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MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 1 APOSTILA DE MATEMTICA PM/PA 2016 Ol, tudo bem? Sou o Prof. Arthur Lima, e resumi nas prximas pginas os pontos do edital de MATEMTICA da POLCIA MILITAR DO PAR, cujas provas sero aplicadas pela banca FADESP em 31/Julho/2016. Alm deste breve resumo, veja em seguida a resoluo das questes da prova da PM/PA 2007, que foi realizada tambm pela mesma banca (a prova de 2012 foi da UEPA). Nmeros inteiros: operaes e propriedades. Nmeros racionais, representao fracionria e decimal: operaes e propriedades. Mnimo mltiplo comum. Porcentagem. Nmeros naturais: aqueles de contagem natural {0, 1, 2, 3, ...} Nmeros inteiros: naturais e seus opostos {... -2, -1, 0, 1, 2, ...} Nmeros racionais: podem ser escritos na forma AB , onde A e B so inteiros. Trs tipos: - so racionais: fraes, nmeros com casas decimais finitas (ex.: 0,8751), dzimas peridicas (ex.: 0,333... ou simplesmente 0,3 ); - este conjunto inclui todos os inteiros, que por sua vez inclui todos os naturais. Mnimo mltiplo comum (MMC): o MMC entre dois nmeros o menor nmero que mltiplo de ambos os nmeros. Ex.: o MMC entre 10 e 15 o nmero 30. Por outro lado, veja que o nmero 30 divisvel por 10 e tambm por 15. - para obter o MMC, basta fatorar os nmeros, usando todos os divisores necessrios at tornar os dois nmeros iguais a 1. Ex.: Conhea meu curso completo de MATEMTICA (vdeos e aulas escritas) para a PM/PA 2016 aqui: https://www.estrategiaconcursos.com.br/curso/matematica-p-pm-pa-soldado-com-videoaulas/?pr=3215 MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 2 10 15 Fatores 5 15 (mantido, pois no divisvel por 2) 2 5 (mantido, pois no divisvel por 3) 5 3 1 1 5 (chegamos ao valor 1 para ambos os nmeros, portanto temos o MMC) MMC = 2 x 3 x 5 = 30 Porcentagem: quantia de interessePorcentagem = 100%total OU SEJA, quantia de interesse = porcentagem total nmero percentual frao nmero decimal 20% 20/100 0,20 Aumentar um valor em x% igual a multiplic-lo por (1 + x%). Reduzir um valor em x% igual a multiplic-lo por (1 x%). De equivale multiplicao: portanto, 20% de 300 igual a 20% x 300. Razo e proporo. Regra de trs simples. - Grandezas diretamente proporcionais: crescem e decrescem juntas. Resolva montando uma regra de trs e fazendo a multiplicao cruzada; - Grandezas inversamente proporcionais: uma aumenta quando a outra diminui. Antes da multiplicao cruzada, inverta os valores de uma grandeza. - Passos para resolver uma regra de trs composta: 1) identificar, usando setas, as grandezas que so diretamente proporcionais e as que so inversamente proporcionais em relao a grandeza que queremos descobrir (aquela que possui o X). 2) inverter as colunas que forem inversamente proporcionais grandeza que queremos. 3) igualar a razo onde est a grandeza X com o produto das outras razes. MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 3 Equao do 1 grau. Sistema de equaes do 1 grau. Relao entre grandezas: tabelas e grficos. Mdia aritmtica simples. - Produtos notveis mais importantes: 2 2 2( ) 2a b a a b b 2 2 2( ) 2a b a a b b 2 2( ) ( )a b a b a b - Equao de 1 grau: a.x + b = 0 (sua raiz x = -b/a) - Mtodo da substituio em sistema de equaes de 1 grau: com duas equaes e duas variveis, isole uma varivel na primeira equao e substitua na segunda. - mdia aritmtica simples: consiste na soma de todos os valores, dividida pela quantidade total de valores. Soma dos valoresMdia = Quantidade total ou seja, Soma dos valores Mdia Quantidade total - propriedades relativas mdia de um conjunto de dados: - somando-se ou subtraindo-se um valor constante em todos os valores, a mdia desse novo conjunto ser somada ou subtrada do mesmo valor. - multiplicando-se ou dividindo-se todos os dados por um valor constante, a mdia desse novo conjunto ser multiplicada ou dividida pelo mesmo valor. - o valor da mdia calculado utilizando todos os valores da amostra. Portanto, qualquer alterao nesses valores poder alterar a mdia. Assim, costumamos dizer que a mdia afetada pelos valores extremos da distribuio. MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 4 Sistema mtrico: medidas de tempo, comprimento, superfcie e capacidade. Noes de geometria: forma, permetro, rea, volume, teorema de Pitgoras. Veja as principais unidades do sistema mtrico em amarelo nas tabelas abaixo, seus mltiplos e submltiplos, e como efetuar as converses: Unidades de comprimento (distncia) Milmetro (mm) Centmetro (cm) Decmetro (dm) Metro (m) Decmetro (dam) Hectmetro (hm) Quilmetro (km) 1000mm 100cm 10dm 1m 0,1dam 0,01hm 0,001km Multiplicar por 10 Dividir por 10 Unidades de superfcie (rea) Milmetro quadrado (mm2) Centmetro quadrado (cm2) Decmetro quadrado (dm2) Metro quadrado (m2) Decmetro quadrado (dam2) Hectmetro quadrado (hm2) Quilmetro quadrado (km2) 1.000.000mm2 10.000cm2 100dm2 1m2 0,01dam2 0,0001hm2 0,000001km2 Multiplicar por 100 Dividir por 100 Unidades de capacidade (volume) Milmetro cbico (mm3) Centmetro cbico (cm3) Decmetro cbico (dm3) Metro cbico (m3) Decmetro cbico (dam3) Hectmetro cbico (hm3) Quilmetro cbico (km3) 1000000000mm3 1000000cm3 1000dm3 1m3 0,001dam3 0,000001hm3 0,000000001km3 Multiplicar por 1000 Dividir por 1000 ** lembre que 1 litro = 1dm3, e que 1000 litros = 1m3 - Permetro: soma dos comprimentos dos lados de uma figura plana; - reas das principais figuras planas: Figura rea Figura rea Retngulo A = b x h rea = base x altura Quadrado 2A L rea = lado ao quadrado MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 5 Trapzio 2b B hA rea = (base menor + base maior) x altura / 2 Losango 2D dA rea = (diagonal menor x diagonal maior) / 2 Paralelogramo b b h A = b x h rea = base x altura Tringulo*** 2b hA rea = (base x altura) / 2 Crculo 2A r rea = pi x raio ao quadrado *** Teorema de Pitgoras (tringulos retngulos): hipotenusa2 = (cateto1)2 + (cateto2)2 - Volumes das principais figuras espaciais: Figura rea Figura rea Paraleleppedo H L C V = Ab x h Volume = rea da base x altura V = C x L x H Volume = comprimento x largura x altura Cubo A A A 3V A Volume = aresta ao cubo Cilindro R H V = Ab x h Volume = rea da base x altura 2V R H Volume = pi x raio ao quadrado x altura Cone R H G 3Ab HV Volume = rea da base x altura / 3 Conhea meu curso completo de MATEMTICA (vdeos e aulas escritas) para a PM/PA 2016 aqui: https://www.estrategiaconcursos.com.br/curso/matematica-p-pm-pa-soldado-com-videoaulas/?pr=3215 MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 6 Pirmide 3Ab HV Volume = rea da base x altura / 3 Prisma H L V = Ab x h Volume = rea da base x altura Esfera V = 4 R3/3 Volume = 4 x pi x raio ao cubo / 3 E a, vamos resolver juntos as questes da prova da POLCIA MILITAR DO PAR de 2007? Esta foi a ltima prova aplicada pela FADESP, que a mesma banca do concurso de 2016! 1. FADESP Soldado PM/PA 2007) Dos 100 soldados que participavam de um curso de formao de cabos, 40 gostavam de praticar voleibol, 68 gostavam de praticar futebol e 14 no gostavam de praticar esses esportes. A quantidade de soldados que gostavam de praticar tanto voleibol quanto futebol igual a (A) 18. (B) 22. (C) 30. MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 7 (D) 46. RESOLUO: Sendo V e F os conjuntos de soldados que gostavam de voleibol e futebol, respectivamente, podemos dizer que: n(V) = 40 n(F) = 68 Como, das 100 pessoas, 14 no gostavam de nenhum desses esportes, ento 100 14 = 86 gostavam de pelo menos um dos esportes. Ou seja, n(V ou F) = 86 Usando a frmula para dois conjuntos, temos: n(V ou F) = n(V) + n(F) n(V e F) 86 = 40 + 68 n(V e F) n(V e F) = 108 86 n(V e F) = 22 Isto , 22 pessoas gostavam de ambos os esportes. Resposta: B 2. FADESP Soldado PM/PA 2007) Se numa festa a quantidade de moas est para a quantidade de rapazes na razo de 13 para 12, ento a porcentagem de moas presentes (A) 46%. (B) 48%. (C) 50%. (D) 52% RESOLUO: Para cada 13 moas, temos 12 rapazes. Portanto, em um grupo de 13+12 = 25 pessoas na festa, teremos 13 moas e 12 rapazes. Portanto, o percentual de mulheres na festa : Percentual = mulheres / total Percentual = 13 / 25 MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 8 Multiplicando numerador e denominador por 4, ficamos com: Percentual = 52 / 100 Percentual = 52% Resposta: D 3. FADESP Soldado PM/PA 2007) A prova de um concurso continha 60 questes, e os pontos eram calculados pela frmula P = 3C 2E + 120, onde C era a quantidade de questes certas e E a de questes erradas. Um candidato que obteve 225 pontos acertou: (A) 45 questes. (B) 30 questes. (C) 20 questes. (D) 15 questes. RESOLUO: O total de questes igual a 60. Portanto, se acertamos C questes, o nmero de questes erradas de 60 C. Ou seja, E = 60 C. Sabendo que o candidato fez 225 pontos, podemos escrever que: P = 3C 2E + 120 225 = 3C 2(60 C) + 120 225 = 3C 120 + 2C + 120 225 = 5C C = 225 / 5 C = 450 / 10 C = 45 Ou seja, o candidato acertou 45 questes. Resposta: A 4. FADESP Soldado PM/PA 2007) Sabendo-se que uma pessoa consome aproximadamente 800 metros cbicos de gua por ano e que o planeta dispe de, no mximo, 9000 quilmetros cbicos de gua para o consumo por ano, pode-se afirmar que a capacidade mxima de habitantes que o planeta suporta, considerando-se apenas a disponibilidade de gua para consumo, aproximadamente: MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 9 (A) 11.100.000.000. (B) 11.150.000.000. (C) 11.250.000.000. (D) 11.350.000.000. RESOLUO: Cada pessoa consome 800 metros cbicos. O planeta possui 9.000 quilmetros cbicos de gua. Para transformar quilmetros cbicos em metros cbicos, devemos multiplicar por 1.000 trs vezes consecutivas (para ir de km3 para hm3, depois para dam3, e ento para m3). Ou seja, 9.000 km3 = 9.000 x 1.000 x 1.000 x 1.000 m3 9.000 km3 = 9.000.000.000.000 m3 Portanto, se 1 habitante consome 800m3, vejamos quantos habitantes precisamos para consumir 9.000.000.000.000m3: 1 pessoa ---------------- 800 m3 N pessoas ---------------- 9.000.000.000.000 m3 1 x 9.000.000.000.000 = N x 800 90.000.000.000 = N x 8 45.000.000.000 = N x 4 22.500.000.000 = N x 2 N = 11.250.000.000 pessoas Resposta: C 5. FADESP Soldado PM/PA 2007) Para encher um recipiente com capacidade de 15 litros, a quantidade mnima de vezes que terei de utilizar uma garrafa de refrigerante com capacidade para 600 ml (A) 20. (B) 25. (C) 30. (D) 35. RESOLUO: Sendo N o nmero de vezes que vamos usar a garrafa de 600ml (ou melhor, de 0,6 litro), podemos dizer que: MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 10 N x 0,6 litro = 15 litros N = 15 / 0,6 N = 150 / 6 N = 50 / 2 N = 25 vezes Resposta: B 6. FADESP Soldado PM/PA 2007) O trabalho realizado por trs mquinas durante 6 horas por dia, em 2 dias, custa R$ 1.800,00. Se uma mquina apresentar defeito e parar de funcionar, o custo da operao por 4 dias, com um funcionamento de 5 horas por dia, igual a (A) R$ 1.850,00. (B) R$ 1.900,00. (C) R$ 1.950,00. (D) R$ 2.000,00. RESOLUO: Podemos esquematizar as informaes do enunciado assim: Mquinas Horas por dia Dias Custo 3 6 2 1.800 2 5 4 C Veja que o nmero de mquinas caiu de 3 para 2, afinal uma parou de funcionar. Queremos descobrir o custo C na segunda situao. Precisamos agora avaliar quais grandezas so diretamente proporcionais e quais so inversamente proporcionais em relao ao Custo, que o que queremos descobrir. Intuitivamente, observe que quanto MAIOR o nmero de mquinas, MAIOR o custo. Da mesma forma, quanto MAIS horas por dia, MAIOR o custo. E quanto MAIS dias de trabalho, MAIOR o custo. Todas as grandezas so diretamente proporcionais ao custo. Podemos montar nossa proporo, deixando a coluna da nossa varivel (custo) de um lado e as demais colunas do outro lado da igualdade: 1800 3 6 22 5 4C MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 11 1800 3 6 12 5 2C 1800 3 3 11 5 2C 1800 910C 1800 x 10 = 9C 200 x 10 = C 2000 = C O custo de 2.000 reais. Resposta: D Para responder s DUAS prximas questes, leia atentamente o texto abaixo. Considere pi aproximadamente igual a 3. Para realizar o Teste de Aptido Fsica (TAF), as Foras Armadas utilizam uma pista cujas laterais so semelhantes a um retngulo com a largura igual metade do comprimento, tendo, nas extremidades do comprimento, dois semicrculos. 7. FADESP Soldado PM/PA 2007) Se o comprimento da pista igual a 420 m, ento o raio dos semicrculos igual a (A) 30 m. (B) 35 m. (C) 40 m. (D) 45 m. RESOLUO: A pista tem a forma de um retngulo onde a largura a metade do comprimento, ou seja, o comprimento C o dobro da largura L, ou melhor, C = 2L: As laterais so semicrculos: MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 12 Note que o comprimento total da pista igual soma dos dois segmentos de medida 2L, e mais os 2 semicrculos, que juntos formam um crculo. Este crculo tem dimetro com medida L, de modo que o seu raio mede L/2. O comprimento deste crculo : Comprimento do crculo = 2 x pi x raio Comprimento = 2 x 3 x L/2 Comprimento = 3L Assim, sabendo que o comprimento total da pista de 420 metros, podemos escrever que: Comprimento total da pista = crculo + segmentos retos 420 = 3L + 2L + 2L 420 = 7L L = 420 / 7 L = 60 metros O raio de cada semicrculo de L/2 = 60/2 = 30 metros. Resposta: A 8. FADESP Soldado PM/PA 2007) A rea, em metros quadrados, ocupada pela pista igual a (A) 6900. (B) 7900. (C) 8900. (D) 9900. RESOLUO: MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 13 A rea total da pista a soma da rea de um crculo de raio 30 metros com a rea de um retngulo de largura L = 60 metros e comprimento 2L = 120 metros. Ou seja, rea total = rea do crculo + rea do retngulo rea total = pi x raio2 + largura x comprimento rea total = 3 x 302 + 60 x 120 rea total = 3 x 900 + 6 x 1200 rea total = 2700 + 7200 rea total = 9900 m2 Resposta: D 9. FADESP Soldado PM/PA 2007) Nos Jogos da Polcia Militar, a delegao de um batalho obteve 37 medalhas. Sendo o nmero de medalhas de prata 20% superior ao das de ouro, e o nmero de medalhas de bronze 25% superior ao das de prata, o nmero de medalhas de prata obtido por essa delegao foi de (A) 17. (B) 15. (C) 12. (D) 10. RESOLUO: Seja N o nmero de medalhas de ouro. As medalhas de prata so 20% a mais, ou seja, Prata = Ouro x (1+20%) Prata = N x (1 + 0,20) Prata = N x (1,20) Prata = 1,2N As medalhas de bronze so 25% a mais que as de prata: Bronze = Prata x (1 + 25%) Bronze = Prata x (1 + 0,25) Bronze = Prata x (1,25) Bronze = 1,2N x (1,25) Bronze = 1,2x1,25xN Bronze = 1,5N MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 14 O total de medalhas 37, ou seja, 37 = ouro + prata + bronze 37 = N + 1,2N + 1,5N 37 = 3,7N N = 37 / 3,7 N = 10 medalhas de ouro O nmero de medalhas de prata 1,2N = 1,2x10 = 12. Resposta: C 10. FADESP Soldado PM/PA 2007) Ao se aumentar em 2 m um dos lados de uma sala de forma quadrangular, e o outro lado em 3 m, a sala tornou-se retangular, com 56 m2 de rea. Ento, a medida, em metros, do lado do quadrado era igual a (A) 5. (B) 6. (C) 7. (D) 8. RESOLUO: Suponha que o lado do quadrado original media L. Ao aumentar um lado em 2m e o outro em 3m, ficamos com um retngulo com largura L+2 e comprimento L+3. Sabendo que a rea deste retngulo de 56m2, podemos dizer que: rea do retngulo = largura x comprimento 56 = (L+2) x (L+3) Nesta expresso acima podemos testar as opes de resposta. Testando L = 5 (alternativa A), temos o seguinte: (L+2) x (L+3) = (5+2) x (5+3) = 7 x 8 = 56 Portanto, veja que chegamos em 56m2, o que demonstra que o lado do quadrado original era mesmo L = 5 metros. MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 15 Resposta: A 11. FADESP Soldado PM/PA 2007) Dois amigos dividiram uma conta de R$135,00. O mais velho apresentou certa quantia e o mais novo completou com dois teros da quantia apresentada pelo mais velho. O valor que o mais novo apresentou foi igual a (A) R$ 84,00. (B) R$ 74,00. (C) R$ 64,00. (D) R$ 54,00. RESOLUO: Seja V a quantia paga pelo mais velho. O mais novo pagou 2/3 disto, ou seja, 2V/3. O total pago foi de 135 reais, ou seja, V + 2V/3 = 135 3V/3 + 2V/3 = 135 5V/3 = 135 V = 135 x 3/5 V = 27 x 3 V = 81 reais Portanto, o mais novo pagou: 2V/3 = 2x81/3 = 2x27 = 54 reais Resposta: D 12. FADESP Soldado PM/PA 2007) Uma pessoa, aps receber seu salrio, gasta um quinto com transporte e, do que sobra, gasta um tero com alimentao, restando-lhe ainda R$ 480,00. Seu salrio (A) R$ 810,00. (B) R$ 840,00. (C) R$ 870,00. (D) R$ 900,00. RESOLUO: MATEMTICA P/ POLCIA MILITAR DO PAR Professor Arthur Lima Prof. Arthur Lima www.estrategiaconcursos.com.br 16 Seja S o salrio da pessoa. Subtraindo 1/5 deste salrio (transporte), sobram 4/5 do salrio, isto , 4S/5. Deste restante, so gastos 1/3 com alimentao, sobrando 2/3 disto, que corresponde a 480 reais. Ou seja, 2/3 de (4S/5) = 480 2/3 x (4S/5) = 480 4S/5 = 480 x 3/2 4S/5 = 240 x 3 4S/5 = 720 S = 720 x 5/4 S = 180 x 5 S = 900 reais Resposta: D TENHA UMA EXCELENTE PROVA! Saudaes, Prof. Arthur Lima Acompanhe vdeos gratuitos no meu canal do Youtube: https://www.youtube.com/channel/UCd1PWMpgSlaV9uSDiEbNktA Curta meu Facebook e acompanhe vrias outras dicas: www.facebook.com/ProfArthurLima Conhea meu curso completo de MATEMTICA (vdeos e aulas escritas) para a PM/PA 2016 aqui: https://www.estrategiaconcursos.com.br/curso/matematica-p-pm-pa-soldado-com-videoaulas/?pr=3215

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