EDO de Segunda Ordem No Linear

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    10-Oct-2015

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  • EDO de segunda ordem no linear

    Reduo EDO de primeira ordem

    Ovdio Filho

    No conhecemos muito sobre EDO no lineares de segunda ordem

    ,

    Mas dois casos particulares podem ser reduzidos a uma EDO de primeira

    ordem:

    CASO 1: EDO que no tem y na sua expresso:

    Faa a mudana de varivel v = y'. Ento a nova equao nas

    variveis v e x |:

    Que uma EDO de primeira ordem.

    Encontrando a funo v e usando a relao v = y', podemos integr-la

    para obtermos a funo y, ou seja

    Exemplo 1: Encontre a soluo do PVI:

    Soluo: Na EDO acima, no temos y na sua expresso.

    Fazendo a mudana de varivel v = y' temos que v = y. Substituindo na equao acima obtemos a EDO de primeira ordem

  • Esta uma EDO de primeira ordem linear. Sua soluo :

    Uma vez que v(1) = 1, obtemos . Conseqentemente, ns temos

    Uma vez que y' = v, obtemos

    E obtemos a seguinte equao

    A condio inicial y(1) = 2 d . Portanto, temos

    Note que esta soluo est definida para x > 0.

    CASO 1: EDO que no tem x na sua expresso:

    Faa a mudana de varivel v = y'. Uma vez que

    Ns temos

  • Esta novamente uma EDO de primeira ordem. Como antes, uma vez

    encontrado v ento ns podemos encontrar y por meio da relao

    Que uma EDO separvel.

    Exemplo 2: Encontre a soluo geral da EDO:

    Soluo: Uma vez que no temos na expresso da EDOa varivel x,

    faamos a mudana de varivel v = y'. Da,

    Esta uma EDO de primeiraordem separvel. Sua soluo :

    Uma vez que ns temos que y' = 0 ou

    Uma vez que a equao acima uma EDO de p riemira ordem

    separvel, ns temos que sua soluo ,

    ,

    onde C e so duas constantes. Todas as solues da nossa EDO

    original so

    _________________________________________________

  • EDO de segunda ordem lineares

    Ovdio Filho

    Uma EDO linear de segunda ordem escrita como

    Quando d(x) = 0, a equao chamada EDO Homognea, caso contrrio

    no homognea. Para a cada EDO no homognea

    ,

    Associamos a chamada a EDO homognea associada

    Para o estudo destas equaes ns consideremos o sistema

    onde p(x) = b(x)/a(x), q(x) = c(x)/a(x) e g(x) = d(x)/a(x). Se p(x), q(x) e g(x)

    so definidas e contnuas no intervalo I, ento o PVI

    ,

    Onde e so nmeros arbitrrios, tem uma nica soluo

    definida em I.

    Resultado principal: A soluo geral da EDO no homognea (NH) dada

    por

    ,

    onde

  • (i) yh a soluo geral da EDO homognea associada (H);

    (ii) yp uma soluo particular da EDO no homognea (NH).

    Concluindo, deduzimos que para resolver uma EDO no homognea

    (NH), seguimos os passos:

    Passo 1: encontre a soluo geral da EDO homognea associada (H),

    digamos yh ;

    Passo 2: encontre uma soluo particular da EDO no homognea

    (NH), digamos yp;

    Passo 3: Escreva a soluo geral da EDO no homognea (NH) como

    Princpio da sobreposio:

    Considere a EDO de segunda ordem homognea

    Ou, na forma padro

    Propriedade Bsica: Se so duas solues, ento

    tambm uma soluo para quaisquer constantes arbitrria .

    ________________________________________________

    EDO Lineares com coeficientes

    constantes

  • Ovdio Filho

    Uma EDO de segunda ordem com coeficientes constantes escrita como

    onde a, b e c so nmeros reais. A sua soluo geral encontrada seguindo os

    seguintes passos:

    Passo1: Escreva sua equao caracterstica associada

    Que uma equao do segundo grau, cujas solues so dadas por:

    Passo 2: Quando e so nmeros reais e diferentes o que ocorre

    quando , ento a soluo geral da EDO :

    Passo 3: Quando o que ocorre quando ento a

    soluo geral da EDO :

    Passo 4: Quando e so nmeros complexos o que ocorre

    quando , ento a soluo geral :

    onde

    ,

    Isto ,

  • Exemplo: Encontre a soluo geral do PVI:

    Soluo: Seguindo os passos descritos acima:

    Passo 1: Equao caracterstica associadas :

    Uma vez que , ns temos razes complexas

    . Portanto e ;

    Passo 2: A soluo geral :

    ;

    Passo 3: Para encontrarmos a soluo particular do PVI, usamos as condies

    iniciais para encontrarmos .

    Usando a primeira condio inicial, temos que

    .

    Derivando y em relao a x na equao do passo 2, obtemos:

    Usando a segunda condio inicial

    Destas duas equaes conclumos que

    ,

    O que fornece a soluo do PVI

  • _______________________-______________________

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