Captulo 8: A Integral Definida.

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    30-Dec-2016

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  • 8

    A Integral Definida

    O estudo da Integral Definida e da Derivada, esta introduzida no Captulo 2,

    constitui o objetivo central deste livro. Historicamente os dois conceitos foram

    desenvolvidos separadamente. Carl B. Boyer1, em sua Histria da Matemtica, p.278,

    nos d a exata dimenso de cada processo: Achar tangentes exigia o uso do calculus

    differentialis e achar quadraturas o calculus summatorius ou calculus integralis, frases de

    onde resultaram as expresses que usamos. Em razo disso, os autores deste livro

    optaram pela denominao Clculo Diferencial e Integral, mantendo-se a referncia

    inicial, ao contrrio de outros autores que optam pela palavra sntese Clculo.

    Na sequncia ser desenvolvido o processo que nos permite o clculo de reas de

    regies planas, mais especificamente, rea sob curvas e, em seguida, a generalizao

    desse processo nos conduzir ao conceito de integral definida.

    8.1 Clculo de reas

    Sabemos, atravs da Geometria, como calcular reas de polgonos e do circulo. Esse conhecimento pode ser utilizado para o clculo de reas de regies que possam ser

    divididas em um nmero finito de regies poligonais ou setores circulares. Quando a

    regio no pode ser decomposta deste modo o procedimento no consegue ser adotado

    para o clculo de sua rea. Um exemplo simples desse fato o clculo da regio limitada

    por uma elipse.

    Apresentaremos nesta seco um mtodo sistemtico de clculo da rea de certas

    regies para as quais os recursos da Geometria se mostram ineficazes. Esse mtodo,

    alm de sua importncia intrnseca, fornece motivao para o tema principal deste

    captulo que a Integral Definida.

    Para a introduo do processo de clculo de reas que iremos desenvolver

    necessitaremos de alguns conceitos preliminares essenciais para o entendimento do

    mtodo.

    1 BOYER, Carl B. Histria da Matemtica. So Paulo. Editora Edgar Blucher Ltda. 1996

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    Definio 8.1 Sejam a e b dois nmeros tais que e f uma funo contnua em [ ], com para todo desse intervalo. Denominaremos de rea sob a curva f entre a e b como sendo a rea da regio limitada pelo grfico da funo f, pelas retas verticais e e pelo eixo horizontal, conforme figura ao lado.

    Notao:

    Exemplo 8.1

    Exemplos de reas sob curvas.

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    Definio 8.2

    Seja A um conjunto do domnio de uma funo f. Dizemos que f tem um ponto de

    mximo absoluto em A se existir , tal que para todo . O elemento

    a chamado ponto de mximo absoluto de f em A e o mximo absoluto de f em A.

    Definio 8.3

    Seja A um conjunto do domnio de uma funo f. Dizemos que f tem um ponto de

    minimo absoluto em A se existir , tal que para todo . O elemento

    b chamado ponto de mnimo absoluto de f em A e o mnimo absoluto de f em A.

    Exemplo 8.2

    [ ] [ [

    Mnimo absoluto em e mximo absoluto em . Mnimo absoluto em e no tem mximo absoluto.

    ] [ ] [

    No tem mnimo e nem mximo absolutos. Mnimo absoluto em e no tem mximo absoluto.

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    Exemplo 8.3

    A funo [ ] definida por

    {

    cujo grfico est exibido ao lado, tem mximo absoluto em e em , mas no tem mnimo.

    Os exemplos vistos nos indicam a necessidade de estabelecer condies que nos

    permitam decidir quando que uma funo tem mximo absoluto e mnimo absoluto.

    Enunciaremos agora um teorema sobre isto, mas no o demonstraremos, pois a teoria

    apresentada neste texto no suficiente para tal.

    Teorema 8.1 (Teorema da Existncia de Mximo e Mnimo Absolutos)

    Se uma funo for contnua num intervalo fechado de extremos a e b

    ento a funo assume, neste intervalo, mximo e mnimo absolutos.

    Exerccio 8.1

    Em cada funo dada nos Exemplos 8.2 e 8.3 verifique a ocorrncia das hipteses

    do Teorema 8.1 e confronte as ocorrncias ou no de mximos e de mnimos.

    Exerccio 8.2

    Nas funes dadas a seguir, diga se ela tem mximo ou mnimo absoluto. Para os

    casos afirmativos indique: o mximo, o mnimo e os pontos de mximo ou de mnimo.

    1) [ ] 2)

    3)

    4) [ ]

    Agora temos conhecimentos bsicos necessrios para iniciar o estudo de clculo

    de reas. Comearemos com o exemplo a seguir.

    Exemplo 8.4

    Vamos obter um valor aproximado da rea sob a curva , entre 1 e 2. Para

    fazer isso iremos comparar dois tringulos, conforme exposto a seguir.

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    A funo , tem um ponto de mnimo absoluto em e um ponto de mximo absoluto em .

    Notamos, ento, que a rea do retngulo de base 1 e altura menor do que a

    rea sob a curva , entre 1 e 2; esta, por sua vez, menor do que a rea do

    retngulo de base 1 e altura . Como a rea do primeiro retngulo 1 e a rea do

    segundo 4, podemos afirmar que:

    Ao conseguir estabelecer que a rea considerada maior do que 1 e menor do

    que 4 podemos afirmar o seguinte: se atribuirmos a essa rea qualquer valor entre 1 e 4

    no cometeremos, na avaliao de seu valor, um erro maior do que 3. Podemos obter

    uma aproximao melhor? A resposta afirmativa e, para obter isso, basta subdividir o

    intervalo [ ] e considerar a rea de novos retngulos. Na sequncia, iremos dividir o

    intervalo [ ] em duas partes iguais e considerar as reas de quatro retngulos.

    A funo , tem ponto de mnimo absoluto em e ponto de mximo absoluto em e a funo , tem mnimo absoluto no ponto e ponto de mximo absoluto em .

    Considerando os quatro retngulos com base no intervalo [ ], podemos

    relacionar as suas reas com a rea sob a curva , entre 1 e 2 da seguinte maneira:

    (

    )

    (

    )

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    Neste caso se atribuirmos para um valor entre 1,625 e 3,125 no

    cometeremos um erro superior a 1,5. Melhor aproximao poder ser conseguida

    dividindo-se o intervalo [ ] em trs partes iguais e considerando-se as reas de seis

    retngulos, como faremos a seguir.

    O intervalo [ ] foi dividido em trs partes iguais e os subintervalos:

    [

    ] [

    ] [

    ]

    constituem as bases dos seis retngulos, conforme grfico ao lado.

    Considerando os mximos e mnimos absolutos da funo , restrita a cada

    subintervalo teremos:

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    Neste ltimo caso, qual seria o maior erro que poderamos cometer ao escolher

    um valor para entre as duas aproximaes encontradas?

    No processo que utilizamos para as aproximaes do valor de os

    retngulos que tem como altura o mnimo absoluto no intervalo considerado so

    denominados de retngulos inscritos. Em contrapartida, os retngulos que tem por

    altura o mximo absoluto so denominados de retngulos circunscritos. fcil de

    observar que em cada passo do processo a soma das reas dos retngulos inscritos

    aumenta, enquanto a soma das reas dos retngulos circunscritos diminui.

    Vamos agora subdividir o intervalo [ ] em n subintervalos de mesmo

    comprimento atravs dos pontos:

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    Observe que em cada subintervalo

    [

    ]

    a funo considerada assume, como na figura ao lado, o mnimo absoluto e o mximo absoluto ocorrem, respectivamente, em

    Na construo do processo que faremos a seguir iremos tratar separadamente a

    soma das reas dos retngulos inscritos e a soma das reas dos retngulos circunscritos.

    Desta forma, para os retngulos inscritos, teremos:

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    ou

    [ (

    )

    (

    )

    (

    )

    ]

    Desenvolvendo os quadrados, fica:

    [ (

    ) (

    ) (

    )]

    O primeiro termo da desigualdade anterior pode ser reagrupado da seguinte

    maneira:

    {

    [ ]

    [ ]

    }

    ou

    {

    [ ]

    [ ]}

    A desigualdade (2) pode ser consideravelmente simplificada atravs das

    seguintes identidades, que podem ser demonstradas pelo processo de induo finita:

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    Tomando-se as identidades (2) e (3), com e substituindo em (2),

    teremos:

    [

    ]

    que, simplificando e reduzindo os termos semelhantes, se reduz a:

    Com a soma das reas dos retngulos circunscritos, podemos escrever a seguinte

    desigualdade:

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    Procedendo-se de maneira similar ao que se fez antes, a desigualdade (6) passa a

    ter a seguinte expresso:

    Relacionado (5) e (7), teremos:

    A relao (8) assegura que a rea sob a curva , entre 1 e 2 um nmero

    que se encontra limitado inferiormente pela soma das reas de n retngulos inscritos e,

    superiormente, pela soma de n retngulos circunscritos, onde n um nmero natural

    qualquer e corresponde ao nmero de subdivises do intervalo [ ]. Observa-se

    facilmente que medida que aumentamos n, menor ficar a diferena entre a soma das

    reas dos retngulos circunscritos e a soma das reas dos retngulos inscritos e, nesse

    procedimento, vai-se obtendo aproximaes cada vez melhores para . de se

    esperar que, num processo contnuo, ao fazer n tender para o infinito encontremos a

    rea procurada.

    Assim,

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    O processo visto pode ser generalizado para se calcular o valor da rea sob uma

    curva definida pelo grfico de uma funo contnua, tendo por domnio um intervalo

    fechado. Para tanto, vamos considerar uma funo f contnua e positiva em [ ]. Para

    calcular a rea sob a curva f entre a e b, usaremos apenas retngulos inscritos (o

    processo usando retngulos circunscritos desenvolvido de maneira similar e se obtm

    o mesmo resultado final).

    O processo se inicia pela subdiviso do intervalo [ ] em n partes, no

    necessariamente iguais, escolhendo-se pontos da seguinte maneira:

    e, alm disso, essa subdiviso do intervalo [ ] deve satisfazer a seguinte propriedade:

    Em cada intervalo [ ], , pelo Teorema 8.1, existe um ponto no qual a funo assume um mnimo absoluto. Iremos, portanto, considerar os retngulos de base e altura ,

    conforme figura ao lado.

    A soma S das reas dos retngulos inscritos, como na figura, nos d uma

    aproximao da rea sob a curva entre a e b. Se aumentarmos o nmero de

    pontos na subdiviso do intervalo [ ], dentro das condies estabelecidas, obteremos

    uma melhor aproximao para o valor da rea sob a curva f.

    Para o caso de n subdivises, este valor aproximado ser dado por:

    ou seja,

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    A rea sob a curva entre a e b ser obtida fazendo , com .

    Assim, teremos:

    De modo semelhante poderamos ter obtido a rea considerando-se retngulos

    circunscritos, com base e alturas , onde um ponto de

    mximo absoluto de f em [ ], .

    Pode-se mostrar que, sendo f contnua, existem e so iguais os seguintes limites:

    Este fato de se esperar, pois, quando e , e pela continuidade de

    , tende para . Podemos usar qualquer um desses limites

    para calcular a rea sob a curva entre a e b. Para facilitar os clculos podemos,

    ainda, considerar na subdiviso intervalos de mesmo comprimento.

    Exemplo 8.5

    Calcularemos, a seguir, a rea sob a curva entre e , usando retngulos inscritos (veja figura ao lado).

    Dividindo o intervalo [ ] em n subintervalos de comprimentos iguais a

    teremos a subdiviso:

    Em cada subintervalo, determinado pela subdiviso de [ ], o mnimo absoluto

    da funo ocorre no extremo da esquerda, isto , em [

    ] o mnimo absoluto

    (

    ), para todo . Assim, a soma das reas dos retngulos inscritos

    dada por:

    (

    )

    (

    )

    (

    )

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    [ ]

    Da,

    [

    ]

    Esse resultado j era esperado, pois, a regio um tringulo de base 2 e altura 2.

    Exemplo 8.6

    Nesse exemplo, vamos calcular a

    Diferentemente do exemplo

    anterior usaremos, agora, os retngulos circunscritos (veja figura ao lado). Para isso o intervalo [ ] ser dividido em n partes iguais a

    pela subdiviso:

    Em cada subintervalo, determinado pela subdiviso de [ ], o mximo absoluto

    da funo ocorre no extremo da direita, isto , em [

    ] o mximo absoluto da funo

    (

    ), para todo .

    Neste caso, a soma das reas dos retngulos circunscritos ser da forma:

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    e, portanto:

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    Exerccio 8.3

    Calcule as seguintes reas:

    1) , usando retngulos inscritos.

    2) , usando retngulos circunscritos.

    3)

    4) . Para este caso use: [

    ]

    8.2 A Funo rea

    Os exemplos da seo anterior nos mostram que o processo de calcular reas

    usando retngulos inscritos ou circunscritos, apesar de ser natural, trabalhoso.

    Agora veremos como simplificar o clculo de reas relacionando-o com as

    integrais indefinidas. Isto ser feito no Teorema 8.2.

    Consideremos ento e f uma funo contnua em [ ] de forma que

    , para todo nesse intervalo. Consideremos a funo A, definida em [ ], que a

    cada associa a rea sob a curva f entre a e , ou seja:

    [ ]

    A funo A chamada de Funo rea. Observando o grfico ao lado bastante evidente a motivao para o nome dessa funo.

    O grfico ajuda, tambm, na percepo de trs propriedades da Funo rea que decorrem como consequncias imediatas de sua definio:

    1) 2) 3) cresce quando cresce.

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    Teorema 8.2

    A Funo rea derivvel e , para todo em [ ].

    Demonstrao

    Para demonstrar que a Funo rea possui derivada em um ponto de [ ]

    necessrio demonstrar que as derivadas laterais dessa funo no ponto existem e so

    iguais, exceto para os extremos onde so consideradas apenas a derivada direita em a

    e a derivada esquerda em b. Para a derivada direita em [ [ consideremos o

    quociente:

    Sendo contnua no intervalo [ ], ela assume nesse intervalo mximo e mnimo absolutos. Sejam c e d os pontos de mximo e mnimo absolutos, respectivamente. Comparando as reas dos retngulos de base e alturas e com a rea sob a curva f entre e , conforme figura ao lado, teremos:

    ou,

    Dividindo termo a termo por , obteremos:

    Quando teremos que e e, como f contnua ocorrer que

    e, tambm, . Portanto:

    ou seja, a derivada direita de em existe e igual a . De modo anlogo

    demonstra-se que a funo possui derivada lateral esquerda para todo no

    intervalo ] ] e que , tambm igual a (essa demonstrao deixamos a cargo do

    leitor). Desta forma, conclumos que derivvel em [ ] e, alm disso:

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    Como consequncia deste teorema, podemos sistematizar o clculo de rea

    atravs do seguinte corolrio:

    Corolrio 8.1

    Seja [ ] uma funo contnua. Ento a rea sob a curva entre a

    e b dada por

    onde uma primitiva qualquer de .

    Demonstrao

    Pelo Teorema 8.2, uma primitiva de , suposta contnua e positiva

    em [ ]. Como outra primitiva de segue, pelo Teorema 7.2, que

    para todo [ ] e para algum . Assim,

    e como , conclumos que , ou seja:

    , para todo [ ].

    Da, para , teremos que:

    sendo uma primitiva qualquer de .

    Exemplo 8.7

    Dada a funo , vamos encontrar:

    Para isso, basta tomar uma primitiva de como, por exemplo

    e calcular: ou

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    Exemplo 8.8

    Calcular a rea entre as curvas e , cujo grfico encontra-se a seguir.

    O Teorema 8.2 e o seu Corolrio 8.1 estabelecem o processo para o clculo de rea sob curva, isto , a rea de regies do plano limitadas acima pelo grfico de uma funo contnua, abaixo pelo eixo horizontal e, aos lados pelas verticais que passam pelos extremos do intervalo onde a funo encontra-se definida. Assim, quando a regio da qual se pretende calcular a rea no se enquadra nesse padro torna-se necessrio buscar meios indiretos, pelos quais o resultado procurado possa ser encontrado utilizando-se do processo de clculo de reas assegurado pelas proposies citadas.

    O caso proposto, em geral, designado por rea entre curvas e, no presente caso,

    o clculo da rea dado pela diferena entre a rea sob a curva e a rea sob a

    curva de 0 a 1.

    Sendo assim, teremos:

    onde,

    e

    Deste modo:

    Observao:

    O clculo de reas entre curvas exige, em geral, a determinao de intersees das curvas dadas e a decomposio ou composio da rea dada como soma algbrica de reas sob curvas, com os respectivos intervalos de definio das funes contnuas que entram no processo de clculo da rea requerida inicialmente. Este assunto ser tratado com mais detalhes no Captulo 11.

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    Exemplo 8.9

    Nesse exemplo, vamos calcular a rea limitada pelo grfico da funo , pelo

    eixo e pela reta vertical .

    Esse outro caso em que as hipteses do Teorema 8.2 e, consequentemente, do Corolrio 8.1 no esto integralmente contempladas, uma vez que a funo dada no positiva no intervalo [ ]. Mesmo assim podemos calcular a rea indicada considerando, no lugar da funo dada, a funo , definida em [ ]. fcil concluir que a rea solicitada coincide com a rea sob a curva entre e .

    Assim,

    Da, conclumos que:

    Exemplo 8.10

    Iremos agora calcular a rea de um setor circular.

    Particularmente, vamos considerar o setor circular, como no grfico ao lado, definido pela reta , pelo crculo de equao e pelo eixo horizontal.

    O exemplo estende o processo de calculo de rea sob curva para tratar, como

    neste caso, o que denominamos de rea limitada por curvas. O primeiro passo na

    soluo do problema determinar os pontos de interseo das curvas envolvidas na

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    definio da regio que se quer calcular a rea. Nesse caso temos: a reta , o crculo

    (ou no caso a funo ) e o eixo horizontal. As intersees com o

    eixo horizontal ocorrem em e . Para encontrar a interseo das duas funes

    devemos substituir em ; da se obtm e, consequentemente,

    , j que a raiz negativa no interessa ao caso em questo. O que se observa

    agora que temos duas reas sob curvas a considerar: a rea sob a curva entre 0 e

    e a rea sob a curva entre e 1. Assim a rea em questo pode

    ser calculada por adio da seguinte maneira:

    ( )

    Sabemos que uma primitiva de

    e que uma primitiva de (como se encontra no Exemplo 7.7)

    portanto,

    (

    ) (

    )

    e, da:

    (

    )

    ou

    Exerccio 8.4

    1) Calcule a rea sob a curva dada, no intervalo indicado:

    A) de 0 a 2; B) de 0 a ; C) de 0 a ; D) de 0 a 4.

    2) Calcule a rea entre as curvas e de 0 a .

    3) Calcule a rea entre as curvas e

    4) Calcule a rea entre as curvas e .

    5) Calcule a rea da elipse de semi-eixos a e b.

    6) Calcule a rea do quadriltero de vrtices: (0,0), (2,4), (3,1) e (4,0).

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    7) Nos itens dados a seguir, determine a rea da regio indicada:

    A)

    B)

    C)

    D)

    E)

    F)

    G)

    H)

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    I)

    J)

    K)

    L)

    M)

    N)

    O)

    P)

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    8.3 Integral Definida

    O processo de clculo de reas, exposto anteriormente, faz parte, em sua essncia, dos esforos de um grande nmero de matemticos e, tambm, de outros estudiosos no

    necessariamente matemticos, que durante os sculos XVI, XVII e posteriores

    refundiram a matemtica de geraes anteriores, ampliaram consideravelmente os

    conhecimentos at ento desenvolvidos e lanaram as bases do conhecimento

    matemtico e de outros ramos cientficos do mundo contemporneo.

    Em sua formulao do Clculo Integral, Leibniz, ao mostrar o mtodo do clculo

    da rea sob a curva entre a e b conforme o processo de limite que exibimos

    anteriormente definiu o valor dessa rea como sendo a integral definida de de

    a at b, introduzindo o seguinte smbolo:

    a partir da subdiviso ,

    e, alm disso, com , para todo [ ].

    Segundo Courant e Robbins2, p.457, o smbolo , e o nome

    foram introduzidos por Leibniz para sugerir a maneira pela qual o limite obtido.

    Na concepo de Leibniz exige-se que a funo seja positiva em todo o

    intervalo [ ] para garantir, evidentemente, que no apaream, no somatrio, parcelas

    negativas e, portanto, destitudas de significados, j que cada parcela representa o valor

    de uma rea. Entretanto, do ponto de vista processual, o limite se calcula sobre uma

    soma e no h nenhuma restrio analtica que comprometa a existncia do limite, caso

    apaream parcelas negativas nessa soma. A existncia do limite est vinculada

    continuidade da funo e a uma particularidade na subdiviso do intervalo em questo,

    como veremos a seguir.

    Comecemos por considerar uma funo contnua em [ ]. Em seguida,

    vamos subdividir esse intervalo [ ], escolhendo pontos, ,

    da seguinte maneira:

    satisfazendo a seguinte propriedade:

    Para todo , vamos considerar os nmeros , sendo

    e os outros dois, respectivamente, o mnimo absoluto e o mximo

    absoluto de no intervalo [ ]. Assim, teremos:

    2 Courant, R. e Robbins H. O que Matemtica?.Rio de Janeiro:Editora Cincia Moderna Ltda., 2000

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    Multiplicando por os termos dessa desigualdade, teremos:

    Essa ltima desigualdade assegura-nos que:

    A continuidade de , em [ ], e o fato de , quando , nos

    garantem a existncia e a igualdade dos limites da relao (1) e, alm disso, o valor do

    limite no alterado pela escolha de , no intervalo [ ]. Dessa forma, podemos

    introduzir a seguinte definio:

    Definio 8.4

    Se contnua em [ ], denominamos de Integral Definida de

    em [ ] o seguinte limite:

    onde a soma constituda a partir de qualquer subdiviso de [ ] com a propriedade

    de que , quando .

    Para representar a Integral Definida de em [ ] empregamos a notao

    indicada por Leibniz, conforme citamos anteriormente:

    Decorre imediatamente da Definio 8.4 que se a funo for positiva em

    [ ] a integral definida coincide com a rea sob curva f entre a e b.

    A soma que aparece na definio da Integral Definida: ,

    denominada Soma de Riemann de f no intervalo [ ], para a subdiviso:

    . O nome em homenagem ao matemtico alemo G. F. B. Riemann (1826

    1866).

    Em muitos problemas fsicos ou matemticos aparecem Somas de Riemann em

    que . Questes como essas so resolvidas por integrais definidas.

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    Exemplo 8.11

    Vamos calcular

    .

    Para facilitar os clculos, vamos escolher iguais e , para cada [ ]. Assim, vamos tomar, veja grfico ao lado,

    e, portanto,

    Com a subdiviso de [ ] como mostrada, teremos:

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    Portanto, teremos a soma de Riemann:

    [ (

    ) (

    ) (

    )]

    [

    ]

    [

    ]

    Finalmente:

    [

    ]

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    Exemplo 8.12

    Neste exemplo, vamos calcular a

    Nesse exemplo vamos considerar a seguinte subdiviso do intervalo [ ]:

    e tomar para o extremo superior do intervalo

    [ ] O grfico ao lado exibe as caractersticas da soma que iremos construir em seguida.

    Em razo das consideraes anteriores, teremos:

    (

    ) (

    )

    (

    ) (

    )

    (

    ) (

    )

    (

    ) (

    )

    e, portanto, teremos a seguinte Soma de Riemann:

    [(

    ) (

    ) (

    ) (

    )]

    [(

    ) (

    )]

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    [

    ]

    [

    ]

    Resultando que:

    (

    )

    Exerccio 8.5

    Calcule as integrais:

    1)

    2)

    Definio 8.5

    Esta definio nos diz que, se trocarmos os limites de integrao a integral

    definida troca de sinal.

    8.3.1 Propriedades da Integral Definida

    Nas propriedades enunciadas a seguir consideramos, f e g, funes contnuas nos intervalos fechados sugeridos pelos limites de integrao.

    1)

    ;

    2)

    ;

    3)

    ;

    4) [ ]

    ;

    5) Se em [ ] ento

    ;

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    6) Se em [ ] ento

    ;

    7) |

    | | |

    , se

    8) Se , para todo em [ ] ento

    A seguir sero desenvolvidas as demonstraes de algumas dessas propriedades:

    1) Demonstrao da Propriedade (2)

    Como a propriedade enunciada para qualquer sequncia dos nmeros a, b e c,

    iremos conduzir nossa demonstrao para a sequncia: . As outras

    possibilidades so resolvidas de forma semelhante.

    Como a existncia da integral definida no depende da subdiviso do intervalo

    considerado, mas do fato das amplitudes tender para zero, quando o nmero de

    subintervalos tende para infinito, vamos escolher uma partio do intervalo [ ]

    dividindo-o em subintervalos, de modo que o ensimo ponto coincida com o ponto

    intermedirio b. Assim, teremos a seguinte partio de [ ]:

    Evidentemente, e so,

    respectivamente, parties dos intervalos [ ] e [ ], com a propriedade de que

    , quando .

    Tomando em cada intervalo [ ], podemos escrever:

    Como a funo contnua em [ ] suas restries aos intervalos [ ] e

    [ ], tambm, so contnuas podemos garantir a existncia dos limites das somas da

    relao (1) quando n tende ao infinito. Assim, aplicando o limite com aos dois

    lados de (1), teremos:

    [

    ]

    Da, finalmente, conclumos que:

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    2) Demonstrao da Propriedade (6)

    Consideremos uma subdiviso qualquer do intervalo [ ] e as correspondentes

    Somas de Riemann obtidas dessa subdiviso:

    Como para todo [ ], teremos para cada

    [ ] e, portanto, .

    Da, teremos:

    Portanto,

    3) Demonstrao da Propriedade (7)

    Sabemos pela definio de mdulo que | | e que | | . Logo,

    pela Propriedade (6), podemos afirmar que:

    | | | |

    Alm do mais, pela Propriedade (3), temos que:

    | |

    | |

    De (a) e (b), decorre que:

    | |

    | |

    donde se conclui que

    |

    | | |

    Exerccio 8.6

    Demonstrar as propriedades (1), (3), (4), (5) e (8).

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    8.4 O Teorema Fundamental do Clculo

    Como se l em Courant e Robbins3 a noo de integrao, e at certo ponto de

    diferenciao, tinha sido razoavelmente bem desenvolvida antes do trabalho de Newton

    e Leibniz (p.499). Segundo Maor4, a idia de encontrar a rea de uma determinada

    forma, considerando-a como a soma de um grande nmero de formas pequenas,

    originou-se entre os gregos e Fermat usou-a com sucesso na quadratura da famlia de

    curvas . Mas foi o Teorema Fundamental do Clculo a relao inversa entre

    diferenciao e integrao que transformou o novo clculo em uma ferramenta to

    poderosa. O crdito por esta formulao pertence apenas a Newton e Leibniz (p.120).

    A Integral Definida uma generalizao do processo de Clculo de rea. Na

    realidade, nos intervalos em que a funo integrando, , positiva a Integral

    Definida dessa funo coincide com o valor da rea sob a curva f, no intervalo

    considerado. No Teorema 8.2 foi demonstrado que a utilizao da Integral Indefinida

    fundamental para o clculo de rea, portanto, de se esperar que para o caso da Integral

    Definida uma idntica utilizao possa ser feita. Esse fato se consolida atravs do

    Teorema Fundamental do Clculo, que passa a ser o nosso objeto de estudo nesta seo.

    Para atingirmos o objetivo a que nos propomos vamos considerar a funo:

    [ ]

    onde f uma funo contnua em [ ].

    bom salientar que a continuidade de f em [ ], para todo garante a

    existncia da integral anterior e, portanto, a existncia de , para [ ] (por

    qu?)

    Teorema 8.3 Teorema Fundamental do Clculo

    A funo

    [ ]

    onde f uma funo contnua em [ ], derivvel em [ ] e , para todo

    [ ].

    3 Courant, R. e Robbins, H. O que Matemtica. Editora Cincia Moderna Ltda. Rio de Janeiro. 2000. 4 Maor, E. e: A HISTRIA DE UM NMERO. Editora Record. Rio de Janeiro. 2003.

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    Demonstrao:

    Primeiramente iremos mostrar que (derivada direita de em ) igual a

    , para todo [ [. Para isso tomemos no intervalo considerado e de

    forma que tenhamos . Nesse caso verificaremos a existncia de

    Pela definio de , resulta que:

    Usando a Definio 8.5 e a propriedade (2), teremos

    A funo f sendo contnua em [ ], tambm, contnua em [ ] e,

    portanto, podemos afirmar a existncia de um mximo absoluto M e um mnimo

    absoluto m para f no intervalo [ ] e, pela Propriedade (8), teremos:

    e, uma vez que , resulta

    Pela continuidade da funo f teremos que e , quando

    e, portanto, fica garantida a existncia do

    e que, alm disso, o valor desse limite . Portanto, conclumos que a funo

    possui derivada lateral direita em cujo valor , ou seja:

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    O leitor pode, do mesmo modo, demonstrar que existe e, ainda, que

    para todo ] ]. A igualdade das derivadas esquerda e direita em

    ] [ garante, pelo que j vimos, que a funo derivvel em ] [. Em e em

    consideram-se as derivadas laterais respectivas. Portanto, concluindo a

    demonstrao, temos que a funo derivvel em [ ] e .

    Corolrio 8.2

    Se f contnua em [ ] e F uma primitiva de f nesse intervalo ento

    Demonstrao:

    Pelo teorema anterior uma primitiva de f. Sendo F outra primitiva de f

    teremos, por consequncia, que:

    , para todo [ ] e para alguma constante C real.

    Como

    , teremos e, portanto,

    .

    Assim:

    [ ]

    Fazendo , teremos, finalmente, que:

    Para facilidade de notao, costume representar por

    |

    conforme est apresentado no exemplo a seguir.

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    Exemplo 8.13

    |

    (

    )

    Observao:

    A tcnica integrao por partes, utilizada no clculo de integrais indefinidas, pode

    ser aplicada diretamente na integral definida, da seguinte maneira:

    |

    A utilizao das tcnicas de clculo de integrais indefinidas que envolvem

    substituies no integrando, quando aplicadas s integrais definidas, merecem cuidados

    adicionais. Ao substituir a varivel do integrando deve-se, tambm, proceder

    substituies convenientes nos limites de integrao. Uma prtica que adotamos, com

    frequncia, neste texto calcular, separadamente, a integral indefinida para se ter a

    primitiva da funo dada na integral definida e, em seguida, proceder o clculo da

    integral definida, conforme exemplo a seguir:

    Exemplo 8.14

    Para calcular a integral

    encontraremos, primeiramente, a integral indefinida:

    Para tal, faamos a substituio , e, assim, teremos:

    Como precisamos apenas de uma primitiva de escolhemos, em

    geral, e, portanto, teremos:

    |

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    Poderamos ter aplicado a tcnica de substituio diretamente na integral dada,

    tomando e . Entretanto, devemos notar que para , teremos

    , mas para ,

    . Assim, teremos:

    |

    Outro cuidado que devemos ter ao aplicar as tcnicas de integrao para resolver

    uma integral definida se relaciona com o domnio e valores das funes envolvidas. Por

    exemplo, vamos supor que desejemos calcular a integral definida

    No Exemplo 7.7 foi visto que:

    e, assim, pelo Corolrio 8.2, teremos

    [

    ]|

    As possveis solues para (1), so:

    a) b)

    Neste caso, no seria uma funo (por qu?) e, portanto, torna-se

    necessrio precisar, com rigor, quais valores devem ser considerados como soluo da

    integral dada. No Captulo 10, ao estudarmos as funes inversveis e as respectivas

    inversas precisaremos com mais detalhe os aspectos apresentados aqui pela funo

    inversa do seno. Neste momento, apenas adiantaremos que ficar estabelecido que o

    conjunto imagem da funo arco-seno dado pelo intervalo [

    ].

    Restrita a este intervalo teremos:

    a) b)

    Concluindo, teremos o valor da integral:

    [

    ]|

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    De forma semelhante ao considerado no exemplo anterior para a funo arco

    seno, estabelecemos para as demais funes trigonomtricas inversas os seguintes

    conjuntos imagens:

    1) O conjunto imagem de o intervalo [ ];

    2) O conjunto imagem do o intervalo ]

    [;

    3) O conjunto imagem do dado pela unio [

    [ ]

    ].

    Exemplo 8.15

    Calcular a integral:

    Uma vez que o estudo da funo logaritmo natural ser feito no Captulo 10,

    estabelecemos anteriormente que

    e, portanto, no se aplica, no formato que est, integral definida que se pretendente

    calcular, uma vez que o intervalo de definio dessa integral envolve valores negativos.

    Por outro lado, a funo , para , est bem definida e, alm disso,

    usando a regra da cadeia, temos:

    Assim, , com e, tambm, uma primitiva de e,

    portanto,

    Voltando integral definida dada, teremos:

    |

    O que foi desenvolvido nesse exemplo justifica o fato de aparecer em vrias

    tabelas de integrais a frmula:

    | |

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    Exemplo 8.16

    Calcular a integral: | |

    A funo | | definida por duas leis de formao:

    | | {

    e, nesse caso, a primitiva de f e, tambm, definida por duas leis de formao:

    {

    Podemos, ento, usando a Propriedade 2, podemos concluir que:

    | |

    | |

    | |

    (

    )|

    (

    )|

    Exerccio 8.7

    Calcular as integrais:

    1)

    2)

    3)

    4)

    5)

    6)

    7)

    8)

    9)

    10)

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    8.5 Integrais Imprprias

    Ao estabelecer o conceito de Integral Definida, a exemplo do que tnhamos feito

    para rea sob Curva, o fizemos apenas para funes contnuas num intervalo fechado.

    Entretanto, ao proceder assim, deixamos margem de consideraes um nmero bem

    grande de funes para as quais os dois conceitos anteriores podem, perfeitamente,

    serem estendidos. Analisaremos, a partir de agora, algumas situaes que permitem a

    extenso daqueles conceitos fazendo uso, inicialmente, dos conhecimentos a cerca do

    clculo de reas sob curva. Para exemplificar, tomemos a seguinte funo:

    Embora sendo contnua no intervalo dado, o conceito de rea sob curva

    (Definio 8.1) no pode ser aplicado uma vez que a funo dada no est definida num

    intervalo fechado. Mas observe que tomando entre um e dois, isto , , a rea

    sob a curva de at dois est bem definida (Fig. A).

    Como o valor de foi escolhido arbitrariamente no intervalo ] ], nada impedir

    de toma-lo o mais prximo de 1 quanto queiramos. Vale dizer que est implcita, neste

    fato, a noo de limite e, assim, podemos definir para o caso em questo o seguinte:

    Como

    teremos:

    (

    |

    )

    (

    )

    O resultado encontrado o valor da rea assinalada na Fig. B.

    Fig. A Fig. B

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    O exemplo visto sugere uma forma de se estender o conceito de rea de rea sob

    curva ou, mais geral, o de Integral Definida para funes contnuas em intervalos no

    fechados. Essas integrais so denominadas Integrais Imprprias. Um fato importante a

    ser observado que a forma sugerida pelo exemplo envolve a existncia de um limite.

    Portanto, torna-se necessrio a seguinte definio:

    Definio 8.6

    Seja uma funo contnua em ] ] e um nmero satisfazendo a

    condio . Nessas condies, se existir o limite:

    ento existir a Integral Imprpria de de a at b, denotada por

    e, alm disso

    Quando a Integral Imprpria existe dizemos, tambm, que ela Convergente. Em

    caso contrrio dizemos que a Integral Imprpria Divergente. Definies similares

    Definio 8.6 podem ser formuladas para funes contnuas em intervalos da forma

    [ [ e ] [, assim como para intervalos nos quais um dos extremos, ou os dois, forem

    infinitos. Para o caso em que a funo est definida num intervalo aberto, seja de

    extremos finitos ou no, deve-se tomar um cuidado especial, como o exemplo a seguir

    ir esclarecer.

    Exemplo 8.17

    Dada a funo , definida no intervalo ] [, calcular a integral imprpria de 1 at 3.

    A soluo, para casos como esses, envolve a escolha de um valor qualquer no intervalo ] [ e o clculo da integral imprpria como soma de duas outras integrais, tambm, imprprias.

    Para tanto, seja c um nmero tal que e, assim, teremos:

    As integrais do segundo membro da igualdade anterior so ambas imprprias, sendo a primeira referente ao intervalo ] ] e a segunda ao intervalo [ [. Como a escolha de c livre podemos, por exemplo, tomar e, assim, teremos:

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    ou

    da

    [(

    )|

    ]

    [(

    )|

    ]

    (

    )

    (

    )

    e, finalmente

    (

    ) (

    )

    Com este novo conceito de integral, o clculo de rea fica notavelmente enriquecido. Apresentaremos a seguir alguns exemplos bastante interessantes a respeito do assunto. Exemplo 8.18

    A funo

    contnua para todo e quando se aproxima de zero os valores de crescem arbitrariamente. O seu grfico o da figura ao lado.

    Tomemos um intervalo contendo zero, por exemplo, [ ] e consideremos a

    regio compreendida pelo eixo e pelas verticais passando por e 1, conforme figura a seguir:

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    A pergunta que surge a seguinte: ser que a regio assinalada possui rea? Para verificar, tomemos os valores e prximos de zero, conforme est na figura e vamos calcular a soma

    claro que a primeira integral nos d a rea sob a curva , de a e, a segunda, a rea sob a mesma curva de a 1. Assim, existindo os limites, a rea sob a curva de a 1 ser dada por:

    ( )

    Como

    ( |

    )

    ( )

    e

    ( |

    )

    ( )

    teremos, portanto, que a regio assinalada possui rea e a sua medida dada por:

    ( )

    Exemplo 8.19 Para esse exemplo, vamos considerar a restrio da funo do exemplo anterior definida por:

    ] [ Para essa funo vamos considerar a regio compreendida pela curva, o eixo e a vertical passando por , conforme se encontra assinalada na figura a seguir. Essa regio possui rea?

    Ao indagar a respeito da existncia da rea da regio assinalada, na figura ao lado, estaremos indagando da conver gncia da integral imprpria:

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    Entretanto,

    ( |

    )

    (

    )

    Logo a integral imprpria divergente e, consequentemente, a regio assinalada no possui rea. Exemplo 8.20 Consideremos as funes

    ambas definidas para . Os grficos dessas funes, exibidos a seguir, so muito parecidos com o grfico da funo dada no Exemplo 8.19. Restringiremos o estudo apenas aos valores de maiores do que zero (como no caso do Exemplo 8.19). Inicialmente, observemos que:

    1) se teremos: e, da

    2) se teremos: e, da

    claro que para as funes possuem o mesmo valor. Deste modo, colocados no mesmo sistema de eixos, seus grficos esto exibidos ao lado.

    No grfico dado podemos destacar as seguintes regies: Regio 1: compreendida pela curva

    o eixo , o eixo e a vertical .

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    Regio 2: compreendida pela curva

    o eixo , o eixo e a vertical .

    Regio 3: compreendida pela curva

    o eixo e limitada esquerda pela vertical .

    Regio 4: compreendida pela curva

    o eixo e limitada esquerda pela vertical .

    O que podemos dizer das reas dessas regies? Como foi visto no Exemplo 8.18, a existncia ou no das reas dessas regies est diretamente ligada convergncia ou divergncia das seguintes integrais imprprias:

    e

    Escolhendo e satisfazendo as condies e , teremos:

    1)

    ( |

    )

    ( )

    portanto, convergente;

    2)

    |

    (

    )

    portanto, divergente;

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    3)

    ( |

    )

    ( )

    portanto, divergente;

    4)

    ( | )

    (

    )

    portanto, convergente.

    Como concluso temos que as regies 2 e 3 no possuem rea, enquanto as reas das regies 1 e 2 existem e valem, respectivamente:

    ( )

    Os exemplos 8.18, 8.19 e 8.20, alm de apresentarem um estudo interessante acerca de reas, tratam de funes que, embora apresentem grficos parecidos, possuem comportamentos bem distintos. Na realidade elas fazem parte de um conjunto de funes bastante peculiar para o estudo de convergncia de integrais imprprias. As funes desse conjunto so da forma , onde um nmero positivo. Os casos vistos foram para , e . Quando , temos a funo . Essa funo apresenta uma situao diferenciada em relao s demais que ficar esclarecida no estudo que faremos em seguida. Antes, deixamos como exerccio para o leitor a demonstrao de que so divergentes as duas integrais imprprias:

    Em vista dos valores de e de as funes da forma podem ser classificadas do seguinte modo:

    1) se , teremos:

    a) para

    b) para

    2) se , teremos:

    a) para

    b) para

    No caso 1) o significado geomtrico da relao mostrada no item a) que, no

    intervalo ] [, o grfico de est mais prximo do eixo vertical que o grfico

    da funo ; enquanto no item b), a relao nos diz que para o grfico de

    est mais afastado do eixo horizontal do que o grfico da funo .

    Deixamos para o leitor a interpretao geomtrica do caso 2).

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    Os aspectos abordados nos dois casos anteriores esto ilustrados pelo grfico ao lado. O fato bastante interessante que queremos destacar que, quanto convergncia ou divergncia, as integrais imprprias dessas funes classificam-se da seguinte maneira:

    A funo assume um papel importante porque constitui, no caso, uma fronteira, visto que sendo divergente nos dois intervalos ela separa em cada um desses intervalos as funes que proporcionam integrais imprprias convergentes daquelas cujas integrais divergem. Equivalentemente, podemos afirmar que a funo da forma possui integral imprpria convergente no intervalo em que seu grfico estiver compreendido entre a curva e um dos eixos coordenados.

    Exerccio 8.8

    1) Mostre que as integrais imprprias divergem.

    A)

    B)

    C)

    D)

    2) Mostre que as integrais imprprias convergem.

    A)

    B)

    3) Verifique se as integrais imprprias convergem ou no.

    A)

    B)

    C)

    D)

    E)

    F)

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    G)

    8.6 Integrais de Funes Contnuas Por Partes

    A exemplo do que fizemos para Integrais Imprprias introduziremos, agora, a extenso do conceito de Integral Definida para outro conjunto de funes. Desta feita trataremos de funes no contnuas que apresentam particularidades comuns quando aos aspectos da descontinuidade. Uma funo que se presta muito bem para exemplificar essa particularidade a seguinte:

    [ ]

    [ ] [ ]

    Essa funo pode ser definida para todos os nmeros reais. No nosso exemplo, por motivos prticos, estamos limitando o seu domnio apenas ao intervalo [ ]. O grfico dessa funo encontra-se ao lado.

    claro que essa funo no contnua e suas descontinuidades ocorrem em todos os valores inteiros do intervalo [ ]. Entretanto as descontinuidades dessa funo so controladas no seguinte sentido:

    1) as descontinuidades da funo ocorrem em apenas um nmero finito de pontos;

    2) em cada ponto de descontinuidades existem os limites laterais:

    (nunca demais reafirmar que nos extremos do intervalo de definio de uma funo somente tem sentido um dos limites laterais).

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    As condies 1) e 2) dadas constituem as particularidades comuns dessas funes que designaremos por Funes Contnuas por Parte.

    Definio 8.7

    Diz-se que uma funo , definida em [ ], uma funo contnua por partes nesse intervalo se ela for contnua exceto em um nmero finito de pontos de [ ], de tal modo que seus limites laterais existam para cada , .

    O exemplo a seguir exibe funes que so contnuas por partes.

    Exemplo 8.21

    1. {

    2. {

    3.

    {

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    evidente que a definio de rea sob uma curva no se aplica a nenhum desses exemplos. Entretanto, abstraindo-se os pontos onde essas funes so descontnuas, o conceito de rea sob a curva se aplica em cada uma das partes contnuas, que na forma da definio (funo contnua num intervalo fechado), quer segundo a abordagem de integrais imprprias (funo contnua em intervalos semiabertos). Para fixar, tomemos a funo

    [ ]

    Conforme a figura ao lado, a rea da regio abaixo da curva obtida pela soma das reas dos retngulos de bases dadas pelos comprimentos dos intervalos [ ] [ ] [ ] e alturas 1, 2 e 3, respectivamente. Essa rea igual a Idntico valor obtido com o uso de integrais como feito a seguir:

    Em outras palavras, diremos que

    [ ] [ ]

    Este aspecto geomtrico evidencia o lado prtico que essas funes oferecem para a extenso do clculo de reas por meio de integrais definidas. No entanto, deve ser ressaltado que essa extenso somente torna-se possvel em razo das duas propriedades presentes na definio de uma funo contnua por partes que so: a descontinuidade ocorre em um nmero finito de pontos e nesses pontos os limites laterais da funo existem. O primeiro nos possibilita expressar a integral da funo como uma soma finita de integrais, correspondentes ao nmero de partes contnuas da funo; o segundo nos

    4. { [ ]

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    garante que cada parte contnua pode ser considerada como uma funo contnua definida num intervalo fechado. Para isso bastante estender a funo dada definindo o seu valor no extremo do intervalo, onde ele aberto, como sendo igual ao valor do limite lateral correspondente.

    Para tornar claras essas observaes vamos, por exemplo, considerar a funo do item 3 do Exemplo 8.22:

    {

    Cada parte da funo dada por ser considerada do seguinte modo:

    [

    ]

    ]

    ]

    ]

    [

    [

    ]

    Enquanto as partes e esto definidas em intervalos fechados o mesmo no acontece com e . Entretanto temos que:

    e

    Logo, as partes e podem ser estendidas de forma a ficarem definidas nos extremos em que o intervalo aberto da seguinte forma:

    { ]

    ]

    [

    ]

    {

    ]

    [

    [

    ]

    Assim, e so continuas num intervalo fechado e a integral de ser dada por:

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    ou

    Exerccio 8.9

    Com base no exposto calcule a integral definida das demais funes dadas no Exemplo 8.21.

    Para concluir o presente tpico estabelecemos, como sntese, o seguinte:

    se for uma funo contnua por partes num intervalo [ ], com descontinuidades nos pontos de [ ], ento a integral definida de , em [ ], existe e dada por

    onde a parte da funo no intervalo [ ].

    Exerccio 8.10

    Calcule

    1)

    onde {

    2)

    onde {

    Exerccio 8.11 (Reviso Geral do Captulo 8)

    I) Calcular usando a definio de Integral Definida

    1)

    2)

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    II) Use o Teorema Fundamental do Clculo para encontrar as seguintes integrais:

    1)

    2)

    3) | |

    4)

    5)

    6)

    7)

    8) | |

    9)

    10)

    III) Encontre as reas das regies limitadas pelas curvas:

    1) 2)

    3) 4)

    5) 6)

    7)

    8)

    9)

    10)

    11) 12)

    13)

    14)

  • Clculo Diferencial e Integral A Integral Definida

    IV) Calcule a rea da regio

    limitada pela curva , cujo est representado pela figura ao lado

    V) Resolva os exerccios seguintes:

    1) Mostre que:

    | |

    | | | |

    2) Mostre que:

    3) Mostre que:

    ( )

    4) Mostre que:

    5) Prove que para quaisquer duas funes e integrveis em [ ], temos:

    |

    |

    Sugesto: Analise o discriminante do trinmio do segundo graus em que o primeiro membro da desigualdade

    | |

    6) Obtenha as derivadas de:

    a)

    b)

  • A Integral Definida Clculo Diferencial e Integral

    c)

    d)

    7) Mostre que:

    (

    )

    8) Calcule

    onde:

    a) {

    b) {