Circunferncia - mat. ? Estabelecer relaes entre ngulos, arcos, cordas e tangentes. Relacionar

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Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 1 Circunferncia Proposta de sequncia de tarefas para o 9. ano - 3. ciclo Junho de 2011 Autores: Professores das turmas piloto do 9 ano de escolaridade Ano Lectivo 2010 / 2011 Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 2 Introduo Tpico: Circunferncia - Lugares geomtricos - Circunferncia inscrita e circunferncia circunscrita a um tringulo - ngulo ao centro, ngulo inscrito e ngulo excntrico - Polgono regular inscrito numa circunferncia De acordo com o programa, neste tpico damos especial importncia ...visualizao e compreenso de propriedades de figuras geomtricas no plano, , desenvolvendo a compreenso das transformaes geomtricas e da noo de demonstrao. bem como utilizao dos novos conhecimentos e capacidades para resolver problemas. O trabalho em AGD (Ambientes de Geometria Dinmica) permite realizar construes dinmicas que so um recurso importante nas actividades de explorao pois facilitam a elaborao de estratgias construtivas, apoiam a formulao de conjecturas e a descrio dos processos. Estas actividades de explorao possibilitam que os alunos elaborem justificaes sob a forma de cadeias dedutivas o que os comea a familiarizar com os processos de demonstrao. Para atingir esses fins ou propsitos de ensino, propomos uma cadeia de tarefas que explora definies elementares de certos lugares geomtricos, j introduzidos em anteriores abordagens. Pretende-se melhorar a compreenso das propriedades de figuras e das relaes entre os seus elementos, como por exemplo posio relativa de pontos, rectas, segmentos e ngulos relativamente circunferncia. A cadeia de tarefas comea por abordar a mediatriz de um segmento, a bissectriz de um ngulo, a circunferncia e o crculo como lugares geomtricos, usando a noo de distncia entre pontos e entre pontos e rectas. A tarefa 2 aborda a construo de uma circunferncia definida por 3 pontos e a sua relao com tringulos. A tarefa 3 introduz cordas, arcos e tangentes. J na tarefa 4 explora-se a relao entre arcos de circunferncia e ngulos ao centro. As tarefas 5 e 6 tratam da relao entre arcos de circunferncia e ngulos inscritos na circunferncia, no interior ou no exterior do crculo. Finalmente, as tarefas 7 e 8 abordam os ngulos externos e internos de polgonos, com especial relevncia para o estudo dos polgonos inscritos em circunferncias. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 3 Proposta de planificao Blocos previstos Tpico Objectivos especficos Notas Tarefas Instrumentos 2 Circunferncia Lugares geomtricos Circunferncia inscrita e circunferncia circunscrita a um tringulo Identificar e construir circunferncia, crculo, bissectriz e mediatriz. Identificar superfcie esfrica e plano mediador. Construir a circunferncia inscrita e a circunferncia circunscrita a um tringulo dado. Resolver problemas envolvendo a circunferncia e outros lugares geomtricos. Tarefa 1 Lugares geomtricos Tarefa 2 Circunferncias e tringulos Material de Desenho 4 ngulo ao centro ngulo inscrito ngulo excntrico Estabelecer relaes entre ngulos, arcos, cordas e tangentes. Relacionar a amplitude de um ngulo ao centro com a do arco correspondente e determinar a rea do sector circular. Relacionar a amplitude de um ngulo inscrito e de um ngulo excntrico com a dos arcos associados. Resolver problemas envolvendo a circunferncia e outros lugares geomtricos. Propor como exemplos de relaes: - a tangente circunferncia perpendicular ao raio no ponto de tangncia; - a perpendicular a uma corda que passa pelo centro da circunferncia bissecta a corda. Considerar o vrtice do ngulo na circunferncia e no exterior e interior do crculo. Nas construes geomtricas recorrer a software de Geometria Dinmica. Tarefa 3 Cordas, arcos e tangentes Tarefa 4 ngulos e arcos Tarefa 5 ngulos inscritos Tarefa 6 ngulos excntricos Material de desenho AGD Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 4 2 Polgono regular inscrito numa circunferncia Determinar a amplitude de um ngulo interno e de um ngulo externo de um polgono regular Inscrever um polgono regular numa circunferncia (conhecidos o centro da circunferncia e um vrtice do polgono). Tarefas 7A e 7B ngulos externos e internos de polgonos Tarefa 8 Polgonos inscritos. Material de desenho AGD Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 5 Tarefa 1- Lugares geomtricos Com a realizao desta tarefa pretende-se que os alunos usem lugares geomtricos para resolver problemas, reforando as noes de mediatriz, bissectriz, crculo e circunferncia. Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 3 ciclo Tpico matemtico: Circunferncia Subtpicos matemticos: Lugares geomtricos Capacidades transversais: Raciocnio matemtico: formulao de conjecturas. Comunicao matemtica: interpretao, representao, expresso e discusso. Resoluo de problemas: compreenso do problema; concepo, aplicao e justificao de estratgias. Conhecimentos prvios dos alunos: Crculo e circunferncia: propriedades e construo. Bissectriz de um ngulo. Mediatriz de um segmento de recta. Aprendizagens visadas: Identificar e construir circunferncias, crculos, bissectriz e mediatriz. Identificar superfcie esfrica e plano mediador. Cadeia: 1 tarefa de Circunferncia Recursos: material de desenho. Durao prevista: 1 bloco de 90 minutos Notas para o professor: Espera-se que os alunos resolvam as situaes propostas, desencadeando mecanismos de aplicao dos seus conhecimentos quanto s propriedades e construo da circunferncia, do crculo, da mediatriz e da bissectriz. O conceito de lugar geomtrico deve ser construdo nesta aula. Se os alunos no tiverem presente a noo de bissectriz pode-se recorrer ao facto da bissectriz ser o eixo de simetria do ngulo. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 6 No momento da aula que o professor considerar oportuno deve definir superfcie esfrica e plano mediador generalizando para o espao a noo de circunferncia e de mediatriz como lugares geomtricos. Poder referir, por exemplo que as bolinhas de sabo, se forem perfeitas, so superfcies esfricas. Todos os pontos da superfcie esfrica esto mesma distncia do centro. Se a bola estivesse cheia, obteramos um slido que se chama esfera. Um plano situado entre dois pontos A e B, que contm o ponto mdio do segmento AB e perpendicular a este segmento chama-se plano mediador do segmento de recta AB. Todos os pontos desse plano so equidistantes de A e de B. Palavras chave: lugar geomtrico; circunferncia; crculo; bissectriz; mediatriz; superfcie esfrica; esfera; plano mediador. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 7 Distncia de um ponto a uma recta a medida do comprimento do segmento de recta perpendicular recta que tem por extremos o ponto dado e o ponto da recta. Tarefa 1- Lugares geomtricos 1. O sinal sonoro Do Hospital (ponto H), foi emitido um sinal sonoro s 11:32:04, o qual foi ouvido na Rua da Pega (ponto A) s 11:32:05, ou seja, passado 1 segundo. Para responderes s questes seguintes ignora as condies atmosfricas e as barreiras arquitectnicas e de demografia do terreno. 1.1. Marca no mapa, todos os pontos onde o sinal sonoro foi ouvido ao mesmo tempo que em A. Que figura geomtrica (lugar geomtrico) obtiveste? 1.2. Pensa, agora, em todos os pontos onde o sinal sonoro foi ouvido antes das 11:32:05. Representa-os. Que lugar geomtrico obtiveste? 1.3. Qual a distncia do ponto A Estrada Nacional N109? 1.4. Determinaste a distncia do ponto A estrada N109. Assinala no mapa todos os pontos que esto a essa distncia da estrada N109. Que lugar geomtrico obtiveste? 1.5. Assinala no mapa todos os pontos que esto mesma distncia (equidistantes) de A e de B. Que lugar geomtrico obtiveste? Lugar geomtrico um conjunto de pontos do espao que gozam de uma propriedade comum. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 8 2. Bissectriz de um ngulo Na figura esto representadas duas semi-rectas que se intersectam no ponto G. 2.1. Constri a bissectriz do ngulo desenhado. 2.2. Escolhe um ponto P da bissectriz e determina a sua distncia a cada um dos lados do ngulo. 2.3. Repete a alnea anterior para outros pontos. 2.4. Qual a propriedade comum a todos os pontos da bissectriz. Nota: Um processo de construo: - Encontra dois pontos (X e Y), nos lados do ngulo, mesma distncia do vrtice (ponto G); - Encontra um ponto Z equidistante de X e Y; - A semi-recta GZ a bissectriz do ngulo XGY. Bissectriz de um ngulo o lugar geomtrico dos pontos que esto mesma distncia dos lados desse ngulo. A bissectriz AE, do ngulo BAC, a semi-recta tal que os ngulos BAE e EAC so congruentes. Mediatriz de um segmento de recta o lugar geomtrico dos pontos do plano equidistantes dos extremos do segmento. A mediatriz m, do segmento de recta XY, a recta perpendicular a XY no seu ponto mdio. Circunferncia o lugar geomtrico dos pontos do plano que esto mesma distncia de um ponto fixo que o centro da circunferncia. Crculo o lugar geomtrico dos pontos do plano cuja distncia a um ponto fixo (centro do crculo) menor ou igual a um nmero dado (raio). X y m A B C E Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 9 3. Tesouro perdido H muito que se sabia de um tesouro escondido algures num certo local, mas durante sculos todas as tentativas para o encontrar falharam. Contudo, h alguns anos foi descoberto um mapa que foi a chave para a localizao do tesouro. Se no fossem seguidas escrupulosamente as instrues o tesouro jamais seria localizado. De acordo com as seguintes instrues, descobre no mapa o local do tesouro. Passo 1: Encontra dois pontos A e B do rio distncia de 40 metros de G; Passo 2: Encontra os pontos equidistantes de A e B; Passo 3: Encontra os pontos que esto mesma distncia das linhas e e f; Passo 4: Encontra os pontos que verificam, ao mesmo tempo, as condies dos passos 2 e 3. Passo 5: O tesouro encontrava-se enterrado num desses pontos situado a mais de 40 metros do ponto G. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 10 Tarefa 2 Circunferncias e tringulos Com a realizao desta tarefa pretende-se construir as circunferncias inscrita e circunscrita a um tringulo dado. Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 3 ciclo Tpico matemtico: Circunferncia Subtpicos matemticos: Circunferncia inscrita e circunferncia circunscrita a um tringulo. Capacidades transversais: Raciocnio matemtico: formulao de conjecturas. Comunicao matemtica: interpretao, representao, expresso e discusso. Resoluo de problemas: compreenso do problema; concepo, aplicao e justificao de estratgias. Conhecimentos prvios dos alunos: Construo e identificao dos lugares geomtricos - circunferncia, bissectriz de um ngulo e mediatriz de um segmento de recta pelas suas propriedades. Identificao e construo dos diversos tipos de tringulos. Aprendizagens visadas: Construir a circunferncia inscrita e a circunferncia circunscrita a um tringulo dado. Cadeia: 2 tarefa de Circunferncia Recursos: Material de desenho. Computadores com software de geometria dinmica. Durao prevista: 1 bloco de 90 minutos Notas para o professor: Nos itens 1 e 2, os alunos devem trabalhar com material de desenho. Vo utilizar os conhecimentos apreendidos sobre lugares geomtricos para obterem as circunferncias inscrita e circunscrita a um tringulo dado. O item 3 poder ser realizado num ambiente de geometria dinmica ou usando material de desenho e pode ser deixado para um momento de resoluo de problemas. Este item destina-se a aplicar os conhecimentos que o aluno adquiriu e tem um carcter exploratrio. No caso de este item ser realizado em ambiente de geometria dinmica, pode dar-se-lhe outra redaco sugerindo que se considere apenas um tringulo, se encontre o circuncentro e o incentro e, por arrastamento dos vrtices do tringulo, identificar a posio destes pontos nos diversos tipos de tringulos. Palavras chave: circunferncia, tringulos, incentro, circuncentro, inscrita, circunscrita. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 11 Tarefa 2 Circunferncias e tringulos 1. Desenha um tringulo XYZ. 1.1. Determina o ponto que est mesma distncia dos trs vrtices do tringulo. 1.2. Desenha a circunferncia que passa pelos trs vrtices do tringulo. A circunferncia que passa pelos trs vrtices de um tringulo diz-se circunferncia circunscrita ao tringulo e o seu centro o circuncentro do tringulo. 2. Desenha um tringulo ABC. 2.1. Encontra o conjunto de pontos que: 2.1.1. esto mesma distncia dos lados AB e AC do tringulo; 2.1.2. esto mesma distncia dos lados AB e BC do tringulo; 2.1.3. esto mesma distncia dos trs lados do tringulo. 2.2. Desenha a circunferncia que tangente a todos os lados do tringulo. A circunferncia que tangente aos trs lados de um tringulo diz-se circunferncia inscrita no tringulo e o seu centro tem o nome de incentro do tringulo. 3. Desenha trs tringulos tua escolha, sendo um rectngulo, um obtusngulo e outro acutngulo. 3.1. Encontra para cada caso o circuncentro 3.2. Em cada caso, qual a posio do ponto encontrado relativamente ao tringulo? 3.3. E o incentro? Pode ser um ponto exterior ao tringulo? Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 12 Tarefa 3 Cordas, arcos e tangentes Com a realizao desta tarefa pretende-se que os alunos estabeleam algumas relaes entre ngulos, cordas, arcos e tangentes numa circunferncia. Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 3 ciclo Tpicos matemticos: Circunferncia Subtpicos matemticos: Cordas, arcos e tangentes circunferncia Capacidades transversais: Resoluo de problemas: compreenso do problema e concepo, aplicao e justificao de estratgias. Raciocnio matemtico: formulao de conjecturas e argumentao. Comunicao matemtica: interpretao, representao, expresso e discusso. Conhecimentos prvios dos alunos: Mediatriz de um segmento de recta Transformaes geomtricas Soma dos ngulos internos de um quadriltero Aprendizagens visadas: Estabelecer relaes entre ngulos, arcos, cordas e tangentes numa circunferncia Resolver problemas envolvendo a circunferncia e outros lugares geomtricos. Cadeia: 3 tarefa de Circunferncia Recursos: Material de desenho. Durao prevista: 1 bloco de 90 minutos Notas para o professor: Utilizando material de desenho pretende-se que os alunos estabeleam relaes entre cordas, arcos e tangentes numa circunferncia. Na questo 1 pretende-se explorar o facto da mediatriz de qualquer corda passar pelo centro da circunferncia a que pertence. No item 1.2 o professor poder explorar tambm na discusso que fizer em grande grupo os teoremas recprocos. Na pergunta 2 a justificao de que cordas e arcos compreendidos entre cordas paralelas so geometricamente iguais, poder ser feito utilizando reflexes. Este um bom momento para recordar o estudo que foi realizado no tpico isometrias. J na questo 3 trabalha-se a relao de perpendicularidade entre uma tangente circunferncia e o raio que lhe corresponde no ponto de tangncia. Por fim, esta tarefa termina com trs problemas em que est subjacente a aplicao das propriedades estudadas nas alneas anteriores. Palavras chave: Circunferncia, cordas, arcos, tangentes, resoluo de problemas, material de desenho, mediatriz Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 13 Tarefa 3 Cordas, arcos e tangentes 1. Desenha um segmento de recta AB. 1.1. Traa duas circunferncias diferentes que contenham a corda AB. Explica o modo como procedeste. 1.2. Justifica as seguintes afirmaes: - Existe uma infinidade de circunferncias que passam por A e B. - Os centros das circunferncias que passam por A e B esto sobre a mediatriz do segmento de recta AB. - Uma recta perpendicular ao meio de qualquer corda de uma circunferncia passa pelo seu centro. Corda de uma circunferncia um segmento de recta cujos extremos so pontos da circunferncia. Arco de uma circunferncia uma poro de circunferncia compreendida entre dois pontos da circunferncia. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 14 2. Considera a figura em baixo onde AB e DC so cordas da circunferncia paralelas entre si. EF a mediatriz das cordas AB e DC. 2.1. Justifica que a recta EF passa pelo centro da circunferncia. 2.2. Qual a imagem do segmento de recta AD na reflexo de eixo EF? 2.3. Indica pares de segmentos de recta geometricamente iguais. 2.4. Indica pares de arcos de circunferncia geometricamente iguais. 2.5. Encontra uma justificao para a seguinte afirmao: Os arcos compreendidos entre duas cordas paralelas so geometricamente iguais, bem como as cordas que lhes correspondem 3. Na figura est representada a circunferncia de centro A e a recta tangente a essa circunferncia no ponto T (ponto de tangncia). 3.1. Traa o raio AT e verifica com a ajuda de um transferidor que a amplitude do ngulo formado por esse raio e a recta tangente representada de 90. 3.2. Considera um ponto S da circunferncia. Traa o raio AS. Como obterias a tangente circunferncia no ponto S? Desenha-a. 3.3. Com base nas alneas anteriores enuncia uma propriedade das tangentes circunferncia? Uma recta tangente a uma circunferncia se tem apenas um ponto comum com a circunferncia (ponto de tangencia). Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 15 4. Na figura ao lado as rectas BC e CD so tangentes circunferncia de centro A. Sem utilizares o transferidor calcula a amplitude do ngulo BCD. 5. Na figura seguinte est representada uma circunferncia e duas cordas. No se sabe onde est o centro desta circunferncia. Com a ajuda de um compasso e de uma rgua encontra-o e explica como procedeste. 6. Na figura em baixo, queremos traar uma circunferncia que passa por A e B e tenha o centro na recta r. Como havemos de proceder? Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 16 Tarefa 4 ngulos e arcos Com a realizao desta tarefa pretende-se que os alunos relacionem a amplitude de um ngulo ao centro com a do arco correspondente e determinem a rea de um sector circular. Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 3 ciclo Tpicos matemticos: Circunferncia Subtpicos matemticos: ngulo ao centro Capacidades transversais: Resoluo de problemas: compreenso do problema e concepo, aplicao e justificao de estratgias. Raciocnio matemtico: formulao de conjecturas e argumentao. Comunicao matemtica: interpretao, representao, expresso e discusso. Conhecimentos prvios dos alunos: Comprimento de uma circunferncia rea de um crculo rea de um trapzio. Aprendizagens visadas: Relacionar a amplitude de um ngulo ao centro com a do arco correspondente Determinar a rea de um sector circular. Cadeia: 4 tarefa de Circunferncia Recursos: Computadores com software de geometria dinmica. Durao prevista: 1 bloco de 90 minutos Notas para o professor: Usando um ambiente de geometria dinmica pretende-se, com as primeiras trs perguntas desta tarefa, que os alunos compreendam que a ngulos ao centro geometricamente iguais s correspondem arcos tambm geometricamente iguais se pertencerem a circunferncias com o mesmo raio e que a amplitude de um arco igual amplitude do ngulo ao centro correspondente. Na questo 4 pretende-se explorar a relao de proporcionalidade directa entre amplitude dos ngulos ao centro e a rea do sector circular correspondente. Por ltimo, propem-se dois problemas para a determinao de reas e permetros de figuras planas. Palavras chave: ngulo ao centro, arco, sector circular, reas, permetros Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 17 Tarefa 4 ngulos e arcos Os ngulos que tm o vrtice no centro de uma circunferncia chamam-se ngulos ao centro. 1. Usando o Geogebra traa duas circunferncias com raios diferentes 1.1. Em cada uma delas traa ngulos ao centro com 60 de amplitude. 1.2. Marca os arcos correspondentes a esses ngulos. Tm o mesmo comprimento? 1.3. Qual o comprimento de cada uma das circunferncias? 1.4. Como sabemos uma circunferncia corresponde a um arco de 360, calcula a amplitude, em graus, de cada um dos arcos marcados na alnea 1.2.. 2. Constri uma figura que tenha 3 arcos com a mesma amplitude, mas que no sejam geometricamente iguais 3. Comenta as seguintes frases: - A amplitude de um ngulo ao centro igual amplitude do arco correspondente. - A ngulos ao centro geometricamente iguais correspondem arcos tambm geometricamente iguais. 4. Considera a figura abaixo em que est representada uma circunferncia de raio igual a 5cm e um sector circular a sombreado. Sabendo que o ngulo ao centro AOB tem de amplitude 80: 4.1. Qual o comprimento do arco AB. 4.2. Qual a rea do sector circular AOB. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 18 5. Considera a figura em que est representado o quadrado ABCD de lado 3 cm. Sabendo que ADE e CBF so sectores circulares determina a rea e o permetro desta figura. 6. Na figura seguinte esto representados o trapzio rectngulo ABCD e o sector circular BFC. Tendo em conta os dados apresentados determina o permetro e a rea da figura. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 19 Tarefa 5 ngulos inscritos Com a realizao desta tarefa pretende-se que os alunos relacionem a amplitude de um ngulo inscrito com a amplitude do arco compreendido entre os seus lados. Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 3 ciclo Tpicos matemticos: Circunferncia Subtpicos matemticos: ngulo inscrito. Capacidades transversais: Resoluo de problemas: compreenso do problema e concepo, aplicao e justificao de estratgias. Raciocnio matemtico: formulao, teste e demonstrao de conjecturas. Argumentao. Comunicao matemtica: interpretao, representao, expresso e discusso. Conhecimentos prvios dos alunos: ngulo ao centro Tangentes circunferncia Soma dos ngulos internos de um tringulo Aprendizagens visadas: Relacionar a amplitude de um ngulo inscrito com a amplitude do arco compreendido entre os seus lados Resolver problemas envolvendo a amplitude de um ngulo inscrito numa semi-circunferncia. Cadeia: 5 tarefa de Circunferncia Recursos: Computadores com software de geometria dinmica e material de desenho. Durao prevista: 1 bloco de 90 minutos Notas para o professor: Atravs da primeira questo pretende-se, num ambiente de geometria dinmica, que os alunos conjecturem sobre a relao entre a amplitude de um ngulo inscrito e a amplitude do arco compreendido entre os seus lados. Na segunda questo prope-se a demonstrao desta relao no caso particular em que um dos lados do ngulo inscrito contm um dimetro da circunferncia. O professor poder propor a demonstrao envolvendo outros ngulos inscritos, desde que o considere adequado ao nvel dos seus alunos. Na questo 3 pretende-se que os alunos conjecturem e justifiquem que qualquer ngulo inscrito numa semi-circunferncia recto. As questes seguintes so diversos problemas que pressupem a aplicao dos resultados estudados anteriormente. Palavras chave: ngulo inscrito, arcos, amplitudes de ngulos, tangentes circunferncia, geometria dinmica, material de desenho, resoluo de problemas. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 20 Tarefa 5 ngulos inscritos Os ngulos que tm o vrtice sobre a circunferncia e cujos lados contm cordas chamam-se ngulos inscritos. 1. Usando o Geogebra traa uma circunferncia e marca-lhe um ngulo inscrito como a figura abaixo. 1.1. Mede a amplitude do ngulo CDE. 1.2. Arrasta o ponto D pela circunferncia e constata o que se passa com a amplitude do ngulo CDE. 1.3. Qual a amplitude do arco CE? 1.4. O arco CE est compreendido entre os lados do ngulo CDE. Que relao existe entre a amplitude do ngulo CDE e a amplitude do arco CE? 1.5. Ser que a relao que encontraste em 1.4. se verifica para todos os ngulos inscritos? Experimenta. 2. Considera a seguinte figura em que AOB um ngulo ao centro e AVB um ngulo inscrito. 2.1. Classifica o tringulo OBV quanto aos lados, justificando a tua resposta. 2.2. Demonstra que a amplitude do ngulo AVB metade da amplitude do arco AB. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 21 3. Observa a figura seguinte: 3.1. Determina as amplitudes dos ngulos inscritos assinalados. 3.2. Justifica a seguinte afirmao: Qualquer tringulo inscrito numa circunferncia em que um dos lados um dimetro um tringulo rectngulo. 4. Na figura baixo est representada uma circunferncia da qual no se conhece o centro. Usando somente um esquadro e um lpis, descobre onde se situa o centro dessa circunferncia. Explica o modo como procedeste. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 22 5. Na figura est uma circunferncia de centro O e um ponto P exterior circunferncia. Queremos traar duas tangentes circunferncia que passem por P, como havemos de proceder? Sugesto: I. Encontra o ponto mdio do segmento de recta PO e chama-lhe M. II. Traa uma circunferncia de centro em M e raio MP. III. Os pontos de interseco das duas circunferncias so os pontos de tangencia que pretendamos encontrar. IV. Traa as tangentes circunferncia. Justifica porque que este procedimento adequado para traar tangentes circunferncia. 6. Considera a figura em que est representada a circunferncia de centro A. Sabendo que DE tem o comprimento igual ao raio da circunferncia e a amplitude do ngulo AED 20, determina a amplitude do ngulo CAF. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 23 Tarefa 6 ngulos excntricos Com a realizao desta tarefa pretende-se que os alunos relacionem a amplitude de ngulos excntricos, nomeadamente com o vrtice no interior e no exterior do crculo, com as amplitudes dos arcos que lhes esto associados. Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 3 ciclo Tpicos matemticos: Circunferncia Subtpicos matemticos: ngulo excntrico Capacidades transversais: Raciocnio matemtico: formulao de conjecturas e argumentao. Comunicao matemtica: interpretao, representao, expresso e discusso. Conhecimentos prvios dos alunos: Soma dos ngulos internos de um tringulo Soma dos ngulos internos de um pentgono Amplitude de arco Aprendizagens visadas: Relacionar a amplitude de um ngulo com o vrtice no interior do crculo com s amplitude dos arcos que lhe esto associados. Relacionar a amplitude de um ngulo com o vrtice no exterior do crculo com a amplitude dos arcos que lhe esto associados. Cadeia: 6 tarefa de Circunferncia Recursos: Papel e lpis Durao prevista: 1 bloco de 90 minutos Notas para o professor: Com esta tarefa pretende-se estudar a relao entre as amplitudes dos ngulos com o vrtice no interior e no exterior do crculo com as amplitudes dos arcos compreendidos entre os seus lados e os seus prolongamentos. Os alunos so colocados perante duas situaes e a partir da regularidade das figuras, espera-se que conjecturem sobre a relao entre as amplitudes dos ngulos e dos arcos correspondentes, em estudo. Palavras chave: Circunferncia, ngulos excntricos, arcos, amplitudes de ngulos Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 24 Tarefa 6 ngulos excntricos 1. A figura representa um pentgono regular estrelado inscrito numa circunferncia. 1.1. Qual a amplitude do ngulo FDG? Repara que este ngulo no um ngulo inscrito, nem um ngulo ao centro. um ngulo com o vrtice no interior da circunferncia. Tem em conta que o pentgono ABCDE regular. 1.2. Qual a amplitude do arco compreendido entre os lados do ngulo FDG (arco FG)? 1.3. Qual a amplitude do arco compreendido entre os prolongamentos dos lados do ngulo FDG (arco HJ)? 1.4. Encontras alguma relao entre a amplitude do ngulo FDG e as amplitudes dos arcos compreendidos entre os seus lados e os seus prolongamentos? 1.5. Ser que esta propriedade se verifica para todos os ngulos com o vrtice no interior duma circunferncia? Nesta figura, experimenta com outros ngulos. Por exemplo com o ngulo FCG. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 25 2. Na figura seguinte o pentgono ABCDE regular: 2.1. Qual a amplitude do ngulo IFJ? Repara que o ngulo IFJ um ngulo com o vrtice no exterior da circunferncia. O ngulo pedido um dos ngulos internos do tringulo EFD. 2.2. O ngulo IFJ tem dois arcos compreendidos entre os seus lados (arco ED e arco AC). Determina a amplitude desses dois arcos. 2.3. Encontras alguma relao entre a amplitude do ngulo IFJ e as amplitudes dos arcos compreendidos entre os seus lados? 2.4. Ser que esta propriedade se verifica para todos os ngulos com o vrtice no exterior duma circunferncia? 3. Considera a figura seguinte em que DC um dimetro e os arcos DE, EB e BC tm a mesma amplitude: Calcula a amplitude do ngulo DAC de duas maneiras: 1: tendo em conta que um ngulo interno do tringulo ADC; 2: utilizando a regra que descobriste na alnea 2.3. para determinares a amplitude de ngulos com o vrtice no exterior da circunferncia. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 26 Tarefas 7A e 7B ngulos internos e externos de polgonos Com a realizao desta tarefa pretende-se resolver problemas que envolvam a determinao das amplitudes de ngulos internos e externos de um polgono. Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 3 ciclo Tpicos matemticos: Circunferncia Subtpicos matemticos: ngulos internos e externos de polgonos Capacidades transversais: Resoluo de problemas: compreenso do problema; concepo, aplicao e justificao de estratgias. Raciocnio matemtico: formulao, teste e demonstrao de conjecturas. Comunicao matemtica: Interpretao, representao, expresso e discusso. Conhecimentos prvios dos alunos: Polgonos regulares. Resoluo de equaes do 1 grau com uma incgnita. Aprendizagens visadas: Resolver problemas. Determinar a amplitude de um ngulo interno e de um ngulo externo de um polgono regular Cadeia: 7 tarefa de Circunferncia Recursos: Papel e lpis (tarefa 7A) e computadores com software de geometria dinmica (tarefa 7B) Durao prevista: 1 bloco de 90 minutos Notas para o professor: Para abordar este assunto so apresentadas duas tarefas. A tarefa 7A para os alunos que no 7 ano de escolaridade, no tpico tringulos e quadrilteros, deduziram a soma das amplitudes dos ngulos internos e dos ngulos externos de um qualquer polgono convexo. A tarefa 7B sugerida para os alunos que ainda no abordaram este assunto anteriormente. Com esta proposta de trabalho pretende-se que os alunos deduzam as somas referidas e faam demonstraes simples. Para quem opte por esta segunda tarefa aconselhvel que os alunos resolvam tambm alguns problemas apresentados na tarefa 7A. Palavras chave: ngulos internos, ngulos externos, soma, polgono convexo. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 27 Tarefa 7A ngulos internos e externos de polgonos Recorda que: A soma das amplitudes dos ngulos internos de um polgono de n lados igual a: (n - 2) x 180 A soma das amplitudes dos ngulos externos de qualquer polgono convexo 360 1. Considera um decgono regular: 1.1. Qual a soma das amplitudes dos seus ngulos internos? 1.2. Qual a soma das amplitudes dos seus ngulos externos? 1.3. Qual a amplitude de cada ngulo interno? 1.4. Qual a amplitude de cada ngulo externo? 2. 2.1. Quantos lados tem um polgono cujas amplitudes dos ngulos internos somam 1980? 2.2. Existir algum polgono convexo cujas amplitudes dos ngulos internos somem 7500? 3. Num certo polgono regular, cada ngulo externo mede 30. 3.1. Quantos lados tem esse polgono? 3.2. Quanto mede cada ngulo interno? 3.3. Qual a soma das medidas das amplitudes dos ngulos internos desse polgono? 3.4. Num polgono regular com o dobro do nmero de lados do anterior, quanto medir cada ngulo interno? 4. Qual o nmero mnimo de lados que um polgono convexo deve ter para que a soma das amplitudes dos seus ngulos internos seja superior a 3000? Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 28 5. Considera a figura em que ABCDEFGH um octgono regular e GHI um tringulo equiltero: 5.1. Determina a amplitude dos ngulos EDC e FGI. 5.2. Mostra que o tringulo DCJ um tringulo rectngulo issceles. 6. Tendo em conta os dados da figura determina o valor de a. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 29 Tarefa 7B ngulos internos e externos de polgonos 1. 1.1. Constri um tringulo. 1.2. Mede as amplitudes dos seus ngulos internos e adiciona as medidas obtidas. 1.3. Arrasta um vrtice qualquer do tringulo de modo a obter um novo tringulo e verifica o que se passa com as amplitudes dos ngulos e com a respectiva soma. 1.4. Escreve uma conjectura sobre o que observas. 2. 2.1. Procede de igual modo para outros polgonos convexos (quadriltero, pentgono,) e preenche a seguinte tabela. Na terceira coluna deves colocar o nmero de tringulos que se obtm traando todas as diagonais possveis a partir de um vrtice; por exemplo, no pentgono, obtm-se 3 tringulos. Nome do polgono Nmero de lados Nmero de tringulos que se obtm Soma dos ngulos internos Tringulo Quadriltero Pentgono Hexgono Polgono de n lados 2.2. Num pequeno texto sintetiza as justificaes e a concluso. Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 30 3. Os polgonos tambm tm ngulos externos. No tringulo ABC, em baixo, um dos ngulos externos o ngulo DAB que se obtm construindo a semi-recta CA (prolongando o lado AC) e o ponto D exterior ao segmento de recta AC. So igualmente ngulos externos os ngulos EBC e FCA. 3.1. Mede e adiciona as amplitudes dos ngulos DAB, EBC e ACF. 3.2. Arrasta um dos vrtices do tringulo e escreve uma conjectura sobre o valor da soma dos ngulos externos de um tringulo. 3.3. Considera o tringulo ABC da figura. 3.3.1. Qual o valor da soma DAB BAC EBC ABC ACF BCA ? 3.3.2. Tendo em ateno que a soma dos ngulos internos de um tringulo 180, possvel saber o valor da soma dos ngulos externos de um tringulo? 3.3.3. A concluso que tiraste na alnea anterior permanece vlida se considerarmos outro tringulo? Porqu? 4. 4.1. Procede de modo anlogo para outros polgonos convexos e preenche a tabela seguinte Nome do polgono Nmero de lados Soma dos ngulos externos Tringulo Quadriltero Pentgono Hexgono Polgono de n lados 4.2. Num pequeno texto sintetiza as justificaes e a concluso. ACBDEF Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 31 Tarefa 8 Polgonos inscritos Com a realizao desta tarefa pretende-se inscrever polgonos regulares numa circunferncia. Tema matemtico: Geometria Nvel de ensino: 3 ciclo Tpicos matemticos: Circunferncia Subtpicos matemticos: Polgono regular inscrito numa circunferncia Capacidades transversais: Resoluo de problemas: compreenso do problema; concepo, aplicao e justificao de estratgias. Raciocnio matemtico: formulao, teste e demonstrao de conjecturas. Comunicao matemtica: interpretao, expresso e discusso. Conhecimentos prvios dos alunos: Noo de polgono inscrito numa circunferncia. Polgono regular Aprendizagens visadas: Inscrever um polgono regular numa circunferncia. Conceber e pr em prtica estratgias de resoluo de problemas, verificando a adequao dos resultados obtidos e dos processos utilizados. Cadeia: 8 tarefa de Circunferncia Recursos: material de desenho e computadores com software de geometria dinmica. Durao prevista: 1 bloco de 90 minutos Notas para o professor: Esta tarefa constituda por duas partes. Na primeira pretende-se que o aluno, usando material de desenho, inscreva polgonos regulares e o tringulo rectngulo numa circunferncia dada. O segundo item uma tarefa de ndole exploratria. No esquecendo que o programa apenas prev a inscrio de polgonos regulares em circunferncias, o objectivo que o aluno, apoiado num software de geometria dinmica, faa conjecturas e as teste. Palavras chave: polgono inscrito, circunferncia, quadriltero Circunferncia Novo Programa de Matemtica do Ensino Bsico - 3 Ciclo 32 Tarefa 8 Polgonos inscritos 1. Desenha quatro circunferncias e em cada uma delas inscreve um dos seguintes polgonos: 1.1. quadrado; 1.2. pentgono regular; 1.3. hexgono regular; 1.4. tringulo rectngulo. 2. J inscreveste um quadrado numa circunferncia Ser possvel inscrever qualquer quadriltero numa circunferncia? Tenta inscrever numa circunferncia Um rectngulo que no seja um quadrado Um losango que no seja quadrado Um paralelogramo obliqungulo Outros quadrilteros Descobre uma condio que garanta que um quadriltero pode ser inscrito numa circunferncia.

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