EDO - APOSTILA 02

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    02-Dec-2015

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Rua 96 n 45 Setor Sul Goinia

Email: afonsocarioca@afonsocarioca.com.br

EQUAES DIFERENCIAIS

AULA ESPECIAL

PROGRAMA DO CURSO DE EQUAES DIFERENCIAIS

1. Conceito de Equaes Diferenciais

2. Classificao das Equaes Diferenciais

3. Modelos Matemticos

4. Tipos de Equaes Diferenciais

4.1. Equaes Diferenciais de Primeira Ordem

4.1.1. Variveis Separveis

4.1.2. Equaes Homogneas

4.1.3. Equaes Exatas

4.1.4. Equaes Lineares

4.1.5. Equaes de Bernoulli

4.1.6. Aplicaes das Equaes Lineares de Primeira Ordem

4.2. Equaes Diferenciais de Ordem Superior

4.2.1. Equaes Diferenciais Lineares de 2 Ordem Homogneas e No-homogneas

4.2.2. Equaes Diferenciais Lineares de Ordem Superior Homogneas e No-homogneas

4.2.3. Aplicaes de Equaes Diferenciais Lineares de 2 Ordem

CONCEITO E CLASSIFICAO DAS EQUAES DIFERENCIAIS

1. Seqncia:

2. Uma equao que contm as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variveis dependentes, em relao a uma ou mais variveis independentes, chamada de EQUAO DIFERENCIAL (ED).

Nosso problema central: Dada uma ED como , que funo y = f(x) satisfaz equao? O mtodo de encontrarmos essa funo ser descrito ao longo do nosso curso.

As Equaes Diferenciais so classificadas:

1) Quanto ao Tipo

a) Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO) Contm derivadas de uma ou mais variveis dependentes com relao a uma nica varivel independente. Exemplos:

b) Equaes Diferenciais Parciais (EDP) So aquelas que envolvem as derivadas parciais de uma ou mais variveis dependentes de duas ou mais variveis independentes. Exemplos:

NOTA: Em nosso curso estudaremos somente as Equaes Diferenciais Ordinrias de uma varivel dependente, em relao a uma nica varivel independente.

2) Quanto Ordem

A ordem de uma ED dada pela derivada de maior ordem que comparece na equao. Assim, a EDO uma EDO de 2 Ordem.

3) Quanto Linearidade

Uma Equao Diferencial dita linear quando pode ser escrita sob a forma:

, que apresenta as seguintes propriedades:

(i) A varivel dependente y e todas as suas derivadas so do 1 grau.

(ii) Os coeficientes so todos dependentes apenas da varivel independente x.

Assim, so lineares as equaes diferenciais e as equaes so equaes diferenciais no-lineares.

3. Exemplos Resolvidos

1. Classifique as Equaes Diferenciais:

a)

b)

c)

d)

2. Verifique se a funo dada soluo da Equao Diferencial:

a)

b)

c)

MODELOS MATEMTICOS

1. Queda-Livre

Equao Diferencial:

2. Sistema Massa-Mola

Equao Diferencial:

3. Pndulo Simples

Equao Diferencial:

4. Circuito Eltrico Simples em Srie RLC

Equao Diferencial:

5. Crescimento Populacional

Equao Diferencial:

6. Exemplos Resolvidos

1. Qual a ED para a velocidade v de um corpo de massa m em queda vertical atravs de um meio que oferece uma resistncia proporcional ao quadrado da velocidade?

2. Encontre as EDS dos circuitos eltricos simples em srie RC e LC, sujeitos a uma tenso externa e(t).

EQUAES DE VARIVEIS SEPARVEIS

1. Tipo:

2. Transforma-se em:

3. Mtodos de Separao:

Direto

Fatorao

Artifcios de Clculo

4. Exemplos Resolvidos

1. Resolva as EDOS por Separao de Variveis:

a)

b)

c)

d)

EQUAES DIFERENCIAIS HOMOGNEAS

1. Tipo: , onde M(x,y) e N(x,y) so funes homogneas de mesmo grau.

2. Mtodo de Soluo

Mudana de Varivel: , esta ltima utilizada sempre que a expresso M(x,y) for mais simples que N(x,y).

3. Exemplos Resolvidos

1. Resolva as EDOS a seguir:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

EQUAES DIFERENCIAIS - MODELOS DE PROVA

Questo 01: Resolva a EDO

Soluo:

Questo 02: Resolva a EDO

Soluo:

Substituindo:

Questo 03: Resolva a EDO com as condies dadas

, x = 1 e y = 0.

Soluo:

Questo 04: Resolva a EDO

Soluo:

Decompondo em Fraes Parciais

Substituindo:

Questo 05: Resolva a Integral

Soluo:

Substituindo:

Agora voc deve resolver essas questes:

Questo 01: Resolva a EDO

Questo 02: Resolva a EDO

Questo 03: Resolva a EDO com as condies dadas

, x = 1 e y = 2.

Questo 04: Resolva a EDO

Questo 05: Resolva a Integral

EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS HOMOGNEAS

As Equaes Diferenciais Ordinrias do tipo M(x,y) dx+ N(x, y) dy = 0 so homogneas quando as funes M(x, y) e N(x, y) forem homogneas do mesmo grau. O mtodo de resoluo consiste na substituio y = ux e dy = u dx + x du ou na substituio . Mas qual delas aplicar? A prtica nos manda utilizar a segunda substituio () sempre que a expresso de M(x, y) for mais simples do que N(x, y). O exemplo a seguir esclarece este ponto. Acompanhe com ateno as duas substituies para a mesma Equao Diferencial e decida pelo melhor caminho.

Resolva a Equao Homognea

1 Soluo:

Integrando:

Encontrando as constantes das fraes parciais:

Resolvendo o sistema:

Assim:

Substituindo e Integrando:

2 Soluo:

Como se pode observar a segunda soluo bem mais rpida. Mas a deciso de escolha sua.

EQUAES DIFERENCIAIS I MTODOS DE RESOLUO

PROGRAMA

1. Introduo

2. Variveis Separveis

3. Equaes Diferenciais Exatas

4. Fator Integrante

5. Equaes Diferenciais Homogneas

6. Equaes Diferenciais Lineares

7. Equao Diferencial de Bernoulli

8. Equaes de Ordem Superior

9. Aplicaes Prticas

1. INTRODUO

Equao Diferencial toda equao onde figuram derivadas ou diferenciais. A ordem de uma equao diferencial dada pela maior derivada que comparece na equao. Assim, uma equao onde a derivada de maior a terceira classificada como equao de 3 ordem.

Uma outra importante classificao das equaes diferenciais dividi-las em Equaes Diferenciais Lineares e Equaes Diferenciais No-Lineares Uma Equao Diferencial dita Linear quando puder ser escrita sob a forma:

Observando a expresso acima, podemos notar que as equaes diferenciais lineares tm coeficientes dependentes de apenas uma varivel e a varivel dependente y e todas as suas derivadas so do primeiro grau.

Se as equaes diferenciais tm derivadas de funes de uma nica varivel independente, ento, ela chamada Equao Diferencial Ordinria (EDO); caso as derivadas envolvam funes com mais de uma varivel independentes ela chamada de Equao Diferencial Parcial (EDP).Qualquer funo, dentro de um determinado intervalo, quando substituda na equao diferencial reduz esta a uma identidade, chamada soluo da equao dada.

As equaes diferenciais ou um sistema de equaes diferenciais descrevem matematicamente o comportamento de algum sistema ou fenmeno fsico, como por exemplo, o funcionamento de um circuito eltrico.

Neste nosso estudo, aprenderemos alguns mtodos de resoluo das equaes diferenciais, bem como identificaremos os principais tipos de equaes diferenciais de primeira ordem.

2. VARIVEIS SEPARVEIS

2.1. Reconhecimento e Resoluo

Toda equao diferencial redutvel forma:

denomina-se de separvel ou tem variveis separveis. Para resolve-la basta integr-la. preciso que, neste ponto de nosso estudo, faamos uma advertncia a todos os alunos para que revisem algumas Tcnicas de Integrao.

Muitas vezes ao aplicarmos outros mtodos de resoluo de equaes diferenciais, recamos no mtodo de variveis separveis, da a sua importncia.

2.2. Exemplos Resolvidos

Ex.1: Resolva a equao

Soluo

Integrando ambos os membros da expresso (1):

Ex.2: Resolva a equao

Soluo:

, integrando a expresso (1) obtemos:

2.3. Exerccios Propostos

01)

02)

03)

04)

05)

06)

07)

08)

09)

10)

11)

12)

3. EQUAES DIFERENCIAIS EXATAS

3.1. Reconhecimento e Resoluo

Dada uma equao diferencial redutvel forma:

, ela ser uma Equao Diferencial Exata se, e somente se, .

1) Mtodo de Resoluo

A sua resoluo tem o seguinte procedimento:

(1) Suponha que

(2) Escreva

(3) Faa

(4) Dessa forma, (5) Substitua na Soluo Geral f(x,y) = c.

2) Mtodo de Resoluo(1) Suponha que

(2) Escreva

(3) Faa

(4) Dessa forma, (5) Substitua na Soluo Geral f(x,y) = c.

3.2. Exemplos Resolvidos

Ex.1: Resolva

Soluo:

Sejam M9x,y) = 2xy e N(x,y) = x - 1

Assim, temos:

. Logo, a equao dada exata. Ento, temos:

, integrando essa equao, obtemos:

. Derivando esta ltima expresso em relao a y e igualando com N(x,y), temos:

Ex.2: Resolva

Soluo:

Temos que:

Ento, existe uma f(t, y), tal que:

Integrando esta ltima equao em relao a y, obtemos:

. Assim:

3.3. Exerccios Propostos

01)

Resp.:

02)

Resp.:

03)

Resp.:

04)

Resp.:

05)

Resp.:

06)

Resp.:

07)

Resp.:

08)

Resp.:

09)

Resp.:

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

18)

19)

20)

21)

22)

23)

24)

25)

26)

27)

4. FATOR INTEGRANTEQuando a Equao Diferencial no exata, podemos usar um Fator Integrante que pode ser:

onde

ou

onde

Dessa forma, o fator integrante multiplicado pela equao diferencial no exata ir transforma-la numa equao diferencial exata.

Veremos mais tarde, que o uso do fator integrante permite que outros tipos de equaes diferenciais sejam resolvidos.

5. EQUAES DIFERENCIAIS HOMOGNEAS

5.1. Reconhecimento

Uma equao chamada de Equao Diferencial Homognea se ambos os coeficientes M(x,y) e N(x,y) so funes homogneas de mesmo grau.

A equao homognea se .

5.2. Mtodo de Resoluo

Uma equao diferencial homognea reduzida forma pode ser resolvida por meio da substituio algbrica y = ux ou x = vy, onde u e v so novas variveis independentes. Esta transformao transformar a equao dada em uma equao de variveis separveis de 1 ordem.

Quando devemos utilizar a transformao x = vy? Na verdade, ela pode ser usada em ualquer equao diferencial homognea, porm, a prtica nos ensina que ela deve ser tentada sempre que a funo M(x,y) for mais simples do que N(x,y). Pode acontecer tambm que ao fazermos a substituio algbrica y = ux ou x = vy resulte em integrais difceis ou impossveis de serem resolvidas, uma outra substituio pode tornar a resoluo mais fcil.

5.3. Exemplos Resolvidos

Ex.1: Verifique se as funes so homogneas

a)

Soluo:

A funo homognea e de grau dois.

b)

Soluo:

A funo homognea e de grau

Ex.2: Resolva as equaes abaixo:

a)

Soluo:

Podemos observar que tanto o coeficiente M(x,y) = x + y quanto o coeficiente N(x,y) = x - xy so homogneos de grau 2 (como voc pode comprovar).

Fazendo y = ux, temos dy = u dx + x du e substituindo na equao dada, temos:

Mas: , logo:

b)

Soluo:

Voc deve comprovar a homogeneidade dessa equao.

Vamos fazer a seguinte transformao y = ux. Assim, temos:

Como podemos notar essa integral difcil de ser resolvida, vamos ento tentar a transformao x = v y. Assim, temos:

e substituindo na equao dada:

Simplificando a ltima expresso:

5.4. Exerccios Propostos

(I) Verifique se so homogneas as funes:

01)

02)

03)

04)

05)

06)

(II) Resolva as equaes homogneas a seguir:

01)

02)

03)

04)

05)

06)

07)

08)

23AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668

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