em 48 folhas deste lbum?

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Multiplicao 2 - Contagens e disposio rectangularObjectivos: Reconhecer situaes de multiplicao a partir da adio de parcelas iguais. Trabalhar a multiplicao antes da aprendizagem formal do algoritmo. Trabalhar o sentido aditivo proporcional da multiplicao e a utilizao de tabelas. Reconhecer situaes de multiplicao partindo de disposio rectangular de objectos. Utilizar diferentes estratgias de contagem usando a multiplicao.

Notas para o professor: importante trabalhar a leitura e a utilizao de grficos para registar dados desde cedo. Nesta altura os grficos (de tipo pictograma) e tabelas so introduzidos como meio de representar relaes multiplicativas. As tarefas 1 e 2 so importantes para familiarizar os alunos com esta forma de representao. Progressivamente, os grficos e tabelas vo-se tornando menos figurativos e contendo mais representaes formais, permitindo fazer generalizaes. A tarefa 3 inclui um conjunto de situaes que permitem trabalhar a disposio rectangular, ainda que em contextos diferentes. Esta abordagem facilita a compreenso da propriedade comutativa e da propriedade distributiva da multiplicao em relao adio: Estas propriedades esto na base da compreenso do algoritmo e ainda do clculo de reas por decomposio. Para isso fundamental que os alunos, perante tais propostas de trabalho, calculem produtos baseando se nos seus prprios processos. Na imagem da tarefa 3.6., embora tenha uma disposio rectangular, no possvel multiplicar o n de filas pelo n de colunas.

1+3+5+7+7+7+7+7+5+3+1= 2x1+2x3+2x5+5x7= 2+6+10+35= 8+45=53 ou 4+3+4+3+4+3+4+3+4+3+4+3+4+3+4= 8x4+7x3=32+21=53

A tarefa 4, com uma disposio rectangular um pouco diferente das outras, permite trabalhar as relaes de dobro e metade uma vez que as bolas pretas e brancas so em igual nmero. Na tarefa 5, em que se pretende desenvolver a visualizao e o conceito de rea, os alunos podero fazer o estudo para mosaicos de diferentes formas e tamanhos. No entanto, possvel identificar na figura mais de 2 tamanhos de quadrados todos eles relacionados entre

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si, surgindo assim relaes como dobro, dobro do dobro (qudruplo), metade e metade da metade (quarta parte). Neste caso, se tivermos em conta a forma triangular do mosaico, ele metade do quadrado pequeno, logo se pensarmos na totalidade de mosaicos necessrios, o nmero de mosaicos triangulares ser o dobro do de mosaicos quadrangulares pequenos.

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Tarefa 1 1.1. Os cachorros Em cada casota moram trs cachorros. Quantos cachorros moram nas quatro casotas? E se em cada casa estivessem cinco cachorros? E se fossem cinco casas? 1.2 Os coelhos No quintal dos avs do Rui em cada coelheira dormem dois coelhos. Quantos coelhos podem dormir em 3 coelheiras? Responde no quadradinho. Agora pensa noutro nmero de coelheiras e escreve-o no crculo. Quantos coelhos podem dormir nessas coelheiras?

1.3 Bolas saltitonas O Vasco est a organizar um jogo. Cada jogador precisa de 3 bolas saltitonas para entrar no jogo. So 5 jogadores. Quantas bolas precisa o Vasco para organizar o jogo? Completa o grfico e responde questo.

1.4 Os bales Cada criana tem 3 bales. Desenha os bales das outras crianas. Completa a tabela respondendo s questes: Quantos bales tm duas crianas? E trs crianas? E quatro?

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Tarefa 2: Visitas de estudo2.1. Numa escola, os alunos de algumas turmas vo realizar uma visita de estudo. Vo todos em automveis, 4 em cada veculo. Os automveis so guiados por professores e alguns pais. So 25 automveis com todos os lugares ocupados. - Quantos professores e pais foram visita? - Quantos alunos foram visita?

2.2. Numa outra visita de estudo foram todos os alunos da escola, tambm em automveis com as mesmas regras. Nessa altura foram 75 automveis. Quantos alunos tem a escola? Podes fazer uma tabela que indique o nmero de alunos que podem ir em 5, 10, 20 75 automveis.

2.3. A direco da escola est a pensar organizar mais visitas de estudos mas em veculos maiores. Faz o estudo das diferentes hipteses. Faz tabelas que indiquem o nmero de alunos que podem ir em veculos que levem 8 alunos, 12 alunos, ... , 20 alunos, ...

2.4.A Cmara Municipal organiza visitas para todos os alunos das escolas do 1 ciclo. Se forem todos os alunos, ao mesmo tempo, so necessrias 50 camionetas e cada uma leva 45 alunos. Quantos alunos vo em 10 camionetas? Em 20? Em 30? Em 40? Em 50? Faz uma tabela para organizares os teus registos.

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Tarefa 3: Vamos contar3.1. Quantas gavetas tem este armrio? Eu quero colocar puxadores em metade das gavetas. Quantos tenho de comprar?

3.2. Tantas flores! Quantas? Vamos fazer ramos

3.3. Burritos e mais burritos. Quantos so? Quantos esto virados para a esquerda? E para a direita? Explica como os contaste?

3.4. Vamos contar pontos, quadrados e traos brancos. Explica como contaste. 3.4.1.Quantos pontos pretos consegues contar nesta figura?

3.4.2. Quantos so os quadrados que a compem?

3.4.3. Na figura esto muitos traos brancos. Quantos so?

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3.5. Este edifcio tem muitas jane e elas na parte da frente e. Por causa da rvore n se cons no seguem ver todas as r janelas. Quantas jane elas tem a f frente deste edifcio? E e quantos s os vidros o s?

Explica co omo conta aste.3.6. Quant so as e tas estrelas? Ex xplica como contaste. o

3.7. Qua antas so as bolas que formam es figura? s e sta

efa mos r s Tare 4: Vam contar pastilhasNum fbrica de chocolate as pastilh brancas e pretas s colocadas automat ma e es has s so ticamente e em tabul leiros como o que est na figura. o

4. 1. Quantas pa astilhas est em cada tabuleiro? to a ?

Descobre m maneiras dif ferentes de contar as pastilhas de chocolate? p e ? 4.2. D Faz os teus reg gistos e exp plica como p pensaste. Compara a tua estrat C gia com a (s) do (s) te eu (s) co olega (s). 4.3. Se quiserm mos coloca estas pa ar astilhas, do tabuleiro, em emba o , alagens com o mesm mo ero, nme como o podemos fazer? Faz o estudo pa diferente embalag ara es gens. Regista pelo men 3 mane nos eiras diferen ntes. Explica a como pensaste. o .

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Tarefa 5- A sala de aula da minha escola

A minha escola est em obras e uma das salas levou um cho novo, como o representado na figura. Agora queremos que cinco salas fiquem com um cho igual, mas no sabemos quantos mosaicos so necessrios. Podes ajudar-nos?

Tarefa 6: A floresta6.1. A figura ao lado mostra parte de uma floresta, onde foram plantadas rvores. Quantas so as rvores que j esto plantadas?

6. 2. Se a figura representar metade das rvores que se podem plantar no terreno, com quantas rvores ficar esta floresta?

6.3. E se a figura representar a quarta parte das rvores que se podem plantar, quantas sero as rvores que ficam na floresta, depois de todas as rvores estarem plantadas?

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Tare 7: Mos efa saicos par a cozinh ra ha7.1. A foto ao la mostra o cho da cozinha da ado c R or s. D. Ruca. Este coberto po mosaicos Se ela quise mud-los por outros do mesmo tamanho, er s, s o quan ntos mosaic tem de c cos comprar?

7.2. Se ela opta por comp ar prar mosaico cujo os anho seja 4 vezes maio que estes, de or tama quan ntos mosaic vai prec cos cisar?

Tare 8: Construindo u muro efa um 7.1. O Sr. Lu quer sab quantos tijolos pre . s ber s ecisa comp prar para co onstruir um muro. Ele m ecolo ocou tijolos no cho, m marcando o comprime ento do mu e fez um coluna com tijolos uro ma s para marcar a a a altura do muro. Sab quantos tijolos ele p bes s precisa com mprar para fazer o mur f ro?

7.2. E se o muro tivesse o dobro do c . compriment quantos tijolos seria necess to, am rios?

7.3. E se o mur tivesse o qudruplo do comprim ro mento, quan ntos tijolos s seriam nece essrios?

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Multiplicao 3 Relaes numricas, propriedades da multiplicao e tabuadasObjectivos: Reconhecer propriedades/relaes das tabuadas da multiplicao e generalizlas. Estabelecer relaes numricas entre produtos. Construir as tabuadas partindo de factos numricos j conhecidos. Desenvolver estratgias de clculo usando os dobros. Calcular produtos usando as propriedades da multiplicao (comutativa, distributiva e associativa) para resolver problemas. Praticar o clculo mentalNotas para o professor: As tarefas que se seguem devero continuar a ser exploradas antes da aprendizagem formal do algoritmo da multiplicao. Na tarefa 1, em que se pretende fazer a contagem das mos, ps e dedos, a estratgia inicial das crianas ser, provavelmente, contar o conjunto dos ps, o conjunto das mos No entanto pretende-se que estas percebam que, por ex., para saber o nmero de dedos de uma mo, de uma turma de 16 meninos temos: 16 x 5. Para saber das duas mos ser 2 x (16 x 5) o dobro. Para saber das mos e dos ps teremos o dobro do dobro, logo: 2 x (2 x (16 x 5)) ou o qudruplo da 1 questo (dedos de uma mo) 4x (16x5). Quando os alunos contam de 2 em 2, 3 em 3 esto a fazer uso de regularidades. Eles so um contexto muito favorvel construo das tabuadas do 2, 3, 4, e at do 5 e das relaes metade/dobro. Algumas das tarefas, como por exemplo na tarefa 1 e na tarefa 2, o contexto e os nmeros usados tm uma determinada intencionalidade dado que permitem estabelecer relaes de dobro/metade. A 2 parte da tarefa 2 por ser bastante aberta permite que o aluno use os nmeros que quiser, quer de cadeiras, quer de mesas. As tarefas 3 e 4, so exemplo de situaes onde emergem as propriedades, comutativa e distributiva, da multiplicao. Na tarefa 3, se o aluno j compreender a propriedade comutativa da multiplicao consegue facilmente encontrar a soluo. Na tarefa 4 os alunos podem partir do 1 problema como uma pista para resolver o segundo, fazendo uso da propriedade distributiva. Ex: (24x15) + (1x15) = 360 + 15. So vrios os estudos que referem que o essencial no ensino do clculo da multiplicao e diviso trabalhar com situaes que promovam a compreenso e o uso destas propriedades. A compreenso da propriedade distributiva no simples. Mas o importante, nestes nveis de ensino, no saber o nome da propriedade, nem saber indicar a equivalncia usando expresses aritmticas como por ex. na tarefa 4: (24 x 15) + (1 x 15) = 25 x 15; o importante compreender a propriedade, mesmo sem saber explicit-la.

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Partindo de algumas situaes, como a tarefa 5, pode-se ir pedindo aos alunos que procurem maneiras simples de calcular alguns produtos a partir de informaes que se lhes pode ir dando, como por ex: medida que os alunos se tornam capazes de explicitar o 18 x 2 = 36 Quanto ser 19 x 2? Porqu? raciocnio 19 x 2 um 2 a mais do que 18 x 2, os problemas podem tornar-se progressivamente mais complexos, como na situao a seguir. Quando os alunos compreendem que 10x25=250 e lhes pedido para calcular 20x25 podem estabelecer a relao do dobro entre o 10 e o 20 e perceber que o total o dobro de 250. Por sua vez, para saber 21x25 basta adicionar ao total (500) 1x25.

Se 10 x 25 so 250 Quanto ser 20 x 25? Porqu? E quanto ser 21 x 25?

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Tarefa 1 Mos, ps e dedos1.1. Se na tua sala de aula todos os meninos levantarem uma mo, quantas mos ficam no ar? E quantos dedos?

1.2. E se levantarem as duas mos, quantas mos ficam no ar? E quantos dedos?

1.3. Quantas mos e quantos ps h na tua sala de aula? E quantos dedos?

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Tarefa 2: Mesas e cadeiras 1 parteEsta uma sala de aula da escola da Maria. Responde s questes ao lado mas no te esqueas de explicar os teus raciocnios. 2.1. Quantas so as mesas e as cadeiras desta sala de aula?

2.2. Quantos so os ps das cadeiras? E os ps das mesas? Quantos so os ps ao todo?

2 parte2.3. Nas outras salas da escola, as mesas e cadeiras so em nmero diferente. Na sala B, o nmero de cadeiras o dobro do nmero de mesas. Quantas cadeiras so?

2.4. Na sala M, o nmero de cadeiras o triplo do nmero de mesas. Quantas cadeiras so?

2.5. Na sala F, o nmero de cadeiras o qudruplo do nmero de mesas. Quantas cadeiras so?

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Tare 3: Que ter ma laranja efa em ais as?O Pe edro e o Jo esto a ajudar no refeitrio da escola e esto a dis oo d scutir qual deles tem m mais laranja O Pedro tem 5 sac com 18 laranjas em cada um e o Joo te 18 as. o cos m em saco com 5 laranjas em c os cada um. Q Qual te pare que tem mais laranjas? Justif ece m fica o teu raciocnio, u usando pala avras, desen nhos ou con ntas.

Tare 4: Qua efa antos berlindes? Numa loja h 2 sacos d berlinde com 15 berlindes cada um sendo ao todo 360 a 24 de es, 5 s m, o 0 berlin ndes. Nout loja h 25 sacos tambm com 15 be tra c erlindes ca ada. Quantos so os s berlin ndes que existem nes loja? sta

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Tarefa 5: Livrinhos para a festaO pai do Pedro foi comprar uns livrinhos para oferecer aos 18 amigos que tinham sido convidados para a festa de anos do filho. Cada livrinho custava 2 euros. A senhora que estava na caixa do supermercado fez a conta e disse que o pai devia pagar 36 euros. Nesse momento o pai do Pedro lembrou-se que se tinha esquecido de levar tambm um livrinho para o filho. Voltou atrs e trouxe mais um livrinho. Quanto vai o pai do Pedro pagar ao todo?

Tarefa 6: Janelas num prdioQuantas so as janelas? Explica como contaste.

Tarefa 7: Os vidros das janelasQuantos so os vidros destas janelas?

Explica como contaste. Descobre outras maneiras diferentes de contar.

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Tarefa 8: Sala de cinema8. Esta figura representa as cadeiras da sala de cinema do Centro Comercial. Se a sala estiver cheia e todas as pessoas estiverem sentadas, quantas pessoas podem ir a cada sesso de cinema?

Explica como contaste.

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Tarefa 9: Espelhos que dobram Material necessrio: 1 espelho e 1 folha de trabalho para cada aluno, 3 lpis de cores diferentes. Observa a figura e conta o nmero de crculos. Regista como contaste.espelho

Coloca 1 espelho numa das posies indicadas. Quantos crculos vs agora? Explica como contaste.espelho

Coloca agora 2 espelhos. Quantos crculos vs? Como contaste? Faz o registo da forma como pensaste.

Observa a figura e conta o nmero de crculos. Pinta alguns crculos de maneira que consigas, com a ajuda de 1 espelho, ver: 36 crculos vermelhos 54 crculos verdes 72 crculos azuis Quantos crculos tiveste que pintar de cada cor? Quantos crculos ficaram brancos? Explica como contaste.espelho

Pinta alguns crculos de maneira queespelho

consigas, com a ajuda de 2 espelhos, ver:

56 crculos vermelhos 76 crculos verdes 96 crculos azuis

espelho

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Multiplicao 4 - Outras situaesObjectivos: Desenvolver a capacidade de resolver problemas. Contactar com outros sentidos da multiplicao, em diferentes contextos, com nmeros decimais e em relao com as grandezas e medidas.

Notas para o professor:

O sentido combinatrio da multiplicao muito importante em nveis escolares mais avanados, mas a sua formalizao no deve ser prematura. No 1 ciclo, os problemas que envolvem este sentido devem ser explorados de modo que as crianas: se apercebam do grande nmero de possibilidades que existem; comparem duas possibilidades e analisem se so ou no diferentes; sejam estimuladas pelo desafio de descobrir uma soluo diferente da do colega do lado; organizem processos prprios e sistemticos para obter as vrias possibilidades; organizem, sozinhas ou em grupo, formas de controlar se obtiveram todas as solues;

Para estes problemas muito importante que os contextos escolhidos sejam facilitadores destas intenes. No caso das tarefas 1, 2, 3, 4 e 5, (problemas de combinatria) importante que, depois de uma fase de trabalho inicial, em que os alunos resolvem o problema optando pelas suas estratgias pessoais, o professor os ajude a organizar os dados recorrendo, por ex., a tabelas, esquemas em rvore, no sentido de permitir que o aluno consiga fazer generalizaes. O mais importante nestes problemas que o aluno v desenvolvendo estas estratgias de resoluo (tabelas, esquemas em rvore) e no que recorra multiplicao para os resolver.

Organizando os dados numa tabela salame po de forma po francs po italiano queijo presunto mortadela po de forma com mortadela po francs com mortadela po italiano com mortadela

po de forma po de forma po de forma com salame com queijo com presunto po francs com salame po italiano com salame po francs com queijo po italiano com queijo po francs com presunto po italiano com presunto

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Organizando os dados num esquema em rvore

H ainda tarefas que estabelecem relaes com outras reas, tais como as grandezas e medidas, clculo com decimais, Deve-se propor exemplos diferentes, em vrios dias, para que os alunos tenham oportunidade de reflectir sobre esse tipo de problemas. O clculo deve aparecer aps um perodo de tempo no qual os alunos analisaram os problemas.

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Tarefa 1: Vamos ajudar o Nodi!Apesar de ter chegado a Primavera, o Nodi estava triste. O Inverno tinha sido muito rigoroso e a chuva e o vento tinham estragado a pintura das casas da sua rua. Para o alegrar, o seu amigo Orelhas teve uma ideia. Podiam pintar as casas com as tintas de cor azul, vermelho e amarelo que ele tinha guardado h algum tempo. Para tal era preciso no esquecer algumas regras: cada casa teria de ter as 3 cores: o telhado, a porta e a parede teriam de ser de cores diferentes; as casas teriam de ficar todas diferentes umas das outras, ou seja no podiam ser pintadas de modo que ficassem iguais. Quantas casas poderiam eles pintar?

Tarefa 2: Os bonecos de neveUm grupo de amigos, que viviam na Serra da Estrela andava muito triste, pois estavam fartos de ver os bonecos de neve sempre da mesma cor: todos brancos. Certa tarde, decidiram que iam dar mais cor serra, pintando os bonecos de 3 cores diferentes: azul, da cor do cu, verde da cor das plantas e amarelo da cor do Sol. Pensaram um pouco e decidiram que os bonecos tinham de ser diferentes uns dos outros. No entanto, cada um tinha de ter as trs cores, sendo que o corpo, a cabea e o chapu tinham de ser diferentes. Quantos sero os bonecos que estes amigos conseguem pintar?

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Tare 3: Mud de rou efa das upa3.1. A Jlia tem 3 camisolas e 2 cale que s es ela ut tiliza para fa azer caminh hadas na se erra. Todos os dias ela veste um conjunto diferente, s utiliza ando uma camisola e u cales uns s. Quan ntos dias po a Jlia v ode vestir-se de forma difere ente?

3.2. A Rita tem 4 camisola Se ela combinar as. c as ca amisolas co os seus cales dif om ferentes, ela pode faze er 20 con njuntos dif ferentes.

Quan ntos cales tem ela? s

Tare 4: Gela efa adosNum geladaria h gela ma ados de sabor a choc colate, a na ata, a amn ndoa e a morango. m Se quisermos comprar u um gelado com 2 s, teses de es scolha terem mos? bolas que hipt

Tare 5: Sand efa desAs sa anduches d caf Be Bom s famosa no do em so as bairro. O fregu pode esc s colher entre 3 tipos de po: p po d forma, p francs ou po itali de po iano. Para o reche h 4 opes: salam queijo, p eio me, presunto ou u morta adela. Quantos tipos d sanduch o caf of de he ferece?"

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Tarefa 5: MasSabendo que 4 mas custaram 1,5 euros, qual ser o preo exacto de 30 mas? Explica como chegaste tua resposta?

Tarefa 6 : Fbrica de chocolates6.1. Numa fbrica de chocolates, todos os dias so produzidos 350 bombons. Cada bombom vendido a 50 cntimos. Se a fbrica vender os bombons todos, quanto ganha por dia?

6.2. A fbrica produz tambm chocolates que so vendidos a 1 euro cada um. Por dia so vendidos 250 chocolates destes. Quanto dinheiro faz a fbrica com a venda destes chocolates pequenos?

6.3. A fbrica produz tambm uns chocolates grandes, que so vendidos a 2 euros cada. Por dia so vendidos 150 destes chocolates. Que dinheiro faz a fbrica por dia, com a venda destes chocolates?

Tarefa 7: Sumos para a festaPara a sua festa de anos, a Cuca convidou 15 amigos. Todos gostam muito de sumo de laranja e chegada a me vai dar um copo de sumo a cada um. Todos os copos levam a mesma quantidade de sumo. Para saber quantos litros de sumo vai ter de preparar, a me consultou a seguinte tabela: 1 copo 2,5dl 2 copos 5dl 3copos 7,5dl 4 copos 10dl 5 copos 12,5dl

Quantos litros de sumo a me da Cuca precisa, para encher os 15 copos?

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Tare 8: Caix de bom efa xas mbonsNo fundo de uma caix de bomb xa bons h 4 filas mbons cada uma, formando uma a de 10 bom camada. A caixa tem 3 camadas de bombo m s ons. Quantos bombons tem a caixa a todo? b ao

Tare 9: Paco efa otes de leiteEsta camio oneta, trans sporta paco otes de leite em caixotes co 248 pac om cotes cada. Quantos pacotes levar a camioneta?

Tare 10: Lat de sum efa tas moO pai do Hugo vai encher a traseira da sua o a carrinha com caixa de latas de sumo As as s o. m gura, 50 cm de caixas medem 50 cm de larg comprime ento e 50 cm de altura. Quantas caixas m c o pai do Hugo pode levar na carrinha? H

efa eijo Tare 12: Comprar queCom mprei 0,3 Kg de queijo, ao preo de 12,5 o quilo. Quant vou paga e q to ar?

Com mprei 0,03 K de queijo, ao preo d 12,5 o quilo. Quanto vou pag Kg de gar?

31

Algoritmos para a multiplicao

Para as quatro operaes bsicas da aritmtica h diversos algoritmos, mais ou menos conhecidos, de importncia mais ou menos histrica. O estudo de muitos destes algoritmos importante na formao de professores, visto que ajuda a pensar sobre a sua fundamentao e contribui para um melhor conhecimento das propriedades das operaes. No consensual a utilizao de algoritmos nos diversos pases e as diversas opes so polmicas. Para ns a ideia fundamental, seja qual for a opo de algoritmo ou algoritmos ensinados, o sentido do nmero e as estratgias de clculo mental continuarem a ter um papel dominante no trabalho com os nmeros e as operaes. Uma das ideias mais importantes que os alunos aprendam a optar pelo tipo de estratgia de clculo que devem fazer, algoritmo ou no, tendo em conta os nmeros envolvidos. Optmos assim por apresentar vrios algoritmos comuns e por registar algumas ideias fundamentais para o trabalho matemtico quando os algoritmos aparecerem.

Algoritmo da multiplicao recorrendo a mltiplos favorveis de um dos factoresNeste algoritmo decompe-se um dos factores em parcelas mais favorveis ao clculo de produtos, as potncias de 10. Trabalha-se com o outro factor na globalidade. O fundamento matemtico deste algoritmo a propriedade distributiva da multiplicao relativamente adio.420 x 22 10 10 2 22 4200 4200 840 9240

346

x 35 10 10 10 5 35 3460 3460 3460 1730 12110 10000 1900 210 12110

32

Este algoritmo muito pouco eficaz e exige uma grande destreza de clculo mental de adio e de multiplicao. A sua utilizao transparente e tem um forte sentido da multiplicao como adio de parcelas iguais. No comum a sua utilizao e tem algumas analogias com o algoritmo de dobros dos egpcios.

Algoritmo da multiplicao egpcio recorrendo a dobros de um dos factoresNeste algoritmo trabalha-se com os dobros do maior factor. Estes so depois convenientemente seleccionados e adicionados.

420

x 22

420 840 1680 3360 6720

1 2 4 8 16 32

16 4 2 22

6720 1680 840 9 240

346

x 35

346 692 1384 2768 5536 11072

1 2 4 8 16 32 64

32 2 1 22

11072 692 346 12110

Este algoritmo muito pouco eficaz e exige uma grande destreza de clculo mental de adio e de multiplicao por 2. A sua utilizao bastante menos transparente que a do anterior. Na anterior a decomposio de um dos factores feita na lgica das ordens do sistema de numerao decimal. Neste caso a decomposio do menor factor feita com base na possibilidade universal de decomposio de qualquer nmero numa soma de potncias de 2. Propriedade que fundamenta um sistema de base dois mas que no evidente.

33

Algoritmo de gelosiaNeste algoritmo trabalha-se com os dois factores decompostos nas suas ordens e com uma disposio em gelosia.

420

x 22 4 2 0 2 8 4 0 2 9 1 2 8 4 4 0 0 9240

349

x 67 3 1 2 2 1 3 1 3 1 1 8 8 2 8 3 2 4 6 3 23 383 4 5 4 7 9 6

Este algoritmo muito pouco transparente, mas muito eficaz e seguro. A sua aprendizagem, ainda que mecnica, muito simples e o esquema da gelosia muito seguro e orientador da colocao dos produtos parciais. Porm totalmente cego a qualquer sentido numrico e apenas exige o domnio da tabuada simples.

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Apresentao mais extensa do algoritmo dominante da multiplicaoUma das dificuldades do algoritmo da multiplicao mais comum no sistema de ensino portugus a insegurana da sua disposio e a escassez de registos intermdios. um algoritmo totalmente cego e em que os alunos perdem o sentido do nmero. Uma forma de ultrapassar essas dificuldades usar formas de registo mais completas.

346

x 35 300 + 40 30 3 2 1 5 1 1 + 1 9 2 2 0 1 0 0 8 0 0 1 +6 +5 0 0 0 0 0 0 0

Os algoritmos e o clculo com decimaisO clculo com decimais vem trazer algumas dificuldades utilizao dos algoritmos. Mas tambm aqui o sentido do nmero deve prevalecer. Se eu sei calcular 346 x 35, tambm sei o valor de qualquer produto com nmeros escritos com estes algarismos pela mesma ordem.

346 x 3,5

estou a multiplicar 346 por 35 dcimas, ento a ordem de grandeza do resultado dcimas, ou seja 12110 dcimas, isto , 1211

346 x 0,35

estou a multiplicar 346 por 35 centsimas, ento a ordem de

grandeza do resultado centsimas, ou seja 12110 centsimas, isto , 121,1 34,6 x 35 estou a multiplicar 35 unidades por 346 dcimas, ento a ordem de grandeza do resultado dcimas, ou seja 12110 dcimas, isto , 1211

35

E assim sucessivamente. Evidencia-se aqui um padro que permite concluir que se um dos factores inteiro e o outro decimal o produto da mesma ordem de grandeza desse nmero decimal. Concluses deste tipo no devem ser dadas como regras, pois podem ser construdas pelos alunos quando se trabalha e desenvolve com eles o sentido do nmero. A situao complica-se um pouco se os dois factores so decimais. Novamente aqui a compreenso fundamental. Se os alunos forem construindo o conceito de nmero decimal com sentido vo concluir e compreender que ao multiplicar dcimas por dcimas vamos ter uma ordem de grandeza de centsimas. Todo este trabalho tem de ser feito com significado. Antes de avanar com este tipo de clculos, pensemos numa situao em que preciso calcular o produto de dois nmeros decimais.

Comprei 0,3 kg de queijo com o preo de 12,5 por quilo. Quanto vou pagar? Uma dcima de kg custa uma dcima do preo, ou seja, 1,25 . Como comprei 3 dcimas de kg tenho que multiplicar este valor por 3, o que d 3,75 . Na primeira parte do clculo passei de dcimas a centsimas e por isso o resultado da ordem de grandeza das centsimas.

Comprei uma fatia de queijo com 0,03 kg, com o preo de 12,5 por quilo. Quanto vou pagar? O raciocnio aqui anlogo. Uma centsima de kg custa 0,125 . Como vou pagar 3 centsimas o preo ser 0,375 .

Esta situao que aqui apresentamos leva-nos a colocar algumas questes para reflexo. Qual o interesse de ensinar algoritmos s crianas para trabalhar com nmeros decimais? No ser mais construtivo desenvolver processos de clculo significativos e pessoais com sentido numrico? Quais so os problemas reais dos nossos dias em que recorremos a um clculo algortmico com nmeros decimais em vez de usar uma calculadora?

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Diviso 1 O sentido da divisoObjectivos: Desenvolver o sentido da diviso a partir de problemas simples e significativos. Introduzir a escrita da diviso com significado e trabalhar a relao entre a diviso e a multiplicao. Resolver problemas de diviso antes da aprendizagem formal do algoritmo da diviso.

Notas para o professor: Os alunos devem, desde muito cedo, resolver problemas de diviso, antes da aprendizagem formal do algoritmo. Dentro das tarefas apresentadas encontram-se situaes de diviso como partilha e como agrupamento como o caso das tarefas 2.1. (agrupamento) e 3.2. (partilha). Quer numa, quer noutra situao, os alunos podem recorrer a diferentes estratgias como: desenhos..., adies sucessivas (ex. tarefa 2.1) : 2+2+2+2+2+2+2= 14 Resposta: 7 meninos

Um menino: duas mos

Subtraces sucessivas(ex. tarefa 2.1) : 14-2-2-2-2-2-2-2= 0 Resposta: 7 meninos

Um menino: duas mos

E a multiplicao (ex. tarefa 2.1) : 7x 2= 14 Resposta: 7 meninos

A tarefa 5 uma tarefa mais aberta, com vrias solues. Implica mais tempo de resoluo e discusso sendo fundamental que o aluno perceba que no pode haver resto. A tarefa 9 embora seja uma situao de partilha, esta no directa e poder originar estratgias mais diferenciadas como os exemplos que se seguem. Uma estratgia: (1 momento) 1 criana 1 saco 3 crianas

(2 momento) 2 sacos (6 bombons)

Ou seja, cada criana recebe 1 saco e 2 bombons (5 bombons) Outra estratgia: 5 sacos 15 bombons 15 bombons 3 crianas

Ou seja, cada criana recebe 5 bombons.

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Na tarefa 10, poder haver alunos que desenhem as mesas, estabelecendo a correspondncia entre mesas e pais, colocando 6 em cada mesa (1 mesa 6 pais; outra mesa 6 pais .... ) e usando uma estratgia aditiva ou at estabelecendo relao com a multiplicao, at chegarem ao 84, como nos ex. a seguir. 6 + 6 = 12 ; 12 + 6 = 18; 18 + 6 = 24 ...78 + 6 = 84 ou 6 ... 12 ... 18 ... 24 ... ... 84 Poder mesmo haver alunos que, recorrendo ao clculo mental, percebam que em 10 mesas se podero sentar 60 pais e completem o seu raciocnio fazendo correspondncia entre mesas e pais, at terem o nmero de mesas suficientes para os 84 pais. 10 x 6 = 60 60 + 6 + 6 + 6 + 6 = 84 (n de pais)

10 + 1 + 1 + 1 + 1 = 14 (n de mesas)

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Tarefa 1: Os anezinhos1.1. Se os trs anes dividirem as mas da figura entre eles, com quantas mas fica cada ano?

1.2. Se aparecer outro ano e eles dividirem as mesmas mas, com quantas mas fica cada ano?

Tarefa 2: CartazesNa sala de aula do 1 ano, para a aula de Matemtica, alguns alunos estiveram a fazer cartazes. Cada menino desenhou 2 mos. Se estiverem desenhadas 14 mos quantos meninos estiveram a fazer cartazes.

Tarefa 3: Os coelhos3.1. No quintal havia 24 cenouras. Cada coelho comeu 4 cenouras. Quantos coelhos havia no quintal?

3.2. Se no quintal houvesse 8 coelhos quantas cenouras comia cada um?

Tarefa 4: Flores para a meNo dia da me a Ana e o Rui compraram um ramo de 24 rosas para lhe oferecer. A me decidiu coloc-las em jarras. Descobre todas as hipteses para arrumar todas as flores em jarras, colocando a mesma quantidade em cada jarra?

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Tarefa 5: No recreio5.1. O grupo de alunos representados na figura, est a brincar no recreio e decide fazer jogos de grupo. Se fizerem grupos de 2 alunos, quantos grupos podem fazer? E se forem de 3 alunos? E de quatro?

5.2. No dia a seguir estavam no recreio 32 alunos e fizeram 8 grupos. Quantos alunos ficaram em cada grupo?

Tarefa 6: Ovos em cestosA Ana precisa distribuir 36 ovos em 6 cestos de modo que no sobrem ovos e todos os cestos tenham a mesma quantidade de ovos. Quantos ovos dever colocar em cada cesto?

Tarefa7: Ovos em caixasO Rui precisa guardar 98 ovos em caixas iguais. Cada caixa dever conter 12 ovos. No podem sobrar ovos. Quantas caixas sero necessrias?

Tarefa 8: Prenda de anosNo seu aniversrio, a Maria recebeu este chocolate e decidiu comer 2 quadradinhos por dia. Durante quantos dias ela pode comer chocolate, se comer sempre a mesma quantidade por dia?

40

Tarefa 8: Jogo dos arcos8.1. Numa sala de aula os meninos estiveram a brincar ao jogo dos arcos. A turma tinha 24 meninos e a professora colocou 6 arcos no cho. Quantos meninos ficaram em cada arco?

8.2. Se estiverem 3 meninos em cada arco quantos arcos so necessrios?

Tarefa 9:

Vamos repartir os rebuados que esto nos saquinhos por trs crianas. Cada saquinho tem 3 rebuados. Quantos rebuados cada criana vai receber?

Tarefa 10: Reunio de pais10.1. Hoje vai haver uma reunio na escola e sabemos que vo estar presentes 84 pais. A coordenadora organizou a sala com vrias mesas e cadeiras. Cada mesa tem sua volta 6 cadeiras. Quantas so as mesas necessrias para sentar os 84 adultos?

10.2. Na reunio decidiu-se que se ia oferecer caf, mas cada pai s podia beber um. O caf veio em cafeteiras e cada uma dava para 12 chvenas. Quantas cafeteiras foram precisas para trazer caf para todas as pessoas?

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Tarefa 11: Na sala de aula11.1. Na sala do Hugo havia falta de lpis de cor. Um dia a professora foi comprar alguns e disse turma: Comprei caixas com lpis e sei que so 192 lpis. Sabendo que cada caixa traz 6 lpis, quantas so as caixas que comprei?

Se cada caixa trouxesse 12 lpis, quantas seriam as caixas?

E se fossem 24 lpis em cada caixa? Quantas seriam as caixas?

11.2. Hoje vamos fazer trabalho de grupo e vamos organizar 4 grupos. Quantos lpis posso colocar em cada grupo, de forma que haja a mesma quantidade em todos?

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Diviso 2 Quociente e restoObjectivos: Desenvolver o sentido do quociente e do resto a partir de problemas simples e significativos. Introduzir a identidade fundamental da diviso inteira (dividendo = divisor x quociente + resto). Desenvolver a compreenso de problemas tanto no que respeita s estratgias de resoluo, como s respostas a dar.

Notas para o professor: Alguns destes problemas pretendem que os alunos desenvolvam o sentido do quociente e do resto, tendo a tarefa 1, 2, 3 e 4 caractersticas diferentes. Assim, enquanto na tarefa 1 o resto no importante para a resoluo do problema, na tarefa 2 o resto a resposta ao problema e nas tarefas 3 e 4 os alunos tm de atribuir significado ao resto para responderem correctamente. A tarefa 5 j envolve nmeros maiores e um contexto da vida do dia-a-dia em que a criana percebe com facilidade que para tirar fotos a todos precisa sempre de ir buscar mais um rolo de fotografias. Neste tipo de situaes no basta fazer os clculos adequados. importante saber interpretar os resultados que obteve e decidir qual a resposta que vai dar ao problema.

Tarefa 1 - Fazer bolosPara fazer um bolo so precisos 3 ovos. Quantos bolos se podem fazer com 17 ovos?

Tarefa 2 - Empacotar bolasNuma loja h 26 bolas para empacotar em caixas de 4 bolas cada. Depois de encher as caixas que conseguir, quantas bolas sobraro?

Tarefa 3 - PiqueniqueUm grupo de 27 amigos resolveu fazer um piquenique no campo e para se deslocarem levaram carros. Cada carro levava 5 pessoas. Quantos carros foram necessrios para transportar os 27 amigos?

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Tarefa 4: Viajando4.1. Uma escola pretende fazer uma visita a uma exposio com os seus 169 alunos. Para tal, alugou uma carrinha que leva 14 alunos de cada vez. Quantas viagens far a carrinha para levar todos os alunos exposio?

4.2. Noutra altura do ano, os 169 alunos desta escola foram ao Oceanrio tendo-se deslocado numa carrinha, que fez 14 viagens, sempre com o mesmo nmero de alunos. Quantos alunos foram em cada viagem? Foram todos os alunos? Quantos faltaram?

Tarefa 5 - FotografiasA escola do Joo tem 465 alunos. Na prxima semana vem o fotgrafo tirar fotografias a todos os alunos. Se cada rolo d para 24 fotografias, quantos rolos tem que trazer o fotgrafo para tirar uma fotografia a cada aluno?

Tarefa 6 - Visita de Estudo6.1. Um grupo de alunos vai fazer uma visita de estudo e h vrias possibilidades de escolha para o transporte:

carrinha para 8 passageiros camioneta pequena para 16 passageiros camioneta mdia para 32 passageiros camioneta grande para 64 passageiros

6.2. Faz o estudo do nmero de veculos necessrios para fazer a visita.

N. de alunos da turma N. de alunos da escola

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Tarefa 7: Visita de EstudoUm grupo de alunos vai fazer uma visita de estudo e h possibilidades de escolha para o transporte: camioneta para 32 passageiros camioneta para 64 passageiros. Faz o estudo do nmero de veculos necessrios para fazer a visita para os seguintes nmeros de alunos: grupo de 48 alunos grupo de 96 alunos grupo de 130 alunos.

Tarefa 8: Formao de EquipasNuma escola vo ser organizados vrios campeonatos desportivos entre os 45 alunos do mesmo ano: futebol (equipas de 5) futebol (equipas de 11) andebol (equipas de 7) voleibol (equipas de 6)

No caso de no dar nmero exacto h alunos que podem ficar como suplentes.

Para cada modalidade, diz quantas equipas se podem fazer e quantos alunos ficam suplentes?

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Diviso 3 Calcular quocientesObjectivos: Calcular quocientes. Calcular metades e fazer raciocnio por metades. Calcular quocientes especiais com potncias de 5 e de 10. Estabelecer relaes e recorrer a padres para fazer clculos.

Notas para o professor: Neste conjunto de tarefas pretende-se que os alunos estabeleam relaes entre os nmeros envolvidos em divises diferentes. Por ex., se sei que 40:5=8, tambm sei que 20:5=4 ou que 80:5=16. Isto , se o divisor se mantm e o dividendo passa ao dobro, ento o quociente tambm passar ao dobro. Este tipo de ser trabalhado medida que se avana no conhecimento e na prtica da diviso. A tarefa 2, poder ser ligada com a dos Ovos Mgicos referente multiplicao. Os alunos, escolhem em cada grupo, um determinado nmero de ovos. Este nmero ter que ser um nmero grande para ser possvel fazer caixas com o nmero de ovos indicado. Este conjunto de tarefas permite, tambm, trabalhar o clculo mental.

Na Tarefa 5 cada grupo de alunos pode trabalhar com um nmero diferente de ovospreenchendo, depois, a tabela colectiva e em discusso podem ser identificadas vrias relaes

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Tarefa 1: BrinquedosNo Natal, numa loja de brinquedos compraram 50 bonecos iguais aos da figura. Arrumaram-nos em caixas e cada caixa levava 5 bonecos. Quantas caixas foram necessrias? Se as caixas levassem 10 bonecos, quantas caixas seriam necessrias?

Tarefa 2 : Visita de estudoPara organizar as visitas de estudo a direco da escola sabe que pode usar: camionetas que levam 50 crianas carrinhas que levam 20 crianas automveis que levam 4 crianas Faz um estudo do nmero de veculos de cada tipo necessrios para transportar 100 crianas.

Tendo em conta a situao anterior, faz um estudo para 200 crianas, 300 crianas, 400 crianas e 500 crianas e ajuda a direco da escola.

Tarefa 3: Pacotes de leite 3.1. O leite que oferecido nas escolas distribudo em conjuntos de embalagens agrupadas (paletes) com 24 pacotes. Na turma A, do 3 ano os alunos beberam 320 pacotes de leite no ms de Janeiro. Quantas paletes foram distribudas nesta turma?

3.2. Nesse ms, nas turmas todas da escola os alunos beberam 3200 pacotes de leite. Quantas paletes foram distribudas na escola?

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Tarefa 4: Fbrica de chocolates4.1. Numa fbrica de chocolates so feitos bombons que so embalados em pacotes com vrios tamanhos: pacotes com 5 bombons pacotes com 10 bombons pacotes com 20 bombons pacotes com 50 bombons pacotes com 100 bombons Quantos bombons h em 10 pacotes de cada tipo?

E quantos bombons em 20 pacotes? E em 100 pacotes?

4.2. Se eu quiser comprar 500 bombons em pacotes de 5 cada um, de quantos pacotes preciso? E se quiser pacotes sempre iguais, mas com mais bombons?

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Tarefa 5: Arrumao de ovos5.1. Escolhe um determinado nmero de ovos entre 1000 e 3000. Agora arruma-os em caixas de de 10, de forma que no sobre nenhum. Quantas caixas conseguiste fazer?

5.2. E se fossem caixas de 100? Quantas caixas conseguirias fazer?

5.3. E se fossem caixas de 1000? Quantas caixas conseguirias fazer?

Preenche a tabela com os teus valores e os dos teus colegas da turma.

N. ovos

N. caixas de 10

N. caixas de 100

N. caixas de 1000

Grupo A Grupo B Grupo C Grupo D Grupo E Grupo F

Aula (total)

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Diviso 4 Outras situaesObjectivos: Desenvolver a compreenso de problemas. Contactar com outros sentidos da diviso em diferentes contextos com nmeros decimais e em relao com as grandezas e medidas.Notas para o professor: Nestes problemas est envolvida a compreenso da diviso, a qual no aparece de forma explcita.

Tarefa 1: Rapazes e raparigasNuma festa de anos esto 18 alunos, sendo 11 rapazes e 7 raparigas. Para poderem fazer um jogo, tm que se dividir em grupos com o mesmo nmero de crianas e com, pelo menos, um rapaz. Que grupos que se podero formar?

(Indica o nmero de raparigas e rapazes para cada grupo)

Tarefa 2: Um jardim rectangularUm agricultor pretende fazer um jardim rectangular. De um lado pretende que ele tenha 6 metros. Se ele quiser ter uma rea de 48 metros quadrados, quantos metros ter que medir o outro lado?

Tarefa 3: Construo de uma estradaNa construo de uma estrada em cada dia so construdos 300 metros. O comprimento total da estrada dever ser de 5 000 metros. Quantos dias vai demorar a construir a estrada?

50

Tarefa 4: Brincos com conchasA figura mostra as conchas que a Rosa apanhou na praia.

4.1. Completa o grfico seguinte, de modo que este represente o nmero de conchas que a Rosa apanhou na praia.

4.2. Com algumas das conchas que apanhou na praia, a Rosa fez o par de brincos que est representado na figura.

Ela quer fazer um par de brincos, igual a este, para cada uma das suas 6 amigas. De quantas conchas, de cada tipo, vai precisar?

4.3. Ela foi a uma loja e comprou uma caixa que trazia: 15 arames, 17 conchascompridas e 26 conchas redondas. Quantos brincos consegue fazer com este material?

51

Algoritmos para a divisoA reflexo sobre a utilizao de algoritmos agudiza-se com a com a operao de diviso. A contextualizao dos clculos mais complexa, o sentido da operao mais difcil para as crianas, os clculos envolvidos tambm mais difceis. Por isso as decises de ensinar algum algoritmo, quando o ensinar e qual ensinar se tornam mais polmicas. Mas sejam quais forem essas decises, s teremos a ganhar se, como professores, conhecermos melhor os algoritmos da diviso.

E nunca demais afirmar que quanto mais factos numricos dominarmos maior facilidade e segurana poderemos ter na realizao de clculos e, tambm, que h estratgias de substituio de clculos que so universais e que por isso mesmo se tornam facilitadoras. Esta preocupao do conhecimento e domnio de factos numricos nunca deve ser perdida de vista. Seja qual for a utilizao dos algoritmos que se pretenda fazer, o clculo mental por recurso a estratgias diversas tem que ser prtica permanente. No h algoritmo que substitua a flexibilidade de clculo por recurso a estratgias diversas conforme os nmeros em jogo. Os problemas de diviso que envolvem o sentido de medida podem ajudar a construir o algoritmo da diviso a partir de processos prprios dos alunos. Para isso importante que os problemas sejam pensados com nmeros favorveis. Por exemplo, agrupar objectos ou pessoas em conjuntos com igual nmero de elementos. Ovos em caixas, pessoas em autocarros, ...

Optimizao do algoritmo da diviso americano ou de subtraces sucessivasNeste algoritmo trabalha-se com o dividendo e o divisor globalmente. Vo sendo subtrados ao dividendo mltiplos do divisor at obter um resto inferior ao divisor. Este algoritmo optimizado se forem usados mltiplos do divisor por potncias de 10 ou por composies destas potncias.

52

4850 : 55 55 4850 2200 2650 2200 450 440 10 8 88 40 40 1 10 100 55 550 5500

7850 : 55 55 7850 5500 2350 2200 150 110 40 2 142 40 100 1 10 100 55 550 5500

O facto de usar diferenas com mltiplos facilitadores toma muito mais acessvel o clculo das diferenas. A prtica deste algoritmo e a aquisio da sua destreza de utilizao exige um trabalho de sentido do nmero muito grande. Este algoritmo admite um grande grau de liberdade visto que o utilizador pode usar os mltiplos do divisor que lhe dem mais jeito. Precisamente por isso a sua aprendizagem pode ser feita no sentido de maior eficcia. A utilizao deste algoritmo transparente visto que se percebe muito bem o raciocnio feito pelo utilizador.8,7 : 0,63 1 passo 63 870 630 240 126 114 63 51 1 13 resto 0, 51 2 10 870 : 63 1 10 100 63 630 6300

A diviso envolvendo nmeros decimais sempre feita adaptando adequadamente os clculos para nmeros inteiros.

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Algoritmo da diviso recorrendo a mltiplos do divisor e decompondo o dividendo Neste algoritmo o divisor trabalhado na globalidade, mas o dividendo decomposto em ordens de acordo com as necessidades. So subtrados a uma parte do dividendo o mltiplo do divisor mais prximo. Este algoritmo tem por isso preocupaes de eficcia e rapidez que o distinguem totalmente do anterior.485 0 440 450 440 10 55 8 8 1 55 2 110 3 165 4 220 5 275 6 330 7 385 8 440 9 495

78 5 0 55 23 5 220 15 0 110 40

55 1 4 2

1 55

2 110

3 165

4 220

5 275

6

7

8

9

A preocupao de eficcia sobrecarrega muito os clculos auxiliares dos mltiplos do divisor. Na sua utilizao com decimais pode optar-se pela utilizao de mltiplos do divisor, ainda que este seja um nmero decimal, ou por uma adaptao a nmeros inteiros anloga que foi exemplificada no algoritmo anterior. A utilizao deste algoritmo mais mecanizada e fechada. O utilizador perde a noo da ordem de grandeza do dividendo e pode perder o sentido dos nmeros envolvidos. Se no for feito um trabalho paralelo de controle e crtica dos resultados esta utilizao pode arrastar muitos erros sem que advenham outras compensaes.

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Algoritmo da diviso egpcio recorrendo a dobros do divisor Neste algoritmo trabalha-se com o dividendo e o divisor na globalidade. Constri-se primeiro uma tabela de dobros do divisor at ultrapassar o dividendo. Adicionam-se ento sucessivamente os mltiplos do divisor at obter o valor mais prximo possvel do dividendo.

723

:17

17 34 68 136 272 544 1088

1 2 4 8 16 32 64

544 136 680 34 714

32 8 40 2 42

resto

9

7850

:55

55 110 220 440 880 1760 3520 7040

1 2 4 8 16 32 64 128

7040 440 7480 220 7700 110 7810

128 8 136 4 140 2 142

resto

40

A utilizao deste algoritmo exige algum sentido do nmero e destreza de clculo mental para a adio para escolher os dobros adequados. um algoritmo muito pouco comum embora seja muito acessvel do ponto de vista do clculo de produtos. Fica o desafio de perceber como poder ser usado com decimais.

55

Outras situaes: multiplicao/divisoObjectivos: Desenvolver outros aspectos da multiplicao e diviso; Valorizar as estratgias pessoais dos alunos; Proporcionar o confronto entre a multiplicao e a diviso.

Notas para o professor: As tarefas apresentadas neste ponto, so mais abertas e envolvem situaes de multiplicao e/ou diviso, algumas delas dependendo da estratgia usada pelos alunos para os resolver. A tarefa 9, pode ser explorada desde o 1 ao 4 ano, cabendo ao professor seleccionar o nmero de embalagens de ovos com que os seus alunos podem trabalhar. At tarefa 6 os alunos no precisam ainda de ter formalizado qualquer aprendizagem sobre a multiplicao e a diviso para resolver problemas. A partir da tarefa 6 os problemas so mais elaborados quer do ponto de vista da

compreenso, quer do ponto de vista do conhecimento das operaes multiplicao/diviso.

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Tarefa 1: Um passeio de barco1.1. Um grupo de amigos, resolveu ir passear de barco. Como tinham barcos em nmero suficiente, decidiram que ficasse o mesmo nmero de pessoas em cada barco. Descobre todas as maneiras diferentes dos 18 amigos se agruparem nos barcos. Para cada caso regista quantos barcos usaram e quantos amigos iam em cada barco.

1.2. E se fossem 24 alunos, que hipteses haveria?

Tarefa 2: Sandes para o lancheA Ana preparou 48 sandes para um lanche com alguns amigos. No fim do lanche, verificaram que toda a gente tinha comido igual nmero de sandes e que no tinha sobrado nenhuma. Quantas pessoas poderiam ter estado no lanche e quantas sandes inteiras tero comido cada uma?

Tarefa 3: Fazendo equipasNa aula de Educao Fsica os alunos fazem jogos de equipas. Todas as equipas tm igual nmero de jogadores e ningum fica de fora. Quantas equipas podem fazer e quantos jogadores tem cada equipa?

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Tarefa 4: Fazendo painis de azulejosOs alunos do 4 ano vo fazer painis rectangulares de azulejos. Descobre todos os painis de azulejos que possvel fazer com 12 azulejos. Experimenta com outros nmeros de azulejos. Quais so os nmeros que do para fazer mais painis diferentes de azulejos?

Tarefa 5: Arrumando cadeirasDescobre todas as maneiras de arrumar 100 cadeiras numa sala de espectculos, respeitando a condio de que todas as filas tenham o mesmo nmero de cadeiras.

Tarefa 6: Ida a uma consultaA Margarida e o seu irmo foram a uma consulta ao pediatra, pois estavam com febre. A Margarida vai ter que tomar um O seu irmo Carlos, toma outro medicamento comprimido de 6 em 6 horas. de 8 em 8 horas.

Qual dos dois irmos acaba primeiro o medicamento? Regista todos os teus clculos e explica como pensaste.

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Tarefa 7: Livros e canetas A Rita pagou 27 euros por trs livros e duas canetas. O Joo comprou trs livros e uma caneta iguais aos dela e pagou 25 euros. Se a me da Rita quiser comprar 6 canetas iguais s deles, quanto ter que pagar? E qual foi o preo de cada livro? Explica como chegaste s tuas respostas.

Tarefa 8: Bandeirinhas

Para a festa dos Santos Populares, a escola da Sara e do Gonalo, foi enfeitada com bandeirinhas. 9.1. O Gonalo colocou as bandeiras todas juntas, mas a Sara espaou-as regularmente, mantendo o espao, mesmo nas extremidades. Os dois fios tm o mesmo comprimento (615 cm) e cada bandeirinha ocupa 15 cm de fio. Quantas bandeirinhas colocou o Gonalo?

9.2. A Sara colocou menos 7 bandeiras que o Gonalo. Quanto medir o espao entre as bandeiras?

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Tare 9: efaUm p painel mede 140 cm p 320 cm. Uma emp e por presa deseja fixar 12 c a cartazes no painel. Os c cartazes me edem 64 cm por 51 cm Como muito capric m m. m chosa, a An quer colo na ocar os carta azes de mo odo que os espaamentos vertic s cais, sejam iguais e os espaamentos m horiz zontais, tam mbm sejam iguais. A q distnci ela ter d deixar ca cartaz? m que ia de ada

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Tarefa 9: Ovos9.1. Quantos ovos? Explica como contaste.

9.2. Arrumas os ovos noutras caixas tua escolha.

9.3. Quantos ovos esto nesta imagem? Explica como contaste.

9.4. Se fossem caixas de 6 ovos quantas eram as caixas? E se fossem caixas de 24 ovos?

9.5. Arruma os ovos em caixas tua escolha.

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Tarefa 10: Caixas de bombons10. 1. Quantos bombons h nas 2 caixas da figura ao lado? Como contaste os bombons?

10.2. Imagina uma maneira para arrumar o mesmo nmero de bombons numa nica caixa. Descreve a tua caixa.

10.3. Constri uma caixa de bombons tua escolha e decreve-a.

10.4. Quantos bombons h em cada uma das caixas da figura ao lado? Explica como os contaste.

10.5. Quantas caixas, do tamanho da maior, so precisas para arrumar 1000 bombons?

10.6. E quantas caixas do tamanho da menor?

10.7. Se quisesses arrumar os 1000 bombons em caixas todas iguais, de modo que no sobrasse nenhum e todas ficassem cheias, escolhias caixas para quantos bombons?

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Bibliografia:Abrantes, P., Serrazina, L., & Oliveira, I. (1999). A Matemtica na Educao Bsica. Lisboa: Departamento de Educao Bsica do Ministrio da Educao. Fernandes, D. M. (1994). Educao matemtica no 1 Ciclo do Ensino Bsico. Aspectos inovadores. Porto: Porto Editora. Ministrio da educao (1991). Programa do Primeiro Ciclo do Ensino Bsico. Lisboa: Editorial do M.E. Ministrio da educao (2001). Currculo Nacional do Ensino Bsico, Competncias Essenciais. Lisboa: Editorial do M.E. National Council of Teachers of Mathematics (1994). Normas profissionais para o ensino da Matemtica. Lisboa: APM (traduo portuguesa de Professional Standards for Teaching Mathematics, 1991, do National Council of Teachers of Mathematics). National Council of Teachers of Mathematics (1991). Normas para o currculo e a avaliao em Matemtica escolar. Lisboa: APM e IIE (traduo portuguesa de Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics, 1989, do National Council of Teachers of Mathematics. National Council of Teachers of Mathematics (1991). Normas para o currculo e a avaliao em Matemtica escolar. Lisboa: APM e IIE (traduo portuguesa de Curriculum and evaluation standards for school mathematics, 1989). Nunes, T., Bryant, P. (1997). Crianas fazendo matemtica. Porto Alegre. Artes Mdicas. Nunes, T., Campos, T., Magina, S., Bryant, P. (2005). Educao Matemtica nmeros e operaes matemticas. So Paulo: Cortez Editora. Ponte, J., Serrazina, L. (2000). Didctica da Matemtica do 1 ciclo. Lisboa: Universidade Aberta. Serrazina, M. L. (2002). Competncia matemtica e competncias de clculo. Educao e Matemtica, 69, 57 60. Verschaffel, L. e De Corte, E. (1996). Number and Arithmetic. Em A. J. Bishop, K. Clements, C. Keitel, J. Kilpatrick e C. Laborde (Eds.). International Handbook of Mathematics Education, (pp 99-137). Holanda: Kluwer Academic Publishers.

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Anexos

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Contando laranjas

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Quantas so as janelas? Explica como contaste.

E quantos sero os vidros? Faz os registos que precisares para dar a resposta.

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ESCOLA .................................................................................. ANO/TURMA .................... NOME ..................................................................................... DATA ..............................

VAMOS POUPAR GUA

A gua indispensvel vida de animais e plantas. Mas... a gua no inesgotvel e est a desaparecer no planeta. preciso poupar gua! Atravs da experincia que vais realizar, descobre uma maneira simples de poupar gua.

1. Lava os dentes com a gua da torneira semprea correr. Mede a gua que gastaste com um copo graduado. Se tivesses utilizado dois copos de gua, terias gasto, em mdia, 0,5 l. Isto significa que, de cada vez que lavas os dentes com gua corrente, desperdias gua.

2. Que quantidade de gua desperdias de cada vez que lavas os dentes comgua corrente?

3. E se lavares os dentes, trs vezes por dia? 4. E ao fim de um ano? 5. E que quantidade de gua desperdiar uma famlia composta por pai, mee dois filhos?

6. Comenta os resultados que obtiveste.

Educao e Matemtica n 43, 1997

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No possv el apresentar a imagem. O computador pode no ter memria suficiente para abrir a imagem ou a imagem pode ter sido danificada. Reinicie o computador e, em seguida, abra o ficheiro nov amente. Se o x v ermelho continuar a aparecer, poder ter de eliminar a imagem e inseri-la nov amente. No possv el apresentar a imagem. O computador pode no ter memria suficiente para abrir a imagem ou a imagem pode ter sid o danificada. Reinicie o computador e, em seguida, abra o ficheiro nov amente. Se o x v ermelho continuar a aparecer, poder ter de eliminar a imagem e inseri-la nov amente.

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1- Quantos sapatos vs na imagem? Explica como contaste.No possv el apresentar a imagem. O computador pode no ter memria suficiente para abrir a imagem ou a imagem pode ter sido danificada. Reinicie o computador e, em seguida, abra o ficheiro nov amente. Se o x v ermelho continuar a aparecer, poder ter de eliminar a imagem e inseri-la nov amente.

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Nome: ___________________________ Data: ____/____/____

1- Quantos sapatos vs na imagem? Explica como contaste.No possv el apresentar a imagem. O computador pode no ter memria suficiente para abrir a imagem ou a imagem pode ter sido danificada. Reinicie o computador e, em seguida, abra o ficheiro nov amente. Se o x v ermelho continuar a aparecer, poder ter de eliminar a imagem e inseri-la nov amente.

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Nome: ___________________________ Data: ____/____/____

1- Quantas botas vs na imagem? Explica como contaste.No possv el apresentar a imagem. O computador pode no ter memria suficiente para abrir a imagem ou a imagem pode ter sido danificada. Reinicie o computador e, em seguida, abra o ficheiro nov amente. Se o x v ermelho continuar a aparecer, poder ter de eliminar a imagem e inseri-la nov amente.

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