EDO de 2 ordem Linear slide 0

EDO de 2 ordem Linear

  • Published on
    04-Feb-2016

  • View
    21

  • Download
    0

DESCRIPTION

EDO de 2 ordem Linear. Matemtica para Economia III 2013.2. EDO de 2 ordem linear. Uma equao diferencial de segunda ordem tem a forma onde f alguma funo dada. A equao (1) dita linear se a funo f tem a forma Ou seja, onde p,q e g:( a,b)IR. (1). (2). - PowerPoint PPT Presentation

Transcript

  • EDO de 2 ordem LinearMatemtica para Economia III2013.2

  • EDO de 2 ordem linearUma equao diferencial de segunda ordem tem a forma

    onde f alguma funo dada. A equao (1) dita linear se a funo f tem a forma

    Ou seja,

    onde p,q e g:(a,b)IR.

    (1)(2)

  • EDO de 2 ordem linearUm P.V.I constituido por (2) e uma par de condies y(t0)=y0 e y(t0)=y0onde y0 e y0 so nmeros dados.

    Uma equao linear de segunda ordem dita homognea se a funo g(t) igual a zero para todo t.

  • EDO de 2 ordem linear homogneaEnto uma EDO 2 ordem linear homognea da forma:y+p(t)y+q(t)y=0 (3)Vamos estudar as solues de (3) com as funes p e q constantes.

    Exemplo 1: Resolva a equao y y = 0.Temos neste caso p = 0 e q = - 1.Isto significa procurar uma funo cuja derivada segunda igual a ela mesma.

  • EDO de 2 ordem linear homogneaFacilmente identificamos que y1(t) = e t e y2 (t) = e -t servem. Tambm servem c1 y1 (t) = c1 e t e c2 y2 (t) = c2 e -t E mais y = c1 y1 (t)+c2 y2 (t) = c1 e t + c2 e t, para c1 e c2 quaisquer.

  • EDO de 2 ordem linear homogneaTeorema: (Princpio da Superposio) Se y1 e y2 so solues da equao diferencial y + p(t) y + q(t) y = 0, ento a combinao linear c1y1(t) + c2y2(t)tambm soluo , quaisquer que sejam os valores das constantes c1 e c2 .

  • WronskianoVamos verificar as condies para que uma soluo da formac1y1(t) + c2y2(t)satisfaa o P.V.I.y(t0)=y0 e y(t0)=y0

    (quadro)

  • O Wronskiano e a independncia linear das soluesDefinio:Duas funes y1, y2:(a,b)IR so L. D. se existe uma constante k tal que y2(t)=k y1(t).Duas funes y1, y2:(a,b)IR so L. I. se a condioc1y1(t) + c2y2(t)=0implicar que c1=c2=0.

    Teorema: Se y1 e y2 so solues da equao diferencial y + p(t) y + q(t) y = 0num intervalo (a,b) e se W[y1,y2](t0)0 num ponto do intervalo ento y1 e y2 so L. I. sobre (a,b). De outra forma, se y1 e y2 forem L. D. sobre (a,b) ento W[y1,y2](t)=0 para todo t em (a,b).

  • EDO de 2 ordem linear homogneaPode-se concluir que o espao das solues das EDOs de 2 ordem lineares homogneas tem dimenso....

  • EDO de 2 ordem linear homognea com coeficientes constantesVamos reescrever (3) da seguinte forma:y+p y+q y=0 (3)

    Candidato a soluo: y(t)=et. Vamos testar!Substituindo em (3) obtemos2 et+p et+q et=0 et (2+p +q)=0Derivada de 2 ordemDerivada de 1 ordemDerivada de ordem zero (a prpria funo)

  • EDO de 2 ordem linear homognea com coeficientes constantesPara que y(t)=et seja soluo devemos2+p +q=0 (4)que conhecida como equao caracterstica auxiliar da EDO (3). Como (4) uma equao do 2 grau temos trs possibilidades para suas razes

  • EDO de 2 ordem linear homognea com coeficientes constantesCaso 1: (p2-4q>0) Duas razes reais distintas: 1 e 2.Candidatos a soluo:

    Calculando o Wronskiano dessas solues temos que:

    Portanto as solues y1 e y2 dadas so L.I. e neste caso a soluo geral da forma

    Exemplo: Encontre a soluo geral da equao ordinria y 5y +6 y = 0.