DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 4 EDO II - MAP ...

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  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 4 EDO II - MAP 0316

    PROF: PEDRO T. P. LOPES WWW.IME.USP.BR/PPLOPES/EDO2

    Os exerccios a seguir foram selecionados dos livros dos autores Claus Doering-Artur Lopes e Jorge Sotomayor.(S.X.Y) indica exerccio Y do captulo X do livro do Sotomayor. (D.L.X.Y) indica exerccio Y do captulo X dolivro dos autores Claus Doering e Artur Lopes.

    Nos exerccios abaixo f sempre denota um campo de classe C1.

    Exerccio 1 (D.L.5.1)Verique para quais sistemas lineares x = Ax, com A M2(R) em forma de Jordan, a origem uma singularidade

    estvel e para quais a origem instvel.Resoluo:1) Seja

    A =

    (1 00 2

    ).

    Se 1 ou 2 for maior do que zero, a origem uma singularidade instvel. Se ambos forem estritamente menoresdo que zero, a origem uma singularidade assintoticamente estvel. Se forem menores ou iguais a zero e algum dosdois for igual a zero, ento a origem estvel, mas no assintoticamente estvel (indiferente).

    2) (a bb a

    ).

    Se a > 0, ento instvel. Se a < 0, ento assintoticamente estvel. Se a = 0, ento estvel, porm no assintoticamente estvel (indiferente).

    3) ( 01

    ).

    Se > 0, ento instvel. Se < 0, ento assintoticamente estvel. Se = 0, ento instvel.

    Exerccio 2 (D.L.5.2)Mostre que a origem sempre um ponto de equilbrio instvel para um sistema linear x = Ax denido por uma

    matriz A Mn(R) que tem pelo menos um autovalor complexo com parte real positiva.Resoluo:Seja um autovalor com parte real positiva.Suponha que seja um nmero real. Logo, dado uma vizinhana qualquer da origem, existe um vetor v 6= 0 Rn

    contido nesta vizinhana tal que Av = v. Logo etAv = etv. Como limtetv =, conclumos que etAv no

    est contido em nenhuma vizinhana limitada de 0. Logo a origem instvel.Suponha que = a+ ib, em que a > 0 e b 6= 0. Seja u+ iv Cn um autovetor complexo de . Assim

    A (u+ iv) = (a+ ib) (u+ iv) = (au bv) + i (av + bu) .Logo

    Au = au bvAv = bu+ av

    .

    Assim, podemos vericar explicitamente que x(t) = eat (cos(t)u+ sen(t)v) soluo de x = Ax com x(0) = u, > 0. . Logo, dado uma vizinhana qualquer da origem, existe um nmero > 0 tal que u pertence a estavizinhana. Como limt x(t) =, conclumos que a imagem de t R+ 7 x(t) no est contida em nenhumavizinhana limitada de 0. Logo a origem instvel.

    Exerccio 3 (D.L.5.3)(a) D um exemplo de um campo com singularidade estvel no isolada.

    1

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 4 EDO II - MAP 0316 2

    Resoluo:

    Seja A =

    (1 00 0

    ). Assim as singularidades de x = Ax so {(0, y), y R}, ou seja, no so isoladas. No

    entanto, so estveis. De fato, vamos mostrar que (0, y0) uma singularidade estvel. Dado > 0, seja 0 < < .Assim se (x, y) (0, y0) < e t 0, ento

    (t, (x, y)) (0, y0) =(xet, y) (0, y0) = (xet, y y0) (x, y y0) < < .

    Acima denota o uxo de x = Ax.(b) D uma condio para que um campo linear x = Ax, com A Mn(R), tenha a origem como singularidade

    isolada.Resoluo:Vamos mostrar que a origem isolada se, e somente se, A uma matriz inversvel.Se A inversvel, ento Ax = 0 se, e somente se, x = 0. Logo 0 a nica singularidade e , portanto, isolada.Se A no inversvel, ento, por ser matriz quadrada, no dene uma transformao linear injetora de Rn em

    Rn. Logo existe v 6= 0 tal que Av = 0. Assim o conjunto {v, R} est contido no conjunto do ponto desingularidades de A. Toda vizinhana da origem contm, desta forma, innitas outras singularidades. Conclumosque 0 no um ponto de singularidade isolado.

    Exerccio 4 (D.L.5.4)Mostre que toda singularidade assintoticamente estvel uma singularidade isolada.Resoluo:Suponha que x0 seja um ponto de singularidade assintoticamente estvel de x

    = f(x). Logo existe uma vizi-nhana aberta de x0, W , tal que se x W , ento [0,[ I(x) (ou seja, o uxo est denido para todo os reaispositivos se x W ) e

    limt

    (t, x) = x0, x W ()

    Logo a nica singularidade que existe em W o ponto x0. De fato, se x W uma singularidade e x 6= x0,ento

    limt

    (t, x) = x.

    Isto contradiz a armao (). Conclumos que x0 uma singularidade isolada.

    Exerccio 5 (D.L.5.5)Mostre que uma conjugao entre campos de vetores leva singularidades assintoticamente estveis em singulari-

    dades assintoticamente estveis.Resoluo:Sejam x = f1(x) e x

    = f2(x), em que f : E1 Rn e f2 : E2 Rn so campos de classe C1. Seja g : E1 E2uma conjugao (basta ser topolgica) e x0 uma singularidade assintoticamente estvel de f1. Denotemos por 1 ouxo de f1 e por 2 o uxo de f2.

    Logo y0 = g(x0) uma singularidade assintoticamente estvel. Vamos provar por partes:1) O ponto y0 uma singularidade.De fato,

    2(t, y0) = g (1(t, x0)) = g(x0) = y0.

    Logo t 2(t, y0) uma funo constante. Assim f2(y0) = 2t (0, y0) = 0.2) O ponto y0 uma singularidade estvel.Seja U E2 uma vizinhana de y0. Logo g1(U) uma vizinhana de x0. Como x0 uma singularidade estvel,

    podemos achar uma vizinhana aberta de x0, W g1(U), tal que para todo x W , o uxo est denido paratodo t 0 e

    1(t, x) g1(U), x W, t 0.Assim seja V := g(W ). Logo V uma vizinhana aberta de y0 e V = g(W ) g g1(U) = U . Alm disso, se

    x V e t 0, ento g1(x) W e

    2(t, x) = g(1(t, g1 (x)

    )) g

    (g1 (U)

    ) U.

    Logo y0 estvel.3) O ponto y0 uma singularidade assintoticamente estvel.

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 4 EDO II - MAP 0316 3

    Como x0 assintoticamente estvel, dado U E2, podemos escolher uma vizinhana aberta de x0, W g1(U)que satisfaz as propriedades do item 2) acima e que satisfaz

    limt

    1(t, x) = x0, x W.

    Assim, se x V = g(W ), temoslimt

    2(t, x) = limt

    g(1(t, g1 (x)

    ))= g (x0) = y0,

    em que usamos a constinuidade de g e g1.

    Exerccio 6 (D.L.5.6)Mostre com um exemplo que se f um campo de vetores no-linear tal que Df(0) = 0, possvel ter

    limt

    x(t) = 0

    para toda soluo de x = f(x), sem que os autovalores de Df(0) tenham parte real negativa.Resoluo:Seja x = x3. Logo Df(0) = 0. No entanto, se x(0) > 0, ento

    x(t)x(0)

    1

    s3ds = t = s

    2

    2

    x(t)x(0)

    = t = 1x(t)2

    1x(0)2

    = 2t.

    Conclumos, assim, que

    1

    x(t)2= 2t+

    1

    x(0)2= x(t) =

    1

    2t+ 1x(0)2

    , x(0) > 0

    12t+ 1

    x(0)2

    , x(0) < 0

    Vemos assim, que as solues esto denidas para todo t 0. Seja agora dado um > 0. Logo existe > 0(basta escolher < ) tal que se x < , ento

    (t, x) = 12t+ 1x2

    x < < .

    Assim 0 um ponto de equlbrio estvel. Por m

    limt

    (t, x) = limt

    12t+ 1x2

    = 0.

    Logo 0 um ponto de equilbrio assintoticamente estvel.

    Exerccio 7 (D.L.5.10)Seja f : E R3 o campo de vetores dado por

    f(, , ) =

    (, 22sencos gsen b

    m,k

    Jcos F

    J

    ),

    com E =]0, 2 [R]0,[. (Este campo aparece no problema do regulador automtico de presso. Mais informa-es sobre a origem deste campo podem ser encontradas na seo 5.3 do livro do Artur Lopes e Claus Doering).

    (a) Mostre que f(, , ) = (0, 0, 0) se, e somente se, kcos = F , = 0 e n22cos = g. Denote a nicasingularidade de f em E por (0,0, 0).

    Resoluo: Vemos que f(, , ) = (0, 0, 0), se e somente se,

    = 022sencos gsen bm = 0

    kJ cos

    FJ = 0

    ,

    ou seja, = 0, kcos = F e 22cos g = 0. Note que sen 6= 0, pois 0 < < 2 .(b) Calcule a matriz jacobiana A = Df(0, 0, 0) de f na singularidade.Resoluo:Temos

    Df(, , ) =

    0 1 022coscos 22sensen gcos bm 22sencos kJ sen 0 0

    .

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 4 EDO II - MAP 0316 4

    Logo

    Df(0, 0, 0) =

    0 1 0220cos0cos0 220sen0sen0 gcos0 bm 220sen0cos0 kJ sen0 0 0

    .(c) Mostre que

    p() = 3 bm2 gsen

    20cos0

    2kgsen20

    J0 o polinmio caracterstico de A.Resoluo:Basta calcular o determinante det (Df(0, 0, 0) I).(d) Mostre que todos os autovalores de A tm parte real negativa se, e somente se,

    bJ

    m>

    2kcos00

    =2F

    0=

    2kg

    n230.

    Resoluo:

    Basta observar que as razes de p() so as razes de p() = 3 + bm2 + gsen

    20cos0

    + 2kgsen20

    J0. Logo devemos ter

    a2a1 > a0. Assimb

    m

    gsen20cos0

    >2kgsen20

    J0= bJ

    m>

    2k

    0cos.

    As outras relaes seguem das igauldades do item a).(Sugesto: Use o seguinte resultado: Seja p() = 3 + a2

    2 + a1+ a0. Logo as razes de p tm todas as partesreais negativas se, e somente se, a2 > 0, a1 > 0, a0 > 0 e a2a1 > a0.

    Exerccio 8 (D.L.5.11)Dizemos que um ponto de equilbrio x0 de um campo de vetores f : E Rn do aberto E Rn uma fonte

    de f se a matriz Df(x0) Mn(R) tem todos autovalores generalizados com parte real positiva. Dizemos que oponto de equilbrio x0 assintoticamente instvel se x0 um ponto de equilbrio assintoticamente estvel para ocampo oposto f , cujas trajetrias coincidem com as de f exceto pelo sentido de percurso. Use o Teorema 5.3 paramostrar que se x0 uma fonte de f ento x0 uma singularidade assintoticamente instvel para f .

    Resoluo:Basta observar que os autovalores de Df(x0) so iguais a menos os autovalores de Df(x0). (De fato, pA() =

    det (I A) = (1)n det (I +A) = (1)n pA (). Ou seja, as razes de pA so iguais a 1 vezes as razes depA).

    Assim, se x0 uma fonte de f , ento os autovalores complexos de Df(x0) tm parte real positiva. Logo, osautovalores complexos de Df(x0) tm autovalores complexos com parte real negativa. Assim x0 um poopara f . Logo x0 um ponto de equilbrio assintoticamente estvel para f . Assim, um ponto de equilbrioassintoticamente instvel para f .

    Exerccio 9 (D.L.5.14)Seja A Mn(R) uma matriz com todos autovalores de parte real estritamente menor que um nmero real

    negativo. Mostre que existe um t0 > 0 tal que para toda soluo x de x = Ax temos

    x(t) et,para todo t > t0.

    Resoluo:Sabemos que a soluo x(t) = (x1(t), ..., xn(t)) tal que xj(t) combinao linear de termos t

    jcos(bt)eat etjsen(bt)eat, em que a+ bi so os autovalores de A. Sabemos que a < para todo autovalor a+ ib de A. Logo

    limt

    ettjcos(bt)eat = limt

    ettjsen(bt)eat = 0.

    Isto implica que limt etxj(t) = 0, para todo j = 1, ..., n. Assim limt e

    tx(t) = 0 e, portanto, limt et x(t) =

    0. Logo, existe t0 > 0 tal que se t > t0, et x(t) 1, ou seja,

    x(t) et,para t > t0.

    Exerccio 10 (D.L.5.18)

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 4 EDO II - MAP 0316 5

    Classique (estvel, assintoticamente estvel, instvel, indiferente, isolado) o comportamento do campo linear Ana origem, nos casos seguintes:

    (a) 0 Mn(R)Resoluo: As solues so constantes. Logo todos os pontos so estveis e as singularidades no so isoladas.

    (b)

    (0 10 0

    )Resoluo: As singularidades so {(x, 0); x R}. Logo no so isoladas. As solues do problema so (x(t), y(t)) =

    (x0 + ty0, y0). Os pontos de equilbrio no so estveis. De fato seja (x0, 0) um ponto de equilbrio. Logo, dada umavizinhana de (x0, 0), esta vizinhana deve conter um elemento da forma (x0, y0) para um y0 6= 0 sucientementepequeno. Porm limt (x0 + ty0, y0) = (t, (x0, y0)) = ( denota o uxo da EDO em questo). Logo asoluo no est connada a um aberto limitado. Logo (x0, 0) no uma singularidade estvel.

    (c)

    (1 22 2

    )Resoluo:Os autovalores so 3 e 2. Logo a origem a nica singularidade e, assim, ela isolada. Como 2 > 0, a

    singularidade instvel, pelo exerccio 2.

    (d)

    1 2 02 1 00 0 0

    Resoluo:As singularidades so {(0, 0, z); z R}. As solues so da forma x(t) = cos

    (3t)v1 + sen

    (3t)v2 + z0k, em

    que v1 e v2 so vetores em R2 {0} e k = (0, 0, 1). Para concluir isto, basta observar que os autovalores so i

    3e 0. Com esta expresso fcil demonstrar que as singularidades so estveis, porm no so assintoticamenteestveis (so indiferentes).

    (e)

    1 2 02 1 00 0 1

    Resoluo:A origem a nica singularidade. Portanto ela isolada. As solues so da forma x(t) = cos

    (3t)v1 +

    sen(

    3t)v2 + z0e

    tk, em que v1 e v2 so vetores em R2 {0} e k = (0, 0, 1). Para concluir isto, basta observarque os autovalores so i

    3 e 1. Com esta expresso fcil demonstrar que a origem estvel, porm no

    assintoticamente estveis ( indiferente).

    (f)

    0 1 0 01 0 0 00 0 0 10 0 1 0

    Resoluo:A origem a nica singularidade. Ela instvel, pois os autovalores so i e 1. Como 1 > 0, basta usar o

    exerccio 2.

    (g)

    0 1 0 01 0 0 01 0 0 10 0 1 0

    Resoluo:Novamente a origem a nica singularidade. Ela instvel, pois os autovalores so i e 1. Como 1 > 0, basta

    usar o exerccio 2.

    Exerccio 11 (D.L.5.20)(a) Resolva a equao no-linear de primeira ordem r = r

    (1 r2

    ).

    Resoluo:Temos r

    r0

    d

    (1 2)= t t0.

    Resolvendo a integral obtemos o resultado dado em sala de aula.(b) Obtenha explicitamente o uxo do campo no-linear f : R2 R2 dado por

    f(x1, x2) =(x2 + x1

    (1 x21 x22

    ),x1 + x2

    (1 x21 x22

    )).

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 4 EDO II - MAP 0316 6

    (Sugesto: mude para coordenadas polares e use o item anterior)Resoluo:Seja r = r

    (1 r2

    )e = 1. Faamos a mudana de variveis x1 = rsen e x2 = rcos. Logo

    x = senr + rcos = rsen rsenr2 + rcos = x1 x1r2 + x2 = x1(1 x21 x22

    )+ x2

    y = cosr rsen = rcos rcosr2 rsen = x2(1 x21 x22

    ) x1

    Vemos assim que o sistema dado por f conjugado ao sistema do item a com a conjugao g1(r, ) =(rsen, rcos).

    (c) Esboce o retrato de fase do campo no-linear f do item anterior.Resoluo:Ver nas anotaes de sala de aula ou no livro do Artur Lopes e Claus Doering.

    Exerccio 12 (D.L.5.21)(a) Obtenha a expresso cartesiana do campo de vetores f : R2 R2 que corresponde, em coordenadas polares,

    ao sistema { = 1

    r = (r),

    onde (0) = 0 e, para r > 0, (r) = r2sen(1r

    ).

    Resoluo:Seja x = rcos e y = rsen.Logo

    x = cosr rsen = rcosrsen(

    1

    r

    ) rsen = x

    x2 + y2sen

    (1

    x2 + y2

    ) y

    y = senr + rcos = rsenrsen

    (1

    r

    )+ rcos = x

    x2 + y2sen

    (1

    x2 + y2

    )+ x.

    Assim conclumos que

    f (x, y) =

    (xx2 + y2sen

    (1

    x2 + y2

    ) y, x

    x2 + y2sen

    (1

    x2 + y2

    )+ x

    ).

    (b) Mostre que em cada vizinhana da origem existe uma rbita peridica de f envolvendo a origem.Resoluo:Basta observar que r = 1n e = t soluo. Assim (x(t), y(t)) =

    (1n cos(t),

    1n sen(t)

    ) soluo. Para toda

    vizinhana de 0, basta ecolher n sucientemente grande tal que B 1n

    (0) esteja contido na vizinhana. Isto implicar

    que a soluo tambm est contida na vizinhana.(c) Mostre que a origem um ponto de equilbrio estvel para f .Resoluo: Seja > 0. Escolho = 1n < . Logo se (x, y) B(0), ento (t, (x, y)) B(0) para todo t 0. De

    fato, se isto no for verdade, ento existe t tal que (t, (x, y)) B(0). Como B(0) uma rbita e duas rbitasse cruzam se, e somente se, so iguais, isto implica que (x, y) = (0, (x, y)) B(0). Mas isto um absurdo. Logoa soluo ca connada dentro da bola B(0). Em particular, est denida para todo t R (no tem como sair docompacto B(0).

    Exerccio 13 (D.L.5.22)Um a partcula move-se numa reta sob a inuncia de uma fora newtoniana que depende somente da posio

    da partcula. Mostre que se a fora exercida na direo de 0 R e nula em 0, ento a origem um ponto deequilbrio estvel para o sistema mecnico. (Sugesto: estude a energia total do sistema)

    Resoluo:Temos

    x(t) = yy(t) = 1mF (x)

    = x(t) = y

    y(t) = 1mdVdx (x)

    .

    Sabemos que ET (x, y) =m2 y

    2 +V (x) constante e que V (x) = x0F (s)ds. Logo V (x) = F (x). Assim como

    F (x) < 0, se x > 0 e F (x) > 0, se x < 0, conclumos que V estritamente crescente se x > 0, e V estritamentedecrescente se x < 0.

    Para mostrar que (0, 0) uma singularidade estvel, basta agora ver que quanto menor a energia, mais prximoa soluo est na origem. Basta agora formalizar o argumento.

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 4 EDO II - MAP 0316 7

    Exerccio 14 (D.L.5.23)Sejam f : E Rn um campo de vetores e x0 E uma singularidade de f . Sabemos que se todos os autovalores

    generalizados de Df(x0) Mn(R) tm parte real negativa ento existe uma vizinhana U de x0 em E tal quelimt x(t) = x0, para qualquer soluo x : R Rn de x = f(x), com x(0) U . Verique se a recproca vlida.

    Resoluo:No. A recproca no vlida. J vimos no exerccio 6 que a origem de x = x3 tem esta propriedade: Na

    verdade, limt x(t) = 0 para toda soluo da EDO. No entanto, Df(0) = 3x2x=0

    = 0. Logo o nico autovalor

    complexo da matriz 1 1 Df(0) 0. Logo no tem parte real negativa.Para um exemplo em R2, basta considerar

    (x, y) =(x3,y3

    ).

    Exerccio 15 (S.5.4)Considere o sistema

    x = A(t)x+ g(x), 0 t < +, |x| < b, x Rn,em que A : [0,[ Mn(R) e g : {x Rn, |x| < b} Rn so funes contnuas e g(x) = o(|x|). Seja t 7 (t) amatriz fundamental de x = A(t)x tal que (0) = I. Suponha que existam K > 1 e > 0 tais que

    (t)(s)1 Ke(ts), t, s 0 . Logo x(t) 0 uma soluo estvel.

    Resoluo:Repita os argumentos do livro do Sotomayor. Cap. 5.

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