Edo - Clculo III - Unid A

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    18-Feb-2016

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Introduo s Equaes Diferenciais Ordinrias.

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  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 1

    PROF MARCO A BRASIL

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    EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM

    UNIDADE A

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    SUMRIO

    CONTEDOS PGINA

    CADERNO 1 REVENDO DERIVADAS E INTEGRAIS 5

    1 Antidiferenciao: A Integral Indefinida 6

    2 Notao para Antiderivadas 7

    3 Integrais Imediatas e Propriedades 8

    4 AULA 1 ATIVIDADES DE ESTUDOS 1 9 CADERNO 2 CONCEITOS BSICOS 14

    1 Ordem e Grau 15

    2 Forma Implcita ou Explcita de uma EDO 17

    3 Soluo de uma EDO 20

    4 Resoluo de uma EDO 21

    5 Soluo Geral e Soluo Particular de uma EDO 23

    6 AULAS 2 e 3 CONCEITOS BSICOS 26 7 ATIVIDADES DE ESTUDOS 2 27

    CADERNO 3* PROBLEMA DE VALOR INICIAL E SOLUES SINGULARES 33

    1 O Teorema da Existncia e Unicidade de Cauchy 35

    2 ATIVIDADES DE ESTUDOS 3 36

    CADERNO 4 EQUAES DE VARIVEIS SEPARVEIS: EVS 37

    1 Resolvendo EVS 38

    2 Logaritmos: Definio e Propriedades I 39 3 Logaritmos: Definio e Propriedades II 40 4 Fraes Parciais 43 5 AULAS 4 e 5 EQUAES SEPARVEIS 45 6 ATIVIDADES DE ESTUDOS 4 46

    CADERNO 5 MODELOS MATEMTICOS ASSOCIADOS S EVS 49

    1 O Modelo da Radioatividade I 50

    2 O Modelo da Radioatividade II 51

    3 O Modelo da Radioatividade III 52

    4 A Lei do Resfriamento de Newton: LRN 54

    5 AULA 6 MODELOS MATEMTICOS 56 6 ATIVIDADES DE ESTUDOS 5 57

    CADERNO 6 EQUAES REDU|TVEIS 59

    1 AULA 7 - ATIVIDADES DE ESTUDOS 6 62

    CADERNO 7 EQUAES EXATAS 63

    1 Equaes No Exatas: Fatores Integrantes 65

    2 AULA 8 - ATIVIDADES DE ESTUDOS 7 66

    : TPICO AUXILIAR DE ESTUDO ( * ): Contedo Optativo

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    Equaes cujas incgnitas so derivadas de funes foram denominadas EQUAES DIFERENCIAIS pelo matemtico alemo Gottfried Wilhelm Leibniz.

    As primeiras motivaes ao estudo das Equaes Diferenciais vieram da Mecnica quando teorias como o Movimento dos Planetas ou as Oscilaes de um Pndulo ampliaram seus estudos a partir de duas importantes publicaes.

    A primeira, Pholosophiae Naturalis Principia Matematica ou Princpios Matemticos da Filosofia Natural, do fsico ingls Isaac Newton de 1687 e Nova methodus pro maximis et minimis, item que tangetibus, qua Nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus ou Um novo mtodo para mximos e mnimos e tambm para tangentes, que no obstrudo por quantidades irracionais, de Leibniz em 1684.

    Da em diante foi possvel descrever atravs de uma funo incgnita y da

    varivel independente e pelo menos uma derivada de em relao os princpios associados aos processos de observao dos fenmenos naturais ou as propriedades de uma curva ou famlia de curvas.

    Trs questes, entretanto, se conservam com as equaes diferenciais:

    Uma equao diferencial sempre tem soluo?

    Ora, existem equaes que simplesmente no tem soluo, como y = 1 para y real. Assim a questo saber se uma dada equao tem soluo. Esta questo diz respeito EXISTNCIA DE SOLUES.

    A segunda questo trata da UNICIDADE, pois as equaes diferenciais podem ter infinitas solues.

    Para ver isto considere, por exemplo, que a soluo de uma equao simples

    como = 0 = , real. Cada valor atribudo produz uma soluo e, assim temos uma infinidade de solues.

    Essa questo traz implicaes prticas, pois se a soluo nica, um dado problema pode estar completamente resolvido.

    A terceira questo, considerando que a equao diferencial tem soluo, trata de DETERMINAR esta soluo.

    No entanto, a determinao de solues no se coloca simplesmente, pois mesmo sabendo que a soluo existe, pode no ser possvel express-la atravs das principais Funes Elementares. Neste caso pesquisamos aproximaes de solues atravs das Sries, dos Mtodos Computacionais, ou estudando as propriedades das solues sem necessariamente encontr-las.

    Os procedimentos computacionais, diga-se, so importantes ferramentas quando nos familiarizamos com os fundamentos da teoria das equaes diferenciais. Particularmente se o interesse computacional se orienta para obteno de solues numricas ou solues grficas.

    INTRODUO

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    REVENDO DERIVADAS E INTEGRAIS

    O Clculo Diferencial sistematiza regras operacionais simples. As REGRAS FUNDAMENTAIS DE DERIVAO so:

    CONSTANTE PELA FUNO: ( k u )= k u SOMA: ( u + v ) = u + v

    PRODUTO: (u v )= uv + vu ( u v w ) = uv w + vu w + wu v

    QUOCIENTE: (

    ) =

    Um importante princpio a Regra da Cadeia ou Regra da Derivada da Funo Composta. Ela diz:

    Considerando u, v funes derivveis de x, k e n , a DERIVADA DAS

    PINCIPAIS FUNES ELEMENTARES so:

    NOTAO LEIBNIZ NOTAO LAGRANGE NOTAO LEIBNIZ NOTAO LAGRANGE

    = 1

    () = 1

    = 0 ( K ) = 0

    = . .

    (

    ) = . . u.

    =

    ( ) = . u

    log =

    1

    .

    ;

    =

    1

    .

    ( log ) = 1

    . ; ( ) =

    1

    .

    =cos u.

    ( sen u )= cos u. u

    = sen u.

    ( cos u )= sen u. u

    =

    1 + 2 ;

    =

    1 + ;

    =

    1+2

    ( ) =

    1+2 ( ) =

    1+2 ( ) =

    1+2

    CADERNO1

    1

    Se y uma funo diferencivel de u e u uma funo diferencivel de x, ento

    =

    .

    ou y= f( u ) . u

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 6

    ANTIDIFERENCIAO: A INTEGRAL INDEFINIDA

    No Clculo Diferencial, dado y = f ( x ), procuramos a derivada y= f ( x ). No Clculo Integral, dado y= f( x ), queremos determinar y = f ( x ).

    O processo que determina a funo f cuja derivada f ( x ) denominado

    ANTIDERIVAO, ANTIDIFERENCIAO ou INTEGRAO

    Uma funo tal que ) = ( ) uma primitiva ou antiderivada de .

    Se F uma antiderivada de e C , ento F( x ) = G ( x ) + C tambm antiderivada de f, pois F( x ) = [ G ( x ) + C ]= G( x ) + C= G( x ) + 0 = G(x) = f(x).

    Por exemplo, G( x ) = e F( x ) = + C so antiderivadas de ( ) = , pois

    G( x ) = = x e F( x ) = [ + C ]= ( ) + C= + 0 = .

    Para mais exemplos, na coluna ( 1 ) do quadro abaixo perguntamos

    Qual a funo cuja derivada ... ?

    A resposta est na coluna ( 2 ) e a justificativa, na coluna ( 3 ).

    ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )

    0 C ( C )= 0

    1 + C ( x+ C ) = x+ C= x + 0 = x

    + C [

    2 + ] = ( ) + C = + 0 = x.

    + C [ + C ]= ( ) + C= + 0 = x.

    + C [ + C ]= ( ) + C= + 0 =

    + C [ + C ]= ( ) + C= + 0 =

    1 / + ( ln x + C ) = ( ln x )+ C= =

    - + [ cos x + C]= ( cos x ) + C= ( cos x )= sen x

    + [ sen x + C ]= ( sen x ) + C= cos x

    1

    1 +

    + [ + ] =

    1

    1 +

    1

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 7

    NOTAES PARA ANTIDERIVADAS

    Antiderivadas so descritas atravs do smbolo especial criado pelo matemtico alemo Gottfried Willeim Leibniz.

    Trata-se de um S estilizado como .

    O simbolismo de Leibniz considera a diferencial dy como uma poro

    infinitesimal de y e imagina dy como somatrio de todas essas pores infinitesimais de modo que dy = y + C

    O matemtico Johann Bernoulli sugeriu que o processo de reunir infinitsimos

    para formar uma quantidade completa, expresso como = dy, se denominasse Integrao ao invs de somatrio.

    Assim nos referimos ao smbolo como o Sinal de Integral.

    Segundo Leibniz, desde que f( x ) exista, o smbolo

    visto como um

    quociente e = f ( x ) como equao. Portanto dy = f ( x ) dx compreendida

    como uma Equao Diferencial.

    Desde que y = dy e C uma constante arbitrria, segue-se que

    dy = f( x ) dx + C ou y = f( x ) dx + C.

    De modo geral a notao f( x ) dx = F( x ) + C, onde C , diz que F uma

    antiderivada de f tal que F( x ) = f ( x ) para todo valor de x no domnio de f:

    A constante C chamada Constante de Integrao e a expresso sob o sinal de integrao chamado Integrando.

    O smbolo indica a varivel de integrao.

    Na Definio 1 a varivel de integrao a letra x e qualquer outra letra

    considerada constante. Por exemplo, na integral , a varivel de integrao t e x um termo constante.

    O processo para calcular f( x ) dx denominado Integrao Indefinida. O termo Indefinida advm da constante C assumir qualquer valor real.

    A f ( x ) dx chamada Integral Indefinida da funo f, pois C no determinada pela funo .

    2

    DEF 1: INTEGRAL INDEFINIDA

    ( ) = F( x ) + C se, e s se,

    F( x ) = f ( x ), para todo x no domnio de f.

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 8

    INTEGRAIS IMEDIATAS E PROPRIEDADES

    Decorre da Definio 1 as principais INTEGRAIS IMEDIATAS:

    1 = +

    + + C, se n 1

    2

    = +

    3 = 1

    + 4

    = +

    5 sen x dx= + 6 cos x dx = +

    7

    = + 8

    1

    1 + = +

    So Propriedades das Integrais Indefinidas: PROPRIEDADE I:

    PROPRIEDADE II:

    Por exemplo,

    ( 1 ) = ( 10 ) = + , pois a varivel

    de integrao t e o termo104 5 atua como constante.

    ( 2 ) [ 5 t 8 t ] dx = ( 5 t 8 t ) dx = ( 5 t 8 t ) x + C

    ( 3 ) [ 5 t 8 t ] dt = 5 t dt 8 t dt = 5 t dt 8 t dt = 5.

    3+ 1 8.

    4

    4+ 2

    = 5.

    3 8.

    4

    4+ 1 + 2= 5.

    3 8.

    4

    4+ , onde fizemos 1 + 2= C.

    ( 4 ) ( x + 2 )2 dx = + 4 + 4 =

    3 + 2 + 4 +

    Se k 0, ( ) = ( ) .

    Se k = 0 podemos ter: 0 . ( ) = 0 = ,

    0 . ( ) = 0 [ ( ) + ] = 0

    A INTEGRAL DA SOMA A SOMA DAS INTEGRAIS:

    [ ( ) + ( ) ] = ( ) + ( )

    3

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 9

    AULA 1 ATIVIDADES DE ESTUDOS 1

    Respostas ou modelo de resoluo esto em letras menores

    CALCULE A DERIVADA: 1. ( ) = 52 . + 3 3,14. 1 0

    2. ( ) = 5 + 12 3 + 2 0

    3. ( ) = + 5 53 2 3 + 24 10

    4. ( ) = + 5 53 2 3 + 24 152 2 3

    5. ( ) = 12 3 + 2 2

    6. y = ( 5 4 ) ( 3 + 9 ) ( 15 8 ) ( 3 7 + 9 ) + ( 216 + 18 ) ( 5 3 4 2)

    7. = 5 4

    37 + 9 ( 15

    2 8 )( 3 7+ 9 2) ( 216 + 18 ) ( 5 3 42 )

    ( 37 + 9 )

    8. y = 3

    9 5

    3

    7 + 12 5 3 4 + 2 y = 5

    3 6 +

    21

    8

    9. = y = ( cos

    ) = ( ) cos (cos )

    (cos ) =

    + cos

    (cos )=

    1

    (cos ) =

    10. = =

    11. = = ( 1 cos

    ) =

    12. = 2 +

    13. = 5 4

    37 + 9 . [ ( 15

    2 8 )( 3 7+ 9 2) ( 216 + 18 )( 5 3 42 ) ] + (5 3 42 )

    ( 37 + 9 )

    14. A( r ) =

    = 2 r 17. V ( r ) =

    = r

    15. Seja () = e () = .

    Mostre que ( ) + ( )

    ( ) ( )

    ( ) + ( )

    ( ) ( ) +

    ( ) + ( )

    ( ) ( ) = 3

    16. = 2x + 3x 15

    + ex 2x 2 + 3x 3 15

    5 +

    17. Calcule f( x ) se ( ) = 5 + 12 3 + 2 30 72

    18. y = ( 5 42 + 7 )2792 2792( 5 42 + 7 )2791 ( 15 8 )

    19. y = (5 42 + 7)3

    30 16

    3 5 42 + 7

    ATIVIDADE 1: DERIVADAS

    SEQUNCIA 1 :

    A notao universal = ( ), que enfatiza ser uma funo de ou,

    uma varivel dependente da varivel , muitas vezes descrita simplesmente

    como = ( ).

    4

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 10

    20. y = 53+ 32 8 + 4 53+ 32 8 + 4 ( 152 + 6 8 )

    21. y = ( 53 + 32 8 + 4 ) 152+6 8

    53+ 32 8 + 4

    22. = + 3 + 3

    23. y = 5 ( 32 + 3 + 2 ) 5 [ ( 32 + 3 + 2 )]4 .1

    32 + 3 +2 . ( 6 + 3 )

    24. Dado = 5 + 10, mostre que 2 = 0

    25. Seja = , onde uma constante real. Mostre que 3 = 0.

    26. Seja + = , onde uma constante arbitrria. Mostre que + = 0.

    27. Seja = + , onde , reais. Mostre que + = 0.

    28. Seja y = A + B , onde , reais. Mostre que = 0.

    29. Seja y = A 4 + B 4, onde , reais. Mostre que 16 = 0

    30. Seja = 3 + 3, , reais. Mostre que + 9 = 0

    31. Seja = 2 + 2 + 5 1. Mostre que + 4 = 20 + 6

    DERIVAO IMPLICITA

    Se as variveis esto implicitamente relacionadas, ou G( x,y ) = 0, a derivada

    determinada diferenciando ambos os membros da equao atravs da Regra da

    Cadeia num procedimento denominado Diferenciao Implcita.

    32. 22 2 3 + 2 3 + 4 = 5, onde = ( ). Resoluo

    ( 1 ) Aplique derivao em ambos membros: ( 22 2 3 + 2 3 + 4) = 5; ( 2 ) Temos: (22) (2 3) + (2) (3) + (4) = 0; ( 3 ) Observe que (22) = Pela Regra do Produto = ( ) + ( ) = 2 + 2

    ( 4 ) Portanto 22 + 22 23 322 ) + 2 + 2 3 + 4 = 0

    ( 5 ) Evidenciando y, segue-se = ( 2 2 + 2 3 + 2 + 4 )

    22 322 + 2x 3.

    33. 92 + 4 2 = 36 = 9

    4

    34. 42 2 + 3 2 y = 2 = 8 + 6

    8 + 3

    35. 4x 2 + 2 y = 2 = 4 + 2

    8 +

    36. 2 + 3 + 3 = 15 37. 2 3 + 2 = 1

    38. 3 + 2 3 + 4 3 = 2 39. 3 32 4 + 4 3 = 6x

    40. 2 3 + 2 3 = 1 =

    5

    3

    41. 2 = 5 = 4

    SEQUNCIA 2 :

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 11

    FUNES HIPERBLICAS

    Em algumas aplicaes, como a descrio da forma de fios suspensos da rede eltrica ou o movimento de ondas em slidos elsticos, certas combinaes das

    funes exponenciais e recebem nomes especiais. Por exemplo, o modelo que descreve a equao de um fio suspenso tem a

    forma +

    2 = e a equao da velocidade de propagao de ondas na

    superfcie de lquidos descrita =

    2

    2

    , onde o comprimento da

    lmina de liquido, o comprimento da onda e a acelerao da gravidade.

    Devido ao relacionamento que as funes e possuem com uma hiprbole serem semelhantes s relaes que as funes trigonomtricas tm com o

    circulo, as combinaes de e so chamadas FUNES HIPERBLICAS. Cada combinao recebe a denominao seno hiperblico de , cosseno

    hiperblico de , tangente hiperblica de , cotangente hiperblica de , secante hiperblica de e cossecante hiperblica de .

    Respectivamente so simbolizadas e definidas:

    =

    2 =

    +

    2 =

    =

    =

    1

    =

    1

    Grfico de y = senh x Grfico de y = cosh x Grfico de y = tg h x

    ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) = , ( ) = ( 0, 1 )

    42. Mostre que = 1

    43. Mostre que 1 =

    44. Mostre que ( ) = cosh

    45. Mostre que ( ) = senh

    46. Mostre que ( ) = sech

    47. Mostre que ( ) = cosech

    48. Mostre que ( ) = sech

    49. Mostre que ( ) = cotgh

    SEQUNCIA 3

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    DERIVADAS PARCIAIS

    DETERMINE AS DERIVADAS PARCIAIS DE 1 ORDEM E 2 ORDEM DA FUNO

    DE DUAS VARIVEIS = ( , ):

    50. ( , ) = + Resoluo DERIVADAS DE 1 ORDEM

    ( 1 ) ( , ) =

    f ( x, y ) = ( + ) = +

    ( 2 ) ( , ) =

    f ( x, y ) = ( + ) = +

    DERIVADAS DE 2 ORDEM

    ( 3 ) ( , ) =

    f ( x, y ) = ( + ) =

    ( 4 ) ( , ) =

    f ( x, y ) = ( + ) =

    ( 5 ) = ( )

    =

    (

    ) = ( + ) = +

    ( 6 ) = ( )

    =

    (

    ) = ( + ) = +

    ( 7 ) Observe-se que e so sempre iguais.

    ( 8 ) O smbolo , chamado del ou d round, um smbolo especial para a letra d introduzido

    no Clculo pelo matemtico italiano Joseph Louis Lagrange.

    51. ( , ) = + + = 2 + , = 3 + , = 2, = 6y, = = 1

    52. ( , ) = = , = , = , = , =

    53. ( , ) = = 2

    , = , = 2

    + 4 , = 4 , = 2

    + 2

    54. ( , ) = 2 + 3 + + = 2 + + cos + , = + 3 + , = 2 , = 6 , = = 2 + 3 +

    55. = 5 + 2 = 5 2 , = 5 4 , = 5

    2 24 cos , =

    52 4 2 8 cos , = 5 cos 5 4 2 43 cos

    56. =

    =

    + , =

    + , =

    2

    ( + 2 ) = , =

    2

    ( + 2 )

    57. = )

    =

    , =

    , =

    +

    ( 2 ), =

    3

    ( 2 ) , =

    2

    ( 2 )

    SEQUNCIA 4

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 13

    CALCULE A INTEGRAL E VERIFIQUE SE A RESPOSTA EST CORRETA

    58. I = ( x + 2 )2 dx

    RESOLUO

    ( 1 ) I = ( 2 + 4 + 4 ) = + 4 + 4

    ( 2 ) I = + 4 + 4 =

    3 + 1 + 4

    2 + 2 + 4 x + 3

    ( 3 ) I =

    3 + 4

    2 + 4 + =

    3 + 2 + 4 + , onde C = 1 + 2 + 3

    VERIFICAO:

    (

    3 + 2 + 4 + ) = + 4 + 4 = ( + 2 ).

    59. I = 4 60. I = 104 9

    61. I = [ + ] 62. I = ( 2 + )

    63. I = ( 3 5 2 ) 64. I = ( 2x - 3 )2 dx

    65. I = ( + )

    66. I =

    +

    VERIFIQUE SE AS FRMULAS DADAS ABAIXO ESTO CORRETAS

    67. = +

    VERIFICAO:

    ( 1 )

    ( + ) = ( + ) = ( ) + C = ( ) + ( )

    ( 2 )

    ( + ) = + .

    ( 3 ) O resultado acima est errado: +

    68. = + cos + Resultado Correto

    69. = + sen + Resultado Correto

    70. = 1

    + , onde k Resultado Correto

    71. = 1

    + , onde k Resultado Correto

    72. = 1

    + , onde k Resultado Correto

    73. 1

    + =

    1

    + Resultado Correto

    ATIVIDADE 2: INTEGRAIS

    SEQUNCIA 5

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 14

    CONCEITOS BSICOS

    Equaes cujas incgnitas so derivadas de funes foram denominadas EQUAES DIFERENCIAIS pelo matemtico alemo Gottfried Wilhelm Leibniz.

    Decorre que as equaes diferenciais organizam-se em duas grandes classes. Quando as funes incgnitas , , , ..., (), n *, dependem apenas da

    varivel independente de uma funo em relao a , = ( ) , a equao se diz uma Equao de Derivadas Ordinrias, Equao Diferencial Ordinria ou EDO.

    Se as incgnitas so derivadas parciais, a equao uma Equao Diferencial Parcial ou EDP. Para ilustrar, observe os exemplos de Equaes Diferenciais:

    ( 1 ) y + 2 y = cos x ( 2 ) y = 5x + 2y

    ( 3 ) y 3 y+ 2 y = 0 ( 4 )

    =

    +

    ( 5 ) 2

    2 2

    + 3 y = 5 sen x

    ( 6 ) y 3y+ 2y 4y = 2 3

    ( 7 ) ( )3 + 2 y y 1 = 0 ( 8 ) x y + y = 0

    ( 9 ) y = 1 + ( ) 2 ( 10 ) y = 2 + cos x

    ( 11 ) 2

    2 +

    sen = 0

    ( 12 ) 2( , )

    2= 2

    2( , )

    2

    Uma orientao fundamental ao estudo das EDO advm de uma constatao: as EDO podem ser colocadas na forma de um polinmio cujas incgnitas so as derivadas da funo y = y ( x ).

    O que permite classificar as EDO quanto ordem e ao grau da derivada.

    Quanto ao grau ressalte-se que as EDO constituem dois grandes grupos: as Equaes Diferenciais Ordinrias Lineares, EDOL, e as Equaes No - Lineares.

    E mais ainda.

    As EDOL contam com mtodos de resoluo prprios, suscitam interesse, so mais simples e aplicam-se aos modelos matemticos da Fsica, Engenharia, Qumica, Tecnologia, Cincias Humanas, Biolgicas ou Economia.

    As Equaes No Lineares detm procedimentos intrnsecos, algumas vezes aceitando aproximaes por uma equao linear.

    Por exemplo, 2

    2 +

    = 0 uma aproximao para

    2

    2 +

    sen = 0 se o

    ngulo pequeno, pois sen .

    CADERNO 2 2

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 15

    ORDEM E GRAU

    Toda EDO uma relao entre as variveis e e pelo menos uma funo incgnita , , , . . . , (), n *, das derivadas de em relao a .

    Organizadas na forma polinomial,

    ( ) + ( x ) ( ) + . . . + ( x )

    + ( x ) y + ( x ) y = r( x ),

    as EDO se classificam quanto ordem e quanto ao grau da derivada.

    Por exemplo, y 3y + 2y = 0 Ordem 2 e Grau 1.

    As EDO de Grau 1 so chamadas LINEARES.

    Uma EDO de Grau 1 Linear se a funo incgnita y e suas derivadas so de grau 1 e no ocorre produto ou composio destas variveis. Seno, a equao chamada No - Linear.

    Toda equao linear tem grau 1, mas nem toda equao de grau 1 linear.

    As funes 0, 1, 2, ... , 1, chamadas COEFICIENTES, e r = r ( x ) so

    funes reais contnuas de x num dado intervalo aberto I.

    Cada termo diferencial (), (1), ... , , tambm uma funo de x.

    Por exemplo, + ( ) = ou + ( ) + ( ) = so Equaes

    Homogneas associadas, respectivamente, s equaes lineares de ordem 1 e 2.

    1

    DEF 2: ORDEM

    DEF 3: GRAU

    A Ordem de uma EDO dada pela ordem do termo diferencial de mais alta ordem da equao.

    O Grau de uma EDO dado peloc expoente inteiro no negativo a que est elevado o termo diferencial de mais alta ordem da equao.

    DEF 4: EQUAES LINEARES

    Uma Equao Diferencial Ordinria Linear de Ordem n, designada EDOL ( n ),

    n *, toda equao na forma polinomial de grau 1 e ordem n

    ( ) + 1( x ) ( 1 ) + . . . + 2( x )

    + 1( x ) y + 0( x ) y = r( x ).

    Se r 0, isto , , ( ) = , a equao se denomina Equao Diferencial Ordinria Linear Homognea de Ordem n, EDOLH( n ) ou Equao Homognea Associada EDOL( n ).

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 16

    CLASSIFICANDO EQUAES DIFERENCIAIS

    E1 A EQUAO ORDEM GRAU LINEAR ?

    ( 1 ) y + 2xy = sen x 1 1 Sim

    ( 2 ) y 3y+ 2y = 0 2 1 Sim

    ( 3 )

    =

    + 1 1 Sim

    ( 4 ) 2

    2 2

    + 3y = 5 sen x

    2 1 Sim

    ( 5 ) y 3y+ 2y 4y = 2 3 3 1 Sim

    ( 6 ) (5) 6 (4) + 10y 11y + 6 y = 0 5 1 Sim

    E 1 B EQUAO ORDEM GRAU LINEAR?

    ( 8 ) ( )3 + 2 y y 1 = 0 2 3 No

    ( 9 ) xy+ y = 0 2 --- No

    ( 10 ) y = 1 + ( )2 2 1 No

    ( 11 ) y= 2 + cos x 1 1 No

    ( 12 ) y + 2xy = cos y 1 1 No

    ( 13 ) 2

    2 +

    sen = 0

    2 1 No

    ( 14 ) L

    q( t ) + R

    q( t ) +

    1

    q( t ) = v( t )

    2 1 Sim

    ( 15 ) 2( , )

    2

    = 2 2( , )

    2

    2 1 Sim

    A equao ( 8 ) no linear, pois de grau 3.

    A equao ( 9 ) no se classifica quanto ao grau.

    As equaes ( 10 ) e ( 11) no so lineares, pois envolvem produtos entre incgnitas: em ( 10 ) temos ( )2 = y. y e na equao ( 11 ) ocorre 2 = y.y.

    A equao ( 12 ) no linear devido a composio cos y = cos y ( x ).

    A equao ( 13 ), que representa a equao de um pndulo, onde funo de t , no linear devido a composio sen = sen (t).

    EXEMPLO 1

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 17

    FORMA IMPLCITA OU EXPLCITA DE UMA EDO( 1 )

    As EDO de Ordem n e Grau 1 se descrevem numa das formas:

    Na forma IMPLICITA as EDO ( 1 ) so escritas F ( x, y, y ) = 0. Na forma EXPLCITA AS EDO ( 1 ) se descrevem como = f ( x, y ).

    Por exemplo, ao derivar x + y = C em relao x obtemos:

    ( x + y )= C ( x )+ ( y )= 0 2x + 2yy= 0.

    Na FORMA IMPLCITA temos a EDO ( 1 ) + = 0.

    Na FORMA EXPLCITA temos a EDO ( 1 ) = .

    E mais ainda. Considere a expresso

    Segundo Leibniz o smbolo =

    deve ser entendido como um quociente e

    a expresso + = 0 deve ser vista como uma equao.

    Assim, operando como um quociente, podemos reescrever a equao

    implcita + = 0 do seguinte modo:

    + = 0

    + x = 0 + = 0.

    A forma + = 0 denominada Forma Diferencial da EDO dada. Ou seja, em geral, reconhecemos 3 modos de descrio de uma EDO( 1 )

    2

    FORMA IMPLCITA: F ( x, y, y, y, y, (), , () ) = 0, ou,

    FORMA EXPLCITA: () = f ( x, y, y, y, y, . . . , () ).

    DEF 5: FORMA GERAL, NORMAL OU DIFERENCIAL DE UMA EDO ( 1 )

    A FORMA IMPLCITA F ( x, y, y ) = 0 chamada FORMA GERAL da EDO (1)

    A FORMA EXPLICITA y= f ( x, y ) chamada FORMA NORMAL da EDO (1).

    Se y= f ( y ) a EDO ( 1 ) chamada EQUAO AUTNOMA.

    A forma M( x, y ) dx + N( x, y ) dy = 0 chamada FORMA DIFERENCIAL.

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 18

    EQUAES NA FORMA NORMAL y= f( x, y ):

    EDO ( 1 ) Termo f ( x, y ) Observao

    y= y f ( x, y ) = y Equao Autnoma, pois f( x, y ) = f( y ) = y.

    y= 3x f ( x, y ) = 3x f depende s de x: f( x, y ) = f( x ) = 3x

    y= f ( x, y ) = , f no definida para y = 0.

    y= 3 + 5 f ( x, y ) = 3 + 5

    = +

    f ( x, y ) =

    +

    f no definida para y = x.

    EQUAES NA FORMA DIFERENCIAL M dx + N dy = 0:

    NORMAL FORMA DIFERENCIAL

    y= y

    = y y dx = dy y dx dy = 0 y dx + ( 1 ) dy = 0,

    M = M ( x, y ) = y ,

    N = N (x, y ) = 1.

    y= 3x

    = 3x 3x dx = dy

    3x dx dy = 0

    3x dx + ( 1 ) dy = 0,

    M = 3x e N = 1

    y=

    =

    x dx y dy = 0 x dx + ( 1 ) y dy = 0

    M = N = 1.

    y=3x + 5y

    = 3x + 5y ( 3x + 5y ) dx = dy ( 3x + 5y ) dx + ( 1 ) dy = 0

    M = 3x + 5y e N = 1

    = +

    =

    +

    ( x + y ) dx ( y x ) dy = 0 ( x + y )dx + [( y x ) ] dy = 0,

    M = x + y e N = ( y x ).

    EQUIVALNCIA DAS FORMAS NORMAL E DIFERENCIAL.

    ( 1 ) De = ( , ) temos

    = ( , ) = ( , ) ( , ) = 0;

    ( 2 ) ( , ) + ( , ) = 0 ( , ) = ( , )

    =

    ( , )

    ( , )

    3 ) Assim, as formas Normal e Diferencial so Equivalentes, pois ( , ) = ( , )

    ( , ) .

    EXEMPLO 3

    EXEMPLO 4

    EXEMPLO 2

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 19

    COMO OBTER UMA EDO ( 1 ) NA FORMA NORMAL OU NA FORMA DIFERENCIAL A PARTIR DE UMA DADA EQUAO.

    Seja y = C , C .

    ( 1 ) Derivando a y = C temos y = C ;

    ( 2 ) A EDO( 1 ) no deve conter a constante arbitrria C.

    ( 3 ) Substituindo C =

    em y = C temos y =

    . = .

    ( 4 ) A Forma Normal = .

    ( 3 ) Para obter a Forma Diferencial, substitumos y=

    em = .

    ( 4 ) Ou seja,

    = = = 0.

    Seja y = C x, C .

    ( 1 ) = = 3 =

    3 ;

    ( 2 ) Substituindo em = temos =

    3 =

    3 = 3

    ( 3 ) A Forma Normal y= 3

    .

    ( 4 ) Substituindo =

    em 3 = 0 temos

    = 3 3

    = 0.

    Seja = ( 1 ), C .

    ( 1 ) = ( 1 ) = ;

    ( 2 ) De = ( 1 ) temos C =

    1.

    ( 3 ) segue-se a Forma Normal y =

    1.

    ( 4 ) Substituindo y =

    em y =

    1 temos

    =

    1

    1

    1

    1

    = 0

    Seja y = C , C .

    ( 1 ) = = 2 ;

    ( 2 ) Como =

    e y = 2C x , ento y = 2

    = 2 .

    ( 3 ) De y 2x y = 0, decorre a Forma Diferencial 2 + = 0.

    EXEMPLO 5

    E 5 A

    E 5 B

    E 5 C

    E 5 D

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 20

    SOLUO DE UMA EDO

    Enquanto resolver uma equao algbrica procurar todos os nmeros que a satisfazem, resolver uma EDO procurar todas as funes que a satisfazem.

    Para ver como as coisas acontecem, considere a equao = ( ), que constitui a EDO mais elementar e o Problema Fundamental do Clculo:

    Segundo Leibniz, desde que f derivvel num intervalo I = ( a, b ), = ( )

    se escreve

    = f ( x ), de onde decorre = ( ) .

    Integrando ambos os membros da equao dy = f( x ) dx em relao x:

    = () + C ( ) =() + C,

    A () uma primitiva de f ou, uma funo cuja derivada igual a f e a

    constante C uma constante arbitrria. Assim, resolver a EDO ( 1 ) y= f( x ) significa efetuar uma integrao que

    produz uma constante arbitrria, resolver uma EDO ( 2 ) produz duas constantes arbitrrias, pois depende de duas integraes

    Uma equao de 3 ordem ter 3 constantes arbitrrias, e assim por diante.

    Exemplificando, considere a equao de ordem n, ( ) = 1.

    A primeira integrao diz que ( 1 ) = + 1.

    Na segunda integrao obtemos ( 2 ) = 2

    2 + 1 + 2.

    Na 3 integrao, temos ( 3 ) = 3

    2. 3 + 1

    2

    2 + 2 + 3.

    Mais algumas integraes:

    ( 4 ) = 4

    2. 3. 4 + 1

    3

    2. 3 + 2

    2

    2 + 3 + 4,

    ( 5 ) = 5

    2. 3. 4. 5 + 1

    4

    2. 3. 4 + 2

    3

    2. 3 + 3

    2

    2 + 4 + 5,

    ( 6 ) = 6

    2. 3. 4. 5. 6 + 1

    5

    2 . 3. 4. 5 + 2

    4

    2. 3. 4 + 3

    3

    2. 3 + 4

    2

    2 + 5 + 6.

    Aps n integraes sucessivas, obtemos uma soluo = ( ) contendo constantes arbitrrias 1 , 2, 3, . . . , ,

    y =

    ! + 1

    1

    ( 1 )! + 2

    2

    ( 2 )! + 3

    3

    ( 3 )! + . . . + 1 + ,

    onde 1. 2. 3. . . . n = n! o fatorial de n *:

    Obter todas as funes derivveis = ( ) tais que

    = ( ).

    3

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 21

    RESOLUO DE UMA EDO

    Resolver uma EDO determinar a primitiva = ( ) que originou a EDO.

    O Intervalo I da soluo da EDO chamado Intervalo da Soluo, Intervalo de

    Definio, Intervalo de Existncia, Intervalo de Validade ou Domnio da Soluo.

    O Intervalo da soluo pode ser um Intervalo Aberto ( a, b ), o Intervalo [ a, b ],

    o intervalo ( a, b ], [ a, b ) ou algum intervalo infinito ( , + ), ( , a ), ( a, ).

    Como toda funo diferencivel contnua, desde que a soluo de uma EDO

    uma funo diferencivel, ela contnua no Intervalo de Soluo I.

    O grfico de uma soluo = ( ) de uma EDO chamado Curva Integral. O intervalo de soluo pode ser qualquer subintervalo do domnio de s = s( x ).

    Por exemplo, a funo y = 1 / x uma soluo da EDO xy+ y = 0.

    O domnio de y = 1 / x constitudo pelo intervalo I = ( , 0 ) ( 0, + ).

    Entretanto, podemos tomar como intervalo de soluo da equao xy+ y = 0

    qualquer intervalo que no contenha x = 0, como, por exemplo, ( 10, 2 ), ( 1, 0 ),

    ( 0, ), ( 2, 3 ), ( , 0 ), ( 0, ) ou, o prprio I = ( , 0 ) ( 0, + ).

    Agora veja porque y = 1 / x uma soluo de xy+ y = 0 em ( , 0 ) ( 0, )

    seguindo os passos abaixo.

    Devemos substituir a funo = 1 / e sua derivada na EDO xy+ y = 0 :

    ( 1 ) y = 1 / x y= 1 / x ;

    ( 2 ) Substituindo y = 1 / x e y = 1 / x na equao xy + y = 0 segue-se:

    ( 3 ) xy + y = 0 x ( 1 / x ) + y = 0 1 / x + 1 / x = 0 0 = 0.

    ( 4 ) As substituies produziram a identidade 0 = 0, x .

    4

    y = 1 / x em I = ( , 0 ) ( 0, + ) y = 1 / x em I = ( 1, + )

    RESOLVER uma EDO procurar uma funo = ( ), definida e diferencivel num dado intervalo I, tal que, quando substitumos, respectivamente,

    e suas derivadas na EDO, ela se transforma numa IDENTIDADE.

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 22

    VERIFICANDO SOLUES DE EDOs I

    y = 3 x uma soluo da EDO = 0 em ( , ).

    VERIFICAO:

    ( 1 ) De = 0 escrevemos = ou

    =

    y =

    .

    ( 2 ) = 3 = 3;

    ( 3 ) Substituindo = 3 e = 3 na equao = temos:

    ( 4 ) = 3 = 3

    3 = 3 0 = 0, que uma identidade para todo x 0.

    A equao = 5 uma soluo de 2 = 0.

    VERIFICAAO:

    ( 1 ) De 2 = 0 escrevemos = 2 ou

    =

    2

    y=

    2

    .

    ( 2 ) = 5 2 = 10 ;

    ( 3 ) Substituindo = 10 e = 5 na equao = 2 segue-se:

    ( 4 ) = 2 ( 10 ) = 2 10 = 2 10 = 2 . 5 0 = 0.

    A equao = 3

    4 2 5

    2 5

    4 uma soluo de = 5 + 2 .

    VERIFICAAO:

    ( 1 ) = 3

    4 2 5

    2 5

    4 =

    3

    2 2 5

    2 ;

    ( 2 ) Substituindo y e y na equao = 5 + 2 segue-se:

    ( 3 ) = 5 + 2 3

    2 2 5

    2 = 5 + 2 ( 3

    4 2 5

    2 5

    4 )

    3

    2 2 5

    2 = 5 + 3

    2 2 5 5

    2 0 = 0,

    ( 4 ) que uma identidade x .

    A equao = 2 + 3 uma soluo de + = 0.

    VERIFICAO

    ( 1 ) = 2 + 3 = 2 3 e = 2 3

    ( 2 ) + = 0 2 3 + 2 + 3 = 0 0 = 0

    ( 3 ) As substituies produziram uma identidade x ( , ).

    EXEMPLO 6

    E 6 B

    E 6 A

    E 6 C

    E 6 D

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 23

    Uma EDO pode ter infinitas solues. O conjunto das solues de uma EDO de Ordem n que podem ser descritas

    por uma frmula contendo n CONSTANTES ARBITRRIAS e INDEPENDENTES chamado FAMLIA DE SOLUES ou SOLUO GERAL, SG, da EDO ( n ).

    O termo CONSTANTE ARBITRRIA, tambm denominado PARMETRO, significa um valor numrico genrico, um valor ainda no estabelecido.

    O termo INDEPENDENTE significa que o nmero de constantes arbitrrias no pode ser reduzido.

    Ou seja, a frmula da SG no pode ser reduzida a uma expresso contendo menos constantes arbitrrias do que a ordem da EDO, pois resolver uma EDO efetuar tantas integraes quanto for a ordem da EDO.

    Assim a SG de uma EDO ( 1 ) tem apenas 1 constante arbitrria, a SG de uma EDO ( 2 ) tem 2 constantes arbitrrias, a SG de uma EDO ( 3 ) tem 3 constantes arbitrrias, e assim em diante.

    O grfico de cada soluo de uma EDO chamado Curva Integral.

    A Soluo Geral SG de uma EDO pode ser colocada na Forma

    - EXPLICITA s = s ( x, 1, 2, . . . , ), abreviadamente SGE, ou na Forma

    - IMPLICITA S ( x, y, 1, 2, . . . , ) = 0, SGI, onde 1, 2, . . . , , so as n

    constantes arbitrrias e independentes da SG,

    Por exemplo, y = sen x + C, C , representa a SGE da equao y= cos x.

    A SGI da equao yy+ x = 0 x + y = C, onde < x < .

    Explicitando a SGI x + y = C, a SGE y = + ou y = . Entretanto, deve-se observar, nem sempre possvel explicitar a SG de uma

    EDO, sendo prefervel manter a forma SGI. E mais ainda.

    Enquanto = + , , representa a SGE da equao y= cos x, as funes y = sen x, y = sen x + 2 ou y = sen x + so solues, respectivamente, para = 0, = 2 = , chamadas Solues Particulares. Semelhantemente, as equaes x + y = 1, x + y = 4 ou x + y = 9 so Solues Particulares de yy+ x = 0.

    A SOLUO GERAL SG de uma EDO toda FRMULA contendo tantas

    constantes arbitrrias e independentes quanto for ordem da equao.

    SOLUO GERAL E SOLUO PARTICULAR DE UMA E D O 5

    A SOLUO PARTICULAR SP de uma EDO ( n ) toda soluo obtida

    da SG por atribuio de valores numricos s constantes arbitrrias.

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 24

    VERIFICANDO SOLUES DE EDOs II, , 1, 2 :

    Cada funo = , = + 2 ou = + uma

    Soluo Particular da EDO = . A totalidade dessas solues dada pela frmula = + , no intervalo I = ( , );

    DE FATO.

    ( 1 ) y = sen x + C y= cosx;

    ( 2 ) y= cos x cos x = cos x 0 = 0, que uma Identidade para todo x.

    Cada funo = 1 / , = 2 / ou = 3 / uma SP da EDO

    + = 0. A totalidade das solues y = C / x , em I = ( , 0 ) ( 0, ).

    DE FATO.

    ( 1 ) y =

    = C 1 y= C 2=

    ( 2 ) xy+ y = 0 x.

    +

    = 0

    +

    = 0 0 = 0: Identidade x .

    Cada funo = 2, = 5

    2 ou = 4

    2 uma SP de

    + 2 = 0. A totalidade das solues = 2 em I = ( , ).

    DE FATO.

    ( 1 ) y = C 2 y= 2Cx

    2;

    ( 2 ) y+ 2xy = 0 2Cx 2+ 2x. C

    2 0 = 0, que uma Identidade x .

    Cada funo = 2 + 2, = 2 2 + 2, = 2 + 2

    uma Soluo Particular da EDO 4 + 4 = 0.

    A totalidade das solues dada pela frmula = 1 2 + 2

    2.

    DE FATO.

    ( 1 ) y = 1 2 + 2

    2 y= 2 1 2 + 2

    2 + 22 2 e,

    y = 4 1 2 + 22

    2 + 22 2 + 42

    2 = 4 1 2 + 42

    2 + 42 2

    ( 2 ) y 4y + 4y = 0

    4 1 2+ 42

    2+ 42 2 81

    2 42 2 8 2

    2+ 4 1 2+ 4 2

    2 = 0

    8 1 2+ 82

    2 81 2 8 2

    2 = 0 0 = 0:

    ( 3 ) Identidade x .

    E 7 B

    EXEMPLO 7

    E 7 A

    E 7 C

    E 7 D

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 25

    VERIFICANDO SOLUES DE EDOs III, , 1, 2 :

    As solues de x y y + 2 = 0 tm a forma y = Cx 2.

    ( 1 ) y = Cx x y= C 2x;

    ( 2 ) x y y + 2 = 0 x ( C 2x ) ( Cx x ) + x = 0

    Cx 2 x + x Cx + x + x = 0 0 = 0

    As solues de y 3 y + 2 y = 0 tem a forma y = 1 + 2

    2.

    ( 1 ) = 1 + 2

    2 = 1 + 2 2

    2 e = 1 + 4 2

    2;

    ( 2 ) y 3 y + 2 y = 0 1 + 4 2

    23( 1 + 2 2

    2 ) + 2( 1 + 2

    2 ) = 0

    1 + 4 2

    231 - 62

    2 + 21 + 22

    2= 0

    1 31

    + 21 + 4 2

    2 - 62 2 + 22

    2= 0

    ( 3 ) 0 = 0.

    As solues de + = 0 so = 1 + 2 ;

    ( 1 ) = 1 + 2 = 1 2 = 1 2 ;

    ( 2 ) y + y = 0 1 sen x 2 cos x + 1 sen x + 2 cos x = 0

    ( 3 ) 0 = 0.

    As solues de 2 + 10 = 0 so = ( 3 + 3 ),

    onde A e B so constantes arbitrrias;

    ( 1 ) Temos y = ( A cos 3x + B sen 3x )

    y= ( A cos 3x + B sen 3x 3 A sen 3x + 3 B cos 3x ) e

    y = ( 8 A cos 3x 8 B sen 3x 6 A sen 3x + 6 B cos 3x ).

    ( 2 ) y 2 y + 10 y = 0

    ( 8 A cos 3x 8 B sen 3x 6 A sen 3x + 6 B cos 3x ) 2( A cos 3x +B sen 3x

    3 A sen 3x + 3 B cos 3x ) +10 (A cos 3x + B sen 3x )

    [ cos 3x ( 8A + 6B 2A 6B + 10A ) + sen 3x (8B 6A 2B + 6A +10B ) ] = 0

    (cos 3x . 0+ sen 3x . 0) = 0 . 0 = 0 0 = 0.

    EXEMPLO 8

    E 8 B

    E 8 D

    E 8 C

    E 8 A

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 26

    AULAS 2 e 3 CONCEITOS BSICOS

    Equaes Diferenciais so equaes cujas incgnitas so derivadas de funes.

    ( 1 ) Se as funes incgnitas , , , . . . , ( ), n *, dependem apenas da varivel independente de uma funo = ( ) a equao se diz uma Equao de Derivadas Ordinrias, Equao Diferencial Ordinria ou EDO.

    ( 2 ) Se as incgnitas so derivadas parciais, a equao uma Equao Diferencial Parcial, EDP.

    ( 3 ) Uma EDO uma relao entre as variveis e e pelo menos uma funo incgnita , , , . . . , ( )

    ( 4 ) Organizadas na forma polinomial

    ( ) + 1( ) 1+ . . . +2( )

    + 1( ) + 0( ) = ( ),

    as EDO classificam-se quanto ordem e quanto ao grau.

    ( 5 ) A Ordem dada pela ordem do termo diferencial de maior ordem e o Grau dado pela potncia a qual est elevado o termo diferencial de maior ordem.

    ( 6 ) Uma EDO de grau 1 Linear se a funo incgnita y e suas derivadas so de grau 1 e no ocorre produto ou composio das incgnitas. Assim, toda equao linear tem grau 1, mas nem toda equao de grau 1 linear.

    ( 7 ) As EDO de ordem 1, EDO( 1 ), so descritas na Forma Normal = ( , ) ou na Forma Diferencial ( , ) + ( , ) = 0.

    ( 8 ) Ao resolver uma equao algbrica, digamos 3 + 2 = 0, procuramos os nmeros que a satisfazem. Os nmeros = 1 ou = 2 tem essa propriedade, pois

    3 + 2 = 0 2 3. 2 + 2 = 0 4 6 + 2 = 0 2 + 2 = 0 0 = 0, ou

    3 + 2 = 0 1 3. 1 + 2 = 0 1 3 + 2 = 0 2 + 2 = 0 0 = 0.

    Analogamente, resolver uma EDO procurar todas as funes que a satisfazem.

    ( 9 ) Resolver uma EDO determinar a primitiva = ( ) que originou a EDO. ( 1 0 ) Resolver uma EDO procurar uma funo = ( ), definida e diferencivel num dado intervalo, tal que, quando substitumos, respectivamente, e suas derivadas na EDO, ela se transforma numa IDENTIDADE.

    ( 11 ) Uma EDO pode ter infinitas solues.

    ( 12 ) O conjunto das solues de uma EDO de Ordem n que podem ser descritas por uma frmula contendo n constantes arbitrrias e independentes chamado FAMLIA DE SOLUES ou SOLUO GERAL, SG, da EDO ( n ).

    ( 13 ) A SOLUO GERAL, SG, de uma EDO toda FRMULA contendo tantas constantes arbitrrias e independentes quanto for ordem da equao.

    ( 1 4 ) A SOLUO PARTICULAR, SP, de uma EDO ( n ) toda soluo obtida da SG por atribuio de valores numricos s constantes arbitrrias.

    6

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 27

    ATIVIDADES DE ESTUDOS 2 Respostas ou modelo de resoluo esto em letras menores

    Uma EDO de Grau 1 Linear se a funo incgnita y e suas derivadas so grau 1 e no ocorre produto ou composio destas variveis. Seno, ela No Linear. Justifique quais das equaes abaixo no so Lineares. 74 ) y + 2 y = cos x 75 ) y = 5x + 2y

    76 ) y 3 y+ 2 y = 0 77 ) 2

    2 2

    + 3 y = 5 sen x

    78 ) y 3y+ 2y 4y = 2 3 79 ) ( )3 + 2 y y 1 = 0 No Linear

    80 ) x y y 2 x y = 0 No Linear 81 ) x y + y = 0 No Linear

    82 ) y = 1 + ( ) 2 No Linear 83 ) y = 2 + cos x No Linear

    84 )

    =

    + 85 )

    2

    2 +

    sen = 0 No Linear

    86 ) (5) 6 (4) + 10y + 6 y = 0 87 ) ( )3 + 2 y y 1 = 0 No Linear

    88 ) xy+ y = 0 No Linear 89 ) y = 1 + ( )2 No Linear

    90 ) y= 2 + cos x No Linear 91 ) y + 2xy = cos y No Linear

    92 ) L

    q( t ) + R

    q( t ) +

    1

    q( t ) = v( t )

    A partir de uma dada equao, onde c , obter uma EDO ( 1 ) na forma Normal ou na forma Diferencial.

    93 ) y = C , y = y ; y dx dy = 0

    94 ) y = C x, y= 3

    ; 3 dx

    dy = 0

    95 ) y = C ( x 1 ), y = 1

    ; 1

    1

    1

    = 0

    96 ) y = C , y = 2x y; 2x dx 1 dy = 0

    97 ) x 1,5 x + 7y = C, ( 2x 1 ) dx + ( 3y + 7 ) dy = 0

    98 ) 2,5x + 4xy 24 = C, ( 5x + 4 ) dx + ( 4x 8y ) dy = 0

    99 ) xy 3x + 4y = C, ( 2xy 3 ) dx + ( 2xy + 4 ) dy = 0

    100 ) xy + y cos x 0,5x = C ( x y + ysen x ) dx ( 3xy + 2ycos x ) dy = 0

    101 ) ln cos x + cos x sen y = C ( tgx senx sen y ) dx + cos x cos y ) dy = 0

    7

    ATIVIDADE 3: EQUAES LINEARES

    ATIVIDADE 4: FORMA NORMAL OU DIFERENCIAL

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 28

    Uma EDO ( 1 ) na forma diferencial ( , ) + ( , ) = 0 denominada EXATA se

    =

    ou = .

    Verifique quais das equaes abaixo so Exatas:

    102 ) + =

    ( 1 ) A equao no est na forma diferencial. ( 2 ) Fazemos

    + = .

    ( 3 ) Da ( ) + = ( 4 ) Assim M = e N = ;

    ( 5 ) Como = 1 e = 1, ento = . ( 6 ) Portanto, a equao exata.

    103 ) =

    ( 1 ) Na forma diferencial a equao se escreve + =

    ( 2 ) Assim, de M = e N = temos = 1 e = 1.

    ( 3 ) Logo e a equao no exata

    104 ) + + = EXATA

    105 ) ( + ) + = EXATA

    106 ) ( + ) + + + = EXATA

    107 ) = NO EXATA

    108 ) ++ ( + ) = EXATA

    109 ) + = 0, e nmeros reais EXATA

    Uma EDO( 1 ) na Forma Normal = ( , ) se denomina Homognea se ( , ) = ( , ), .

    Verifique quais equaes so homogneas

    110 ) = +

    ( 1 ) Temos f( x, y ) = +

    ( 2 ) Ento f( tx, ty ) =

    +

    =

    ( + )

    =

    +

    = f( x, y )

    ( 3 ) A equao homognea.

    111 ) =

    ( 1 ) Temos f( x, y ) =

    ( 2 ) f( tx, ty ) = ( )

    =

    =

    f( x, y ) ( 3 ) A equao no homognea.

    112 ) = +

    A equao homognea.

    113 ) = ( )

    + A equao homognea.

    ATIVIDADE 6: EQUAES HOMOGNEAS DE ORDEM 1

    ATIVIDADE 5: EQUAES EXATAS

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 29

    Funo Dada Equao Diferencial Dada

    114 = + 6 = 2 1

    115

    = 5 + 12; = 15

    116 = 53; + 3 = 0

    117 = 2 = 0

    118 = 3 + 4 5 = 0

    119 = 1 + + = 1

    120 + + + = 0

    121 = = 0

    122 = ( + 3 ) ( + 3 ) =

    123 ( 1 2 ) = ( 1 2 ) = 1 +

    124 = + =

    2

    125 y = C2 2,5 x 1,25 = 5 + 2

    126 = 4 + 16 = 0

    127 = 1 ln( + 1 ) + = 0

    128 + = + =

    129 + 3 = ( + ) + 2 = 0

    130

    3 + 6 + 2 + 6 + 6 + 3 =

    ( + 2 + 1) + ( + ) = 0

    131

    = 1 +

    ( 1 + ) + =

    132

    = 2 ( 2 + 2 )

    + 2 + 5 = 0

    133

    y = + 2 + ( 1/ 7 ) 4

    + 2 = 3 4

    ATIVIDADE 7: VERIFIQUE SE A FUNO DADA SOLUO DA EDO DADA.

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 30

    A partir de uma dada equao obtenha uma EDO de menor ordem que no contenha constantes arbitrrias. 134 ) Seja = + , onde , so constantes arbitrrias.

    ( 1 ) Afim de obter a EDO de menor ordem que no contenha constantes arbitrrias derivamos a equao dada tantas vezes quanto for o nmero de constantes arbitrrias, pois a SG de uma EDO tem nmero de constantes arbitrrias igual a ordem da equao;

    ( 2 ) Temos y= 3 A x e y = 6 A x.

    ( 3 ) A equao y = 6Ax ainda contm uma constante arbitrria;

    ( 4 ) Como =

    3 segue-se que = 6.

    3 =

    2

    2 = 0

    135 ) Seja = + , onde , so constantes arbitrrias. = 0

    136 ) Seja = , onde uma constante arbitrria. 3 = 0

    137 ) Seja + = , onde uma constante arbitrria. + = 0

    138 ) Seja = + , onde , so constantes arbitrrias.

    ( 1 ) Temos y= A sen x + B cos x e y = A cos x B sen x .

    ( 2 ) y = ( A cos x + B sen x) y= y y+ y = 0.

    139 ) Seja y = A + B , onde , so constantes arbitrrias. y 16 y = 0

    ( 1 ) Temos y= A B , e y = A + B ,.

    ( 2 ) y = y y y = 0.

    140 ) Seja y = A 4 + B 4, onde , so constantes arbitrrias. y 16 y = 0

    141 ) Seja = 3 + 3, , constantes arbitrrias. y + 9 y = 0

    142 ) Seja y = A cos 2x + B sen 2x + 5 x 1, , so constantes arbitrrias SOLUO 1

    ( 1 ) Temos y= 2 A sen 2x + 2 B cos 2x + 10 x e,

    ( 2 ) y = 4 A cos 2x 4 B sen 2x + 10

    ( 3 ) y = 4 A cos 2x 4 B sen 2x + 10 y = 4 ( A cos 2x B sen 2x 10

    4 )

    ( 4 ) Somando e subtraindo 5x 1 em ambos os membros de ( 3 ), segue-se:

    y = 4 ( A cos 2x B sen 2x + 5x 1 5x + 1 10

    4 )

    y = 4 ( A cos 2x B sen 2x + 5x 1) 4 ( 5x + 1 10

    4 )

    y = 4 y + 20 x 4 + 10 y = 4 y + 20 x + 6

    y + 4 y = 20 x + 6

    SOLUO 2

    ( 5 ) y = A cos 2x + B sen 2x + 5 x 1 A cos 2x + B sen 2x = y ( 5 x 1 )

    ( 6 ) De y = 4 A cos 2x 4 B sen 2x + 10 y = 4 ( A cos 2x + 4 B sen 2x ) + 10

    y = 4 [ y ( 5 x 1 ) ] + 10 y = 4 y + 20 x 4 + 10 y + 4 y = 20 x + 6.

    ATIVIDADE 8 - FORMANDO EDOs

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 31

    A equao F ( x, y, C ) = 0 representa uma infinidade de curvas no plano xy denominada FAMILIA DE CURVAS, onde C chamado parmetro da famlia. Se F( x, y, c ) = 0 representada como y= f( x, y ), a equao y=

    ( , )

    chamada Equao Diferencial das Trajetrias Ortogonais da famlia F. Determine as trajetrias ortogonais da famlia de curvas F dada abaixo:

    143 ) x + y = C.

    ( 1 ) Diferenciando x + y = C em relao a x, obtemos y = x / y;

    ( 2 ) Como f( x, y ) = x / y, as trajetrias ortogonais so y=

    ( , ) = [ 1 / ( x / y ) ] = y / x

    144 ) x + y = Cx y= x / 2y 145 ) x + ( y C ) = C y= ( x y ) / 2xy

    146 ) y = Cx y= x / 2y 147 ) x y = C y= y / x

    148 ) y = C y= 1/ y 149 ) x y = Cx y= ( x y y ) / x

    150 ) xy = C y= x / y 151 ) y = Cx y= x / 3y

    152 ) y = 4Cx y= 2x / y 153 ) x + y = Cy y= ( y x ) / 2x

    A EDO( 1 ) + ( ) = ( ) , k , denominada Equao de Bernoulli. Se k = 0 ou k = 1, a equao de Bernoulli se reduz a uma EDOL ( 1 ). Verifique quais das equaes abaixo so de Bernoulli:

    154 ) = +

    Devemos verificar se = + se escreve na forma + ( ) = ( ) . Para tanto:

    ( 1 ) Escrevemos = + como + ( ) = ;

    ( 2 ) Assim, f( x ) = senx , r( x ) = e k = 0

    ( 3 ) A equao de Bernoulli

    155 ) = +

    ( 1 ) Dividimos ambos os termos de = + por x 0, pois na forma padro o coeficiente de

    y igual a 1, para obter =

    +

    ;

    ( 2 ) Escrevemos =

    +

    como + (

    ) =

    , onde f( x ) =

    ,

    r( x ) =

    e k = 0, para concluir que a equao de Bernoulli.

    156 ) = Equao de Bernoulli 157 ) = + No Equao de Bernoulli

    158 ) + = Equao de Bernoulli 159 ) = + No Equao de Bernoulli

    160 ) + = Equao de Bernoulli 161 ) + = No Equao de Bernoulli

    ATIVIDADE 9: TRAJETRIAS ORTOGONAIS

    ATIVIDADE 10: A EQUAO DE BERNOULLI

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 32

    162 ) Descreva a EDO da curva cuja inclinao igual soma das coordenadas

    Resp.: A equao que satisfaz a condio solicitada

    = x + y ou y= x + y.

    163 ) Descreva a EDO da curva tal que o produto das ordenadas pela inclinao mais as abscissas nulo.

    Resp.: A equao que satisfaz a condio solicitada y

    + x = 0 ou yy + x = 0

    164 ) Numa cultura de bactrias a taxa de crescimento da populao proporcional

    populao inicialmente presente.

    ( 1 ) A populao P de bactrias uma funo do tempo t: P = P( t ).

    ( 2 ) A taxa de variao da populao de bactrias representada

    e a informao dada simbolizada

    P,

    onde o smbolo lido . . . proporcional a . . .

    ( 3 ) Assim, existe uma constante de proporcionalidade k > 0, pois a populao aumenta, tal que

    = .

    165 ) A taxa de variao do capital proporcional ao capital em cada instante.

    =

    166 ) A queda de tenso atravs do resistor proporcional corrente instantnea i.

    i diz que existe uma constante R, chamada Resistncia do Resistor, tal que = i.

    167 ) A queda de tenso num indutor proporcional taxa de variao da corrente

    diz que existe uma constante L, chamada Indutncia do Indutor, tal que =

    .

    168 ) A queda de tenso num capacitor proporcional ao valor 1

    da carga eltrica

    instantnea q armazenada no capacitor.

    = 1

    q, onde C a capacitncia do Capacitor.

    169 ) A corrente eltrica i igual a taxa de variao da carga eltrica. =

    170 ) A 2 Lei de Newton: Fora igual a massa vezes a acelerao. ( 1 ) Isto , a fora resultante que atua num corpo proporcional acelerao do corpo;

    ( 2 ) F = ma = m

    = m

    , onde x = x ( t ) a funo deslocamento do corpo.

    171 ) Radioatividade: A experincia mostra que toda substncia radioativa se

    decompe a uma taxa proporcional quantidade inicialmente presente.

    ( 1 ) A massa m uma funo do tempo t: m = m ( t ); ( 2 )

    a variao da massa e a observao

    simbolizada

    m;; ( 3 ) Assim, existe uma constante de proporcionalidade k < 0, tal que

    = .

    172 ) Lei do Resfriamento de Newton: A experincia mostra que a taxa de variao

    da Temperatura T de um corpo proporcional diferena entre a temperatura do

    corpo e a temperatura do meio ambiente.

    = ( ) .

    ATIVIDADE 11: DESCRIO DE UMA OBSERVAO

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 33

    PROBLEMA DE VALOR INICIAL E SOLUES SINGULARES

    As EDO esto sujeitas a dadas condies, chamadas Condies Iniciais, que definem o valor de cada constante 1, 2, . . . , da SG.

    No caso das EDO ( 1 ) interessa determinar a Soluo Particular que satisfaz a Condio Inicial y ( 0 ) = 0.

    Geometricamente, a SP aquela que passa pelo ponto P( 0, 0 ).

    Por exemplo, a SG da EDO( 1 ) = ( ) = + , onde C .

    A SP que satisfaz a condio inicial y ( 0 ) = , obtida substituindo x por 0 e y por

    na SG. Como y ( 0 ) = sen 0 + C = C = , a SP ( ) = + .

    A SG da EDO 2 = 0 = em < x < e a SP que satisfaz a condio ( 0 ) = 0 y = 0, pois y( 0 ) = 0 C = 0.

    Uma soluo identicamente nula no intervalo de soluo de uma equao diferencial chamada Soluo Trivial.

    DEF. 6 PROBLEMA DE VALOR INICIAL: P V I

    Entretanto, nem todas as solues de uma EDO ( 1 ) podem ser obtidas da SG

    por atribuio de valores numricos s constantes arbitrrias. Existem EDO( 1 ) que aceitam como soluo funes constantes y = k, k ,

    que anulam a Forma Normal, chamadas SOLUES SINGULARES.

    DEF. 7 SOLUES SINGULARES

    Observe que a funo s ( x ) = k uma soluo da EDO ( 1 ) na forma normal

    y= f ( x, y ), pois substituindo y por s ( x ) temos

    s( x ) = f [ x, s( x ) ] ( k )= f ( x, k ) 0 = f ( x, k ) .

    O Problema y= g ( x, y ), com a < x < b

    sujeito condio y ( x ) = y, a < x < b chamado PROBLEMA DE VALOR INICIAL ou PROBLEMA DE CAUCHY.

    Uma funo s ( x ) = k tal que f ( x, k ) = 0, k , denominada SOLUO SINGULAR da equao y= f ( x, y ).

    CADERNO 3 3

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 34

    SOLUES SINGULARES

    Seja y= y. y= y

    ( 1 ) A SG de y= y dada pela frmula y = 1

    + , com x C;

    ( 2 ) f ( x, y ) = y pode ser escrita f( y ) = y, pois f s depende de y.

    EDO( 1 ) da forma f( x, y ) = f( y ) so chamadas Autnomas ou Independentes.

    ( 3 ) Substituindo y por s( x ) = k na equao normal y= f ( x, y ) temos:

    ( k )= f ( x, k ) 0 = f ( y ) y = 0.

    ( 4 ) Assim s ( x ) = 0 uma soluo singular da equao y= y.

    ( 5 ) Observe que a soluo y = 0 no pode ser obtida da SG.

    Seja

    3 = x.

    ( 1 ) Observe que

    3 = x , desde que y 3

    ( 2 )

    3 = x y = x ( y 3 ) f ( x, y ) = x ( y 3 ).

    ( 3 ) Substituindo y por s( x ) = k na equao normal y= f ( x, y ), segue-se:

    y= f ( x, y ) 0 = x ( y 3 ) x = 0 ou y = 3.

    ( 4 ) Assim y = s ( x ) = 3 uma soluo singular da equao y= x ( y 3 ).

    Seja

    1 = 1, para y 1 ou y 1.

    ( 1 )

    1 = 1 y= y 1 f ( x, y ) = f( y ) = y 1

    ( 2 ) Substituindo y por s( x ) = k na equao normal y= f ( x, y ) segue-se:

    y= f ( x, y ) 0 = y 1 y = 1 ou y = 1 .

    ( 4 ) Assim 1 ( x ) = 1 ou 2 ( x ) = 1 so as possveis solues singulares;

    ( 5 ) Como veremos, a SG de y = y 1 dada como = 1 + 2

    1 2;

    ( 6 ) A soluo y = 1 pode ser obtida da SG fazendo C = 0;

    ( 7 ) A nica Soluo Singular y = 1, pois no pode ser obtida da SG para

    nenhum valor da constante arbitrria C.

    Seja y= 2 , y 0.

    ( 1 ) Temos f ( y ) = 2 , y 0. Mas f ( y ) = 0 2 / y = 0

    ( 2 ) No ocorrem solues singulares, pois nenhuma constante anula f ( y ) = 2 .

    EXEMPLO 9

    E 9 A

    E 9 B

    E 9 C

    E 9 D

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 35

    O matemtico francs Augustin Louis Cauchy foi um dos responsveis pelo movimento que consolidou o cuidado com a fundamentao matemtica nos estudos que deu ao Clculo a partir de 1821 o tratamento atual.

    Em 1820 demonstrou a existncia de solues das equaes diferenciais. As condies que garantem que as solues de uma EDO ( 1 ) existem e so nicas so dadas pelo TEOREMA DA EXISTNCIA E UNICIDADE DE CAUCHY:

    Os critrios de Cauchy estudam as condies suficientes para a existncia e a unicidade de solues num intervalo de pequena amplitude h em torno de 0.

    Se verificadas as hipteses do teorema, existe uma soluo nica cujo grfico passa por P ( x, y ).

    Seno, a existncia e a unicidade podem ocorrer ou no.

    VERIFICANDO AS CONDIES DE CAUCHY

    Considere o PVI { =

    ( 0 )=1 cuja SG dada por ( ) = .

    ( 1 ) f ( x, y ) = y e ( x, y ) = 1 satisfazem as hipteses do teorema em qualquer

    regio R do plano xy;

    ( 2 ) Assim existe uma nica funo satisfazendo y( 0 ) = 1 numa regio R do plano contendo o ponto ( 0, 1 );

    ( 3 ) Substituindo x por 0 e y por 1 em y ( x ) = C obtemos a SP ( ) = .

    Seja o PVI { y = ,( 0 )=1

    cuja SG dada por y ( x ) = para x 0.

    ( 1 ) Como ( , ) = e ( , ) = 1 , as hipteses do teorema no se

    verificam para = 0;

    ( 2 ) No existe soluo pelo ponto ( 0, 1 ) e por nenhum ponto da forma ( 0, a ).

    y= f ( x, y ), a < x < b

    Seja o PVI: sujeito condio

    y ( x ) = y, a < x < b .

    Se f ( x, y ) e ( x, y ) so contnuas numa regio R do plano xy e ( x, y ) R,

    ento existe uma nica soluo do PVI em x x x + h, h > 0

    O TEOREMA DA EXISTNCIA E UNICIDADE DE CAUCHY 1

    EXEMPLO 10

    E 10 A

    E 10 B

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 36

    ATIVIDADES DE ESTUDOS 3

    173. A SG de + = 0 dada pela equao + = . Determine a SP que satisfaz a condio inicial dada e o maior intervalo I para o qual a SP definida.

    A ) y( 0 ) = 1 B ) y( 0 ) = 3 C) y( 3 ) = 4

    Resoluo 165 A

    ( 1 ) De y( 0 ) = 1 temos a SP x + y = 1 ou y = 1

    ( 2 ) Para estabelecer o maior intervalo I que define a SP, devemos estudar o Domnio de y = 1 ;

    ( 3 ) A Condio de Existncia, CE, de y = 1 impe 1 x 0 ou, x + 1 0 ;

    ( 4 ) x + 1 = 0 tem razes x = 1 ou x = 1 e o esquema grfico ao lado mostra: +

    ( 5 ) x + 1 > 0 se 1 < x < 1 ou x + 1 < 0 se x < 1 ou x > 1 1 1

    ( 8 ) De acordo com a CE, interessa onde x + 1 0 e assim I = [ 1, 1 ].

    174. A SG de = 2 dada por ( + ) = 1. Determine a SP que satisfaz a condio inicial dada e o maior intervalo I para o qual a SP definida.

    A ) y( 0 ) = 1 B ) y( 2 ) = 1/ 8 C ) y( 2 ) = 1/ 5

    Resoluo 166 A

    ( 1 ) Substituindo a condio inicial y( 0 ) = 1 na SG temos 1 ( C + 0 ) = 1 e a SP y ( 1 + x ) = 1 ou y = 1

    + 1;

    ( 2 ) A CE impe 1 + x 0. Como 1 + x nunca se anula, o Intervalo de Definio I = ( , + ).

    Em qual regio do plano a EDO( 1 ) tem soluo nica pelo ponto ( 0, 0 ) ?

    175 ) y = x

    ( 1 ) Temos f( x, y ) = x e ( x, y ) =

    2 ;

    ( 2 ) A CE de f y 0 e a CE de y > 0. Logo a CE que atende s condies f e o semiplano y > 0;

    ( 3 ) O Teorema de Cauchy garante que em qualquer ponto ( 0, 0 ) com 0 > 0 existe um intervalo com centro em

    0 e 0 > 0 no qual a EDO tem uma nica soluo.

    176 ) y= 2/3, y (0 ) = 0 O Teorema de Cauchy no se aplica, pois f no diferencivel em y = 0.

    177 ) y= 2/3 O Teorema de Cauchy se aplica aos semiplanos y > 0 ou y < 0.

    178 ) s( x ) = 0 e = 2 179 ) s( x ) = 2 e = 2 ( 2 )

    180 ) ( ) = 0 e = 2/3 181 ) s( x ) = 0 e = 2

    182 ) s( x ) = 0 e = 184 ) 1( ) = 0,5 ou 2( ) = 0,5 e = 2 ( 2 )

    ATIVIDADE 13: VERIFICANDO CONDIES DE EXISTNCIA

    ATIVIDADE 14: VERIFIQUE SE s = s( x ) SOLUO SINGULAR DA EDO( 1 )

    2

    ATIVIDADE 12: INTERVALO DE DEFINIO DE SOLUES PARTICULARES

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 37

    EQUAES DE VARIVEIS SEPARVEIS

    Uma EDO ( 1 ) uma relao entre x, y e a funo incgnita y de y relativo a x. As EDO( 1 ) podem ser escritas na:

    FORMA GERAL F ( x, y, y ) = 0,

    FORMA NORMAL = f ( x, y ), ou na

    FORMA DIFERENCIAL (, ) + (, ) = 0.

    Cada forma de descrio sugere mtodos de resolues.

    A EDO mais simples chamada EQUAO DE VARIVEIS SEPARVEIS,

    EVS, assim denominada por Leibnitz, pois so resolvidas colocando funes de x

    com dx e funes de y com dy.

    Na FORMA DIFERENCIAL M( x, y ) dx + N( x, y ) dy = 0 uma EDO( 1 ) SEPARVEL se M( x, y ) funo apenas de x, e N( x, y ) funo apenas de y.

    Digamos M = f( x ) e N = g( y ), onde o sinal ( ) por convenincia algbrica.

    A EDO f( x )dx g( y )dy = 0 denominada SEPARVEL, pois justificando a

    denominao, integramos ambos os membros temos ( ) ( ) = , C .

    Na FORMA NORMAL = f ( x, y ) SEPARVEL se y = ( )

    ( ) e tal que

    y = ( )

    ( ) y =

    1

    ( ) ( ) = ( )( ), onde ( ) = 1

    ( ) .

    Para resolver uma EVS na forma = ( )

    ( ) basta escrever

    =

    ( )

    ( ), separar

    as variveis e integrar ( ) = ( ).

    VERIFICANDO EQUAES SEPARVEIS

    SO EQUAES SEPARVEIS

    ( 1 ) = 1, pois f( x, y ) = ( 1 ) . ( y ) = f( x ) h( y ) .

    ( 2 ) 2x ( 1 + y ) dx 2y ( 1 + x ) dy = 0, pois y= 2

    1 + .

    1 +

    2 = f( x ) h( y ).

    NO SO EQUAES SEPARVEIS

    ( 1 ) = + , pois no h como escrever f( x, y ) = f( x ) h( y );

    ( 2 ) = , pois no h como escrever f( x, y ) = f( x ) h( y ) .

    EXEMPLO 11

    E 11 A

    E 11 B

    CADERNO 4 4

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 38

    RESOLVENDO EVS

    DETERMINANDO A SOLUO GERAL DE UMA EV

    =

    ( 1 ) = 2 5

    = 2 5 . Separando as variveis, = ( 2 5 ) ;

    ( 2 ) = (2 5 ) SGE, Soluo Geral Explicita, = 5 + .

    + =

    ( 1 ) Como as variveis esto separadas, + = 0 a SGI, Soluo Geral

    na Forma Implcita

    2 +

    2 = 1;

    ( 2 ) Escrevemos a constante arbitrria como 1, pois + = 21 permite que faamos 21 = , para consolidar a SGI como + = C;

    ( 3 ) Na forma explcita a SG se escreve y = C x y = + C x ou y = C x .

    ( 4 ) Observe-se que nem sempre possvel explicitar a SG de uma EDO( 1 ).

    =

    ( 1 ) Como as variveis no esto separadas, = 0 = ;

    ( 2 ) =

    =

    =

    ln || = ln || + 1;

    ( 3 ) ln || = ln || + 1 y = ln || + 1 = ln || . 1 = || 1;

    ( 4 ) Portanto, y = 1 . , pois || = {, < 0, 0

    ;

    ( 5 ) Fazendo 1 = C, decorre a Explcita y = C x.

    =

    +

    ( 1 ) Como as variveis esto separadas,

    =

    + 3 ln || = ln | + 3| + 1;

    ( 2 ) || = | + 3| + 1 y = ln | + 3| + 1 = ln | + 3| . 1 = | + 3| 1;

    ( 3 ) y = 1 . ( + 3 ), pois | + 3| = { + 3 , + 3 0

    ( + 3 ), + 3 < 0 = {

    + 3 , 3( + 3 ), < 3

    ( 4 ) Fazendo 1 = C, temos a SGE y = C ( x + 3 ).

    EXEMPLO 12

    E 12 A

    E 12 B

    E 12 C

    E 12 D

    1

    = ln | | + , .

    1

    0 = ln , x > 0

    1

    Veja a seguir tpico sobre LOGARITMOS

    1

    1

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 39

    Dada a equao 2 = 7, perguntamos: qual o nmero x tal que 2 = 7 ? Como 22 = 4 e 23 = 8 e 2 < 7 < 2, ento 2 < 2 < 2 e assim 2 < x < 3.

    A soluo x = 2,807354928 e voc pode estar se perguntando como chegamos a este valor.

    A resposta decorre da definio atual do Logaritmo e suas propriedades.

    Por exemplo, qual o logaritmo de 256 na base 2 ?

    Ou seja, = = = = 8.

    As bases usuais so a base decimal a = 10, escrita 10 = e a base a = e, onde e nmero irracional e 2,718282, escrita = , cuja leitura Logaritmo Natural ou Logaritmo Neperiano de b, em homenagem ao matemtico escocs John Napier ( leia-se Neper ).

    Napier estudou relaes entre Progresses Geomtricas e Aritmticas, PG e PA`s durante quase 20 anos at conseguir explicar os princpios de suas pesquisas em termos geomtricos e assim denominar seus estudos pela palavra Logaritmo: logos + arithmos, que diz, literalmente, Estudo ou Razo dos Nmeros.

    A base das pesquisas de Napier, que tinha em mente simplificar as longas e aborrecidas divises e multiplicaes, se iniciam quando, ao associar os termos da

    PG {, , , , . . . , , . . . , , . . . } aos termos da PA { 1, 2, 3, . . . , m, . . . , n, . . . , }, observou que o produto de dois termos = + est associado soma m + n dos termos correspondentes da PA.

    Em 1614 Napier publicou a Descrio da Maravilhosa Lei dos Logaritmos. Em 1619, postumamente, publicada A construo da Maravilhosa Regra dos Logarimos.

    Em 1615 Napier e o professor de Geometria Henry Briggs concluram que as tbuas de logaritmos so mais eficientes tomando o logaritmo de 1 igual a 0 e uma potncia conveniente de 10 para o logaritmo de 10, dando origem aos Logaritmos Decimais e ao conceito de base como entendemos hoje, tarefa a qual Briggs dedicou-se, publicando em 1624 sua Arithmetica Logarithimica.

    O Logaritmo tornou-se um poderoso procedimento computacional e eficiente procedimento de resoluo de equaes.

    1 LOGARITMOS: DEFINIO E PROPRIEDADES I 2

    DEF : LOGARITMO

    O logaritmo de um nmero b > 0 na base a igual ao nmero real x que satisfaz a igualdade a elevado x igual a b: =

    = b.

    O nmero b > 0 chamado logaritmando, o nmero real x o logaritmo e a

    base a tal que a > 0 e a 1.

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 40

    So consequncias imediatas da definio: ( L1 ) = . Pois 1 =

    = 1 = 0 x = 0;

    ( L2 ) = . Pois = = = 1 x = 1;

    ( L3 ) = ;

    ( L4 ) = b. Pois = = = ;

    ( L5 ) = b = c . Pois = = = b e = b = c.

    Os logaritmos reduzem multiplicaes e divises a adies de subtraes:

    LP 1 ) ( ) = + .

    Pois, de ( ) = , = e = z decorre = , = e

    = . De = segue-se = . = + x = y + z;

    LP 2 ) (

    )= .

    LP 3 ) ( )=

    LP 4 ) () =

    LP 5 ) Mudana de Base: =

    LP 6 ) Se b > 0, 10 < 10 + 1 < + .

    Ou seja, log b igual a soma de um nmero inteiro c, chamado caracterstica, com uma parcela 0,m no negativa e menor do que 1, chamado mantissa.

    A caracterstica o maior nmero inteiro que no supera o valor do logaritmo e

    a mantissa um nmero nulo ou positivo menor do que 1 tal que = c + 0, m.

    0,m

    c log b c + 1

    Assim log 932 = 2,969416 = 2 + 0,969416 = c + 0, m.

    Agora 0,0932 = 1,030584, mas no verdade c = 1 e 0,m = 0,30584. Pois, como a caracterstica o maior nmero inteiro que no supera o valor do

    logaritmo, c = 2. Da 1,030584 = 2 + 0, 0, = 0,969416.

    Agora, respondendo a indagao inicial, observe:

    ( 1 ) 2 = 7 log2 2 = log2 7 log2 2

    = log2 7 ( ) 2 2

    = 2 7

    ( 2 ) 2 2 = 2 7

    ( ) . 1 = 2 7 = 2 7

    ( 3 ) = 2 7 ( ) =

    ( 4 )

    ( ) x = 2,807354928

    1 LOGARITMOS: DEFINIO ATUAL E PROPRIEDADES II 3

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 41

    RESOLVENDO EVS

    ( + ) ( + ) =

    ( 1 ) Separando as variveis, 2

    1 + =

    2

    1 +

    ( 2 ) Integrando por Substituio decorre |1 + | = |1 + | + 1

    ( 3 ) Como |1 + | = 1 + y, temos (1 + 2) = (1 + 2) + 1

    ( 4 ) Assim 1 + y = ( 1+2 ) +1 = ( 1+

    2 ) 1 y = C( 1 + x ) 1, C = 1 .

    = +

    ( 1 )

    = 1 + 1

    1 + =

    1

    1 + = = +

    ( 2 ) Segue-se que = ( + ) = ( + )

    = +

    ( 1 ) Temos

    = 9 +

    1

    9 + =

    ( 2 ) Integrando, 1

    9 + =

    1

    3

    3 = + 1

    ( 3 ) Segue-se que

    3 = 3 ( + 1 )

    3 = ( 3 + 31 )

    ( 4 )

    3 = ( 3 + 31 )

    3 = (3 + 31) y = 3 (3 + 31)

    ( + ) + + =

    ( 1 ) ( 1 + ) + 1 + = 0 1

    1 + =

    1

    1 + + = 1

    ( 2 ) Agora, ( + ) = 1

    ( 3 ) Como ( + ) = +

    1 . , ento ( + ) = 1

    +

    1 . = 1

    +

    1 = 1.

    RESOLVENDO A EVS =

    EXEMPLO 13

    E 13 A

    E 13 B

    E 13 C

    1

    E 13 D

    I = 1

    + I =

    1

    ( 1 +

    2 ) =

    1

    1

    1 + (

    )2 .

    Fazendo u =

    temos du =

    dt = a du. Logo, I = 1

    1

    1 + 2

    I = 1

    1

    1 + 2 =

    1

    arc tg u + C =

    1

    arc tg

    + C. Da

    9 + 2 =

    1

    3

    3 + C

    1

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 42

    =

    ( 1 ) =

    = 1 y

    1

    1 = , com y 1 ou y 1

    ( 2 ) Agora 1

    1=

    1

    ( 1 )( + 1 ) =

    1+

    + 1=

    1

    2 ( 1 )

    1

    2 ( + 1 )

    ( 3 ) Logo 1

    1 = (

    1

    2 ( 1 ) 1

    2 ( + 1 ) ) = + 1

    1

    2

    1

    1

    1

    2

    1

    + 1 = + 1

    1

    2 | 1 |

    1

    2 | + 1 | = + 1

    1

    2 |

    1

    + 1 | = + 1

    | 1

    + 1 | = 2 + 21

    ( 5 Mas, | 1

    + 1 | = {

    1

    + 1,

    1

    + 1 0

    1

    + 1,

    1

    + 1 < 0

    = {

    1

    + 1, < 1 1

    1

    + 1, 1 < 1

    ( 6 ) Resolvendo | 1

    + 1 | = 2 + 21 em relao < 1 1, temos:

    | 1

    + 1 | = 2 + 21

    1

    + 1 = 2 y 1 = 2 + 2 2 = 2 + 1

    y( 1 2 ) = 2 + 1 y = 1 + 2

    1 2, onde 21 = ;

    ( 7 ) Resolvendo | 1

    + 1 | = 2 + 21 em relao 1 < 1, temos:

    | 1

    + 1 | = 2 + 21

    1

    + 1 = 2 1 y = 2 + 2

    2 = 2 1 y( 1 + 2 ) = 2 1 y = 1 2

    1 + 2 , onde 21 = .

    ( 8 ) Como C assume qualquer valor real, as solues em ( 6 ) e ( 7 ) so expresses diferentes da mesma frmula.

    ( 9 ) Assim a SG pode ser representada pela frmula ( ) = 1 + 2

    1 2.

    ( 10 ) Omitimos y = 1 ou y = 1 das etapas de resoluo. Entretanto, y = 1 pode ser obtida da SG fazendo C = 0 e, assim, includa na SG; ( 11 ) y = 1 uma Soluo Singular, pois no pode ser obtida da SG.

    EXEMPLO 14

    2

    Resoluo da Inequao Quociente Q( y ) =

    + , y 1:

    ( 1 ) Sejam A = y 1 e B = y + 1 ( 2 ) O coeficiente de y em A a = 1 > 0 e o coeficiente de y em B a = 1 > 0; ( 3 ) A raiz de A y = 1 e a de B y = 1; ( 4 ) O estudo do sinal de uma equao linear dado pela regra: direita da raiz ela tem o mesmo sinal do coeficiente a ( msa ) e esquerda, sinal contrrio ao do coeficiente a ( sca ).

    ( 5 ) Assim, o sinal de A e B so: ( A) sca raiz msa ( B ) sca raiz msa 1 + 1 + 1 1

    A +

    B +

    Q +

    2

    ( 6 ) Concluso: De acordo com o Quadro Sinal ao lado, Q( y ) > 0 para 1 < y < 1 e Q( y ) < 0 se y < 1 ou y > 1. Q( y ) = 0 para y = 1.

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    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 43

    Justificamos porque escrevemos 1 1

    = 1

    2 ( 1 )

    1

    2 ( + 1 ) no exemplo 14.

    Considere a Funo Racional Prpria, FRP, ( ) = ( )

    ( ) onde P e Q so

    polinmios tais que o grau de P menor que o grau de Q: gr ( P ) < gr ( Q ).

    Neste caso, como a diviso do polinmio P pelo polinmio Q no pode ser efetuada, a FRP deve ser expandida numa soma de funes racionais mais simples chamadas FRAES PARCIAIS, cuja expanso est na dependncia do denominador segundo a REGRA DE DECOMPOSIO EM FRAES PARCIAIS.

    O nmero de Fraes Parciais , em geral, igual ao grau do denominador. O grau do Numerador de cada frao parcial 1 grau menor do que o grau do

    termo considerado do denominador da frao dada. Os casos Linear e Quadrtico so principais, pois podemos procurar escrever um polinmio de grau n > 2 como combinao de fatores lineares ou quadrticos.

    FRAES PARCIAIS 4

    OCORRE NO DENOMINADOR,

    CASO I FATOR OU FATORES LINEARES:

    A )REPETIDOS da forma f( x ) = ( )

    ( + ):

    Ento ( )

    ( + ) =

    1

    + +

    2

    ( + )2 +

    3

    ( + )3 + . . . +

    ( + )

    B )NO REPETIDOS da forma f( x ) = ( )

    ( 1 + 1).( 2 + 2) . . . ( + ) :

    Ento, f( x ) = 1

    1 + 1 +

    2

    2 + 2 + . . . +

    +

    CASO II FATOR OU FATORES QUADRTICOS:

    A) REPETIDOS da forma f( x ) = ( )

    ( + + ):

    Ento f( x ) = 1 + 1

    + + +

    2 + 2

    ( + + )2 + . . . +

    +

    ( + + )

    B) NO REPETIDOS f( x ) = ( )

    ( 1 + 1 + 1 ).( 2 + 2 + 2 ) . . . ( + + )

    Ento f( x ) = 1 + 1

    1 + 1 + 1 +

    2 + 2

    ( 2 + 2 + 2 )2 + . . . +

    +

    ( + + )

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 44

    PVIs: PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

    Nas aplicaes as EDO se orientam pela determinao da soluo = ( ) que satisfaz a uma dada condio, digamos, ( 0 ) = 0.

    Ou seja, o objetivo encontrar a Soluo Particular = ( ) que satisfaz a condio: quando = 0 temos = 0.

    { = ( )=

    ( 1 ) A SG da EDO( 1 ) ( ) = 5 + ;

    ( 2 ) Substituindo por 2 e por 3 na SG, temos 3 = 2 5.2 + C C = 9;

    ( 3 ) A SP procurada ( ) = 5 + 9.

    { ( + ) ++ =

    ( )=

    ( 1 ) A SG da EDO( 1 ) +

    1 = 1 ;

    ( 2 ) Substituindo x por 0 e y por 3 na SG, temos 3 + 0

    1 3. 0 = 1 1 = 3

    ( 3 ) A SP procurada +

    1 = 3.

    { ( + ) ( + )=

    ( )=

    ( 1 ) A SG da EDO( 1 ) = ( 1 + ) 1;

    ( 2 ) Substituindo x por 0 e y por 2 na SG, temos 2 = C ( 1 + 0 ) 1 . C = 5;

    ( 3 ) A SP procurada = 5( 1 + ) 1 = 5 + 4.

    + =

    ( ) = , onde = ( ) e 0

    ( 1 )

    + = 0

    =

    =

    =

    ;

    ( 2 ) Temos, | | = + 1 . Como 0, =

    + 1 =

    1

    ( 3 ) A SG ( ) =

    , onde 1 =

    ( 4 ) ( 0 ) = 0 C = 0 ;

    ( 5 ) A SP ( ) = 0

    .

    EXEMPLO 15

    E 15 A

    E 15 B

    E 15 C

    E 15 D

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 45

    AULAS 4 e 5 EQUAES SEPARVEIS

    ( 1 ) A EDO mais simples foi denominada por Leibniz como EQUAO DE VARIVEIS SEPARVEIS, EVS, pois so resolvidas colocando funes de x com dx e funes de y com dy.

    ( 2 ) Uma EDO( 1 ) na FORMA DIFERENCIAL + = 0 SEPARVEL se ( , ) uma funo de x, = ( ), e ( , ) funo apenas de y, N = g( y ), onde o sinal ( ) por convenincia algbrica;

    ( 3 ) Assim a EDO ( 1 ) ( ) ( ) = 0 SEPARVEL;

    ( 4 ) Integrando ambos os membros, temos

    ( ) ( ) = 1 ( ) ( ) = 1 , onde 1 uma constante arbitrria.

    ( 4 ) Na FORMA NORMAL = f ( x, y ) SEPARVEL se y = ( )

    ( ) ;

    ( 5 )Ou seja, = f ( x, y ) SEPARVEL se = ( )( ), onde ( ) = 1

    ( )

    ( 6 ) Pois, y = ( )

    ( ) =

    1

    ( ) ( ) = ( ) ( ).

    ( 7 ) Considerando y = ( )

    ( ) segue-se

    =

    ( )

    ( ) ( ) = ( ) .

    Assim a SG determinada resolvendo ( ) = ( )

    ( 8 ) O Problema {

    = ( , )

    ( 0 ) = 0

    chamado PROBLEMA DE VALOR INICIAL, PVI, ou PROBLEMA DE CAUCHY.

    ( 9 ) Nas aplicaes as EDO se orientam pela determinao da soluo = ( )

    que satisfaz a uma dada condio ( 0 ) = 0.

    Ou seja, o objetivo encontrar a Soluo Particular = ( ) que satisfaz a condio: quando = 0 temos = 0.

    5

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 46

    ATIVIDADES DE ESTUDOS 4

    185. = 0 2

    186. + = 0 2

    187. = 1 =

    188. = 1 + =

    189. ( 3 ) + ( 1 ) = 0 + 2 6 =

    190. ( 3) = ( 1 ) 2 2 + 2 6 =

    191. ( + 1 ) = 1 | | | + 1 | = | + 1

    | +

    192. (4 2 1 ) = 3 34 | 2 1 |

    3

    4 | 2 + 1 | =

    3

    4 |

    2 1

    2 + 1 | +

    193. ( 9 2 + 3 2 ) = 3 13 | 3 1 |

    1

    3 | 3 + 2 | =

    1

    3 |

    3 1

    3 + 2 | +

    194. = | sec | +

    195. =

    2

    +

    2+

    196. = +

    2

    2+

    197. =

    + | + | +

    198. 2 ( + 1 ) 2 = 2 + 1 = 1 + 1

    1

    +

    199. ( + 1)( + 2 ) = 1 | | 2 | + 1 | + | + 2 | +

    200. = 0 = | |

    201. + + = 0, 0 =

    202. + = 0 = +

    203. ( + 1 )( 1 + y2) d = dy = (

    1

    + )

    204. = 2 ( 25 + ) = 5 ( 5 + )

    205. = 1 = 1ln

    +

    6

    ATIVIDADE 15: E V S

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 47

    206. ( + ) = ( + ) = 12 ( 2 + 1 ) +

    207. ( + 5 ) 5 = 0 = 5 |1 + 5| +

    208. 1 = 0 = 25 ( 1 )5 2 +

    2

    3 ( 1 )3 2 +

    209. ( 1 + 4 ) = 0 = 12 +

    210. ( 2 6 + 10 ) 5 = 0 = 5 ( 3 ) +

    211. ( 2 + 6 + 13 ) 1 = 0 = 12 (

    + 3

    2 ) +

    208. 1 = 0 = 15 ( 1 )5 2

    1

    3 ( 1 )3 2 +

    209. = 0 + 2 2 +

    210. 5 = 0 = 15 5

    3

    25 25 +

    6

    125 5

    6

    625 5 +

    211. 2 ln = 0 = 3ln

    1

    9 +

    212. = 0 12 ( 2 + 1 ) +

    213. = 0 = 12 cos

    1

    2 +

    214. ( 2 + 1 ) = 1 = 0 = +

    215. ( 2 + 1 ) = 34 + 1 = 0 = 2 + +

    216. ( + 1 ) 2 = 0 = 2 2 63

    2

    3+

    216. ( 3 + 1 ) 1 = 0 = 3 3 3 | 3 + 1 | +

    217. 2 + + 5 = 0 3 | 2 1 | 2 | + 1| +

    218. 2 3 + 5 = 0 83| + 1| +

    1

    3 | 2| +

    219. 4 62 14 + 20 = 0 5 || + 4 | 2| | + 2| +

    220. + 4 + 6 62 6 = 0 | 1| 10 | + 2| + 15 | + 3| +

    221. = 0, ( 0 ) = 3 3 2

    222. = 1 , ( 0 ) = 2 + = 4

    223. ( + 1 ) = 2 (2 + 1 ), ( 0 ) = 3 = 12 ( 2 + 1 ) + 3

    224. = 0, , ( 2 ) = 2 + 2 2 + 84

    ATIVIDADE 16: PVIs: PROBLEMAS DE VALOR INICIAL

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 48

    225. ( 2 + 1 ) = 1 = 0, ( 0 ) = 2 = + 2

    226. 1 + + ( 1 + ) = 0, ( 0 ) = 2

    ( 1 ) Separando as variveis encontramos

    1 + =

    1 + 2 = + 1

    ( 2 ) Ou seja, + = 1

    ( 3 ) Aplicando tg em ambos os membros: ( + ) = 1

    ( 4 ) Utilizando a frmula ( + ) = +

    1 . com = e = ,

    temos +

    1 . = 1

    ( 5 ) A SG +

    1 . = 1

    ( 6 ) Como y( 0 ) = 2, segue-se 1 = 2 + 0

    1 2 . 0 1 = 2

    ( 7 ) A SP +

    1 . = 2.

    227. = 3, ( 1 ) = 2 ( ) = 2

    228.

    + = 0, ( 0 ) = 0

    ( 1 )

    +

    1

    = 0

    =

    1

    =

    1

    ( 2 ) | | = 1

    + 1 | | =

    1 ( 1 ) = 1 ( 1 )

    ( 3 ) Fazendo C = 1 , temos ( ) = C ( 1 )

    ( 4 ) Como ( 0 ) = 0, ento C = 0

    ( 5 ) A SP ( ) = 0 ( 1 )

    229.

    = , P( 0 ) = 1000 ( ) = 1000

    230.Se

    = 0,008 e C( 0 ) = 20.000, determine C( 12 ) C( 12 ) = 22.015, 18

    231.

    = , ( 0 ) = 1 ( ) =

    + 1

    232. Se

    = , k = 0,023, m( 0 ) = 0,5, determine m( 10 ) m(10) 0,3973

    233. Se

    = ( 60 ) , = 0,1865 e ( 0 ) = 300, determine t de modo

    que ( ) = 72. t 16, 2

    234. Se

    = , = 0,549306 e ( 0 ) = 0 e ( 2 ) = 3 0, determine ( 10 )

    . ( 10 ) 243 0

    235. Se

    = , ( 0 ) = 1,( 2 ) = 1 determine e ( 0 )

    = 693147 e ( 0 ) 4

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 49

    MODELOS MATEMTICOS ASSOCIADOS S EVS

    Em geral as variveis associadas a uma observao so numerosas. Procedendo como Galileu, que preconizou o Mtodo Cientifico moderno, devemos restringir o campo de estudo a fim de isolar as informaes fundamentais.

    O objetivo representar um fenmeno por uma equao ou um sistema equaes de modo que a descrio da observao conduza a concluses aceitveis.

    Seguindo uma tradio iniciada pelo matemtico francs Ren Descartes as primeiras letras do alfabeto devem indicar grandezas constantes enquanto as ltimas letras indicam as grandezas variveis ou as incgnitas de uma equao.

    As letras x e y tornaram-se variveis universais tanto de uma equao quanto para designar as variveis independentes e dependentes das relaes funcionais.

    Entretanto, na maior parte das observaes, a varivel independente o tempo

    t e a varivel dependente pode ser uma equao horria = ( ), a massa de um corpo = ( ), a temperatura = ( ) ou a corrente eltrica = ( ).

    Se a observao pode ser descrita por uma EDO ou um sistema de EDOs que variam ao longo do tempo, a observao se denomina um Sistema Dinmico, SD.

    Um SD um conjunto de variveis dependentes do tempo denominadas Variveis de Estado, dotado de uma Regra ou Modelo que procura explicar

    comportamentos em termos de certo instante 0 .

    Em geral, os SD podem ser Discretos, SDDT, ou Contnuos no Tempo, SDCT.

    Num SDDT as variveis so definidas num intervalo de valores inteiros de tempo e as equaes envolvidas so denominadas Equaes de Diferenas.

    Num SDCT, tambm chamado Modelo de Variaes Instantneas, as variveis so definidas para valores do tempo num intervalo e a equao ou equaes envolvidas uma Equao Diferencial ou Sistema de Equaes Diferenciais de modo que, num ou mais instantes, a condio, ou condies, que acompanham as observaes caracterizam um PVI, Problema de Valor Inicial.

    A soluo do PVI denominada RESPOSTA DO SISTEMA.

    Nas observaes envolvendo uma EDO que variam num intervalo contnuo de tempo, segue-se uma sequncia de procedimentos de acordo com os passos:

    1 PASSO Descrio da Observao por uma Equao Diferencial;

    2 PASSO Resoluo da Equao Diferencial;

    3 PASSO Determinao da Soluo Particular;

    4 PASSO Verificar se a Soluo obtida compatvel com a observao.

    Tal sequncia coordena um procedimento padro, pois o modelo pode solicitar modificaes decorrentes do confronto com dados experimentais.

    CADERNO 5 5

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 50

    O MODELO DA RADIOATIVIDADE

    A descoberta da Radioatividade ou Desintegrao Radioativa devido aos fsicos, Henri Becquerel, Marie Sklodowsaka, nome de solteira de Marie Curie, Pierre Joliot Curie, Ernest Rutherford e o qumico Frederick Soddy.

    Becquerel havia descoberto a pechblenda, uma variedade mineral da uranita

    do qual se extrai o urnio purificado e concentrado na forma de um sal amarelo,

    chamado yellowcake. Em seus experimentos Becquerel observou que a pechblenda

    emite uma luz que atravessa objetos opacos.

    Em 1896, Becquerel props a Marie Curie estudar as emanaes emitidas

    pelos sais de urnio como tema de doutoramento.

    Durante seus estudos Marie e Pierre Curie compreenderam as observaes de

    Becquerel como um fenmeno totalmente novo, base de descobertas e importantes

    experimentaes.

    No dia 26 de dezembro de 1898 o casal Curie anuncia Academia de Cincias

    de Paris a descoberta de uma substncia isolada na pechblenda de atividade bem

    mais intensa que o Urnio, que foi depois chamada Polnio, em homenagem

    Polnia, pas natal de Marie Sklodowsaka Curie.

    Em 1902, numa amostra de pechblenda, o casal Curie isolou 0,1 g do elemento

    qumico Rdio, do latim radius ou raio, do qual criaram as expresses radioativo e

    radioatividade para caracterizar a intensa energia liberada pelo Rdio, cerca de 1

    milho de vezes mais intensa que o Urnio. Noutro experimento, a partir de 8

    toneladas de pechblenda, obtiveram 1 g de sal de Rdio.

    A radiao dos elementos radioativos impressiona placas fotogrficas, ioniza

    gazes, produz fluorescncia e atravessa corpos opacos.

    Em 1903 Becquerel, Marie e Pierre Curie recebem o Nobel de Fsica.

    Marie Curie foi a primeira mulher a receber o Nobel e a primeira pessoa a

    receber 2 Prmios Nobel em reas cientificas distintas, pois em 1911 recebe o Nobel

    de Qumica pela descoberta e isolamento dos elementos Rdio e Polnio e o estudo

    da natureza dos compostos do Rdio.

    Marie Curie visitou o Brasil para conhecer as guas radioativas de guas de

    Lindia. O Brasil tem a 5 maior reserva de Urnio do mundo.

    A radioatividade pode ser natural ou artificial.

    A radioatividade natural se manifesta em alguns elementos radioativos ou istopos que se encontram na natureza.

    Em geral a radioatividade uma caracterstica de elementos instveis como o

    Urnio, o Rdio ou o Trio, que liberam energia na forma de radiaes chamadas

    Partculas , ncleos de Hlio, Partculas , eltrons e Partculas , ondas eletromagnticas ou raios X.

    1

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 51

    A explicao da Radioatividade decorre dos estudos de 1902 de Rutherford e do qumico ingls Frederick Soddy quando propuseram que os tomos dos elementos

    radioativos se desintegram lentamente, emitindo radiaes e se transformando em

    outros elementos.

    Mais simplesmente:

    Ou seja, observado que a massa m funo do tempo t , m = m( t ): ( 1 ) m( t ) indica o nmero de tomos presentes no instante t;

    ( 2 ) dm / dt indica a taxa de variao de m: o nmero de tomos que se desintegra por unidade de tempo;

    ( 3 ) A taxa de variao proporcional a massa presente, simbolizada

    ;

    ( 4 ) Decorre de ( 3 ) que existe uma constante de proporcionalidade k , chamada Constante de Decaimento Radioativo, que negativa, pois radioatividade implica

    diminuio da massa da substncia original;

    ( 5 ) De ( 3 ) decorre a EVS

    = ;

    ( 6 ) Separando as variveis da equao

    = temos

    = ;

    ( 7 )

    = ln m = + 1 = 1;

    ( 8 ) Fazendo 1 = C, segue-se que ( ) = ; 0

    ( 9 ) Seja 0 a massa inicial em t = 0: ( 0 ) = 0

    ( 10 ) Ento, ( 0 ) = 0 ( 0 ) = 0 0 = ;

    ( 11 ) Da o Modelo Matemtico da Radioatividade 0/ 2

    ( 13 ) A medida que o tempo passa, a massa original

    diminui cada vez mais: t m 0; 0

    ( 1 4 ) Ou seja, lim ( ) = 0.

    O MODELO DA RADIOATIVIDADE II 2

    ( ) = 0

    A experincia mostra que toda substncia radioativa se decompe a uma

    taxa proporcional a massa inicialmente presente.

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 52

    Uma medida da taxa de desintegrao de uma substncia radioativa denominada Meia Vida:

    Ou seja, o tempo tal que m( ) = / 2.

    ( 1 ) Substituindo a condio inicial m( ) = / 2 no modelo ( ) = 0 :

    ( 2 ) m( ) = / 2

    2 = 0

    = 1

    2;

    ( 3 ) = 12 =

    1

    2 =

    1

    2

    Por exemplo, se tivermos 50 g de uma substncia radioativa de meiavida 500

    anos, depois de 500 anos aps o instante inicial teremos 12,5 g da substncia, aps

    1000 anos teremos 6, 25 g, e assim sucessivamente.

    Enquanto o Carbono 14, cuja meia-vida de 5.730 anos utilizado para calcular

    a idade de fsseis e elementos radioativos, o Urnio 238 tem meia-vida aproximada

    de 5 bilhes de anos, a idade calculada da Terra.

    Alguns elementos transurnicos, aqueles de nmero atmico acima de 92, tem

    meia-vida de 1 segundo.

    Agora, se durante um tempo t uma substncia radioativa decaiu um percentual

    da quantidade inicial 0, ento:

    ( 1 ) m ( t ) = ( 1

    100 ) 0 100% 0 = 1 0

    ( 2 ) Substituindo a condio Inicial ( 1 ) % = 100

    no modelo da Radioatividade, temos

    ( 1

    100 ) 0 = 0

    (1

    100 ) 0

    ( 3 ) Obtemos uma frmula que determina o percentual ou o tempo que uma

    substncia radioativa decaiu um percentual da quantidade inicial 0:

    O MODELO DA RADIOATIVIDADE III 3

    = 1

    1

    2

    ( 1 100

    ) =

    A Meia Vida de uma substncia radioativa o tempo necessrio para que metade da quantidade de tomos inicialmente presente se desintegre

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 53

    RADIOATIVIDADE I

    Digamos que no instante t = 4 segundos temos 10 gramas de uma substncia radioativa e, em t = 12 segundos, 6 gramas.

    Determinar a constante de decaimento radioativo e a quantidade inicial.

    CLCULO DA CONSTANTE DE DECAIMENTO RADIOATIVO:

    ( 1 ) So dados: m( 4 ) = 10, m( 12 ) = 6 e ( ) = 0 ;

    ( 2 ) ( 4 ) = 10 0 4 = 10 ( 12 ) = 6 0 12 = 6

    ;

    ( 3 ) Da 1 equao acima temos 0 = 10/ 4 que, substituindo na 2 equao d

    0 12 = 6 10

    4 . 12 = 6 10 8 = 6 8 = 0,6;

    ( 4 ) ln 8 = ln 0,6 8k 0, 512 k = 0,064

    CLCULO DA MASSA INICIAL :

    ( 5 ) Da 1 equao 0 4 = 10 temos 0

    4( 0,064 ) = 10 0,774 0 = 10

    ( 6 ) Portanto 0 = 12,92

    RADIOATIVIDADE II

    Determine no Exemplo anterior a meia-vida e o percentual de massa que se desintegra em 9 segundos.

    CLCULO DA MEIAVIDA:

    ( 1 ) So dados k = 0,064, 0 = 12,92 e = 1

    1

    2;

    ( 2 ) Temos: = 1

    0,064

    1

    2 = 10,83 s

    CLCULO DA PERCENTAGEM QUE SE DESINTEGRA EM 9 s:

    ( 1 ) So dados k = 0,064 e (1

    100 ) =

    ( 2 ) (1

    100 ) = (1

    100 ) = 9. ( 0,064 ) 1

    100 = 0, 562

    ( 3 ) 1

    100 = 0, 562

    100

    100 = 0, 562 100 = 56,2 = 43,8 %.

    EXEMPLO 16

    E 16 A

    E 16 B

    EXEMPLO 17

    E 17 A

    E 17 B

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 54

    Enunciada por Newton e aplicvel aos corpos que no possuem fontes internas de calor, a LRN ou Lei do Resfriamento de Newton determina que:

    Como a temperatura T depende do tempo t e, portanto, T = T( t ), segue-se:

    ( 1 ) dT / dt indica a taxa de variao de T ( 2 ) A taxa de variao proporcional diferena entre a temperatura do corpo e a

    temperatura do meio ambiente simbolizada

    ( ) ;

    ( 3 ) Decorre de ( 2 ) que existe uma constante de proporcionalidade k , k > 0 se

    h aumento da temperatura e k < 0 se h diminuio, tal que

    = ( )

    ( 4 ) Separando as variveis,

    ( ) = ( )= + 1

    ( 5 ) Decorre, = + 1 = . 1

    ( 6 ) Fazendo 1 = C, segue-se que o Modelo da LRN ( ) = +

    VARIAO DE TEMPERATURAS

    Uma esfera de cobre aquecida a 300 C imersa em gua mantida a 60C.

    Aps 5 minutos a temperatura da esfera 154, 46 C. Determine o instante em

    que a temperatura da esfera est em 72 C.

    ( A ) Dados do Problema:

    1 ) No instante t = 0 a temperatura da esfera 300 C: T( 0 ) = 300;

    2 ) A esfera imersa em gua mantida temperatura constante de = 60;

    3 ) Aps 5 minutos temos T ( 5 ) = 154, 46

    4 ) Queremos determinar o instante t tal que T ( t ) 72.

    ( B ) Resoluo

    1 ) O Modelo ( ) = + 60

    2 ) T( 0 ) = 300 300 = .0 + 60 C = 240 e da ( ) = 240 + 60;

    3 ) T( 5 ) = 154,46 154,46 = 240 5 + 60 240 5 = 94,46 5 = 94,46 240 5 = 94,46 240 5k = ln( 94,46 240 ) k 0, 1865;

    4 ) T( t ) = 72 72 = 240 0,1865 + 60 t 16, 2 min.

    A LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON: LRN 4

    EXEMPLO 18

    A Taxa de Variao da Temperatura T de um corpo proporcional

    diferena entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente.

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 55

    CRESCIMENTO POPULACIONAL

    Numa cultura de bactrias a taxa de crescimento da populao proporcional populao inicialmente presente. Se a populao triplica em 2 horas, qual a populao prevista aps 10 horas ?

    ( A ) Modelo Populacional:

    ( 1 ) Seja P = P( t ) a populao de bactrias;

    ( 2 ) Temos

    = ;

    ( 3 ) De

    = decorre ( ) = ;

    ( 4 ) Seja a populao inicial no instante t = 0: ( 0 ) = 0

    ( 5 ) ( 0 ) = 0 0 = C Modelo Populacional ( ) = 0 ;

    ( B ) Resoluo

    1 ) Do Modelo ( ) = 0 ;

    2 ) ( 2 ) = 3 0 3 0 = 0 2 2 = 3 k 0,54931;

    3 ) O Modelo ( ) = 0 0,54931

    4 ) P( 10 ) = 0 0,54931 .10 P( 10 ) 243 0.

    MODELO DE JUROS CONTNUOS

    Um capital de X$ 50.000, 00 aplicado em um fundo que paga juros compostos continuamente de 6,5 % ao ano.

    Se no houver depsitos nem retiradas determine o saldo aps 10 anos.

    ( A ) Modelo Financeiro Associado:

    ( 1 ) Em um modelo de juros compostos creditados continuamente, a taxa de variao

    do capital C proporcional ao capital em cada instante t;

    ( 2 ) Ou seja,

    e

    =

    = = + 1 C =

    + 1

    ( 3 ) C = + 1 1 ( ) = , onde 1 =

    ( 4 ) Seja 0 o capital inicial no instante t = 0: ( 0 ) = 0

    ( 5 ) ( 0 ) = 0 0 = D;

    ( 6 ) O Modelo Financeiro ( ) = 0 , onde k representa a taxa de juros;

    ( B ) Resoluo

    1 ) Do Modelo ( ) = 0 decorre ( ) = 50.000

    2 ) A taxa de juros k = 6,5 % = 6,5

    100 = 0,065 e o modelo ( ) = 50.000 0,065

    3 ) Aps 10 anos, temos C( 10 ) = 50.000 0,065 .10 = 95.777,04.

    EXEMPLO 19

    EXEMPLO 20

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 56

    AULA 6 MODELOS MATEMTICOS

    I ) RADIOATIVIDADE

    A experincia mostra que toda substncia radioativa se decompe a uma taxa

    proporcional a massa inicialmente presente.

    ( 1 ) A taxa de variao proporcional a massa presente, simbolizada

    ;

    ( 4 ) Decorre que existe uma constante de proporcionalidade k , chamada Constante de Decaimento Radioativo, que negativa, pois radioatividade implica

    diminuio da massa da substncia original;

    ( 5 ) Temos a EVS

    = cuja SG ( ) =

    ( 6 ) Se 0 a massa inicial no instante = 0, temos ( 0 ) = 0 e da 0 =

    o Modelo Matemtico da Radioatividade ( ) = 0 ;

    ( 7 ) O tempo necessrio para que metade da massa inicial se desintegre denominado Meia Vida.

    A medida da Meia-Vida determinada pela frmula = 1

    1

    2

    ( 8 ) Agora, se durante um tempo t uma substncia radioativa decaiu um percentual

    da quantidade inicial 0, ento: m ( t ) = ( 1

    100 ) ( 1

    100 ) =

    II ) LEI DO RESFRIAMENTO DE NEWTON

    A Taxa de Variao da Temperatura T de um corpo proporcional diferena

    entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio ambiente.

    ( 1 ) A taxa de variao proporcional diferena entre a temperatura do corpo e a

    temperatura do meio ambiente simbolizada

    ( ) ;

    ( 2 ) Decorre que existe uma constante de proporcionalidade k , k > 0 se h

    aumento da temperatura e k < 0 se h diminuio, tal que

    = ( )

    ( 3 ) O Modelo da LRN ( ) = +

    III ) MODELO POPULACIONAL

    A taxa de crescimento de uma populao proporcional populao

    inicialmente presente.

    ( 1 ) Temos

    =

    ( 2 ) O Modelo Populacional ( ) = 0 , onde 0 a Populao Inicial

    IV ) MODELO DE JUROS COMPOSTOS

    Em um modelo de juros compostos creditados continuamente, a taxa de

    variao do capital C proporcional ao capital incial 0em cada instante t;

    ( 1 ) Ou seja,

    = ( ) = 0 , onde k representa a taxa de juros

    6

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 57

    ATIVIDADES DE ESTUDOS 5

    236. Se 10 g de uma substncia radioativa se encontra presente no instante t = 1 min e 5 g em t = 3 min, qual a quantidade inicial 0 14,14, 0,3465 237. Em 2 segundos temos 3 g de certa substncia radioativa e em 7s, 0,5 g.

    Determine 0, a meia-vida e a percentagem que se desintegra em 4 s. 0 6,1424, 0,3583, = 1, 93 = 76, 14

    238. A meia-vida do Rdio 1500 anos. Que percentagem desaparece em 5 anos.

    4,6 104, = 6,69

    239. Uma pea de metal temperatura de 40C colocada num recipiente mantido a

    18C. Aps 20 minutos a temperatura da pea 10C. Determine o instante em que

    a temperatura da pea se encontra a 4C e a temperatura aps 8 minutos. 0,03641, = 39,04 ( 8 ) = 25,34

    240. Numa cultura de bactrias a taxa de crescimento proporcional populao

    inicialmente presente. Se a populao quadruplica em 3 horas, e mantida a mesma

    taxa de crescimento, qual a populao prevista para 2 dias.

    0,4621, ( 48 ) = 4.295. 354,81

    241. O Rdio A, istopo do Polnio, tem meia-vida de 3,05 min. Qual o tempo

    necessrio para que 2 % desse istopo desaparea. t 0,074 min

    242. A meia-vida do Carbono 14 em torno de 5.730 anos.

    Que percentagens desaparecem em 10, 100, 500, 2000 e 3500 anos?

    1,2097 104, = 0,012, = 1,202, = 5,87, = 21,49 = 34,52

    243. Uma esfera de cobre aquecida a 100 C imersa em gua mantida a 30C.

    Aps 5 minutos a temperatura da esfera 60 C. Determine o tempo necessrio para

    que a temperatura da esfera esteja em 31 C. 25 min

    244. Determine a equao da curva que passa pelo ponto P ( 3, 4 ) e possui em cada

    um de seus pontos coeficiente angular igual a y

    x. + = 25

    245. Determine a equao da curva que passa pelo ponto P ( 3, 0 ) e possui em cada

    um de seus pontos coeficiente angular igual a y

    x

    4. + 4 = 9

    246. A caderneta de Poupana uma forma de aplicao financeira de baixo risco

    que paga juros compostos continuamente com liquidez diria e remunerao mensal.

    Se hoje completa 3 anos que uma pessoa depositou X$ 25.000,00 numa caderneta

    de poupana e que neste perodo no houve saques ou retiradas, determine o saldo

    na conta e o tempo necessrio para que a quantia inicial duplique. 29.930, 43 11,5

    6

    ATIVIDADE 17:

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 58

    247. Se o rendimento de uma aplicao financeira proporcional ao investimento

    inicial, quanto render X$ 1.000,00 a juros de 12 % ao ano ao fim de 20 anos. 11.023,2

    248. Uma aplicao financeira paga juros compostos continuamente. Determine o

    saldo aps 8 anos de um depsito de X$ 20.000,00 a uma taxa de 12,5% durante os

    5 primeiros anos e 15% nos ltimos 3 anos. 59.540, 85

    249. Mostre que a taxa de juros necessria para que um depsito numa conta

    duplique em anos segue a formula = 1

    | 2 | .

    250. Mostre que o tempo t necessrio para que um depsito numa conta duplique a

    uma taxa de juros segue a formula = 1

    | 2 | .

    251. A populao de uma cidade cresce a uma taxa proporcional ao nmero de

    habitantes da cidade. Se aps 5 anos a populao duplicou e aps 8 anos a

    populao 100.000 habitantes, determine a populao inicial. 7816

    252. Um corpo colocado num recipiente mantido temperature de 1C. Aps 10

    minutos, a temperature do corpo 1 C e aps 20 minutos, 9 C. Determine a

    temperatura inicial. 0,4 C

    253. O elemento radioativo Csio 137 tem meia-vida igual a 30 anos. Determine a

    percentage que se desintegra em 1 ano. E em 10 anos? 2, 3 e 20,55

    254. Uma teoria afirma que a taxa de disseminao de uma doena numa populao

    de ratos proporcional ao produto do nmero de ratos infectados pelo nmero de

    ratos sem a doena. De acordo com a teoria, estabelea o tempo necessrio para que

    metade da populao contraia a doena sabendo que 5 ratos numa populao de 100

    ratos foram infectados. ( 1 ) Seja = ( ) o nmero de ratos infectados num instante

    ( 2 ) O nmero de ratos infectados ( 0 ) = 5 e o nmero de ratos que no foram infectados no

    instante 100 ( )

    ( 3 ) A teoria afirma que

    = ( 100 )

    ( 100 ) =

    ( 4 ) 1

    ( 100 ) =

    +

    100 =

    1

    ( 100 )

    1

    ( 100 ) =

    1

    100 1

    +

    1

    100

    1

    100

    ( 5 )

    ( 100 ) =

    1

    100

    1

    100 ( 100 P ) = + 1

    1

    100

    100 = + 1

    ( 6 )

    100 = 100 ( + 1 )

    100 = 100 +100 1 = 100 100 1

    100 = 100

    ( 7 ) P( 0 ) = 5 5

    100 5= 100 .0 = 1 19

    ( 8 ) Para determinar o instante t tal que P( t ) = 50, metade da populao inicial, temos

    ( 9 ) 50

    100 50=

    1

    19 100 100 = 19 100 = 19 kt =

    19

    100 =

    19

    100

    255. De acordo com o exerccio 254, o tempo necessrio para que metade da

    populao de ratos esteja infectada estimated em t = 19 100 .

    Supondo que aps uma semana 24 ratos esto infectados determine o valor da

    constant k. 2,56 103, 11,5

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 59

    EQUAES REDUTVEIS

    Muitas EDO( 1 ) tornam-se separveis atravs de uma mudana de variveis. Isto verdadeiro para equaes na forma Normal = ( , ) tais que = ( + ),

    = (

    )

    I. EQUAES NA FORMA = ( + )

    ( 1 ) Faamos = +

    ( 2 ) Ento = + e dai = =

    ( 3 ) Substituindo ( 1 ) e ( 2 ) na equao = ( + ), temos:

    ( 4 )

    = ( ) = ( ) = ( ) +

    ( 5 ) A equao = ( ) + separvel, pois

    = ( ) +

    ( ) + =

    = 5 + 2

    ( 1 ) Seja = 5 + 2.

    ( 2 ) Ento = 5 + 2 e 2 = 5 = 5

    2;

    ( 3 ) Fazendo as devidas substituies na equao = 5 + 2 , temos

    ( 4 ) 5

    2 = 5 = 2 = 2 + 5;

    ( 5 )

    = 2 + 5

    2 + 5 =

    ( 6 ) Integrando ambos membros, 1

    2ln| 2 + 5 | = + 1 ln| 2 + 5 | = 2 + 21

    ( 7 ) |2 + 5| = 2+21 = 2 21 2 + 5 = 21 2

    ( 8 ) Fazendo 21 = 2, temos 2 + 5 = 2 2 =

    2 2

    2

    5

    2

    ( 9 ) Como = 5 + 2, segue-se 5 + 2 = 2

    2

    2

    5

    2 2 =

    2 2

    2 5

    25

    ( 10 ) Assim = 2

    42 5

    4 5

    2

    ( 11 ) Fazendo 2

    4= , temos a SG = 2 5

    2 5

    4 .

    CADERNO 6 6

    EXEMPLO 21

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 60

    II. EQUAES NA FORMA = (

    ).

    ( 1 ) Faamos = /

    ( 2 ) Ento = e = +

    ( 3 ) Substituindo ( 1 ) e ( 2 ) na equao = ( /), temos:

    ( 4 ) + = ( ) = ( )

    ( 5 ) = ( ) separvel, pois

    = ( )

    ( ) =

    ( 6 ) Integrando ambos membros

    ( ) = , segue-se a SG.

    = +

    ( 1 ) Dividindo ambos os membros por ,

    = +

    = 1 +

    ( 2 ) Substituindo = / , segue-se = 1 +

    ( 3 ) Como = + , ento ( + ) = 1 + + = 1 +

    ( 4 ) Da, = 1

    = 1 =

    2 = | | + 1

    ( 5 ) Como = / , = 2 | | + 2 1

    = 2 | | + 2 1

    ( 6 ) A SG 2 = 2 | | + , onde C = 2 1

    =

    +

    ( 1 ) Seja = / e = + ;

    ( 2 ) Substituindo ( 1 ), na equao dada, + = + ;

    ( 3 ) =

    =

    =

    =

    1

    =

    =

    | sec | = | | + 1 | sec | =

    | |+ 1

    ( 4 ) | sec | = | |+ 1 | sec | = | | 1 | sec | = || 1

    ( 5 ) | sec | = || 1 sec = 1 || sec = C ||, onde 1 =

    ( 6 ) sec = C || ( sec ) = sec C ||

    ( 7 ) ( sec ) = sec C || = sec C ||

    ( 8 ) Como = / , segue-se que / = sec C ||

    ( 9 ) A SG = sec C ||

    EXEMPLO 22

    E 22 A

    E 22 B

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 61

    OUTRAS SUBSTITUES

    ( + + ) =

    ( 1 ) ( 2 + 6 + 1 ) = 8 3 [ 2 ( + ) + 1 ] = 8 ( + )

    ( 2 ) Faa = + 3. Ento = 1 + 3 e = 1

    3;

    ( 3 ) Assim [ 2 ( + ) + 1 ] = 8 ( + ) ( 2 + 1) = 8 ;

    ( 4 ) Como = 1

    3, ( 2 + 1) = 8 ( 2 + 1)

    1

    3 = 8 ;

    ( 5 ) Decorre ( 2 + 1) ( 1 ) = 24 3 2 2 + 1 24 + 3 = 0

    ( 6 ) Segue-se ( 2 + 1 ) + 25 = 0

    ( 2 + 1 ) = ( + 25 )

    ( 7 ) 2 + 1

    + 25 =

    ( 8 ) Agora, 2 + 1

    + 25= 2

    49

    2 + 1 (2

    49

    2 + 1) = 2

    49

    2 |2 + 1| + 1

    ( 9 ) Portanto, (2 + 1

    + 25) = 2

    49

    2 |2 + 1| + 1 = x + 2

    ( 10 ) 4 49 |2 + 1| + 21 = 2 + 22

    ( 11 ) 4 49 |2 + 1| = 2 + 22 21

    ( 12 ) Como = + 3, ento 4 + 12 49 |2 + 6 + 1| + 2 = 22 21

    ( 1 3 ) A SG 6 + 12 49 |2 + 6 + 1| = C, onde C = 22 21.

    + =

    ( 1 ) Faa = . Ento = + =

    ;

    ( 2 ) assim + = 0

    + = 0

    ( 3 ) Decorre, + = 0 = 0 =

    ( 4 ) =

    =

    ( 5 )

    =

    = =

    ( 6 ) = = + 1

    ( 7 ) Como = , segue-se que = + 1

    ( 8 ) = + 1 = ( + 1)

    ( 9 ) = ( + 1).

    EXEMPLO 23

    E 23 A

    E 23 B

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 62

    AULA 7 - ATIVIDADES DE ESTUDOS 6

    256. = 3 + = 3 3

    257. = 2 = 2 2

    258.

    +

    = 0 + = 2

    259. = ( ) 2 = 1 + 1

    260. = + ( ) = ( + )

    261. = 5 + 2 = 5

    262. = + = ( | | + )

    263. = ( ) =

    264. = 2 = +

    265. = 2 + 2 ( 2 4 ) 2 2 ) =

    266. + 2 = 0 ( ) ( ln + ) + = 0

    267. ( x + y ) dy = ( y x ) dx ( ) + + + =

    268. = + = ( + )

    269. = 24 + 4 4 = 8 4

    270. =

    + 1 ( ) + 2 =

    271. ( 4 ) = 0 ( ) 4( ) = 0

    272. ( + ) + ( 3 + 3 4 ) = 0 2 ( 4 2 2 ) + 3 + 3 =

    273. ( 3 + 6 + 4 ) = 5 2 3 + 6 38 ( + 2 + 14 ) =

    274. ( 2 ) + 3 6 + 3 = 0 (1/7) ( 2 ) (6/49) ( 7 14 + 6 ) =

    275. + = =

    276. = 24 + 4 4 + 4 = 8

    1

    ATIVIDADE 18: ATRAVS DE UMA ADEQUADA SUBSTITUIO DETERMINE

    A SG DE CADA EQUAO ABAIXO

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 63

    EQUAES EXATAS

    I ) CONSEQUNCIAS DA DEFINIO:

    ( 1 ) Como + =

    +

    segue-se

    M =

    =

    ou N =

    =

    ( 2 ) = 0 ( , ) = 1

    ( 3 ) A Condio Necessria e Suficiente, CNS, para + = 0 ser EXATA

    =

    ou, =

    II. RESOLUO DE EQUAES EXATAS:

    Passo 1: Verifique atravs da CNS se a equao Exata;

    Passo 2: Se a equao exata:

    2.1 - Escolha uma das duas relaes =

    ou =

    2.2 - O resultado obtido numa das relaes ou = substitudo na outra na outra relao para obter a funo = ( , );

    2.3 A Soluo Geral tem a forma ( , ) = 1.

    + =

    ( 1 ) A equao no est na forma + = 0

    ( 2 ) Assim

    + = ( ) + = 0 {

    = cos =

    ( 3 ) A equao ( ) + exata, pois = 1 =

    ( 4 ) No processo de resoluo devemos escolher uma das relaes =

    ou =

    e substituir o resultado encontrado numa deles na outra

    CADERNO 7 7

    Uma EDO( 1 ) na Forma Diferencial ( , ) +( , ) = 0

    EXATA se + igual Diferencial Total =

    +

    de uma funo = ( , ).

    EXEMPLO 24

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 64

    RESOLVENDO + = PELA ESCOLHA =

    ( 1 ) Seja =

    . Ou seja, cos =

    ( 2 ) = ( cos ) = ( cos ) = cos

    ( 3 ) Assim = + ( )

    ( 4 ) Escrevemos a constante de integrao como ( ), pois ( ) constante quando integramos em relao e tambm porque no sabemos qual expresso ela representa: tanto pode ser uma constante arbitrria ou uma equao na varivel y;

    ( 5 ) Utilizamos agora a relao =

    ;

    ( 6 ) =

    =

    [ + ( ) ] =

    +

    ( )

    = 0 +

    ( y )

    ( ) = 0 ( ) = 2

    ( 7 ) Da, = + ( ) se escreve como = + 2

    ( 8 ) Como a SG tem a forma ( , ) = 1, segue-se que 1 = + 2

    1 2 = + 2 e da, = , onde = 1 2.

    RESOLVENDO + = PELA ESCOLHA =

    ( 1 ) Seja =

    . Ou seja, =

    ( 2 ) = = = + ( )

    ( 5 ) =

    cos =

    [ + ( ) ] cos =

    +

    ( )

    cos = +

    cos =

    = ( ) = + 2

    ( 7 ) Da, = + ( ) se escreve como = + 2

    ( 8 ) Como a SG tem a forma ( , ) = 1, segue-se que 1 = + + 2

    1 2 = + 2 e da, = , onde = 1 2.

    RESOLVENDO ( + ) + = PELA ESCOLHA =

    ( 1 ) = 32 + 2, = 2 e a equao exata, pois = 2 = ;

    ( 2 ) =

    32 + 2 =

    = (32 + 2) = + + ( )

    ( 3 ) =

    2xy =

    [ + + ( ) ] 2xy = 2 +

    = 0 ( ) = 2

    ( 4 ) = + + ( ) = + + 2

    ( 5 ) Como ( , ) = 1, a SG + =

    E 24 A

    E 24 B

    E 24 C

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 65

    Seja ( , ) + ( , ) = 0 uma equao que no Exata. Multiplicada por uma funo adequada chamada FATOR INTEGRANTE, ela

    pode se tornar EXATA.

    Um dos meios para encontrar tal funo por inspeo.

    Por exemplo, cada uma das expresses 1

    ,

    1

    ,

    1

    ou

    1

    + um Fator

    Integrante da equao no exata + = 0.

    Tambm, cada uma das expresses 1

    , 1

    ,

    1

    ou 1

    + um Fator

    Integrante da equao no exata = 0.

    Entretanto, seja = ( ) ou = ( ) uma funo tal que + =0 Exata. Digamos = ( ).

    ( 1 ) Ento + = 0 deve ser exata e assim

    =

    ;

    ( 2 )

    =

    + = + = + , pois = 0

    ( 3 ) = = ( )

    = ( )

    ( 4 ) Separando as variveis,

    =

    1

    ( ) =

    1 ( )

    ( 5 ) Da, ( ) =

    1

    ( ) torna + = 0 exata.

    Se = ( ), encontramos ( ) = 1

    ( ) .

    Se a equao no aceita um dos fatores acima, a pesquisa pelo fator pode ser tornar trabalhosa, sendo prefervel algum outro mtodo de resoluo.

    + = no Exata.

    ( 1 ) Temos = e = . Ento 1

    ( ) =

    1

    (1 1 ) =

    2

    ;

    ( 2 ) Da ( ) = 2

    = 2 1

    = 2= 2

    ( ) = 2;

    ( 3 ) Da 2 + 2 = 0 2 + 1 = 0 deve ser exata;

    ( 4 ) De fato. Seja = 2 e = 1.

    ( 5 ) Ento, = 2 = .

    EQUAES NO EXATAS: FATORES INTEGRANTES 1

    EXEMPLO 25

  • CADERNOS EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS PROF MARCO A BRASIL

    UNIDADE A: EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS DE 1 ORDEM PGINA 66

    AULA 8 - ATIVIDADES DE ESTUDOS 7

    277. + = 0 + =

    278. + + 4 = 0 + 4 =

    279. ( + ) + 2 = 0 + 3 =

    280. 9 + 4 = 0 2 + 4,5 =

    281. ( + 3 ) + + + 1 = 0 3 + 6 + 6 18 2 =

    282. = 0 =

    283. = 0 1 =

    284. ( + + 1 ) + ( + ) = 0 3 + 6 + 2 + 6 + 6 + 3 =

    285. + 3 + ( 3 + ) = 0 3 + + =

    286. ( 3 + 8 ) + ( + 8 + 12 ) = 0 + 4 + 4 =

    287. = 0 =

    288. + = 0, ( 1 ) = 2 = 2

    289. ( + 2 ) ( + 1 ) = 0 ( 0 ) = 1 + 4 2 + 3 = 0

    290. ( + 2 ) + = 0 2 + 24 + 4 =

    291. = 0 =

    292. 2 = 0 =

    293. ( ) + 2 = 0 ( 1 ) = 2 + = 5

    294. + 2 = 0 2 =

    295. + = 0 =

    296. ( 2 ) = + 2 2 + =

    297. + ( 2 + 1 ) = 0 + =

    298. ( 1 + ) + 2 = 0 ( 2 ) = 5 + + 25 = 0

    299. ( 2 + 1 ) + = 0 ( 1 ) = 2 + = 2

    300. ( + ) + ( ) = 0 + =

    2

    ATIVIDADE 19: VERIFIQUE SE AS EQUAES ABAIXO SO EXATAS. EM

    QUALQUER CASO DETERMINE SUA SOLUO.