APOSTILA DE TCNICAS DIGITAIS

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    10-Jul-2015

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APOSTILA DE TCNICAS DIGITAIS LDM1 PROF ANDR GARCIA

1.0

SISTEMAS DE NUMERAO

Sistemas de numerao so mecanismos usados para numerar determinados eventos, atravs de uma lei de formao. Todos os sistemas que a seguir tero como referncia o sistema DECIMAL conhecido pelo aluno (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,.....,1010,1011,1012, etc).

1.1 Sistema binrio de numerao:Sistema no qual possui apenas dois algarismos para represent-lo, o zero e o um. Tambm chamado de sistema de base 2, conforme tabela abaixo: DECIMAL BINRIO DECIMAL BINRIO 0 000 6 110 1 001 7 111 2 010 8 1000 3 011 9 1001 4 100 10 1010 5 101 11 1011

1.2 Converso do sistema binrio para decimal:Nada mais do que transformar um nmero qualquer binrio em decimal, conforme regra abaixo: a) Multiplica-se o algarismo do nmero binrio pela base elevada ao expoente de sua colocao no nmero, sendo que a base do nmero binrio dois. No nmero 11001(b) = 25 (d) ficaria assim: O expoente segue da direita para esquerda 1 1 0 0 1 4 3 2 1 2 2 2 2 20 1x24 1x23 0x22 0x21 1x20 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25

1

O nmero 10011(b) = 19 (d) ficaria assim: O expoente segue da direita para esquerda 1 1 0 0 1 4 3 2 1 2 2 2 2 20 1x24 0x23 0x22 1x21 1x20 16 + 0 + 0 + 2 + 1 = 25 Transforme os nmeros abaixo de binrio para decimal: a) 1110 (b) = __________________ b) 1010 (b) = __________________ c) 1100110001 (b) = _________________ respostas: 14 , 10 , 817

1.3 Converso do sistema decimal para binrio:Nada mais do que transformar um nmero qualquer decimal em binrio, conforme regra abaixo: Divide-se o nmero decimal pela base em questo, no caso base 2, obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outra diviso pela base, tornar-se- a fazer esta operao, at termos um resultado que no possa mais dividir pela base. Teremos o nmero em questo, sendo o primeiro dgito igual ao ltimo resultado, como exemplo abaixo: a) Qual o nmero binrio referente ao decimal 47? 47/2 = 23 23/2 = 11 11/2 = 5 5 /2 = 2 2/2 = 1 ( 1 < 2, acabou!) resto: 1 1 1 1 0 Conforme a regra acima, o primeiro dgito o ltimo resultado, e o nmero ficaria assim: 47 = 101111 (b) b) Qual o nmero binrio referente ao decimal 400? 400/ 2 = 200/ 2 = 100/ 2 = 50/ 2 = 25/ 2 = 12/ 2 = 6/ 2 = 3/ 2 = 1 resto : 0 0 0 0 1 0 0 1 Conforme a regra acima, o primeiro dgito o ltimo resultado, e o nmero ficaria assim: 400 = 110010000 (b)

2

Transforme os nmeros abaixo de decimal para binrio: a) 21 = __________________ b) 552 = __________________ c) 715 = _________________ Respostas: 10101 b ; 1000101000 b ; 1011001011 b

1.4 Sistema octal de numerao:Sistema no qual possui apenas oito algarismos para represent-lo, o 0,1,2,3,4,5,6 e o 7. Tambm chamado de sistema de base 8, conforme tabela abaixo: DECIMAL OCTAL DECIMAL OCTAL 0 0 10 12 1 1 11 13 2 2 12 14 3 3 13 15 4 4 14 16 5 5 15 17 6 6 16 20 7 7 17 21 8 10 18 22 9 11 19 23

1.5 Converso do sistema octal para decimal:Nada mais do que transformar um nmero qualquer octal em decimal, conforme regra abaixo: a) Multiplica-se o algarismo do nmero octal pela base elevada ao expoente de sua colocao no nmero, sendo que a base do nmero octal oito. No nmero 144(o) = 100 (d) ficaria assim: O expoente segue da direita para esquerda X X 1 4 4 2 1 X X 8 8 80 1x82 4x81 4x80 64 + 32 + 4 = 100

3

O nmero 312(o) = 202 (d) ficaria assim: O expoente segue da direita para esquerda 3 1 2 2 1 8 8 80 3x82 1x81 2x80 192 + 8 + 2 = 202 Transforme os nmeros abaixo de octal para decimal: a) 77 (o) = __________________ b) 100 (o) = __________________ c) 476 (o) = _________________ d) Por que o nmero 3489 ____________________

no

um

nmero

octal?

Respostas: 63 ; 64 ; 318 ; pois possui algarismos oito e nove.

1.6 Converso do sistema octal para binrio:Nada mais do que transformar um nmero qualquer octal em binrio, conforme regra muito simples abaixo: Toma-se cada algarismo octal e transforme-os em binrio individualmente, mas obedecendo sempre a transformao com trs dgitos binrio para cada nmero octal: 27(o) = 010111 (b) 2 010 7 111 536(o) = 101011110 (b) 5 101 3 011 6 110

Transforme os nmeros abaixo de octal para binrio: a) 34 (o) = __________________ b) 256 (o) = __________________ c) 44675 (o) = _________________ Respostas: 011100 b ; 010101110 b ; 100100110111101 b

4

1.7 Converso do sistema binrio para octal:Nada mais do que transformar um nmero qualquer binrio em octal, conforme regra muito simples abaixo: Toma-se cada grupo de trs algarismos binrios, da direita para esquerda, e faa a converso desses grupos individualmente em algarismos octal, mas obedecendo sempre a transformao com trs dgitos binrio para cada dgito octal: 110010 (b) = 62(o) 110 6 010 2 11001100(b) = 314 (o) 011 3 001 1 100 4

Transforme os nmeros abaixo de binrio para octal: b) 10111(b) = __________________ b) 11010101(b) = __________________ c) 1000110011(b) = _________________ Respostas: 27(o) ; 325(o) ; 1063(o)

1.8 Converso do sistema decimal para octal:Nada mais do que transformar um nmero qualquer decimal em octal, conforme regra abaixo: Divide-se o nmero decimal pela base em questo, no caso base 8, obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outra diviso pela base, tornar-se- a fazer esta operao, at termos um resultado que no possa mais dividir pela base. Teremos o nmero em questo, sendo o primeiro dgito igual ao ltimo resultado, como exemplo abaixo: a) Qual o nmero octal referente ao decimal 92? 92/8 = 11 11/8 = 1 resto: 4 3 Conforme a regra acima, o primeiro dgito o ltimo resultado, e o nmero ficaria assim: 92 = 134 (8)

5

b) Qual o nmero octal referente ao decimal 74? 74/ 8 = 9/ 8 = 1 resto : 2 1 Conforme a regra acima, o primeiro dgito o ltimo resultado, e o nmero ficaria assim: 74 = 112 (o) Transforme os nmeros abaixo de decimal para octal: a) 512 = __________________ b) 719 = __________________ c) 200 = _________________ Respostas: 1000(o) ; 1317(o) ; 310(o)

1.9 Sistema hexadecimal de numerao:Sistema no qual possui apenas 16 algarismos para represent-lo, com letras inclusas. Tambm chamado de sistema de base 16, conforme tabela abaixo: DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 HEXA 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 DECIMAL 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 HEXA A B C D E F 10 11 12 13

1.10 Converso do sistema HEXADECIMAL para decimal:Nada mais do que transformar um nmero qualquer hexa em decimal, conforme regra abaixo: a) Multiplica-se o algarismo do nmero hexa pela base elevada ao expoente de sua colocao no nmero, sendo que a base do nmero hexa 16. As letras devero ser substituidas pelo equivalente em decimal para fazer a multiplicao. No nmero 3f1(h) = 1009 (d) ficaria assim:

6

O expoente segue da direita para esquerda X X 3 F 1 2 1 X X 16 16 160 3x162 15x161 1x160 768 + 240 + 1 = 1009 O nmero 312(h) = 786 (d) ficaria assim: O expoente segue da direita para esquerda 3 1 2 2 1 16 16 160 3x162 1x161 2x160 768 + 16 + 2 = 786 Transforme os nmeros abaixo de hexadecimal para decimal: a) 1C3 (h) = __________________ b) 238 (h) = __________________ c) 1FC9 (h) = _________________

RESPOSTAS: 451 ; 568 ; 8137

1.11 Converso do sistema HEXA para binrio:Nada mais do que transformar um nmero qualquer hexa em binrio, conforme regra muito simples abaixo: Toma-se cada algarismo hexa e transforme-os em binrio individualmente, mas obedecendo sempre a transformao com quatro dgitos binrio para cada nmero hexa: A7(h) = 10100111 (b) A 1010 7 0111 C 1100 CE3(h) = 110011100011 (b) E 1110 3 0011

Transforme os nmeros abaixo de hexa para binrio: c) 1ED (h) = __________________ b) ABF (h) = __________________ c) 37 (h) = _________________

7

Respostas: 111101101 b ; 101010111111 b ; 110111 b

1.12 Converso do sistema binrio para hexa:Nada mais do que transformar um nmero qualquer binrio em hexa, conforme regra muito simples abaixo: Toma-se cada grupo de quatro algarismos binrios, da direita para esquerda, e faa a converso desses grupos individualmente em algarismos hexa, mas obedecendo sempre a transformao com quatro dgitos binrio para cada dgito hexa: 11100010 (b) = E2(h) 1110 E 0010 2 110011110001(b) = CF1 (h) 1100 C 1111 F 0001 1

Transforme os nmeros abaixo de binrio para hexa: d) 1100011(b) = __________________ b) 11000111100011100(b) = __________________ c) 1000110011(b) = _________________ Respostas: 63(h) ; 18F1C(h) ; 233(h)

1.13 Converso do sistema decimal para hexa:Nada mais do que transformar um nmero qualquer decimal em hexa, conforme regra abaixo: Divide-se o nmero decimal pela base em questo, no caso base 16, obtendo um resultado e um resto. Caso o resultado possa ainda ter outra diviso pela base, tornar-se- a fazer esta operao, at termos um resultado que no possa mais dividir pela base. Teremos o nmero em questo, sendo o primeiro dgito igual ao ltimo resultado, como exemplo abaixo: a) Qual o nmero hexa referente ao decimal 1000? 1000/16 = 62 62/16 = 3 resto: 8 14 Conforme a regra acima, o primeiro dgito o ltimo resultado, e o nmero ficaria assim: 92 = 3E8 (16)8

b) Qual o nmero hexa referente ao decimal 134? 134/ 16 = 8 resto : 6 Conforme a regra acima, o primeiro dgito o ltimo resultado, e o nmero ficaria assim: 134 = 86 (h) Transforme os nmeros abaixo de decimal para hexa: b) 384 = __________________ b) 3882 = __________________ c) 350 = _________________ Respostas: 180(h) ; F2A(h) ; 15E(h)

2.0

OPERAES ARITMTRICAS NO SISTEMA BINRIO

Trata-se de um assunto importante para compreenso de como funciona os processos matemticos digitalmente. 2.1 Adio no sistema binrio:

Obedece a seguinte tabela : 0+0=0 1+0=1 0+1=1 1 + 1 = 10 , sendo que o dgito 1 da esquerda pertenceria a prxima casa binria: Exemplo: A) 110 b + 111 b = 1101 b1 1

1 1 0 +1 1 1 1 1 0 1

9

b) 11001 b + 1011 b = 100100 b1 1 1 1

.

1 10 0 1 + 10 11 1 0 0 1 0 0

Resolva as seguintes somas binrias: a) 11111 b + 111111 b = _________________ b) 101101 b + 11100011 b = ___________________ c) 10101 b + 111 b = ______________________ Respostas: 1011110 ; 10010000 ; 11100 2.2 Subtrao no sistema binrio: Obedece a seguinte tabela : 0-0=0 1-0=1 1-1=0 01=1 , e empresta 1 para prxima casa binria: Exemplos: a) 1000b 111b = 0001b . 10 00 - 1 11 11 1 00 01

b) . . .

10010 b 10001 b = 00001 b 1 0 0 1 0 - 1 0 0 0 11 0 0 0 0 1

10

Resolva as seguintes subtraes binrias: a) 1111111 b - 111111 b = _________________ b) 101101 b - 111 b = ___________________ c) 10101 b - 101 b = ______________________ Respostas: 1000000 b ; 100110 b ; 10000 b 2.3 Multiplicao no sistema binrio: Procede como uma multiplicao no sistema decimal: 0x0=0 1x0=0 0x1=0 1x1=1 Exemplos: a) 1000b x 1b = 1000 1000 . x 1 . 1000 b) 1100b x 11b = 100100 . 1100 . x 11 . 1100 . 1100100100 b) 11010 b x 101 b = 10000010 b . 11010 . x 101 . 11010 . 00000* . 11010** . 10000010 Resolva as seguintes multiplicaes: a) 10101b x 11b = ______________ b) 11001b x 10b = _______________11

c) 5A (h) * 11b = ________________ Rspostas: 111111b ; 11011 ; 100001110

3.0

FUNES LGICAS PORTAS LGICAS

Existe na matemtica eletrnica digital um modelo de sistema lgico para clculos e formaes de sistemas digitais. Esse modelo matemtico chama-se lgebra de Boole. Conjuntamente com esse modelo, temos as funes lgicas que vo dar formas estruturadas s expresses geradas pela lgebra de Boole. Nas funes lgicas, teremos apenas dois estados: - estado 0 (zero); - estado 1 (um). Esses estados so nveis de eventos opostos entre si, isto , se o estado zero representa uma torneira fechada, o estado um representa a mesma aberta; se o estado zero representa uma luz apagada, o estado um representa uma luz acesa. 3.1 Funo E ou AND A funo E aquela que representa a multiplicao booleana de duas ou mais variveis, e sua representao algbrica igual a S = A x B x ....N., que o mesmo que S = A and B and ... N , sendo S o resultado da expresso. Abaixo temos a tabela verdade dessa funo e a direita temos o smbolo da porta AND com duas variveis de entrada. A B S 0 0 0 S A S 0 1 0 1 1 0 1 0 1 B

3.2 Funo OU ou OR A funo OU (OR) aquela que representa a soma booleana de duas ou mais variveis, e sua representao algbrica igual a S = A + B + .... N., sendo S o resultado da expresso, que o mesmo que S = A ou B ou .... N.12

Abaixo temos a tabela verdade dessa funo e a direita temos o smbolo da porta OU com duas variveis de entrada. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 S 0 A 1 S 1 1 B

3.3 Funo NO ou NOT A funo NO (NOT) aquela que representa a inverso do estado de entrada da varivel, isto , se na entrada a varivel zero, na sada ficar um; se na entrada a varivel um, na sada ficar zero a S = ou S = A, sendo S o resultado da expresso. Abaixo temos a tabela verdade dessa funo e a direita temos o smbolo da porta NOT. A 0 1 S 1 A 0 S

3.4 Funo NE ou NAND A funo NE ou NAND aquela que representa a negativa ou inverso da multiplicao booleana de duas ou mais variveis, e sua representao algbrica igual a S = A x B x ....N., que o mesmo que S = A nand B nand ... N , sendo S o resultado da expresso. Abaixo temos a tabela verdade13

dessa funo e a direita temos o smbolo da porta NAND com duas variveis de entrada. A B S 0 0 1 S A 0 1 1 S B 1 0 1 1 1 0

3.5 Funo NOU ou NOR A funo NOU (NOR) aquela que representa a negativa ou inverso da soma booleana de duas ou mais variveis, e sua representao algbrica igual a S = A + B + .... N., sendo S o resultado da expresso, que o mesmo que S = A ou B ou .... N. Abaixo temos a tabela verdade dessa funo e a direita temos o smbolo da porta NOR com duas variveis de entrada. A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 S 1 A 0 S 0 0 B

14

PORTA E AND

OU OR

NE NAND NOU NOR

BLOCOS LGICOS BSICOS SMBOLO TABELA VERDADE A B S 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 A B S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 A B S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A B S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 A 0 1 1 0

FUNO LGICAFuno E: Assume valor 1 quando todas as variveis forem iguais a 1, e valor zero nos outros casos possveis. Funo OU: Assume valor 0 quando todas as variveis forem iguais a 0, e valor um nos outros casos possveis.

Inverso da Funo E (AND)

Inverso da Funo OU (OR) Funo NO: Inverte a varivel aplicada a sua entrada

NO NOT INVERSOR

EXERCCIO : Faa a tabela verdade e o smbolo das portas NAND e OR com trs variveis de entrada, A,B e C:

15

4.0

- CIRCUITOS LGICOS, EXPRESSES BOOLEANAS E TABELA VERDADE

Atravs de um ou mais circuitos lgicos associados entre si teremos uma expresso booleana equivalente. O objetivo ser exatamente formar um complexo eletrnico no qual busca-se uma soluo digital para um ou mais eventos eventos binrio na entrada, atravs de variveis. 4.1 Expresses booleanas geradas por circuitos interligados Exemplificando, temos o seguinte circuito 1): A S1 B C Qual seria a expresso booleana? - Temos S1 = A x B - Temos S = S1 + C - Logo, substituindo S1 , teremos S = A x B + C Circuito 2) A B C D S = (A+B) x (C+D) S

16

Circuito 3) A B C D S = (AxB) + C + (CxD) Circuito 4) A B C

D S = { [ (A x B) x (B x C) x (B + D) ] }

17

Circuito 5) Faa a expresso booleana do seguinte circuito:

B

C

4.2 - Circuitos obtidos de expresses booleanas: Neste caso teremos uma expresso booleana e formaremos o diagrama do circuito equivalente: Expresso 1) A B C S = (A+B) x C x (B+D)

D

18

Expresso 2) A B

S = A x B + (A+B) x C

C Expresso 3) S = [ (A x B) + (C X D) + D] A B C D Expresso 4) ALUNO FAZER S = { [(A + B) + (C x D)] x E + [ (A x D x E) + (C x D x E)] x A }

19

4.3 - Tabela verdade obtida de expresses booleanas: Para obtermos a tabela verdade, isto , qual a sada S para todas as combinaes nas entradas pelas variveis, fazemos da seguinte forma: a) Montamos o quadro de combinaes das variveis de entrada; b) Montamos as colunas com os agrupamentos da equao, podendo ter colunas auxiliares, e uma coluna para o resultado final; c) Preenchemos essas colunas independentemente com resultados obtidos das variveis; d) Preenche-se a coluna do resultado final obedecendo os operandos dos agrupamentos da expresso. Exemplo 1) S = A + AB + ABC (Obs.: Quando coloca-se as variveis juntas, como AB, o mesmo que A x B) : A B C 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1o Membro A 1 1 1 1 0 0 0 0 2o Membro AB 0 0 0 0 0 0 1 1 Auxiliar B 1 1 0 0 1 1 0 0 3o Membro ABC 0 0 0 0 0 1 0 0 Resultado S 1 1 1 1 0 1 1 1

Exemplo 2) S = AB + BC A B C Auxiliar 1o Membro A AB 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0

2o Membro BC 0 0 0 1 0 0 0 1

Resultado S 0 0 1 1 0 0 0 1

20

Exerccio 1) Faa a tabela verdade com o resultado S da seguinte expresso: S = (A+B) x C x (B+D) A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 S

4.3 - Tabela verdade obtida de circuitos: Basta em primeiro lugar achar a expresso booleana do circuito para depois montar a tabela verdade: Exerccio 1) Ache a expresso do circuito abaixo e monte a tabela verdade: A B C S

21

Exerccio 2) Monte a Tabela verdade da expresso abaixo: S = [ ( A + B) x C] + [ D x (C + B)] A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 A+B S

Exerccio 3) Prove as seguintes equaes, atravs de tabelas verdades comparando-as: a) (A x B) (A x B) b) (A + B) (A + B)

c) (A x B) = ( A + B)

d) (A+ B) = (A x B)

22

Exerccio 4) Obtenha dois inversores, um com uma porta NE, outro com uma porta NOU Dica, fazer a tabela verdade:

5.0

- CIRCUITOS COMBINACIONAIS:

Circuitos combinacionais so aqueles que a sada depende nica e exclusivamente das vrias combinaes entre as variveis de entrada. Temos, ento que analisar uma situao real, definir as variveis e convenes, formar uma tabela verdade, chegar a uma expresso e, finalmente, montar o circuito:SITUAO A SER ANALIZADA

TABELA VERDADE

EXPRESSO

CIRCUITO

23

EXEMPLO 1)

RUA B

Sinal 2SINAL 1 RUA (A) PREFERENCIAL SINAL 1

Sinal 2

Temos um cruzamento entre as ruas A e B, queremos colocar um sistema que acione os dois sinais (1) e (2), obedecendo as seguintes situaes: 1- Quando houver somente carros na rua A , o sinal 1 dever estar verde; 2- Quando houver somente carros na rua B , o sinal 2 dever estar verde; 3- Quando houver carros transitando nas Ruas A e B, o sinal para rua A ficar verde, pois preferencial, e o da rua B vermelho; Atravs dos dados acima, sero definidos variveis e estados das mesmas, para se montar a tabela verdade: a) Existe carro em A -> A = 1 , caso no exista, A = 0 ; Rua A uma varivel b) Existe carro em B -> B = 1 , caso no exista, B = 0 ; Rua B uma varivel c) Vd do sinal 1 (V1) aceso, Vd sinal 2 apagado, vm do sinal 2 aceso => V1 = 1 ; V2 = 0 d) Vd do sinal 2 (V2) aceso, Vd sinal 2 apagado, vm do sinal 1 aceso => V2 = 1 ; V1 = 0

24

TABELA VERDADE SITUAO 0 1 2 3 RUA A 0 0 1 1 Rua B 0 1 0 1 V1 X(1) 0 1 1 V2 X(0) 1 0 0

Convenciona-se que quando a varivel de sada 1, buscamos as variveis de entrada. Se estiver 1, temos sua designao igual a mesma sem a barra ou o . Caso contrrio, se estiver 0, temos sua designao barrada ou com . Exemplo: A = 1 ; = 0. Anlise sinal 1: Quando teremos Sinal V1 em verde, e obviamente V2 vermelho? Nas situaes 0 ou 2 ou 3. Situao 0 =>>>>> A x B = 1 ou Situao 2 =>>>>> A x B = 1 ou Situao 2 =>>>>> A x B = 1. Logo a expresso do Sinal 1 ficar : V1 = AB + AB + AB Anlise sinal 2: Quando teremos Sinal V2 em verde, e obviamente V1 vermelho? Na situao 1. Situao 1 =>>>>> A x B = 1 Logo a expresso do Sinal 2 ficar : V2 = AB Agora podemos fazer os circuitos que faro funcionar os dois sinais nas condies propostas: V1 = AB + AB + ABA

V2 = AB

B

25

6.0 - LGEBRA DE BOOLE E SIMPLIFICAO:Muitos dos circuitos j estudados permitem simplificao, diminuindo sua complexidade no ato de se fazer o circuito eletrnico. Para tal fim, far-se- necessrio a compreenso da lgebra de Boole e seus postulados. A lgebra de Boole, que so representadas as variveis por letras, podem estas assumir apenas os valores 1 ou 0. Desta primcia, foram determinados alguns postulados.

6.1 - Postulados.6.1.1 Postulado da Complementao: Se A = 0 => A = 1 Se A = 1 => A = 0 Ento, A = A 6.1.2 Postulado da Adio: 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 Ento: A+0=A A+1=1 A+A=A A + A = 1 6.1.3 Postulado da Multiplicao: 0x0=0 0x1=0 1x0=0 1x1=1 Ento: Ax0=0 Ax1=A AxA=A A x A = 0

6.2 Propriedades:6.2.1 Propriedade Comutativa:

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6.2.1.1 - Comutativa na soma: A+B = B+A Provar pela tabela verdade: 6.2.1.2 Comutativa na Multiplicao: AxB = BxA Provar pela tabela verdade:

6.2.2 Propriedade Associativa: 6.2.2.1 Associativa na Adio: A + (B+C) = (A+B) + C = A + B + C 6.2.2.2 Associativa na Multiplicao: A x (BxC) = (AxB) x C = A x B xC 6.2.3 Propriedade Distributiva: A x (B+C) = (AxB) +(AxC)

6.3 Teoremas de Morgan:6.3.1 O complemento do Produto igual soma dos Complementos de n variveis: (AxB) = A + B 6.3.2 O complemento da Soma igual ao produto dos Complementos: (A+B) = A x B

6.4 Identidades Auxiliares: 1) A + AB = A Prove: 2) A + AB = A+B Prove:

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3) (A+B) x (A + C) = A + BC Prove: 6.5 Simplificao de Expresses booleanas:Baseado nos postulados, teoremas e identidades acima, podemos, quando possvel, fazer simplificaes de expresses booleanas, facilitando a execuo dos circuitos eletrnicos. Exemplo: 1) S = ABC + AC + AB Resposta : S = A ; Provar:

Desenhar os dois circuitos:

2) S = ABC + ABC + ABC

Resposta: S = AC + ABC

; Prove:

Exerccios para aula: a) S = AB + AB b) S = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC c) S = (A+B+C) . (A+B + C) Respostas: a) S = A ; b) S = C+ AB ; c) S = AB + AB + C

Fazer em casa:

S = ( (AC) + B + D) + C(ACD)

Resposta: S = CD + AC

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6.6 Simplificao de Expresses booleanas com diagrama VeitchKarnaugh:O diagrama Karnaugh foi elaborado com o propsito de simplificar uma expresso ou diretamente de uma tabela verdade. 6.6.1 Diagrama Karnaugh com duas variveis:

A A

B 00 10

B 01 11

Exemplo : S = AB + AB + AB B 1 1 B 1 0

A A Tabela verdade: A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 1 1 1 0

Resposta: S = B+ A

6.6.2 Diagrama Karnaugh com trs variveis:

B A A 000 100 C 001 101 C 011 111

B 010 110 C

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Exemplo 1) : Faa a simplificao da expresso definida pela seguinte tabela verdade: A 0 0 0 0 1 1 1 1 B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 S 1 0 1 1 1 0 1 0

S = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC

B A A C Resposta: S = AB + C C

B

C

A) : Faa a simplificao da expresso definida pela seguinte tabela verdade: A 0 0 0 0 1 1 1 1 S= B 0 0 1 1 0 0 1 1 C 0 1 0 1 0 1 0 1 S 0 1 0 1 1 1 1 0

B A A C Resposta: S = AC + AC + BC C

B

C

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B) Faa a tabela verdade e minimize com Karnaugh a seguinte expresso: S = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC Resp: S = C + AB

S = ABC + ABC + ABC

Resp.: AC+ ABC

6.6.2 Diagrama Karnaugh com quatro variveis: A A D C 0000 0100 1100 1000 0001 0101 1101 1001 D 0011 0111 1111 1011 C 0010 0110 1110 1010 D B B B

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Exemplo 1) A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 S=? C A A B D Resposta: Exemplo 2) A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 132

B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1

C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

S 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1

C B B

D

D

S = D + AC + ABC

S 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1

S=? C A A B D Resposta: ABCD+ BCD + AB + AD D D C B B

Exerccios: Minimize FAZENDO ANTES A TABELA VERDADE: a) S = ABCD + A BCD + ABCD + ABCD + ABCD+ ABCD + ABCD + ABCD + ABCD Resp: S = ABD + CD + BD

b) A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 S=? RESP: S = AB +BC +D B 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 C 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 D 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 S 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1

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7.0 - CIRCUITOS COMBINACIONAIS PARTE 2:7.1 CDIGOSDentro de um aspecto digital, podemos formar as diversas combinaes das variveis de entrada em cdigos especficos. Por exemplo, o cdigo especfico da tabela verdade de quatro variveis (A,B,C e D), ou quatro bits, chamado de cdigo BCD 8421, que significa Binary Coded Decimal.

7.1.1 CDIGO BCD 8421Neste cdigo temos exatamente a composio binria de soma uma (1) unidade binrio com a soma de uma (1) unidade decimal DECIMAL 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 BCD 8421 B C D 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

7.1.2 CDIGO Excesso 3Neste cdigo temos o incio do cdigo binrio adiantado de 3 unidades em relao ao decimal. Neste cdigo temos somente de 0 at 9 decimal. Este cdigo usado em alguns circuitos aritmticos: DECIMAL Excesso 3 A B C D 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 0 1 1 1 5 1 0 0 0 6 1 0 0 1 7 1 0 1 0 8 1 0 1 1 9 1 1 0 0

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7.1.3 CDIGO JohnsonNeste cdigo, de 5 bits, isto , 5 variveis de sada, temos os bits de sada = 1 colocados da direita para esquerda, seqencialmente, como se fosse um nibus atravessando um rua: DECIMAL Johnson A B C 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 1 4 0 1 1 5 1 1 1 6 1 1 1 7 1 1 1 8 1 1 0 9 1 0 0

D 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0

E 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0

7.1.4 CDIGO GRAYNeste cdigo temos a caracterstica de deslocar para direita as colunas da esquerda, comeando a primeira COLUNA com 0, a segunda com 00, a terceira com 0000 e a quarta com 00000000: DECIMAL GRAY A B C D 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 1 3 0 0 1 0 4 0 1 1 0 5 0 1 1 1 6 0 1 0 1 7 0 1 0 0 8 1 1 0 0 9 1 1 0 1 10 1 1 1 1 11 1 1 1 0 12 1 0 1 0 13 1 0 1 1 14 1 0 0 1 15 1 0 0 0

7.2 Codificadores e Decodificadores:A funo de um decodificador no sistema digital fazer com que um cdigo de entrada seja transformado em outro cdigo na sada deste sistema decodificador. Exemplo: Entrada de dados: Cdigo BCD 8421 == Sistema Sada de dados: Excesso 3 Vejo o sistema como codificador Vejo o sistema como decodificador

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7.2.1 Decodificador BCD 8421 para Excesso 3:A 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 BCD 8421 B C D 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 EXCESSO 3 S3 S2 S1 S0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X

Teremos que ter 4 circuitos para definir nosso decodificador. Sero eles S1, S2, S3 e S4. Antes de fazer o circuito, teremos que simplifica-los: S3 = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD S2 = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD S1 = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD S0 = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD S3: C A A B D D Resposta: S3 = A+ BD +BC S2: C A A B D D Resposta: S2 = BD+ BC + BCD D C B B D C B B

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S1 C A A B D D Resposta: S1 = CD+CD S0 C A A B D Resposta: Fazer o circuito: S0 = D D D C B B D C B B

7.2.1 Decodificador BCD 8421 para Excesso 3:EXCESSO 3 A B C D 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 BCD 8421 S8 S4 S2 S1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X37

Na tabela verdade do excesso 3 acima, temos parte da numerao do mapa de Karnaught que no faz parte desta codificao, ento tanto faz seu resultado a direita do decodificador, pois na prtica, nunca ser usado. S8 = ABCD + ABCD S4 = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD S2 = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD S1 = ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD S8: C A A B D D Resposta: S8 = AB + ACD S4: C A A B D D Resposta: S4 = BD+ ACD + BCD S2 C A A B D D Resposta: S2 = CD+CD S1 C A A B D Resposta: S1 = D D D C B B D C B B D C B B D C B B

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Exerccio proposto: Fazer a tabela verdade para acender um display de 7 segmentos, fazendo um decodificador de bcd 8421 para display de 7 segmentos, com a numerao de 0 at 9, simplificar com karnaught e desenhar o circuito. Obedecer a disposio nominal abaixo, para o display de 7 segmentos: a f g e d Exemplo: Para formar o nmero 1, temos que acender as letras b e c, logo temos b = 1 e c= 1 c b

8.0 - FLIP-FLOPS:O flip-flop um dispositivo que possui dois estados estveis. Para o flip-flop assumir um desses estados necessrio que haja uma combinao das variveis e um pulso, um disparo, que chamaremos de CLOCK.

8.1 FLIP-FLOP RS:Este flip-flop pouco usado, pois no permite o uso das entradas 1 e 1.

.__________ S _________. CK ___________. R

Q

___________

Q

___________ FF RS

R 0 0 1 1

S 0 1 0 139

QF Qa 0 1 No permitido

8.2 FLIP-FLOP JK:Este flip-flop, no caso de J = 1 e K = 1, para ter-se QF = Qa, necessrio que a entrada clock volte situao zero, aps a aplicao dos sinais na entrada, teremos ento, com o pulso de clock, o valor QA:

.__________ J _________. CK ___________. K

Q

___________

Q

___________ FF JK

J 0 0 1 1

K 0 1 0 1

QF Qa 0 1 QA

8.2.1 FLIP-FLOP JK com entradas Preset e Clear:Podemos forar a sada inicial de Q em 1 ou zero, uando nosso flip-flop possuir os recursos de Preset (Pr) e Clear (CLR), conforme tabela verdade abaixo:

CLR 0 0 1 1

FF JK usando PR e CLR PR QF 0 No permitido 1 0 0 1 1 funcionamento normal

8.2.2 FLIP-FLOP JK mestre-escravo:O flip-flop JK to somente, caso o clock seja 1, e houver uma modificao nas entradas J e K, automaticamente mudar a sada Q, sem termos uma transio de clock, indesejvel para certos circuitos. Ento surgiu o JK mestre-escravo, que muda o estado da sada Q quando h uma transio do clock de 0 para 1, conforme a entrada apresentado. Depois disto, mesmo mudando a entrada, somente teremos um novo Qf se o clock for a 0, para ir a 1 novamente, estabelecendo essa nova sada. A tabela verdade a mesma do item 8.2.

8.3 FLIP-FLOP Tipo T:Basta unir as entradas J e K para termos esse flip-flop. Faa a tabela verdade.

8.4 FLIP-FLOP Tipo D:Basta unir as entradas J e K, isto , colocando um inversor na entrada para K, e teremos esse flip-flop. Faa a tabela verdade.

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Aluno: _____________________________ Rubrica_________________________ Rubrica Professor ______________________________

Matrcula_______ Apost num______

Exerccios: 1) 11001011 (b) > decimal?

2) 145 (d) > binario?

3) 111100011110 > hexa?

4) 3FE (h) > decimal

5) FA4 (h) > binario

Faa: A) soma binario : 10011101 + 111 = B) Subtrao binrio: 111100101- 10101 = C) Multiplicao binrio: 10111 x 101 =

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