Cap 17 - Funo Modular.docx

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MatemticaFrente IICAPTULO 17 FUNO MODULAR

CASD Vestibulares16Algebra

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1- O QUE O MDULO?

O mdulo ou valor absoluto de um nmero x o valor numrico de x desconsiderando seu sinal. A representao do mdulo de x se d por |x| (x entre duas barras verticais). Vejamos alguns exemplos:

|2| = 2 |5| = 5 |-3| = 3 |-0,5| = 0,5|0| = 0

OBS: Veja que, se o nmero negativo, o mdulo tem o efeito de trocar o seu sinal. Isso vai ser til para entender o tpico 2.

Pense agora quanto vale |1,2| e |-20|. Se voc respondeu 1,2 e 20, voc est apto a seguir em frente na leitura.

2 DEFINIO MATEMTICA

2.1 Definio algbrica

Uma maneira diferente de dizer o que acabamos de definir :

Por exemplo: , pois , pois 4 < 0 (aqui, o sinal de menos que colocamos tem o efeito de trocar o sinal)

Esta definio importante principalmente quando dentro do mdulo temos expresses mais complicadas. Por exemplo: Digamos que queiramos saber quais valores de x so tais que . Fazemos o seguinte:

Faremos isso com freqncia em equaes e inequaes modulares.

2.2 Definio geomtrica

Outra maneira de ver o mdulo de um nmero a distncia deste nmero origem na reta real. Por exemplo, na figura abaixo esto indicados os pontos 7 e -4 na reta real:

Observe que a distncia do ponto -4 origem de 4 unidades |-4| = 4, e a distncia do ponto 7 origem de 7 unidades |7| = 7.

3 EQUAES MODULARES

Agora que sabemos a definio algbrica de mdulo, podemos utilizar isso para resolver equaes que envolvem mdulos. Veja os exemplos abaixo:

Exerccio Resolvido 1

Resolva:

Resoluo:Para que o mdulo de valha 10, deve ser 10 ou -10. Vamos ento dividir em 2 casos:

Caso 1: Neste caso, temos:

Caso 2: Neste caso, temos:

Resposta:

Exerccio Resolvido 2

Resolva:

Resoluo

Dividamos novamente em dois casos:

Caso 1: Aqui, temos:

Caso 2: Aqui, temos:

Resposta:

Exerccio Resolvido 3

Resolva

Resoluo:

Chamemos :

Resolvendo a equao do 2 grau: ou

Como

Assim nossas solues so 3 FUNO MODULAR

O ato de aplicar mdulo em uma funo tem um efeito bastante interessante. Para exemplificar, tome a funo . Sabemos, com o que vimos no captulo 7, que a funo uma reta crescente que intercepta os eixos coordenados em (1,0) e (0,-1), conforme o grfico abaixo:

A pergunta agora : O que aconteceria com o grfico se a funo fosse ? A resposta simples: O mdulo transforma as imagens negativas em positivas(reflete-as para cima do eixo x). Veja abaixo o sinal das imagens de :

Sendo assim o grfico de ficaria da seguinte forma:

Podemos abstrair esse raciocnio para qualquer outro tipo de grfico. Veja:

Exerccio Resolvido 4

Esboce o grfico de

Resoluo:

A primeira coisa a se fazer esboar o grfico da funo sem o mdulo

Conforme vimos no Captulo 9: uma parbola com concavidade para cima () e que intercepta o eixo x nos pontos e (suas razes)

Sendo assim, temos o grfico de :

Refletindo as imagens negativas, temo o grfico de :

Assim, se conhecemos o grfico de uma funo qualquer, podemos facilmente esboar o grfico de seu mdulo.

IMPORTANTE: Muitos problemas de vestibular demandam esboar grficos de funes cujas expresses no esto totalmente envolvidas no mdulo. Nesses casos, separamos em dois casos usando a definio de mdulo. Veja o exemplo abaixo:

Exerccio Resolvido 5

Esboce o grfico de

Resoluo:

Utilizando a definio, temos:

Dividamos ento em dois casos:

Caso 1: , ou seja: Neste caso, , que uma parbola com concavidade para baixo que intercepta o eixo x nas suas razes(0 e 1).

Esboando o grfico para

Caso 2: , ou seja, Neste caso, , que uma parbola com concavidade para cima que intercepta o eixo x nas suas razes (0 e 1).

Esboando o grfico para :

Juntando os dois grficos, chegamos ao resultado:

Cada problema ento exige um raciocnio individual, mas em geral a diviso em dois casos pela definio funciona bem.

EXERCCIOS PROPOSTOS

Nvel I

1. Resolva as equaes modulares abaixo. Se necessrio, consulte os exerccios resolvidos 1,2 e 3:a) b) = 0c) d) e) f) g)

2. Esboce o grfico das funes abaixo. Se necessrio, consulte a teoria do item 3 e os exerccios resolvidos 4 e 5:

a) b) c) d)

3. Dadas as funes e definidas por e , o nmero de pontos na interseo do grfico de f com o grfico de g igual a:

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

4. (ITA-2011) O produto das razes da equao: igual a:

a) -5 b) -1 c) 1 d) 2 e) 5

5. (UFJF-2006) Sobre os elementos do conjunto-soluo da equao , podemos dizer que:

a) So um nmero natural e um nmero inteirob) So nmeros naturaisc) O nico elemento um nmero naturald) Um deles um nmero racional, o outro um nmero irracionale) No existe, isto , o conjunto-soluo vazio.

6. (UFV-2002) Se x e y so nmeros reais quaisquer, ento CORRETO afirmar que:

a) Se ento b) Se ento c) Se , ento d) e)

7. (UFPI-2000) A soma das razes da equao :

a) 0 b) -2 c) -4 d) 6 e) 2

8. (FATEC-2000) A igualdade verdadeira para todos os elementos do conjunto

a) b) c) d) e)

9. (UFMG-2000) Considere a equao

O nmero de razes DISTINTAS dessa equao :a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

10. (UFRJ-2008) Considere a funo definida por . Determine os valores de x para os quais

11. (UFPE-2005) Sejam x e y nmeros reais tais que e . Analise a veracidade das afirmaes a seguir:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12. (PUC-PR-2005) Sendo x e y nmeros reais, quais das afirmaes so verdadeiras?

I. Se ento II. Se , ento III. Se ento IV. Se ento V. 13. Se ento as razes irracionais da equao so:

a) e b) e c) e d) e

14. (Ufscar-2002) Sejam as funes e .a) Calcule as razes de b)Esboce o grfico de

Nvel II

15. (CEFET-CE-2005) Para , simplificando a expresso , tem-se:

a) b) c) d) e)

16. (PUC-RS-2003) Considerando a funo f definida por , a representao grfica da funo g dada por :

17. (Udesc-2009) A alternativa que representa o grfico da funo :

18. (Fuvest-2002) O mdulo de um nmero real x definido por se e se . Das alternativas a seguir, a que melhor representa o grfico da funo :

19. (UEG-2007) Dada a funo ,

a) esboce o grfico da funo f

b) calcule a rea da regio delimitada pelo grfico da funo f, pelo eixo das abscissas e pelas retas x = -1 e x = 2

20. (UECE-2007) Sobre o conjunto M dos pontos de interseo dos grficos das funes e possvel afirmar que M:

a) o conjunto vazio b) o conjunto unitrioc) possui dois elementosd) possui trs elementos

21. (ITA-2007) Sobre a equao na varivel real x,

Podemos afirmar que:

a) ela no admite soluo realb) a soma de todas as suas solues 6c) ela admite apenas solues positivasd) a soma de todas as solues 4e) ela admite apenas duas solues reais

22. (MACK-1997) A soma das solues reais da equao a seguir :

a) 8 b) 10 c) 6 d) 4 e) 2

Nvel III

23. (FUVEST-2004) Seja um nmero real e sejam f e g funes reais definidas por e

a) Esboar, no plano cartesiano os grficos de f e g quando e b) Determinar as razes de quando

c) Determinar, em funo de m, o nmero de razes da equao

GABARITO

1.a) ou b) c) ou d) e) ou f) ou g) No existem solues reais(nem complexas :P)

2. a)

b)

c) d)

3. b 4. a 5. a 6. c 7. a 8. c 9. c 10. ou 11. VVFFV12. As corretas so II e III 13. c 14. a) ou b)

15. d 16. a 17. a 18. E19.a) b) 5,5

20. c 21. d 22. a23.a)

b) , ou c) 2 solues 4 solues 3 solues 2 solues