Carvalho, Ponte P3M Fev 2013

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    25-Nov-2015

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1 O papel das tarefas no desenvolvimento de estratgias de clculo mental com nmeros racionais Renata Carvalho Unidade de Investigao do Instituto de Educao, Universidade de Lisboa Joo Pedro da Ponte Instituto de Educao, Universidade de Lisboa Resumo. Este captulo apresenta quatro princpios para a construo de tarefas que visam contribuir para o desenvolvimento de estratgias de clculo mental e clarificao dos erros dos alunos no trabalho com nmeros racionais. O nosso objetivo refletir acerca da adequao de tarefas de clculo mental com nmeros racionais, elaboradas segundo estes princpios, luz das estratgias e erros revelados pelos alunos. Os resultados mostram que as tarefas usadas contriburam para o aparecimento de estratgias de clculo mental cada vez mais flexveis e concetuais, reforando a importncia da definio de princpios orientadores que nos permita focar no objetivo para o qual foram construdas. Introduo No Programa de Matemtica (ME, 2007), a aprendizagem dos nmeros racionais, inicia-se no 1. ciclo, primeiro com a representao fracionria e posteriormente com a decimal, recorrendo igualmente a outras representaes (pictrica, reta numrica, grelha 10x10, simblica) e nmeros de referncia. D-se nfase ao desenvolvendo de estratgias de clculo mental e escrito, incluindo a realizao de algoritmos com a representao decimal. No 5. e 6. ano, os alunos passam a trabalhar com novas representaes dos nmeros racionais (percentagem, numeral misto) e as quatro operaes bsicas. O programa considera que o clculo mental e escrito deve continuar a ser desenvolvido uma vez que contribui para o desenvolvimento de sentido de nmero e de operao, o que constitui um objetivo transversal a todo o ensino bsico. Tendo em conta estas orientaes curriculares e a importncia que diversos autores (e.g., Bourdenet, 2007; Heirdsfield, 2011; Taton, 1969; Threlfall, 2002) atribuem ao desenvolvimento do clculo mental nos alunos, investigmos as estratgias que usam os alunos quando calculam mentalmente com nmeros racionais e os erros e dificuldades que evidenciam. Esta investigao foi feita no quadro de uma experincia de ensino realizada no 6. ano centrada em tarefas de clculo mental com nmeros racionais envolvendo as quatro operaes e a discusso de estratgias e erros dos 2 alunos. Procurmos saber, em especial, como evoluem as estratgias e os erros ao longo da experincia. Neste captulo descrevemos os princpios que estiveram na base da construo das tarefas e refletimos acerca da adequao destas tarefas de clculo mental com nmeros racionais, elaboradas segundo estes princpios, luz das estratgias e erros revelados pelos alunos. Em termos epistemolgicos, assumimos que o conhecimento dos alunos se desenvolve atravs da atividade matemtica que ocorre em momentos de trabalho individual e coletivo e, muito em especial, em momentos de reflexo acerca dessa mesma atividade. Design de tarefas: Princpios orientadores O desenvolvimento de estratgias de clculo mental nos alunos deve ser sistemtico e intencional (Taton, 1969) o que requer a criao de tarefas que promovam o desenvolvimento de capacidades de clculo com compreenso, tanto com nmeros naturais como com nmeros racionais. Na nossa perspetiva, as tarefas so o ponto de partida para a atividade matemtica dos alunos e a sua realizao na sala de aula deve ser sistemtica, promover a reflexo e ser objeto de discusso e partilha. A criao das tarefas para a experincia de ensino seguiu cinco princpios que consideramos importantes para promover o desenvolvimento do clculo mental, relacionados com os contextos, as representaes dos nmeros racionais, as estratgias e erros dos alunos, o nvel cognitivo das tarefas e as interaes sociais, principalmente nos momentos de discusso coletiva. Princpio 1 Usar contextos que possam ajudar os alunos a dar significado aos nmeros. Na perspetiva de Bell (1993) os contextos e os conceitos que os alunos devero trabalhar so aspetos importantes na construo das tarefas. Segundo o autor, um conhecimento estruturado, por norma, est relacionado com o contexto em que foi aprendido, sendo difcil para o aluno transpor esse conhecimento para novas situaes. Tambm Galen, Feijs, Figueiredo, Gravemeijer, Herpen, Keijzer, (2008) e Rathouz (2011) consideram que os contextos podem ajudar os alunos a dar significado aos nmeros. Para perceber como os contextos podem promover ou dificultar o clculo mental dos alunos, crimos dois tipos de tarefas envolvendo nmeros racionais: exerccios em termos matemticos e problemas em situaes contextualizadas. Princpio2 Usar diversas representaes de um nmero racional. Nas vrias tarefas os alunos tm a oportunidade de trabalhar com nmeros racionais em diferentes 3 representaes (decimal, frao e percentagem) estando a representao usada em cada tarefa de acordo com o tpico que a professora est a trabalhar. No momento em que se estudam volumes usa-se sobretudo a representao decimal, no estudo das relaes e regularidades usa-se a representao em frao e na organizao e tratamento de dados usam-se as trs representaes. Esta opo ir permitir aos alunos o desenvolvimento do clculo mental de forma integrada com a aprendizagem dos nmeros racionais prolongada no tempo e estabelecendo relaes entre diferentes tpicos matemticos. As diversas representaes vo surgindo repetidamente e, por vezes, em simultneo ao longo da experincia. O uso de diferentes representaes dos nmeros racionais permite aos alunos estabelecerem equivalncias (Caney & Watson, 2003) bem como relaes entre estas representaes e as imagens mentais que possuem acerca dos conceitos matemticos (Swan, 2008). Princpio 3 Na construo de tarefas que visem levar os alunos desenvolver as suas estratgias e clarificar os seus erros, ter em conta a investigao sobre o clculo mental e os nmeros racionais. No domnio do clculo mental Heirdsfield (2011) considera que existem quatro elementos fundamentais que esto na base do desenvolvimento de estratgias dos alunos: (i) conhecer a numerao e compreender a grandeza e valor dos nmeros, (ii) o efeito das operaes sobre os nmeros, (iii) ter capacidade para fazer estimativas para verificar a razoabilidade do resultado, e (iv) conhecer um conjunto de factos numricos que permita calcular rapidamente e com preciso. No domnio dos nmeros racionais e tendo em conta a perspetiva de vrios autores (e.g., Behr, Post & Wachsmuth, 1986; Galen et al., 2008; Lamon, 2006; Rathouz, 2011), para alm das decises relativas aos contextos e representaes j referidas, privilegimos o uso de nmeros de referncia. Tendo em ateno o que referem Empson, Levi e Carpenter (2010), tambm considermos os conhecimentos prvios dos alunos relativos aos nmeros racionais, incluindo as operaes estudadas no 5. e 6. ano importantes para o desenvolvimento de estratgias. Segundo os autores, cada estratgia surge em funo da compreenso que cada a criana tem acerca dos nmeros e operaes e das relaes numricas que lhe so familiares e que usa para estabelecer novas relaes e efetuar o clculo. Os autores denominam de pensamento relacional esta rede de relaes que os alunos estabelecem. Relativamente s estratgias de clculo mental com nmeros racionais, Caney e Watson (2003) realam a importncia de perceber a relao entre diferentes representaes de um nmero racional para desenvolver o clculo mental com estes nmeros. Num estudo realizado 4 com alunos do 3. ao 10. ano, identificaram onze estratgias por eles usadas. Numa primeira fase, estes comeam por usar formas mentais de algoritmos escritos e imagens mentais pictricas, passando depois para estratgias relacionadas com conhecimentos que j possuem do trabalho com nmeros naturais (como o trabalho da esquerda para a direita ou com partes de um segundo nmero), estabelecem ligaes, recorrem a adies e a multiplicaes sucessivas e utilizam factos conhecidos e regras memorizadas. As estratgias dos alunos no clculo com nmeros naturais so uma referncia importante para o desenvolvimento das novas estratgias com nmeros racionais. Numa fase mais avanada, as estratgias dos alunos envolvem o sentido de nmero e de operao, potenciando a utilizao de representaes equivalentes, o uso de diferentes representaes de um nmero racional e a transio entre operaes inversas. As autoras caracterizam as estratgias dos alunos de instrumentais, se estes aplicam factos e regras memorizadas, ou conceptuais, se usam o conhecimento dos nmeros e das operaes. Princpio 4 Usar tarefas com diferentes nveis de exigncia cognitiva. Tarefas com caractersticas diferentes podem levar os alunos a desenvolverem nveis de raciocnio diferentes (Henningsen & Stein, 1997). As tarefas permitem o uso de diferentes representaes dos nmeros racionais e o desenvolvimento de diferentes estratgias e formas de comunicao matemtica, uma vez que os alunos tm de explicar e justificar os seus raciocnios e ser crticos face s explicaes dos colegas. Para a criao das tarefas, considermos: (i) os nveis de desenvolvimento de clculo mental (Callingham & Watson, 2004) dos alunos em cada representao dos nmeros racionais; (ii) as possveis estratgias de clculo mental dos alunos em cada exerccio ou problema propostos; e (iii) os erros e as dificuldades que podem surgir no clculo mental realizado em cada exerccio ou problema. Assim, tivemos em ateno que, num nvel mais bsico de clculo mental os alunos devem reconhecer metades na forma de 1/2 pelo que as primeiras tarefas proporcionam trabalho neste sentido. Num nvel mais desenvolvido, devem ser capazes de usar estruturas de base (isto , conhecimentos baseados em nmeros de referncia) para calcular com nmeros menos familiares ou fraes com denominadores diferentes, sendo propostas tarefas que gradualmente vo apelando ao uso, por exemplo, de teros ou sextos. Tendo em ateno as estratgias de clculo mental com nmeros racionais referidas por Caney e Watson (2003), construmos tarefas que potenciam o uso e desenvolvimento de estratgias como o recurso a equivalncias, mudana de representao ou a propriedades das operaes. 5 Algumas tarefas permitem aos alunos operar facilmente, mas outras requerem o recurso a relaes numricas. Para promover este tipo de atividade matemtica, usmos fundamentalmente: nmeros de referncia tais como 1/4, 0,5 ou 75%; mltiplos; nmeros racionais na representao decimal com uma ou duas casas decimais para facilitar a equivalncia entre fraes decimais e percentagens; diferentes representaes de um nmero racional na mesma tarefa; expresses equivalentes que permitam o uso de propriedades das operaes e relaes numricas; e problemas que os alunos podem resolver com expresses semelhantes s que previamente foram discutidas na aula. Por exemplo, para calcular 1/2+1/2 os alunos apenas tm de usar factos numricos conhecidos (duas metades formam a unidade). Esta uma tarefa de nvel cognitivo reduzido. Mas, para calcular ?0,5=30, os alunos tm de relacionar nmeros, mudar de representao ou usar propriedades das operaes, o que confere tarefa um nvel cognitivo mais elevado. Em todas as representaes dos nmeros racionais os alunos cometem erros (e.g., Lamon, 2006; Parker & Leinhardt 1995; Rathouz, 2011). Por exemplo, na adio e subtrao na representao fracionria operam incorretamente com numeradores e denominadores, na representao decimal operam ignorando o valor posicional dos algarismos e na representao em percentagem operam com os nmeros ignorando o sinal %. McIntsoh (2006) considera que os alunos cometem fundamentalmente dois tipos de erros: (i) concetuais e (ii) processuais. Na sua perspetiva, um erro concetual surge quando o aluno no compreende a natureza dos nmeros ou a operao envolvida enquanto num erro processual o aluno sabe que estratgia usar mas comete erros de clculo ao p-la em prtica. Neste sentido crimos tarefas que pudessem proporcionar o aparecimento de certos erros para que estes pudessem ser discutidos e clarificados no momento da discusso coletiva. Assim, na adio e subtrao de nmeros racionais representados por fraes existem situaes em que os denominadores so diferentes, na representao decimal surgem operaes envolvendo nmeros com dcimas e centsimas e na representao em percentagem selecionmos nmeros que permitiam obter um resultado correto seguindo uma estratgia errada (e.g., para calcular 20% de 25, em que o clculo de 25-20 d o mesmo resultado que 0,2 25). Para ns, era importante perceber as estratgias e erros dos alunos e discutir estas situaes na sala de aula para esclarecer concees erradas acerca dos nmeros e das operaes com nmeros racionais. 6 Modo de trabalho na sala de aula No que respeita realizao das tarefas na sala de aula, consideramos que as interaes sociais, principalmente as que se verificam durante as discusses coletivas, so fundamentais para a aprendizagem da Matemtica pois potenciam a reflexo dos alunos. Neste sentido, o professor deve: (i) criar um ambiente de sala de aula onde os alunos se sintam vontade para falar das suas estratgias; (ii) escutar atentamente as suas explicaes acerca dos seus mtodos de clculo pessoais; (iii) ser capaz de identificar estratgias particulares dos alunos e reforar positivamente o seu uso; (iv) valorizar o conhecimento sobre os nmeros e a capacidade dos alunos para executarem estratgias eficientes; e (v) assegurar que os alunos passam por experincias suficientes que lhes permitem desenvolver progressivamente estratgias cada vez mais sofisticadas (Thompson, 2009). Este tipo de ambiente de aprendizagem promove a interao aluno(s)/professor e aluno(s)/alunos(s) permitindo aos alunos discutirem os seus erros e comunicarem matematicamente, contribuindo assim para a melhoria da sua linguagem matemtica. Quando surgem erros por parte dos alunos, estes devem ser discutidos na sala de aula ajudando sua clarificao (Bell, 1993). A discusso de tarefas na sala de aula fundamental uma vez que permite aos alunos partilharem como pensam quando calculam mentalmente e apresentarem os seus argumentos e justificaes que sero validados pelos seus pares, sendo o professor um elemento indispensvel na gesto desta discusso. Metodologia de investigao Este estudo segue uma abordagem qualitativa e interpretativa (Bogdan & Biklen, 1994) com design de experincia de ensino (Cobb, Confrey, diSessa, Lehere, & Schauble, 2003). Participam uma professora e uma turma do 6. ano com 20 alunos que j trabalhou os nmeros racionais em vrias representaes (decimal, frao, percentagem) e a primeira autora no papel de investigadora. Esta foi a primeira experincia de clculo mental dos alunos com nmeros racionais. A recolha de dados decorreu entre fevereiro e maio de 2012, atravs de observao direta das aulas com tarefas de clculo mental, reunies de preparao e reflexo com a professora e entrevistas finais a alguns alunos, selecionados de acordo 7 com os erros e dificuldades manifestadas ao longo da experincia de ensino. As aulas foram udio e vdeo-gravadas para posterior anlise e reflexo acerca dos momentos de discusso coletiva. Para a anlise de dados foram ouvidas as gravaes udio das reunies de reflexo com a professora com o objetivo de perceber se o trabalho realizado na experincia de ensino potenciado nas restantes aulas de Matemtica e como que a professora vai percecionando o desempenho e a evoluo dos alunos no que respeita a estratgias e erros. Foram tambm visionados os episdios da aula para identificar as estratgias de clculo mental que os alunos referem nos momentos de discusso, os erros que cometem e como evoluem ao longo da experincia de ensino. Finalmente, aps a concluso da experincia de ensino, foram realizadas entrevistas para perceber se os alunos continuam a cometer o mesmo tipo de erros que cometeram ao longo da experincia ou se houve aprendizagem. As categorias de anlise so baseadas no estudo de Caney e Watson (2003), tendo presente a perspetiva de autores como Callingham e Watson (2004), Galen et al. (2008), Lamon (2006) e Empson e Carpenter (2010). A experincia de ensino A experincia de ensino foi elaborada pela investigadora (primeira autora) e discutida quinzenalmente com a professora. A conduo da aula, incluindo os momentos de discusso, da responsabilidade da professora, intervindo a investigadora pontualmente para esclarecer aspetos relacionados com a comunicao de estratgias dos alunos. A experincia composta por dez tarefas de clculo mental, sete em contextos matemticos, duas com problemas e uma tarefa mista, projetadas na sala de aula, semanalmente, usando um Powerpoint temporizado. As tarefas temporizadas foram encaradas como uma forma de desafiar os alunos a calcularem mentalmente com destreza. As estratgias que os alunos constroem individualmente no tempo estipulado so importantes mas to ou mais importantes so as estratgias que constroem coletivamente na turma, atravs da discusso e partilha. Cada tarefa constituda por duas partes e tem uma durao prevista de 15 minutos. Os alunos tm 15 segundos para resolver cada exerccio e 20 segundos para resolver cada problema, individualmente, e anotar o resultado numa folha de papel, seguindo-se um momento de discusso. Na primeira parte das tarefas em contexto matemtico os alunos tm que escrever o resultado de uma expresso numrica e na 8 segunda parte indicar o nmero que torna a igualdade verdadeira. Nos problemas apenas tm de escrever o resultado, podendo tambm registar clculos intermdios. Em termos gerais, as tarefas foram criadas com o objetivo de promoverem o desenvolvimento de estratgias de clculo mental e conduzir superao dos erros dos alunos e tambm de rever e consolidar o trabalho com nmeros racionais de referncia. Toda a experincia de ensino foi pensada em articulao com o trabalho da professora com os alunos e, por isso, como j referido, em cada aula, a representao do nmero racional usada estava de acordo com o tpico que a professora estava a trabalhar. Na experincia de ensino, no momento em que a professora estava a trabalhar relaes e regularidades, os alunos foram desafiados primeiro a adicionar e a subtrair mentalmente nmeros racionais representados por fraes e depois a multiplicar e dividir fraes. De seguida, enquanto trabalhavam volumes, realizaram clculo mental com nmeros racionais nas representaes fracionria e decimal com as quatro operaes, tanto em contexto matemtico como na resoluo de problemas, adicionaram e subtraram decimais, multiplicaram e dividiram decimais e resolveram problemas com a representao fracionria e decimal. Enquanto trabalhavam estatstica, realizaram clculo mental com a representao em percentagem, depois a multiplicao de nmeros racionais usando as trs representaes e, posteriormente, usaram as quatro operaes bsicas e as trs representaes dos nmeros racionais. Por fim, resolveram problemas usando as trs representaes e contextos relacionados com os tpicos trabalhados enquanto decorria a experincia de ensino. A ttulo de exemplo, explicamos de seguida os aspetos que considermos importantes na construo de trs das dez tarefas que os alunos resolverem na experincia de ensino. Pensa rpido! Qual o valor exato? )+))+ ) )+ )+?= 1 )?= )+?= 1 )?= )+?= Figura 1. Primeira tarefa de clculo mental da experincia de ensino 9 A primeira tarefa de clculo mental (figura 1) envolve adio e subtrao de nmeros racionais na representao fracionria e foi realizada pelos alunos no momento em que a professora tinha iniciado o trabalho com sequncias e regularidades, por considerarmos que a representao fracionria uma das mais usadas neste tpico. Nesta tarefa foram usados nmeros de referncia, como 1/2, 1/4 e 3/4 (Galen et al., 2008) e, essencialmente, apelmos ao trabalho com metades, uma vez que reconhecer e operar com metades na forma de frao uma capacidade bsica de clculo mental com nmeros racionais nesta representao (Callingham & Watson, 2004). Inicimos com as operaes adio e subtrao por serem as primeiras que os alunos realizam com fraes. Os clculos a realizar envolvem nmeros racionais na representao em frao com o mesmo denominador ou com denominadores mltiplos um do outro para permitir facilmente o recurso a equivalncias. Em termos de estratgias, espervamos que os alunos recorressem a imagens mentais pictricas de fraes de referncia para operar, a que se associa o conceito de frao como uma relao parte-todo, incluso das representaes simblicas em contextos com significado para estes (se a 3/4 de hora retiro 1/4 de hora, fica), ao uso mental dos algoritmos e ao uso de factos conhecidos (e.g., duas metades constituem uma unidade). Relativamente aos erros, prevamos que os alunos operassem com numeradores e denominadores como se fossem nmeros naturais, um erro frequente, calculassem erradamente fraes equivalentes ou que manifestassem dificuldades na relao parte-todo ao imaginar mentalmente a representao pictrica das fraes envolvidas. A quinta tarefa (figura 2), em contexto matemtico, envolve multiplicao e diviso de nmeros racionais na representao decimal, tendo sido realizada no momento em que os alunos estavam a abordar o tpico volumes. Tendo em conta os nveis de desenvolvimento de clculo mental de Callingham e Watson (2004), foram usados numerais decimais equivalentes a representaes de referncia, como 1/2, 1/4 e 1/5; multiplicao de dois decimais com o mesmo nmero de casas decimais ou diferentes; diviso por 0,5 e diviso de decimais quando os dgitos so mltiplos. Espervamos que os alunos, tendo em conta o trabalho realizado no 1. ciclo com nmeros racionais na representao decimal e o trabalho realizado nas primeiras tarefas da experincia de ensino, tivessem estratgias baseadas em regras memorizadas como a multiplicao por potncias de 10, o uso de factos conhecidos para a reconstruo da unidade (e.g., 0,254=1), a mudana de representao de decimal para 10 frao, o uso de equivalncias, a decomposio, a compensao e as propriedades das operaes. No que se refere a erros, espervamos que os alunos comparassem erradamente dois nmeros racionais na representao decimal; escrevessem o produto ou quociente no considerando corretamente o valor posicional dos algarismos; ou estabelecessem equivalncias erradas entre representaes de um nmero racional e manifestassem dificuldades no sentido de operao multiplicao e diviso de decimais. Pensa rpido! Qual o valor exato? a)0,25 4 b)12,2 0,5 c)0,6 0,30 d)0,14 0,2 e)4,2 0,2 f)? 0,5 = 30 g)2,1 ?= 8,4 h)? 0,4 = 0,16 i)0,82 ?= 1,64 J)25,5 ?= 5,1 Figura 2. Quinta tarefa de clculo mental da experincia de ensino. Na ltima tarefa da experincia de ensino (figura 3) de que, por questes de espao, apenas apresentamos a primeira parte, o contexto dos problemas relaciona-se com tpicos matemticos que a professora trabalhou na aula de Matemtica ao longo da realizao da experincia de ensino (nomeadamente, Estatstica, medida, comparao de nmeros racionais e percentagem). Foram criados problemas que pudessem originar expresses semelhantes s discutidas ao longo da experincia de ensino (por exemplo,, em a) os alunos teriam de formar a unidade partindo de 0,40 e em d) podem usar 10% como valor de referncia para efetuar o clculo). Como estes problemas envolvem as trs representaes dos nmeros racionais, espervamos que os alunos usassem algumas das estratgias que j referimos anteriormente, mas que deixassem de cometer alguns dos erros manifestados e, como a adio e subtrao de numeradores e denominadores na adio de nmeros racionais na representao fracionria, ou a adio/subtrao de nmeros racionais na representao percentagem com outros valores (e.g., para calcular 20% de 25, calcular 25-20). Espervamos que os alunos continuassem, a ter dificuldades na interpretao do problema e na escolha da operao correta para o resolver. Estes so aspetos da aplicao do conhecimento e destreza com nmeros e operaes em situaes de clculo que McIntosh, Reys e Reys (1992) destacam como importantes para a aquisio do sentido de nmero, e onde os alunos manifestam dificuldades. 11 Pensa rpido! Qual o valor exato? ) Lanou-se uma moeda ao ar 20 vezes e registaram-se os valores numa tabela de frequncias relativas. Se face Euro corresponder 0,40 de frequncia relativa, qual a frequncia relativa da face nacional? ) A av da Sofia vai-lhe fazer uma saia. De uma pea de tecido com 8,16. retirou . Que poro de tecido usou? ) A me da Catarina fez um bolo de chocolate. Ao almoo a Catarina comeu e o pai .Ambos comeram mais ou menos de metade do bolo de chocolate? )Uma camisola custa 25. O Vasco comprou-a com 20% de desconto. Calcula o valor do desconto. Figura 3- ltima tarefa de clculo mental da experincia de ensino. As tarefas de clculo mental e as estratgias dos alunos As tarefas da experincia de ensino pretendem promover o desenvolvimento de estratgias de clculo mental dos alunos e perceber e clarificar os erros destes no trabalho com nmeros racionais, tendo sido elaboradas tendo por base um conjunto de princpios orientadores. As tabelas de 1 a 4 apresentam exemplos de questes que constam das tarefas da experincia de ensino e algumas das estratgias dos alunos para resolver essas questes, bem como alguns dos erros revelados nas estratgias que partilharam na discusso coletiva. De seguida, analisamos as estratgias e erros que se evidenciaram na realizao das tarefas de clculo mental refletindo acerca da adequao dos princpios definidos para a sua construo. Contextos. O recurso a dois tipos de contextos (exerccios e problemas) nas tarefas de clculo mental com nmeros racionais fez-nos perceber que, nos problemas, os alunos usam mais estratgias concetuais do que instrumentais ou uma combinao destas duas (tabela 2). Assim, Mrcia, Beatriz e Letcia usam estratgias concetuais baseadas na mudana de representao e em equivalncias, enquanto Mafalda recorre a uma equivalncia e depois aplica a regra do algoritmo da multiplicao de fraes usando uma combinao de estratgias instrumentais e concetuais. Nos exerccios (tabela 1), os alunos comeam por usar estratgias instrumentais aplicando regras 12 memorizadas, como fizeram Diogo e Ins, mas, a partir da tarefa 3, quando surgem duas representaes diferentes (frao e decimal) em simultneo, comeam a surgir estratgias mais concetuais baseadas na mudana de representao. Tabela 1. Estratgias dos alunos em tarefas com exerccios. Tarefa Questo Resposta dos alunos Estratgia Frao 1 +=__ Transformei o meio em 2/4 depois 3-2, 1 (Diogo) Regra do algoritmo de adio de fraes 2 14 __ =12 Como eu sei que 1/2x1/2 d 1/4 pus logo (Ins) Facto numrico conhecido Relao numrica Decimal 4 0,7+__=1 Eu vi logo, para dar 1 era 7+3, que d 10. Tirei o zero e vi logo que era 0,3 (Tiago) Mudana de representao 5 12,2:0,5=__ Eu sabia que transformei logo o 0,5 em 1/2 e depois como sabia que sempre que dividir por 1/2 era sempre vezes 2, ento fiz assim (Mrcia) Mudana de representao Mudana de operao Percentagem 6 75% de 80 Eu fiz 80:4 que d 20 e fiz 80-20 que d 60 (Daniela) Mudana de operao Relao parte-todo 7 10% de __=5 10% pode representar-se por 10/100, ento eu vi que, como 5 metade de 10, o resultado que faltava tinha que ser metade de 100 e para ser equivalente a 5 tinha de ser metade de 100 (Diogo) Equivalncias Vrias representaes 3 15 0,25 = __ Deu-me 1/20 pq eu transformei 25 centsimas num quarto. 5x4 20 como denominador, 1x1 1 como numerador. Fica 1/20(Beatriz) Mudana de representao 8 0,210 Fiz 20% de 10 que 2 (Joo) Mudana de representao A utilizao de exerccios e problemas nas tarefas de clculo mental tinha como objetivo diversificar contextos e permitir aos alunos o estabelecimento de relaes entre a manipulao simblica dos nmeros racionais e situaes que pudessem ser modeladas por essa manipulao simblica. Por isso, surgem estrategicamente trs tarefas com problemas aps cada duas/trs tarefas com exerccios. Mrcia (tabela 2) refere que: Eu fiz...da conta e) [0,74:1/4=3] quando estavamos a fazer, eu lembrei-me 13 que os 12/4 eram equivalente a 3, mostrando que uma expresso realizada anteriormente foi importante para estabelecer equivalncias num problema da tarefa 3. Tabela 2. Estratgias dos alunos em tarefas com problemas. Tarefa Problema Resposta dos alunos Estratgia Vrias representaes 3 Quatro livros de banda desenhada custam 12,8. Qual o preo de cada livro? Eu fiz... da conta e) [0,74:1/4=3] quando estavamos a fazer, eu lembrei-me que os 12/4 eram equivalente a 3. Ento fui ver que na tabuada o 4 qual que dava 12 e era o 3 e depois fui ver... e depois o outro j fiz...dividi 8 por 4 e deu 2 e fiz 3,2 (Mrcia) Equivalncias Opera da esquerda para direita 3 Para fazer refresco de laranja necessrio de concentrado por cada 0 de gua. Que quantidade de concentrado se deve usar para 1, 23 de gua? Eu fiz, um meio, meio litro x 3 para dar um e meio. Depois fiz 3 sobre 1 vezes 1/10 que 1/10 x 3/1. (Mafalda) Equivalncias Regra do algoritmo de multiplicao de fraes 6 Uma tina tem de capacidade 22,5 l de gua. Quantos baldes de 143so necessrios para encher por completo a tina? Deu-me 45 baldes. Bastou-me multiplicar 22,5 por 2 e deu-me logo 45 baldes. Porque para dar uma unidade temos de somar 0,5 duas vezes, por isso multipliquei por 2 (Beatriz) Mudana de representao Equivalncias 10 Uma camisola custa 25. O Vasco comprou-a com 20% de desconto. Calcula o valor do desconto. 5. 20% transformei em 20 centsimas. 20 centsimas 1/5, ento fiz 25 x1/5 que o mesmo que dividir por 5, que me deu 5(Letcia) Mudana de representao No entanto, em alguns problemas, os alunos manifestaram dificuldades em associar uma expresso j conhecida (1-0,40) que, segundo a professora, tinha sido realizada numa aula relativamente prxima da aula de clculo mental no clculo de frequncias relativas em organizao e tratamento de dados. Por exemplo, no problema Lanou-se uma moeda ao ar 20 vezes e registaram-se os valores numa tabela de frequncias relativas. Se face Euro corresponder 0,40 de frequncia relativa, qual a frequncia relativa da outra face? apenas 4 dos 20 alunos conseguiram resolver corretamente o problema. Os restantes alunos manifestaram dificuldades em 14 compreender a situao apresentada e em estabelecer relaes com situaes que j conheciam e estavam a trabalhar em organizao e tratamento de dados. Consideramos que o uso de dois contextos foi til para ajudar os alunos a perceberem que importante relacionarem conhecimentos que possuem acerca dos nmeros e suas operaes tanto em tarefas de contexto matemtico como de problemas, quer nas sesses de clculo mental quer nas restantes aulas de Matemtica. Diferentes representaes de um nmero racional. Uma das estratgias mais usadas pelos alunos foi a mudana de representao, uma estratgia reconhecidamente importante no clculo mental com nmeros racionais (Caney & Watson, 2003). No clculo mental com fraes, numa fase inicial, os alunos usaram sobretudo estratgias instrumentais aplicando regras memorizadas, como fizeram Diogo e Ins (tabela 1). A partir da tarefa 3, onde surgem as representaes decimal e fracionria em simultneo, os alunos comeam a usar mais a mudana de representao. Na tabela 1, as estratgias dos alunos mostram-nos que: Tiago prefere adicionar nmeros racionais na representao decimal, mudando a representao e considerando o decimal referente a 10/100; Mrcia usa em vez de 0,5; Daniela, para calcular 75%, em vez de multiplicar por 0,75, divide por 4, mostrando saber que falta a 75% para ter o todo; Beatriz, na multiplicao de uma frao por um decimal, usa em vez de 0,25; e Joo, para calcular 0,2 de 10, calcula 20%. Na tabela 2, as estratgias de clculo mental dos alunos em problemas envolvendo vrias representaes mostram igualmente o uso da mudana de representao. Beatriz pensa em como sendo 0,5 e Letcia calcula 20% multiplicando por 1/5. Os alunos usaram mais a mudana de representao de decimal ou percentagem para frao principalmente quando a operao envolvida a multiplicao ou diviso de nmeros racionais. Estratgias de clculo mental e aspetos da aprendizagem dos nmeros racionais. Para promoverem o desenvolvimento de estratgias de clculo mental, as tarefas devem incentivar o uso dessas mesmas estratgias por parte dos alunos, como, por exemplo, a mudana de representao, o recurso a equivalncias e relaes numricas ou a construo de estratgias atravs de discusses coletivas. Relativamente a aspetos da aprendizagem dos nmeros racionais, o uso de nmeros de referncia facilita a construo das estratgias referidas anteriormente, bem como nmeros mltiplos de nmeros de referncia. O conhecimento acerca dos possveis erros dos alunos igualmente importante para que o professor os possa 15 identificar, discutir e clarificar. Para tal, as tarefas devem potenciar o aparecimento desses erros caso a aprendizagem dos alunos acerca dos nmeros racionais seja pouco consistente. Nas tabelas 3 e 4 apresentamos algumas das estratgias erradas dos alunos para operar com nmeros racionais. A primeira tarefa envolve fraes que representam metade ou equivalente, uma vez que operar com metades um nvel bsico de clculo mental (Callingham & Watson, 2004). Inicialmente, os alunos recorreram regra do algoritmo, como fez Diogo (tabela 1), mas, posteriormente, reconhecem fraes equivalentes a metade e usam este conhecimento como um facto numrico conhecido abandonando a aplicao da regra memorizada. Privilegimos o uso de nmeros de referncia (e.g., tarefas 2, 3 e 6 da tabela 1) potenciando assim a mudana de representao, a estratgia mais usada pelos alunos no clculo mental e contribuindo para a compreenso das quantidades representadas pelos nmeros racionais. Na representao decimal usmos apenas dcimas e centsimas para facilitar a mudana de representao para percentagem. Para potenciar o uso de equivalncias, usmos nmeros mltiplos de 5 e 10 ou nmeros racionais na representao decimal que, caso fossem operados como nmeros naturais pudessem ser pares ou divisveis por 5 (e.g., tarefa 8 da tabela 1 e tarefa 3 da tabela 2). disto exemplo a estratgia de Diogo (tarefa 7 da tabela 1), que analisa a relao entre a percentagem e o valor correspondente 5/10% e percebe que 5 metade de 10, logo a relao ?/100 teria de se manter para que as razes fossem equivalentes. Tambm Beatriz (tarefa 7 da tabela 2), para resolver o problema, baseia-se na equivalncia: se para ter a unidade necessita de 0,52, para ter o nmero total de baldes, necessita de 22,52. Na diviso de fraes, para promover o uso de outras estratgias para alm da regra de inverte e multiplica propusemos a diviso de duas fraes em que os denominadores so iguais ou um mltiplo do outro (tarefa 2 tabela 3). Incentivmos o desenvolvimento de relaes numricas, recorrendo, em tarefas diferentes ou na mesma tarefa em momentos diferentes, a operaes onde se verificam relaes numricas. Por exemplo colocmos na tarefa 1 a questo e na mesma tarefa, na segunda parte, a questo + __ =. Na tabela 1, para resolver a questo __ = da tarefa 2, Ins refere que: Como sei que d pus logo revelando compreender e usar a relao entre a diviso e a multiplicao para calcular o valor em falta na diviso. 16 Tabela 3. Erros dos alunos em tarefas com exerccios. Tarefa Questo Resposta dos alunos Erro Frao 1 12+24 A mim deu-me 3/4. Deixei o 4 em baixo e somei os numeradores (Toms) Eu apliquei a lei do corte e depois deu-me 2/4 (Gabriel) Opera com numeradores e mantem denominadores Aplica uma regra memorizada para a multiplicao de fraes 2 4626 A mim deu-me 2/6. Como os numeradores... os denominadores eram iguais fiz s 4:2 (Daniela) Aplica diviso as regras do algoritmo de adio de fraes Decimal 4 __-4,3=0,5 Deu-me 3 unidades e oito dcimas.() Ao 3 tirei 8 (Lus) Aplica uma propriedade da operao (o aditivo igual soma do subtrativo com o resto) mas apenas na parte decimal. 5 0,60,30 A mim deu-me 18 dcimas () Eu fiz logo 63 que d 18, ento juntei o zero e depois pus a vrgula (Letcia) Opera com decimais mas no considera o valor posicional dos algarismos Percentagem 7 90% de 30 Deu-me 3. Fiz 90:3 que me deu 30 (David) Tenta encontrar uma relao entre os nmeros que visualiza esquecendo que a percentagem atua como um operador Vrias representaes 3 2,4 12 Deu-me 1,2. Ento fiz 2,4 a dividir por um meio. Primeiro dividi o 2 por 1/2 que me deu 1 e depois dividir 4 por 1/2 e deu-me um... e pus 1,2... deu-me 2 (Mrcia) Usa a diviso por como sendo equivalente a dividir por 2. Nas operaes com nmeros racionais representeados por fraes frequente os alunos operarem com numeradores e denominadores como se fossem nmeros naturais, ignorando a significado de uma frao. Para verificar a existncia deste erro, ou a aplicao desadequada de regras memorizadas numa dada operao, as tarefas contemplam, por exemplo, a adio/subtrao de fraes com denominadores diferentes (tarefa 1, tabela 3) ou a diviso de fraes com o mesmo denominador (tarefa 2, tabela 3). Assim, Toms adicionou os numeradores, escolhendo o maior denominador para a frao resultante, Gabriel aplicou na adio de fraes uma regra que usa na 17 multiplicao de uma frao pela sua inversa e Daniela aplicou um procedimento na diviso de fraes semelhante ao da adio, operando com os numeradores e mantendo os denominadores uma vez que estes eram iguais. Nas operaes com nmeros racionais na representao decimal, um erro frequente dos alunos operar sem considerarem o valor posicional dos algarismos como fez Letcia (tarefa 5 da tabela 3) ou cometer erros na aplicao das propriedades das operaes como fez Lus, que aplica uma propriedade da subtrao, mas s a aplica parte decimal subtraindo a parte inteira. Na realidade, Lus adiciona a parte decimal e subtrai a parte decimal quando no existe valor a transportar. Nas quatro operaes, mas principalmente na multiplicao e diviso, alguns dos erros poderiam ser eliminados caso os alunos revelassem sentido de operao e sentido crtico perante o resultado. No caso de Mrcia (tarefa 3, da tabela 3), a aluna verbaliza que deve dividir por um meio mas o que faz na realidade dividir por 2. Caso tivesse sentido de operao perceberia que o resultado obtido no era possvel uma vez que ao dividir por um nmero racional o quociente no diminui, ao contrrio do que acontece quando se divide por um nmero natural. Tabela 4. Erros dos alunos em tarefas com problemas. Tarefa Problema Resposta dos alunos Erro Vrias representaes 3 O Joo desenhou, numa folha de papel, a distncia de sua casa escola atravs de um segmento de 1,5 cm. Sabendo que a escala que usou foi de 1:2000, qual a distncia real de casa escola? A mim deu-me 1500.Mas esta eu acho que... se 1 2000 e se ns queriamos um meio[1,5]... um e meio fiz 2000 menos... eu n sei explicar. Que dava 1500 (Ins) Erro de procedimento em que confunde 1,5 com 1500. 6 A Rita construiu um cubo em que a rea da base era 0,36 m2. Qual a medida do lado? Deu-me 9 centsimas porque um cubo e 36 a dividir por 4 que era 9 (Tiago) Estratgia baseada no permetro quando o conceito envolvido era rea. No clculo de percentagem um erro comum operar com os valores dados no exerccio ou problema ignorando o significado do sinal de %, como fez David (tarefa 7 da tabela 3). O aluno assume que o resultado 3 pois tentou encontrar um valor que 18 operado com 90 desse 30. No clculo de 5% de __ = 3, a maioria dos alunos responde 15, pois multiplica 3 por 5. Este tipo de erros reala a necessidade de continuar a desenvolver nos alunos o sentido crtico e a capacidade de estimar e avaliar a razoabilidade de um resultado, sendo a discusso na sala de aula fundamental para atingir este objetivo. Nos problemas, a interpretao do enunciado fundamental para que o aluno consiga seguir uma estratgia que o conduza ao resultado certo. A incluso de pequenos problemas teve o objetivo de reforar a importncia da interpretao e de contextualizar expresses iguais ou semelhantes s utilizadas nos exerccios. Os erros dos alunos nos problemas revelam no s dificuldades de interpretao, como foi o caso de Ins (tarefa 3 da tabela 4), que possivelmente associou 1,5 a 1500, mas tambm erros concetuais como Tiago que revelou alguma confuso entre o conceito envolvido no problema (rea) e o conceito que revelou usar na sua resposta (permetro) Nvel cognitivo das tarefas. Propor exerccios (tabela 1) e problemas (tabela 2) de clculo mental envolve desafios diferentes para os alunos. Num exerccio a operao j est explicita e s necessrio efetuar o clculo, enquanto um problema requer uma interpretao da situao e escolha da operao adequada sua resoluo. Como exerccios propusemos expresses que os alunos devem calcular e indicar o resultado (e.g., tarefas 1, 3, 5, 6 e 8 da tabela 1), mas tambm expresses onde devem calcular o valor em falta dado um determinado resultado (e.g., tarefas 2, 4 e 7 da tabela 1). de notar que tarefas com nveis cognitivos diferentes requerem por parte dos alunos raciocnios e estratgias com nveis de exigncias diferentes. Para calcular +, Diogo (tarefa 1 da tabela 1), apenas teve de aplicar uma regra conhecida, mas para calcular 10% de __=5 (tarefa 7 da tabela 1) o mesmo aluno teve de recorrer a equivalncias. No mbito das percentagens, seguindo Parker e Leinhardt (1995), propusemos trs tipos de exerccios: a aplicao de uma percentagem (e.g., 75% de 80) que envolve a multiplicao de um nmero natural por um decimal ou uma estratgia mais complexa envolvendo a relao parte-todo e a mudana de representao, como fez Daniela (tabela 1), ou a mudana de representao, como fez Letcia (tabela 2); o clculo do valor sobre o qual aplicamos uma percentagem (e.g., 10% de __=5) que levou Diogo (tabela 1) a usar equivalncias; e o clculo da percentagem aplicada a um valor (e.g., __% de 30=0,3) que permitiu a Joo mostrar algum pensamento algbrico ao 19 generalizar um procedimento que envolve a multiplicao de nmeros racionais: assim, 10% de 30 3 e 10% de 3 0.3. 10% de 10% 1% () 10% de 10% de 30. A stora no diz metade de metade !. Este aluno mostra uma estratgia intuitiva, com um argumento baseado num facto que conhece metade de metade em que aplica um operador a outro operador. Consideramos que a opo por tarefas de nveis cognitivos diferentes foi bem-sucedida, dada a variedade de estratgias que proporcionou. De forma crescente os alunos foram partilhando estratgias mais complexas comeando pela aplicao de regras memorizadas e terminado em raciocnios que envolvem pensamento algbrico. Concluso A anlise da adequao das tarefas de clculo mental com nmeros racionais, luz das estratgias e erros revelados pelos alunos, reforou a nossa convico de que a construo de tarefas deve basear-se em princpios orientadores alinhados com o objetivo pretendido. O nosso objetivo era promover o desenvolvimento de estratgias de clculo mental e clarificao de erros dos alunos no trabalho com nmeros racionais, e o momento de fazer o balano sobre os quatro princpios considerados para a criao das tarefas. O uso de dois contextos diferentes (exerccios e problemas) mostrou que nos problemas os alunos usam mais estratgias concetuais do que instrumentais e que nos exerccios os alunos comeam por usar estratgias instrumentais evoluindo para estratgias concetuais. Estes dois contextos complementam-se e ajudam os alunos a compreender como que as representaes simblicas dos nmeros racionais e suas operaes podem modelar situaes do dia-a-dia, contribuindo para a construo do sentido de nmero e de operao dos alunos. Esta complementaridade revela-se portanto adequada, podendo ser reforado o uso de problemas com o intuito de melhorar a capacidade de interpretao, onde os alunos mostraram muitas dificuldades, e a relao entre conhecimentos que os alunos possuem sobre nmeros e operaes tanto em contextos matemticos como em problemas. O uso gradual e sistemtico de diferentes representaes dos nmeros racionais ao longo da experincia de ensino fez emergir a mudana de representao como uma estratgia potente no clculo mental com nmeros racionais e promoveu a evoluo de estratgias instrumentais para estratgias mais concetuais. A mudana da representao 20 decimal para frao e de percentagem para frao foi uma das estratgias mais usadas pelos alunos. Considerar o uso de diferentes representaes como um princpio orientador na construo das tarefas permitiu aos alunos desenvolverem flexibilidade no uso das representaes fracionria, decimal e percentagem qualquer que fosse a operao a realizar. Assumir o contributo da investigao sobre o clculo mental e os nmeros racionais como princpio orientador para a construo das tarefas, reforou a eficcia e adequao dos outros trs princpios. O uso de nmeros de referncia apoiou a mudana de representao enquanto estratgia de clculo mental com nmeros racionais, o uso de nmeros mltiplos de nmeros de referncia, de operaes diferentes onde se verificam relaes numricas e tarefas de nveis cognitivos diferentes potenciou o recurso a equivalncias e relaes numricas. O conhecimento dos erros comuns dos alunos no trabalho com nmeros racionais em cada uma das representaes fez-nos prever o aparecimento desses erros para que pudessem ser discutidos e clarificados. A variao do nvel cognitivo das tarefas permite aos alunos desenvolverem estratgias pessoais cada vez mais complexas. Alunos que usam estratgias instrumentais no clculo do resultado de uma expresso, ao ser-lhe apresentada uma expresso em que tm de calcular um valor em falta que torna a igualdade verdadeira usam estratgias concetuais. Alguns alunos, neste ltimo tipo de tarefa, revelam aspetos notveis de pensamento algbrico reforando a tese de que tarefas com caractersticas diferentes podem levar os alunos a desenvolverem modos de raciocnio diferentes (Henningsen & Stein, 1997). Como reflexo final, consideramos que os princpios orientadores seguidos na construo das tarefas revelaram-se adequados e que as tarefas contriburam para desenvolver as estratgias de clculo mental dos alunos e para detetar e discutir os seus erros. Diferentes contextos fizeram emergir estratgias diferentes, diferentes representaes permitiram aos alunos ser flexveis nas suas estratgias e o uso de tarefas com nveis cognitivos diferentes e contemplando aspetos da aprendizagem do clculo mental e dos nmeros racionais promoveram o aparecimento de estratgias cada vez mais concetuais ao longo da experincia de ensino. Gradualmente, os alunos foram usando estratgias cada vez mais diversificadas e flexveis e reduzindo o nmero de erros cometidos. Desenvolver o clculo mental dos alunos de forma intencional e integrada com tarefas pensadas com um propsito especfico, como apresentmos, 21 permite rever e consolidar aprendizagens relacionadas com nmeros e operaes e tambm com lgebra, Geometria e Estatstica. Referncias Behr, M. J., Post, T. R., & Wachsmuth, I. (1986). Estimation and childrens concept of rational number size. In H. L. Schoen (Ed.), Estimation and mental computation (pp. 103-111). Reston, VA: NCTM. Bell, A. (1993). Principles for the design of teaching, Educational Studies in Mathematics, 24(1), 5-34. Bogdan, R., & Biklen, S. K. (1994). Investigao qualitativa em educao: Uma introduo teoria e aos mtodos. Porto: Porto Editora. Bourdenet, G. (2007). Le calcul mental. Activits mathmatiques et scientifiques, 61, 5 32. Callingham, R., & Watson, J. M. (2004). A developmental scale of mental computation with part-whole numbers. Mathematics Education Research Journal, 16(2), 69-86. Caney, A., & Watson, J. M. (2003). 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