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Ronaldo Silva JordoAutorRonaldo Silva Jordo Ps Graduado Lato Sensu com Especializao em Georreferenciamento em Imveis Rurais pela Faculdade de Engenharia de Minas Gerais (FEAMIG) em 2005. Ps Graduado Lato Sensu com Especializao em Segurana do Trabalho pelas Facul-dades Integradas do Noroeste de Minas Gerais (FINON) em 2012/3. Graduado em Engenharia Civil pelo Instituto Politcnico da Pontifcia Universidade Catlica de Minas Gerais (IPUC-MG) em 1993. Atua como Engenheiro Civil na Prefeitura Municipal de Paracatu, em Minas Gerais, desde 1996. Atua como Responsvel Tcnico pela Construtora VMX LTDA em Paracatu desde 2012. Exerceu o Cargo de Diretor Tcnico e Responsvel Tcnico da RSJ Construtora e Conservadora LTDA em Paracatu no perodo de 2007 a 2014. Exerceu o Cargo de Responsvel Tcnico de diversas empresas, dentre elas: Salvador Ramos de Oliveira e Cia LTDA, Construtora Andrade e Vasconcelos LTDA, Mendes Consultoria e Projetos LTDA, MR Conservadora Paraca-tu LTDA, SETTA Servios Industriais LTDA, Reinaldo Menh de Assuno ME todas em Paracatu. Exerceu o cargo de Secretrio de Obras na Prefeitura Municipal de Buritis, em Minas Gerais, no perodo de 02/1994 a 08/1995. Desenvolveu atividades docentes como professor de Matemtica e Fsica na Secretaria de Estado de Educao de Minas Gerais, na Escola Estadual Virglio de Melo Franco (Polivalente) e na Escola Estadual Antnio Carlos para o Ensino Mdio em 1995. Desenvolveu ativida-des docentes como professor de Desenho Tcnico no Curso Tcnico em Telecomunicaes no Colgio Integrado Polivalente em Santa Maria - DF em 1999/2000 e no Colgio Cristo Rei, em Cidade Ocidental - GO em 2000/2001.RevisoNT EditoraProjeto GrficoNT EditoraEditorao EletrnicaNT Editora e FiguramundoIlustraoRodrigo Souza da SilvaCapaFiguramundoNT Editora, uma empresa do Grupo NTSCS Q. 2 Bl. D Salas 307 e 308 Ed. Oscar NiemeyerCEP 70316-900 Braslia DFFone: (61) 3421-9200sac@grupont.com.brMatemtica Aplicada. / NT Editora. -- Braslia: 2015. 168p. : il. ; 21,0 X 29,7 cm.ISBN1. Conjuntos; 2. Funes; 3. lgebra; 4. Geometria Plana; 5. Trigo-nometria; 6. Geometria Espacial; 7. Matemtica Financeira.Copyright 2015 por NT Editora.Nenhuma parte desta publicao poder ser reproduzida por qualquer modo ou meio, seja eletrnico, fotogrfico, mecnico ou outros, sem autorizao prvia e escrita da NT Editora.LEGENDACONES Prezado(a) aluno(a),Ao longo dos seus estudos, voc encontrar alguns cones na coluna lateral do mate-rial didtico. A presena desses cones o(a) ajudar a compreender melhor o contedo abordado e tambm como fazer os exerccios propostos. Conhea os cones logo abaixo:Saiba MaisEsse cone apontar para informaes complementares sobre o assunto que voc est estudando. Sero curiosidades, temas afins ou exemplos do cotidi-ano que o ajudaro a fixar o contedo estudado.ImportanteO contedo indicado com esse cone tem bastante importncia para seus es-tudos. Leia com ateno e, tendo dvida, pergunte ao seu tutor. DicasEsse cone apresenta dicas de estudo.Exerccios Toda vez que voc vir o cone de exerccios, responda s questes propostas. Exerccios Ao final das lies, voc dever responder aos exerccios no seu livro. Bons estudos!4 NT EditoraSumrio1. CONJUNTOS NUMRICOS ................................................................................................. 91.1 Histria e importncia dos conjuntos numricos ...............................................................................91.2 Princpios dos conjuntos numricos ...................................................................................................... 111.3 Conjunto dos nmeros naturais .............................................................................................................. 161.4 Conjunto dos nmeros inteiros ............................................................................................................... 211.5 Conjuntos dos nmeros racionais ........................................................................................................... 261.6 Conjuntos dos nmeros irracionais ....................................................................................................... 271.7 Conjunto dos nmeros reais ..................................................................................................................... 282. FUNES ........................................................................................................................... 332.1 Histria e importncia das funes ....................................................................................................... 332.2 Domnio, contradomnio e imagem ....................................................................................................... 332.3 Funo sobrejetora ....................................................................................................................................... 352.4 Funo identidade ........................................................................................................................................ 372.5 Funo injetora .............................................................................................................................................. 372.6 Funo bijetora .............................................................................................................................................. 382.7 Funo constante .......................................................................................................................................... 392.8 Funo composta .......................................................................................................................................... 402.9 Funo inversa ................................................................................................................................................ 412.10 Funo par e mpar .................................................................................................................................... 442.11 Funo exponencial ................................................................................................................................... 452.12 Representao de funes por meio de grficos ............................................................................ 463. LGEBRA ........................................................................................................................... 503.1 Histria e importncia da lgebra .......................................................................................................... 503.2 Divisibilidade .................................................................................................................................................. 503.3 Nmeros decimais ........................................................................................................................................ 533.4 Equaes de 1 grau com uma varivel ................................................................................................ 553.5 Inequao do 1 grau ................................................................................................................................... 573.6 Sistema de equaes do 1 grau com duas variveis ....................................................................... 583.7 Produtos notveis ......................................................................................................................................... 613.8 Fraes algbricas ......................................................................................................................................... 633.9 Potenciao e radicais ................................................................................................................................. 653.10 Equaes do 2 grau .................................................................................................................................. 673.11 Equaes irracionais .................................................................................................................................. 683.12 Sistemas de equaes do 2 grau ......................................................................................................... 693.13 Medidas de comprimento ....................................................................................................................... 713.14 Medidas de superfcie ............................................................................................................................... 725Administrao Mercadolgica4. GEOMETRIA PLANA ......................................................................................................... 764.1 Histria e importncia da geometria plana ........................................................................................ 764.2 Ponto, reta, semirreta, segmento e plano ............................................................................................ 774.3 Crculo e circunferncia ............................................................................................................................... 794.4 ngulo ............................................................................................................................................................... 804.5 Tringulos ......................................................................................................................................................... 884.6 Elementos da circunferncia ..................................................................................................................... 934.7 reas ................................................................................................................................................................. 945. TRIGONOMETRIA ...........................................................................................................1025.1 Histria e importncia da trigonometria ............................................................................................1025.2 Razes trigonomtricas no tringulo retngulo ..............................................................................1035.3 Seno e cosseno de ngulo suplementares ........................................................................................1065.4 Lei dos cossenos ..........................................................................................................................................1065.5 Lei dos senos .................................................................................................................................................1085.6 Circunferncia trigonomtrica ...............................................................................................................1105.7 Seno e cosseno de um arco .....................................................................................................................1115.8 Tangente de um arco .................................................................................................................................1135.9 Equaes trigonomtricas .......................................................................................................................1165.10 Relao trigonomtrica fundamental ...............................................................................................1205.11 Frmulas da adio e subtrao de arcos ........................................................................................1205.12 Frmulas da multiplicao de arcos ..................................................................................................1216. GEOMETRIA ESPACIAL ..................................................................................................1256.1 Histria e importncia da geometria espacial ..................................................................................1256.2 Poliedros .........................................................................................................................................................1266.3 Prismas ............................................................................................................................................................1286.4 Pirmides ........................................................................................................................................................1346.5 Cilindros ..........................................................................................................................................................1376.6 Cones ...............................................................................................................................................................1406.7 Esferas ..............................................................................................................................................................1417. NOES DE MATEMTICA FINANCEIRA ......................................................................1457.1 Importncia da matemtica financeira ...............................................................................................1457.2 Regra de trs .................................................................................................................................................1457.3 Porcentagem .................................................................................................................................................1527.4 Juros Simples e Composto .......................................................................................................................1557.5 Clculo de capital ........................................................................................................................................159GLOSSRIO .........................................................................................................................164BIBLIOGRAFIA ....................................................................................................................166APRESENTAO7Matemtica AplicadaPrezado(a) estudante,De forma sutil e muitas vezes invisvel, ao contrrio do que muitos imaginam, a matemtica no est somente na sala de aula, descrita em formas geomtricas e teorias. A todo momento estamos em constante contato com tal componente curricular e at mesmo aqueles profissionais que, em tese, no estariam em contato com a matemtica (como socilogos e filsofos), fazem parte dessa lista. A matemtica est presente desde o incio do nosso dia, quando calculamos o tempo que levare-mos para chegar ao trabalho, nas formas geomtricas ao nosso redor (edifcios, viadutos, pontes, etc.), na tecnologia (computadores, celulares, mquinas fotogrficas, tablets, etc.). indiscutivelmente de grande relevncia para o estudo das cincias em geral.Este componente curricular est presente em diversas reas do conhecimento, como: engenha-rias, arquitetura, cincias da natureza, cincias da sade, entre outras. Tal disciplina tem como objetivo principal propiciar ao aluno uma viso da importncia da matemtica na rotina diria, no somente em sala de aula para fins avaliativos, como tambm para fins profissionais. Pode-se destacar que essa disciplina ser o ponto de partida principal para as demais, como Fsica e Qumica, tendo em vista que essas cincias requerem a matemtica para o desenvolvimento de teorias, contribuindo, assim, com o aprendizado das demais matrias, por ela ramificadas.Na Lio 1, conheceremos a definio de conjuntos numricos. Apesar de tal contedo per-tencer disciplina de lgebra, iremos estud-la separadamente para melhor entendimento. Os con-juntos sero abordados de modo que se verifiquem os princpios, o surgimento e as diferenas entre eles; tambm sero analisadas as respectivas operaes matemticas de soma, subtrao, multipli-cao, diviso, potenciao e radiciao. Vale ressaltar que essas operaes apenas sero ensinadas, inicialmente, nos primeiros conjuntos pelo motivo de uma regra de um determinado conjunto se aplicar a outros.Na Lio 2, examinaremos as funes. Essa ramificao matemtica provavelmente um dos contedos em que temos mais contato durante nosso dia-a-dia, podendo ser verificadas nos grficos de pesquisas utilizados pelos telejornais; quando h a necessidade de utilizao de clculo de medi-cao onde pode, ser usada a regra de trs simples, entre vrios exemplos. Nessa lio conheceremos os diversos tipos de funes e tambm a definio de Imagem, contradomnio e domnio. O bom en-tendimento dos estudos das funes ser primordial para determinados estudos da lgebra.Na Lio 3, estudaremos lgebra, que est diretamente ligada aos princpios bsicos da matem-tica, como regras de divisibilidade, produtos notveis, equaes, etc. Esse estudo dar a base necessria ao aluno para que resolva desde as frmulas mais simples at as mais complexas; enfim, ser um facilita-dor indispensvel no desenvolvimento de frmulas encontradas na Fsica e disciplinas similares.Na Lio 4, estudaremos a geometria plana, contedo este que nos dar a possibilidade de termos noes de espao fsico por meio de clculos. Como exemplo, podemos citar a aplicao nas construes civis que esto presentes desde a rea de projeto at em campo.SUMRIOReproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.APRESENTAO8 NT EditoraNa Lio 5, teremos contato com a trigonometria, que tratar somente de tringulos, dife-rentemente da geometria plana que trata das demais formas geomtricas. Essa disciplina tem como principal ponto a possibilidade de calcular a distncia entre espaos e alturas de construes, o que manualmente se tornaria invivel devido complexidade. Na Lio 6, veremos geometria espacial, que oferece as mesmas possibilidades que a geome-tria plana, a nica diferena que aquela trata de formas geomtricas em 3D enquanto esta a plana trata apenas em 2D.Na Lio 7, abordaremos o ltimo assunto do livro, que tratar das noes de matemtica financeira, de forma a conhecer os conceitos iniciais, como proporcionalidade, juros e capital. Tal es-tudo dar suporte aprendizagem de questes ligadas s atividades comerciais, como, por exemplo, financiamentos, compras com carto de crdito e outras aplicaes.Este livro tem como objetivo influenciar generosamente os estudos tcnicos em edificaes. Como foi dito, o aproveitamento do contedo abordado neste trabalho resultar em um preparo para futuras disciplinas consideradas mais complexas. Faz-se pertinente destacar que o estudo apresenta-do no possui a pretenso de esgotar todo o contedo sobre Matemtica Aplicada, cabendo ao aluno no se limitar ao estudo apenas deste livro, mas tambm buscar informaes complementares em outros meios de pesquisa. Bons estudos!Eng. Ronaldo Silva JordoSUMRIOReproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.9Matemtica AplicadaObjetivos Ao final desta lio, voc dever ser capaz de: Saber as diferenas e semelhanas entre os conjuntos numricos. Conhecer e aplicar as propriedades das operaes aritmticas. Compreender o significado e utilizar os principais smbolos matemticos.1.1 Histria e importncia dos conjuntos numricos Provavelmente a primeira ideia de quantidade surgiu quando o homem pr-histrico percebeu a diferena entre a presena de um elemento e a presena de dois ou mais elementos; por exemplo, ele percebia a diferena entre um elefante e uma manada, um peixe e um cardume, e assim por diante (veja figura abaixo). Os nmeros surgiram como uma necessidade de atender a realizao de algumas atividades do perodo pr-histrico, como delimitaes de territrios e aplicaes comerciais. Inicialmente, o homem utilizava os dedos das mos e dos ps para realizar as contagens. Mas quando o comrcio sur-giu e ele passou a produzir mais do que o necessrio para sua sobrevivncia, os smbolos numricos surgiram. Desde ento, impossvel imaginar o desenvolvimento de toda uma era sem a existncia de nmeros.Pintura rupestre no Parque Nacional Serra da Capivara, PiauFonte: http://www.fumdham.org.br/pinturas.asp1. CONJUNTOS NUMRICOSPr-histrico: perodo que antecede a inveno da escrita.Manada: Coletivo de elefantes.Cardume: Coletivo de peixes.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO10 NT EditoraVoc deve estar pensando: por que eu tenho que estu-dar conjuntos numricos?Eles surgiram com o objetivo de organizar e tornar a vida cotidiana mais fcil. J pensou ir ao supermercado e encontrar todos os itens misturados? Ou ter xcaras e panelas ar-mazenadas em seu guarda-roupa? Ns no percebemos, mas todos os objetos ao nosso redor esto organizados em conjuntos.Mais aplicaes de conjuntos podem ser vistas nas figuras a seguir e ao longo desta lio.Conjuntos de sapatos, vestidos, blusas, etc.Fonte: http://myama.com/como-organi-zar-guarda-roupa-pequeno-de-casal/Conjuntos de variadas frutasFonte: http://www.eulivreleve.com/2011/05/whole-foods.htmlConjuntos: Coleo de objetos que possuem caractersticas em comum.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO11Matemtica AplicadaSaiba mais! Antes de iniciarmos nossos estudos, importante que voc conhea alguns dos principais sm-bolos matemticos:Smbolo Significado Smbolo Significado Smbolo Significado+ Positivo, soma Maior ou igual a subconjunto de-Negativo, subtrao Diferente Interseco, * ou . Multiplicao | Tal que Unio:, ou / Diviso Existe { } Chaves< Menor que No existe = Igual a> Maior que Pertence a Para qualquer que seja Menor ou igual a No pertence a | | Mdulo de, valor absoluto1.2 Princpios dos conjuntos numricosConjunto um agrupamento de quaisquer elementos (no somente nmeros) que possuem caractersticas semelhantes. Uma pilha de camisetas um exemplo de conjunto, onde as camisetas so os elementos.H vrias maneiras de se representar um conjunto. As mais usuais so a representao por es-pecificao dos elementos e por diagrama de Venn. A representao por especificao dos elementos feita por meio de chaves e vrgula, os ele-mentos so colocados entre chaves e separados por vrgula.Exemplos: Conjunto A = {cala, vestido, camisa}. Conjunto B = {livro, caderno, caneta, borracha}. Conjunto C = {tijolo, argamassa, cimento, piso}.Os conjuntos so geralmente nomeados com uma letra maiscula e a quantidade de elemen-tos pode ou no ser infinita. Para representar uma sequncia infinita, colocamos reticncias aps os elementos (veja o exemplo do Conjunto F). As reticncias tambm podem ser usadas quando no se deseja escrever todos os elementos, como forma de abreviar uma sequncia finita (veja o exemplo do Conjunto G).Venn: John Venn foi um famoso ma-temtico co-nhecido pela criao do diagrama que representava conjuntos e as suas unies e intersees.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO12 NT EditoraExemplos: F = {0, 2, 4, 6, 8, ...}: representa uma sequncia infinita de nmeros pares.G = {a, b, c, d, ..., x, y, z}: representa uma sequncia finita do alfabeto de maneira abreviada.Quando fazemos a juno de elementos de conjuntos diferentes, representamos essa unio pela letra U (unio), como est representado no quadro da pgina anterior.Exemplo:R = {1, 3}.C = {6, 7, 8}.R C = {1, 3, 6, 7, 8}.A representao por diagrama de Venn feita por meio de pontos marcados (elementos) no interior de uma figura plana (conjunto). Veja a figura a seguir.Exemplo:D = {a, b, c, d}.P = {1, 7, 8}.Exemplo de representao por diagrama de VennOs conjuntos podem ficar entrelaados quando possuem um ou mais elementos em comum, estes elementos em comum formam o conjunto interseco representado pelo smbolo .Exemplos:A = {1, 2, 5, 6, 9}.B = {0, 2, 3, 4, 6, 8}.A B = {2, 6}.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO13Matemtica AplicadaFigura 1.5 Exemplo de interseco por diagrama de VennEssa representao tambm conhecida como diagrama de Venn-Euler. Veja a figura no exer-ccio a seguir.Para entender os subconjuntos, veja o exemplo a seguir: N = {0, 1, 5, 6, 7, 8, 9} e O = {0, 6, 8}. O subconjunto de N porque todos os elementos de O esto presentes em N. Para repre-sentar um subconjunto utilizamos o smbolo , ento, podemos escrever O N.Exercitando o conhecimentoUma famosa empresa de construo fez uma pesquisa entre seus estagirios perguntando quais atividades realizadas eles mais se identificavam. De 50 estagirios, 28 responderam Projetos e 39 Atividades em Campo. Quantos alunos responderam somente Projetos?a) 15. b) 11. c) 13. d) 17.Nesse problema temos dois conjuntos: o conjunto dos estagirios que responderam Projetos e o conjunto dos estagirios que responderam Atividades em Campo. Temos tambm uma interseco que representa os estagirios que responderam Projetos e Atividades em Campo que, por enquan-to, ainda no sabemos a quantidade. Observe: Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO14 NT EditoraDiagrama da pesquisa entre os estagirios importante destacar que o conjunto Projetos no equivale aos estagirios que responderam so-mente Projetos, mas equivale aos estagirios que responderam somente Projetos e Projetos e Ati-vidades em Campo. Por isso est escrito como 28 x, onde 28 so os estagirios que responderam Projetos no total e x so os estagirios que responderam Projetos e Atividades em Campo. A mesma observao vale para Atividade em Campo. Ento, para descobrir a quantidade de estagirios que responderam somente Projetos ser neces-srio realizar a seguinte operao:Nmero de alunos que responderam apenas Projetos: 28 xNmero de alunos que responderam apenas Atividade em Campo: 39 x(Projetos) + (Atividades em Campo) + (Projetos e Atividades em Campo) = 50(28 x) + (39 x) + x = 5067 x = 50x = 17Ou seja, 17 estagirios responderam Projetos e Atividades em Campo.Nmero de alunos que responderam apenas Projetos: 28 17 = 11.Enfim, 11 estagirios responderam somente Projetos.Exercitando o conhecimento(UFU-MG) Num grupo de estudantes, 80% estudam Ingls, 40% estudam Francs e 10% no estudam nenhuma das duas lnguas. Nesse grupo, a porcentagem de alunos que es-tudam ambas as lnguas :Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO15Matemtica AplicadaPrimeiro, faremos um diagrama para facilitar a interpretao do problema.Observe que a letra x representa a porcentagem de alunos que estudam ambas as lnguas.Sabemos que o grupo dos estudantes que estudam Ingls constituem os estudantes que estudam somente a lngua inglesa mais os estudantes que estudam Ingls e Francs. O grupo dos estudantes que estudam Francs constituem os estudantes que estudam somente a lngua francesa mais os estudantes que estu-dam Francs e Ingls. E o grupo isolado constituem os estudantes que no estudam essas lnguas.Assim, temos que a porcentagem do grupo de estudantes que estudam somente Ingls a expres-so: 80 x, lembrando que x a porcentagem de quem estuda ambas as lnguas.E a porcentagem do grupo de estudantes que estudam somente Francs a expresso: 40 x.Por ltimo, temos em mente que a soma dessas porcentagens ter que ser de 100%, assim, a soma constituda dos grupos que estudam somente ingls, somente francs, estudam ambas as ln-guas e estudam nenhuma dessas lnguas, conclumos que:(80 x) + (40 x) + x + 10 = 100Agora, s resolver essa expresso:80 x + 40 x + x + 10 = 100130 x = 100- x = 100 130- x = - 30Como x deu negativo, multiplicamos a expresso inteira por -1:x = 30Chegamos no fim do problema. Vimos que a porcentagem de alunos que estudam ambas as ln-guas de 30%.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO16 NT EditoraMatemtico al-KhwrizmFonte: http://www.yesiknowthat.com/muhammad-ibn-musa-al-khwarizmi/1.3 Conjunto dos nmeros naturaisHistoriadores contam que o conjunto dos nmeros naturais foi o primeiro a surgir e veio prova-velmente da tcnica natural de contagem, como, por exemplo, quando contamos os dias do ms ou a quantidade de livros que possumos numa estante. O conjunto dos nmeros naturais (representado pelo smbolo ou N) ordenado e infinito; se somarmos uma unidade a um nmero natural n, o re-sultado um nmero n+1 e esse resultado ser o sucessor de n.Podemos representar o Conjunto como: = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.Saiba mais! O termo algarismo deriva do nome de um famo-so matemtico rabe chamado al-Khwrizm, que foi responsvel por traduzir para o rabe livros de matemtica vindos da ndia. Em uma dessas tradu-es, ele se deparou com o sistema de numerao decimal e ficou to fascinado com esse sistema que escreveu um livro explicando o seu funciona-mento e a sua utilidade. Foi dessa maneira que as pessoas acabaram conhecendo os algarismos.Operaes com nmeros naturais+ AdioO resultado de uma soma com nmeros naturais sempre um nmero natural.Exemplo: 17 + 240 = 257Propriedades da adio Comutativa: a ordem dos termos no altera o resultado. Exemplo: 40 + 7 = 47 ou 7 + 40 = 47 Associativa: podemos associar parcelas de maneiras diferentes que o resultado ser o mesmo. Exemplo: 3+(50+6) = 59; 6+(3+50) = 59 ou 50+(6+3) = 59Nmeros naturais: so todos os nmeros no negativos e inteiros.Parcela: cada um dos nmeros ou expresses submetidas operao de soma.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO17Matemtica Aplicada Elemento neutro: o nmero zero o elemento neutro, pois em qualquer adio com um nmero natural o resultado ser sempre o nmero natural. Exemplo: 32 + 0 = 32 SubtraoO resultado de uma subtrao com nmeros naturais nem sempre ser um nmero natural.Exemplo: 7 5 = 2 e 5 7 = ?Essa operao mostra a necessidade da criao dos nmeros negativos e a ampliao do con-junto dos nmeros naturais.A subtrao no possui as propriedades comutativa, associativa ou elemento neutro. MultiplicaoO produto de dois nmeros naturais ser sempre um nmero natural.Exemplo: 613 3 = 1839Propriedades da multiplicao Comutativa: a ordem dos fatores no altera o produto. Exemplo: 5 2 = 10 ou 2 5 = 10 Associativa: podemos associar fatores de maneiras diferentes que o resultado ser o mesmo. Exemplo: 3 (6 2) = 36; 2 (3 6) = 36 ou 6 (2 3) = 36 Elementoneutro: nesse caso, o elemento neutro ser o nmero 1, pois qualquer nmero natural multiplicado por 1 ser ele mesmo. Exemplo: 76 1 = 76 Distributiva: a famosa regra do chuveirinho. Quando temos um termo que est multipli-cando uma soma ou diferena, basta multiplicar por cada um dos nmeros e depois efetuar o restante da operao, ou realizar a soma ou subtrao primeiro e depois a multiplicao. Exemplos: 5 (4+2) = 5 6 = 30 ou 5 (4+2) = (5 4) + (5 2) = 20 + 10 = 30DivisoDivisoexata: podemos interpret-la de duas maneiras. adivisoemquenohresto.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO18 NT Editora quandoumterceirotermomultiplicadopelosegundotemcomooresultadooprimeirotermo.Exemplo:Divisonoexata:ocorre quando h resto em uma diviso. Nem sempre possvel realizar uma diviso exata em nmeros naturais.Exemplo:A diviso no possui as propriedades comutativa, associativa ou elemento neutro. Ateno!No existe diviso por zero.Potenciao: quando temos o mesmo termo multiplicado vrias vezes.Exemplos:2 2 2 2 = 24 = 163 3 = 3 = 95 5 5 5 5 5 = 56 = 15625Propriedades da Potenciao Produtos de potncia da mesma base: para multiplicar potncias com a mesma base, basta conservar a base e somar os expoentes. Em termos gerais, podemos escrever: am an = am + n .Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO19Matemtica AplicadaExemplos:23 25 = 23+5 = 28 = 25633 34 = 33+4 = 37 = 218741 42 = 41+2 = 43 = 64 Quociente de potncia da mesma base: para dividir potncias com a mesma base, basta conservar a base e subtrair os expoentes. Em termos gerais, podemos escrever: am: an = am-n .Exemplos:25: 23 = 25-3 = 2 = 445: 42 = 45-2 = 4 = 6456: 54 = 56-4 = 52 = 25 Potncia de uma potncia: para elevar uma potncia a outra, basta conservar a base e multiplicar os expoentes. Em termos gerais, podemos escrever: (am)n = am n . Exemplos:(22)3 = 26 = 64(31)3 = 33 = 27(62)4 = 68 = 1679616 Propriedade distributiva da potenciao em relao a multiplicao e diviso: quando temos dois nmeros naturais que esto se multiplicando ou dividindo elevados mesma potncia, podemos realizar a propriedade distributiva. Ateno! S podemos aplicar a proprieda-de distributiva na multiplicao e diviso. NO podemos fazer o mesmo com adio e subtrao. Em termos gerais, podemos escrever: (a b)n = an bn(a : b)n = an : bn .Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO20 NT EditoraExemplos:(2 4)3 = 23 43 = 8 64 = 512(6 : 3) = 6 : 3 = 36 : 9 = 4Importante!Qualquer nmero elevado a 1 igual ao prprio nmero.Exemplos: 51 = 5 81 = 8 131 = 13Qualquer nmero elevado a 0 igual a 1.Exemplos:30 = 1 90 = 1 210 = 1Radiciao: o inverso da potenciao.Exemplos:81 = 9 porque 9 = 81 8 = 2 porque 2 = 8Para refletir!J pensou em como as propriedades das operaes aritmticas so capazes de facilitar nossos clculos? Graas aplicao delas, somos capazes de resolver operaes de uma maneira muito mais. Logo adiante veremos que ela ser muito til em operaes com incgnitas. Pense: sem a ajuda das propriedades, como resolveramos as seguintes operaes?(5 . x) 3 (x + 2) x8 : x4Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO21Matemtica AplicadaExercitando o conhecimentoSofia estava ajudando nos preparativos de uma festa de aniversrio e foi numa loja para comprar pratinhos de plstico. A loja estava fazendo a seguinte promoo:1 dezena de pratinhos = R$ 5,002 dezenas de pratinhos = R$ 8,003 dezenas de pratinhos = R$ 13,004 dezenas de pratinhos = R$ 17,00Sofia decidiu comprar 6 dezenas de pratinhos gastando o mnimo possvel. Quanto ela pagar por eles?Sabemos que 4 dezenas de pratinhos custam R$ 17,00. Como Sofia comprou 6 dezenas, ficaram so-brando 2 dezenas para contabilizar. Temos que o preo de 2 dezenas R$ 8,00, sendo assim, basta somar o preo de 4 dezenas com 2 dezenas de pratinhos de plstico, ou seja: 17 + 8 = 25 reais.Pronto, temos que Sofia pagou R$ 25,00 pelas 6 dezenas de pratinhos.Exercitando o conhecimentoUm sapo come 3 moscas por dia. Quantas moscas 3 sapos comero em 3 dias?a) 9 b) 18 c) 27 d) 21Se um sapo come 3 moscas por dia, podemos dizer que o triplo de sapos comer 9 moscas por dia. Agora, se por dia trs sapos comem 9 moscas em trs dias, trs sapos comero 27 moscas. Ou sim-plesmente, se observarmos com ateno, aplicamos potncia: 33 = 27.1.4 Conjunto dos nmeros inteirosO conjunto dos nmeros inteiros surgiu quando os nmeros naturais j no eram capazes de atender todas as operaes. Esse conjunto constitudo pelos nmeros naturais e seus opostos (ou simtricos). Exemplificando, podemos dizer que o oposto de 3 -3, de 5 -5 e assim por diante. Nmeros inteiros: a juno dos n-meros naturais e os nmeros negativos.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO22 NT EditoraO smbolo desse conjunto , ou simplesmente Z, e podemos represent-lo como: = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}Esse conjunto possui alguns subconjuntos, que so:* = Conjunto dos nmeros inteiros no nulos, ou seja, sem a presena do zero. * = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, ...}- = Conjunto dos nmeros inteiros no positivos, ou seja, conjunto somente dos nmeros inteiros negativos e nulos. - = {..., -3, -2, -1, 0}*- = Conjunto dos nmeros inteiros negativos, ou seja, conjunto dos nmeros inteiros somen-te negativos. *- = {..., -5, -4, -3, -2, -1}Como todos os elementos dos conjuntos naturais esto no conjunto dos nmeros inteiros, po-demos dizer que N subconjunto de Z ou N Z. Veja a figura abaixo.Conjuntos numricos naturais e inteirosO mdulo ou valor absoluto a distncia entre dois pontos em uma reta. Representa um valor que sempre ser positivo, pois no existem distncias negativas.Exemplo: Exemplo de mdulo entre dois pontosA distncia entre o ponto A e ponto B o mdulo de -4 ou |-4| = 4Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO23Matemtica AplicadaImportante! importante lembrar que um nmero positivo qualquer ser sempre maior que o zero ou qual-quer nmero negativo e um nmero negativo ser sempre menor que zero. Quando temos dois nmeros negativos, o maior aquele que est mais prximo do zero.Exemplos:5 > -14 -23 < 0 -76 < -12Saiba mais! Os sinais de adio (+) e subtrao () surgiram em 1489 e, inicialmente, representavam os ex-cessos e dficits de negcios. Somente em 1557 passaram a representar adio e subtrao em operaes. Antes de se utilizar esses smbolos os sinais eram representados por letras. Operaes com nmeros inteirosAdio:a soma entre dois nmeros inteiros ser sempre um nmero inteiro; a adio com dois nmeros inteiros que possuem o mesmo sinal ter como o resultado um nmero tambm com o mes-mo sinal; a soma de dois nmeros com sinais diferentes ter como resultado um nmero com o sinal do maior mdulo; a soma de dois nmeros simtricos zero.Exemplos:5 + 2 = 3(-4) + (-9) = -13-8 + 3 = -56 + (- 6) = 0Subtrao:a diferena entre dois nmeros inteiros ser sempre um nmero inteiro; a subtra-o entre dois nmeros inteiros ser sempre a soma do primeiro com o oposto do segundo.Exemplos:+(6) (-4) = 6 + 4 = 10+(-7) (-3) = -7 + 3 = -4+(-16) - (+11) = -16 - 11 = -27Multiplicaoemiviso:na multiplicao e diviso de nmeros inteiros, aplicamos a famosa regra dos sinais.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO24 NT EditoraSe estivemos multiplicando ou dividindo termos com o mesmo sinal o resultado ser positivo.Se estivermos multiplicando ou dividindo termos com sinais diferentes o resultado ser negativo.Exemplos:(+4) : (+4) = +1(-12) : (+3) = -4(+10) . (-2) = -20(-6) . (-4) = +24Potenciao:se o nmero estiver entre parnteses e o expoente for par, o resultado ser sem-pre positivo, independente do sinal da base, mas, se o expoente impar, o resultado ter o mesmo sinal da base. Isso ocorre devido regra do jogo de sinais.Exemplos:(-2)6 = (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) . (-2) = +64-26 = - (+2) . (+2) . (+2) . (+2) . (+2) . (+2) = -64(+4)2 = (+4) . (+4) = +16(-3)3 = (-3) . (-3) . (-3) = -27(+5)3 = (+5) . (+5) . (+5) = +125Radiciao: assim como nos nmeros naturais, o inverso da potncia, entretanto, devemos ter um cuidado a mais com os nmeros negativos. Veja:49 = 7 porque 7 = 49-9 = -3 porque -3 = -9-4 = (no existe para nmeros reais) porque (-2) -4, posto que qualquer numero real elevado ao quadrado dar um resultado positivo.Para refletir!Arquimedes foi um dos maiores matemticos e inventores de todos os tempos. Ele nasceu em 287 a.C. e foi o responsvel por descobrir a relao geomtrica entre uma esfera e um cilindro alm de ter inventado o sistema de roldanas. Euclides nasceu em 300 a.C e consi-derado o pai da geometria, sendo conhecido pelos matemticos por meio de sua principal obra: Elementos. Agora responda: quem nasceu primeiro? Arquimedes ou Euclides? Para responder a essa pergunta, vamos fazer uma analogia com os nmeros inteiros que acabamos de aprender. Consideraremos um eixo onde os nmeros antes do zero (os n-meros negativos) sero considerados os anos da poca a.C. e os nmeros depois do zero (nmeros positivos) sero considerados os anos d.C. Veja:Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO25Matemtica AplicadaAnalogia entre os nmeros inteiros e as pocas a.C e d.C.O ponto A representa o nascimento de Euclides e o ponto B o nascimento de Arquimedes. Visto dessa maneira ficou clara a resposta, no mesmo? Euclides nasceu primeiro. Isso por-que os anos pertencentes poca a.C. funcionam como os nmeros negativos: quanto maior o ano, mais antigo ele , enquanto que, em d.C., quanto maior o ano, mais recente ele .Exercitando o conhecimento...rico possui uma conta poupana que tem um saldo de R$ 380,00. Em um ms, as seguin-tes transaes ocorreram na conta de rico:R$ 215,00 foram retirados para pagar contas.R$ 150,00 foram depositados por um amigo que lhe devia.R$ 310,00 foram retirados para despesas mdicas.R$ 100,00 foram retirados para comprar um presente de casamento para sua esposa. R$ 30,00 foram depositados por sua filha para ajuda-lo nas despesas.Qual a situao da conta poupana de rico no fim do ms?a) A conta possui um saldo positivo de R$ 65,00.b) A conta possui um saldo negativo de R$ 95,00.c) A conta possui um saldo negativo de R$ 65,00.d) A conta possui um saldo positivo de R$ 95,00.Para resolver esse problema, basta ter em mente que os valores equivalentes a depsito so valores positivos (j que esto sendo acrescentados na conta) e os valores equivalentes a retiradas so va-lores negativos (j que esto sendo retirados da conta). Sendo assim:Como R$ 215,00 foram retirados da conta inicialmente, temos: 380 215 = 165, ou seja, nesse ins-tante a conta possua saldo positivo de R$ 165,00.Depois, foram depositados R$ 150,00 na conta, temos: 165 + 150 = 315, ou seja, nesse instante a conta possua saldo positivo de R$ 315,00.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO26 NT EditoraEnto, foram retirados R$ 310,00, temos: 315 310 = 5, ou seja, nesse instante a conta possua saldo positivo de R$ 5,00.Aps isso, foram retirados mais 100,00 da conta, temos: 5 100 = -95, ou seja, nesse instante a con-ta possua saldo negativo de R$ 95,00.Por ltimo, foram depositados R$ 30,00, temos: -95 + 30 = -65, ou seja, no fim do ms a conta pou-pana de rico possua saldo negativo de R$ 65,00.Exercitando o conhecimentoDurante uma experincia, a temperatura foi medida e estava marcando 5C negativos. O professor pediu para baixar 17C essa temperatura. Qual ser a nova temperatura registrada?Basta diminuir a temperatura de 5 C negativos por 17. Veja: -5 C - 17C = -22CA nova temperatura de 22 C negativos.1.5 Conjunto dos nmeros racionaisO conjunto dos nmeros racionais aquele em que os elementos representam os valores dos nmeros inteiros e os valores entre esses nmeros, ou seja, o conjunto em que o nmero racional pode ser escrito em forma de uma razo a/b (da o nome racional). Veja:Exemplo de conjuntos numricos racionaisObserve que alm dos nmeros aprendidos no conjunto anterior, temos 0,5 ou 1/2, 1,5 ou 3/2 que so, respectivamente, os nmeros entre 0 e 1 e 1 e 2.O smbolo desse conjunto , ou Q, e podemos represent-lo da seguinte forma: = {a/b | a e b *}(Traduzindo: o conjunto dos nmeros racionais igual a a/b tal que a pertence ao conjunto dos nmeros inteiros e b pertence ao conjunto dos nmeros inteiros no nulos).Nmeros racionais: a juno dos nmeros inteiros com os nmeros com vrgula.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO27Matemtica AplicadaComo todos os elementos do Conjunto Z esto presentes no Conjunto Q, dizemos que Z sub-conjunto de Q ou Z Q, veja o diagrama:Conjuntos dos numricos naturais, inteiros e racionaisNa terceira lio iremos aprender operaes com essas fraes.1.6 Conjunto dos nmeros irracionais Os nmeros racionais no conseguem preencher todos os espaos entre um intervalo de nmeros inteiros e nesses buracos que surgem os nmeros irracionais. Os nmeros irracionais no podem ser escritos em forma de frao pois eles possuem infinitas casas decimais e no so pe-ridicos. Ou seja, so os nmeros que possuem infinitas casas decimais as quais em nenhuma delas pode ser obtido um perodo de repetio.Seu smbolo representado pela pela letra [duplo I] (), ou I. As razes quadrada, as razes qua-dradas de nmeros que no so quadrados perfeitos so chamadas de nmeros irracionais.Nmeros irracionais: so nmeros reais que no podem ser obtidospela diviso de dois nmeros in-teiros, ou seja, so nmeros reais mas no racionais.Casas deci-mais: so os algarismos que se loca-lizam aps a vrgula.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO28 NT EditoraExemplos:2 = 1,414213562373095... 3 = 1,7320508075... = 3,141592653589...Saiba mais! O conjunto dos nmeros irracionais surgiu devido a um antigo problema matemtico encon-trado no clculo da diagonal de um quadrado. Desde Pitgoras essa questo era discutida e a soluo dela fez com que surgisse esse conjunto um tanto peculiar.1.7 Conjunto dos nmeros reaisO conjunto dos nmeros reais consiste na juno dos conjuntos dos nmeros racionais e irra-cionais, seu smbolo o , ou R, e representado das seguintes formas: = { U }Conjuntos dos numricos naturais, inteiros, racionais, irracionais e reaisAgora podemos perceber que e so subconjuntos de ou e . As mesmas regras de operaes aprendidas nos conjuntos anteriores so vlidas nesse, tendo em vista que se trata dos mesmos nmeros.Intervalos reaisOs intervalos reais so subconjuntos de . Conhea alguns deles:Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO29Matemtica AplicadaNome Smbolo Subconj. de Representao grfica da parte realIntervalo fechado de extremos a e b[ a ; b ] {x R / a x b}Intervalo aberto de extremos a e b( a ; b ) {x R / a < x < b}Intervalo fechado esquerda e aberto direita de extremos a e b[ a ; b ) {x R / a x < b}Intervalo fechado direita e aberto esquerda de extremos a e b( a ; b ] {x R / a < x b}Intervalo com um extremo no mais infinito ( + )[ a ; + )( a ; + ){x R / x a}{x R / x > a}Intervalo com um extremo no menos infinito ( - )( - ; a ]( - ; a ){x R / x a}{x R / x < a}Intervalo com os extremos no infinito( - ; - ) RFonte: http://dc399.4shared.com/doc/Xb6nzh50/preview.htmlVale ressaltar que a bolinha cheia representa um extremo pertencente ao intervalo e a bolinha vazia representa um extremo que no pertence ao intervalo. Tambm podemos interpretar como: a bolinha cheia aparece quando se tem ou , e a bolinha vazia aparece quando se tem < ou >.Exercitando o conhecimento(Colgio Pedro II) A diferena A B, sendo A = {x ; -4 x 3} e B = {x ; 2 x < 5} igual a:a) {x ; -4 x < -2}b) {x ; -4 x -2}c) {x ; 3 < x < 5} d) {x ; 3 x 5}e) {x ; -2 x < 5}Representando os intervalos na reta:Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO30 NT EditoraParabns, voc finalizou esta lio!Agora responda s questes ao lado.Veja que a reta A representa que o x possui um valor entre -4 e 3 num intervalo fechado. J a reta B representa que o x possui um valor entre -2 e 5 num intervalo aberto direita. Para saber o resultado de A B, basta observar sua diferena (que este retngulo vermelho) e descrev-la matematicamente.Por meio da representao vemos claramente que a diferena entre A e B { x ; -4 x -2}.Resumo da lioNesta lio conhecemos a histria e importncia dos conjuntos numricos, suas peculiaridades e as seis operaes aritmticas bsicas. Percebemos que os conjuntos nada mais so que subconjun-tos uns dos outros, e que o o conjunto dos nmeros reais engloba todos eles. Aprendemos as pro-priedades da adio, da subtrao e da multiplicao que so muito usadas em clculos complexos e conhecemos as diferenas e semelhanas de cada conjunto e suas aplicaes no nosso dia-a-dia.Veja se voc se sente apto a: Identificar as diferenas e semelhanas entre os conjuntos numricos. Aplicar as propriedades das operaes aritmticas. Reconhecer o significado e utilizar os principais smbolos matemticos.ExercciosQuesto 01 Numa pesquisa feita entre estudantes de arquitetura, constatou-se que 20 gostavam da disciplina de Computao Grfica, 15 gostavam da disciplina de Sistemas Es-truturais e 5 gostavam de Computao Grfica e Sistemas Estruturais. Quantos estudantes participaram da pesquisa?a) 30. b) 40. c) 35. d) 25.Questo 02 Certa escola oferece um programa com atividades extracurriculares para seus alunos aps o perodo de aula. Essas atividades se constituem em Jud e Oficina de Mecnica. Sabendo que cada aluno pode escolher mais de uma atividade para realizar, temos que 25 alunos fazem Jud, 15 fazem Oficina de Mecnica e 6 realizam as duas ativi-dades. Quantos alunos no total participam do programa?a) 46 alunos. b) 40 alunos. c) 34 alunos. d) 36 alunos.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO31Matemtica AplicadaQuesto 03 Observe o diagrama a seguir:Quantos elementos tm o conjunto A, B e C respectivamente:a) 21, 16 e 18.b) 10, 7 e 8.c) 18, 11 e 16.d) 8, 7 e10.Questo 04 Roberto pagou o total de R$ 590,00 em dois objetos comprados em uma loja de construo. Qual o preo de um dos objetos sabendo que um deles custou R$ 80,00 a mais que o outro?a) R$ 365,00. b) R$ 335,00. c) R$ 280,00. d) R$ 255,00.Questo 05 O conjunto dos nmeros inteiros subconjunto de qual conjunto numrico?a) Natural. b) Irracional. c) Real. d) Racional.Questo 06 Julgue os itens e marque a alternativa correta:( ) -75 > -74( ) S = {0,3,4,5}; R = {0, 5} ento S R( ) -52 = 25( ) 43 . 41 = 256a) F, V, F, V. b) F, F, V, V. c) F, F, F, V. d) V, V, V, V.Questo 07 Num grupo com 10 amigos, 6 usam camisa branca e 7 calas jeans. Quantos usam camisa branca e cala jeans?a) 2. b) 3. c) 1. d) 4.Questo 08 O que significa o smbolo -?a) Conjunto dos nmeros inteiros no nulos.b) Conjunto dos nmeros inteiros negativos.c) Conjunto dos nmeros inteiros no positivos.d) Conjunto dos nmeros inteiros.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO32 NT EditoraQuesto 09 Dado os nmeros -3, 4, 2/5 , 0, -5, 7, 10/9 e 1, quais pertencem, respectiva-mente, aos conjuntos dos nmeros naturais, inteiros e racionais?a) N= {0, 1, 4, 7}, Z = {-5, -3, 0, 1, 4, 7} e Q = {-5, -3, 0, 2/5 , 1, 10/9 , 4, 7}. b) N = {-5, -3, 0, 1, 4, 7}, Z = {0, 1, 4, 7} e Q = {-5, -3, 0, 2/5 , 1, 10/9 , 4, 7}.c) N = {1, 4, 7}, Z = {-5, -3, 0, 1, 4, 7} e Q = {-5, -3, 2/5 , 1, 10/9 , 4, 7}.d) N = {0, 1, 4, 7}, Z = {-5, -3, 0, 1, 4, 7} e Q = {0, 2/5 , 1, 10/9 , 4, 7}.Questo 10 A embaixada japonesa fez uma pesquisa para saber quais os hobbies prefe-ridos de alguns brasileiros que se identificam com a cultura japonesa. As opes de hobby eram: assistir a desenhos japoneses (animes), cozinhar comidas tpicas japonesas e co-lecionar bonecos de personagens famosos. Cada entrevistado poderia escolher uma ou mais opes de hobby. Eles fizeram as seguintes escolhas: 150responderamqueseuhobbypreferidoeraassistiraanimes; 15responderamquegostavamsomentedecozinharcomidastpicasjaponesas; 50falaramquegostavamdecolecionarbonecos; 120responderamquegostavamdeassistiraanimesecolecionarbonecos; 54preferiamcozinharcomidastpicasecolecionarbonecos; 81gostavamdeassistiraanimesecozinharcomidastpicas; 40responderamquegostavamdefazerostrshobbies.Responda, respectivamente, quantos entrevistados escolheram cozinhar comidas tpi-cas japonesas; somente assistir a animes; somente cozinhar comidas tpicas e colecionar bonecos; e o total de entrevistados:a) 15; 11; 54; 280.b) 15; 11; 14; 285.c) 110; 150; 54; 335.d) 110; 11; 14; 285.Reproduo proibida. Copyright NT Editora. Todos os direitos reservados.SUMRIO

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