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    Concreto Protendido

    Fundamentos Iniciais

    Hideki Ishitani Ricardo Leopoldo e Silva Frana

    Escola Politcnica USP Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundaes

    2002

  • Escola Politcnica Universidade de So Paulo PEF Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotcnica

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    Conceitos Bsicos CONCRETO PROTENDIDO

    1. Introduo

    O concreto resiste bem compresso, mas no to bem trao. Normalmente a resistncia trao do concreto da ordem de 10% da resistncia compresso do concreto. Devido a baixa capacidade de resistir trao, fissuras de flexo aparecem para nveis de carregamentos baixos. Como forma de maximizar a utilizao da resistncia compresso e minimizar ou at eliminar as fissuras geradas pelo carregamento, surgiu a idia de se aplicar um conjunto de esforos auto-equilibrados na estrutura, surgindo a o termo protenso.

    Figura 1. Fila de livros.

    Na figura 1 temos um exemplo clssico de como funciona a protenso. Quando se quer colocar vrios livros na estante, aplicamos foras horizontais comprimindo-os uns contra os outros a fim de mobilizar as foras de atrito existente entre eles e foras verticais nas extremidades da fila, e assim, conseguirmos coloc-los na posio desejada.

    Tecnicamente o concreto protendido um tipo de concreto armado no qual a armadura ativa sofre um pr-alongamento, gerando um sistema auto-equilibrado de esforos (trao no ao e compresso no concreto). Essa a diferena essencial entre concreto protendido e armado. Deste modo o elemento protendido apresenta melhor desempenho perante s cargas externas de servio.

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    (a) Concreto Simples

    (b) Concreto Armado

    (c) Concreto Protendido

    Figura 2. Diferena de comportamento de um tirante

    Na figura 2 observamos o comportamento do grfico Carga-Deformao de um tirante tracionado sem armadura (Concreto Simples), com armadura sem protenso (Concreto Armado) e com armadura protendida (Concreto Protendido). A pr-compresso,

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    decorrente do pr-alongamento da armadura ativa do tirante, aumenta substancialmente a capacidade de resistir ao carregamento externo necessrio antes de iniciar a fissurao.

    Figura 3. Carga deslocamento em peas fletidas de concreto armado e concreto protendido.

    Na figura 3, mostra-se a diferena da curva carga-flecha em uma viga de concreto armado (CA) e em uma viga com armadura de protenso (CP). Ambas tm a mesma capacidade ltima (Mu), mas a pea protendida tem um momento de fissurao (Mr) muito maior que a viga de concreto armado. Devido a contraflecha inicial da viga protendida, suas deformaes iniciais so menores do que a viga de concreto armado, para um mesmo nvel de carregamento.

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    1.1. Noes Preliminares

    Considere-se a viga esquematizada na figura 4:

    Figura 4. Viga com carregamento permanente (g) e varivel (q).

    a) Considere-se a atuao isolada da carga acidental q = 22,2 kN/ m.

    A esta carga corresponde o momento fletor mximo no meio do vo:

    = = =

    2

    q,max

    2ql 22,2 6M 100 kN.m

    8 8

    Nesta seo, em regime elstico linear, as tenses extremas valem:

    = = = = = =

    3q,max q,max q,max q,max

    sup 3 2 2sup

    q,supM M M Mh 100 10

    y . 12 MPabh bh 0,2 0,5I 2 W12 6 6

    e

    3q,max q,max q,max q,max

    inf 3 2 2inf

    q,infM M M Mh 100 10

    y . 12 MPabh bh 0,2 0,5I 2 W12 6 6

    = = = = = =

    conforme mostra a fig. 5. Os sinais atribudos aos mdulos de resistncia Wsup e Winf permitem compatibilizar as convenes clssicas adotadas para momento fletor e tenses normais. A tenso mxima de trao vale 12 MPa junto borda inferior e a de compresso, -12 MPa junto borda superior.

    Figura 5 Diagrama de Tenses Normais Viga de Concreto Armado

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    Para o material concreto, tenses desta ordem de grandeza provocam, seguramente, a ruptura da seo transversal por trao. No concreto armado, a resistncia da seo obtida pela utilizao de uma armadura aderente posicionada junto borda tracionada. No concreto protendido, lana-se mo da protenso para alterar o diagrama de tenses normais tornando-o mais apropriado resistncia do concreto.

    A idia bsica da protenso est ligada reduo (e eventualmente, eliminao) das tenses normais de trao na seo. Entende-se por pea de concreto protendido aquela que submetida a um sistema de foras especial e permanentemente aplicadas chamadas foras de protenso tais que, em condies de utilizao, quando agirem simultaneamente com as demais aes, impeam ou limitem a fissurao do concreto. Normalmente, as foras de protenso so obtidas utilizando-se armaduras adequadas chamadas armaduras de protenso.

    b) Considere-se a aplicao da fora de protenso P = 1200 kN centrada na seo

    mais o efeito da carga acidental do item a).

    Para isso, imagine-se que a viga seja de concreto com uma bainha metlica flexvel e vazia posicionada ao longo de seu eixo. Aps o endurecimento do concreto introduz-se uma armadura nesta bainha, fig. 6A. Atravs de macacos hidrulicos apoiados nas faces da viga, aplique-se armadura a fora de protenso P = 1200 kN. Naturalmente, a seo de concreto estar comprimida com a fora P = -1200 kN. Esta pr-compresso aplicada ao concreto corresponde ao que se denomina de protenso da viga. A tenso de compresso uniforme, decorrente desta protenso, vale:

    3

    cpsup cpinfc

    P P 1200 1012 MPa

    A bh 0,2 0,5

    = = = = =

    onde desprezou-se a reduo da rea Ac devido ao furo (vazio correspondente bainha). Acrescentando-se o efeito do carregamento do item a), o diagrama de tenses normais na seo do meio do vo ser inteiramente de compresso, com exceo da borda inferior onde a tenso normal nula.

    ( ) = + = + = sup cpsup qsup 12 12 24 MPa

    ( ) = + = + =inf cpinf qinf 12 12 0

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    Figura 6 Diagrama de Tenses Normais Viga de Concreto Protendido

    A tenso mxima de compresso vale -24 MPa junto borda superior da seo e a tenso mnima ser nula na borda inferior. Desta forma a tenso normal de trao foi eliminada. Observa-se que a tenso mxima de compresso corresponde ao dobro da tenso devida carga acidental q.

    O diagrama de tenses normais ao longo do vo da viga varia entre os valores esquematizados nas figuras 6B e 6D, pois o momento fletor aumenta de zero nos apoios ao valor mximo no meio do vo.

    c) Considere-se a protenso P = 600 kN aplicada com excentricidade ep = 8,33 cm,

    mais o efeito da carga acidental do item a)

    De maneira anloga ao que foi visto no item b), se a posio da bainha for deslocada paralelamente ao eixo da viga de 8,33 cm, conforme mostra a fig. 7A, e reduzir-se a fora de protenso P para 600 kN, as sees da viga ficam submetidas fora normal Np = -600 kN e ao momento P.ep:

    p pM Pe 600 0,0833 50 kN.m= = =

    As tenses normais extremas devidas protenso passam a valer:

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    p pcpsup 2

    c sup c sup

    P.e eP 1 1 0,0833 6P 600 0

    A W A W 0,2 0,5 0,2 0,5

    = + = + = =

    e

    p pcpinf 2

    c inf c inf

    P.e eP 1 1 0,0833 6P 600 12 MPa

    A W A W 0,2 0,5 0,2 0,5

    = + = + = + =

    resultando um diagrama triangular de tenses normais de compresso.

    Figura 7 Diagrama de Tenses Normais Viga de Concreto Protendido (Protenso Excntrica)

    Se for acrescentado o carregamento do item a), o diagrama resultante de tenses normais, na seo do meio do vo, ser triangular e inteiramente de compresso.

    ( ) sup sup sup= + = + = cp q MPa0 12 12

    ( ) inf inf inf= + = + =cp q 12 12 0

    A tenso mxima de compresso vale -12 MPa junto borda superior da seo e a tenso mnima ser nula na borda inferior. A mxima tenso de compresso final coincide com a mxima tenso de compresso devido apenas protenso, havendo apenas troca das bordas. A tenso mxima final de compresso foi reduzida metade do caso b), mostrando a indiscutvel vantagem desta soluo sobre a anterior. O diagrama de tenses normais ao longo do vo da viga varia entre os valores esquematizados nas figuras 7B e 7D, pois o momento fletor aumenta de zero junto aos apoios ao valor mximo no meio do vo.

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    d) Acrescente-se ao caso do item c) o efeito da carga permanente total g = 14,22

    kN/ m.

    O momento fletor mximo no meio do vo vale:

    2 2

    g

    gl 14,22 6M 64 kN.m

    8 8

    = = =

    e as tenses normais extremas:

    ggsup

    sup

    M7,68 MPa

    W = =

    gginf

    inf

    M7,68 MPa

    W = =

    Superpondo-se o efeito deste carregamento situao do item c), o diagrama de tenses normais na seo mais solicitada passa a ser o indicado na fig. 8, pois

    ( ) ( )sup cpsup qsup gsup 0 12 7,68 19,68MPa = + + = + + =

    ( ) ( )inf cpinf qinf ginf 12 12 7,68 7,68MPa = + + = + + =

    Figura 8 Diagrama de Tenses Normais (G + Q) Viga de Concreto Protendido (Protenso Excntrica)

    Nota-se o aparecimento de uma tenso de trao de 7,68 MPa junto borda 2, e a tenso mxima de compresso aumenta, atingindo - 19,68 MPa na borda 1.

    importante observar que a tenso de trao resultante pode ser eliminada simplesmente aumentando a excentricidade da armadura de protenso para ep = 0,19 m. O aumento de excentricidade vale exatamente eg = -Mg / Np = -64 / (-600) = 0,107 m. De fato, as novas tenses normais devidas protenso valem:

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    p pcpsup 2

    c sup c sup

    P.e eP 1 1 0,19 6P 600 7,68 MPa

    A W A W 0,2 0,5 0,2 0,5

    = + = + = =

    e

    p pcpinf 2

    c inf c inf

    P.e eP 1 1 0,19 6P 600 19,68 MPa

    A W A W 0,2 0,5 0,2 0,5

    = + = + = + =

    e, portanto,

    ( ) ( )sup cpsup qsup gsup 7,68 12 7,68 12 MPa = + + = + + =

    ( ) ( )inf cpinf qinf ginf 19,68 12 7,68 0 = + + = + + =

    Assim, o efeito do peso prprio foi compensado simplesmente pelo aumento da excentricidade da fora de protenso (aumento da distncia da armadura de protenso em relao ao CG da seo) sem gasto adicional de material. Naturalmente, esta compensao apresenta um limite pois necessrio manter um cobrimento mnimo de proteo desta armadura.

    Da anlise do diagrama de tenses normais ao longo da viga, pode-se observar que nas proximidades dos apoios aparecem tenses de trao. Particularmente, na seo do apoio esta tenso atinge 7,68 MPa. Para anular esta tenso, a excentricidade da fora de protenso deve reassumir o valor ep = 8,33 cm. Na prtica, isto pode ser obtido, de maneira aproximada, alterando-se o perfil reto da armadura ao longo da viga por um perfil curvo (em geral parablico). Conforme mostra a fig. 9, o trecho parablico pode ter o seu incio no meio do vo e passar pelo ponto A junto ao apoio.

    Figura 9 Perfil da armadura de protenso

    O perfil parablico procura acompanhar a variao da excentricidade eg = -Mg/Np ao longo da viga.

    Em estruturas isostticas, o fato da armadura de protenso ser curva no altera o ponto de aplicao da fora correspondente protenso. Este continua sendo o ponto de passagem da armadura na seo transversal. De fato, com base na fig. 10, o equilbrio separado da armadura (suposta flexvel) exige a presena da fora P junto seo analisada e, tambm, da presso radial

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    pP

    rr=

    onde r o raio de curvatura local. As cargas atuantes na armadura isolada agem, como carregamento de sentido contrrio, sobre a viga de concreto. As reaes de apoio so nulas, pois a estrutura isosttica (a estrutura deforma-se livremente sob ao da protenso). Desta forma, o esforo resultante na seo transversal exatamente -P, aplicado no ponto de passagem da armadura na seo transversal e com a inclinao do cabo neste ponto.

    Em estruturas hiperestticas, a protenso pode gerar reaes de apoio (reaes hiperestticas de protenso) que geram esforos (hiperestticos) adicionais de protenso nas sees.

    Figura 10 Diagrama de Equilbrio de uma Viga de Concreto Protendido Isosttica

    Convm observar que, mesmo sendo admitida a constncia da fora de trao (P) na armadura de protenso, a fora normal equivalente varivel no trecho curvo desta armadura, pois:

    pN Pcos=

    como, em geral, o ngulo pequeno pode-se admitir Np - P, pelo menos para efeito de pr-dimensionamento das sees. Vale observar, tambm, o aparecimento da fora cortante equivalente:

    pV Psen=

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    Na realidade, como ser visto mais adiante, a fora normal de trao na armadura de protenso tambm varia um pouco ao longo do cabo por causa das inevitveis perdas de protenso.

    Normalmente, a fora de protenso obtida pela utilizao de um grupo de cabos que, por sua vez, so constitudos de vrias cordoalhas. Cada cabo tem um desenvolvimento longitudinal prprio. Contudo, as anlises podem ser efetuadas com o cabo equivalente (ou cabo resultante). Este cabo virtual tem a fora de protenso P e o seu ponto de passagem dado pelo centro de gravidade das foras de protenso de cada cabo na seo.

    Figura 11 Cabo de Protenso Equivalente

    De qualquer forma, a utilizao adequada de cabos curvos permite eliminar as tenses normais de trao nas sees transversais ao longo do vo.

    e) Considere-se a viga constituda de concreto armado

    Admita-se que a viga faa parte do sistema estrutural para uma biblioteca com carregamento constitudo de g = 14,22 kN/m e q = 22,22 kN/m. O dimensionamento como concreto armado, segundo a NBR6118:2003, admitindo-se fck= 35 MPa e ao CA50, conduz aos seguintes resultados:

    Estado Limite ltimo (momento fletor):

    34xlim= 34= =0,438d

    Mg+q = 164,4 kN.m = 0,42 < lim

    As = 12 cm2 (616)

    Estado Limite de Utilizao, para a Combinao Freqente com 1=0,7:

    MCF = Mg + 0,7Mq = 134,0 kN.m

    b =1,5 w = 0,12 < 0,3 ( OK, admitindo-se fissura admissvel de 0,3 mm)

    a = 1,56 cm l/270 (flecha no estdio II, de valor aceitvel)

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    f) Considere-se, agora, a protenso obtida com armadura CA60 (apenas para efeito

    de anlise comparativa, pois no se utiliza protenso com ao CA60)

    Para se obter a fora de protenso de 600 kN, se for admitida uma tenso til no ao de 50 kN/cm2 (500 MPa), seriam necessrios Ap = 12 cm

    2 de armadura de protenso. Desta forma, aparentemente, ter-se-ia atendido s condies vistas nas anlises dos itens c) e d). Veja-se contudo, o que acontece com o valor da fora de protenso ao longo do tempo. Admitindo-se a atuao do carregamento utilizado no item e), resulta o diagrama de tenses normais indicado na fig. 12.

    Figura 12 Diagrama de Tenses Normais

    Devido protenso e carga permanente, a tenso normal no concreto junto armadura vale

    c,g+p=-10,56 MPa

    que corresponde a uma deformao imediata da ordem de

    ic,g+p

    -10,56=-0,00053

    20000

    onde se admitiu Ec = 20 GPa.

    Sabe-se que, a retrao do concreto em ambiente normal equivalente a cerca de - 15C de queda de temperatura, isto :

    -5cs=-10 15=-0,00015

    onde se admitiu o coeficiente de dilatao trmica t = 10-5 C-1.

    Por outro lado, a deformao imediata provocada pela carga permanente pode chegar a triplicar devido ao fenmeno da fluncia. Assim, pode ocorrer ao longo do tempo uma deformao total de encurtamento da ordem de

    co cs ic,g+p+3 =-0,00015-3 0,00053=-0,00174

    Normalmente, aps as operaes de protenso, as bainhas so injetadas com nata de cimento garantindo-se a aderncia entre a armadura e o concreto. Desta forma, a armadura de protenso passa a ter a mesma deformao adicional que o concreto adjacente. Para a deformao de encurtamento estimado anteriormente, tem-se uma queda de tenso na armadura de

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    5 -3cop Ep =-2,1 l0 1,74 10 =-365,4 MPa

    Onde adotou-se para o mdulo de elasticidade da armadura o valor Ep = 2,1 105 MPa.

    Essa reduo na tenso normal de trao na armadura provoca a queda da fora efetiva de protenso para

    Pef = 600 - 36,54 12 = 161,52 kN.

    invivel, na prtica, considerar esta reduo da protenso no dimensionamento.

    Como concluso, pode-se afirmar que armaduras usuais de concreto armado com resistncias de escoamento limitadas a cerca de 600 MPa ficam automaticamente excludas para uso como armadura de protenso por causa das perdas inevitveis que, praticamente, anulam o efeito de protenso.

    g) Considere-se, agora, a viga de concreto armado utilizando armadura de

    protenso (ao de alta resistncia).

    Admita-se a situao do item d) com armadura de alta resistncia com fyk = 1500 MPa. A soluo em armadura simples obtida no domnio 4 com As = 6,32 cm

    2, nos estados

    limites de utilizao tem-se fissuras de cerca de 3,6 dcimos de mm (16) e flecha da ordem de 3,5 cm ( l/170), ambas, seguramente, alm dos limites aceitveis. Neste caso particular, o dimensionamento conduziu a uma pea com pouca dutilidade (Domnio 4), onde no se consegue deformar a armadura de modo a permitir a explorao de sua elevada resistncia. A concluso de que as armaduras de alta resistncia no so apropriadas para o uso em concreto armado, ou seja, sem a pr-tenso.

    h) Finalmente, considere-se a viga protendida com armadura de alta resistncia

    A protenso atravs de armaduras de alta resistncia permite a utilizao de tenses de protenso da ordem de 1300 MPa. Neste nvel de solicitao da armadura, as perdas de protenso mencionadas so perfeitamente assimiladas resultando em tenses efetivas de cerca de 1000 MPa. Garante-se, assim, o efeito da protenso na pea, a fissurao praticamente inexistente e a flecha substancialmente reduzida pois a rigidez flexo corresponde ao momento de inrcia da seo no fissurada. Um outro aspecto, tambm de importncia, o fato da oscilao de tenso na armadura devida atuao da carga acidental ser percentualmente pequena reduzindo o efeito da fadiga.

    Figura 13 Diagrama de Goodman

    A fig. 13 apresenta, esquematicamente, o clssico diagrama de Goodman.

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    1.2. Breve histrico

    Datam do final do sculo passado, as primeiras experincias de uso do concreto protendido. Foram tentativas fracassadas provocadas pelas perdas provenientes da retrao e fluncia do concreto que praticamente anularam as foras iniciais de protenso.

    Eugene Freyssinet (Frana, 1928) utilizou arames refilados de alta resistncia resolvendo o problema gerado pela perda progressiva de protenso.

    Hoyer, na Alemanha, fez as primeiras aplicaes prticas do concreto protendido com aderncia inicial utilizando fios de alta resistncia.

    A primeira ponte protendida foi a de Aue, na Alemanha, projetada por Dischinger (1936) com protenso sem aderncia (cabos externos).

    Com os equipamentos e ancoragens de protenso (fabricados inicialmente por Freyssinet na Frana em 1939 e Magnel na Blgica em 1940), divulgou-se o uso do concreto protendido nas obras.

    Ulrich Finsterwalder, desenvolveu a aplicao do protendido s pontes construdas em balanos sucessivos, processo originalmente utilizado por Emlio Henrique Baumgart no projeto e construo da ponte de concreto armado sobre o Rio do Peixe em Herval, Santa Catarina.

    No Brasil, a primeira ponte protendida foi construda no Rio de Janeiro em 1949, projetada por Freyssinet.

    Inicialmente, procurava-se eliminar totalmente as tenses normais de trao com a protenso (protenso completa). Atualmente, existe a tendncia em utilizar a protenso parcial onde, em situaes de combinaes extremas de aes, permite-se a fissurao da pea como ocorre no concreto armado. Desta forma tem-se, hoje, a unificao do concreto 2armado com o concreto protendido constituindo o concreto estrutural.

    1.3. Vantagens do concreto protendido

    a) Emprego de aos de alta resistncia. Estes aos no so viveis no concreto armado devido presena de fissuras de abertura exagerada provocadas pelas grandes deformaes necessrias para explorar a sua alta resistncia; alm disso, em certas situaes existem dificuldades para se conseguir estas deformaes. Ao mesmo tempo que a alta resistncia constitui uma necessidade para a efetivao do concreto protendido (por causa das perdas progressivas), ela elimina os problemas citados.

    b) Eliminao das tenses de trao. Havendo necessidade, consegue-se eliminar as tenses de trao e, portanto, a fissurao do concreto. De qualquer forma, constitui um meio eficiente de controle de abertura de fissuras quando estas forem permitidas.

    c) Reduo das dimenses da seo transversal. O emprego obrigatrio de aos de alta resistncia associado a concretos de maior resistncia, permite a reduo das dimenses da seo transversal com reduo substancial do peso prprio. Tem-se,

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    assim, estruturas mais leves que permitem vencer maiores vos. Tambm, a protenso favorece a resistncia ao cisalhamento, alm de reduzir a fora cortante efetiva.

    d) Diminuio da flecha. A protenso, praticamente, elimina a presena de sees fissuradas. Tem-se, assim, reduo da flecha por eliminar a queda de rigidez flexo correspondente seo fissurada.

    e) Desenvolvimento de mtodos construtivos. A protenso permite criar sistemas construtivos diversos: balano sucessivo, pr-moldados, etc.

    1.4. Problemas com armaduras ativas e desvantagens do concreto protendido

    a) Corroso do ao de protenso. Como nos aos de concreto armado as armaduras de protenso tambm sofrem com a corroso eletroltica. No entanto nas armaduras protendidas apresentam outro tipo de corroso - denominada corroso sob tenso (stress-corrosion) - fragilizando a seo da armadura, alm de propiciar a ruptura frgil. Por este motivo a armadura protendida deve ser muito protegida.

    b) Perdas de protenso. So todas as perdas verificadas nos esforos aplicados nos cabos de protenso.

    b.1) Perdas imediatas, que se verificam durante a operao de estiramento e ancoragem dos cabos:

    b.1.1) Perdas por atrito, produzidas por atrito do cabo com peas adjacentes, durante a protenso;

    b.1.1.2) Perdas nas ancoragens, provocadas por movimentos nas cunha de ancoragem, quando o esforo no cabo transferido do macaco para a placa de apoio;

    b.1.1.3) Perdas por encurtamento elstico do concreto.

    b.2) Perdas retardadas, que ocorrem durante vrios anos:

    b.2.1) Perdas por retrao e fluncia do concreto. Produzidas por encurtamentos retardados do concreto, decorrentes das reaes qumicas e do comportamento viscoso.

    b.2.2) Perdas por relaxao do ao, produzidas por queda de tenso nos aos de alta resistncia, quando ancoradas nas extremidades, sob tenso elevada.

    c) Qualidade da injeo de nata nas bainhas e da capa engraxada nas cordoalhas

    engraxadas.

    d) Foras altas nas ancoragens.

    e) Controle de execuo mais rigoroso.

    f) Cuidados especiais em estruturas hiperestticas.

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    1.5 Exemplos de aplicao da protenso em estruturas da construo civil.

    Edifcios:

    Vigas mais esbeltas Lajes com vos maiores

    Pontes

    Estaiadas Arcos

    Reservatrios: (minimizar fissuras) Obras martimas. (ambiente agressivo

    concreto pouco permevel)

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    Barragens Muros de arrimo

    Elevao de reservatrios.

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    2

    Materiais e sistemas para protenso DEFINIES

    2.1 Definies (conforme a Norma NBR6118:2003 - Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento).

    2.1.1. Elementos de concreto protendido.

    Aqueles nos quais parte das armaduras previamente alongada por equipamentos especiais de

    protenso com a finalidade de, em condies de servio, impedir ou limitar a fissurao e os

    deslocamentos da estrutura e propiciar o melhor aproveitamento de aos de alta resistncia no ELU.

    A resistncia usual do concreto (fck) varia de 25 MPa a 50 MPa.

    Normalmente, as foras de protenso so obtidas utilizando-se armaduras de alta resistncia chamadas armaduras de protenso ou armaduras ativas. A resistncia usual de ruptura (fptk) varia de 1450 MPa a 1900 MPa.

    2.1.2. Armadura de protenso.

    Aquela constituda por barras, por fios isolados, ou por cordoalhas destinada produo de foras de

    protenso, isto , na qual se aplica um pr alongamento inicial. (O elemento unitrio da armadura ativa

    considerada no projeto pode ser denominado cabo, qualquer que seja seu tipo (fio, barra, cordoalha ou

    feixe).

    A fig. 14 ilustra os diferentes tipos de ao para protenso.

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    20

    Figura 14 Tipos de Fios, Barras e Cabos para Protenso

    As barras de ao para protenso so, geralmente, apresentadas em forma de barras

    rosqueadas com nervuras laminadas a quente. Uma bitola tpica a barra DYWIDAG 32. Os fios de ao para concreto protendido so padronizados pela NBR-7482. As cordoalhas so constitudas de 2, 3 ou 7 fios de ao de protenso e so padronizadas pela NBR-7483.

    As armaduras de protenso so submetidas a tenses elevadas de trao em geral acima de 50% da sua resistncia de ruptura (fptk). Nessas condies, costumam apresentar uma perda

    de tenso (pr) sob deformao constante, denominada relaxao do ao. Deste ponto de vista os aos de protenso so classificados em aos de relaxao normal (RN) quando pr pode atingir cerca de 12% da tenso inicial (pi) e aos de relaxao baixa (RB) onde:

    pr pi3,5%

    Os aos de protenso so designados conforme ilustram os exemplos seguintes:

    CP 170 RB L Concreto

    Protendido fptk Resistncia caracterstica de

    ruptura em kN/ cm2 RB Relaxao

    Baixa RN Relaxao

    Normal

    L Fio liso E Fio entalhe

    Figura 15 Diagrama Tenso-Deformao de Aos para Protenso

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    21

    Conforme a NBR-7482 tm-se os fios padronizados listados a seguir onde fpyk o valor caracterstico da resistncia convencional de escoamento, considerada equivalente tenso que conduz a 0,2% de deformao permanente, e o mdulo de elasticidade admitido como sendo de Ep = 210 GPa.

    Tabela 1. Caractersticas fsicas e mecnicas de fios produzidos pela Belgo Mineira.

    TENSO MNIMA DE

    RUPTURA

    TENSO MNIMA A 1% DE

    ALONGAMENTO FIOS D

    IM

    ET

    RO

    N

    OM

    INA

    L (m

    m)

    R

    EA

    APR

    OX

    . (m

    m2 )

    R

    EA

    MN

    IMA

    (m

    m2 )

    MA

    SSA

    APR

    OX

    . (k

    g/km

    )

    (MPa) (kgf/mm2) (MPa) (kgf/mm2) ALO

    NG

    . AP

    S R

    UPT

    UR

    A (%

    )

    CP 145RBL 9,0 63,6 62,9 500 1.450 145 1.310 131 6,0

    CP 150RBL 8,0 50,3 49,6 394 1.500 150 1.350 135 6,0

    CP 170RBE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0

    CP 170RBL 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.530 153 5,0

    CP 170RNE 7,0 38,5 37,9 302 1.700 170 1.450 145 5,0

    CP 175RBE CP 175RBE CP 175RBE

    4,0 5,0 6,0

    12,6 19,6 28,3

    12,3 19,2 27,8

    99 154 222

    1.750 1.750 1.750

    175 175 175

    1.580 1.580 1.580

    158 158 158

    5,0 5,0 5,0

    CP 175RBL CP 175RBL

    5,0 6,0

    19,6 28,3

    19,2 27,8

    154 222

    1.750 1.750

    175 175

    1.580 1.580

    158 158

    5,0 5,0

    CP 175RNE CP 175RNE CP 175RNE

    4,0 5,0 6,0

    12,6 19,6 28,3

    12,3 19,2 27,8

    99 154 222

    1.750 1.750 1.750

    175 175 175

    1.490 1.490 1.490

    149 149 149

    5,0 5,0 5,0

    Dependendo do fabricante outras bitolas de fios so encontradas, tais como:

    Fios de ao de relaxao normal (fpyk = 0,85 fptk)

    CP 150 RN - 5; 6; 7; 8 (mm) CP 160 RN - 4; 5; 6; 7 CP 170 RN - 4 Fios de ao de relaxao baixa (fpyk = 0,9 fptk):

    CP 150 RB - 5; 6; 7; 8 (mm) CP 160 RB - 5; 6; 7

    As cordoalhas so padronizadas pela NBR-7483. O mdulo de deformao Ep = 195.000 MPa. A resistncia caracterstica de escoamento considerada equivalente tenso correspondente deformao de 0,1 %.

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    22

    Tabela 2 Caractersticas fsicas e mecnicas das cordoalhas produzidas pela Belgo Mineira.

    DIMNOM.

    REA APROX

    REA MNIMA

    MASSA APROX

    CARGA MNIMA DE

    RUPTURA

    CARGA MNIMA A 1% DE

    ALONGAMENTO

    ALONGAPS RUPT. CORDOALHAS

    (mm) (mm2) (mm2) (kg/km) (kN) (kgf) (kN) (kgf) (%) CORD CP 190 RB 3x3,0 CORD CP 190 RB 3x3,5 CORD CP 190 RB 3x4,0 CORD CP 190 RB 3x4,5 CORD CP 190 RB 3x5,0

    6,5 7,6 8,8 9,6 11,1

    21,8 30,3 39,6 46,5 66,5

    21,5 30,0 39,4 46,2 65,7

    171 238 312 366 520

    40,8 57,0 74,8 87,7 124,8

    4.080 5.700 7.480 8.770 12.480

    36,7 51,3 67,3 78,9 112,3

    3.670 5.130 6.730 7.890 11.230

    3,5 3,5 3,5 3,5 3,5

    CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7 CORD CP 190 RB 7

    6,4* 7,9* 9,5 11,0 12,7 15,2

    26,5 39,6 55,5 75,5 101,4 143,5

    26,2 39,3 54,8 74,2 98,7 140,0

    210 313 441 590 792

    1.126

    49,7 74,6 104,3 140,6 187,3 265,8

    4.970 7.460 10.430 14.060 18.730 26.580

    44,7 67,1 93,9 126,5 168,6 239,2

    4.470 6.710 9.390 12.650 16.860 23.920

    3,5 3,5 3,5 3,5 3,5 3,5

    Dependendo do fabricante outras bitolas de cordoalhas so encontradas, tais como:

    Cordoalhas de 2 e 3 fios (fpyk = 0,85 fptk):

    CP 180 RN - 2 (2,0 ; 2,5 ; 3,0 ; 3,5) CP 180 RN - 3 (2,0 ; 2,5 ; 3,0 ; 3,5) Cordoalhas de 7 fios de relaxao normal (fpyk = 0,85 fptk):

    CP 175 RN - 6,4 ; 7,9 ; 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2 CP 190 RN - 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2 Cordoalhas de 7 fios de relaxao baixa (fpyk = 0,9 fptk):

    CP 175 RB - 6,4 ; 7,9 ; 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2 CP 190 RB - 9,5 ; 11,0 ; 12,7 ; 15,2

    Normalmente, os cabos de protenso so constitudos por um feixe de fios ou cordoalhas. Assim, por exemplo, pode-se ter cabos de:

    2 cordoalhas de 12,7 mm ; 3 cordoalhas de 12,7 mm;

    12 cordoalhas de 12,7 mm; 12 cordoalhas de 15,2 mm, etc.

    2.1.3. Armadura passiva.

    Qualquer armadura que no seja usada para produzir foras de protenso, isto , que no seja

    previamente alongada.

    Normalmente so constitudas por armaduras usuais de concreto armado padronizadas pela NBR-7480 (Barras e fios de ao destinados a armadura para concreto armado). Usualmente, a armadura passiva constituda de estribos (cisalhamento), armaduras construtivas, armaduras de pele, armaduras de controle de aberturas de fissuras e,

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    23

    eventualmente, armaduras para garantir a resistncia ltima flexo, complementando a parcela principal correspondente armadura de protenso.

    2.1.4. Concreto com armadura ativa pr-tracionada (protenso com aderncia inicial).

    Aquele em que o pr-alongamento da armadura (ativa de protenso) feito utilizando-se apoios

    independentes da pea, antes do lanamento do concreto, sendo a ligao da armadura de protenso com

    os referidos apoios desfeita aps o endurecimento do concreto; a ancoragem no concreto realiza-se s por

    aderncia.

    Figura 16 - Pista de protenso.

    2.1.5. Concreto com armadura ativa ps-tracionada (protenso com aderncia posterior).

    Aquele em que o pr-alongamento da armadura (ativa de protenso) realizado aps o endurecimento

    do concreto, utilizando-se, como apoios, partes da prpria pea, criando-se posteriormente aderncia com

    o concreto de modo permanente, atravs da injeo das bainhas.

    Concretagem com a bainha embutida na pea.

    Colocao da armadura

    Aplicao da protenso

    Fixao da armadura estirada (ancorada)

    Injeo de nata de cimento (grout), estabelecendo aderncia entre armadura e concreto.

    Figura 17 - Viga com protenso a posteriori.

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    24

    Figura 18 - Bainhas para protenso

    2.1.6. Concreto com armadura ativa ps-tracionada sem aderncia (protenso sem aderncia)

    Aquele obtido como em (e), mas em que, aps o estiramento da armadura ativa, no criada aderncia

    com o concreto, ficando a mesma ligada ao concreto apenas em pontos localizados. Concreto protendido

    sem aderncia (armadura de protenso ps-tracionada)

    Figura 19 - Cordoalha no aderente.

    2.2. Nveis de protenso

    Os nveis de protenso esto relacionados com os nveis de intensidade da fora de protenso, que por

    sua vez funo da proporo de armadura ativa utilizada em relao passiva.

    Deste modo, usualmente pode-se ter trs nveis de protenso:

    Nvel 1 Protenso Completa

    Nvel 2 Protenso Limitada

    Nvel 3 Protenso Parcial

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    25

    Figura 20 Diagrama Carga-Deformao dos diferentes nveis de protenso

    A escolha adequada do nvel de protenso em uma estrutura ir depender de critrios pr-estabelecidos, onde se levar em conta a agressividade do meio ambiente e/ou limites para a sua utilizao, quando posta em servio.

    2.2.1. Estados Limites de Servio (ou de utilizao):

    Estados limites de servio so aqueles relacionados durabilidade das estruturas, aparncia, conforto do

    usurio e boa utilizao funcional da mesma, seja em relao aos usurios, seja s mquinas e aos

    equipamentos utilizados.

    A garantia do atendimento destes Estados Limites de Servio (ELS) se faz com a garantia, conforme a situao de no se exceder os Estados Limites Descritos a seguir:

    2.2.1.1. Estado limite de descompresso (ELS-D):

    Estado no qual toda seo transversal est comprimida, e em apenas um ou mais pontos da seo transversal a tenso normal nula, calculada no estdio I, no havendo trao no restante da seo (exceto junto regio de ancoragem no protendido com aderncia inicial onde se permite esforos de trao resistidos apenas por armadura passiva, respeitadas as exigncias referentes fissurao para peas de concreto armado).

    2.2.1.2. Estado limite de formao de fissuras (ELS-F): estado limite que atingido quando a mxima tenso de trao na seo, calculada no Estdio I (concreto no fissurado e comportamento elstico linear dos materiais) igual a resistncia trao do concreto na flexo. A resistncia trao na flexo dado por fct,fl = 1,2 fctk,inf para peas de seo T e, igual a fct,fl = 1,5 fctk,inf para peas de seo retangular, sendo:

    ( )2/3ctk,inf ckf 0,21 f=

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    26

    2.2.1.3. Estado limite de abertura de fissuras (ELS-W):

    Estado em que as fissuras apresentam-se com aberturas iguais aos mximos especificados na tabela 4. A verificao da segurana aos estados limites de abertura de fissuras deve ser feita calculando-se as tenses nas barras da armadura de trao no estdio II (concreto fissurado trao e comportamento elstico linear dos materiais).

    Isto ser feito para cada elemento ou grupo de elementos das armaduras passiva e de protenso (excluindo-se os cabos protendidos que estejam dentro da bainha ou cordoalha engraxada, os quais no so levados em conta no clculo da fissurao). Esta postura tomada devido ao controle da fissurao ser propiciado pela aderncia da armadura passiva e da ativa (pr-trao) com o concreto que a envolve. Nos outros casos a influncia da protenso no controle de fissurao desprezvel, do ponto de vista da aderncia.

    Ser considerada uma rea Acr do concreto de envolvimento, constituda por um retngulo

    cujos lados no distam mais de 7 i do contorno do elemento da armadura, conforme indicado na fig. 21:

    Figura 21 rea Acr do concreto de envolvimento

    A grandeza da abertura de fissuras - wk - determinada para cada parte da regio de envolvimento, dada pela menor dentre aquelas obtidas pelas duas expresses que seguem:

    ct

    S

    S

    Sik

    fEw ii

    3

    )75,02(10

    1

    1 =

    +

    = 45

    4

    )75,02(10

    1

    1 riS

    Sik

    Ew i

    Sendo si, i, Esi, r definidos para cada rea de envolvimento em exame:

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    27

    Acri a rea da regio de envolvimento protegida pela barra i

    i o dimetro da barra que protege a regio de envolvimento considerada

    ri a taxa de armadura passiva ou ativa aderente ( que no esteja dentro de bainha) em relao a rea da regio de envolvimento (Acri)

    s a tenso de trao no centro de gravidade da armadura considerada, calculada no Estdio II. Nas peas com protenso, s o acrscimo de tenso, no centro de gravidade da armadura, entre o Estado Limite de Descompresso e o carregamento considerado. Deve ser calculada no Estdio II, considerando toda armadura ativa, inclusive aquela dentro de bainhas.

    O clculo no Estdio II (que admite comportamento linear dos materiais e despreza a

    resistncia trao do concreto) pode ser feito considerando a relao e = 15.

    Figura 22 Diagrama Carga-Deformao e os Estados Limites

    2.2.2. Combinaes de carregamento

    Na determinao das solicitaes referentes a estes estados limites devem ser empregadas as combinaes de aes estabelecidas em Normas. A NB1-2003 considera as seguintes combinaes nas verificaes de segurana dos estados limites de utilizao:

    2.2.2.1. Combinao rara (CR):

    d gk pk (cc cs te)k qlk 1 qiki 1

    F F F F F F+ +>

    = + + + +

    2.2.2.2. Combinao freqente (CF):

    d gk pk (cc cs te)k 1 qlk 2 qiki 1

    F F F F F F+ +>

    = + + + +

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    28

    2.2.2.3. Combinao quase permanente (CQP):

    >

    d gk pk (cc cs te)k 2 qiki 1

    F F F F F+ += + + +

    2.2.2.4. Situao de protenso.

    d gk pkF F F= +

    As aes parciais so as seguintes:

    Fgk peso prprio e demais aes permanentes, excetuando-se a fora de protenso e as coaes;

    Fpk protenso (incluindo os hiperestticos de protenso);

    F (cc+cs+te) retrao, fluncia e temperatura;

    Fqlk ao varivel escolhida como bsica;

    Fqik demais aes variveis (i> 1) concomitantes com Fqlk.

    Os valores de 1 e 2 dependem do tipo de uso, e so dados por:

    Tabela 3 Fatores de Reduo 1 e 2

    Aes 1 2 Cargas acidentais de edifcios Locais em que no h predominncia de pesos de equipamentos que permaneam fixos por longos perodos de tempo, nem de elevadas concentraes de pessoas

    0,4 0,3

    Locais em que h predominncia de pesos de equipamentos que permanecem fixos por longos perodos de tempo, ou de elevada concentrao de pessoas

    0,6 0,4

    Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 0,7 0,6 Cargas acidentais de Pontes 0,5 0,3

    Observao: os valores de 1 e 2 so os recomendados pela ltima redao da nova NB1-2003 (NBR6118:2003 Projeto de Estruturas de Concreto - Procedimento)

    Nas verificaes, a NB1-2003 estabelece graduao de nveis de protenso mnimos para que se observem valores caractersticos (wk) das aberturas de fissuras. Estes valores so definidos em funo das condies do meio ambiente e da sensibilidade das armaduras corroso (tabela 4). Assim, por exemplo, para meio ambiente pouco agressivo com protenso parcial nvel 1, o valor caracterstico da abertura da fissura de 0,2 mm e deve ser verificado pela combinao de aes do tipo freqente.

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    29

    Tabela 4. Classes de agressividade ambiental e exigncias relativas a fissurao excessiva e a proteo da armadura ativa

    Tipos de concreto estrutural Classe de agressividade ambiental

    Exigncias relativas ao E.

    L.. de fissurao excessiva

    Combinao de aes a considerar

    Concreto simples (sem protenso e sem

    armadura) I a IV No h -

    I ELS-W

    k 0,4mm Freqente

    Concreto armado (sem protenso)

    II a IV ELS-W

    k 0,3mm Freqente

    Concreto protendido nvel 1 (protenso parcial)

    Pr-trao ou Ps-Trao I I e II

    ELS-W

    k 0,2mm Freqente

    ELS-F Freqente Concreto protendido nvel 2

    (protenso limitada) Pr-trao ou Ps-Trao

    II III e IV ELS-D Quase permanente ELS-F Rara Concreto protendido nvel 3

    (protenso completa) Pr-trao III e IV ELS-D. Freqente

    NOTA - ELS-W Estado Limite de Servio - Abertura de fissuras; ELS-F Estado Limite de Servio Formao de fissuras; ELS-D Estado Limite de Servio Descompresso

    2.3. Escolha do tipo de protenso

    A escolha do tipo de protenso deve ser feita em funo do tipo de construo e da agressividade do meio ambiente. Na falta de conhecimento mais preciso das condies reais de cada caso, pode adotar-se a seguinte classificao do nvel de agressividade do meio ambiente:

    No agressivo, como no interior dos edifcios em que uma alta umidade relativa pode ocorrer durante poucos dias por ano, e em estruturas devidamente protegidas;

    Pouco agressivo, como no interior de edifcios em que uma alta umidade relativa pode ocorrer durante longos perodos, e nos casos de contato da face do concreto prxima armadura protendida com lquidos, exposio prolongada a intempries ou a alto teor de umidade;

    Muito agressivos como nos casos de contato com gases ou lquidos agressivos ou com solo e em ambiente marinho.

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    30

    Na ausncia de exigncias mais rigorosas feitas por normas peculiares construo considerada, a escolha do tipo de protenso deve obedecer s exigncias mnimas indicadas a seguir:

    2.3.1. Protenso completa Ambientes muito agressivos

    Existe protenso completa quando se verificam as duas condies seguintes:

    Para as combinaes freqentes de aes (CF), previstas no projeto, respeitado o estado limite de descompresso (ELD);

    Para as combinaes raras de aes (CR), quando previstas no projeto, respeitado o estado limite de formao de fissuras (ELF).

    2.3.2. Protenso limitada Ambientes medianamente agressivos

    Existe protenso limitada quando se verificam as duas condies seguintes:

    Para as combinaes quase permanentes de aes (CQP), previstas no projeto, respeitado o estado limite de descompresso (ELD);

    Para as combinaes freqentes de aes (CF), previstas no projeto, respeitado o estado limite de formao de fissuras (ELF).

    2.3.2. Protenso parcial Ambientes pouco agressivos

    Existe protenso parcial quando se verifica a condio seguinte:

    Para as combinaes freqentes de aes (CF), previstas no projeto, respeitado o estado limite de aberturas de fissuras (ELW), com wk = 0,2 mm.

    Observao importante:

    Nas pontes ferrovirias e vigas de pontes rolantes s admitida protenso com aderncia.

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    31

    3

    Perdas de Protenso DEFINIES

    3.1. Introduo A fora efetiva de protenso varivel ao longo do cabo e menor do que a aplicada pelo dispositivo de protenso. Esta reduo de fora chamada de perda de protenso. Ela devida a vrias causas. Costuma-se agrupar as perdas em dois conjuntos:

    A. Perdas imediatas que ocorrem durante o estiramento e ancoragem dos cabos

    B. Perdas progressivas, que ocorrem ao longo do tempo.

    No caso comum de concreto protendido com aderncia posterior, constituem perdas imediatas, aquelas provenientes de:

    Atrito entre o cabo e a bainha;

    Acomodao do cabo nas ancoragens;

    Encurtamento do concreto durante a operao de protenso.

    As perdas progressivas so provocadas pela:

    Retrao e fluncia do concreto

    Relaxao da armadura de protenso.

    3 2. Perdas por atrito em cabos ps-tracionados As perdas por atrito variam ao longo do cabo. O fenmeno envolvido o do atrito entre o cabo e a bainha e similar ao problema de uma polia que recebe um momento toror atravs de uma correia.

    Figura 23

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    32

    Conforme o esquema da fig. 23, pode-se escrever:

    p. .ds + dP = 0

    onde:

    = coeficiente de atrito entre a correia e a polia.

    Substituindo

    r

    Pp = e ds=r.d

    na expresso anterior, tem-se:

    P. .r.d dP 0

    r + = ou = d.

    P

    dP

    Portanto,

    C.)Pln( +=

    Sendo P=P0, para = 0, vem

    )Pln(=C 0

    e, portanto

    = -)Pln(-)Pln( 0 ou = e.PP 0 .

    Figura 24

    Em situaes usuais, ilustradas na fig.24, 0,2 e 20 (0,35 rad). Portanto, o produto 0,07. Para valores desta ordem pode-se tomar

    e 1

    resultando

    ( )g1PP 0 .

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    33

    Na realidade, o cabo apresenta ondulaes inevitveis ao longo do seu comprimento, inclusive no trecho curvo. Em um comprimento projetado x (incluindo trechos retos e

    curvos), pode-se pensar num ngulo equivalente s ondulaes do trecho, dado por k x .

    Portanto, a fora de protenso num ponto de abscissa x (normalmente, para o clculo das perdas por atrito, pode-se adotar como comprimento aproximado do cabo o valor de sua projeo sobre o eixo x da pea) dada por:

    ( )[ ]xkg1PP gi + . Pode-se definir:

    k k=

    resultando

    ( )kxg1PP 0

    A nova NB-1 (NBR6118:2003 Projeto de Estruturas de Concreto Armado

    Procedimento) estabelece os seguintes valores para o coeficiente (coeficiente de atrito aparente entre o cabo e a bainha), quando no existirem dados experimentais:

    = 0,50 entre cabo e concreto (sem bainha); = 0,30 entre barras ou fios com mossas ou salincias e bainha metlica; = 0,20 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metlica; = 0,10 entre fios lisos ou cordoalhas e bainha metlica lubrificada; = 0,05 entre cordoalha e bainha de polipropileno lubrificada. A unidade de 1/radianos ou rad-1

    O coeficiente k o coeficiente de perda por metro provocada por curvaturas no intencionais do cabo. Na falta de dados experimentais pode ser adotado o valor 0,01 , sendo a unidade de k igual a 1/m ou m-1.

    A tabela 5 apresenta os valores de e k apresentados pelo CEB e ACI:

    Tabela 5. Coeficientes e k segundo o CEB e o ACI

    k

    0,50 0,005 CEB Cabos em dutos de concreto 0,15 a 0,25 0,0033 a 0,0049 ACI

    0,20 0,002 CEB Cordoalhas em bainha metlica 0,15 a 0,25 0,00066 ACI

    0,20 0,002 CEB Monocordoalhas engraxadas 0,05 a 0,15 0,00066 ACI

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    34

    Costuma-se determinar o valor da fora de protenso nas extremidades de cada trecho (reto ou curvo) a partir da fora j definida para a extremidade inicial do respectivo trecho. Normalmente, admite-se que, em cada trecho, o diagrama de fora possa ser aproximado por uma variao linear.

    Considere-se o cabo esquematizado na fig. 25:

    Figura 25

    Admitindo-se:

    = 0,2 ; k = 0,002 m-1 ; PA = 1733 KN; Ap = 11,84 cm2

    a1 = 10 m ; a2 = 5 m ; = 8,5= 0,148 rad.; Ep = 19500 kN/cm2

    resulta

    ( )1AB kag1PP

    ( ) 1647KN0,002.100,2.0,14811733PB ==

    ( )2BC ka1PP = ( ) 1631KN,002.5011647PC ==

    O alongamento do cabo no final da protenso vale

    l

    1733 1647 1647 1631 110 5 108,7 mm

    2 2 11,84 19500

    + + = + =

    A fig. 26 apresenta o diagrama de fora de protenso ao longo da viga com a aplicao de P0 nas extremidades.

    Figura 26

    A

    B C

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    35

    3.3. Perda por acomodao das cunhas de ancoragem Geralmente, a ancoragem do cabo feita por encunhamento individual das cordoalhas.

    Este encunhamento acompanhado de um recuo do cabo (), de alguns milmetros acarretando uma queda na fora de protenso, num trecho de comprimento x junto ancoragem, e mobilizando foras de atrito em sentido contrrio quelas da operao de protenso. A figura 27 apresenta as diversas situaes que podem ocorrer com a acomodao nas ancoragens de um cabo simtrico, protendido simultaneamente pelas suas extremidades.

    Figura 27

    Para o clculo da influncia do encunhamento sero descrito dois mtodos; o primeiro de simples interpretao e entendimento, fcil e de utilidade prtica; j o segundo mais aprimorado e preciso. Deste modo, ser resolvido o seguinte problema:

    Determinar o diagrama de fora de protenso aps o encunhamento para o cabo de protenso da viga esquematizada na figura 27. As perdas durante a protenso foram determinadas no item 3.2. Dados:

    = 0,2 (coeficiente de atrito - trechos curvos)

    k = 0,002 / m (coeficiente de atrito ao longo do cabo)

    fptk = 1900 MPa (valor caracterstico da resistncia ruptura)

    0,77 fptk = 1463 MPa (tenso normal mxima no ato de protenso)

    Ap = 11,844 cm2 (rea da seo do cabo de 12 cordoalhas de 12,7 mm)

    P0 = 0,77 fptk Ap = 1733 kN (fora inicial de protenso)

    Ep = 195000 MPa (mdulo de elasticidade da armadura de protenso)

    = 6 mm (recuo do cabo devido cravao da cunha de ancoragem)

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    P0 = 1733kN ; P1 = 1647kN ; P2= 1631 kN

    Figura 28

    1 Mtodo

    O efeito do encunhamento pode ser feito conforme o procedimento indicado a seguir:

    1. Determinar A = Ep Ap = 0,006 19500 11,844 = 1385,75 2. Determinar a rea do tringulo (P0P1A) = A1 = 860, figura 29 (caso A);

    Figura 29

    2.1. Se A1 for maior ou igual do que A , a influncia do encunhamento est restrita ao trecho curvo inicial e pode ser definida atravs da igualdade [rea da figura (P0PP01)]=A , resultando

    ( ) ( ) 20 0 11

    2 P P x P ka xA

    2 a +

    = =

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    37

    ( )1

    0 1

    A ax

    P ka=

    +

    0 11

    1

    P PP P x

    a

    = +

    01 0P 2P P=

    2.2. Se A1 for menor do que A , a influncia do recuo na ancoragem estende-se alm de P1 e deve-se prosseguir com o item 3;

    3. Determinar a rea da figura (P0P1P2BC) = A2 = 1260, da figura 30 (caso B);

    Figura 30

    3.1. Se A2 for maior ou igual do que A , a extenso da influncia do encunhamento pode ser definida atravs da igualdade [rea da figura (P0P1PP11P01)] = A = 1385,7, resultando;

    ( )1 1 1 1 1y y

    2 P P a 2P ky a A A2 2

    + = + =

    de onde se obtm y e, portanto, x e os valores de P11 e P01;

    3.2. Se A2 for menor do que A , todo o cabo afetado pelo encunhamento, figura 9 e os valores da fora de protenso podem ser obtidos a partir da expresso (caso C):

    ( )1 2 22 P a a A A + = P 4,19 kN = .

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    38

    Figura 31

    A. Nos cabos protendidos por uma das extremidades (ancoragem fixa na outra extremidade), o diagrama de fora de protenso pode ser definido (a partir da extremidade que recebe a protenso) aplicando-se, por exemplo, o procedimento visto no item anterior.

    2 Mtodo a) Caso A, em que x < a1

    Figura 32

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    39

    Nesta situao o encunhamento afeta apenas o trecho curvo do cabo. A variao de comprimento de um elemento de cabo (dx), sujeito fora de protenso de valor P, dada por:

    p p

    Pdxdl

    E A=

    onde: Ep = mdulo de deformao do ao de protenso

    Ap = rea da seo transversal da armadura de protenso.

    Desta forma, o valor do recuo dado pela rea da figura triangular hachurada dividida pela rigidez normal do cabo (Ep Ap). Isto ,

    ( ) ( )0 0 1p p 1 p p

    2 P P x 2P ka x x 1

    2E A a 2 E A

    + = = ou

    ( )p p 1

    0 1

    E A ax

    P ka

    =

    + [para (x < a1)]

    resultando

    o1

    xP P 1 kx

    a

    =

    01 0P 2P P= .

    b) Caso B, em que (a1 < x al + a2)

    Figura 33

    A rea da figura hachurada dividida pela rigidez normal do cabo fornece o valor do recuo do cabo. Assim

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    40

    ( ) ( ) p p0 1 1 11 1 1E AP ka a x a

    P k x a a2 2 2

    + + + =

    logo

    ( ) 2p p 0 1 1 1 11

    E A P P a P kax

    P k

    +=

    resultando

    ( )1 1P P 1 k x a=

    01 0P 2P P=

    11 1P 2P P=

    c) Caso C em que (x = a1 + a2)

    Figura 34

    Tem-se:

    ( ) ( ) ( ) p p0 1 1 21 2 1 1 2E AP P a a

    P P a P a a2 2 2

    + + + + =

    ou

    ( )0 1 2p p 1 1 2 1

    1 2

    P P aE A a P P a

    2 2 2Pa a

    + =

    +

    01 2 0P 2P P 2 P=

    11 2 1P 2P P 2 P=

    P.2PP 222 =

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    41

    Resolvendo o exemplo anteriormente proposto pelo 2o mtodo

    No se sabe a priori, at onde chega a influncia do recuo nas ancoragens. A soluo pode ser encontrada por tentativas. Pode-se comear, por exemplo, admitindo-se tratar do caso A (item 3.3) onde a influncia restrita ao trecho curvo. Assim,

    ( )p p 1

    0 1

    E A ax

    P ka

    =

    + ( )19500 11,844 0, 006 10

    12,70 m1733 0, 2 0,148 0, 002 10

    = =

    +

    O valor obtido mostra que o recuo afeta alm do trecho curvo inicial (x > a1 = 10 m). Caso se admita o caso B (influncia at um ponto do trecho reto), vem:

    ( ) 2p p 0 1 1 1 11

    E A P P a P kax

    P k

    +=

    ( ) 219500 11,844 0, 006 1733 1647 10 1647 0,002 10x 16,1 m

    1647 0, 002

    + = =

    Este valor ultrapassa a metade do comprimento do cabo (simetria) que de 15 m. Conclui-se, assim, tratar-se do caso c, resultando:

    ( )0 1 2p p 1 1 2 1

    1 2

    P P aE A a P P a

    2 2 2Pa a

    + =

    +

    ( )0, 006 1733 1647 519500 11,844 10 1647 1631 102 2 2P 4,19 kN

    10 5

    + = =

    +

    01 2 0P 2P P 2 P 2 1631 1733 2 4,19 1521 kN= = =

    11 2 1P 2P P 2 P 2 1631 1647 2 4,19 1607 kN= = =

    21 2P P 2 P 1631 2 4,19 1623 kN= = =

    A figura 35 apresenta o diagrama de fora normal no cabo:

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    42

    Figura 35

    3.4. Perda de protenso por encurtamento do concreto durante a

    fase de protenso dos cabos (concreto protendido com

    armadura ps-tracionada)

    Figura 36

    Considere-se a seo transversal esquematizada na figura 36 de uma viga protendida com armadura ps-tracionada, constituda de 5 cabos (n = 5).

    Normalmente, a protenso total obtida estirando-se, seqencialmente, um cabo por vez num total de cinco operaes. A protenso de um cabo provoca uma deformao imediata do concreto e, consequentemente, afrouxamento dos cabos anteriormente protendidos. A perda mdia de protenso pode ser estimada atravs da expresso:

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    43

    ( )p p g cp n 12n

    = +

    onde:

    gg p

    c

    Me

    I = tenso no concreto ao nvel do baricentro da armadura de

    protenso, devida carga permanente mobilizada pela protenso;

    2p

    cpc c

    e1P

    A I

    = +

    tenso no mesmo ponto anterior, devida protenso simultnea

    dos n cabos;

    pp

    c

    E

    E = coeficiente de equivalncia;

    Ac , Ic rea e momento de inrcia da seo transversal;

    ep excentricidade da resultante de protenso.

    A deformao total, junto fibra de passagem da resultante dos n cabos de protenso, dada por

    g c,pc,pg g c,p

    cE

    + = + =

    portanto, a protenso de cada cabo provoca a deformao

    c,pgc,pg1 n

    =

    Admitindo-se a protenso seqencial dos n cabos, pode-se construir a seguinte tabela:

    Tabela 6

    Encurtamento dos cabos Protenso C1 Protenso C2 Protenso C3 Protenso C4 Protenso C5 Total

    C1 c,pg1 c,pg1 c,pg1 c,pg1 4c,pg1C2 c,pg1 c,pg1 c,pg1 3c,pg1C3 c,pg1 c,pg1 2c,pg1C4 c,pg1 1c,pg1C5

    Portanto, a deformao total vale

    ( ) ( )c,pg1 c,pg1n n 1

    1 2 ... n 12

    = + + + =

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    44

    que a soma dos n - 1 primeiros termos da progresso aritmtica ( 1,2,...,n - 1).

    A perda total de protenso correspondente dada por

    ( )c,pg1 p p,1

    n n 1P E A

    2

    =

    onde:

    Ap,1 a rea da seo transversal de um cabo

    ou

    ( ) ( )c,pg g cp pp p,1 p

    c

    An n 1 n n 1P E A E

    2 n 2 nE n

    + = =

    onde

    Ap a rea total dos n cabos.

    Finalmente, tem-se:

    ( )p p g cpp

    P n 1

    A 2n

    = = +

    Considere-se o exemplo com os seguintes dados:

    P1 = 1614 kN ; P2 = 1621 kN ; P3 = 1623 kN; P4 = P5 = 1624 kN

    p = 5,85 ; Ic = 0,519 m4 ; Ac = 0,944 m2 ; ep = 0,816 m ; Mg = 3000 kN.m

    Ap = 11,84 cm2 (de cada cabo) ; P0 = 1733 kN (fora inicial de protenso por cabo)

    Tem-se:

    iP P 8106kN= =

    gg p

    c

    M 3000e 0,816 4,72MPa

    I 0,519 = = =

    2 2p

    c,pc c

    e1 1 0,816P 8106 18,99MPa

    A I 0,944 0,519

    = + = + =

    Logo

    ( ) ( )p p g cp n 1 5 15,85 4,72 18,99 33, 4MPa2n 2 5

    = + = =

    A tenso inicial de trao na armadura de protenso vale:

    0p0

    p

    P 17331464MPa

    A 11,84 = = =

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    A perda percentual de

    p

    p0

    33, 42, 3%

    1464

    = =

    P 8106 3, 34 5 11,84 7908 kN= =

    O percentual devido perda imediata vale, portanto

    ( ) ( )0 0P P / P 8665 7908 /8665 9% = =

    3.5. Perdas progressivas em armaduras aderentes

    Encerradas as operaes de protenso da pea de concreto protendido, os cabos so injetados com nata de cimento, estabelecendo-se a aderncia entre a armadura de protenso e o concreto. Admite-se que esta aderncia seja perfeita, isto , podem ser consideradas iguais s deformaes adicionais no concreto e na armadura de protenso.

    As perdas progressivas so devidas fluncia e retrao do concreto e relaxao da armadura de protenso. A fluncia e a relaxao exprimem a influncia do tempo nos campos de tenses e deformaes.

    O fenmeno da fluncia pode ser caracterizado atravs da seguinte experincia: Considere-se uma barra (fig. 37) qual aplicada, num certo instante t0 , a fora de trao permanente de valor P0 que, portanto, ser mantida constante ao longo do tempo. No instante t0 tem-se um alongamento inicial de valor a0. No material sujeito a fluncia, este alongamento

    aumenta ao longo do tempo para um valor assinttico a. A fluncia acarreta, portanto, um aumento da deformao sob tenso constante.

    Figura 37

    L0 a

    A B

    A B

    Pi = cte

    t

    a

    to

    a0

    P

    to

    Pi

    t

    Pi = constante

    Fluncia

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    46

    O fenmeno da relaxao pode ser caracterizado atravs da seguinte experincia. Considere-se uma barra (fig. 38) qual aplicada, num certo instante t0 , um alongamento permanente de valor a0 mantido constante ao longo do tempo. Para isto, necessrio aplicar uma fora de trao de intensidade Pi. No material viscoelstico, esta fora diminui

    ao longo do tempo para um valor assinttico P. A viscoelasticidade acarreta, neste caso, diminuio da tenso sob deformao constante que chamada de relaxao.

    Figura 38

    Pode-se admitir que o efeito do tempo em uma pea de concreto protendido transcorra em condies que se aproximam da fluncia pura no concreto e da relaxao pura na armadura de protenso.

    De fato, no concreto, as solicitaes de carter permanente so devidas carga permanente (constante) e protenso que relativamente varia pouco; as tenses normais correspondentes no concreto acabam gerando deformaes adicionais semelhantes a fluncia pura.

    A grande deformao inicial aplicada na armadura para se obter a fora de protenso, mantm-se praticamente constante ao longo do tempo provocando perdas de tenso semelhantes a relaxao pura.

    L0

    P

    A B

    A B

    a0 = cte

    t

    P

    to

    Pi

    a

    to

    a0

    t

    a0 = constante

    Relaxao

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    47

    3.5.1.Perdas por retrao no concreto (Shrinkage p,s)

    Figura 39

    Deformao por retrao cs= Equivale a uma diminuio de temperatura entre 15C a 38C

    - Umidade relativa do ambiente (U)

    Umidade Relativa do Ar (Diminui) Retrao (aumenta)

    Rio de Janeiro

    So Paulo U= 78% cs=-20x 10

    -5

    - Consistncia do concreto no lanamento:

    a

    c 0,45 0,50 0,55 0,65 0,65

    Porosidade aumenta ndice de vazios aumenta

    - Espessura fictcia da pea hfic;

    Figura 40

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    48

    Idade fictcia do concreto no instante (to) da aplicao da carga

    (Diminui) .

    Retrao (Aumenta)

    - Idade fictcia do concreto no instante considerado (t)

    Figura 41

    p csp

    E

    um fator de correo ( 1,0 ), pode ser usado =1 a favor da segurana

    3.5.2. Perdas por fluncia do concreto, (Creep cc)

    Figura 42

    c 0 0

    ccc

    cc 0 c

    l (t , t ) l

    l

    l(t , t )

    =

    =

    =

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    49

    Figura 43

    Figura 44

    ( )po pg pop p

    c c c

    c,pog

    F eM Fe e

    I A I

    .

    =

    g po cp

    c c c

    2pc,pog

    M F Ae

    I A I1 e +

    ='*(*)

    positivo negativo

    c,pog c,g c,po

    = +

    p c,pogp,c

    onde:

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    50

    p,c a perda no ao de protenso devido a fluncia

    p a razo entre os mdulos de elasticidade do ao e do concreto s

    c

    E

    E.

    A seguir apresenta-se o critrio aproximado da Nova Norma NB1-2003 para se estimar a deformao por fluncia e retrao.

    Em casos onde no necessria grande preciso, os valores finais do coeficiente de fluncia (t,to) e da deformao especfica de retrao cs(t,to) do concreto, submetido a tenses menores que 0,5 fc quando do primeiro carregamento, podem ser obtidos, por interpolao linear, a partir da tabela 7.

    Esta tabela fornece o valor do coeficiente de fluncia (t,to) e da deformao especfica de retrao cs(t,to) em funo da umidade ambiente e da espessura equivalente 2Ac/u, onde Ac a rea da seo transversal e u o permetro desta seo em contato com a atmosfera. Os valores desta tabela so

    relativos a temperaturas do concreto entre 10C e 20C, podendo-se, entretanto, admitir temperaturas

    entre 0C e 40C. Esses valores so vlidos para concretos plsticos e de cimento Portland comum.

    Tabela 7 Valores caractersticos superiores da deformao especfica de retrao cs(t,to) e do coeficiente de fluncia (t,to)

    Umidade ambiente (%) 40% 55% 75% 90%

    Espessura Equivalente c2A

    u (cm) 20 60 20 60 20 60 20 60

    5 4,4 3,9 3,8 3,3 3,0 2,6 2,3 2,1 (t,to) to(dias) 30 3,0 2,9 2,6 2,5 2,0 2,0 1,6 1,6

    60 3,0 2,6 2,2 2,2 1,7 1,8 1,4 1,4 5 -0,44 -0,39 -0,37 -0,33 -0,23 -0,21 -0,10 -0,09

    cs(t,to) to(dias) 30 -0,37 -0,38 -0,31 -0,31 -0,20 -0,20 -0,09 -0,09 60 -0,32 -0,36 -0,27 -0,30 -0,17 -0,19 -0,08 -0,09

    3.5.3. Perdas por relaxao do ao, (p,r)

    A relaxao da armadura de protenso a perda de protenso quando os fios ou cordoalhas esto sujeitos essencialmente com uma deformao constante. Por simplificao, pode-se considerar o efeito da relaxao da armadura semelhante fluncia do concreto, lembrando somente que a fluncia caracteriza-se pelo aumento das deformaes ao passo que a relaxao do ao uma diminuio da tenso com o tempo.

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    Figura 45

    O valor da fora de protenso em uma determinada poca, considerada somente a relaxao do ao, dado por:

    ))t,t(1.(F)t,t(F 00p0p = portanto PFp =

    15,00

    10000 1000

    tt)t,t(

    =

    Onde:

    pi e Pi so respectivamente a tenso e a fora no macaco;

    p0 e P0 so respectivamente a tenso e a fora no tempo t = to;

    p e P so respectivamente a tenso e a fora no tempo t = ;

    (to,t) o coeficiente de relaxao do ao no instante t para protenso e carga permanente mobilizada no instante t

    1000 a relaxao de fios e cordoalhas, aps 1000 h a 20C e para tenses variando de 0,5 a 0,8 fptk, obtida em ensaios descritos na NBR 7484, no devendo ultrapassar os valores dados na NBR 7482 e na NBR 7483,respectivamente.

    Para efeito de projeto, os valores mdios da relaxao para as perdas de tenso, referidas a

    valores bsicos da tenso inicial, de 50% a 80% da resistncia caracterstica fptk (1000), so reproduzidos na tabela 8.

    Tabela 8 Valores de 1000, em %

    Cordoalhas Fios Barras

    po RN RB RN RB

    0,5 fptk 0 0 0 0 0

    0,6 fptk 3,5 1,3 2,5 1,0 1,5

    0,7 fptk 7 2,5 5 2 4

    0,8 fptk 12 3,5 8,5 3 7

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    Para tenses inferiores a 0,5 fptk, admite-se que no haja perda de tenso por relaxao.

    Para tenses intermedirias entre os valores fixados na tabela 7, permite-se a interpolao linear.

    Pode-se considerar, para o tempo infinito (t=50 anos), o valor 2,5 1000.

    3.5.3.1. Fluncia da armadura de protenso, (p,c)

    A fluncia e a relaxao do ao so o mesmo fenmeno, medido somente em diferentes circunstncias. A fluncia do ao dado por:

    [ ]o o(t , t ) ln 1 (t , t ) =

    (to,t) o coeficiente de fluncia do ao

    As perdas por relaxao da armadura protendida poder ser avaliada por:

    pop,r

    =

    ou po 1000p,r

    Para aplicaes usuais.

    3.6. Perdas progressivas totais.

    A perda progressiva total considerando a fluncia e a retrao do concreto e a relaxao da armadura ativa fornecida por:

    o1000ouc,pog p p cs po

    p

    E

    + =

    ppp 2

    1g1

    +++=

    2p

    cc

    g poc,pog p

    c c

    e1 A

    IVaria em cada seo

    M Fe

    I A

    = +

    =

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    53

    4

    Flexo simples (ELU) DEFINIES

    4.1 Introduo Basicamente a diferena entre o concreto armado e o concreto protendido a existncia do pr-alongamento na armadura de protenso. No caso de solicitaes normais, pode-se dizer que o procedimento de clculo no Estado Limite ltimo (ELU) para estruturas protendidas o mesmo que aqueles do concreto armado.

    A Nova NB1-2003 refere-se a estado limite ltimo como:

    Estados Limites ltimos so aqueles relacionados ao colapso, ou a qualquer outra forma de runa estrutural, que determine a paralisao do uso da estrutura.

    Como as estruturas de concreto armado, as de concreto protendido devem atender a dois tipos de condies:

    1. Comportamento dctil e coeficiente de segurana satisfatrio, na ruptura.

    2. Comportamento satisfatrio sob efeito de cargas permanentes e cargas de servio.

    No caso da flexo simples de vigas de concreto protendido, o item 2 obedecer s mesmas condies das adotadas no concreto armado.

    No caso da anlise dos esforos resistentes de uma seo, admitem-se as seguintes hipteses de clculo:

    a) As sees transversais se mantm planas aps deformao;

    b) A deformao das barras aderentes (passivas ou ativas), em trao ou compresso, a mesma do concreto em seu entorno;

    c) Para armaduras ativas no-aderentes, o eventual acrscimo de fora deve ser calculado atravs do efeito de viga-armada para a combinao de aes em estudo, sendo que para estruturas de edifcios, permite-se aproximar esse acrscimo por 50% do que se obteria para armadura aderente;

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    54

    d) As tenses de trao no concreto, normais seo transversal, podem ser desprezadas;

    e) A distribuio de tenses no concreto se faz de acordo com o diagrama parbola-retngulo, com tenso de pico igual a 0,85 fcd permitindo-se a substituio desse diagrama pelo retngulo de altura 0,8.x (onde x a profundidade da linha neutra), com a seguinte tenso:

    0,85 fcd no caso da largura da seo, medida paralelamente linha neutra, no diminuir a partir dessa para a borda comprimida.

    0,80 fcd no caso contrrio.

    f) A tenso nas armaduras obtida a partir dos diagramas tenso-deformao, com os respectivos valores de clculo:

    s

    Es

    fyd

    fyk

    s

    fyd

    uk

    Figura 46: Diagrama tenso-deformao para aos de armaduras passivas

    s

    Ep

    fpyk

    fpyd

    p uk

    fptk

    fptd

    Figura 47: Diagrama tenso-deformao para aos de armaduras ativas

    s

    Ep

    fpyk

    fpyd

    p uk

    fptk

    fptd

    Figura 48: Diagrama tenso-deformao simplificado para aos de armaduras ativas

    O mdulo de elasticidade do ao passivo pode ser admitido igual a 210 GPa

    O mdulo de elasticidade para fios e cordoalhas pode ser considerado igual a 200 GPa.

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    g) O Estado Limite ltimo caracterizado quando a distribuio das deformaes na seo transversal pertencer a um dos domnios definidos na figura 49 a seguir:

    Figura 49. Domnios de deformao.

    4.2. Dimensionamento a flexo simples de vigas de seo retangular

    composta por armadura protendida aderente e por armadura passiva

    simples.

    4.2.1. Dados de entrada:

    Figura 50 Esquema para Dimensionamento

    Esforos solicitantes

    Msd

    Fp

    Nsd=0

    Geometria e armadura protendida

    Incgnitas:

    x = ? (Posio da linha neutra)

    As = ? (Armadura Passiva)

    Tal que os esforos resistentes Nrd e Mrd sejam Nrd = Nsd = 0

    e Mrd Msd

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    bw; h; d; dp; Ap;P

    Materiais

    fck; fy (armadura passiva) e Es; fpyk (armadura ativa) e Ep

    4.2.2. Seqncia geral de soluo.

    A seqncia dada a seguir mais geral e resolve todos os problemas, embora a rigor seja mais complexa.

    a) Arbitra-se um valor para x (ou x

    d), por exemplo

    x0,30

    d=

    b) Para este valor de x (ou x

    d) calcula-se a deformada de Estado Limite ltimo (ELU)

    correspondente. Os domnios de deformao no ELU so 1 a 5.

    Assim se:

    c

    c

    c

    x x0, 259 10

    d d xx h

    0, 259 3,5d d

    h x 23 hd d 17 x

    =

    =

    =

    Onde c a deformao na fibra mais comprimida ou menos tracionada do concreto.

    c) Por compatibilidade, calcular s e p

    alongamentoencurtamento alongamento

    pc s

    px d x d x

    ++ +

    = =

    Logo:

    ( )s c c

    x1

    d x dxxd

    = =

    Alongamento da armadura passiva de trao.

    x

    (d-x) (dp-x)

    dp

    d

    s Figura 51 Esquema para clculo dos alongamentos

    p

    c

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    ( )p

    p

    p c c

    d xd x d d

    xxd

    = =

    Alongamento adicional (ao pr-alongamento da armadura protendida)

    O alongamento total da armadura aderente ser dado por:

    p pr p = +

    Onde pr o pr-alongamento da armadura de protenso, na data em estudo; usualmente se toma

    PF . O valor de pr dado no caso da pr-trao e aproximado na ps-trao por:

    pp

    Pppr A.E

    F. = Na prtica adotado p = 0,90.

    O clculo mais rigoroso do pr-alongamento na ps-trao dado por;

    ( )

    += .pp

    pp

    Pppr .1.A.E

    F. com p = 0,90.

    sendo: p p 2 cp p pc c c

    E A A; ; 1 e

    E A I

    = = = +

    d) Dado s e p podem ser calculadas, pelas equaes constitutivas, as tenses sd e pd.

    yd sd s s ydf E f = (+ alongamento)

    pd p p pydE f = (+ alongamento), admitindo o patamar fictcio de escoamento

    para o ao de protenso

    Pode-se tomar fpyk 0,90fptk

    Logo pyk ptkpyd ss s

    f ff 0,90 com 1,15= = =

    e) Dados x, sd e pd podem ser calculadas as resultantes no concreto e no ao e seus pontos de aplicao.

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    Figura 52. Esquema para clculo das resultantes

    cd cd wR 0,85f b 0,8x=

    sd sd sR A= Que no pode ser calculado, pois As no conhecido

    pd pd pR A=

    f) Dados Rcd, sd, e Rpd e seus pontos de aplicao, podem ser calculados os esforos resistentes Nrd e Mrd.

    ms sd

    rd cd sd pd

    A

    N R R R

    = (1)

    rd cd sd s pd p

    h h hM R 0,4x A d R d

    2 2 2 = + +

    (2)

    Na verdade os dois valores ficam calculados em funo de As (incgnita).

    g) Imposio do equilbrio com os esforos solicitantes Nsd e Msd..

    Deve-se ter:

    rd sdN N 0= = (caso de flexo simples) (3)

    rd sdM M (4)

    De (3) em (1) tiramos o valor de As, que satisfaz.

    cd pds

    sd

    R RA

    =

    Ateno: mesmo que As seja um valor negativo ele ser utilizado.

    rd cd sd

    hM R 0,4x

    2 = +

    cd pd

    sd

    R R

    pd ph h

    d R d2 2

    +

    (d-h/2)

    (h/2-0,4x)

    0,4x

    0,8

    x

    0,85fcd

    (dp-h/2)

    Rcd

    Rpd

    Rsd

    CG

    Ap

    As

    d dp

    h/2

    CG

    h/2

    Nrd

    Mrd

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    Se o valor de Mrd calculado for igual a Msd teremos a soluo, se no, podemos repetir o processo iterativamente at obtermos Mrd = Msd.

    No item 14.6.4.3, Limites para redistribuio de momentos e condies de dutilidade, da Nova NB1-2003, a capacidade de rotao das peas funo da posio da linha neutra no ELU e quanto menor x/d, maior essa capacidade.

    Para melhorar a dutilidade das estruturas nas regies de apoio das vigas ou de ligaes com outros elementos estruturais, mesmo quando no se fizerem redistribuies de esforos solicitantes , deve-se garantir para a posio da linha neutra no ELU, os limites seguintes:

    x/d 0,50 para concretos com fck 35 MPa; ou

    x/d 0,40 para concretos com fck > 35 MPa.

    Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de armaduras, como por exemplo os que produzem confinamento nessas regies.

    Outra variante desta soluo consiste em tomarmos dois , trs ou mais valores de x

    d, por

    exemplo 0,10; 0,30 e 0,50.

    Calcularemos os pares As e Mrd correspondentes e montaremos o grfico da figura 53:

    0,1

    0,3

    0,5

    A

    B

    C

    B

    C

    A

    D

    As (cm2)

    Msd,Mrd

    x

    d

    Msd

    As,sol

    Figura 53 Grfico As x Mrd

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    Com estes trs ou mais pares, traamos a curva aproximada que correlaciona Mrd com As, entrando com Msd e interpolando entre os valores calculados, mais prximos, achamos As,sol, aproximado.

    Por exemplo, se Msd est entre os pontos B e C, temos:

    ( )sd rd,Bs,sol s,B s,C s,Brd,C rd,B

    M MA A A A

    M M

    +

    O grfico tambm fornece qual o momento resistente para As igual a zero (ponto D). ou

    seja, se MsdMrd,D no necessria, teoricamente, armadura passiva As, devendo-se adotar a armadura mnima dada por:

    s s min cA A A = para armaduras aderentes

    min,CA p min,CA0,5 0,5 =

    onde ppc

    A

    A =

    A Nova NB1-2003 especifica os valores mnimos de min,CA conforme a Tabela 9:

    Tabela 9

    fck (MPa)

    T

    (mesa comprimida)

    T

    (mesa tracionada)

    45 50mn

    Retangular 0,15 0,15

    Valores de min* (As,min/Ac)%

    20 25 30 35 40

    0,197

    0,173 0,201 0,23 0,259

    0,15 0,15 0,153

    0,288

    0,15 0,15 0,15 0,15 0,158 0,177

    0,178 0,204 0.229 0,255

    0,46 0,518Circular 0,23 0,288

    Forma da seo

    0,575

    * Os valores de min estabelecidos nesta tabela pressupem o uso de ao CA-50, c = 1,4 e s = 1,15. Caso esses fatores sejamdiferentes, min deve ser recalculado com base no valor de mn dado.NOTA: Nas sees tipo T, a rea da seo a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.

    0,035

    0,024

    0,031

    0,07 0,345 0,403

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    4.2.1. Exemplo F-ELU-1

    Calcular a armadura de flexo para a viga de seo retangular com os dados a seguir.

    Ap=11,80cm2

    PF =129,8 tf

    As=? Ao CP-190 RB

    fck=25 MPa Es=210 GPa

    Ac=0,48m2 Ep=195 GPa

    Ic=0,0576m4 Ec=23,8 GPa

    Figura 54 Seo da Viga do Exemplo F-ELU-1

    Seguindo a seqncia de clculo anteriormente descrita:

    (a) Dados 50,0d

    x= (Depois ser feito para

    x

    d=0,30 e

    x

    d=0,10)

    cm5,57115.50,0x ==

    (b) Calcular c

    Para 000c 5,3259,050,0d

    x=>=

    (c) Calcular p, s, pr e p

    000

    000

    cs 5,350,0

    )50,01(5,3

    d

    x

    d

    x1

    =

    =

    =

    000

    000

    p

    cp 2,350,0

    50,0115

    110

    5,3

    d

    x

    d

    x

    d

    d

    =

    =

    =

    08,500508,08,11.1950

    8,129.90,0

    A.E

    F.

    pp

    Pppr ====

    Ep=195 GPa = 1950 tf/cm2

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    Opcionalmente, o clculo do pr-alongamento poder ser feito da maneira mais correta:

    ( ) ( )

    ( )

    ppr p p p

    p p

    pp

    c

    pp

    c

    22 cp

    c

    p p

    F1 5, 08 1 8,19.0, 00246.3, 08 5, 40

    E A

    com

    E 1958,19

    E 23,8

    A 11,800, 00246

    A 40.120

    A 0,481 e 1 1,10 0,60 3, 08

    I 0, 0576

    he d

    2

    + = + =

    = = =

    = = =

    = + = + =

    =

    000

    000

    000

    pprp 28,82,308,5 =+=+

    Ou de maneira mais exata:

    000

    000

    000

    pprp 60,82,340,5 =+=+

    S vale para armadura de protenso ADERENTE

    (d) Dados s e p calcular sd e pd

    2pd

    2p

    2

    2

    s

    pyd

    pydpppd

    2sd2sd

    000

    s

    2

    2

    ydydsssdyd

    cmtf87,14

    1000

    60,8.1950

    cmtf1950GPa195E

    cmtf87,14

    15,1

    cmtf19

    9,0f9,0

    f.E

    cmtf35,4

    cmtf35,4

    1000

    5,32100

    1000

    5,35,3

    cmtf35,4

    15,1

    cmtf0,5

    ff.Ef

    =

    ==

    ==

    ==

    ==

    ==

    ===

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    63

    (e) Calcular Rcd, Rsd e Rpd

    tf3,2795,57.8,0.40.4,1

    25,0.85,0x8,0.b.f.85,0R wcdcd ===

    sd sd s sR A 4,35.A= =

    pd pd pR A 14,87.11,8 175,5 tf= = =

    (f) Calcular Mrd e Nrd

    1) 5,175A.35,43,279RRRN spdsdcdrd ==

    2) rd cd sd s pd ph h h

    M R 0,4x A d R d2 2 2

    = + +

    ( ) ( ) )60110(5,17560115A.35,45,57.4,0603,279M srd ++=

    srd A.2,23919209M +=

    (g) Calcular As e Mrd tal que Nrd=Nsd=0 (flexo simples)

    De 1), temos;

    2pdcd

    s cm86,2335,4

    5,1753,279

    35,4

    RRA =

    =

    =

    e

    m.tf2,249cm.tf24917)86,23.(2,23919209M 2rd ==+=

    Repetindo a seqncia para x

    d=0,30 e

    x

    d=0,10, temos:

    Tabela 10

    Pontos x

    d As (cm

    2) Mrd (tfm) c Rcd Rpd

    A 0,10 -27,5 52,93 1,11% 55,94 175,5

    B 0,30 -1,82 160,81 3,50% 167,64 175,5

    C 0,50 23,88 248,17 3,50% 279,39 175,5

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    0,1

    0,3

    0,5

    A

    B

    C

    B

    C

    A

    D

    As (cm2)

    Msd,Mrd

    x

    d

    Msd

    As,sol=10,60 cm2

    Figura 54 Grfico As x Mrd do Exemplo F-ELU-1

    Para Msd=203,2 tfm a soluo est entre os pontos B e C, logo;

    ( )( )

    ( )( ) ( ) 2s,sol203, 2 160,81

    A 23,88 1,82 1,82 10,60 cm248,17 160,81

    + =

    Se buscssemos a soluo exata obteramos As=9,91 cm2 para x=45 cm.

    Checagem de As,min:

    ( )min,ca 0,15% p/fck 25

    smin p c

    0,15%A 0,15% 0,5 A

    2

    = =

    =

    ,-.

    %25,00025,0120.40

    118===p logo

    2

    min, 60,3120.40.2

    %15,0cmAs ==

    Observao: Caso a soluo exigisse x/d >0,50 no seria possvel e teramos que aumentar

    a seo, ou o fck ou colocar 'sA (armadura de compresso).

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    65

    4.3. Dimensionamento ou verificao, a flexo simples, de vigas de

    seo retangular composta por armadura protendida aderente e por

    armadura passiva dupla.

    4.3.1. Dados de entrada:

    Figura 55 Seo de Viga com Armadura Passiva Dupla

    Esforos solicitantes:

    Msd Mrd

    PF

    Nsd=Nrd=0

    Geometria e armadura protendida

    bw; h; d; d; dp; Ap;P

    Materiais

    fck; fy (armadura passiva) e Es; fpyk (armadura ativa) e Ep

    4.3.2. Seqncia geral de soluo.

    Existem dois caminhos possveis, pois temos trs incgnitas e somente 2 equaes (Nrd e Mrd), portanto deveremos fixar uma das incgnitas.

    Incgnitas:

    x = ? (Posio da linha neutra)

    As = ? (Armadura Passiva de Trao)

    'sA = ? (Armadura Passiva de Compresso)

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    1 Caminho

    Fixa-se x

    0,50d , isto possvel quando j temos a soluo com 'sA 0= , que no foi

    vivel.

    Fixando x

    d seguiremos os passos dados anteriormente calculando, tambm, s e

    sd,

    dados por:

    ( )

    ( )

    '

    's c

    ' 'yd sd s s yd

    de compresso

    x d

    xe

    f E f

    =

    =

    Na seqncia obteremos:

    m m' 's sd

    s sd

    'rd cd sd sd pd

    AA

    N R R R R

    = (1)

    msd s'sd

    ' ' 'rd cd sd s pd p

    R

    h h h hM R 0,4x A d A d R d

    2 2 2 2 = + + +

    (2)

    Impondo Nrd=Nsd=0 e Mrd=Msd , temos de (1) e (2);

    pdsdssdscd R.A'.'AR0 +=

    sd s

    ' ' 'rd cd sd s pd p

    h h h hM R 0,4x A d A d R d

    2 2 2 2 = + + +

    Duas equaes a duas incgnitas: As e As.

    Destas duas equaes teremos um par soluo As e As para o valor x

    d fixado.

    Cabe ao projetista escolher o par mais conveniente, desde que:

    x

    d 0,50 para concretos com fck 35 MPa; ou

    x

    d 0,40 para concretos com fck > 35 MPa.

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    2 Caminho

    Arbitrar As e repetir os passos da soluo com armadura simples, para vrios x

    d e calcular

    qual As fornece Mrd=Msd.

    Ou seja aqui tem-se um par de solues: As e x

    d - para cada As arbitrado - e cada par uma

    soluo vlida se 50,0d

    x .

    4.3.1. Exemplo F-ELU-2

    Repetir o exemplo F-ELU-1 com Msd= 260,1 tfm, onde ser necessrio usar As0, para se

    garantir x

    0,50d . Usar d =5 cm.

    1 Caminho

    Impondo x

    d=0,50, Nrd=Nsd=0 e Mrd=Msd=260,1 tfm=26010tfcm, teremos;

    As=2,45 cm2 e As=26,36 cm

    2.

    2 Caminho

    Repetir a seqncia dada em F-ELU-1 para x

    d=0,10; 0,30 e 0,50, teremos, portanto:

    Para x

    0,10 x 11,5 cmd= =

    ( )' ' 2s sd

    11,5 5 0,631,11 0,63 2100 1, 32 tf cm

    11,5 1000

    = = = =

    e

    s

    'rd sN 55,9 A 1, 32 A 4, 35 175,5=

    s

    'rd s

    120 120 120 120M 55,9 0, 4.11,5 1, 32 A 5 4,35 A 115 175,5 110

    2 2 2 2 = + + +

    Para x

    0,50 x 57,5 cmd= =

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    2's

    's00

    000

    0's cm/tf35,41000

    2,3.21002,3

    5,57

    )55,57(5,3 ===

    =

    e

    5,175A.35,4'A.35,43,279RR'RRN sspdsdsdcdrd ==

    s

    'rd s

    120 120 120 120M 279,5 0, 4.57, 3 4,15 A 5 4,35 A 115 175,5 110

    2 2 2 2 = + + +

    Arbitrando As, obteremos pares de solues x

    d e As, que sero solues vlidas sempre

    que x

    d 0,50.

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    4.4. Dimensionamento ou verificao, a flexo simples, de vigas de

    seo retangular composta por armadura de protenso NO-

    ADERENTE e por armadura passiva dupla.

    Na armadura de protenso no-aderente o que se modifica na marcha de clculo,

    anteriormente descrita, o ganho de alongamento p. Isto decorre pelo fato da armadura deslizar ao longo de toda a viga, sendo que no o ganho de alongamento da seo transversal em estudo que deve ser calculado, mas sim uma mdia destes ganhos ao longo de toda viga.

    Para avaliar p neste caso temos trs opes:

    A. Abordagem da Nova Norma NBR6618/2003 Item 17.2.2 (adaptado do ACI-318)

    Sendo p o ganho incremental de tenses, temos que:

    - Para 35d

    l (l o vo em estudo)

    pp

    p

    fck70 MPa 420 MPa

    A100

    b.d

    = +

    - Para 35d>

    l

    pp

    p

    fck70 MPa 210 MPa

    A300

    b.d

    = +

    resultando:

    p p pr p pydE f = +

    B. Abordagem aproximada

    Utiliza-se a mesma seqncia j discutida para o clculo, sendo p dado por:

    p pr p = +

    Com 0,50 para vigas e lajes isostticas (1 vo).

    0, 20 para vigas e lajes contnuas (mais de 1 vo).

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    um fator que leva em conta a parcela de ganho de protenso em uma armadura no-aderente em relao ao que se obteria com armadura aderente (o

    valor de para armadura aderente igual a 1,0).

    C. Despreza-se o acrscimo de protenso no clculo de Rsp

    Ou seja, deve-se tomar:

    = Ppsp F.R

    4.4.1. Exemplo F-ELU-3

    Resolver a viga apresentada no exemplo F-ELU-1, porm considerando que a armadura de protenso do tipo no aderente.

    Conforme exposto, a seqncia de clculo a mesma, modificando-se porm o clculo de

    p, sp e Rsp.

    a) Clculo do acrscimo de protenso com a opo A:

    Supondo que o vo seja menor que 38,5 m, ou seja 35dP

    l

    (dP=1,10 m)

    pp

    p

    fck70 MPa 420 MPa

    A100

    b.d

    = +

    p

    2570 MPa 163, 2 MPa 420 MPa

    11,8100

    40.110

    = + =

    2pyd

    2pprpp tf/m 87,14f tf/m 16,1263,11000

    40,5.1950.E ==+=+=

    e

    tf5,14316,12.8,11.AR ppsp === para qualquer x/d

    Para x

    d=0,10

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    De 1: 5,143A.35,49,55N srd =

    De 2: ( ) ( ) )60110(5,14360115A.35,45,11.4,060.9,55M srd ++=

    Como estamos na flexo simples temos:

    Nrd=Nsd=0 e aplicando em 1 temos:

    As= -20,14 cm2

    De 2 temos; Mrd=54,5 tfm.

    Repetindo a sequncia para x

    d=0,30 e

    x

    d=0,50 temos:

    Tabela 11

    x/d As (cm2) Mrd (tfm)

    0,10 -20,14 54,5

    0,30 5,54 162,41

    0,50 31,23 249,77

    Para Mrd=203,2 tfm, interpolando entre 0,30 e 0,50, obtemos As=17,54 cm2.

    b) Clculo do acrscimo de protenso pela opo B:

    Nesta opo, o acrscimo de protenso dado por p, ou seja, o alongamento p :

    Supondo que esta viga tenha mais de 1 vo, temos: =0,20, e para x

    d=0,10

    p pr p 5, 08 0, 20.9,51 = 6,98 = + = +

    2pyd

    2ppp tf/m 87,14f tf/m 6,131000

    98,6.1950.E ====

    tf6,1608,11.6,13.AR ppsp ===

    Logo Nrd e Mrd ficam:

    De 1: 6,160A.35,49,55N srd =

    De 2: ( ) ( ) ( )rd sM 55,9 60 0, 4.11,5 4, 35A 115 60 160,6 110 60= +

    Impondo Nrd=Nsd=0 e aplicando em 1 temos:

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    As=-24,06 cm2

    De 2 temos; Mrd=53,7 tfm

    Analogamente podemos montar, comx

    d=0,30 e

    x

    d=0,50, a tabela abaixo:

    Tabela 12

    x/d As (cm2) Mrd (tfm)

    0,10 -24,064 53,7

    0,30 3,55 162,0

    0,50 33,97 250,4

    Para Mrd=203,2 tfm, interpolando entre 0,30 e 0,50, obtemos As=17,72 cm2.

    A tabela 13 e a figura 56 abaixo apresentam um resumo das opes calculadas nos exemplos F-ELU-1, F-ELU-2 e F-ELU-3:

    Tabela 13

    Tipo de Protenso

    As d

    x As Mrd

    0,10 -27,52 52,89 0,30 -1,82 160,81 Aderente 0 0,50 23,88 248,17

    0,10 -22,52 64,85 0,30 3,18 172,76 Aderente 5,00 0,50 28,88 260,13

    0,10 -20,14 54,50 0,30 5,54 162,41

    No-aderente Opo A

    0 0,50 31,23 249,77

    0,10 -24,06 53,70 0,30 3,55 162,00

    No-aderente Opo B

    0 0,50 33,97 250,40

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    73

    Figura 56

    4.5.1. Exemplo F-ELU-4

    Resolver a viga apresentada no exemplo F-ELU-1, com a colaborao de uma mesa de compresso com bf=100 cm e hf=10 cm, e considerando que a armadura de protenso do tipo aderente.

    Figura 57

    Ap=11,8 cm2; Ao CP-190-RB; Ep=195 GPa; P=129,8 tf; As = ?; CA-50; Es=210 GPa;

    fck=25 MPa; Ec=23,8 MPa

    Clculo da posio do CG:

    cm9,5310).40100(120.40

    2

    10.10).40100(

    2

    120.120.40

    h).bb(h.b

    2

    h.h).bb(

    2

    h.h.b

    yfwfw

    ffwfw

    s =+

    +=

    +

    +=

    0

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    -30 -20 -10 0 10 20 30 40

    Aderente Aderente (As'=5 )

    No-Aderente (Opo A ) No-Aderente (Opo B)

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    A sequncia de clculo a mesma apresentada no exemplo F-ELU-1, com a adio do clculo da resultante de compresso do concreto nas abas (partes laterais da mesa de compresso).

    a) Dados x

    0,10d= (Depois ser feito para

    x

    d=0,30 e

    x

    d=0,50)

    x 0,10.115 11,50 cm= = ,

    Obs: o melhor comear com x/d = 0,50 pois dada uma noo de qual o maior valor de Mrd suportado por esta configurao.

    b) Calcular c

    Para

    c

    x x 11,50,10 0, 259 10 10 1,11

    d x d 115 -11,5= < = = =

    (Domnio 2)

    c) Calcular p, s, pr e p (anlogo ao exemplo F-FLU-1)

    ( )s

    1 0,101,11 10

    0,10

    = =

    p

    1100,10

    1151,11 9,510,10

    = =

    pr

    129,80,90 0, 00508 5, 08

    1950.11,8 = = Ep=195 GPa = 1950 tf/cm

    2

    Ou da maneira mais correta.

    ( ) ( )ppr p p pp p

    F1 5, 08 1 8,19.0, 00246.3, 08 5, 40

    E A + = + =

    p pr p 5, 08+9,51 = 14,59 = +

    p pr p 5, 40+9,51 = 14,91 = + =

    S vale para armadura de protenso ADERENTE

    d) Dados s e p calcular sd e pd

    2sd s s yd sd

    2pd p p pyd pd

    tfE f 4, 35cm

    tfE f 14,87cm

    = =

    = =

    e) Clculo das foras resultantes Rcd, Rsd e Rp

    A resultante de compresso no concreto ser dividida em duas partes Rcd, alma e Rcd,abas como mostrado a seguir:

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    75

    Se f0,8x h

    Figura 58

    ( )cd,alma cd w

    cd,abas cd f w

    R 0,85f b 0,8x

    R 0,85f b b 0,8x

    =

    =

    Se f0,8x h

    Figura 59

    ( )cd,alma cd w

    cd,abas cd f w f

    R 0,85f b 0,8x

    R 0,85f b b h

    =

    =

    As duas situaes podem ser expressas pelas resultantes Rcd,alma e Rcd,aba com ft 0,8x h= (e se x

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    g) Clculo de As tal que NRd=NSd=0 (flexo simples):

    De 1:

    cd,alma cd,abas pd 2s

    sd

    R R R 55,9 83,8 175,5A 8, 23 cm

    4, 35

    + + = = =

    e

    ( )rdM 16732 265,8. 8, 3 14544 tf .cm 145,44 tfm= + = =

    Repetindo a sequncia para x

    d=0,30 e

    x

    d=0,50 obtemos:

    Tabela 14

    Ponto x

    d

    As

    cm2

    MRd

    tfm

    Rcd,alma

    tf

    Rcd,abas

    tf

    Rpd

    tf

    sd

    tf/cm2

    A 0,10 -8,23 145,4 55,9 83,8 175,5 4,35

    B 0,30 19,11 267,5 167,6 91,1 175,5 4,35

    C 0,50 44,80 332,3 279,3 91,1 175,5 4,35

    0,1

    0,3

    0,5

    A

    B

    C

    B

    C

    A

    As (cm2)

    Mrdtfm

    x

    d

    Msd=203,2

    As,sol=4,71 cm2

    Figura 61

    Para o momento solicitante MSd=203,2 tfm, a soluo est entre os pontos A e B, e por interpolao linear temos:

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    77

    2sd,s cm 71,4)23,8())23,8(11,19.()4,1455,267(

    )4,1452,203(A =+

    Para o momento solicitante MSd=260,1 tfm, que para a seo retangular foi solucionada com armadura de compresso As (exemplo F-ELU2), a soluo por interpolao linear :

    2sd,s cm 50,17)23,8())23,8(11,19.()4,1455,267(

    )4,1451,260(A =+

    4.6. Tabela com adimensionais para a soluo de problemas de flexo

    simples com armadura de protenso aderente.

    Figura 62

    Para a seo da Figura 61, obtm-se as seguintes relaes:

    1 Rd cd w sd s pd p sdN 0,85f b 0,8.x A A N 0= = =

    No caso da flexo simples (Nsd=0) pode-se fazer o momento das resultantes Rcd e Rpd em relao armadura As, assim:

    2 ( ) ( )Rd cd w pd p pM 0,85f b 0,8.x d 0, 4x A d d= Dividindo as expresses 1 por bwd.fcd e a 2 por bwd

    2.fcd obtemos;

    1 s yd pd p ptdcd w sd

    w cd yd w cd ptd w cd

    A f A .0,9f0,85f b 0,8.x.d0

    b d.f d f b d.f 0,9f b d.f

    =

    2 ( ) ( )pd p ptdRd cd w p2 2 2w cd w cd ptd w cd

    A 0,9fM 0,85f b 0,8.xd 0, 4x d d

    b d f b d f 0,9f b d f

    =

    Definindo as variveis adimensionais:

    Rdd 2

    w cd

    M

    b d f = Ateno, aqui usamos d, e no h como se faz em pilares.

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    78

    s yds

    w cd

    A f

    b df =

    p ptdp

    w cd

    A 0,9f

    b df =

    Com estes adimensionais as expresses 1 e 2 se transformam em:

    1 pdsd s pyd ptd

    x0,68 0

    d f 0,9f

    =

    2 pd pd pptd

    dx x0,68 1 0,4 1

    d d 0,9f d

    =

    Ou seja, dado um x

    d obtemos sd e pd por:

    c sd yd

    p

    pp

    x0, 259 10 = f

    dd x

    d x d d10 10xd x 1d

    =

    = =

    Domnio 2

    c sd s s yd

    p

    p

    x1x d0, 259 3,5 = E f

    xdd

    d x

    d d3,5x

    d

    > =

    =

    Domnios 3 e 4

    E das expresses 1 e 2;

    pdp

    ptds

    sd

    yd

    x0,68

    d 0,9f

    f

    = 1

    pd pd p

    ptd

    dx x0,68 1 0, 4 1

    d d 0,9f d

    =

    O valor de pd dado por;

    ( )pd p pr p pyd ptdE f 0,9f = +

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    79

    Podem ser consideradas tabelas auxiliares para o dimensionamento como a apresentada abaixo:

    Dados Resultados

    pd

    d p

    x

    d d s

    p

    0,95 0,09 0,30 0,175 0,114 7,58 Exemplos 0,75 0,09 0,30 0,157 0,114 2,25

    Para a construo foram fixados:

    pr 5 para aos CP-190 RN ou RB e Ep = 200 GPa

    Es = 210 GPa para ao CA-50

    Um exemplo deste tipo de tabela encontra-se a seguir, para pd

    d=0,95; p

    d

    d=0,85; p

    d

    d=0,75.

  • Tabela de adimensioais para f lexo simples em sees retangulares comarmaduras aderentes

    Dado de entrada Resultados obtidos Vlido para as seguintes condies

    f py d=0,9f ptd 14,87

    s Pr alongamento maior que 5/oofyd (tf/cm)= 4,35 p p Aos; CP 190 RN ou RBEs= 2100 dp/d CA 50

    Ep= 1950 x/d

    dp/d p s p s p s p s p s p s p s

    0,950 0,090 0,029 0,000 0,120 0,027 0,000 0,150 0,026 0,000 0,180 0,024 0,000 0,210 0,023 0,000 0,240 0,021 0,000 0,270 0,020 0,000

    0,950 0,090 0,061 0,000 0,120 0,059 0,000 0,150 0,058 0,000 0,180 0,056 0,000 0,210 0,055 0,000 0,240 0,053 0,000 0,270 0,052 0,000

    0,950 0,090 0,091 0,012 0,120 0,090 0,000 0,150 0,088 0,000 0,180 0,087 0,000 0,210 0,085 0,000 0,240 0,084 0,000 0,270 0,082 0,000

    0,950 0,090 0,121 0,046 0,120 0,119 0,016 0,150 0,118 0,000 0,180 0,116 0,000 0,210 0,115 0,000 0,240 0,113 0,000 0,270 0,112 0,016

    0,950 0,090 0,149 0,080 0,120 0,147 0,050 0,150 0,146 0,020 0,180 0,144 0,000 0,210 0,143 0,000 0,240 0,141 0,000 0,270 0,140 0,050

    0,950 0,090 0,175 0,114 0,120 0,174 0,084 0,150 0,172 0,054 0,180 0,171 0,024 0,210 0,169 0,000 0,240 0,168 0,000 0,270 0,166 0,084

    0,950 0,090 0,200 0,148 0,120 0,199 0,118 0,150 0,197 0,088 0,180 0,196 0,058 0,210 0,194 0,028 0,240 0,193 0,000 0,270 0,191 0,118

    0,950 0,090 0,224 0,182 0,120 0,222 0,152 0,150 0,221 0,122 0,180 0,219 0,092 0,210 0,218 0,062 0,240 0,216 0,032 0,270 0,215 0,152

    0,950 0,090 0,246 0,216 0,120 0,245 0,186 0,150 0,243 0,156 0,180 0,242 0,126 0,210 0,240 0,096 0,240 0,239 0,066 0,270 0,237 0,186

    0,950 0,090 0,268 0,250 0,120 0,266 0,220 0,150 0,265 0,190 0,180 0,263 0,160 0,210 0,262 0,130 0,240 0,260 0,100 0,270 0,259 0,220

    dp/d p s p s p s p s p s p s p s

    0,850 0,090 0,020 0,000 0,120 0,015 0,000 0,150 0,011 0,000 0,180 0,006 0,000 0,210 0,002 0,000 0,240 -0,003 0,000 0,270 -0,007 0,000

    0,850 0,090 0,052 0,000 0,120 0,047 0,000 0,150 0,043 0,000 0,180 0,038 0,000 0,210 0,034 0,000 0,240 0,029 0,000 0,270 0,025 0,000

    0,850 0,090 0,082 0,012 0,120 0,078 0,000 0,150 0,073 0,000 0,180 0,069 0,000 0,210 0,064 0,000 0,240 0,060 0,000 0,270 0,055 0,000

    0,850 0,090 0,112 0,046 0,120 0,107 0,016 0,150 0,103 0,000 0,180 0,098 0,000 0,210 0,094 0,000 0,240 0,089 0,000 0,270 0,085 0,016

    0,850 0,090 0,140 0,080 0,120 0,135 0,050 0,150 0,131 0,020 0,180 0,126 0,000 0,210 0,122 0,000 0,240 0,117 0,000 0,270 0,113 0,050

    0,850 0,090 0,166 0,114 0,120 0,162 0,084 0,150 0,157 0,054 0,180 0,153 0,024 0,210 0,148 0,000 0,240 0,144 0,000 0,270 0,139 0,084

    0,850 0,090 0,191 0,148 0,120 0,187 0,118 0,150 0,182 0,088 0,180 0,178 0,058 0,210 0,173 0,028 0,240 0,169 0,000 0,270 0,164 0,118

    0,850 0,090 0,215 0,182 0,120 0,210 0,152 0,150 0,206 0,122 0,180 0,201 0,092 0,210 0,197 0,062 0,240 0,192 0,032 0,270 0,188 0,152

    0,850 0,090 0,237 0,216 0,120 0,233 0,186 0,150 0,228 0,156 0,180 0,224 0,126 0,210 0,219 0,096 0,240 0,215 0,066 0,270 0,210 0,186

    0,850 0,090 0,259 0,252 0,120 0,254 0,223 0,150 0,250 0,193 0,180 0,246 0,164 0,210 0,241 0,135 0,240 0,237 0,106 0,270 0,232 0,223

    dp/d p s p s p s p s p s p s p s

    0,750 0,090 0,011 0,000 0,120 0,003 0,000 0,150 -0,004 0,000 0,180 -0,012 0,000 0,210 -0,019 0,000 0,240 -0,027 0,000 0,270 -0,034 0,000

    0,750 0,090 0,043 0,000 0,120 0,035 0,000 0,150 0,028 0,000 0,180 0,020 0,000 0,210 0,013 0,000 0,240 0,005 0,000 0,270 -0,002 0,000

    0,750 0,090 0,073 0,012 0,120 0,066 0,000 0,150 0,058 0,000 0,180 0,051 0,000 0,210 0,043 0,000 0,240 0,036 0,000 0,270 0,028 0,000

    0,750 0,090 0,103 0,046 0,120 0,095 0,016 0,150 0,088 0,000 0,180 0,080 0,000 0,210 0,073 0,000 0,240 0,065 0,000 0,270 0,058 0,016

    0,750 0,090 0,131 0,080 0,120 0,123 0,050 0,150 0,116 0,020 0,180 0,108 0,000 0,210 0,101 0,000 0,240 0,093 0,000 0,270 0,086 0,050

    0,750 0,090 0,157 0,114 0,120 0,150 0,084 0,150 0,142 0,054 0,180 0,135 0,024 0,210 0,127 0,000 0,240 0,120 0,000 0,270 0,112 0,084

    0,750 0,090 0,182 0,148 0,120 0,175 0,118 0,150 0,167 0,088 0,180 0,160 0,058 0,210 0,152 0,028 0,240 0,145 0,000 0,270 0,137 0,118

    0,750 0,090 0,206 0,182 0,120 0,198 0,152 0,150 0,191 0,122 0,180 0,183 0,092 0,210 0,176 0,062 0,240 0,168 0,032 0,270 0,161 0,152

    0,750 0,090 0,229 0,219 0,120 0,222 0,191 0,150 0,215 0,162 0,180 0,208 0,133 0,210 0,200 0,104 0,240 0,193 0,075 0,270 0,186 0,191

    0,750 0,090 0,252 0,260 0,120 0,245 0,234 0,150 0,239 0,207 0,180 0,232 0,181 0,210 0,226 0,154 0,240 0,219 0,128 0,270 0,212 0,234

    dp/d p s p s p s p s p s p s p s0,650 0,090 0,002 0,000 0,120 -0,009 0,000 0,150 -0,019 0,000 0,180 -0,030 0,000 0,210 -0,040 0,000 0,240 -0,051 0,000 0,270 -0,061 0,000

    0,650 0,090 0,034 0,000 0,120 0,023 0,000 0,150 0,013 0,000 0,180 0,002 0,000 0,210 -0,008 0,000 0,240 -0,019 0,000 0,270 -0,029 0,000

    0,650 0,090 0,064 0,012 0,120 0,054 0,000 0,150 0,043 0,000 0,180 0,033 0,000 0,210 0,022 0,000 0,240 0,012 0,000 0,270 0,001 0,000

    0,650 0,090 0,094 0,046 0,120 0,083 0,016 0,150 0,073 0,000 0,180 0,062 0,000 0,210 0,052 0,000 0,240 0,041 0,000 0,270 0,031 0,016

    0,650 0,090 0,122 0,080 0,120 0,111 0,050 0,150 0,101 0,020 0,180 0,090 0,000 0,210 0,080 0,000 0,240 0,069 0,000 0,270 0,059 0,050

    0,650 0,090 0,148 0,114 0,120 0,138 0,084 0,150 0,127 0,054 0,180 0,117 0,024 0,210 0,106 0,000 0,240 0,096 0,000 0,270 0,085 0,084

    0,650 0,090 0,173 0,148 0,120 0,163 0,118 0,150 0,152 0,088 0,180 0,142 0,058 0,210 0,131 0,028 0,240 0,121 0,000 0,270 0,110 0,118

    0,650 0,090 0,199 0,187 0,120 0,189 0,159 0,150 0,179 0,131 0,180 0,169 0,102 0,210 0,159 0,074 0,240 0,149 0,046 0,270 0,139 0,159

    0,650 0,090 0,224 0,229 0,120 0,215 0,203 0,150 0,206 0,177 0,180 0,197 0,151 0,210 0,188 0,125 0,240 0,179 0,100 0,270 0,170 0,203

    0,650 0,090 0,247 0,269 0,120 0,239 0,245 0,150 0,230 0,221 0,180 0,222 0,197 0,210 0,214 0,173 0,240 0,205 0,150 0,270 0,197 0,245

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    81

    4.6.1. Exemplo F-ELU-5

    Dimensionar a armadura passiva do exemplo F-ELU-1 com auxlio das tabelas com adimensionais para sees retangulares.

    Para este exemplo podemos usar a tabela pois pr 5, 4 > 5 = e os aos utilizados so

    CA-50 e o CP 190 RB, este aderente.

    Os dados de entrada so:

    pd 110 0,957d 115= =

    214,0

    4,1

    tf/cm 25,0.cm 115.cm 40

    tf/cm 87,14.cm 8,11

    f.d.b

    f.9,0.A2

    22

    cdw

    ptdpp ===

    ( )215,0

    4,1

    tf/cm 25,0.cm 115.cm 40

    tf.cm 03202

    f.d.b

    M2

    2cd2

    w

    Rdd ===

    Entrando com os dados na tabela com;

    p

    p s

    d

    d0,95

    d0, 21 0, 059

    mi 0, 215

    =

    = =

    Logo

    22

    2

    wyd

    cdss cm11,14 cm cm.115 40.

    tf/cm ,3544,1

    tf/cm 25,0

    .059,0d.b.f

    f.A ===

    Note que no exemplo F-ELU-1 a armadura calculada foi de 10,60 cm2, semelhante a obtida neste exemplo.

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    82

    4.6.2. Exemplo F-ELU-6

    Dimensionar a armadura passiva do exemplo F-ELU-3 (com protenso no-aderente) fazendo uma adaptao para o uso das tabelas com adimensionais.

    Podemos usar a tabela, com adaptaes, pois pr 5, 4 > 5 = e os aos utilizados so

    CA-50 e o CP 190 RB.

    A adaptao necessria, com armadura no-aderente (cordoalhas engraxadas) usa a opo

    A, exposta no item 4.4, onde se calcula pd por:

    p p pr p pydE f = +

    pp

    p

    fck70 MPa 420 MPa

    A100

    b.d

    = + Supe-se aqui que 35dP

    l

    2p

    2570 MPa 163, 2 MPa 1,63 tf cm 420 MPa

    11,8100

    40.110

    = + = =

    e

    3 2p

    5, 41,95.10 1,63 12,16 tf cm

    1000 = + =

    As adaptaes para o uso da tabela considerar os seguintes adimensionais:

    175,0

    4,1

    tf/cm 25,0.cm 115.cm 40

    tf/cm 16,12.cm 8,11

    f.d.b

    .A2

    22

    cdw

    pdpp ==

    =

    ( )215,0

    4,1

    tf/cm 25,0.cm 115.cm 40

    tf.cm 03202

    f.d.b

    M2

    2cd2

    w

    Rdd ===

    Entrando com os dados na tabela obtemos:

  • Escola Politcnica Universidade de So Paulo

    Prof. Ricardo Leopoldo e Silva Frana / Prof. Hideki Ishitani / Prof. Francisco Graziano

    PEF Departamento de Estruturas e Fundaes

    83

    p

    p s

    d

    d0,95

    d0,175 0,18 0, 088

    mi 0, 215

    =

    = =

    Logo

    22

    2

    wyd

    cdss cm 16,62cm cm.115 40.

    tf/cm ,3544,1

    tf/cm 25,0

    .088,0d.b.f

    f.A ===

    Valor prximo ao obtido no exemplo F-ELU-3