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Aula09- soluo de EDO

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    25-Sep-2015

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Soluo de EDO

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Soluo de Equaes Diferenciais Ordinrias (EDO):x(t) uma funo variante no tempo que depende da condio inicial xo (problema de valor inicial)Sistemas de equaes diferenciais no-lineares, normalmente, no podem ser resolvidos analiticamente, assim so resolvidos numericamente.Mtodos numricos somente podem ser aplicados a EDOs de primeira ordem (onde a ordem corresponde a derivada de mais alta ordem da equao diferencial)Mtodos baseados na Srie de Taylor: 0p indica a ordem do mtodo de integraoA aplicao direta da Srie de Taylor possui pouca preciso quando a ordem baixa e grande complexidade e esforo computacional quando a ordem elevada, por estas razes no utilizada na prtica.Srie de Taylor para p=1:Srie de Taylor para p=2:Mtodo de EulerSe a ordem da Srie de Taylor aumenta tambm aumenta o nmero de derivadas e derivadas parciais, dificultando assim o uso de derivadas analticas. A substituio de derivadas por aproximaes deu origem aos mtodos de Runge-Kutta.Mtodo de Runge-Kutta de 4 ordem:Ki representam aproximaes da funo para is diferentes pontos entre tn e tn+1Mtodo derivados da Srie de Taylor Estabilidade fraca so mtodos de passo nico, nenhuma informao de pontos anteriores a tn so requeridos so mtodos explcitos, somente dependem da informao de tn para calcular tn+1. Mtodos explcitos a presentam o problema de propagao do erro de truncamento, o que compromete a sua estabilidade numrica, para reduzir isso pequenos passos de integrao h devem ser utilizados so de fcil implementaoMtodo Multipasso: usam informao de mais de um ponto para calcular x(tn+1)aproximao por um polinmio de grau kUma funo pode ser aproximada por um polinmio de grau adequado em um intervalo finito tn tn+1. Assim, xn+1 pode ser calculado como uma funo polinomial de estimativas prvias xn, xn-1,... e funes f(xn,tn), f (xn-1,tn-1), ... Mtodo Explcitos (Adams-Bashford): obtem Xn+1 a partir de xn, xn-1, xn-2, ... Xn-kMtodo de EulerSo mtodos explcitos, e como tal o erro de truncamento cumulativo;So mtodos no auto-iniciveis.Mtodo Implcitos (Adams-Moulton): obtem xn+1 a partir de xn+1, xn, xn-1, xn-2, ... xn-k+1Mtodo de Euler ReversoMtodo TrapezoidalOs mtodos implcitos no acumulam erro de truncamento, porm podem apresentar oscilaes numricas se um passo de integrao adequado no for utilizado;So resolvidos iterativamente.Mtodo de Previso-Correo: utilizam um par de frmulas, normalmente o previsor um mtodo explcito de baixa ordem e o corretor um mtodo implcito de ordem mais elevada. calcular x(o)n+1 por um mtodo explcitoK=1calcular f (xn+1,tn+1)calcular x(k)n+1 usando um mtodo implcitose | x(k)n+1 - x(k-1)n+1 | / x(k-1)n+1 > incrementar k e voltar ao passo 3; seno calcular o prximo passo de integraoAlgoritmo: