EDO Curso de Fisica

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    10-Apr-2016

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Livro utilizado no curso de Fsica para estudo de Equaes Diferenciais

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  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE SANTA MARIA

    CENTRO DE CINCIAS NATURAIS E EXATAS

    CURSO DE GRADUAO EM

    FSICA

    EQUAES DIFERENCIAIS LINEARES3 semestre

  • Presidente da Repblica Federativa do Brasil Luiz Incio Lula da Silva

    Ministrio da EducaoFernando HaddadMaria Paula Dallari BucciCarlos Eduardo BielschowskyClaudia Pereira Dutra

    Universidade Federal de Santa MariaClvis Silva LimaFelipe Martins MullerJoo Manoel Espina RosssAndr Luis Kieling RiesJos Francisco Silva DiasJoo Rodolfo Amaral FloresJorge Luiz da Cunha Charles Jacques PradeHelio Lees HeyJoo Pillar Pacheco de CamposFernando Bordin da Rocha

    Coordenao de Educao a DistnciaCleuza Maria Maximino Carvalho AlonsoRoseclea Duarte MedinaRoberto CassolJos Orion Martins Ribeiro

    Centro de Cincias Naturais e ExatasMartha Bohrer AdaimeJoo Carlos Denardin

    Elaborao do ContedoPedro Fusieger

    Ministro do Estado da Educao

    Secretria da Educao Superior

    Secretrio da Educao a Distncia

    Secretria de Educao Especial

    Reitor

    Vice-Reitor

    Chefe de Gabinete do Reitor

    Pr-Reitor de Administrao

    Pr-Reitor de Assuntos Estudantis

    Pr-Reitor de Extenso

    Pr-Reitor de Graduao

    Pr-Reitor de Planejamento

    Pr-Reitor de Ps-Graduao e Pesquisa

    Pr-Reitor de Recursos Humanos

    Diretor do CPD

    Coordenadora de EaD

    Vice-Coordenadora de EaD

    Coordenador de Plos

    Gesto Financeira

    Diretor do Centro de Cincias Naturais e Exatas

    Coordenador do Curso de Fsica

    Professor pesquisador/conteudista

  • Equipe Multidisciplinar de Pesquisa eDesenvolvimento em Tecnologias da Informao e Comunicao Aplicadas Educao - ETICCarlos Gustavo Matins Hoelzel Cleuza Maria Maximino Carvalho AlonsoRosiclei Aparecida Cavichioli LaudermannSilvia Helena Lovato do Nascimento Volnei Antnio MattRonaldo GlufkeAndr Krusser DalmazzoEdgardo Gustavo Fernndez

    Marcos Vincius Bittencourt de SouzaLigia Motta ReisDiana Cervo CassolEvandro Bertol

    ETIC - Bolsistas e Colaboradores

    Elias BortolottoFabrcio Viero de AraujoGilse A. Morgental FalkembachLeila Maria Arajo Santos

    Andrea Ad ReginattoMasa Augusta BorinMarta AzzolinRejane Arce VargasSamariene PilonSilvia Helena Lovato do Nascimento

    Cau Ferreira da SilvaEvandro BertolJlia Rodrigues FabrcioMariana Rotilli dos SantosNatlia de Souza Brondani

    Criscia Raddatz BolzanGabriel BarbieriLeonardo Moreira FabrinLuiza Kessler GamaNaieni FerrazVictor Schmitt Raymundo

    Adlson Heckndrei ComponogaraBruno Augusti Mozzaquatro

    Coordenador da Equipe Multidisciplinar

    Desenvolvimento da Plataforma

    Gesto Administrativa

    Gesto do Design

    Designer

    Orientao Pedaggica

    Reviso de Portugus

    Ilustrao

    Diagramao

    Suporte Tcnico

  • sumrioTpico 1 Introduo a equaes diferenciais ..................................................................... 8

    Objetivos do tpico ................................................................................................................... 8Pr-requisitos ............................................................................................................................. 8Variveis independentes e variveis dependentes ......................................................... 9Ordem das derivadas ................................................................................................................ 9Objetivo do curso ................................................................................................................... 10O que uma equao diferencial? .................................................................................... 10Algumas equaes diferenciais que aparecem na fsica............................................. 11Classificar as equaes diferenciais ................................................................................. 12Linearidade .............................................................................................................................. 13Soluo de uma equao diferencial ................................................................................ 15

    Tpico 2 Existncia e unicidade de solues .................................................................. 17Objetivos ................................................................................................................................... 17Introduo ................................................................................................................................. 17Problema de valor inicial ...................................................................................................... 17Existncia e unicidade de solues para o problema de valor inicial .................... 20O teorema de existncia e unicidade ............................................................................... 20A importncia do teorema .................................................................................................... 21

    Tpico 3 Variveis separveis ............................................................................................... 22Objetivo ..................................................................................................................................... 22Introduo ................................................................................................................................. 22Variveis separveis .............................................................................................................. 22Deduo da tcnica ................................................................................................................ 23Pr-requisitos da tcnica ...................................................................................................... 24

    Tpico 4 Equaes homogneas .......................................................................................... 27Objetivos ................................................................................................................................... 27Equaes homogneas ......................................................................................................... 27Mtodo de soluo ................................................................................................................. 28Deduo da tcnica ................................................................................................................ 30

    Tpico 5 Equaes exatas ...................................................................................................... 33Objetivos ................................................................................................................................... 33Equaes exatas ...................................................................................................................... 33Mtodo de soluo ................................................................................................................. 34

    Tpico 6 Equaes lineares de primeira ordem .............................................................. 38Objetivo ..................................................................................................................................... 38Equaes lineares de primeira ordem .............................................................................. 38Exemplos de equaes diferenciais lineares: ................................................................ 38Mtodo de soluo (chamado de fator integrante) ...................................................... 39

    Tpico 7 Equaes de Bernoulli ........................................................................................... 44Objetivos ................................................................................................................................... 44Equaes de Bernoulli ........................................................................................................... 44Exemplos de Equaes de Bernoulli ................................................................................. 44Mtodo de soluo ................................................................................................................ 44

    Tpico 8 Equaes de Ricatti ................................................................................................ 47Objetivos ................................................................................................................................... 47Equaes de Ricatti ................................................................................................................ 47Exemplos de Equaes de Ricatti: ..................................................................................... 47Mtodo de soluo ................................................................................................................ 47

    Tpico 9 Equaes de Clairaut ............................................................................................. 51Objetivos ................................................................................................................................... 51Equaes de Clairaut ............................................................................................................. 51Exemplos de Equaes de Clairaut .................................................................................... 51Mtodo de soluo ................................................................................................................. 51

    Tpico 10 Mtodo de Picard ................................................................................................ 53Objetivo ..................................................................................................................................... 53Mtodo de Picard .................................................................................................................... 53Objetivo do mtodo ............................................................................................................... 53Ideia da prova do mtodo ................................................................................................. 53Aplicao do mtodo ............................................................................................................. 54

    Tpico 11 Algumas aplicaes de equaes diferenciais de primeira ordem ...... 56

  • Objetivo ..................................................................................................................................... 56Trajetrias ortogonais ............................................................................................................ 56Aplicao de equaes lineares crescimento e decrescimento ............................ 57Aplicaes de equaes no-lineares .............................................................................. 60

    Tpico 12 Problema de valor inicial para equaes diferenciais lineares de segunda ordem ........................................................... 61

    Objetivos ................................................................................................................................... 61Problema de valor inicial para equaes lineares de segunda ordem ................... 61Existncia e unicidade das solues para o problema de valor inicial .................. 61Problema de valor inicial para equaes lineares de terceira ordem..................... 62Problema de valor inicial para equaes lineares de ordem superior ................... 63Problema de valor de contorno .......................................................................................... 65Existncia e unicidade falham para o problema de valor de contorno .................. 65

    Tpico 13 Dependncia e independncia linear de funes ...................................... 67Objetivos ................................................................................................................................... 67Aplicaes ................................................................................................................................. 67Dependncia linear ................................................................................................................ 67Independncia linear ............................................................................................................. 67Critrio para independncia linear - Wronskiano ........................................................ 68

    Tpico 14 Soluo geral para equaes diferenciais lineares ................................... 70Objetivos ................................................................................................................................... 70Aplicaes ................................................................................................................................. 70Equaes lineares homogneas de segunda ordem ..................................................... 70Princpio da superposio .................................................................................................... 70Solues linearmente independentes .............................................................................. 71Soluo geral de uma equao diferencial linear ......................................................... 72Solues para equaes diferenciais lineares de ordem superior .......................... 73

    Tpico 15 Soluo geral para equaes lineares no homogneas ......................... 75Introduo ................................................................................................................................. 75Objetivo ..................................................................................................................................... 75Soluo particular ................................................................................................................... 75Soluo geral ............................................................................................................................ 76Solues gerais para equaes diferenciais lineares no homogneas de ordem superior .................... 78

    Tpico 16 Determinando uma segunda soluo ............................................................. 79Introduo ................................................................................................................................. 79Objetivo ..................................................................................................................................... 79Variao de parmetro .......................................................................................................... 79Frmula geral ........................................................................................................................... 81

    Tpico 17 Equaes lineares homogneas com coeficientes constantes ............... 84Introduo ................................................................................................................................. 84Objetivos ................................................................................................................................... 84Equao caracterstica para equao diferencial de ordem 2 .................................. 84A equao caracterstica possui razes reais distintas ................................................ 86A equao caracterstica possui razes reais iguais...................................................... 86A equao caracterstica possui razes complexas ...................................................... 87Equaes lineares com coeficientes constantes de ordem trs. .............................. 89Equaes lineares com coeficientes constantes de ordem quatro .......................... 89Equaes lineares com coeficientes constantes de ordem superior ...................... 90

    Tpico 18 Solues particulares para equaes lineares com coeficientes constantes para alguns casos especficos .......................................................................... 91

    Objetivo ..................................................................................................................................... 91Consideraes sobre o mtodo .......................................................................................... 91Mtodo de soluo ................................................................................................................. 92

    Tpico 19 Solues particulares para equaes lineares com coeficientes constantes da abordagem por anuladores ........................................................................... 94

    Objetivo ..................................................................................................................................... 94Observaes sobre o mtodo .............................................................................................. 94Anuladores ................................................................................................................................ 94Descrio do mtodo passo a passo ................................................................................. 95

    Tpico 20 Solues particulares por variao de parmetros .................................... 99

  • Objetivo ..................................................................................................................................... 99Descrio do mtodo ............................................................................................................. 99Variao de parmetros passo a passo .......................................................................... 100Variao de parmetros para equaes lineares de ordem superior ................... 102

    Tpico 21 Aplicaes das equaes lineares de segunda ordem com coeficientes constantes ........................ 103

    Objetivo .................................................................................................................................. 103Corpo em queda livre ......................................................................................................... 103Sistema massa-mola ............................................................................................................ 104Pndulo simples ................................................................................................................... 104Corda giratria ...................................................................................................................... 105Circuitos em srie ................................................................................................................ 105

    Tpico 22 equao de Cauchy-Euler ............................................................................... 107Introduo ............................................................................................................................. 107Objetivo .................................................................................................................................. 107Equao de Cauchy-Euler .................................................................................................. 107Equao de Cauchy-Euler de ordem 2, caso homogneo ....................................... 107Equao de Cauchy-Euler de ordem 2, caso no homogneo ................................ 109Sobre equaes diferencias de cauchy-euler cuja ordem maior do que 2 ..... 111

    Tpico 23 Introduo a sries de potncias ................................................................. 113Introduo ............................................................................................................................. 113Objetivos ................................................................................................................................ 113Sries de potncias ........................................................................................................ 113Convergncia ......................................................................................................................... 114Intervalo de convergncia ................................................................................................ 114Raio de convergncia .......................................................................................................... 115Convergncia absoluta ....................................................................................................... 115Como calcular o raio de convergncia ........................................................................... 115Integrao termo a termo .................................................................................................. 116Funes analticas ............................................................................................................... 117Singularidades ...................................................................................................................... 117

    Tpico 24 Solues de equaes diferenciais usando srie de potncias .......... 118Objetivo .................................................................................................................................. 118

    Tpico 25 Solues de equaes diferenciais usando srie de potncias. Pontos ordinrios e singulares de uma equao diferencial. ...................................... 121

    Objetivo .................................................................................................................................. 121Ponto ordinrio .................................................................................................................... 121Mtodo de soluo para pontos ordinrios ................................................................ 122Mtodo de soluo para pontos no ordinrios. ...................................................... 122Mtodo de soluo equao indicial .......................................................................... 123Razes da equao indicial que no diferem por um inteiro positivo ................. 124Razes que diferem por um inteiro ................................................................................. 124Razes iguais ......................................................................................................................... 124

    Tpico 26 Equaes de Bessel ........................................................................................... 125Objetivo .................................................................................................................................. 125Equao de Bessel ............................................................................................................... 125Mtodo de soluo por sries .......................................................................................... 125

    Tpico 27 Equaes de Legendre ..................................................................................... 129Objetivo .................................................................................................................................. 129Equaes de Legendre........................................................................................................ 129Mtodo de soluo .............................................................................................................. 129Polinmios de Legendre .................................................................................................... 132

    Tpico 28 Transformada de Laplace ................................................................................ 133Introduo .............................................................................................................................. 133Objetivo .................................................................................................................................. 133Transformada de Laplace ................................................................................................... 133Transformada inversa de Laplace .................................................................................... 133Algumas propriedades da transformada de Laplace ................................................. 134Crescimento exponencial ................................................................................................ 134Relao entre a transformada e as equaes diferenciais ...................................... 136Quando podemos calcular a transformada de Laplace? .......................................... 137

  • Propriedades da transformada inversa .......................................................................... 138Tpico 29 Transformada de funes descontnuas ................................................... 139

    Objetivo .................................................................................................................................. 139Translao de uma transformada de Laplace primeiro teorema de translao ...................................................................................... 139Forma inversa do primeiro teorema de translao .................................................... 139Transformada de laplace de funes descontnuas ................................................... 139Funo de grau unitrio ..................................................................................................... 140Segundo teorema de translao ...................................................................................... 141A derivada de transformadas............................................................................................ 142

    Tpico 30 Convoluo .......................................................................................................... 143Objetivo .................................................................................................................................. 143Convoluo ............................................................................................................................ 143Algumas propriedades da convoluo ........................................................................... 143Convoluo de funes peridicas................................................................................. 145

    Tpico 31 Resolver equaes usando transformada de Laplace ............................ 146Objetivo .................................................................................................................................. 146

    Tpico 32 Funo delta de Dirac (ou distribuio Delta de Dirac) ......................... 148Objetivo .................................................................................................................................. 148Funo pulso unitrio ......................................................................................................... 148Delta de Dirac ....................................................................................................................... 148Transformada de Laplace da funo Delta de Dirac .................................................. 148

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    8

    tpico 1 introduo a equaes diferenciais

    Objetivos do tpicoPr-requisitosVariveis independentes e variveis dependentesOrdem das derivadasObjetivo do cursoO que uma equao diferencial?Algumas equaes diferenciais que aparecem na fsicaClassificarasequaesdiferenciaisQuanto ao nmero de variveis independentes Quanto ordem da derivada de maior ordemLinearidadeSoluo de uma equao diferencialBibliografia

    objetivos do tpicoReconhecereclassificarumaequaodiferencial.Verificarposs-veis solues.

    pr-requisitos No clculo, aprendemos o que a derivada de uma funo. Apren-demos tambm a derivar algumas funes. Veja a tabelinha:

    332 ++= xxy 32' += xy

    xy cos= senxy ='

    senxy = xy cos'=xey = xey ='

    lny x=x

    y 1'=

    nxy = 1' ny nx =

    tgxy = xy 2sec'=

    arcsenxy = 211'x

    y=

    xy arccos= 211'

    xy

    =

    ))(ln( xfy = )()(''

    xfxfy =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    9

    Aprendemos que se )(xfy = ento a derivada

    ' '( )dyy f xdx

    = =

    tambm uma funo de x .

    Para o nosso curso, vamos partir do princpio que todos j estuda-ram os conceitos de derivada e de integral.

    variveis independentes e variveis dependentesAo escrevermos )(xfy = estamos subentendendo que y uma funo de x , x uma varivel independente e y uma varivel dependente. Isto , y depende de x . As letras x e y podem ser tro-cadas para outras letras. Podemos escrever )(tfd = e, nesse caso, t uma varivel independente e d uma varivel dependente.

    Uma funo a uma nica varivel uma funo do tipo acima com apenas uma varivel independente.

    Ao escrevermos ),( yxfz = , estamos subentendendo que z uma funo de yx, . As variveis yx, so variveis independen-tes e z uma varivel dependente. Isto , )(xf depende de ., yx

    Uma funo a duas variveis uma funo do tipo acima com duas variveis independentes.

    Uma funo a vrias variveis uma funo com vrias vari-veis independentes.

    ordem das derivadasRelembramos tambm que a derivada de primeira ordem de

    '( )dy f xdx

    =

    Em outras palavras,

    dydx

    a derivada da varivel dependente y

    em relao varivel independente x .

    Como )(' xf uma funo de x , podemos derivar novamente e obtemos a derivada de segunda ordem de )(xf ou a derivada se-gunda de )(xf . Obtemos

    2

    2

    '( ) ''( )df x d dy d y f xdx dx dx dx

    = = =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    10

    A derivada de segunda ordem tambm uma funo de x , deri-vando novamente obtemos a derivada de ordem trs ou de terceira ordem e assim sucessivamente.

    Para funes de trs variveis ),,( zyxfd = , temos as derivadas parciais de primeira ordem

    xd

    ,yd

    e zd

    .

    As derivadas parciais de primeira ordem so funes de trs vari-veis. Podemos derivar novamente e obter as derivadas parciais de segunda ordem

    2

    2

    yd

    , yx

    d

    2, 2

    2

    yd

    e xy

    d

    2.

    e assim sucessivamente.

    objetivo do cursoNo clculo, para cada funo )(xfy = , nosso problema era en-

    contrar a derivada '( )dy f xdx

    = .

    Neste curso, o nosso problema no encontrar derivadas. Nosso problema resolver equaes que envolvem derivadas.

    exemplo1 : encontre uma funo )(xfy = tal que0' =yy .

    exemplo2: encontre uma funo )(tfy = que satisfaa a equao

    3''' (cos ) 'y t y ty sent + =

    exemplo3 : qual a funo )(xfy = que satisfaz

    2'''' 3 ( ') 2 1y x y xy x + = +

    o que uma equao diferencial?Uma equao diferencial uma equao que contm as derivadas de uma ou mais variveis dependentes em relao a uma ou mais variveis independentes.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    11

    Alguns exemplos de equaes diferenciais:

    1. 0' =yy

    2. 3''' (cos ) 'y t y ty sent + =

    3. 2'''' 3 ( ') 2 1y x y xy x + = +

    4. yxxd

    yd +=

    +

    2

    2

    2

    2

    5. xd

    xd

    yd

    =

    +

    2

    2

    2

    2

    6. '''''''' '' wvwvy ++=

    7. xu

    yxw

    yd

    =

    +

    2

    2

    2

    Nos exemplos (1), (2), (3) e (6), temos equaes diferenciais que envolvem uma nica varivel independente.

    No exemplo 6, temos mais de uma varivel dependente wvy ,, e uma nica varivel dependente que no aparece na equao.

    Nos exemplos (4) e (5), temos uma nica varivel dependente d e duas variveis independentes x e y .

    No exemplo (7), temos uma equao diferencial com trs vari-veis dependentes uwd ,, e duas variveis independentes x e y .

    Para no haver confuso, vamos usar a linha como em 'y se a equao diferencial contiver a derivada de uma ou mais variveis dependentes mas somente uma nica varivel independente.

    algumas equaes diferenciais que aparecem na fsica

    Corpo em queda livre 2

    2

    d s gdt

    =

    Sistema Massa-Mola 2

    2

    d xm kxdt

    =

    Pndulo simples 2

    2 0d g sendt lq

    q+ =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    12

    Corda Giratria 2[ ( ) ] 0d dyT x p ydx dx

    w+ =

    Circuitos em srie 2

    2

    1 ( )d q dqR q E tdt dt C

    + + =

    Lei de Esfriamento de Newton ( )mdT k T Tdt

    =

    Cabo Suspenso 2

    22

    1

    1 ( )d y w dydx T dx

    = +

    classificar as equaes diferenciaisNeste curso, vamos aprender algumas tcnicas para resolver uma equao diferencial. Cada tcnica aplicvel para algum grupo de equaes diferenciais. Antes de estudarmos as tcnicas, pre-cisamosagruparouclassificartaisequaes.Vamosclassificarasequaes diferenciais considerando:

    o nmero de variveis independentes;a ordem de derivada de maior ordem contida na equao;linearidade.

    Quanto ao nmero de variveis independentes

    Equaes Diferenciais Ordinrias so equaes diferenciais que envolvem uma ou mais variveis dependentes e apenas uma vari-vel independente.

    Equaes Diferenciais Parciais so equaes diferenciais que en-volvem uma ou mais variveis dependentes e duas ou mais vari-veis independentes.

    exemplos:

    1. 0' =yy uma equao diferencial ordinria.

    2. 3''' (cos ) 'y t y ty sent + = uma equao diferencial ordinria.

    3. 12)'(3''' 2 +=+ xxyyxy uma equao diferencial ordinria.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    13

    4. yxxd

    yd +=

    +

    2

    2

    2

    2

    uma equao diferencial parcial.

    5. xd

    xd

    yd

    =

    +

    2

    2

    2

    2

    uma equao diferencial parcial.

    6. '''''''' '' wvwvy ++= uma equao diferencial ordinria.

    7. xu

    yxw

    yd

    =

    +

    2

    2

    2

    uma equao diferencial parcial.

    Neste curso, vamos estudar apenas as Equaes Diferencias Ordi-nrias.

    Quanto ordem da derivada de maior ordemA ordem da derivada de maior ordem a ordem da equao dife-rencial. As equaes diferenciais podem ser de primeira ordem, de segunda ordem, de terceira ordem e assim por diante.

    exemplos:

    1. 0' =yy equao diferencial de ordem UM ou equao dife-rencial de primeira ordem.

    2. 3''' (cos ) 'y t y ty sent + = equao diferencial de terceira ordem.

    3. 2'''' 3 ( ') 2 1y x y xy x + = + equao diferencial de terceira ordem.

    4. yxxd

    yd +=

    +

    2

    2

    2

    2

    equao diferencial de segunda ordem.

    5. xd

    xd

    yd

    =

    +

    2

    2

    2

    2

    equao diferencial de segunda ordem

    6. '''''''' '' wvwvy ++= equao diferencial de terceira ordem.

    7. xu

    yxw

    yd

    =

    +

    2

    2

    2

    equao diferencial de segunda ordem.

    linearidade A derivada pode ser vista como um operador 'Dy y= . Como a deri-vada da soma a soma das derivadas ( ) ' ' "y z y z+ = + e ( ) ' 'cy cy= ,

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    14

    temos que D linear em y . Da mesma forma, a derivada segunda

    2 ( ) ' ''D y D Dy Dy y= = = linear em y e assim sucessivamente )(nn yyD = . A derivada de ordem n de y linear em y .

    Observe que yyyyDD ++=++ '2'')12( 2 tambm linear em y .

    Note, tambm, que 2( ')Ty y= no linear em y .

    O operador

    1 2

    1 2 1 01 2

    1 21 2 1 0

    ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )

    n n

    n nn n

    n nn n

    d y d y d y dyF y a x a x a x a x a x ydx dx dx dx

    a x D a x D a x D a x D a x y

    = + + + + +

    = + + + + +

    linear em y . As funes )(),(),(,..,),(),( 0121 xaxaxaxaxa nn so chamadas decoeficientesdasderivadas.

    Numa equao diferencial linear anicapotnciapermitidaparaavariveldependenteesuasderivadas1.oscoeficientesdavariveldependenteesuasderivadasspodemserfunesdasvariveisindependentes.

    exemplos :1. 0' =yy linear pois tanto y como 'y aparecem sem potn-cias.

    2. 3''' (cos ) 'y t y ty sent + = no linear pois y aparece elevado ao cubo.

    3. 2'''' 3 ( ') 2 1y x y xy x + = + no linear pois 'y aparece eleva-do ao quadrado.

    4. yxxd

    yd +=

    +

    2

    2

    2

    2

    linear pois as derivadas parciais apare-cem sem potncias.

    5. 0'''' =+ yyy no linear pois aparece o produto yy' e neste casoocoeficientede y uma funo de 'y .

    6. 32 ' xyyx =+ linear pois y como 'y aparecem sem potncias eocoeficientede 'y uma funo apenas de x .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    15

    Numa equao diferencial linear no pode conter

    (y), yy, yy,yy,y, y, (y).No pode conter qualquer produto das variveis dependentes e suas derivadas. Tambm no so lineares as equaes diferenciais que contm

    ),...'tan(),'(),'cos(),...tan(),(),cos(

    yysenyyyseny

    Uma equao diferencial linear se pudermos escrev-la na forma

    )(),...,'',',( xgyyyyF n =

    onde F uma funo linear em relao s entradas nyyyy ,...,'',', .

    No caso de equaes diferenciais parciais

    ),()...,,,,,,,( 2222

    2

    2

    yxgy

    zy

    zxyz

    yxz

    xz

    yz

    xzzF n

    n

    =

    ,

    linear se F for uma funo linear nas entradas

    n

    n

    yz

    yz

    xyz

    yxz

    xz

    yz

    xzz

    ...,,,,,,, 2

    222

    2

    2

    soluo de uma equao diferencialVoltamos aos exemplos:

    exemplo1 : encontre uma funo )(xfy = tal que0' =yy .

    exemplo2: encontre uma funo )(tfy = que satisfaa a equao3''' (cos ) 'y t y ty sent + =

    exemplo3 : qual a funo )(xfy = que satisfaz2'''' 3 ( ') 2 1y x y xy x + = +

    ou aindaexemplo4 : qual a funo )(xfy = que satisfaz

    )(),...,'',',( xgyyyyF n =

    No caso de equaes diferencias parciais

    exemplo5 : qual a funo ),( yxfz = que satisfaz

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    16

    ),()...,,,,,,,( 2222

    2

    2

    yxgy

    zy

    zxyz

    yxz

    xz

    yz

    xzzF n

    n

    =

    A funo procurada chamada de soluo da equao diferencial.

    exemplo1 : xey = soluo da equao diferencial 0' =yy .

    Para ver isso, calculamos 'y e substitumos xey = e xey =' na equao e obtemos

    0= xx ee .

    exemplo2 : xy cos= soluo da equao diferencial 0'' =+ yy .

    Soluo: calculamos xysenxyxy cos'',',cos ===substitumos na equao

    0'' =+ yyobtendo

    .0coscos =+ xx

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    17

    tpico 2 existncia e unicidade de solues

    Objetivos do tpicoIntroduoProblema de valor inicialExistncia e unicidade de solues para o problema de valor inicialO teorema de existncia e unicidadeA importncia do teoremaBibliografiaObjetivos do tpico

    objetivosResolver problemas de valor inicial, conhecendo as solues da equao. Entender o que so solues do problema de valor ini-cial.EntenderosignificadodaExistnciaedaUnicidade.

    introduoEstamos interessados em resolver Equaes Diferenciais de pri-meira ordem que podem ser escritas na forma

    ( , )dy f x ydx

    =

    exemplos :

    1. 2 2dy x ydx

    = +

    2. 2 1dy xdx

    = +

    3. 2 2( )dy sen x ydx

    = +

    problema de valor inicialObserve a equao diferencial

    32' += xy

    Sabemos que

    332 ++= xxy

    uma soluo desta equao diferencial. Observe que

    332 ++= xxy +C

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    18

    onde C uma constante, tambm uma soluo da equao.

    O mesmo para os demais casos. Observe a tabela:

    senxy =' xy cos= +c

    xy cos'= senxy = +cxey =' xey = +c

    xy 1'= xy ln= +c

    1' ny nx = nxy = +cxy 2sec'= tgxy = +c

    211'x

    y= arcsenxy = +c

    211'

    xy

    = xy arccos= +c

    )()(''

    xfxfy = ))(ln( xfy = +c

    A constante C que aparece na tabela chamada constante de inte-grao. Se soubermos o valor da funo em pelo menos um ponto, saberemos qual a constante que vamos usar. Observe

    ' 2 3(0) 60

    y xy= +=

    Neste caso, para cada C, 332 ++= xxy +C soluo de32' += xy . Vemos que

    2

    (0) 60(0) 0 3 0 3 60

    60 3 57

    yy CC

    == + + + =

    = =e, portanto,

    2 3 3 57y x x= + + + =2 3 60x x+ +

    soluo do problema

    ' 2 3(0) 60

    y xy= +=

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    19

    Problemas como este so chamados de problemas com valor inicial.

    exemplos:

    1. Resolva o problema de valor inicial

    2 1

    (0) 3

    dy xdxy

    = +

    =

    Soluo: 3

    2( 1)3xy x dx x C= + = + +

    3030)0(

    3

    =++= Cy

    portanto, 33

    3

    ++= xxy uma soluo procurada.

    2. Resolva o problema de valor inicial

    4 22 3

    (1) 20

    dy x x xdxy

    = + +

    =

    Soluo:

    5 3 24 2

    5 3 2

    2 3( 2 3 )5 3 2

    1 2 1 3 1 1 2 3 6 20 45 71(1)5 3 2 5 3 2 30 30

    x x xy x x x dx C

    y C C C C

    = + + = + + +

    + += + + + = + + + = + = +

    donde 71 600 71 5292030 30 30

    C = = = e uma soluo procurada

    5 3 22 3 5295 3 2 30x x xy = + + +

    3. Resolva o problema de valor inicial

    cos

    ( ) 0

    dy xdxy p

    =

    =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    20

    Soluo: cos

    ( )

    y xdx senx C

    y sen C Cp p

    = = +

    = + =

    donde 0=C e senxy = uma soluo procurada.

    existncia e unicidade de solues para o problema de valor inicialQuando consideramos um problema de valor inicial

    00 )(),('

    yxyyxfy

    ==

    ns nos perguntamos:

    semprevaiexistirumasoluo?1.

    quantassoluespodemoster?umanica?2.

    nosexemplosacima,podemosteroutrassoluesalm3. dessasencontradas?

    o teorema de existncia e unicidade

    Se ),( yxf e yf

    so contnuas em ),( 00 yx ento existe uma nica soluo )(xy definida numa vizinhana de 0x tal que

    00 )( yxy = .

    Exemplo de um problema de valor inicial com mais de uma soluo:

    Se yxyxf =),( , ento y

    xyf

    2=

    noestdefinidaem

    )0,0( e muito menos contnua neste ponto. Podemos ver que o problema de valor inicial

    0)0('

    ==

    yyxy

    possui as solues 0=y e 4

    16xy = . Neste caso, no temos unici-

    dade para o problema de valor inicial.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    21

    Note, ainda, que, se mudarmos o valor inicial no problema acima, por exemplo,

    1)0('

    ==

    yyxy

    o teorema garante a unicidade da soluo 22 )141( += xy para

    este problema.

    Em muitos casos, saberemos, via o teorema de existncia e unici-dade, a existncia e unicidade da soluo e conhecemos nenhuma tcnica que nos permite exibir a soluo.

    a importncia do teorema1. No exemplo (1) acima temos

    2 1

    (0) 3

    dy xdxy

    = +

    =

    donde 1),( 2 += xyxf , 0=yf

    . Portanto f eyf

    so contnuas

    em todos os pontos do plano. O teorema nos diz que a soluo encontrada nica.

    2. O mesmo acontece no exemplo (2)

    4 22 3

    (1) 20

    dy x x xdxy

    = + +

    =

    Temos xxxyxf 32),( 24 ++= que tambm no depende de y

    e donde 0=yf

    . Portanto f e yf

    so contnuas em todos os

    pontos do plano. O teorema nos diz que a soluo encontrada tam-bm nica.

    3. No exemplo (3), xyxf cos),( = , como nos exemplos anterio-res, podemos concluir que a soluo encontrada nica.

    bibliografiaDennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I.

    Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    22

    tpico 3 variveis separveis

    ObjetivoIntroduoVariveis separveisDeduo da tcnicaPr-requisitos da tcnicaExemplosBibliografia

    objetivoResolver equaes diferenciais de primeira ordem pelo mtodo chamado de variveis separveis.

    introduoNeste tpico comearemos a apresentar as tcnicas de resoluo de equaes diferenciais.

    variveis separveis Comearemos com a tcnica mais simples chamada variveis se-parveis. Esta tcnica se aplica a grupo de equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem que podem ser reescritas na forma

    ( ) ( )dyg y h xdx

    =

    ou na forma diferencial ( ) ( )g y dy h x dx=

    Este tipo de equaes chamado de equao separvel ou tem variveis separveis. As equaes diferenciais mais simples de variveis separveis so as do tipo

    ( )dy h xdx

    =

    onde 1)( =yg .

    Neste caso as solues, para este tipo de equao, so, simples-mente,

    ( )y h x dx= .Quando integramos, no podemos esquecer a constante de inte-grao. Relembramos que resolver um problema de valor inicial determinar um valor para esta constante.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    23

    Veja outros exemplos de equaes separveis na tabela abaixo.

    dy xydx

    = 1 dy xy dx

    = 1 dy xdxy

    =

    dy ydx

    = 1 1dyy dx

    = 1 dy dxy

    =

    2( 1)cosdy x ydx

    = + 21 1cos

    dy xy dx

    = + 21 ( 1)cos

    dy x dxy

    = +

    2 33 5x ydy x edx y

    +=2

    23

    5x

    y

    y dy xedxe

    =2

    23

    5x

    y

    y dy xe dxe

    =

    2 2 2 21dy x y x ydx

    = + + + 221 1

    1dy x

    y dx= +

    +2

    2

    1 (1 )1

    dy x dxy

    = ++

    deduo da tcnica

    Note que, se )(xfy = ento '( )dy f x

    dx=

    A equao diferencial

    ( ) ( )dyg y h xdx

    =

    pode ser reescrita na forma )()('))(( xhxfxfg =

    A equao )()('))(( xhxfxfg = uma igualdade que s depen-de de x . Podemos integrar em relao a x ambos os lados da igualdade ( ( )) '( ) ( )g f x f x dx h x dx= Fazendo )(xfy = obtemos '( )dy f x dx= . Substituindo na inte-gral, obtemos

    ( ) ( )g y dy h x dx=

    Portanto, podemos integrar em relao a y o lado da igualdade que depende de y e integramos em relao a x o lado da igualda-de que depende de x .

    )

    )

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    24

    Observe a tabela:

    1 dy xdxy

    =

    1 dy dxy

    =

    21 ( 1)cos

    dy x dxy

    = +

    2

    23

    5x

    y

    y dy xe dxe

    =

    22

    1 (1 )1

    dy x dxy

    = ++

    pr-requisitos da tcnicaComo podem ver, resolver equaes com o mtodo variveis sepa-rveis consiste em resolver integrais. Uma boa reviso nas tcni-cas de integrao pode facilitar a resoluo de equaes com este mtodo. Uma tabela de integrais tambm pode ser utilizada para a resoluo dos exerccios.

    Exemplos:

    exemplo1 : resolva dy xydx

    = .

    Soluo: como vimos, na tabela acima, uma equao separvel, pois pode ser reescrita na forma

    1 dy xdxy

    =

    portanto,

    1 dy xdxy

    = .

    Logo, resolvendo as integrais de ambos os lados, obtemos

    21ln | |2

    y x C= + .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    25

    Usando uma propriedade dos logaritmos, ( bacb ca ==log ), e

    sabendo que ln | | log | |ey y= obtemos,22

    21

    21

    ||xCCx eeey ==

    +.

    Usando a propriedade do mdulo ( yy =|| se 0y e yy =|| se 0y )

    Temos 2

    21 xC eey = ou

    2

    21 xC eey = .

    Mas, como C uma constante Ce tambm constante. Podemos juntar as duas solues numa s, pondo, CeC =1 . Obtemos as-sim a soluo geral

    2

    21

    1

    xeCy = .

    exemplo2 : resolva (1 )x dy ydx+ = .

    Soluo: uma equao separvel, pois pode ser reescrita na forma

    1 11

    dy dxy x

    =+

    Portanto, 1 1

    1dy dx

    y x=

    + .Logo, resolvendo as integrais de ambos os lados, obtemos

    ln | | ln |1 |y x C= + +

    o que pode ser escrito na forma

    ln | | ln |1 |y x C + =

    usando uma propriedade dos logaritmos, ( ln ln ln aa bb

    = ),

    ln | |1

    y Cx=

    +.

    Portanto,

    Cex

    y =+

    |1

    | .

    Usando a propriedade do mdulo ( yy =|| se 0y e yy =|| se 0y ),

    temos Cex

    y =+1

    ou Cex

    y =+1

    .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    26

    Mas, como C uma constante Ce tambm constante. Podemos juntar as duas solues numa s, pondo, CeC =1 . Obtemos as-sim a soluo geral

    )1(1 xCy += .

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    27

    tpico 4 equaes homogneas

    ObjetivosEquaes homogneasExemplos de equaes diferenciais homogneas de primeira ordemMtodo de soluoDeduo da tcnicaExemplosBibliografia

    objetivosIdentificareresolverequaesdiferenciaishomogneas.

    equaes homogneas Dada uma equao diferencial de primeira ordem reescrita na forma

    ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =

    Dizemos que esta equao homognea se para algum n ,

    ( , ) ( , )nM tx ty t M x y= e ( , ) ( , )nN tx ty t N x y= .

    Observe tambm que ),1(),(xyMxyxM n= e

    ),1(),(xyNxyxN n= .

    Exemplos de equaes diferenciais homogneas de primeira ordem:

    1. 2 2 2( ) ( 2 ) 0x y dx x xy dy+ + = . uma equao diferencial ho-mognea, pois

    22),( yxyxM +=2( , ) 2N x y x xy= ,

    portanto,2 2 2 2 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )M tx ty tx ty t x y t M x y= + = + =

    e 2 2 2 2( , ) ( ) 2( )( ) ( 2 ) ( , )N tx ty tx tx ty t x xy t N x y= = = .

    Logo, para 2=n ,

    2

    2

    ( , ) ( , )( , ) ( , )

    M tx ty t M x yN tx ty t N x y

    ==

    donde, a equao 2 2 2( ) ( 2 ) 0x y dx x xy dy+ + = homognea.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    28

    Analogamente, so homogneas as equaes:

    2. 2 0xydx xdy =

    3. 3 4 42 ( ) 0x ydx x y dy+ + =

    4. ( ) 0yxy xe dx xdy+ + =

    Algumas equaes diferencias homogneas no esto escritas na forma

    ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = .

    Temos que as reescrever. Veja a tabela.

    dy y xdx y x

    =+ ( ) ( ) 0y x dx y x dy + + =

    dy y xdx x y

    = + 2 2( ) ( ) 0y x dx yx dy+ + =

    33

    dy x ydx x y

    +=+

    ( 3 ) (3 ) 0y x dx y x dy+ + + =

    mtodo de soluoA tcnica consiste em transformar a equao diferencial homog-nea numa equao varivel separvel.

    exemplo1 : transforme 2 2 2( ) ( 2 ) 0x y dx x xy dy+ + =

    numa equao separvel.

    Soluo: comeamos colocandoy ux= .

    Pela regra do produto para derivada, obtemos

    dy udx xdu= + .

    Substituindo y ux= , obtemos

    [ ]2 2 2( ( ) ) ( 2 ( )) 0x ux dx x x ux dy+ + =

    Resolvendo [ ]2 2 2 2 2( ) ( 2 )) 0x u x dx x x u dy+ + =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    29

    isolando 2x , obtemos [ ]2 2(1 ) (1 2 )) 0x u dx u dy + + = .

    Cancelando 2x , obtemos [ ]2(1 ) (1 2 )) 0u dx u dy+ + = .

    Substituindo dy udx xdu= +

    [ ]2(1 ) (1 2 )) 0u dx u udx xdu+ + + = ,obtemos

    2(1 ) (1 2 ) (1 2 ) ) 0u u u dx x u du + + + =

    2 2(1 ) ( 2 ) (1 2 ) ) 0u u u dx x u du + + + =

    2(1 ) (1 2 ) ) 0u u dx x u du + + =

    efinalmenteobtemosaequaodiferencialseparvel

    2

    1 1 21

    udx dux u u

    = +

    .

    exemplo2 : resolva: 2 2( ) ( ) 0y x dx yx dy+ + = .

    Soluo: Trata-se de uma equao homognea, pois 2 2( , )M x y x y= +

    ( , )N x y xy=

    Portanto,2 2 2 2 2 2( , ) ( ) ( ) ( ) ( , )M tx ty tx ty t x y t M x y= + = + =

    e 2 2( , ) ( )( ) ( ) ( , )N tx ty tx ty t xy t N x y= = =

    Logo, para 2=n ,

    2

    2

    ( , ) ( , )( , ) ( , )

    M tx ty t M x yN tx ty t N x y

    ==

    Vamos transform-la em varivel separvel. Comeamos colocan-do y ux=

    Pela regra do produto para derivada, obtemos

    dy udx xdu= + .Substituindo na equao 2 2( ) ( ) 0y x dx yx dy+ + = , obtemos

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    30

    2 2 2

    2 2

    2

    2

    (( ) ) ( )( ) 0

    ( 1) ( ) 0

    (2 1) ) 0

    1 12 1

    ux x dx ux udx xdu

    x u dx u udx xdu

    u dx xdu

    dx dux u

    + + + = + + + =

    + + =

    = +

    logo, 21 1

    2 1dx du

    x u=

    + .Portanto,

    2 2

    1 1 2ln | | ( 2 )2 1 2( 2 ) 1

    x du du arctg u Cu u

    = = = ++ +

    donde

    ( )

    ( )

    2 ln | | ( 2 )

    2 tan( 2 ln | |2

    x C arctg u

    u x C

    =

    =

    Portanto,

    ( )( )2 tan 2 ln | |2y x x C= .

    deduo da tcnica

    ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =

    (1, ) (1, ) 0

    (1, ) (1, ) 0

    n ny yx M dx x N dyx x

    y yM dx N dyx x

    + =

    + =

    Fazendo xyu = temos y ux=

    Pela regra do produto para derivada, obtemos

    dy udx xdu= + .

    Substituindo na equao (1, ) (1, ) 0y yM dx N dyx x

    + = , obtemos

    ( )(1, ) (1, ) 0M u dx N u udx xdu+ + = .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    31

    Fazendo umas continhas

    ( )

    ( )

    (1, ) (1, ) (1, ) 0(1, ) (1, ) (1, ) 0

    (1, ) 0(1, ) (1, )

    M u dx N u udx xN u duM u N u u dx xN u du

    dx N u dux M u uN u

    + + =+ + =

    + =+

    Esta ltima uma equao de varivel separvel.

    A frmula nos permite rapidamente encontrar a equao na forma de varivel separvel. Veja os exemplos:

    Exemplos:

    1. 2 2 2( ) ( 2 ) 0x y dx x xy dy+ + = .

    2

    22

    1),1(),(

    uuMyxyxM

    +=+=

    2( , ) 2(1, ) 1 2

    N x y x xyN u u

    = =

    Portanto,

    ( )

    ( )2

    (1, ) 0(1, ) (1, )

    1 2 01 (1 2 )

    dx N u dux M u uN u

    dx u dux u u u

    + =++ =

    + +

    2. 2 0xydx xdy =

    ( , ) 2

    (1, ) 2

    M x y xy

    M u u

    =

    =

    1),1(),(

    ==

    uNxyxN

    ( )

    ( )

    (1, ) 0(1, ) (1, )

    1 02

    dx N u dux M u uN u

    dx dux u u

    + =+

    + =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    32

    3. 3 4 42 ( ) 0x ydx x y dy+ + =

    3( , ) 2(1, ) 2

    M x y x yM u u

    ==

    4 4

    4

    ( , )(1, ) 1

    N x y x yN u u

    = += +

    ( )

    ( )4

    4

    (1, ) 0(1, ) (1, )

    1 02 (1 )

    dx N u dux M u uN u

    dx u dux u u u

    + =+

    ++ =+ +

    4. ( ) 0yxy xe dx xdy+ + =

    ( , )(1, )

    yx

    u

    M x y y xeM u u e

    = += +

    ( , )(1, ) 1

    N x y xN u

    ==

    ( )

    ( )

    (1, ) 0(1, ) (1, )

    1 0u

    dx N u dux M u uN u

    dx dux u e u

    + =+

    + =+ +

    importante, para cada exerccio, seguir os passos de como a fr-mula foi obtida. Decorar a frmula no o que se deve fazer.

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    33

    tpico 5 equaes exatas

    ObjetivosExemplos de equaes diferenciais exatasMtodo de soluoO que fazer para resolver uma equao diferencial exataExemplos Bibliografia

    objetivosIdentificareresolverequaesexatas.

    equaes exatasDada uma equao diferencial de primeira ordem reescrita na forma

    ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =

    Dizemos que esta equao exata se

    xN

    yM

    =

    .

    Exemplos de equaes diferenciais exatas:

    1. 22 ( 1) 0xydx x dy+ = . uma equao diferencial exata, pois( , ) 2M x y xy=

    1),( 2 = xyxN

    portanto, xy

    M 2=

    igual a xxN 2=

    2. ( ) ( )2 2cos( ) 2 cos( ) 2 0y ye y xy dx xe x xy y dy + + = uma equao diferencial exata, pois

    ( )2( , ) cos( )yM x y e y xy=

    ( )2( , ) 2 cos( ) 2yN x y xe x xy y= +portanto, 22 cos( ) ( )yM e xy yxsen xy

    y = +

    igual a 22 cos( ) ( )yN e xy xysen xyx

    = +

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    34

    mtodo de soluoO mtodo leva em considerao o seguinte: se 1( , )f x y C= , ento

    0 ( , ) ( , ) ( , )f fdf x y dx dy M x y dx N x y dyx y = = + = +

    donde

    ),(

    ),(

    yxNyf

    yxMxf

    =

    =

    A igualdade xN

    yM

    =

    vem do fato que as derivadas parciais de segunda ordem comutam, isto ,

    yxf

    xyf

    =

    22

    O que fazer para resolver uma equao diferencial exata

    Dada a equao exata

    ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =

    mostre primeiro que

    xN

    yM

    =

    .

    Depois suponha que

    Mxf =

    Podemos encontrar f , integrando M em relao a x .

    ( , ) ( , ) ( )f x y M x y dx C y= +

    Em seguida, derivamos ( , ) ( , ) ( )f x y M x y dx C y= + em relao a y e igualamos a ),( yxN .

    ( , ) ( , ) '( ) ( , )f x y M x y dx C y N x yy y = + =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    35

    Finalmente, integramos

    '( ) ( , ) ( , )C y N x y M x y dxy=

    em relao a y .

    A soluo para a equao dada implicitamente pela equao

    1),( Cyxf = .

    Observe que poderamos, dependendo do que for mais fcil de integrar, comear com

    Nyf =

    .

    Neste caso teremos que integrar em relao a y e depois derivar em relao a x . Veja o exemplo 2 abaixo.

    Exemplos:

    1. 22 ( 1) 0xydx x dy+ = uma equao diferencial exata, pois( , ) 2M x y xy=

    1),( 2 = xyxN .

    Portanto,

    xy

    M 2=

    igual a

    xxN 2=

    2

    ( , ) ( , ) ( )

    ( , ) 2 ( )

    ( , ) 2 ( )

    ( , ) ( )

    f x y M x y dx C y

    f x y xydx C y

    f x y y xdx C y

    f x y yx C y

    = +

    = +

    = +

    = +

    Derivando2( , ) ( )f x y yx C y= +

    em relao a y , obtemos )('),( 2 yCxyxfy

    +=

    .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    36

    Igualando ),( yxfy

    a ),( yxN , obtemos

    ),()('2 yxNyCx =+

    yyCyC

    xyCx

    ==

    =+

    )(1)('

    1)(' 22

    Portanto 2 1yx y C = .

    Donde 12

    1

    =

    xCy

    a soluo geral da equao.

    Nem sempre possvel isolar y .

    2. ( )2 2cos (1 ) 0xsenx xy dx y x dy + = . uma equao dife-rencial exata, pois

    2( , ) cosM x y xsenx xy=

    )1(),( 2xyyxN =

    Portanto,

    2M xyy

    =

    igual a

    2N xyx

    =

    2

    2 2

    ( , ) ( , ) ( )

    ( , ) (1 ) ( )

    1( , ) (1 ) ( )2

    f x y N x y dy C x

    f x y y x dy C x

    f x y x y C x

    = +

    = +

    = +

    Derivando

    )()1(21),( 22 xCyxyxf +=

    em relao a x , obtemos

    2( , ) '( )f x y xy C xx = +

    .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    37

    Igualando ),( yxfx

    a ),( yxM , obtemos2 '( ) ( , )xy C y M x y + =

    2 2'( ) cosxy C x xsenx xy + = .

    Integrando xsenxxC cos)(' = em relao a x , obtemos

    2( ) cos cos ( ) cosC x xsenxdx x senx dx x= = = .

    Portanto

    1222 cos)1(

    21),( Cxyxyxf ==

    donde 2 2 2

    11 (1 ) cos2

    x y x C = a soluo geral da equao dada implicitamente.

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    38

    tpico 6 equaes lineares de primeira ordem

    ObjetivoEquaes lineares de primeira ordemExemplos de equaes diferenciais linearesMtodo de soluo (chamado de fator integrante)ExemplosBibliografia

    objetivoResolver equaes diferenciais lineares de primeira ordem.

    equaes lineares de primeira ordemUma equao diferencial de primeira ordem reescrita na forma

    1 2( ) ( ) ( )dya x a x y g xdx

    + =

    chamada de equao diferencial linear (de primeira ordem).

    Dividindo por )(1 xa , obtemos uma forma mais simples

    ( ) ( )dy P x y f xdx

    + = .

    Na forma diferencial

    ( ( ) ( )) 0dy P x y f x dx+ = .

    exemplos de equaes diferenciais l ineares:

    1. 64 xdyx y x e

    dx x =

    2. 3 0dy ydx

    =

    3. 2( 9) 0dyx xydx

    + + =

    4. 2dyx y xdx

    + =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    39

    mtodo de soluo (chamado de fator integrante)

    1. Escrevemos a equao linear na forma

    ( ( ) ( )) 0dy P x y f x dx+ =

    2. Multiplicamos a equao por uma funo )(xm( ) ( )( ( ) ( )) 0x dy x P x y f x dxm m+ =

    3. Queremos encontrar ( )xm para que a equao seja uma equa-o diferencial exata. Para isso, igualamos

    ( , ) ( )N x y xm=

    ( , ) ( )( ( ) ( ))M x y x P x y f xm= .

    Note as posies de dx e dy .

    4. Para que a equao seja exata temos de ter

    xN

    yM

    =

    onde

    )(' xxN

    m=

    e

    )()( xPxy

    Mm=

    donde obtemos a equao separvel

    )()()(' xPxx mm =

    5. Podemos resolver a equao separvel 1 ( )d P x

    dxm

    m= .

    Obtemos

    ln | | ( )P x dxm = donde

    ( )( ) P x dxx em =

    6. Obtemos a equao exata( ) ( ) ( ( ) ( )) 0P x dx P x dxe dy e P x y f x dx + = .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    40

    7. Igualando Nyf =

    , integramos em relao a y , obtemos

    ( )( , ) ( )P x dxf x y ye C x= +

    8. Derivando ( )( , ) ( )P x dxf x y ye C x= + em relao a x , obtemos

    ( )( , ) ( ) '( )P x dxf x y ye P x C xx

    = +

    9. Usando a igualdade Mxf =

    , obtemos

    ( ) ( )

    ( )

    ( ) '( ) ( ( ) ( ))'( ) ( )

    P x dx P x dx

    P x dx

    ye P x C x e P x y f xC x e f x

    + = =

    10. Integrando ( )'( ) ( )P x dxC x e f x= em relao a x , obtemos ( )( ) ( )P x dxC x e f x dx=

    11. Substituindo ( )( ) ( )P x dxC x e f x dx= na equao acima, obtemos ( )( )( , ) ( )

    P x dxP x dxf x y ye e f x dx = .

    12. A soluo geral dada por

    ( )( )1( )

    P x dxP x dxye e f x dx C =13. Isolando y , obtemos a soluo geral

    ( )( ) ( )1 ( )

    P x dxP x dx P x dxy C e e e f x dx = +

    exemplos:1. Resolva

    64 xdyx y x edx

    =.

    Soluo: reescrevendo 64 xdyx y x edx

    = na forma

    54 xdy y x edx x

    =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    41

    obtemos x

    xP 4)( = e xexxf 5)( = .

    Substituindo na equao

    ( )( ) ( )1 ( )

    P x dxP x dx P x dxy C e e e f x dx = + ,

    obtemos

    4 4 45

    1

    dx dx dx xx x xy C e e e x e dx = + .

    Logo,

    4ln 4ln 4ln 51

    x x x xy C e e e x e dx= + donde

    4 4 4 51

    xy C x x x x e dx= +

    isto

    4 41

    xy C x x xe dx= + .

    Integrando por partes, obtemos

    4 4 4 5 41 1( )

    x x x xy C x x xe e C x x e x e= + = + .

    Soluo geral da equao diferencial.

    2. Resolva

    3 0dy ydx

    = .

    Soluo: 0)(,3)( == xfxP substituindo na equao( )( ) ( )

    1 ( )P x dxP x dx P x dxy C e e e f x dx = + ,

    obtemos a soluo geral

    3 31 1

    dx xy C e C e = = .

    3. Resolva

    2( 9) 0dyx xydx

    + + =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    42

    Soluo: reescrevendo a equao na forma

    2 0( 9)dy x ydx x

    + =+

    temos 2( ) , ( ) 09xP x f x

    x= =

    +.

    Substituindo na equao

    ( )( ) ( )1 ( )

    P x dxP x dx P x dxy C e e e f x dx = + ,obtemos

    222

    11 lnln( 9)99 2

    1 1 1 1 2

    19

    x dx xxxy C e C e C e C

    x

    + ++= = = =+

    que a soluo geral procurada.

    4. Resolva

    2dyx y xdx

    + =.

    Soluo: reescrevendo 2dyx y xdx

    + = na forma

    2dy ydx x

    + = ,

    obtemos 1( ) , ( ) 2P x f xx

    = = . Substituindo na equao

    ( )( ) ( )1 ( )

    P x dxP x dx P x dxy C e e e f x dx = + ,

    obtemos

    1 1 1

    1 2dx dx dx

    x x xy C e e e dx = +

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    43

    donde ln ln ln

    1

    1

    1

    2

    1 1 2

    1 2

    x x xy C e e e dx

    y C xdxx x

    y C xx

    = +

    = +

    = +

    que a soluo geral procurada.

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volu-me I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    44

    tpico 7 equaes de bernoulli

    ObjetivosEquaes de BernoulliExemplos de equaes de BernoulliMtodo de soluo ExemplosBibliografia

    objetivosIdentificareresolverequaesdeBernoulli.

    equaes de bernoulliUma equao diferencial de primeira ordem reescrita na forma

    ( ) ( ) ndy P x y f x ydx

    + = ,

    onde n um nmero natural, chamada de equao diferencial de Bernoulli.

    Para 0=n e 1=n , a equao de Bernoulli uma equao linear. Para 2n , a equao de Bernoulli no-linear.

    exemplos de equaes de bernoulli :

    1. 21dy y xy

    dx x+ =

    2. 2xdy y e ydx

    =

    3. 2 2dyx y xydx

    + =

    4. 2 33(1 ) 2 ( 1)dyx xy ydx

    + =

    mtodo de soluo

    1. Dividindo por ny , obtemos

    1 ( ) ( )n ndyy y P x f xdx

    + = .

    2. Igualamos nyw = 1

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    45

    3. Derivando nyw = 1 em relao a x , obtemos

    (1 ) ndw dyn ydx dx

    =

    4. Isolando ndyydx

    , obtemos

    11

    ndw dyyn dx dx

    =

    5. Substitumos na equao 1 ( ) ( )n ndyy y P x f xdx

    + = e obtemos a equao linear

    (1 ) ( ) (1 ) ( )dw n P x w n f xdx

    + =

    6. Encontramos w pelo mtodo para resolver equaes lineares.

    (1 ) ( )(1 ) ( ) (1 ) ( )1 (1 ) ( )

    n P x dxn P x dx n P x dxw C e e e n f x dx = + 7. Finalmente fazemos 1 nw y = .

    exemplos:

    1. Resolva

    21dy y xydx x

    + = .

    Soluo: 1( ) , ( )P x f x xx

    = = e 2=n . Substituindo na equao(1 ) ( )(1 ) ( ) (1 ) ( )

    1 (1 ) ( )n P x dxn P x dx n P x dxw C e e e n f x dx = + ,

    obtemos

    1 1 1(1 2) (1 2) (1 2)

    1 (1 2)dx dx dx

    x x xw C e e e xdx = +

    obtemos

    (1 2)ln (1 2)ln (1 2)ln1

    11

    21

    (1 2)x x xw C e e e xdx

    w C x x x xdx

    w C x x

    = +

    =

    =

    .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    46

    Logo, como 1= yw temos 21

    1yC x x

    =

    2. Resolva

    2xdy y e ydx

    =

    Soluo: xexfxP == )(,1)( e 2=n . Substituindo na equao(1 ) ( )(1 ) ( ) (1 ) ( )

    1 (1 ) ( )n P x dxn P x dx n P x dxw C e e e n f x dx = + ,

    obtemos

    1 1 11

    dx dx dx xw C e e e e dx =

    1

    21

    21

    1

    1212

    x x x x

    x x x

    x x x

    x x

    w C e e e e dx

    w C e e e dx

    w C e e e

    w C e e

    =

    =

    =

    =

    Logo, como 1= yw temos 1

    112

    x xy

    C e e=

    que a soluo geral procurada.

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    47

    tpico 8 equaes de ricatti

    ObjetivosEquaes de RicattiExemplos de equaes de RicattiMtodo de soluoExemplosBibliografia

    objetivosIdentificareresolverEquaesdeRicatti.

    equaes de ricattiUma equao diferencial de primeira ordem reescrita na forma

    2( ) ( ) ( )dy P x Q x y R x ydx

    = + +

    chamada de equao diferencial de Ricatti.

    exemplos de equaes de ricatti:

    1. 22 2dy xy ydx

    = +

    2. 26 5dy y ydx

    = + +

    3. 29 6dy y ydx

    = + +

    4. 21dy x y xydx

    = +

    mtodo de soluo Para resolver a equao de Ricatti, precisamos primeiro encontrar uma soluo particular.

    Soluo particular 1y para os exemplos acima.

    1. Para a equao 22 2dy xy ydx

    = + , xy 21 = uma soluo particular.

    2. Para a equao 26 5dy y ydx

    = + + , 31 =y uma soluo par-ticular.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    48

    3. 29 6dy y ydx

    = + + , 31 =y uma soluo particular.

    4. 21dy x y xydx

    = + , 11 =y uma soluo particular.

    Encontrada uma soluo particular 1y

    1. Fazemos a mudana de variveis uyy += 12. Derivamos 1y y u= + obtendo

    1dydy dudx dx dx

    = + .

    3. Substitumos na equao 2( ) ( ) ( )dy P x Q x y R x ydx

    = + + , obtendo

    211 1( ) ( )( ) ( )( )

    dy du P x Q x y u R x y udx dx

    + = + + + +

    2 211 1 1( ) ( )( ) ( )( 2 )

    dy du P x Q x y u R x y y u udx dx

    + = + + + + +

    2 211 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )

    dy du P x Q x y Q x u R x y R x y u R x udx dx

    + = + + + + +

    Como 1y soluo da equao, temos

    211 1( ) ( ) ( )

    dy P x Q x y R x ydx

    = + +.

    Portanto,

    21( ) 2 ( ) ( )

    du Q x u R x y u R x udx

    = + +

    ( ) 21( ) 2 ( ) ( )du Q x R x y u R x udx + = .

    Que uma equao de Bernoulli com 2=n ,

    1( ) ( ( ) 2 ( ) ), ( ) ( )P x Q x R x y f x R x= + = .

    4. Igualamos 1= uw

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    49

    5. Derivando 1= uw em relao a x , obtemos

    2dw duudx dx

    =

    6. Isolando 2duudx

    , obtemos

    2dw duudx dx

    =

    7. Substitundo na equao

    ( )2 11( ) 2 ( ) ( )duu Q x R x y u R xdx + = ,

    obtemos a equao linear

    ( )1( ) 2 ( ) ( )dw Q x R x y w R xdx + + =

    8. Encontramos w pelo mtodo para resolver equaes lineares.( ) ( ) ( )1 1 1( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )

    1 ( )Q x R x y dx Q x R x y dx Q x R x y dxw C e e e R x dx + + + =

    9. Fazemos 1= uw

    10. uyy += 1 ser a soluo geral.

    exemplos:

    1. Resolva

    22 2dy xy ydx

    = + .

    Soluo: Para a equao 22 2dy xy ydx

    = + , xy 21 = uma solu-oparticular(verificar).

    1)(2)(

    ==

    xRxxQ

    ( ) ( ) ( )1 1 1( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )1 ( )

    Q x R x y dx Q x R x y dx Q x R x y dxw C e e e R x dx + + + =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    50

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    2 2 2

    2 2(2 ) 2 2(2 ) 2 2(2 )1

    2 (2 ) (2 )1

    1

    x x dx x x dx x x dx

    x dx x dx x dx

    x x x

    w C e e e dx

    w C e e e dx

    w C e e e dx

    + + +

    =

    =

    =

    Esta ltima integral no sabemos resolver por meio de tcnicas simples de integrao.

    A soluo geral dada em termos de integral.

    2 2 2

    1

    12x x x

    y xC e e e dx

    = +

    2. Resolva

    26 5dy y ydx

    = + +

    Soluo: para a equao 26 5dy y ydx

    = + + , 31 =y uma solu-o particular.

    1)(5)(

    ==

    xRxQ

    ( ) ( ) ( )1 1 1( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( )1 ( )

    Q x R x y dx Q x R x y dx Q x R x y dxw C e e e R x dx + + + = 1 1 1

    1

    1

    1 1

    dx dx dx

    x x x

    x

    w C e e e dx

    w C e e e dx

    w C e

    =

    =

    = +

    A soluo geral

    1

    131x

    yC e

    = ++

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

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    51

    tpico 9 equaes de clairaut

    ObjetivosEquaes de ClairautExemplos de equaes de ClairautMtodo de soluoBibliografia

    objetivosIdentificareresolverEquaesdeClairaut.

    equaes de clairautUma equao diferencial de primeira ordem reescrita na forma

    ' ( ')y xy f y= +

    chamada de equao diferencial de Clairaut.

    exemplos de equaes de clairaut:

    1. 21' ( ')2

    y xy y= +

    2. ' 1 ln( ')y xy y= +

    3. 2' ( ')y xy y = +

    4. '' yy xy e=

    mtodo de soluo Vemos que ( )y cx f c= + so solues de ' ( ')y xy f y= + , o que facilmenteverificado,pois 'y c= .

    Outro grupo de solues dado na forma paramtrica

    '( ), ( ) '( )x f t y f t tf t= =

    exemplos:

    1. Resolva

    21' ( ')2

    y xy y= +

    '( ), ( ) '( )x f t y f t tf t= =

    Soluo: 21( ) , '( )2

    f t t f t t= =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    52

    212

    y cx c= + ou '( ), ( ) '( )x f t y f t tf t= =

    2 2 21 1,2 2

    x t y t t t= = =

    donde 212

    y x=

    2. Resolva ' 1 ln( ')y xy y= +

    Soluo:

    1( ) 1 ln , '( )f t t f tt

    = =

    1 lny cx c= + ou

    1, 2 lnx y tt

    = =

    donde 12 ln 2 lny xx

    = = +

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

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    53

    tpico 10 mtodo de picard

    ObjetivoMtodo de PicardObjetivo do mtodoIdeia da prova do mtodoAplicao do mtodoBibliografia

    objetivoObter solues aproximadas para problemas de valor inicial usan-do o mtodo de Picard.

    mtodo de picardDado o problema de valor inicial

    0 0

    ' ( , )( )

    y f x yy x y=

    =

    O mtodo de Picard consiste em resolver o problema de valor ini-cial usando a recorrncia

    00 1( ) ( , ( ))

    x

    n nxy x y f t y t dt= +

    00 )( yxy =

    objetivo do mtodoObter solues aproximadas para problemas de valor inicial para as quais no conhecemos nenhuma tcnica de soluo. Os mtodos, semelhantes a este, so conhecidos como mtodos numricos.

    ideia da prova do mtodoA prova do mtodo ns no vamos ver aqui. A prova (s para cons-tar aqui) parte do seguinte:

    Dado o problema de valor inicial

    00 )(),('

    yxyyxfy

    ==

    Este mtodo parte do princpio que

    0

    0( ) ( , ( ))x

    xL y f t t dtf f= +

    possuiumpontofixo,isto,existeumafuno y tal que yyL =)(

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    54

    e que a sequncia

    0y ,2 3

    1 0 2 0 3 0( ), ( ), ( ),....y L y y L y y L y= = =

    convergeparaopontofixoqualquerqueseja 0y .

    aplicao do mtodoQueremos resolver o problema de valor inicial

    0 0

    ' ( , )( )

    y f x yy x y=

    =

    Partindo de uma funo qualquer )(0 xy , obtemos uma funo )(1 xy da seguinte forma:

    01 0 0( ) ( , ( ))

    x

    xy x y f t y t dt= +

    Sabendo )(1 xy , obtemos

    02 0 1( ) ( , ( ))

    x

    xy x y f t y t dt= +

    e, tambm,

    03 0 2( ) ( , ( ))

    x

    xy x y f t y t dt= + .

    Podemos obter tantas funes quanto desejarmos pela recorrncia

    00 1( ) ( , ( ))

    x

    n nxy x y f t y t dt= +

    Exemplo: use o mtodo de Picard para encontrar as aproximaes

    321 ,, yyy para o problema de valor inicial

    2)0('

    ==

    yxyy

    Soluo:

    Podemos escolher qualquer funo para )(0 xy . ( , )f x y y x=

    1)(0 =xy

    21 2

    2

    12( ) 2 (1 ) 2 22

    1( )2

    xx

    y x t dt x xt t= + = + = +

    2 3 32 2

    2

    1 1 13( ) 2 (2 ) 2 2 2 4 22 3 3

    1(2 )3

    xx

    y x t t t dt x xt t= + + = + = + +

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    55

    33 2

    2

    2 43

    2 43

    1 4 2 4( ) 2 (2 2 ) 23 3

    2 1 1 4 4 16( ) 23 2 12 3 2 12

    2 1 1( )3 2 12

    2 1 1( )3 2 12

    xx

    y x t t t dt

    y x x x x

    y x x x x

    t t t= + + = +

    = + + +

    = +

    +

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    56

    tpico 11 algumas aplicaes de equaes diferenciais de primeira ordem

    ObjetivoTrajetrias ortogonaisAplicao de equaes lineares - crescimento e decrescimentoAplicaes de equaes no-linearesBibliografia

    objetivoResolver equaes diferenciais que aparecem na matemtica, na fsica e em outras reas.

    trajetrias ortogonaisNo clculo, ouvimos falar sobre coordenadas retangulares, coor-denadas polares, coordenadas esfricas, etc. Se temos uma famlia de curvas, podemos usar esta famlia para obter um sistema de coordenadas?

    A tcnicaSe tivermos uma famlia de curvas, primeiro vamos ver se esta fa-mlia soluo de uma equao diferencial de primeira ordem. Feito isso, vamos buscar a outra famlia, ortogonal primeira. Para isso,usamosofatodequeoprodutodoscoeficientesangularesdeduas retas ortogonais -1 para produzir uma equao diferencial. Resolvendo a equao diferencial, obtemos a outra famlia. Juntas formaro um sistema de coordenadas ortogonais.

    Matematicamente Dada uma famlia de curvas que satisfaam a equao diferencial

    ( , )dy f x ydx

    =

    a famlia de curvas ortogonais famlia acima dada pela equao diferencial

    1( , )

    dydx f x y

    =

    Exemplo: encontre a famlia de curvas ortogonais famlia

    xy c=

    (Uma famlia de hiprboles).

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    57

    Soluo: primeiro encontramos a equao diferencial cuja soluo a famlia xy c= .

    2 2

    cyx

    dy c xy ydx x x x

    =

    = = =

    Nosso problema resolver a seguinte equao diferencial

    1( , )

    dydx f x y

    = onde ( , ) yf x yx

    = .

    Isto , temos que resolver a equao diferencial

    dy xdx y

    =

    Esta equao uma equao varivel separvel cuja soluo

    2 2y x C= +

    (uma famlia de crculos centrada na origem)

    aplicao de equaes lineares crescimento e decrescimento

    Observe o problema de valor inicial

    0 0( )

    dx kxdtx t x

    = =

    Em que k uma constante de proporcionalidade.

    Este problema ocorre em muitas teorias fsicas envolvendo cresci-mento ou decrescimento.

    - Em biologia, frequentemente observado que a taxa de cresci-mento de certas bactrias proporcional ao nmero de bactrias presentes no dado instante.

    - Durante um curto intervalo de tempo, a populao de pequenos animais, tais como roedores, pode ser prevista com alto grau de preciso pela soluo para o problema de valor inicial acima.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    58

    - Em fsica, um problema de valor inicial, como o acima, proporcio-na um modelo para o clculo aproximado da quantidade remanes-cente de uma substncia que est sendo desintegrada atravs de radioatividade.

    - Esta equao diferencial pode ainda determinar a temperatura de um corpo em resfriamento.

    - Em qumica, a quantidade remanescente de uma substncia du-rante certas reaes tambm pode ser descrita pela mesma equa-o diferencial. A constante de proporcionalidade k positiva ou negativa e pode ser determinada pela soluo para o problema usando um valor subsequente de x em um instante 01 tt > .

    exemplo1:Em uma cultura, h inicialmente N bactrias. Uma hora depois,

    1=t , o nmero de bactrias passa a ser N23

    . Se a taxa de cresci-

    mento proporcional ao nmero de bactrias presentes, determine o tempo necessrio para que o nmero de bactrias triplique.

    Soluo: Primeiro, resolvemos a equao diferencial

    dN kNdt

    =

    Uma equao varivel separvel, pode ser escrita na forma

    1 dN kN dt

    =

    Integrando ambos os lados, obtemos

    ln N kt=

    Portanto, ( ) ktN t Ce= .No instante 0=t , temos 0(0) kN Ce C= = e no instante 1=t temos

    0 03(1)2

    kN N e N= =

    donde conclumos que 23=ke . Portanto a constante de propor-

    cionalidade )23ln(=k . Aproximadamente 4055,0)

    23ln( =k .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    59

    Obtemos, assim, teNtN 4055,00)( = , a soluo para o problema de

    valor inicial dN kNdt

    = , 0)0( NN = .

    Para encontrar o tempo necessrio para que o nmero de bactrias triplique, buscamos o valor de t para o qual teNN 4055,0003 = . Po-demos cancelar o 0N e obter

    te 4055,03 = . Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, obtemos ln 3 2,71

    0,4055t = horas.

    Meia-vida Em fsica, meia-vida uma medida de estabilidade de uma subs-tncia radioativa. A meia-vida simplesmente o tempo gasto para metade dos tomos de uma quantidade inicial se desintegrar ou se transmutar em tomos de outro elemento. Quanto maior a meia-vi-da de uma substncia, mais estvel ela . Por exemplo, a meia-vida do ultra-radioativo rdio, Ra-226, cerca de 17OO anos. Em 17OO anos, metade de uma dada quantidade de Ra-226 transmutada em radnio, Rn-222. O istopo de urnio mais comum, U-238, tem uma meia-vida de aproximadamente 4.500.000.000 de anos. Nes-se tempo, metade de uma quantidade de U-238 transmutada em chumbo, Pb-206.

    exemplo2:Um reator converte urnio 238 em istopo de plutnio 239. Aps 15 anos, foi detectado que 0,043% da quantidade inicial 0A de plutnio se desintegrou. Encontre a meia-vida desse istopo, se a taxa de desintegrao proporcional quantidade remanescente.

    Soluo: Denote por )(tA a quantidade de plutnio remanescente no instante t . Como no exemplo 1, kteAtA 0)( = , a soluo para o problema de valor inicial

    dA kAdt

    = , 0)0( AA = .

    Se 0,043% da quantidade inicial 0A de plutnio se desintegrou, ento 99,975% da substncia permaneceu. Para calcular k , usa-mos a igualdade (15)0 00,99975

    kA A e= , donde .00002867,0k

    Agora a Meia-Vida o tempo t , no qual 021)( AtA = . Isto ,

    0 01( )2

    ktA t A e A= = , donde ln 2 24,180

    0,00002867t = anos.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    60

    aplicaes de equaes no-linearesSe uma populao P descrita pelo modelo acima, ento P(t) apre-senta um crescimento exponencial no limitado. Em muitas circuns-tncias, a equao diferencial que vimos acima, proporciona um modelo irreal de crescimento de uma populao, isto , o que se observa de fato difere substancialmente do previsto pela equao.

    Por volta de 1840, o matemtico-bilogo P.F. Verhulst preocupou-se com as formulaes matemticas para previso de populaes hu-manas de vrios pases. Uma das equaes estudadas por ele foi

    ( )dP P a bPdt

    =

    Em que a e b soconstantespositivas.Estaequaoficouconheci-da como a equao logstica e sua soluo chamada de funo lo-gstica(seugrficonaturalmentechamadodeumacurvalogstica).

    A equao no representa um modelo acurado para crescimento populacional quando esta muito grande. Condies de superpo-pulao com as consequentes deterioraes do meio ambiente, tais como: poluio excessiva e competitiva demanda por alimento e combustvel, podem ter um efeito inibidor no crescimento popu-lacional.

    Soluo: podemos escrever ( )dP P a bPdt

    = na forma 2dP aP bP

    dt = , o que uma equao de Bernoulli. Cuja soluo

    0

    0 0

    ( ) .( ) at

    aPP tbP a bP e

    =+

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    61

    tpico 12 problema de valor inicial para equaes diferenciais lineares de segunda ordem

    ObjetivosProblema de valor inicial para equaes lineares de segunda ordemExistncia e unicidade das solues para o problema de valor inicialProblema de valor inicial para equaes lineares de terceira ordemProblema de valor inicial para equaes lineares de ordem superiorProblema de valor de contornoExistncia e unicidade falham para o problema de valor de contornoBibliografia

    objetivosResolver o problema de valor inicial sabendo antecipadamente a soluo da equao diferencial. Diferenciar problema de valor inicial e problema de valor de contorno. Comparar o problema de valor inicial para equaes diferenciais de primeira ordem com o de segunda ordem ou ordem superior.

    problema de valor inicial para equaes lineares de segunda ordemPara equaes diferenciais lineares de segunda ordem o problema de valor inicial

    2

    0 1 22

    0 0

    0 1

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )'( )

    d y dya x a x a x y g xdx dx

    y x yy x y

    + + =

    ==

    As constantes

    0 0

    0 1

    ( )'( )

    y x yy x y

    ==

    so chamadas de condies iniciais.

    existncia e unicidade das solues para o problema de valor inicialAssim como no caso do problema de valor inicial para equaes de primeira ordem, tambm temos, para lineares de segunda ordem, unicidade da soluo desde que 0a no se anule, e as funes ia sejam contnuas. Isto , se 0)(0 xa e se ia so contnuas, temos uma nica soluo satisfazendo as trs condies acima.

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    62

    exemplo:

    Verifiqueque 2 3y cx x= + + soluo (portanto no nica) para o problema

    2 '' 2 ' 2 6(0) 3'(0) 1

    x y xy yyy

    + ===

    Soluo:2 3

    ' 2 1'' 2

    y cx xy cxy c

    = + += +=

    Agora substitumos no sistema:

    2 '' 2 ' 2 6(0) 3'(0) 1

    x y xy yyy

    + ===

    Obtemos 2 2(2 ) 2 (2 1) 2( 3) 6(0) 3'(0) 1

    x c x cx cx xyy

    + + + + ===

    No temos unicidade. A hiptese de que )(0 xa nunca se anula no satisfeita. Note que 20 )( xxa = e 0 (0) 0a = .

    problema de valor inicial para equaes lineares de terceira ordemPara equaes diferenciais lineares de terceira ordem, o problema de valor inicial

    3 2

    0 1 2 33 2

    0 0

    0 1

    0 2

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )'( )''( )

    d y d y dya x a x a x a x y g xdx dx dx

    y x yy x yy x y

    + + + =

    ===

    As constantes

    0 0

    0 1

    0 2

    ( )'( )''( )

    y x yy x yy x y

    ===

    so chamadas de condies iniciais.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    63

    problema de valor inicial para equaes lineares de ordem superiorPara equaes diferenciais lineares de ordem n , o problema de valor inicial

    1

    0 1 11

    0 0

    0 1

    ( 1)0 1

    ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( )

    ( )'( )

    .

    .

    .( )

    n n

    n nn n

    nn

    d y d y dya x a x a x a x y g xdx dx dx

    y x yy x y

    y x y

    + + + + =

    ==

    =

    exemplos:

    1. a) Mostre que ( ) cos ( )y x A x Bsen x= + soluo da equao diferencial

    0'' =+ yy

    para quaisquer que sejam as constantes A e B .

    b) Determine A e B tal que 1)0( =y , 1)0(' =y

    Soluo (a): ( ) cos ( )'( ) ( ) cos''( ) cos ( )

    y x A x Bsen xy x Asen x B xy x A x Bsen x

    = += +=

    donde 0'' =+ yy .

    (b) Note que

    ByAy

    ==

    )0(')0(

    resulta que 1=A e 1=B .

    Conclumos que

    )(cos)( xsenxxy +=

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    64

    a soluo do problema de valor inicial

    1)0('1)0(

    0''

    ===+

    yy

    yy

    2. a) Mostre que ( ) x xy x Ae Be= + a soluo da equao di-ferencial

    0'' =yy

    para quaisquer que sejam as constantes A e B .

    b) Determine A e B tal que 5)0( =y , 3)0(' =y

    Soluo (a):

    ( )'( )''( )

    x x

    x x

    x x

    y x Ae Bey x Ae Bey x Ae Be

    = += = +

    donde 0'' =yy .

    (b) Note que (0) 5'(0) 3

    y A By A B

    = + == =

    ou seja, temos que resolver o sistema

    53

    A BA B+ = =

    cujasoluo(verifique) 4=A e 1=B .

    Conclumos que

    ( ) 4 x xy x e e= +

    soluo do problema de valor inicial

    '' 0(0) 5'(0) 3

    y yyy

    ===

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    65

    problema de valor de contorno

    O problema2

    0 1 32

    0

    1

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )( )

    d y dya x a x a x y g xdx dx

    y a yy b y

    + + =

    ==

    chamado de problema de valor de contorno ou de fronteira.

    existncia e unicidade falham para o problema de valor de contornoPara o problema de valor de contorno, no temos a garantia de existncia de soluo nem tampouco unicidade.

    exemplo1 : A existncia falha.

    Considere o problema de valor de contorno

    '' 0( ) 1(2 ) 0

    y yyypp

    + ===

    A soluo geral para equao diferencial 0'' =yy ( ) cos ( )y x A x Bsen x= + (veremos mais adiante).

    ( ) 1(2 ) 0

    y Ay App= == =

    o que no pode ocorrer. Portanto o problema de contorno

    '' 0( ) 1(2 ) 0

    y yyypp

    + ===

    no possui soluo.

    exemplo2 : A unicidade falha.Considere agora, o problema de valor de contorno

    '' 0( ) 0(2 ) 0

    y yyypp

    + ===

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    66

    A soluo geral para equao diferencial 0'' =yy

    ( ) cos ( )y x A x Bsen x= + (veremos mais adiante).

    ( ) 0(2 ) 0

    y Ay App= == = .

    Portanto o problema de contorno

    '' 0( ) 0(2 ) 0

    y yyypp

    + ===

    possui as solues )()( xBsenxy = para qualquer que seja o valor de B .

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

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    67

    tpico 13 dependncia e independncia linear de funes

    ObjetivosAplicaesDependncia linearIndependncia linearCritrio para independncia linear WronskianoBibliografia

    objetivosEntender e mostrar quando duas ou mais funes so linearmente dependentes ou independentes. Entender e calcular o Wronskiano.

    aplicaesO conceito da dependncia e da independncia linear muito importante para encontrar a soluo geral de uma equao dife-rencial linear. Conhecendo funes linearmente independentes, podemos obter a soluo geral. O nmero de funes linearmente independentes depende da ordem da equao diferencial.

    dependncia l inearDizemos que as funes )(...,,)(),( 21 xfxfxf n defini-das num intervalo I so linearmente dependentes em I se existem constantes nccc ...,,, 21 no todas nulas tal que

    0)(...)()( 2211 =+++ xfcxfcxfc nn .

    independncia l inearDizemos que )(...,,)(),( 21 xfxfxf n so linearmente indepen-dentes em I se )(...,,)(),( 21 xfxfxf n no forem linearmente dependentes em I .

    exemplo1 : As funes

    )cos()()(),2()( 21 xxsenxfxsenxf ==

    so linearmente dependentes pois )cos()(2)2( xxsenxsen = . Tomamos 2,1 21 == cc . Portanto, 0)()( 2211 =+ xfcxfc .

    exemplo 2 : As funes 1)(,)(,)( 32

    21 === xfxxfxxf so li-nearmente independentes.

    0

    0)()()(

    32

    21

    332211

    =++=++

    cxcxcxfcxfcxfc

    .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    68

    Fazendo 0=x , temos 03 =c

    fazendo

    1=x0321 =++ ccc

    fazendo

    1=x0321 =++ ccc

    resolvendo o sistema

    03 =c0321 =++ ccc0321 =++ ccc

    temos 0321 === ccc .

    Logo, 1)(,)(,)( 32

    21 === xfxxfxxf so linearmente in-dependentes.

    critrio para independncia l inear - wronskiano

    )(...,,)(),( 21 xfxfxf n so linearmente independentes em I se

    a) )(...,,)(),( 21 xfxfxf n so derivveis, pelo menos, at ordem 1n

    b) Para algum ponto Ia ,

    1 2

    1 21 2

    ( 1) ( 1) ( 1)1 2

    ( ) ( ) ( )'( ) '( ) '( )

    ( , ,..., )( ) det 0

    ( ) ( ) ( )

    n

    nn

    n n nn

    f a f a f af a f a f a

    W f f f a

    f a f a f a

    =

    A funo W chamada de Wronskiano.Para ver que o critrio funciona: sejam nccc ...,,, 21 tais que

    0)(...)()( 2211 =+++ xfcxfcxfc nn .

    Logo, temos o sistema

    0)(...)()( 2211 =+++ xfcxfcxfc nn0)(...)()( ''22

    '11 =+++ xfcxfcxfc nn

    0)(...)()( )1()1(22)1(

    11 =+++ xfcxfcxfc nnn

    nn

    cujas incgnitas so nccc ...,,, 21 .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    69

    Fazendo ax = no sistema acima, temos uma nica soluo nccc ...,,, 21 pois

    1 2

    1 21 2

    ( 1) ( 1) ( 1)1 2

    ( ) ( ) ( )'( ) '( ) '( )

    ( , ,..., )( ) det 0

    ( ) ( ) ( )

    n

    nn

    n n nn

    f a f a f af a f a f a

    W f f f a

    f a f a f a

    =

    Como 0...,,0,0 21 === nccc a soluo do sis-tema, por unicidade, no pode haver outra soluo. Por-tanto, no existem constantes nccc ...,,, 21 no todas nu-las tal que 0)(...)()( 2211 =+++ xfcxfcxfc nn . Por isso,

    )(...,,)(),( 21 xfxfxf n so linearmente independentes em I .Observe que, se existem constantes nccc ...,,, 21 no todas

    nulas, tal que 0)(...)()( 2211 =+++ xfcxfcxfc nn , ento, para cada Ix , o sistema

    0)(...)()( 2211 =+++ xfcxfcxfc nn0)(...)()( ''22

    '11 =+++ xfcxfcxfc nn

    0)(...)()( )1()1(22)1(

    11 =+++ xfcxfcxfc nnn

    nn

    admite soluo. Portanto, 1 2( , ,..., )( ) 0nW f f f x = para todo Ix .Podemos concluir, ento, que )(...,,)(),( 21 xfxfxf n , de-

    finidas num intervalo I , so linearmente dependentes em Ie possuem as derivadas at, pelo menos, ordem 1n , ento

    1 2( , ,..., )( ) 0nW f f f x = para todo Ix .

    exemplos:1. Mostre que as funes )(),cos( xsenx so linearmente inde-pendentes.Soluo:

    cos(cos , ( )) det 1

    ( ) cosx senx

    W x sen xsen x x

    = =

    para qualquer que seja o nmero real x . Pelo critrio acima, )(),cos( xsenx so linearmente independentes.

    2. Mostre que as funes xx ee , so linearmente independentes.

    Soluo: ( , ) det 2x x

    x xx x

    e eW e e

    e e

    = =

    para qualquer

    que seja o nmero real x . Pelo critrio acima, xx ee , so linear-mente independentes.

    bibliografia Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I.

    Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

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    70

    tpico 14 soluo geral para equaes diferenciais lineares

    ObjetivosAplicaesEquaes lineares homogneas de segunda ordemPrincpio da superposioSolues linearmente independentesSoluo geral de uma equao diferencial linearSolues para equaes diferenciais lineares de ordem superiorBibliografia

    objetivosMostrar a dependncia ou independncia linear de solues. Cons-truir a soluo geral a partir de solues linearmente independen-tes conhecidas. Determinar o nmero de solues linearmente in-dependentes.

    aplicaesNeste tpico, no estamos interessados em tcnicas para resolver equaes diferenciais lineares. Estamos interessados em saber quan-tassoluessonecessriasesuficientespararesolverumaequa-o. Para isso, os conceitos de dependncia e independncia linear so importantes. Resolver uma equao obter a soluo geral.

    equaes lineares homogneas de segunda ordem A equao diferencial

    2

    0 1 22( ) ( ) ( ) 0d y dya x a x a x ydx dx

    + + =

    dita homognea ( 0)( =xg ).

    J 2

    0 1 22( ) ( ) ( ) ( )d y dya x a x a x y g xdx dx

    + + =

    dita no homognea.

    Para que tenhamos existncia e unicidade para o problema de va-lor inicial, vamos supor que 0 1 2( ), ( ), ( ), ( )a x a x a x g x so fun-es contnuas e que )(0 xa no se anula.

    princpio da superposioSe 21 , yy so duas solues para equao linear homognea

    0 1 2( ) '' ( ) ' ( ) 0a x y a x y a x y+ + =

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    71

    ento 1 2y Ay By= + tambm soluo da equao.

    Para ver isso, observe que'' '

    0 1 1 1 2 1'' '

    0 2 1 2 2 2

    ( ) ( ) ( ) 0

    ( ) ( ) ( ) 0

    a x y a x y a x ya x y a x y a x y

    + + =+ + = .

    Multiplicando a primeira por A e a segunda por B

    '' '0 1 1 1 2 1

    '' '0 2 1 2 2 2

    ( ) ( ) ( ) 0

    ( ) ( ) ( ) 0

    a x Ay a x Ay a x Aya x By a x By a x By

    + + =+ + =

    usando a linearidade das derivadas

    0 1 1 1 2 1

    0 2 1 2 2 2

    ( )( ) '' ( )( ) ' ( ) 0( )( ) '' ( )( ) ' ( ) 0

    a x Ay a x Ay a x Aya x By a x By a x By

    + + =+ + =

    somando as duas equaes

    0 1 2 1 1 2 2 1 2( )(( ) '' ( ) '') ( )(( ) ' ( ) ') ( )( ) 0a x Ay By a x Ay By a x Ay By+ + + + + =usando novamente a linearidade da derivada

    0 1 2 1 1 2 2 1 2( )( ) '' ( )( ) ' ( )( ) 0a x Ay By a x Ay By a x Ay By+ + + + + =

    portanto 1 2y Ay By= + tambm soluo da equao

    2

    0 1 22( ) ( ) ( ) 0d y dya x a x a x ydx dx

    + + = .

    Note que a soluo nula sempre soluo da equao

    2

    0 1 22( ) ( ) ( ) 0d y dya x a x a x ydx dx

    + + =

    bem como uma soluo multiplicada por uma constante tambm uma soluo.

    solues linearmente independentesTeorema: Sejam 21, yy solues para equao linear homognea

    2

    0 1 22( ) ( ) ( ) 0d y dya x a x a x ydx dx

    + + =.

    Ento 21 , yy so linearmente independentes I , se e somente se 1 2( , )( ) 0W y y x para todo Ix .

    Prova: se 1 2( , )( ) 0W y y x ento 21 , yy so linearmente inde-pendentes em I (Critrio de independncia linear).

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    72

    Agora, a pergunta : 21 , yy so linearmente independentes em I , ento 1 2( , )( ) 0W y y x para todo x I ? Isso, para duas funes quaisquer, no verdadeiro. Mas, no nosso caso, 21 , yy so solues de uma equao diferencial linear.

    Vamos supor que 21 , yy so linearmente independentes e que 1 2( , )( ) 0W y y a = para algum Ia .

    Logo, o sistema 1 1 2 2

    ' '1 1 2 2

    ( ) ( ) 0

    ( ) ( ) 0

    c y a c y ac y a c y a

    + =+ =

    possui soluo no trivial 21 , cc pois

    1 21 2 ' '

    1 2

    ( ) ( )( , )( ) det 0

    ( ) ( )y a y a

    W y y ay a y a

    = = .

    Logo, 1 1 2 2y c y c y= + que uma soluo no nula ( 21 , yy so linearmente independentes) satisfaz o problema de valor inicial

    2

    0 1 22( ) ( ) ( ) 0

    ( ) 0'( ) 0

    d y dya x a x a x ydx dx

    y ay a

    + + =

    ==

    Mas 0=y tambm satisfaz o problema de valor inicial2

    0 1 22( ) ( ) ( ) 0

    ( ) 0'( ) 0

    d y dya x a x a x ydx dx

    y ay a

    + + =

    ==

    o que uma contradio. Logo, o Wronskiano nunca se anula.

    soluo geral de uma equao diferencial linearTeorema: Sejam 21, yy solues linearmente independentes para equao linear homognea

    2

    0 1 22( ) ( ) ( ) 0d y dya x a x a x ydx dx

    + + =

    definidasem I . Se z tambm uma soluo, ento existem cons-tantes A e B tal que 1 2z Ay B y= +

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    73

    Prova: Dado It fixado,considereoseguinteproblemadevalorinicial

    2

    0 1 22( ) ( ) ( ) 0

    ( ) ( )'( ) '( )

    d y dya x a x a x ydx dx

    y t z ty t z t

    + + =

    ==

    Como 21, yy so solues linearmente independentes, sabemos que

    1 21 2 ' '

    1 2

    ( ) ( )( , )( ) det 0

    ( ) ( )y t y t

    W y y ty t y t

    =

    .

    Logo, o sistema

    1 1 2 2' '

    1 1 2 2

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) '( )

    c y t c y t z tc y t c y t z t

    + =+ =

    admite uma nica soluo Ac =1 e Bc =2 . Portanto, 1 2Ay B y+ e z satisfazem o mesmo problema de valor inicial. Logo, pela unicidade de solues para o problema de valor inicial, temos

    1 2z Ay B y= + .

    Toda soluo da equao homognea escrita na forma

    1 2y Ay B y= + tambm chamada de soluo geral da equao

    2

    0 1 22( ) ( ) ( ) 0d y dya x a x a x ydx dx

    + + = .

    exemplo1:1. Mostre que ( ) cos ( )y x A x Bsen x= + soluo geral da equa-o diferencial

    0'' =+ yy

    Soluo: Vamos mostrar que )(,cos xsenx so linearmente inde-pendentes, calculando o Wronskiano (este no se anula).

    2. Mostre que ( ) x xy x Ae Be= + a soluo geral da equao diferencial

    0'' =yy

    Soluo: Calculando o Wronskiano de xx ee , , vemos que este no se anula.

    solues para equaes diferenciais l ineares de ordem superiorPodemos aplicar o mesmo argumento, adotado para lineares de segunda ordem, para o caso de ordem superior.

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    74

    Equaes lineares homogneas de ordem superior

    A equao diferencial 0 1( ) ... ( ) ( ) 0n

    n nn

    d y dya x a x a x ydx dx

    + + + = dita homognea

    ( ( ) 0g x = ).

    J 0 1( ) ... ( ) ( ) ( )

    n

    n nn

    d y dya x a x a x y g xdx dx

    + + + = dita no

    homognea.

    Todos os resultados acima se aplicam para equaes lineares ho-mogneas de ordem superior. O conjunto fundamental ter n so-lues nyy ,...,1 linearmente independentes. A soluo geral da equao de ordem superior

    1 1 ... n ny A y A y= + + .

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

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    75

    tpico 15 soluo geral para equaes lineares no homogneas

    IntroduoObjetivoSoluo Particular Soluo GeralSolues gerais para equaes diferenciais lineares no homogneas de ordem superiorBibliografia

    introduoNeste tpico no estamos procurando tcnicas para resolver uma equao. Estamos interessados em montar uma soluo geral a partir de solues conhecidas.

    objetivoObter a soluo geral da equao

    0 1 2( ) '' ( ) ' ( ) ( )a x y a x y a x y g x+ + = ,

    chamada de no homognea, sabendo antecipadamente a soluo da equao homognea associada,

    0 1 2( ) '' ( ) ' ( ) 0a x y a x y a x y+ + = ,

    e uma soluo particular.

    soluo particular

    exemplo1 : uma soluo particular para a equao

    '' 9 27y y+ =

    3=py , pois ( ) 0'' =py e '' 9 9 3 27p py y+ = = .

    exemplo2 : uma soluo particular para a equao

    2 3'' 2 ' 8 4 6x y xy y x x+ = +

    xxy p =3

    pois ( ) ( )2' 3 1, '' 6p py x y x= = .Portanto, 2 2 3 3(6 ) 2 (3 1) 8( ) 4 6x x x x x x x x+ = + .

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    76

    soluo geralPara resolver o problema no homogneo

    0 1 2( ) '' ( ) ' ( ) ( )a x y a x y a x y g x+ + = ,

    primeiro resolvemos o problema homogneo

    0 1 2( ) '' ( ) ' ( ) 0a x y a x y a x y+ + =

    e encontramos a soluo geral

    1 2y Ay By= + .

    Em seguida, encontramos uma soluo particular py para o pro-blema no homogneo

    0 1 2( ) '' ( ) ' ( ) ( )a x y a x y a x y g x+ + = .

    A soluo geral para o problema no homogneo ser

    1 2 py Ay By y= + +

    o que resumimos no seguinte resultado:

    Teorema: Sejam py e z solues para o problema no homogneo

    0 1 2( ) '' ( ) ' ( ) ( )a x y a x y a x y g x+ + = .

    ento pyz soluo para o problema homogneo

    0 1 2( ) '' ( ) ' ( ) 0a x y a x y a x y+ + = .

    Portanto,

    1 2pz y Ay By = + .

    Prova: Como pyz, so solues da equao

    0 1 2( ) '' ( ) ' ( ) ( )a x y a x y a x y g x+ + =

    temos

    0 1 2

    0 1 2

    ( ) '' ( ) ' ( ) ( )

    ( ) '' ( ) ' ( ) ( )p p pa x y a x y a x y g x

    a x z a x z a x z g x+ + =

    + + =

    Fazendo a diferena das duas equaes e usando a linearidade da derivada, temos

    0 1 2( )( ) '' ( )( ) ' ( )( ) 0p p pa x z y a x z y a x z y + + = ,

    o que prova o teorema.

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    77

    exemplos:1. Mostre que ( ) cos ( ) 3y x A x Bsen x= + + soluo geral da equao diferencial

    3'' =+ yy

    Soluo: sabemos que )(cos)( xBsenxAxyH += a soluo geral da equao homognea 0'' =+ yy e 3=py uma soluo particular para o sistema

    3'' =+ yy

    Portanto,

    ( ) cos ( ) 3y x A x Bsen x= + +

    a soluo geral para a equao no homognea 3'' =+ yy .

    2. Mostre que 3( ) x x xy x Ae Be e= + +

    a soluo geral da equao diferencial

    2'' 3 xy y e =

    Soluo: x xHy Ae Be= + a soluo para a equao homognea

    0'' =yy

    e xe2 uma soluo particular para a equao no homognea xeyy 23'' =

    pois 2 2 2 2( ) ' 2 , ( ) '' 4x x x xe e e e= = .

    Logo,2 2 2'' 4 3x x xy y e e e = =

    Portanto, a soluo geral para a equao xeyy 23'' =

    3( ) x x xy x Ae Be e= + + .

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    78

    solues gerais para equaes diferenciais l ineares no homogneas de ordem superiorTodos os resultados acima se aplicam para equaes lineares no homogneas de ordem superior. Primeiro obtemos um conjunto fundamental de n solues nyy ,...,1 para o caso homogneo

    0 1( ) ... ( ) ( ) 0n

    n nn

    d y dya x a x a x ydx dx

    + + + = .

    Encontramos uma soluo particular py para a equao

    0 1( ) ... ( ) ( ) ( )n

    n nn

    d y dya x a x a x y g xdx dx

    + + + =

    e a soluo geral da equao linear no homognea de ordem su-perior

    0 1( ) ... ( ) ( ) ( )n

    n nn

    d y dya x a x a x y g xdx dx

    + + + =

    ser

    1 1 ... n n py A y A y y= + + + .

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

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    79

    tpico 16 determinando uma segunda soluo

    IntroduoObjetivoVariao de parmetroFrmula geralBibliografia

    introduoSe conheo somente uma soluo para equao linear homognea de ordem 2, '' ( ) ' ( ) 0y P x y Q x y+ + = , como proceder para obter a segunda soluo? Neste tpico, vamos apresentar o mtodo cha-mado de variao de parmetro. Note que, se 1y soluo de uma equao linear homognea, ento 1Cy tambm soluo, onde C uma constante. O mtodo consiste em assumir C como uma fun-o e no uma constante e obter, se possvel, a segunda soluo na forma 2 1y uy= . Para obter a segunda soluo, podemos faz-lo de duas maneiras: a primeira maneira seguir os passos do exemplo abaixo. A segunda aplicar a frmula geral

    ( )22 1 1

    P x dxy y y e dx = .

    objetivoEncontrar uma segunda soluo para a equao diferencial linear homognea de ordem 2, sabendo antecipadamente uma primei-ra soluo.

    variao de parmetroexemplo : Sabendo que 31 xy = uma soluo para a equao

    2 '' 6 0x y y = ,

    obtenha 2y tal que { }21 , yy um conjunto fundamental de so-lues.

    Soluo: a tcnica consiste em encontrar uma funo u tal que2 1y uy= a soluo da equao

    2 '' 6 0x y y = .

    Derivando

    2 1y uy= ,

    usando a regra do produto, obtemos,

    2 1 1( ) ' ( ) ' 'y u y u y= + .

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    80

    Derivando novamente,

    2 1 1 1 1( ) '' ( ) '' '( ) ' '( ) ' ''( )y u y u y u y u y= + + + .

    Substituindo na equao, (pois queremos que 2 1y uy= seja soluo)

    [ ]2 1 1 1 1 1( ) '' '( ) ' '( ) ' ''( ) 6 0x u y u y u y u y uy+ + + = .

    Fazendo algumas continhas

    [ ] ( )2 21 1 1 12 '( ) ' '' ( ) '' 6 0u y y u x u x y y+ + = .Note que

    ( )2 1 1( ) '' 6 0x y y = ,pois 31 xy = soluo da equao

    2 '' 6 0x y y = .

    Note, tambm, para que 2 1y uy= seja soluo, temos de ter

    1 12 '( ) ' '' 0u y y u+ = .

    Substituindo 31 xy = e ( ) 21 ' 3y x= em 1 12 '( ) ' '' 0u y y u+ = , obtemos

    2 36 ' '' 0x u x u+ = .

    ou6'' ' 0u ux

    + =.

    Para resolver esta equao diferencial em u fizemos'uw = .

    Ento6' 0w wx

    + =,

    o que uma equao diferencial linear separvel de primeira ordem

    ' 6ww x

    = ,

    donde ' 6w dx

    w x= .

    Portanto,6ln 6 ln lnw x x= = .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    81

    Segue que6'u w x= = .

    Finalmente

    515

    u x= e 5 3 22 1 21 1 15 5 5

    y uy x x xx

    = = = = .

    frmula geralSabendo que 1y uma soluo para a equao

    '' ( ) ' ( ) 0y P x y Q x y+ + = ,

    ento

    ( )22 1 1

    P x dxy y y e dx = e { }21 , yy um conjunto fundamental de solues.

    Soluo: seguindo os passos do exemplo acima, vamos encontrar uma funo u tal que 2 1y uy= soluo da equao

    '' ( ) ' ( ) 0y P x y Q x y+ + = .

    Derivando,

    2 1y uy= ,

    usando a regra do produto de derivadas, obtemos

    2 1 1( ) ' ( ) ' 'y u y u y= + .

    Derivando novamente, obtemos

    2 1 1 1 1 1 1 1( ) '' ( ) '' '( ) ' '( ) ' ''( ) ( ) '' 2 '( ) ' ''( )y u y u y u y u y u y u y u y= + + + = + +

    Substituindo na equao, (pois queremos que 2 1y uy= seja soluo)

    [ ] [ ]1 1 1 1 1 1( ) '' 2 '( ) ' ''( ) ( ) ( ) ' '( ) ( ) 0u y u y u y P x u y u y Q x uy+ + + + + =

    fazendo algumas continhas, obtemos

    [ ] ( )1 1 1 1 1 12 '( ) ' '' ( )( ) ' ( ) '' ( )( ) ' ( ) 0u y y u P x y u u y P x y Q x y+ + + + + =

    Note que

    ( )1 1 1( ) '' ( )( ) ' ( ) 0y P x y Q x y+ + = ,

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    82

    pois 1y soluo da equao '' ( ) ' ( ) 0y P x y Q x y+ + = .Note, tambm, que, para que 2 1y uy= seja soluo, temos de ter

    [ ][ ]1 1 1

    1 1 1

    2 '( ) ' '' ( )( ) ' 0

    '' ( )( ) 2( ) ' ' 0

    u y y u P x y u

    y u P x y y u

    + + =+ + =

    Para resolver esta equao diferencial em u fizemos'uw = .

    Ento

    [ ]1 1 1' ( )( ) 2( ) ' 0y w P x y y w+ + = ,o que uma equao diferencial linear separvel de primeira or-dem, que pode ser reescrita na forma,

    1

    1

    ( ) '' ( ) 2 yw P xw y

    = +

    donde

    1

    1

    ( ) '' ( ) 2 yw P xw y

    = + .

    Portanto,

    1ln 2 ln ( )w y P x dx= .Segue que

    ( )21'

    P x dxu w y e = = .Finalmente, obtemos a frmula para obter a segunda soluo,

    ( )21

    P x dxu y e dx = e ( )22 1 1 P x dxy y y e dx = .

    exemplo : sabendo que 21 xy = uma soluo para a equao2 '' 3 ' 4 0x y xy y + = ,

    obtenha 2y tal que { }21 , yy um conjunto fundamental de solues.

    Soluo: temos de escrever a equao 2 '' 3 ' 4 0x y xy y + = na for-ma '' ( ) ' ( ) 0y P x y Q x y+ + = . Neste caso, temos de dividir por 2x obtendo

    2

    3 4'' ' 0y y yx x

    + =, donde

    2

    3 4( ) ', ( )P x y Q xx x

    = = .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    83

    Colocando na frmula, obtemos,

    3( )2 2 4

    2 1 1

    dxP x dx xy y y e dx x x e dx = =

    33

    2 4 2 4 3ln 2 4 ln2

    2 4 3 2 22

    1 ln

    dx x xxy x x e dx x x e dx x x e dx

    y x x x dx x dx x xx

    = = =

    = = =

    Portanto, 22 lny x x= .

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    84

    tpico 17 equaes lineares homogneas com coeficientes constantes

    IntroduoExemplosdeequaeslinearesdesegundaordemcomcoefi-cientes constantes ObjetivosEquao caracterstica para equao de ordem 2 Equao caracterstica possui razes reais distintasA equao caracterstica possui razes reais iguaisA equao caracterstica possui razes complexas EquaeslinearescomcoeficientesconstantesdeordemtrsEquaeslinearescomcoeficientesconstantesdeordemquatroEquaeslinearescomcoeficientesconstantesdeordemsuperior

    introduoComeamos a encontrar solues para equaes diferenciais de segunda ordem. Iniciamos abordando o caso em que a equao homogneaeoscoeficientessoconstantes,daforma

    '' ' 0ay by cy+ + = .

    Exemplosdeequaeslinearesdesegundaordemcomcoeficien-tes constantes:

    1. '' 3 ' 2 0y y y+ + =2. '' 4 ' 4 0y y y+ + =3. '' 7 ' 12 0y y y+ + =4. '' 16 0y y+ =

    objetivosResolverumaequao linearhomogneacomcoeficientescons-tantes. Resolver problemas de valor inicial envolvendo equaes linearescomcoeficientesconstantes.

    equao caracterstica para equao diferencial de ordem 2Sabemos que a soluo para o caso ' 0y ky = kxy Ce= . na-tural procurar solues da forma kxy Ce= para a equao

    '' ' 0ay by cy+ + = .

    Vamos tentar uma soluo da forma kxy e= para a equao

    '' ' 0ay by cy+ + =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    85

    kxy e=' kxy ke=

    2'' kxy k e=

    Substituindo na equao '' ' 0ay by cy+ + = , obtemos

    2 0kx kx kxak e bke ce+ + = .

    Como kxe nunca se anula, temos a seguinte equao:

    2 0ak bk c+ + =

    chamada de equao caracterstica.

    exemplos:1. A equao caracterstica da equao

    '' 3 ' 2 0y y y+ + =

    2 3 2 0k k+ + =

    as razes so -2 e -1

    2. A equao caracterstica da equao

    '' 4 ' 4 0y y y+ + =

    2 4 4 0k k+ + =

    as razes so iguais -2,-2

    3. A equao caracterstica da equao

    '' 7 ' 12 0y y y+ + =

    2 7 12 0k k+ + =

    as razes so distintas -3 e -4.

    4. A equao caracterstica da equao '' 16 0y y+ = 2 16 0k + =

    as razes so complexas -4i e 4i.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    86

    Depois de obter as razes da equao caracterstica, vamos dividir nosso estudo em trs casos:

    Razes reais e distintasRazes reais iguaisRazes complexas

    a equao caracterstica possui razes reais distintasSe 1m e 2m so razes reais distintas da equao

    2 0ak bk c+ + =

    ,

    ento 11m xy e= e 22

    m xy e= so linearmente independentes.De fato, sabemos que, para ver isso, basta mostrar que o

    Wronskiano de xmey 11 = e xmey 22 = no se anula.

    1 21 2

    1 2

    ( )1 2 2 1

    1 2

    ( , ) det ( ) 0m x m x

    m m xm x m x

    e eW y y m m e

    m e m e+ = =

    pois 1m e 2m so razes reais distintas.Assim, a soluo geral

    1 2m x m xy Ae Be= +

    a equao caracterstica possui razes reais iguaisSe 21 mm = , ento

    1 21 2

    1 2

    ( )1 2 2 1

    1 2

    ( , ) det ( ) 0m x m x

    m m xm x m x

    e eW y y m m e

    m e m e+ = = =

    .Estamos na situao, j estudada, em que conhecemos uma soluo

    11

    m xy e= .

    Temos que encontrar outra soluo 2y tal que 11m xy e= e 2y so

    linearmente independentes. Sabemos que

    1 1

    1 1

    11

    ( )22 1 1

    22

    22

    (2 )

    2

    P x dx

    b dxm x m x a

    b xm x m x a

    bm xm x a

    y y y e dx

    y e e e dx

    y e e e dx

    y e e dx

    +

    =

    =

    =

    =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    87

    Observe que, para o caso das razes iguais, 2 4 0b ac = e portan-to

    abm =1 donde

    1 12

    m x m xy e dx xe= = .

    Calculando o Wronskiano de 11m xy e= e 12

    m xy xe= , obtemos1 1

    1 1

    1 1

    2( ) 2( )1 2 1 1

    1 1

    ( , ) det ( 1 ) 0(1 )

    m x m xm x m x

    m x m x

    e xeW y y xm xm e e

    m e e xm

    = = + = + .

    Assim, a soluo geral

    1 1m x m xy Ae Bxe= +

    a equao caracterstica possui razes complexas Se a equao caracterstica possui razes complexas, elas sero da forma 1m ia b= + e 2m ia b= .

    Portanto

    ( ) ( )1

    ( ) ( )2

    (cos( ) ( ))

    (cos( ) ( ))

    i x x ix x

    i x x ix x

    y e e e e x isen xy e e e e x isen x

    a b a b a

    a b a b a

    b b

    b b

    +

    = = = += = =

    so solues da equao. Como se trata de uma equao linear

    1 2

    1 2

    cos( )2

    ( )2

    x

    x

    y y e x

    y y e sen xi

    a

    a

    b

    b

    + =

    =

    tambm so solues da equao.

    Calculando o Wronskiano de cos( )xe xa b e ( )xe sen xa b , temos

    2

    ( cos( ), ( ))

    cos( ) ( )det

    cos( ) ( ) ( ) cos( )

    cos( ) ( ) cos( ) cos( )( ) cos( ) ( ) ( )

    0

    x x

    x x

    x x x x

    x x x x

    x x x x

    x

    W e x e sen x

    e x e sen xe x e sen x e sen x e x

    e x e sen x e e x xe e sen x x e sen x e sen x

    e

    a a

    a a

    a a a a

    a a a a

    a a a a

    a

    b b

    b ba b b b a b b b

    b a b b b b

    b a b b b b

    b

    =

    = + = + +=

    pois 0b .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    88

    Portanto, cos( ) ( )x xy Ae x Be sen xa ab b= + a soluo geral

    para o caso das razes da equao caracterstica serem complexas.

    exemplos:1. A equao caracterstica da equao

    '' 3 ' 2 0y y y+ + =

    2 3 2 0k k+ + =

    as razes so -2 e -1. A soluo geral

    2x xy Ae Be = +

    2. A equao caracterstica da equao

    '' 4 ' 4 0y y y+ + =

    2 4 4 0k k+ + =

    as razes so iguais -2,-2.

    A soluo geral 2 2x xy Ae Bxe = +

    3. A equao caracterstica da equao

    '' 7 ' 12 0y y y+ + =

    2 7 12 0k k+ + =

    as razes so distintas -3 e -4.3 4x xy Ae Be = +

    4. A equao caracterstica da equao '' 16 0y y+ =

    2 16 0k + =

    as razes so complexas -4i e 4i.

    A soluo geral cos(4 ) (4 )y A x Bsen x= + .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    89

    equaes lineares com coeficientes constantes de ordem trs.Da mesma forma, como foi feito para a ordem 2, obtemos equao caracterstica. Esta ter trs razes. As razes podem ser:

    - Todas distintas: a soluo geral mx nx kxy Ae Be Ce= + +

    - Duas iguais: a soluo geral mx mx nxy Ae Bxe Ce= + +

    - Trs iguais: a soluo geral 2mx mx mxy Ae Bxe Cx e= + +

    - Duas complexas e outra real: a soluo geral

    cos( ) ( )x x m xy Ae x Be sen x Cea ab b= + +

    equaes lineares com coeficientes constantes de ordem quatroDa mesma forma, como foi feito para ordem 2, obtemos a equao caracterstica, as 4 razes. As razes podem ser:

    - Todas distintas: a soluo geral mx nx kx lxy Ae Be Ce De= + + +

    - Duas iguais: a soluo geral 2mx mx mx lxy Ae Bxe Cx e De= + + +

    - Trs iguais: a soluo geral 2mx mx mx lxy Ae Bxe Cx e De= + + +

    - Quatro iguais: a soluo geral 2 3mx mx mx mxy Ae Bxe Cx e Dx e= + + +

    - Duas complexas e duas reais distintas: a soluo geral

    cos( ) ( )x x m x n xy Ae x Be sen x Ce Dea ab b= + + +

    e assim por diante.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    90

    equaes lineares com coeficientes constantes de ordem superiorAnalogamente aos casos anteriores (de ordem 2, 3 e 4), obtemos a equao caracterstica, as razes da equao caracterstica. A soluo geral vai depender do tipo de razes (distintas, iguais, complexas). So muitas as combinaes possveis. No vamos list-las aqui.

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

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    91

    tpico 18 solues particulares para equaes lineares com coeficientes constantes para alguns casos especficos

    ObjetivoConsideraes sobre o mtodoMtodo de soluoBibliografia

    objetivoEncontrar solues particulares para equaes diferenciais de segunda ordem no homogneas, com coeficientes constantes

    '' ' ( )ay by cy g x+ + = ,paraalgunscasosespecficos:

    1. )(xg um polinmio da forma

    0 1( ) ...n

    ng x a a x a x= + + +

    Neste caso, supomos que 0 1 ...n

    p ny A A x A x= + + + . Calculamos 'py e

    ''py , substitumos na equao e obtemos um sistema

    (n+1)x(n+1) cujas incgnitas so 0 1, ,..., nA A A . Resolvendo o sis-tema, encontramos nAAA ,...,, 10 . Veja o exemplo 2 abaixo:

    2. )(xg da forma ( ) ( )xg x e sen kxl= e ( )xe sen kxl no a soluo da equao homognea associada. Tentamos

    cosx xpy Ae kx Be sen kxl l= +

    3. )(xg da forma ( ) cos( )g x kx= e cos( )kx no a soluo da equao homognea associada. Tentamos

    cospy A kx Bsen kx= +

    4. 0 1( ) ( ... )n mx

    ng x a a x a x e= + + + e mxe no so a so-

    luo da equao homognea associada. Tentamos

    0 1( ... )n mx

    p ny A A x A x e= + + + e, se mxe soluo da homog-

    nea, tentamos 0 1( ... )n mx

    p ny A A x A x xe= + + + . O mesmo proce-

    dimento usamos nos casos 1, 2 e 3 acima.

    consideraes sobre o mtodoSo muitos casos que poderamos considerar. Nunca iremos listar todas as possibilidades. Para nosso propsito, as situaes acima sosuficientes.Omtodogeral,queveremosmaisadiante,envol-ve integrais. Muitas integrais no sabemos resolver. Este mtodo visa a fugir das integrais. O mtodo muito simples. Se g tem uma

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    92

    das formas acima, tentamos uma soluo particular como descrita acima. Substitumos na equao (aps obter as derivadas), obte-mos o sistema e resolvemos o sistema.

    mtodo de soluo1. Resolva '' 3 ' 2 10y y y+ + = .

    Primeiro Passo: encontrar a soluo particular

    5=py

    Segundo passo: encontrar a soluo geral da equao homognea associada:

    Equao caracterstica:2 3 2 0r r+ + = .

    Razes da equao caracterstica -2 e -1.

    Razes reais e distintas. Portanto, a soluo geral para o caso ho-mogneo

    2x xHy Ae Be

    = + .

    A soluo geral para a equao 2 5x xy Ae Be = + + .

    2. 2'' 4 ' 4 5y y y x x+ + =

    Primeiro passo: encontrar uma soluo particular.

    - A soluo particular da forma

    2py Ax Bx C= + + .

    Vamos determinar as constantes A, B e C. Note que,

    ( ) ' 2

    ( ) '' 2p

    p

    y Ax By A

    = +=

    .

    Substituindo na equao, obtemos

    2 2'' 4 ' 4 2 4(2 ) ( ) 5y y y A Ax B Ax Bx C x x+ + = + + + + + =

    Fazendo umas continhas2 22 4 (2 ) 5A B C A B x Ax x x+ + + + + = ,

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    93

    obtemos o sistema,2 4 02 5

    1

    A B CA B

    A

    + + = + = = .

    Resolvendo o sistema, obtemos

    307

    1.

    CBA

    = = =

    Portanto,

    2 7 30py x x=

    Segundo passo: encontrar a soluo geral para a equao homog-nea associada.

    Equao caracterstica2 4 4 0r r+ + =

    Razes da equao caracterstica -2 e -2.

    Razes reais iguais. Portanto, a soluo geral para o caso homog-neo

    2 2x xHy Ae Bxe

    = + .

    Terceiro passo: escrever a soluo geral para a equao, que nesse caso

    2 2 2 7 30x xy Ae Bxe x x = + + .

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

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    94

    tpico 19 solues particulares para equaes lineares com coeficientes constantes da abordagem por anuladores

    ObjetivoObservaes sobre o mtodoAnuladoresDescrio do mtodo passo a passoExemplo passo a passoBibliografia

    objetivoEncontrar solues particulares de equaes diferenciais lineares nohomogneascomcoeficientesconstantes.

    observaes sobre o mtodoContinuamos a procurar solues particulares para equaes dife-renciaiscomcoeficientesconstantes,nohomogneos

    '' ' ( )ay by cy g x+ + = .

    Estemtodosvaleparaequaeslinearescomcoeficientescons-tantes. Como no mtodo anterior, procuramos fugir das integrais.

    A derivada de uma funo pode ser vista como um operador linear. Denotamos

    'Dy y=2 ''D y y=3 '''D y y=

    e assim por diante.

    A equao '' ' ( )ay by cy g x+ + = , em termos de operadores, pode ser escrita na forma

    2 ( )aD y bDy cIy g x+ + = ,

    onde Iy y= . Isto , I afunoidentidade.Peladefiniodefuno,tambm podemos escrever a equao 2 ( )aD y bDy cIy g x+ + = na forma

    2( ) ( )aD bD cI y g x+ + = .

    anuladores1. Se cy = , ento ' 0Dy y= = .

    Neste caso, dizemos que D um anulador de cy = .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    95

    2. Se xy = , ento ' 1Dy y= = e 2 '' 0D y y= = ,dizemos que 2D um anulador de xy = .

    3. Se nxy = , ento 1 0nD y+ = , nD um anulador de nxy =

    4. Se xy cos= , ento 2( ) 0D I y+ = , 2( )D I+ um anulador de xy cos= .

    5. Se Hy soluo da equao '' ' 0ay by cy+ + = , ento 2( ) 0HaD bD cI y+ + = e, portanto,

    2aD bD cI+ + um anu-lador de Hy .

    Um operador L uma anulador de y se ( ) 0.L y = Por exemplo, em (5) 2L aD bD cI= + + .

    6. Podemos escrever 2 1 2( )( )aD bD cI a D r D r+ + = onde 21 , rr so razes da equao caracterstica

    2 0ar br c+ + = . Note que 1D r I anulador de 11

    r xy Ae= e 2D r I anulador de 2

    2r xy Ae= .

    descrio do mtodo passo a passoComo encontrar solues particulares com anuladores?

    Primeiro passo:Encontramos um operador L anulador da funo )(xg .

    Segundo passo:Resolvemos o problema homogneo 2( ) 0L aD bD cI y+ + = . En-contramos um conjunto fundamental de solues.

    Terceiro passo: Exclumos as solues do problema homogneo

    Quarto Passo:Substitumos o restante na equao e igualamos a )(xg

    Quinto Passo:Encontramos o sistema

    Sexto passo:Resolvemos o sistema

    Stimo passo:Escrevemos a soluo geral para a equao.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    96

    Veja o exemplo:

    Exemplo passo a passo Resolva 4 2'' 2 ' 5 cos10xy y y e x sen x x+ + = + + + .

    Primeiro passo:Encontramos um operador L anulador da funo

    4 2 5 cos10xe x sen x x+ + + .

    Isto pode ser feito olhando as parcelas da soma separadamente.

    - Sabemos que xe4 soluo da equao linear ' 4 0y y = . Portanto, ID 4 um anulador de xe4 .

    - 3D um anulador para 2x

    - 5sen x soluo da equao '' 25 0y y+ = . Da, 2 25D I+ anulador de 5sen x

    - cos10x soluo da equao '' 100 0y y+ = . Da, 2 100D I+ anulador de cos10x .

    Portanto, 2 2 3( 25 )( 100 )( )( 4 )L D I D I D D I= + + um anula-dor de 4 2 5 cos10xe x sen x x+ + + .

    Observamos que a ordem dos fatores no importa, pois, para o casodecoeficientesconstantes,estesoperadorescomutam.

    Segundo passo:Resolvemos o problema homogneo

    2 2 3 2( 25 )( 100 )( )( 4 )( 2 1) 0D I D I D D I D D y+ + + + =

    A equao caracterstica 2 2 3 2( 25)( 100 )( )( 4)( 2 1) 0r r I r r r r y+ + + + =

    As razes so: 5 , 5 ,10 , 10 ,0,0,0, 4, 1, 1i i i i

    Encontramos um conjunto fundamental de solues:

    { }2 4cos5 , 5 ,cos10 , 10 ,1, , , , ,x x xx sen x x sen x x x e e xe

    Terceiro passo: Exclumos as solues do problema homogneo, que so

    { },x xe xe

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    97

    Sobram { }2 4cos5 , 5 ,cos10 , 10 ,1, , , xx sen x x sen x x x eQuarto Passo:Substitumos a combinao linear do restante na equao e igua-lamos a )(xg

    2 4cos5 5 cos10 10 xpy A x B sen x C x Dsen x E Fx Gx He= + + + + + + +

    4( ) ' 5 5 5 cos5 10 10 10 cos10 2 4 xpy Asen x B x Csen x D x F Gx He= + + + + +

    4( ) '' 25 cos5 25 5 100 cos10 100 10 2 16 xpy A x Bsen x C x Dsen x G He= + +

    Substitumos na equao e igualamos a 4 2 5 cos10xe x sen x x+ + +

    2 4

    4

    4

    ( ) '' 2( ) ' cos5 5 cos10 10

    10 5 10 cos5 20 10 20 cos10 2 4 825 cos5 25 5 100 cos10 100 10 2 16

    xp p p

    x

    x

    y y y A x B sen x C x Dsen x E Fx Gx He

    Asen x B x Csen x D x F Gx HeA x Bsen x C x Dsen x G He

    + + = + + + + + + +

    + + + + + + +

    = 4 2 5 cos10xe x sen x x+ + +

    Quinto Passo:Encontramos o sistema.Paraencontrarosistema,igualamososcoeficientesdecadaladoda igualdade:

    10 25 010 25 120 100 120 100 02 2 04 018 16 1

    A B AB A BC D CD C DE F GF GGH H H

    + = = + = = + + = + =

    = + + =

    Sexto passo:Resolvemos o sistema. Encontramos

    10 24 1 99, , ,676 676 10221 204020

    16, 4, 1,25

    A B D C

    E F G H

    = = = =

    = = = =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    98

    Stimo passo:Escrevemos a soluo geral para a equao. A soluo particular

    2 410 24 99 1 1cos5 5 cos10 10 6 4 1676 676 204020 10221 25

    xpy x sen x x sen x x x e= + + + +

    A soluo para o caso homogneo associado

    x xHy Ie Jxe

    = + .

    A soluo geral

    2

    4

    10 24cos5 5676 676

    99 1cos10 10204020 102216 4 1125

    .

    x

    x x

    y x sen x

    x sen x

    x x

    e

    Ie Jxe

    =

    +

    + +

    +

    + +

    Note que poderamos ter encontrado a soluo particu-lar, separadamente, considerando cada parcela da soma de

    4 2 5 cos10xe x sen x x+ + + .

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    99

    tpico 20 solues particulares por variao de parmetros

    ObjetivoDescrio do mtodoVariao de parmetros passo a passoVariao de parmetros para equaes lineares de ordem superiorBibliografia

    objetivoObter solues particulares atravs do mtodo de variao de pa-rmetros. Isto , obter solues particulares para equaes dife-renciais de segunda ordem no homogneas

    '' ( ) ' ( ) ( )y P x y Q x y g x+ + =

    da forma

    1 1 2 2py u y u y= +

    onde

    21 ' '

    1 2 1 2

    12 ' '

    1 2 1 2

    ( )

    ( ) ,

    y g xu dxy y y yy g xu dx

    y y y y

    =

    =

    21 , yy so solues da equao homognea associada.

    descrio do mtodoResolvemos primeiro o caso homogneo associado, encontrando

    21 , yy solues linearmente independentes. Procuramos funes 21 ,uu tal que

    1 1 2 2py u y u y= +

    uma soluo particular da equao. Encontramos '2'1 ,uu resol-

    vendo o sistema' '1 1 2 2' ' ' '1 1 2 2

    0

    ( ).

    u y u yu y u y g x

    + =

    + =

    Obtemos 21 ,uu , integrando '2

    '1 ,uu .

    No importa como obtemos a soluo particular, sabemos que a diferena de duas solues particulares soluo da homognea associada. A primeira equao est associada ao mtodo simples-mente. A segunda obtida substituindo 1 1 2 2py u y u y= + , a primei-ra derivada e a segunda derivada de py na equao diferencial.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    100

    Este mtodo pode ser aplicado a qualquer equao diferencial li-near no homognea.

    variao de parmetros passo a passoPrimeiro passo:Encontramos 21 , yy , solues da equao homognea associada

    '' ( ) ' ( ) 0y P x y Q x y+ + =

    Segundo passo:Procuramos as funes 21 ,uu tal que

    1 1 2 2py u y u y= + e ' '1 1 2 2 0u y u y+ = .

    Terceiro passo:Calculamos as derivadas e substitumos na equao.

    1 1 2 2

    ' ' ' ' '1 1 1 1 2 2 2 2

    '' '' ' ' '' '' ' ' ''1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 22 2

    p

    p

    p

    y u y u y

    y u y y u u y y u

    y u y y u y u u y y u y u

    = +

    = + + +

    = + + + + +

    Substituindo na equao

    '' '( ) ( ) ( )p p py P x y Q x y g x+ + = ,

    obtemos

    ( ) ( )'' ' ' '' '' ' ' ''1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

    ' ' ' '1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2

    2 2

    ( ) ( ) ( ).

    u y y u y u u y y u y u

    P x u y y u u y y u Q x u y u y g x

    + + + + ++ + + + + + =

    Reorganizando, temos

    ( ) ( )'' ' ' '' ' ' ' ' ' '1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1

    '' ' '' ' ' '1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2

    ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

    u y y u u y y u y u y u

    u y P x y Q x y u y P x y Q x y P x u y u y g x

    + + + + ++ + + + + + + + =

    Como 21 , yy so solues da equao homognea, temos

    ( )( )

    '' '1 1 1 1

    '' '2 2 2 2

    ( ) ( ) 0

    ( ) ( ) 0

    u y P x y Q x y

    u y P x y Q x y

    + + =

    + + =

    Por hiptese

    ' '1 1 2 2( ) 0u y u y+ = .

    A derivada disso nos d

    '' ' ' '' ' '1 1 1 1 2 2 2 2( ) 0u y y u u y y u+ + + = .

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    101

    Portanto,

    ( )( )

    '' ' ' '' ' '1 1 1 1 2 2 2 2

    '' '1 1 1 1

    '' '2 2 2 2

    ' '1 1 2 2

    ( ) 0

    ( ) ( ) 0

    ( ) ( ) 0

    ( )( ) 0.

    u y y u u y y u

    u y P x y Q x y

    u y P x y Q x y

    P x u y u y

    + + + =+ + =

    + + =

    + =

    sobrando ' ' ' '2 2 1 1( ) ( )y u y u g x+ = .

    Quarto passo: Temos o seguinte sistema

    ' '1 1 2 2( ) 0u y u y+ =

    ' ' ' '1 1 2 2( ) ( )y u y u g x+ =

    Quinto passo:Resolvendo o sistema, obtemos

    ' 21 ' '

    1 2 1 2

    ' 12 ' '

    1 2 1 2

    ( )

    ( )

    y g xuy y y yy g xu

    y y y y

    =

    =

    Sexto passo:Integramos as funes acima e obtemos

    21 ' '

    1 2 1 2

    12 ' '

    1 2 1 2

    ( )

    ( )

    y g xu dxy y y yy g xu dx

    y y y y

    =

    =

    1 1 2 2py u y u y= + uma soluo particular procurada.

    exemplo :

    Resolva2'' 4 ' 4 ( 1) xy y y x e + = + .

    Soluo: Primeiro vamos resolver a equao homognea associada:

    '' 4 ' 4 0y y y + =

    A equao caracterstica 2 4 4 0r r + = , cujas razes so 2 e 2, razes iguais. Portanto, 2 21 2,

    x xy e y xe= = so solues linear-mente independentes da equao homognea associada.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    102

    Como encontrar py ?

    1 1 2 2py u y u y= + .

    Pela frmula

    21 ' '

    1 2 1 2

    12 ' '

    1 2 1 2

    ( )

    ( )

    y g xu dxy y y yy g xu dx

    y y y y

    =

    =

    2 2 3 2

    1 2 2 2 2 2

    2 2 2

    2 2 2 2 2 2

    ( 1) ( 1)(2 ) 2 3 2

    ( 1) ( 1)(2 ) 2 2

    x x

    x x x x x

    x x

    x x x x x

    e x x e x xu dx x x dxe e x e e xe

    e x e xu dx x dx xe e x e e xe

    += = + = + += = + = +

    +

    segue que

    3 2 22 2( ) ( )

    3 2 2x x

    px x xy e x xe= + +

    .

    Portanto, a soluo geral

    3 2 22 2 2 2( ) ( )

    3 2 2x x x xx x xy Ae Bxe e x xe= + + + +

    .

    variao de parmetros para equaes lineares de ordem superiorPara equaes diferenciais lineares de ordem superior, procede-mos de maneira anloga de segunda ordem. Primeiro resolve-mos o caso homogneo associado, encontrando nyy ,...,1 , linear-mente independentes. Buscamos uma soluo particular na forma

    1 1 ...p n ny u y u y= + + . Encontramos ' '1,..., nu u resolvendo o sistema

    ' '1 1' '' ' ''1 1

    ' ( 1) ' ( 1)1 1

    ... 0

    ... 0

    ... ( ).

    n n

    n n

    n nn n

    u y u yu y u y

    u y u y g x

    + + =

    + + = + + =

    Integramos ' '1,..., nu u .

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    103

    tpico 21 aplicaes das equaes lineares de segunda ordem com coeficientes constantes

    ObjetivoCorpo em queda livreSistema Massa-MolaPndulo simplesCorda GiratriaCircuitos em srieBibliografia

    objetivoResolver equaes conhecidas na fsica.

    corpo em queda livre2

    2

    d s gdt

    =

    Neste caso, estamos supondo g constante.

    A equao homognea 2

    2 0d sdt

    = . Um conjunto fundamental de solues { }1, t .

    Procuramos uma soluo particular na forma

    Sabemos que 2

    21 ' '

    1 2 1 2

    12 ' '

    1 2 1 2

    ( )2

    ( ) .

    y g x tu dx tgdx gy y y yy g xu dx gdx gt

    y y y y

    = = =

    = = =

    donde

    22 2

    1 1 2 21

    2 2pty u y u y g gt t= + = + =

    .

    Encontramos a soluo geral

    212

    s A Bt gt= + +.

    A constante A obtida fazendo 0=t . A velocidade 's B gt= +

    No instante 0=t obtemos .B

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    104

    Tambm temos o problema de valor inicial

    2

    2

    0'

    0

    (0)

    (0) .

    d s gdts ss v

    = = =

    cuja soluo

    20 0

    12

    s s v t gt= + +.

    sistema massa-mola

    2

    2

    d xm kxdt

    = .

    Escrevemos a equao na forma

    2

    2 0d x k xdt m

    + =.

    Equao caracterstica

    2 0krm

    + =.

    Razes so

    1

    2 .

    k kr im mkr im

    = =

    =

    pois 0, 0k m> > .

    A soluo geral

    cos k kx A t Bsen tm m

    = +.

    pndulo simples

    2

    2 0d g sendt lq

    q+ =.

    Para resolver esta equao, vamos considerar pequenas oscilaes e, neste caso, senq q . Resolvemos a equao (para pequenas oscilaes)

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    105

    2

    2 0d gdt lq

    q+ =

    Equao caracterstica:

    2 0grl

    + =

    As razes so: 1 2,g g gr i r il l l

    = = =

    A soluo geral

    cos g gA t Bsen tl l

    q = +.

    corda giratria

    2[ ( ) ] 0d dyT x p ydx dx

    w+ =.

    Para o caso em que ( )T x T= (tenso constante), temos a equao2

    22 0

    d y p ydx T

    w+ =.

    A equao caracterstica

    2 2 0prTw+ =

    cujas razes so

    1 2P Pr w i r w iT T

    = = .

    A soluo geral

    cos P Py A w x Bsenw xT T

    = +.

    circuitos em srie2

    2

    1 ( )d q dqL R q E tdt dt C

    + + =.

    Vamos resolver primeiro o problema homogneo associado

    2

    2

    1 0d q dqL R qdt dt C

    + + =.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    106

    A equao caracterstica

    2 1 0Lr RrC

    + + =.

    As razes so

    22

    1

    22

    2

    14 42 2

    14 42 2

    R R L CR CR LCrL C

    R R L CR CR LCrL L C

    = =

    + + = =

    A soluo geral vai depender das razes.

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    107

    tpico 22 equao de cauchy-euler

    Introduo ObjetivoEquao de Cauchy-EulerEquao de Cauchy-Euler de ordem 2, caso homogneoEquao de Cauchy-Euler de ordem 2, caso no homogneoSobre equaes diferencias de Cauchy-Euler cuja ordem maior do que 2Bibliografia

    introduo Vamosestudaralgunscasosdeequaeslinearescomcoeficien-tes variveis. Comeamos com a equao de Cauchy-Euler.

    objetivoResolver a equao de Cauchy-Euler.

    equao de cauchy-eulerA equao diferencial linear de ordem n com coeficientes noconstantes

    ( ) 1 ( 1) 2 '' '1 2 1 0... ( )

    n n n nn na x y a x y a x y a xy a y g x

    + + + + + =

    chamada de equao de Cauchy-Euler.

    equao de cauchy-euler de ordem 2, caso homogneo Tentaremos solues da forma mxy = . Derivando em relao a x , obtemos

    ' 1

    '' 2( 1)

    m

    m

    m

    y xy mxy m mx

    ===

    substituindo na equao

    2 1 0( 1) 0m m ma x m m a mx a x + + =

    segue que

    2 1 0( 1) 0a m m a m a + + =

    isto ,

    22 1 0

    22 1 2 0

    ( ) 0

    ( ) 0

    a m m a m aa m a a m a

    + + =+ + =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    108

    Sejam 21 , mm razes da equao 2

    2 1 2 0( ) 0a m a a m a+ + = , po-demos ter 3 casos:

    razes reais distintasrazes reais iguaisrazes complexas

    Razes reais distintasA soluo geral

    1 2m my Ax Bx= +

    Razes iguais Temos uma soluo

    1my x= .

    Sabemos que podemos obter a segunda soluo conhecendo a pri-meira soluo, pela frmula

    ( ) ( )1 1 1

    1 1

    ( ) ( )

    2 2 2 ln

    b bdx dxax ax

    m m m

    m m

    e ey x dx x dx x xx x

    = = =

    Portanto a soluo geral

    1 1 lnm my Ax Bx x= +

    Razes complexas conjugadas ,i ia b a b+ . Claro que

    ( ) ( )i iy Ax Bxa b a b+ = +

    uma soluo geral. Mas queremos solues reais, para isso, ve-mos que

    ln

    ln

    (cos ln ( ln ))(cos ln ( ln ))

    i i x

    i i x

    x x x e x x isen xx x x e x x isen x

    a b a b a

    a b a b a

    b b

    b b = = += =

    Tomamos

    1

    2

    2

    2

    i i

    i i

    x x x xy

    x x x xyi

    a b a b

    a b a b

    =

    =

    isto ,

    1

    2

    cos( ln )

    ( ln )

    y x xy x sen x

    a

    a

    b

    b

    ==

    tambm so solues da equao homognea associada e consti-tuem um conjunto fundamental de solues.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    109

    Portanto,

    cos( ln ) ( ln )y Ax x Bx sen xa ab b= +

    soluo geral da equao homognea associada.

    equao de cauchy-euler de ordem 2, caso no homogneoPara encontrar uma soluo particular da equao

    2 '' '2 1 0 ( )a x y a xy a y g x+ + =

    no podemos usar anuladores. Para usar o mtodo de variao dos parmetros, temos de escrever a equao na forma

    '' ' 012 2

    2 2 2

    ( )aa g xy y ya x a x a x

    + + =

    Exemplos:1. Resolva 2 '' '2 4 0x y xy y =

    Soluo:Tentaremos solues da forma mxy = . Derivando em relao a x , obtemos

    ' 1

    '' 2( 1)

    m

    m

    m

    y xy mxy m mx

    ===

    Substituindo na equao2 '' '2 4 0x y xy y = ,

    obtemos

    ( 1) 2 4 0m m mx m m mx x = .

    Segue que

    ( 1) 2 4 0m m m =

    isto ,2

    2

    ( ) 2 4 03 4 0

    m m mm m

    = =

    cujas razes so: 4 e -1, razes reais e distintas.

    Soluo geral4 1y Ax Bx= +

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    110

    2. Resolva 2 '' '4 8 0x y xy y+ + =Soluo:Tentaremos solues da forma mxy = . Derivando em relao a x , obtemos

    ' 1

    '' 2( 1)

    m

    m

    m

    y xy mxy m mx

    ===

    Substituindo na equao2 '' '4 8 0x y xy y+ + = ,

    obtemos4 ( 1) 8 0m m mx m m mx x + + = .

    Segue que4( 1) 8 1 0m m m + + =

    isto ,24 4 1 0m m+ + =

    cujas razes so: 21 e

    21 , razes reais iguais.

    Soluo geral

    1 12 2 lny Ax Bx x

    = +

    3. Resolva 2 '' '3 3 0x y xy y+ + =Soluo:Tentaremos solues da forma my x= . Derivando em relao a x , obtemos

    ' 1

    '' 2( 1)

    m

    m

    m

    y xy mxy m mx

    ===

    Substituindo na equao2 '' '3 3 0x y xy y+ + =

    obtemos

    ( 1) 3 3 0m m mx m m mx x + + = .

    Segue que

    ( 1) 3 3 0m m m + + =

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    111

    isto ,2 2 3 0m m+ + =

    cujas razes so: 12 4 12 1 2

    2m i + = = +

    e 22 4 12 1 2

    2m i = = ,

    razes complexas.

    Soluo geral

    1 1cos( 2 ln ) ( 2 ln )y Ax x Bx sen x = + .

    sobre equaes diferencias de cauchy-euler cuja ordem maior do que 2

    ( ) 1 ( 1) 2 '' '1 2 1 0... ( )

    n n n nn na x y a x y a x y a xy a y g x

    + + + + + =

    O procedimento o mesmo:Resolvemos primeiro o caso homogneo

    ( ) 1 ( 1) 2 '' '1 2 1 0... 0

    n n n nn na x y a x y a x y a xy a y

    + + + + + =

    Seguindo os passos:

    ' 1

    '' 2

    ( )

    ( 1)...

    ( 1)( 2)...( )

    m

    m

    m

    n m n

    y xy mxy m mx

    y m n m n m x

    ===

    =

    substituindo na equao

    ( ) 1 ( 1) 2 '' '1 2 1 0... 0

    n n n nn na x y a x y a x y a xy a y

    + + + + + = ,

    encontramos a equao caracterstica associada.

    Encontramos as razes.Temos vrias possibilidades para as razes:

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    112

    Todas distintasSoluo geral para a homognea:

    11 ... n

    mmny A x A x= + +

    Todas iguais

    1 1 1 12 11 2 3ln (ln ) ... (ln )

    m m m m nny A x A x x A x x A x x

    = + + + +

    Opes misturadas. Temos que estudar cada caso.

    Para resolver o caso no homogneo, usamos variao de parmetros.

    bibliografia

    Dennis G. Zill, Michael R. Cullen. Equaes Diferenciais, volume I. Traduo Antonio Zumpano, So Paulo, Makron Books, 2001.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    113

    tpico 23 introduo a sries de potncias

    IntroduoObjetivosSries de potnciasConvergnciaIntervalo de convergnciaRaio de convergnciaConvergncia absolutaComo calcular o raio de convergnciaDerivao termo a termoIntegrao termo a termoFunes analticasSingularidadesBibliografia

    introduo Queremos resolver equaes diferenciais usando sries de potn-cias. Neste tpico, vamos estudar alguns pontos relevantes que envolvem sries de potncias.

    objetivosOperar com sries de potncias. Fazer algumas operaes bsi-cas: somar, subtrair, multiplicar. Calcular o raio de convergncia, o intervalo de convergncia. Derivar e integrar sries de potncias. Expandir uma funo em sries de potncias.

    sries de potncias Asomainfinita

    20 1 2

    0( ) ( ) ( ) ... ( ) ...n nn n

    na x a a a x a a x a a x a

    = = + + + + +

    chamada de srie de potncias centrada em a .

    exemplo1:

    2

    01 ... ...n n

    nx x x x

    == + + + + +

    uma srie de potncias centrada em ZERO.

  • f s i c ae q u a e s d i f e r e n c i a i s l i n e a r e s

    114

    exemplo2

    2

    0( 5) 1 5 ( 5) ... ( 5) ...n n

    nx x x x

    = = + + + + +

    uma srie de potncias centrada em 5.

    convergnciaDizemos que

    20 1 2

    0( ) ( ) ( ) ... ( ) ...n nn n

    na x a a a x a a x a a x a

    = = + + + + +

    convergeseestasomainfinitaumnmeroreal.

    exemplo1:Para valores de 1 1x < <

    2

    0

    11 ... ...1

    n n

    nx x x x

    x

    == + + + + + =

    portanto converge para estes valores.

    exemplo2:para valores de 1 5 1x <