EDO- Mtodo fator integrante

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    30-Dec-2015

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  • PUC Minas

    Livro texto: Equacoes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno - WilliamE. Boyce e Richard C. Diprima.

    Equacoes Lineares de Primeira OrdemAs equacoes (diferenciais ordinarias) lineares de 1a ordem podem ser escritas como

    a(t)dy

    dt+ b(t)y = c(t).

    Vamos considerar as equacoes lineares de 1a ordem na forma

    dy

    dt+ p(t)y = q(t).

    1o Caso: Equacoes em que p(t) = 0

    Se a funcao p(t) = 0 a equacao torna-sedy

    dt= q(t), que e facilmente resolvida integrando-se os

    dois lados. Assim, a solucao geral desta equacao e dada por

    y(t) =

    q(t)dt+ c,

    Exemplo: Encontre a solucao geral da equacao diferencial

    dy

    dt= sen(2t).

    2o Caso: Caso geral

    Vamos considerar equacoes da formady

    dt+ p(t)y = q(t) em um intervalos em que p(t) e q(t)

    sao contnuas. Para resolver esse tipo de equacao, definiremos uma funcao auxiliar, (t), de formaque, ao multiplicarmos a equacao dada por esta funcao, a equacao obtidda e uma equacoa linearcom p(t) = 0, ou seja, cairemos no primeiro caso, que ja sabemos resolver. Uma funcao com estapropriedade e chamada fator integrante da equacao linear.

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  • Seja(t) = e

    p(t)dt.

    Vamos mostrar que (t) e um fator integrante da equacao dada.

    Exemplos: Resolva as equacoes diferenciais abaixo:

    dydt

    +1

    2y =

    1

    2et/3;

    2

  • dydt 2y = 4 t,

    tdydt

    + 4y = 5t.

    Exemplos: Resolva os PVIs abaixo:

    3

  • tdydt

    + 4y = 5t;

    y 4xy = 2

    x3.

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