EDO - APOSTILA 01

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    09-Jul-2015

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Rua 96 n 45 Setor Sul GoiniaEmail: afonsocarioca@afonsocarioca.com.brCURSOS SEMESTRAIS DE 3 GRAUEQUAES DIFERENCIAISPROGRAMA DO CURSO DE EQUAES DIFERENCIAIS 1. Conceito de Equaes Diferenciais2. Classificao das Equaes Diferenciais3. Modelos Matemticos4. Tipos de Equaes Diferenciais4.1. Equaes Diferenciais de Primeira Ordem4.1.1. Variveis Separveis4.1.2. Equaes Homogneas4.1.3. Equaes Exatas4.1.4. Equaes Lineares4.1.5. Equaes de Bernoulli4.1.6. Aplicaes das Equaes Lineares de Primeira Ordem4.2. Equaes Diferenciais de Ordem Superior4.2.1. Equaes Diferenciais Lineares de 2 Ordem Homogneas e No-homogneas4.2.2. Equaes Diferenciais Lineares de Ordem Superior Homogneas e No-homogneas4.2.3. Aplicaes de Equaes Diferenciais Lineares de 2 OrdemCONCEITO E CLASSIFICAO DAS EQUAES DIFERENCIAIS1. Seqncia: Funo Derivada Equao Diferencial 2. Uma equao que contm as derivadas ou diferenciais de uma ou mais variveis dependentes, em relao a uma ou mais variveis independentes, chamada de EQUAO DIFERENCIAL (ED).Nosso problema central: Dada uma ED como dy2xydx , que funo y = f(x) satisfaz equao? O mtodo de encontrarmos essa funo ser descrito ao longo do nosso curso.As Equaes Diferenciais so classificadas:1) Quanto ao Tipoa) EquaesDiferenciaisOrdinrias(EDO) Contmderivadasdeumaoumaisvariveisdependentescom relao a uma nica varivel independente. Exemplos:( )du dvy x dx 4xdy 0 e xdx dx + b)EquaesDiferenciaisParciais(EDP)Soaquelasqueenvolvemasderivadasparciaisdeumaoumais variveis dependentes de duas ou mais variveis independentes. Exemplos:2 22 2u v u u ue 2y x t x t NOTA: Em nosso curso estudaremos somente as Equaes Diferenciais Ordinrias de uma varivel dependente, em relao a uma nica varivel independente.1 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor Sul GoiniaEmail: afonsocarioca@afonsocarioca.com.br2) Quanto OrdemAordemde uma ED dada pela derivada de maior ordemque comparece na equao. Assim, a EDO 322x2d y dy5 4y edx dx _+ , uma EDO de 2 Ordem.3) Quanto LinearidadeUma Equao Diferencial dita linear quando pode ser escrita sob a forma:( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n 1 2n n 1 2 1 0n n 1 2d y d y d y dya x a x a x a x a x y g xdx dx dx dx+ + + + + L , que apresenta as seguintes propriedades:(i) A varivel dependente y e todas as suas derivadas so do 1 grau.(ii) Os coeficientes so todos dependentes apenas da varivel independente x.Assim, so lineares as equaes diferenciais3 23 2 3x3 2d y d y dyx x 3x 5y e e y'' 2y' y 0dx dx dx + + + e as equaes 323d yyy'' 2y' x e y 0dx + so equaes diferenciais no-lineares.3. Exemplos Resolvidos1. Classifique as Equaes Diferenciais:a)( ) 1 x y'' 4xy' 5y cos x + b)( )2 xx dy y xy xe dx 0 + c) 222dy dy1dx dx _ +

,d)( ) ( ) senx y''' cos x y' 2 2. Verifique se a funo dada soluo da Equao Diferencial:a) 3x 3x 2xdy2y e ; y e 10edx +b) 1y' y 1; y xlnx x 0x >c)( )3y' xy' y; y x 1 + +MODELOS MATEMTICOS2 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor Sul GoiniaEmail: afonsocarioca@afonsocarioca.com.br1. Queda-LivreEquao Diferencial: 22d ygdt 2. Sistema Massa-Mola Equao Diferencial: 22d xm kxdt 3. Pndulo SimplesEquao Diferencial: 22d gsenl dt 4. Circuito Eltrico Simples em Srie RLCEquao Diferencial:( )22d q dq 1L R q e tdt C dt+ + 5. Crescimento PopulacionalEquao Diferencial: dPkPdt6. Exemplos Resolvidos1. Qual a ED para a velocidade v de um corpo de massa m em queda vertical atravs de um meio que oferece uma resistncia proporcional ao quadrado da velocidade? 2. Encontre as EDS dos circuitos eltricos simples em srie RC e LC, sujeitos a uma tenso externa e(t).EQUAES DE VARIVEIS SEPARVEIS1. Tipo:( ) ( ) M x, y dx N x, y dy 0 + 2. Transforma-se em: ( ) ( )( ) ( )dy dx0 ou F y dy G x dx 0F y G x+ + 3. Mtodos de Separao: Direto Fatorao Artifcios de Clculo4. Exemplos Resolvidos3 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor Sul GoiniaEmail: afonsocarioca@afonsocarioca.com.br1. Resolva as EDOS por Separao de Variveis:a)( )dysen 5xdxb) 2dx 1 2ydy ysenx+c) dy xy 3x y 3dx xy 2x 4y 8+ + d) ( )2ydy 4x y 1 se y 0 1 + EQUAES DIFERENCIAIS HOMOGNEAS1. Tipo:( ) ( ) M x, y dx N x, y dy 0 + , onde M(x,y) e N(x,y) so funes homogneas de mesmo grau.2. Mtodo de SoluoMudana de Varivel: y ux ou x vy , esta ltima utilizada sempre que a expresso M(x,y) for mais simples que N(x,y).3. Exemplos Resolvidos1. Resolva as EDOS a seguir:a)( ) x y dx xdy 0 + b) dy x 3ydx 3x y++c)( )4 4 3x y dx 2x ydy 0 + d) dy y ylndx x x _ ,e)( ) ( ) ( )2 2y 3xy dx 4x xy dy, se y 1 1 + + f)( )2 2x xy y dx xydy 0 + EQUAES DIFERENCIAIS - MODELOS DE PROVAQuesto 01: Resolva a EDO4 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor Sul GoiniaEmail: afonsocarioca@afonsocarioca.com.brdy101 2ydx +Questo 02: Resolva a EDO11x3dy xedx yQuesto 03: Resolva a EDO com as condies dadas 4dy 2dx y 8+, x = 1 e y = 0.Questo 04: Resolva a EDO( )dyy y 7dx +Questo 05: Resolva a Integral 23x 1dxx 21x 20+ +Agora voc deve resolver essas questes:Questo 01: Resolva a EDOdy5 3ydx Questo 02: Resolva a EDO5x2dy xedx yQuesto 03: Resolva a EDO com as condies dadas 3dy 5dx y 15+, x = 1 e y = 2.Questo 04: Resolva a EDO( )dyy y 3dx Questo 05: Resolva a Integral 5 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor Sul GoiniaEmail: afonsocarioca@afonsocarioca.com.br25x 1dx2x 21x 23+ EQUAES DIFERENCIAIS ORDINRIAS HOMOGNEASAs Equaes Diferenciais Ordinrias do tipo M(x,y) dx+ N(x, y) dy = 0 so homogneas quando as funes M(x, y) e N(x, y) forem homogneas do mesmo grau. O mtodo de resoluo consiste na substituio y = ux e dy = u dx +xduounasubstituiox vy e dx vdy ydv +. Masqual delasaplicar?Aprticanosmandautilizara segunda substituio (x vy e dx vdy ydv +) sempre que a expresso de M(x, y) for mais simples do que N(x, y). O exemplo a seguir esclarece este ponto. Acompanhe com ateno as duas substituies para a mesma Equao Diferencial e decida pelo melhor caminho.Resolva a Equao Homognea( )2 3 32x ydx 3x y dy +EQUAES DIFERENCIAIS I - MTODOS DE RESOLUOPROGRAMA1. Introduo2. Variveis Separveis3. Equaes Diferenciais Exatas4. Fator Integrante5. Equaes Diferenciais Homogneas1. INTRODUOEquao Diferencial toda equao onde figuram derivadas ou diferenciais. A ordem de uma equao diferencial dadapela maiorderivada quecomparecenaequao.Assim, uma equaoondeaderivada de maior a terceira classificada como equao de 3 ordem.Uma outraimportanteclassificao das equaes diferenciais dividi-las em EquaesDiferenciaisLinearese Equaes Diferenciais No-LinearesUma Equao Diferencial dita Linear quando puder ser escrita sob a forma:n n 1n n 1 1 0 n n 1d y d y dya (x) a (x) ... a (x) a (x)y g(x)dx dx dx + + + + Observando a expresso acima, podemos notar que as equaes diferenciais lineares tmcoeficientes dependentes de apenas uma varivel e a varivel dependente y e todas as suas derivadas so do primeiro grau.Se as equaes diferenciais tm derivadas de funes de uma nica varivel independente, ento, ela chamada EquaoDiferencialOrdinria(EDO); caso as derivadas envolvamfunes commais de uma varivel independentes ela chamada de Equao Diferencial Parcial (EDP).Qualquer funo, dentro de um determinado intervalo, quando substituda na equao diferencialreduz esta a uma identidade, chamada soluo da equao dada.As equaes diferenciais ou um sistema de equaes diferenciais descrevem matematicamente o comportamento de algum sistema ou fenmeno fsico, como por exemplo, o funcionamento de um circuito eltrico.Neste nosso estudo, aprenderemos alguns mtodos de resoluo das equaes diferenciais, bemcomo identificaremos os principais tipos de equaes diferenciais de primeira ordem. 2. VARIVEIS SEPARVEIS2.1. Reconhecimento e ResoluoToda equao diferencial redutvel forma:6 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor Sul GoiniaEmail: afonsocarioca@afonsocarioca.com.br( )( ) ( )( )dy fxfx dx g y dydx g y denomina-se de separvelou tem variveisseparveis.Para resolve-la basta integr-la. preciso que, neste ponto de nosso estudo, faamos uma advertncia a todos os alunos para que revisem algumas Tcnicas de Integrao.Muitas vezes aoaplicarmos outrosmtodos deresoluodeequaesdiferenciais, recamosnomtodode variveis separveis, da a sua importncia.2.2. Exemplos ResolvidosEx.1: Resolva a equao( ) 1 0 x dy xdy + Ex.2: Resolva a equao(5 )dysen xdx 2.3. Exerccios Propostos01)( ) 21dyxdx +02) 30xdx e dy + 03) 0 dx x dy 04)( ) 1 6dyx xdx+ +05)2x dye xdx 06)' 4 xy y 07)2 0dyxydx + 08) dy ydx x09) 1 dy ydx x+10) 1dx x ydy x+11) 1 2 dx ydy y sen x+7 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor Sul GoiniaEmail: afonsocarioca@afonsocarioca.com.br12) 3 32 4 8dy xy x ydx xy x y+ + 3. EQUAES DIFERENCIAIS EXATAS3.1. Reconhecimento e ResoluoDada uma equao diferencial redutvel forma:( ,) ( ,) 0 M x y dx N x y dy + , ela ser uma Equao Diferencial Exata se, e somente se, M Ny x .1) Mtodo de Resoluo A sua resoluo tem o seguinte procedimento:(1) Suponha que( ) ( ) , f x y c Soluo Geral (2) Escreva( ,) ( ,) ( ) fx y M x y dx g y +(3) Faa( )( ) ( ) ( ),, ' ,f x yM x y dx g y N x yy y 1 + ] (4) Dessa forma, ( )( ) ( ) '( ) 'dg yg y g y g y dydy (5) Substitua na Soluo Geral f(x,y) = c.2) Mtodo de Resoluo(1) Suponha que( ) ( ) , f x y c Soluo Geral (2) Escreva( ,) ( ,) ( ) fx y N x y dy g x +(3) Faa( )( ) ( ) ( ),, ' ,f x yN x y dy g x M x yx x 1 + ] (4) Dessa forma, ( )( ) ( ) '( ) 'dg xgx g x g x dxdx (5) Substitua na Soluo Geral f(x,y) = c.3.2. Exemplos ResolvidosEx.1: Resolva( ) 2 1 0 xydx x dy + 8 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor Sul GoiniaEmail: afonsocarioca@afonsocarioca.com.brEx.2: Resolva 1 1 11 1 0tdt dyt y y y _ _+ + + , ,3.3. Exerccios Propostos01)( ) ( ) 2 0 xy dx x y dy Resp.: 4 x y y c 02)( ) ( ) 2 3 0 x y dx xy dy Resp.: 3 9 x xy y c + 03)( ) ( ) 0 y t dt y t dy Resp.: 3 3t yty c 04)( ) ( ) cos cos 0 d sen sen d + + Resp.:cos sen c + 05)( ) ( ) 4 2 4 2 0 x y y dx x y x dy + Resp.:4 6 x y xy c 06)( ) ( ) 3 1 3 3 0 t dy t y dt + + + Resp.: 3 3 3 2 2t t t y y c + + + 07)( ) 3 4 2 2 0dyt ty y tdt+ + + Resp.: 2 t t y y c + + 08)2 3 0dyty t ydt+ Resp.: t y c 09)( ) ( ) 8 3 12 8 0 ty t y dt y t y t dy + + + + Resp.:4 4 t y t y y c + + 10)( ) ( ) 2 1 3 7 0 x dx y dx + + 11)( ) ( ) 2 6 0 x y dx x y dy + 12)( ) ( ) 5 4 4 8 0 x y dx x y dy + + 13)( ) (cos cos ) 0 seny ysenx dx x x y y dy + + 14)(2 3) (2 4) 0 y x dx yx dy + + 15) 12 cos3 4 3 3 0dy yy x x ysen xx dx x _ + + + ,16)( ) ( ) ( ) 2 0 x y x y dx x x y dy + + 9 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor Sul GoiniaEmail: afonsocarioca@afonsocarioca.com.br17)( ) 1 ln 1 lnyx dx x dyx _+ + ,18)( ) ( ) 3 2cos 0 y y senx x dx xy y x dy + + 19)( ) 3 0 x y dx xy dy + + 20)( )1ln ln 0xyy y e dx x y dyy _ + + ,21) 2 0x xdx dyy y 22)2 6 xdyx xe y xdx +23)( ) ( )3 2 0y yx y e dx x xe y dy + + + 24) 3 31 1 0 y dx x dyx y _ _ + + + , ,25) 1 01 9 dxx y x yx dy _ + + ,26)(5 2 ) ' 2 0 y x y y 27)(1 2 2 ) 4 4dyx y x xydx +4. FATOR INTEGRANTEQuando a Equao Diferencial no exata, podemos usar um Fator Integrante que pode ser:10 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor Sul GoiniaEmail: afonsocarioca@afonsocarioca.com.br dx ) x (ex onde NxNyM) x ( ou dy ) y (ey onde MyMxN) y ( Dessa forma, o fator integrante multiplicado pela equao diferencial no exata ir transforma-la numa equao diferencial exata.Veremosmaistarde, queousodofatorintegrantepermitequeoutrostiposdeequaesdiferenciaissejam resolvidos.5. EQUAES DIFERENCIAIS HOMOGNEAS5.1. ReconhecimentoUma equao( ,) ( ,) 0 M x y dx N x y dy + chamada de Equao Diferencial Homognea se ambos os coeficientes M(x,y) e N(x,y) so funes homogneas de mesmo grau.A equao ( ,) ( ,) 0 M x y dx N x y dy + homognea se( , ) ( , ) ( , ) ( , )n nM x y t M x y e N x y t N x y .5.2. Mtodo de ResoluoUma equao diferencial homognea reduzida forma( ,) ( ,) 0 M x y dx N x y dy + pode ser resolvida por meio da substituioalgbrica y = ux ou x = vy,onde u e v so novasvariveis independentes.Esta transformao transformar a equao dada em uma equao de variveis separveis de 1 ordem. Quando devemos utilizar a transformao x = vy? Na verdade, ela pode ser usada em ualquer equao diferencial homognea, porm, a prtica nos ensina que ela deve ser tentada sempre que a funo M(x,y) for mais simples do que N(x,y). Pode acontecer tambm que ao fazermos a substituio algbrica y = ux ou x = vy resulte em integrais difceis ou impossveis de serem resolvidas, uma outra substituio pode tornar a resoluo mais fcil.5.3. Exemplos ResolvidosEx.1: Verifique se as funes so homogneasa)( , ) 3 5 fx y x xy y +b) 3( ,) fx y x y +Ex.2: Resolva as equaes abaixo:a)( ) ( ) 0 x y dx x xy dy + + b) 4 42 ( ) 0 x ydx x y dy + + 5.4. Exerccios Propostos(I) Verifique se so homogneas as funes:11 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668Rua 96 n 45 Setor Sul GoiniaEmail: afonsocarioca@afonsocarioca.com.br01) 4( ,) 2 yfx y x xyx + 02)( ) ( ,) 4 3 fx y x y x y + +03) ( ) ( ,)8 x y x yfx yx y+04) 4 4( ,)xfx yy x y+ +05) ( ,) cosxfx yx y _ + ,06)( ,)xfx y senx y _ + ,(II) Resolva as equaes homogneas a seguir:01)( )4 4 32 0 x y dx x ydy + 02)( ) 0 x y dx xdy + 03)( ) 0 x y dx xdy + + 04)( 2 ) 0 xdx y x dy + 05)( ) 0 y yx dx x ydy + 06) dy y xdx y x+07) 33dy x ydx x y++08)( ) 0 x xy y dx xydy + 12 AFONSO CELSO FONE: (62) 3092-2268 / CEL: (62) 9216-9668