DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 3 EDO II - MAP ...

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  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 3 EDO II - MAP 0316

    PROF: PEDRO T. P. LOPES WWW.IME.USP.BR/PPLOPES/EDO2

    Os exerccios a seguir foram selecionados dos livros dos autores Claus Doering-Artur Lopes e Jorge Sotomayor.(S.X.Y) indica exerccio Y do captulo X do livro do Sotomayor. (D.L.X.Y) indica exerccio Y do captulo X dolivro dos autores Claus Doering e Artur Lopes.

    Exerccio 1 (S.1.36)(i) Seja f : RRn Rn contnua e Lipschitziana na segunda varivel com constante de Lipschitz K. Sejam 1

    e 2 funes diferenciveis num intervalo I =]a, b[ que contm o ponto t0. Suponha que para todo t I

    |i(t) f(t, i(t))| i, i = 1, 2, ()

    mostre a seguinte forma aperfeioada da Desigualdade de Gronwall:

    |1(t) 2(t)| |1(t0) 2(t0)| eK|tt0| +(1 + 2)

    K

    (eK|tt0| 1

    ).

    (Sugesto: Seja t t0. integrando () entre t0 e t obtenha1(t) 2(t) (1(t0) 2(t0)) tt0

    [f(s, 1(s)) f(s, 2(s))] ds (1 + 2) (t t0)

    e da conclua que

    |1(t) 2(t)| |1(t0) 2(t0)|+K tt0

    |1(s) 2(s)| ds+ (1 + 2) (t t0) . ()

    Dene agora R(t) = tt0|1(s) 2(s)| ds, t0 t b. Ento,

    R(t)KR(t) |1(t0) 2(t0)|+ (1 + 2) (t t0)

    e multiplicando ambos os lados desta expresso por eK(tt0) e integrando entre t0 e t resulta

    R(t) |1(t0) 2(t0)|K

    (eK(tt0) 1

    ) (1 + 2)

    K2(1 +K(t t0)) +

    (1 + 2)

    K2eK(tt0).

    Combinando esta desigualdade com () segue-se o resultado.)(ii) Sejam fm : R Rn Rn tais que fm f0 uniformemente em I Rn e todas tm a mesma constante de

    Lipschitz K. Se m a soluo de

    x = fm(t, x), x(t0) = xm,

    use (i) para provar que m tende uniformemente em I para 0 se xm x0,Resoluo: De fato, seja dado um > 0. SejaM tal que sem > M , ento fm(t, x) f0(t, x) < e |xm x0| < ,

    em que [eK(ba) + 1K

    (eK(ba) 1

    )]= .

    Assim

    |m(t) f0(t, m(t))| |m(t) fm(t, m(t))|+ |fm(t, m(t)) f0(t, m(t))| =|fm(t, m(t)) f0(t, m(t))| < .

    Obviamente, |0(t) f0(t, 0(t))| = 0. Logo

    |m(t) 0(t)| |m(t0) 0(t0)| eK|tt0| +

    K

    (eK|tt0| 1

    )

    [eK(ba) +

    1

    K

    (eK(ba) 1

    )].

    Exerccio 2 (D.L.4.4)1

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 3 EDO II - MAP 0316 2

    Use a mudana de variveis h(r, ) = (r cos(), rsen()) para colocar a equao diferencial{r = sen

    (1r

    ) = 1

    em coordenadas cartesianas (x1, x2).Resoluo: Seja x = rcos e y = rsen. Logo

    x = rcos rsen = r

    r rcos rsen = 1

    x2+y2sen

    (1x2+y2

    )x+ y

    y = rsen + rcos = r

    r rsen + rcos = 1

    x2+y2sen

    (1x2+y2

    )y x

    .

    Assim x = 1

    x2+y2sen

    (1x2+y2

    )x+ y

    y = 1x2+y2

    sen

    (1x2+y2

    )y x

    .

    Exerccio 3 (D.L.4.8)Considere o sistema no linear em R2 dado por{

    x1 = x2 (x1, x2)x2 = x1 (x1, x2)

    ,

    onde : R2 R de classe C1.a) Prove que toda rbita deste sistema ou est contido em uma circunferncia centrada na origem ou a prpria

    origem (0, 0) do plano.Resoluo:Sabemos que o campo de vetores f(x1, x2) = (x2 (x1, x2) ,x1 (x1, x2)). Logo

    f (x1, x2) , (x1, x2) = (x2 (x1, x2) ,x1 (x1, x2)) , (x1, x2) =

    x1x2 (x1, x2) x2x1 (x1, x2) = 0.Assim se x = (x1, x2) uma soluo da EDO acima, ento t 7 x(t) = (x1(t), x2(t)) constante, pois

    d

    dt(x1(t), x2(t))2 = 2 f (x1(t), x2(t)) , (x1(t), x2(t)) = 0.

    b) Esboce as trajetrias deste sistema, realando os pontos crticos e as rbitas peridicas, nos casos particularesi. (x1, x2) =

    (x21 + x

    22 1

    ) (x2 x21 2

    )ii. (x1, x2) =

    (1 x21 x22

    ) (x2 + x

    21 + 2

    )Resoluo:Em i, os pontos crticos so a origem, a circunferncia de raio 1 e a parbola x2 = x

    21 + 2.

    Em ii, os pontos crticos so a origem, a circunferncia de raio 1 e a parbola x2 = x21 2.

    Exerccio 4 (D.L.4.10)Mostre que uma conjugao topolgica leva singularidades em singularidades e rbitas peridicas em rbitas

    peridicas, preservando o perodo.Resoluo:Seja f1 : E1 Rn e f2 : E2 Rn. Seja 1 o uxo de f1 e 2 o uxo de f2. Por m, seja g : E1 E2 uma

    conjugao topolgica. Seja x0 uma singularidade de E1. Logo

    2(t, g(x0)) = g (1(t, x0)) = g(x0).

    Logo f2(g(x0)) =(t2

    )(0, g(x0)) = 0. Assim g(x0) uma singularidade de f2.

    Seja t 1(t, x0) uma soluo peridica e T o perodo de 1. Logo

    2(t+ T, g(x0)) = g (1(t+ T, x0)) = g (1(t, x0)) = 2(t, g(x0)), t

    Suponha que exista < T tal que 2(t+ , g(x0)) = 2(t, g(x0)), para todo t R. Logo

    1(t+ , x0) = g1 (2(t+ , g(x0))) = g

    1 (2(t, g(x0))) = 1(t, x0).

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 3 EDO II - MAP 0316 3

    Assim o min {c > 0; 1(t+ c, x0) = 1(t, x0)} < T . Conclumos, assim, que o perodo de 1 no T . Absurdo.Logo este no existe. Assim, vemos que

    min {c > 0; 2(t+ c, x0) = 2(t, x0)} = T,

    ou seja, t 7 2(t, x0) uma soluo peridica e o seu perodo igual a T .

    Exerccio 5 (D.L.4.11)Lembre que os campos lineares A, B Mn(R) so linearmente conjugados se, e somente se, as matrizes A e B so

    semelhantes (A = P1BP ). Mostre que A e B so linearmente conjugados se, e somente se, so diferencialmenteconjugados.

    Resoluo:Suponha que A = P1BP , ou seja, que A e B sejam linearmente conjugados.Seja g : Rn Rn dado por g(x) = Px. Como P inversvel, conclumos que g um difeomorsmo C. Alm

    disso, se f1(x) = Ax e f2(x) = Bx, ento

    Dg(x)f1(x) = PAx = BPx = Bg(x) = f2 (g(x)) .

    Logo f1 diferenciavelmente conjugado a f2.Agora suponha que A seja diferenciavelmente conjugado a B. Logo existe um difeomorsmo g : Rn Rn tal

    que

    Dg(x)Ax = Bg(x).

    Note que se x = 0, a relao acima mostra que Bg(0) = 0, ou seja, g(0) Ker(B). Seja g : Rn Rn dado porg(x) = g(x) g(0). Logo

    Dg(x)Ax = Dg(x)Ax = Bg(x) = B (g(x) g(0)) = Bg(x).

    Assim g uma conjugao e g(0) = 0.Vemos assim, que podemos supor que existe uma conjugao g tal que g(0) = 0.Seja ej = (0, ..., 1, ..., 0), em que 1 aparece na jsima casa e t > 0. Se x = tej , ento temos

    Dg(tej)A (tej) = Bg(tej).

    Logo1

    tDg(tej)A (tej) =

    1

    tBg(tej).

    Assim

    Dg(0)A (ej) = limt0

    Dg(tej)A (ej) = limt0

    1

    tBg(tej) = B

    (limt0

    1

    tg(tej)

    )=

    B limt0

    1

    t(g(tej) g(0)) = B

    g

    xj(0) = BDg(0)ej .

    Como isto vale para todo j, conclumos que

    Dg(0)A = BDg(0).

    Para P := Dg(0), temos

    A = P1BP.

    Logo conclumos que A e B so conjugados.

    Exerccio 6 (D.L.4.12)Sejam f : E Rn um campo, K E um compacto e r > 0 dados. Mostre que existe > 0 tal que, para cada

    x0 K, a soluo x de x = f(x) com x(0) = x0 leva pelo menos tempo para se afastar uma distncia r de x, ouseja, vale |x(t) x0| < r para cada 0 t .

    Resoluo:Sabemos que o uxo : = {(t, x), x E, t I(x)} Rn contnuo e de classe C1 (vamos assumir que f seja

    de classe C1) e que um aberto.Logo {0}K um compacto de . Pela continuidade de e por ser aberto, conclumos que para todo x K,

    existe x > 0 tal que se (t, y) (0, x) < 2x, ento (t, y) e (t, y) (0, x) < r2 . Como K xKBx (x) ={(t, y), (t, y) (0, x) < x} e K compacto, conclumos que existem x1,...,xm em K tais que

    K mj=1Bxj (xj) .

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 3 EDO II - MAP 0316 4

    Seja = min{xj , j = 1, ...,m

    }. Consideremos x K e |t| < . Logo x Bxj (xj) para algum j. Isto implica

    que

    (t, x) (0, xj) |t|+ x xj < + xj = 2xj .Assim (t, x) e

    (t, x) (0, x) (t, x) (0, xj)+ (0, xj) (0, x) < 2r

    2= r.

    Exerccio 7 (D.L.4.13)Verique quais dos sistemas lineares x = Ax so campos gradientes (ou seja, Ax = U(x), para alguma funo

    diferencivel U : R2 R), no caso em que A M2(R) est na forma de Jordan.Resoluo:

    I) A =

    (1 00 2

    ), em que 1 e 2 so nmeros reais. Ax um campo gradiente, pois se U(x1, x2) =

    12(1x

    21 + 2x

    22

    ), ento

    U(x1, x2) = (1x1, 2x2) = Ax.

    Para os dois casos abaixo, vamos usar que se f(x1, x2) = (f1, f2) =( Ux1 ,

    Ux2

    )= U(x1, x2), ento

    f1x2 f2x1

    = 0.

    II) A =

    ( 01

    )Neste caso, temos f(x1, x2) = (x1, x1 + x2). Logo

    f1x2 f2x1

    = 1 6= 0.

    Logo no um campo gradiente.

    III) A =

    (a bb a

    ), b 6= 0

    Neste caso, temos f(x1, x2) = (ax1 + bx2,bx1 + ax2). Logof1x2 f2x1

    = b+ b = 2b 6= 0.

    Logo no um campo gradiente.

    Exerccio 8 (D.L.4.14)Dizemos que a trajetria t 7 x(t) por x(0) = x0, ou ento, o ponto x0 positivamente recorrente ou estvel

    segundo Poisson se no singular e, para alguma sequncia tn +, vale que x(tn) x0. Prove que um campode vetores gradiente no possui trajetrias positivamente recorrentes.

    Resoluo:Suponha que f = U e x = f(x) seja uma soluo no constante. Logo f(x(t)) 6= 0 para todo t. Assim

    d

    dtU(x(t)) = U(x(t)).x(t) = U(x(t)).f(x(t)) = U(x(t))2 = f(x(t))2 < 0.

    Logo t 7 U(x(t)) uma funo estritamente decrescente. Por continuidade de U , se x(tn) x(0), entoU(x(0)) = lim

    nU (x(tn)) .

    Mas se tn > 0, ento U (x(tn)) < U(x(0)). Assim limn U (x(tn)) < U(x(0)). Absurdo. Logo no existemtrajetrias positivamente recorrentes para vetores gradientes.

    Exerccio 9 (D.L.4.15)Considere o sistema mecnico que descreve um pndulo sujeito a uma fora de atrito, porm no fora gravi-

    tacional. A equao do movimento angular dada por

    md2

    dt2= kd

    dt.

    Transforme num sistema de equaes ordinrias de ordem 1. Calcule as solues deste problema e esboce oretrato de fase deste sistema.

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 3 EDO II - MAP 0316 5

    Resoluo:Basta escrever {

    = = km

    (

    )=

    (0 10 km

    )(

    ).

    Para resolver, podemos calcular a exponencial da matriz. Porm mais simples resolver em e depois em .

    Se = km, ento (t) = (0)e km t. Como = , conclumos que = (0)e

    km t. Logo (t) =(

    (0) + mk (0)) mk (0)e

    km t. Assim

    (t) =((0) + mk (0)

    ) mk (0)e

    km t

    (t) = (0)ekm t

    .

    Exerccio 10 (D.L.4.18)Um exemplo mais simples que o do pndulo o da mola sem atrito, dada pelo sistema mecnico determinado

    pela lei de Hooke F (x) = kx, com x R e constante de mola k > 0. Obtenhaa) um potencial U(x) e a energia cintica V (x) do sistema.Resoluo:U(x) =

    x0F ()d =

    x0kd = 12kx

    2.

    V (x) = 12mx2.

    b) as curvas de nvel da energia total E(x, x) do sistema.Resoluo:Para todo c, as curvas devem ser as elipses (ou o ponto 0) dadas por

    E(x, x) =1

    2mx2 +

    1

    2kx2.

    c) o retrato de fase do sistema.

    Exerccio 11 (D.L.1.19)Calcule a energia total do sistema mecnico determinado pelo campo de foras F (x) = x3 em R. Obtenha a

    expresso do campo de vetores associado f(x, y) = (x, y). Esboce o retrato de fase da equao de primeira ordemassociada ao campo f usando a integral primeira dada pela energia total.

    Resoluo:A energia ser dada por E(x, v) = m2 v

    2 + 14x4.

    O campo de vetores f(x, v) =(v,x3

    ). (para massa igual a 1)

    Exerccio 12 (D.L.4.20)Sejam V1, ..., Vn : E R funes de classe C1 no aberto E Rn e dena G : E Rn1 por G(x) =

    (V1(x), ..., Vn1(x)). Utilizando a forma local das submerses, mostre que se os vetores gradiente V1(x), ...,Vn1(x) so linearmente independentes, ento

    {x E|V1(x) = c1, ..., Vn1(x) = cn1} = G1(c1, ..., cn1)

    dene uma curva de classe C1 em Rn.Resoluo:Faremos aqui apenas um esboo com as ideias principais.

    Sabemos que Vj(x) =(Vjx1

    , ...,Vjxn

    )so L.I., para j = 1, ..., n 1. Assim, para algum i, os vetores(Vjx1

    , ...,Vjxi1

    ,Vjxi+1

    , ...,Vjxn

    ),

    j = 1, ..., n 1 so L.I. (Podemos aplicar o teorema de lgebra linear: Posto Linha igual ao Posto Coluna paraconcluir isto). Vamos supor que podemos escolher i = n, apenas para ajudar a notao. Assim, localmente existeum difeomorsmo h entre abertos do Rn tal que

    G (h(x, t)) = x.

    Em G1(c1, ..., cn1), obtemos que G (h(c, t)) = c, em que c := (c1, ..., cn1). Assim localmente, a curva serdada por t 7 h(c, t).

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 3 EDO II - MAP 0316 6

    Forma Local das Submerses: (Elon. Anlise Real Volume 2) Seja f = (f1, ..., fn) uma aplicao de classe Ck

    (k 1) de um aberto U Rm+n em Rn. Se, num ponto p = (a, b) U , a matriz[fiyj

    (p)

    ](i, j = 1, ..., n)

    invertvel, ento existem abertos Z 3 p em Rm+n, V 3 a em Rm, W 3 c = f(p) em Rn e um difeomorsmovertical (vertical quer dizer que h(x, y) = (x, h2(x, y))) h : V W Z, de classe Ck,tal que f(h(x,w)) = w, paratodo x V e todo w W .

    Exerccio 13 (D.L.4.21)Sejam V1, ..., Vn : E R integrais primeiras do campo f : E Rn de classe C1 no aberto E Rn tais que os

    vetores V1(x), ..., Vn1(x) so linearmente independentes: pelo exerccio acima,

    = {x E|V1(x) = c1, ..., Vn1(x) = cn1}

    dene uma curva de classe C1 em Rn. Parametrize por z :]a, b[ Rn e considere o campo de vetores (unidimen-sional) induzido de f por z, ou seja, a funo g :]a, b[ R,denida por

    g(t)z(t) = f(z(t))

    como a razo das normas de f(z(t)) por z(t) (vezes 1 ou 1 de tal forma que a equao acima seja satisfeita). Aequao diferencial y(t) = g(t) tem variveis separveis e de fcil resoluo por integrao. Portante podemos obter(pelo menos em teoria) a soluo da equao diferencial original x = f(x) contida em atravs de x(t) = z(g(t)).

    Resoluo:Apenas detalhar o argumento.

    Exerccio 14 (S.2.28)Seja S = {A Mn(R) : o uxo de x = Ax hiperblico}. Mostre que S aberto e denso em Mn(R), isto ,

    mostre:1) Dado A S, existe > 0 tal que se B A < , ento B S.Resoluo:Seja A S e pA o polinmio caracterstico de A. Seja > 0 tal que a distncia entre as razes de A e do eixo

    {z C; Re(z) = 0} sejam maiores do que . Sabemos que existe > 0 tais que se os coecientes de um polinmiop distarem menos de dos coecientes de pA ento a distncia das razes de p das razes de pA ser menor do que. Como pA() = det(I A), conclumos que os coecientes so funo contnuas das entradas da matriz A (eportanto, da matriz A). Assim existe um > 0 tal que se B A < , ento os coecientes de pB distam menosdo que dos coecientes de pA. Logo as razes de pB distam das razes de pA so menores que do . Logo nopodem pertencer a {z C; Re(z) = 0}. Ou seja, a parte real dos autovalores diferente de zero e B S.

    2) Dado A Mn(R) e > 0, existe B S tal que B A < .Resoluo:Seja > 0. Seja B = A+ I. Logo pB() = det(I B) = det(( ) I A) = pA( ). Assim as razes de

    pB so iguais as razes de pA mais . Se as razes de A tiverem parte real diferente de zero, basta escolher B = A.Seno, basta escolher < tal que pB no tenha mais razes com parte real 0. Neste caso B A = I = < .

    (Dica: Use que se p(z) =nj=0 ajz

    j um polinmio e z1,...,zn so as razes de p, ento dado > 0, existe > 0

    tal que se |aj aj | < , ento as razes do polinmio p(z) =nj=0 ajz

    j distam menos do que das razes de p. Isto

    um consequncia do Teorema de Rouch de anlise complexa).

    Exerccio 15 (S.1.30)Seja Ci = {A Mn(R) : o uxo de x = Ax hiperblico e tem ndice de estabildade i}. Mostre que Ci aberto

    em Mn(R). Lembre que i denota o nmero de autovalores com parte real negativa.Resoluo:Uso o mesmo argumento do exerccio anterior. Dado A Ci, basta escolher > 0 tal que as razes de A

    tenham uma distncia superior do que do conjunto {z C; Re(z) = 0}. Agora basta escolher > 0 tal que seB A < , ento as razes de pA e de pB distam de uma distncia de . Logo continuar havendo i razes de Bcom parte real negativa e n i razes com pare real positiva.

    Conclumos que se B A < , ento B Ci.

    Exerccio 16 (S.1.31)

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 3 EDO II - MAP 0316 7

    Um sistema linear x = Ax chama-se estruturalmente estvel se existe uma vizinhana V (A) de A em Mn(R)tal que para toda matriz B V (A) o sistema linear x = Bx topologicamente conjugado a x = Ax. Prove quex = Ax estruturalmente estvel se, e somente se, x = Ax hiperblico.

    (Sugesto: para a prova de que a matriz deve ser hiperblica observe que se autovalor de A e v um autovetorcorrespondente a , ento (t) = etv soluo de Ax = x. Alm disso, |(t)| = et |v| se = Re()).

    Resoluo:Podemos demonstrar da seguinte maneira.Se A hiperblico e B for prximo a A, ento B tem o mesmo ndice de estabilidade de A. Logo A e B so

    topologicamente conjugados, pelos resultados visto em sala de aula.Se A no for hiperblico, ento numa vizinhana de A podemos achar (denindoB = I+A) matrizes hiperblicas

    com ndices de estabilidade distintos. Logo que no so topologicamente conjugadas. Assim no podemos ter ambostopologicamente conjugadas a A (j que a conjugao uma relao de equivalncia).

    Usamos o seguinte resultado em sala de aula:Duas matrizes hiperblicas denem uxos topologicamente conjugados se, e somente se, tm o mesmo ndice de

    estabilidade.

    Exerccio 17 (S.3.7)Sistemas conservativos unidimensionais: Considere a equao

    x = F (x)

    num intervalo da reta. Claramente ela equivalente ao sistema

    x = vv = F (x)

    ()

    (i) Mostre que a energia total E = T + U uma integral primeira de () onde T (v) = v2

    2 a energia cintica e

    U(x) = xx0F ()d a energia potencial.

    Resoluo: Vemos que E(x, v) = xx0F ()d + v

    2

    2 tal que se (x, v) soluo da EDO acima, ento

    d

    dtE (x(t), v(t)) = E(x, v). (x, v) = E(x, v). (v, F (x)) =

    (F (x), v) . (v, F (x)) = F (x)v + F (x)v = 0.Logo t 7 E(x(t), v(t)) constante. Alm disso, E(x, v) = 0 s pode ocorrer se v = 0. No entanto, se houvesse

    algum aberto em que E fosse constante, ento E seria igual a zero neste aberto. Porm todo aberto deve conter(x, v) para algum v 6= 0. Como isto no o caso, conclumos que E no constante em nenhum aberto. Logo E uma integral primeira.

    (ii) Mostre que todos os pontos de equilbrio de () esto no eixo dos x. Mostre tambm que todas as rbitasperidicas de () interceptam o eixo dos x e so simtricas em relao a ele.

    Resoluo:Vemos que (v, F (x)) = (0, 0) se v = 0 e se F (x) = 0. Assim as singularidades esto no eixo x (v 0)Se uma rbita no intercepta o eixo dos x, ento x(t) = v(t) sempre crescente ou sempre decrescente. Logo

    t 7 (x(t), v(t)) injetora e a rbita no peridica.Seja t 7 (x, v) uma rbita peridica. Se t0 tal que v(t0) = 0. Deno

    (y(t), w(t)) = (x(t), v(t)), se t < t0(y(t), w(t)) = (x(t0 t),v(t0 t)), se t t0

    .

    Vemos que (y(t), v(t)) satisfaz a equao tambm para t t0. Alm disso, (y(t0), w(t0)) = (x(t0), 0) est bemdenido. Logo (y, w) e por unicidade igual a (x, v). Conclumos da a simetria.

    (iii) Mostre que se U(x1) = U(x2) = c e U(x) < c para x1 < x < x2, com F (x1) e F (x2) no nulos, ento ()tem uma rbita peridica passando pelos pontos (x1, 0) e (x2, 0).

    Resoluo:Uma soluo (x, v) tal que (x(0), v(0)) = (x1, 0) no pode ser singular, pois (0, F (x1)) 6= (0, 0). Alm disso, est

    connada num conjunto limitado pelas conservao da energia e pelas hipteses do exerccio. Logo a soluo estdenida para todo t real. A periodicidade pode ser demonstrada usando argumentos de conservao de energia.

    (iv) Suponha que F (x) 6= 0 para 0 < |x a| < , para algum > 0. Mostre que () tem um centro ou uma selaem (a, 0) conforme U(a) seja um mnimo ou um mximo relativo.

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 3 EDO II - MAP 0316 8

    Resoluo: Basta estudar (0 1

    dFdx (a) 0

    )e ver que as razes do polinmio caracterstico so =

    dFdx (a) =

    d2Udx2 (a). Temos assim, ou duas razes

    complexas, ou uma raiz positiva e outra negativa. Supondo d2Udx2 (a) 6= 0.

    Exerccio 18 (S.3.8)Com base no exerccio anterior, faa uma representao do espao de fase das seguintes equaes:(i) x = x (mola).(ii) x = sen(x) (pndulo).(iii) x = 1x2 (gravitao).

    Exerccio 19 (S.3.1)Seja f : E Rn um campo vetorial de classe C1. Uma funo contnua V : E R chama-se integral primeira

    de f em E se:(a) V constante ao longo de toda rbita de f .(b) V no constante em nenhum aberto de E.Resolva as seguintes questes:(i) Seja f : E R de classe C1 tal que V (x)f(x) = 0 e V (x) 6= 0 para todo x E. Ento V uma integral

    primeira de f .Resoluo:Seja x : I Rn uma soluo de x = f(x). Logo

    d

    dtV (x(t)) = V (x(t))x(t) = V (x(t))f(x(t)) = 0.

    Logo t 7 V (x(t)) uma funo constante. Assim (a) satisfeito.Suponha que V seja constante em algum aberto de E. Logo, neste aberto temos V (x) = 0. Como isto no

    verdadeiro para nenhum x, conclumos que (b) satisfeito.(ii) Se x E no ponto singular de f ento existe uma vizinhana U de x tal que f |U tem n 1 integrais

    primeiras V1,...,Vn1 de classe C1 funcionalmente independentes (isto , tais que V1,..., Vn1 so linearmente

    independentes para todo x U).(Sugesto: Use o Teorema do Fluxo Tubular.)(iii) Encontre uma integral primeira do centro dado por

    x1 = x2x2 = x1

    para 6= 0 e da selax1 = 1x1x2 = 2x2

    onde 1 < 0 < 2.Resoluo:Para o primeiro, vemos que V (x1, x2) = x

    21 + x

    22 uma integral primeira, pois

    V (x1, x2)(x2,x1) = (2x1, 2x2)(x2, x1) = 2x1x2 + 2x1x2 = 0.

    Alm disso, V (x1, x2) = 0 s na origem, ou seja, V no constante em nenhum aberto.

    Para a sela podemos denir V (x1, x2) = x211 x2. Logo

    V (x1, x2)(1x1, 2x2) =(21x2111 x2, x

    211

    ). (1x1, 2x2) =

    2x211 x2 + 2x

    211 x2 = 0.

    Novamente, V s se anula se x1 = 0 ou se x2 = 0. Assim V no constante em nenhum aberto.(iv) Para sistemas lineares, no existe nenhuma integral primeira em R2, se ambos autovalores tiverem parte real

    > 0 ou ambos tiverem parte real < 0.

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 3 EDO II - MAP 0316 9

    Resoluo: Basta observar que todas as solues neste caso vo a 0 quando o tempo tende a + ou ,dependendo do sinal dos autovalores. Logo se existisse integral primeira, teramos (usando que t 7 (t, x) constante) que

    V (x) = limt

    V ((t, x)) = V

    (lim

    t(t, x)

    )= V (0) .

    Logo a integral primeira seria uma funo constante em R2. Absurdo.(v) Generalize (iii) e (iv) para sistemas lineares em Rn.(vi) Seja H : R2n R uma funo de classe Cr, r 2. Suponha que os pontos onde H igual a zero sejam

    isolados e encontre uma integral primeira para o campo

    f =

    (H

    xn+1, ...,

    H

    x2n, H

    x1, ..., H

    xn

    ).

    (tal campo conhecido como Hamiltoniano).Resoluo:Uma integral primeira para o campo acima o prprio Hamiltoniano. De fato, H no constante em nenhum

    aberto e

    H(x)f(x) =(H

    x1, ...,

    H

    xn,H

    xn+1, ...,

    H

    x2n

    ).

    (H

    xn+1, ...,

    H

    x2n, H

    x1, ..., H

    xn

    )=

    H

    x1

    H

    xn+1+ ...+

    H

    xn

    H

    x2n Hx1

    H

    xn+1 Hxn

    H

    x2n= 0.

    (vii) Dada uma funo V : E R de classe C2, tal que V no se anula em nenhum aberto, encontre um campof : E Rn cuja integral primeira seja V . Suponha E R2.

    Resoluo:Basta denir f : E R2 por

    f(x1, x2) =

    (V

    x2, V

    x1

    ).

    Agora basta usar o mesmo argumento do item anterior.(viii) Se f1 : E1 Rn e f2 : E2 Rn so topologicamente equivalentes e f1 tem uma integral primeira, ento o

    mesmo vlido para f2.Resoluo:Suponha que g : E1 E2 seja um homeomorsmo e que para todo x E1 e t I(x), temos

    g (1 (t, x)) = 2 (t, g (x)) .

    Logo se V : E1 R uma integral primeira de f1, ento V g1 : E2 R uma integral primeira de f2. Defato, V g1 constante em abertos. Se fosse constante no aberto U E2, ento V seria constante no abertog1(U). Isto um absurdo.

    Por mV g1 (2 (t, y)) = V g1 g

    (1(t, g1(y)

    ))= V

    (1(t, g1(y)

    )).

    Logo t V g1 (2 (t, y)) uma funo constante em t.(ix) Se V uma integral primeira de f , ento Mc = V

    1(c) invariante por f . Em particular, como Mc nocontm abertos, podemos considerar as rbitas contidas em Mc como um subsistema, com dimenso inferior emuma unidade com respeito ao sistema denido por f .

    Resoluo:Este item mais um observao. O fato deV 1(c) ser invariante por f signica que uma soluo de x = f(x)

    com x(0) = x0 pertence a V1(c) se V (x0) = c, j que V constante sobre rbitas da EDO. Por m, como Mc

    no aberto, podemos pensar em Mc como um subsistema. Ou seja, podemos estudar a rbita de x = f(x) com

    x(0) V 1(c) restrita a Mc.(x) Se f tem uma integral primeira V com V (x0) 6= 0, ento existe uma vizinhana U de x0 tal que f |U

    diferenciavelmente conjugado a um sistema da forma

    f = (f1, f2, ..., fn1, 0).

    (xi) Generalize este ltimo resultado para o caso em que f possui k integrais primeiras funcionalmente indepen-dentes (ver (ii)) em um ponto x0 E. (Sugesto: Compare com o Teorema do uxo tubular e imite a prova, usandoo Teorema da Aplicao Inversa).

    Resoluo:(x) e (xi) A ideia a mesma.Vamos dar apenas as ideias principais.

  • DICAS E RESPOSTAS DA LISTA DE EXERCCIOS 3 EDO II - MAP 0316 10

    Sabemos que pelo teorema das submerses, se V1, ..., Vm so integrais primeiras com gradientes linearmenteindependentes, ento existe um difeomorsmo h entre abertos do Rn tal que

    (V1 h(x1, ..., xn), ..., Vm h(x1, ..., xn)) = (x1, ..., xm) .Localmente (t, x) = h(y). Como

    Vj(h(y)) = yjVj ((t, x)) = Vj ((0, x)) = Vj(x)

    = yj = Vj(x),

    conclumos que y = h1 ((t, x)) = (V1(x), ..., Vm(x), ym+1(t, x), ..., yn(t, x)). Ou seja, t 7 h1 ((t, x)) constantenas m primeiras entradas. Logo h1((t, x)) satisfaz uma equao da forma x = f(x), em que

    f = (0, ..., 0, fm+1, ..., fn).

    e h a conjugao entre os campos f e f .

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