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    18-Oct-2015

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  • Mecânica Técnica Aula 8 – Equilíbrio do Ponto Material em Três Dimensões Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues
  • Tópicos Abordados Nesta Aula � Solução de Exercícios. � Equilíbrio em Três Dimensões. Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica
  • Exercício 1 � 1) Considere que o cabo AB esteja submetido a uma força de 700N. Determine as forças de tração nos cabos AC e AD e a intensidade da força vertical F. Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica
  • Solução do Exercício 1 Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica )6,0,0(A )0,3,2(B )0;2;5,1(−C )0,6,3( −−D kjirAB rrrr 632 −+= 222 632 ++=ABr 7=ABr 7 632 kji u AB rrr r −+ = kjiu AB rrrr 857,0429,0286,0 −+= ABABAB uFF rv ⋅= )857,0429,0286,0(700 kjiFAB rrrv −+⋅= )600300200( kjiFAB rrrv −+= )( kFF rr = Determinação da Força em Cada Cabo: Força F: Cabo AB: Vetor posição: Módulo do vetor posição: Vetor unitário: Vetor Força AB: m m N
  • Solução do Exercício 1 Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica kjirAC rrrr 625,1 −+−= 222 625,1 ++=ACr 5,6=ACr 5,6 625,1 kji u AC rrr r −+− = kjiuAC rrrr 923,0307,0230,0 −+−= ACACAC uFF rv ⋅= )923,0307,0230,0( kjiFF ACAC rrrv −+−⋅= )923,0307,0230,0( kFjFiFF ACACACAC rrrv ⋅−⋅+⋅−= kjirAD rrrr 663 −−−= 9=ADr 9 663 kji u AD rrr r −−− = kjiu AD rrrr 666,0666,0333,0 −−−= ADADAD uFF rv ⋅= )666,0666,0333,0( kjiFF ADAD rrrv −−−⋅= )666,0666,0333,0( kFjFiFF ADADADAD rrrv ⋅−⋅−⋅−= Cabo AC: Vetor posição: Módulo do vetor posição: Vetor unitário: Vetor Força AC: Cabo AD: Vetor posição: Módulo do vetor posição: Vetor unitário: Vetor Força AD: N N m m m m 222 663 ++=ADr
  • Solução do Exercício 1 Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Condição de equilíbrio: Sistema de equações: ∑ = 0F r 0=+++ FFFF ADACAB rrrr 0666,0666,0333,0923,0307,0230,0600300200 =+⋅−⋅−⋅−⋅−⋅+⋅−−+ kFkFjFiFkFjFiFkji ADADADACACAC rrrrrrrrrr ∑ = 0xF 0333,0230,0200 =⋅−⋅− ADAC FF ∑ = 0yF 0666,0307,0300 =⋅−⋅+ ADAC FF ∑ = 0zF 0666,0923,0600 =+⋅−⋅−− FFF ADAC (I) (II) (III)
  • Solução do Exercício 1 Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Solução das equações: Substituindo (IV) em (II): Em (IV): Em (III): 333,0 230,0200 AC AD F F ⋅− = ACAD FF ⋅−= 690,0600 0))690,0600(666,0(307,0300 =⋅−⋅−⋅+ ACAC FF 0459,0400307,0300 =⋅+−⋅+ ACAC FF 0766,0100 =⋅+− ACF 766,0 100 =ACF 57,131=ACF ACAD FF ⋅−= 690,0600 57,131690,0600 ⋅−=ADF 21,509=ADF 0666,0923,0600 =+⋅−⋅−− FFF ADAC 021,509666,057,131923,0600 =+⋅−⋅−− F 21,509666,057,131923,0600 ⋅+⋅+=F 13,33943,121600 ++=F 57,1060=F De (I): (IV) N N N
  • Exercício 2 � 2) Determine a deformação necessária em cada mola para manter a caixa de 20kg na posição de equilíbrio. Cada mola tem comprimento de 2m sem deformação e rigidez k = 300N/m. Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica
  • Solução do Exercício 2 Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica jFF OAOA rr −= iFF OBOB rr −= kjirOC rrrr 1246 ++= 222 1246 ++=OCr 14=OCr 14 1246 kj uOC rrr r ++ = kjiuOC rrrr 857,0285,0428,0 ++= OCOCOC uFF rv ⋅= )857,0285,0428,0( kjiFF OCOC rrrv ++⋅= )857,0285,0428,0( kFjFiFF OCOCOCOC rrrv ⋅+⋅+⋅= )81,920( kW rr ⋅−= )2,196( kW rr −= Determinação das Forças : Peso: Cabo OA: Vetor posição: Módulo do vetor posição: Vetor unitário: Vetor Força OC: Cabo OB: Cabo OC: N N N N m m
  • Solução do Exercício 2 Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Condição de equilíbrio: Sistema de equações: ∑ = 0F r 0=+++ WFFF OCOBOA rrrr 0)2,196857,0285,0428,0 =−⋅+⋅+⋅+−− kkFjFiFiFjF OCOCOCOBOA rrrrrr ∑ = 0xF 0428,0 =⋅+− OCOB FF ∑ = 0yF 0285,0 =⋅+− OCOA FF ∑ = 0zF 02,196857,0 =−⋅ OCF (I) (II) (III)
  • Solução do Exercício 2 Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues Mecânica Técnica Solução das equações: Em (II): Em (I): De (III): N mN 857,0 2,196 =OCF 93,228=OCF 093,228285,0 =⋅+− OAF 24,65=OAF 093,228428,0 =⋅+− OBF 98,97=OBF N Deformação da Molas: OBOB skF ⋅= OBs⋅= 30098,97 300 98,97 =OBs 326,0=OBs OAOA skF ⋅= OAs⋅= 30024,65 300 24,65 =OAs 217,0=OAs Mola OA: Mola OB: m
  • Exercícios Propostos Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues � 1) Os cabos AB e AC suportam uma tração máxima de 500N e o poste, uma compressão máxima de 300N. Determine o peso da luminária sustentada na posição mostrada. A força no poste atua alongo de seu próprio eixo. Mecânica Técnica
  • Exercícios Propostos Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues � 2) O cabo suporta a caçamba e seu conteúdo que tem massa total de 300kg. Determine as forças desenvolvidas nas escoras AD e AE e a força na parte AB do cabo para a condição de equilíbrio. A força em cada escora atua ao longo do seu próprio eixo. Mecânica Técnica
  • Exercícios Propostos Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues � 3) Determine a força necessária em cada um dos três cabos para levantar a escavadeira que tem massa de 8 toneladas. Mecânica Técnica
  • Exercícios Propostos Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues � 4) Determine a força necessária que atua ao longo do eixo de cada uma das três escoras para suportar o bloco de 500kg. Mecânica Técnica
  • Exercícios Propostos Aula 8 Prof. MSc. Luiz Eduardo Miranda J. Rodrigues � 5) O vaso é suportado pelos cabos AB, AC e AD. Determine a força que atua em cada cabo para a condição de equilíbrio. Considere d = 2,5m. Mecânica Técnica
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