anlise numrica de estruturas de ao, concreto e mistas em ...

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  • ANLISE NUMRICA DE ESTRUTURAS DE AO, CONCRETO EMISTAS EM SITUAO DE INCNDIO

    Rodrigo Barreto Caldas

  • UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

    ESCOLA DE ENGENHARIA PROGRAMA DE PS-GRADUAO EM ENGENHARIA DE ESTRUTURAS "ANLISE NUMRICA DE ESTRUTURAS DE AO, CONCRETO E MISTAS EM

    SITUAO DE INCNDIO"

    Rodrigo Barreto Caldas

    Tese apresentada ao Programa de Ps-Graduao em Engenharia de Estruturas da Escola de Engenharia da Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos necessrios obteno do ttulo de "Doutor em Engenharia de Estruturas".

    Comisso Examinadora: ____________________________________ Prof. Dr. Ricardo Hallal Fakury DEES - UFMG - (Orientador) ____________________________________ Prof. Dr. Joo Batista Marques de Sousa Jnior UFOP (Co-orientador) ____________________________________ Prof. Dr. Armando Cesar Campos Lavall DEES - UFMG ____________________________________ Prof. Dr. Francisco Carlos Rodrigues DEES - UFMG ____________________________________ Prof. Dr. Eduardo de Miranda Batista COPPE - UFRJ ____________________________________ Prof. Dr. Luiz Carlos Pinto da Silva Filho UFRGS

    Belo Horizonte, 09 de dezembro de 2008

  • iii

    Ainda que eu fale as lnguas dos homens e dos anjos,

    se no tiver amor,

    serei como o sino que ressoa ou como o prato que retine.

    Ainda que eu tenha o dom de profecia

    e saiba todos os mistrios e todo o conhecimento,

    e tenha uma f capaz de mover montanhas,

    se no tiver amor, nada serei...

    O amor paciente, o amor bondoso.

    No inveja, no se vangloria, no se orgulha.

    No maltrata, no procura seus interesses,

    no se ira facilmente, no guarda rancor.

    O amor no se alegra com a injustia,

    mas se alegra com a verdade.

    Tudo sofre, tudo cr, tudo espera, tudo suporta...

    1 Corntios 13

    minha esposa amada, Lucimar,

    sempre presente em todos os momentos,

    dedico este trabalho.

  • iv

    AGRADECIMENTOS

    Como posso retribuir ao Senhor toda a sua bondade para comigo?

    Salmo 116:12

    Aos meus queridos pais, Wellington e Lucia, que sempre me conduziram nos caminhos

    do amor e da justia.

    s minhas irms Sielen e Juliana, pelo apoio e amizade.

    Vallourec & Mannesmann Tubes, pelo apoio financeiro, sem o qual seria impossvel

    realizar este trabalho. Especialmente, ao engenheiro Afonso Henrique Mascarenhas de

    Arajo que tem realizado um valioso trabalho de incentivo pesquisa e

    desenvolvimento do ao junto s universidades.

    Aos professores Ricardo Hallal Fakury e Joo Batista Marques de Sousa Jr., pela

    orientao segura e lucidez com que conduziram este trabalho e, principalmente, pela

    amizade, confiana e apoio constantes.

    Aos professores do Programa de Ps-graduao em Engenharia de Estruturas da

    UFMG: Edgar Carrasco, Estevam Las Casas, Fernando Amorim, Francisco Rodrigues,

    Gilson Queiroz, Jos Calixto, Ney Amorim e Roque Pitangueira

    Ao pessoal do Departamento e do Programa de Ps-graduao em Engenharia de

    Estruturas da UFMG, especialmente Ftima e Maria Ins.

  • v

    SUMRIO

    LISTA DE FIGURAS x

    LISTA DE TABELAS xvi

    LISTA DE SMBOLOS xviii

    RESUMO xxii

    ABSTRACT xxiii

    CAPTULO 1 INTRODUO

    1.1 Motivao 1

    1.2 Objetivos deste Trabalho 3

    1.3 Justificativa da Escolha do Tema 3

    1.4 Organizao deste Trabalho 4

    CAPTULO 2 CONCEITOS BSICOS E REVISO BIBLIOGRFICA

    2.1 Introduo 6

    2.2 Fogo, Incndio e Segurana 6

    2.3 Caractersticas dos Incndios 11

    2.3.1 Descrio Geral e Modelagem do Comportamento

    de Incndios em Compartimentos 12

    2.3.2 Incndio Localizado ou Pr-Flashover 18

    2.3.3 Incndio Ps-Flashover 18

    2.3.3.1 Curvas Paramtricas 19

    2.3.3.2 Curvas Nominais, TRRF e Tempo Equivalente 20

    2.4 Ensaios Experimentais e o Comportamento de Estruturas Mistas em

    Situao de Incndio 23

  • vi

    2.5 Projeto de Estruturas em Situao de Incndio 29

    2.6 Comportamento dos Materiais Temperatura Elevada 33

    2.6.1 Propriedades Termomecncias do Ao Segundo o Eurocode 35

    2.6.2 Propriedades Termomecnicas do Concreto Segundo o Eurocode 40

    2.6.3 Propriedades Termomecnicas do Concreto de Baixa Densidade

    Segundo o Eurocode 46

    2.6.4 Resistncia Trao do Concreto 47

    2.6.5 Modelo de Han para a Relao Tenso-Deformao do Concreto em

    Sees Tubulares de Ao 49

    2.6.6 Propriedades Termomecnicas do Concreto de Alta Resistncia

    Segundo o Eurocode 51

    2.6.7 Modelo de Schaumann para a Relao Tenso-Deformao de

    Concretos de Alta Resistncia 52

    2.6.8 Spalling do Concreto 53

    2.6.9 Mtodos e Materiais de Proteo contra Incndio 58

    2.7 Modelos Numricos Desenvolvidos 62

    2.7.1 Segurana Contra Incndio e Modelos Numricos no Brasil 67

    CAPTULO 3 PLATAFORMA COMPUTACIONAL E METODOLOGIA

    3.1 Introduo 71

    3.2 Programa CSTM 72

    3.2.1 Obteno de Esforos em Sees Transversais Mistas de Ao e Concreto

    73

    3.2.2 Obteno de Superfcies de Interao em Sees Transversais 75

    3.3 Aspectos Relevantes do Programa FEMOOP 76

    3.3.1 Modelo de Elementos Finitos para Anlise de Pilares Mistos 76

    3.4 Metodologia de Desenvolvimento do Modelos Numricos para Anlise em

    Situao de Incndio 83

  • vii

    CAPTULO 4 MODELOS PARA TRANSFERNCIA DE CALOR

    4.1 Introduo 85

    4.2 Conduo de Calor e Suas Condies de Contorno 90

    4.3 Modelo Numrico para Conduo de Calor com Base no Mtodo das

    Diferenas Finitas 92

    4.4 Modelo Numrico para Conduo de Calor com Base no Mtodo dos

    Elementos Finitos 96

    4.5 Modelo Numrico para Radiao de Calor 101

    4.6 Programa ANTRAC 102

    4.7 Exemplos 103

    4.7.1 Perfil Laminado com Proteo Tipo Contorno 103

    4.7.2 Viga de Concreto 107

    4.7.3 Pilar Misto Quadrado Preenchido com Concreto 109

    4.7.4 Pilar Misto Circular Preenchido com Concreto 111

    4.7.5 Pilar Misto Totalmente Envolvido com Concreto 112

    4.7.6 Proteo tipo Caixa 114

    4.7.7 Seo de Ao Tubular Circular 115

    4.8 Concluses 116

    CAPTULO 5 MODELOS PARA SEES TRANSVERSAIS EM

    SITUAO DE INCNDIO

    5.1 Consideraes Iniciais e Introduo 117

    5.2 Propriedades dos Materiais 121

    5.3 Diagrama de Interao dos Esforos 123

    5.4 Anlise de Pilares 130

    5.5 Exemplos 131

    5.5.1 Seo Transversal Exposta ao Incndio 131

  • viii

    5.5.2 Seo Transversal Parcialmente Exposta ao Incndio 133

    5.5.3 Seo Mista de Ao e Concreto 136

    5.5.4 Pilar Aquecido em 4 Faces 138

    5.5.5 Pilar Aquecido em 3 Faces 140

    5.6 Concluses 141

    CAPTULO 6 MODELO DE ELEMENTO DE VIGA TRIDIMENSIONAL

    6.1 Introduo 143

    6.2 Elemento de Viga Tridimensional 148

    6.2.1 Grandes Rotaes 148

    6.2.2 Formulao Corrotacional 150

    6.2.3 Matriz de Rigidez Local 157

    6.3 Exemplos 158

    6.3.1 Pilar de Ao 159

    6.3.2 Viga de Ao 161

    6.3.3 Viga de Concreto 162

    6.3.4 Viga Mista de Ao e Concreto 164

    6.3.5 Prtico de Ao 3D 166

    6.3.6 Pilar Misto Totalmente Envolvido por Concreto 167

    6.3.7 Pilar Misto Preenchido com Concreto 168

    6.3.8 Pilares Mistos Preenchidos com Concreto de Alta Resistncia 171

    6.4 Concluses 173

    CAPTULO 7 MODELO DE ELEMENTO DE CASCA

    7.1 Introduo 173

    7.2 Desenvolvimento do Modelo de Dano 175

    7.3 Modelo de Dano 176

    7.4 Formulao do Elemento Finito 179

  • ix

    7.5 Exemplos 181

    7.5.1 Lajes de Concreto em Temperatura Ambiente 181

    7.5.2 Lajes em Temperatura Elevada 183

    7.5.3 Ensaios em Pequena Escala 185

    7.5.4 Laje Restringida 186

    7.6 Concluses 188

    CAPTULO 8 MODELO DE ELEMENTO DE MOLA

    8.1 Introduo 189

    8.2 Elemento de Mola 193

    8.3 Exemplos 195

    8.3.1 Viga de Ao com Ligaes Semi-Rgidas 195

    8.3.2 Prtico com Ligaes Semi-Rgidas 198

    8.4 Concluses 200

    CAPTULO 9 CONSIDERAES FINAIS

    9.1 Sntese do Trabalho 201

    9.2 Concluses 203

    9.3 Trabalhos Futuros 204

    REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS 205

  • x

    LISTA DE FIGURAS

    CAPTULO 2 CONCEITOS BSICOS E REVISO BIBLIOGRFICA

    Figura 2.2.1 Tringulo e quadriltero do fogo. 7

    Figura 2.3.1 Relao temperatura-tempo de um incndio em um compartimento e taxa de calor liberado em um compartimento segundo o EN 1992-1-2:2004. 15

    Figura 2.3.2 Comportamento do incndio em um compartimento: (a), (b) e (c) so diferentes estgios da fase pr-flashover; (d) e (e) fase ps-flashover. 15

    Figura 2.3.3 Modelagem CFD usando o programa SmartFire (http://fseg.gre.ac.uk): (a) discretizao do compartimento em volumes de controle, apenas o fechamento do compartimento apresentado; (b) escala de temperaturas em K. 17

    Figura 2.3.4 Curva paramtrica segundo o EN 1991-1-2:2002. 20

    Figura 2.3.5 Curvas nominais (EN 1991-1-2:2002). 21

    Figura 2.3.6 Conceito do tempo equivalente. 23

    Figura 2.4.1 Edifcio com elementos estruturais de ao e mistos ensaiado em Cardington, UK (Lawson, 2001). 25

    Figura 2.4.2 Piso misto tpico: caminho das cargas para a estrutura em temperatura ambiente. 26

    Figura 2.4.3 Piso misto tpico: comportamento de membrana para grandes deslocamentos. 27

    Figura 2.4.4 Piso misto tpico: comportamento de catenria para grandes deslocamentos. 28

    Figura 2.5.1 Procedimentos de projeto (EN 1994-1-2:2005). 30

    Figura 2.5.2 Deslocamento lateral das colunas externas observado em um ensaio de uma estrutura de concreto em Cardington, UK (Bailey, 2002). 32

    Figura 2.6.1 Relao tenso-deformao do ao em temperaturas elevadas (EN 1993-1-2:2005). 36

    Figura 2.6.2 Fatores de reduo da relao tenso-deformao dos aos laminados (EN 1993-1-2:2005). 37

  • xi

    Figura 2.6.3 Alongamento do ao em funo da temperatura (EN 1993-1-2:2005). 39

    Figura 2.6.4 Calor especfico do ao em funo da temperatura (EN 1993-1-2:2005). 39

    Figura 2.6.5 Condutividade trmica do ao (EN 1993-1-2:2005). 40

    Figura 2.6.6 Modelo matemtico para representao da relao tenso-deformao do concreto temperatura elevada (EN 1992-1-2:2004). 42

    Figura 2.6.7 Alongamento do concreto base de agregados calcrios ou silicoso em funo da temperatura (EN 1992-1-2:2004). 43

    Figura 2.6.8 Calor especfico em funo da temperatura, para trs contedos de umidade diferentes (EN 1992-1-2:2004). 45

    Figura 2.6.9 Limite superior e inferior da condutividade trmica do concreto (EN 1992-1-2:2004). 46

    Figura 2.6.10 Fatores de reduo da resistncia a trao do concreto segundo o EN 1992-1-2:2004 e a aproximao proposta. 48

    Figura 2.6.11 Relao tenso deformao do concreto a trao (Huang et al., 2003). 48

    Figura 2.6.12. Relaes tenso-deformao segundo o modelo de Han. 51

    Figura 2.6.13 Relao tenso-deformao tpica segundo o modelo de Schaumann para perfis tubulares de ao preenchidos com concreto de alta resistncia. 53

    Figura 2.6.14 Fenmenos associados ao spalling (Breunese e Fellinger, 2004). 54

    Figura 2.6.15 Spalling aps a exposio ao incndio de um pilar com concreto normal (a) e um pilar com concreto de alta resistncia (b) (Kodur e Harmathy, 2002). 57

    Figura 2.6.16 Efeito do incndio em uma estrutura de concreto (Cnovas, 1988): pilar rompido por compresso devido diminuio da resistncia; concreto desagregado e armadura exposta na face inferior da laje. 57

    Figura 2.6.17 Protees com alvenaria (a) e concreto (b) (Ribeiro, 2004). 58

    Figura 2.6.18 Pilares mistos de ao revestidos com concreto. 59

    Figura 2.6.19 Protees trmicas do tipo contorno e do tipo caixa (Ribeiro, 2004): (a) em pilares; (b) em vigas. 60

    Figura 2.6.20 Material isolante pulverizado (a) e material isolante aplicado com o auxlio de uma tela metlica (b) (Milke, 2002). 61

  • xii

    CAPTULO 3 PLATAFORMA COMPUTACIONAL E METODOLOGIA

    Figura 3.2.1 Definio da seo transversal, sistemas global e locais (seccionais). 73

    Figura 3.2.2 Representao dos domnios de deformao correspondentes ao estado limite ltimo de uma seo (ABNT NBR 6118:2003). 76

    Figura 3.3.1 Sistema de coordenadas de referncia: (a) sistema global; (b) sistema local ou seccional. 77

    Figura 3.3.2 Eixos de referncia e graus de liberdade locais. 80

    CAPTULO 4 MODELOS PARA TRANSFERNCIA DE CALOR

    Figura 4.1.1 Condies de contorno em um problema de conduo de calor em meio slido. 86

    Figura 4.3.1 ndices dos elementos na malha. 93

    Figura 4.3.2 Condutncias trmicas entre o elemento ( )j,i e os elementos adjacentes. 93

    Figura 4.3.3 Fluxos de calor no elemento ( )j,i . 94

    Figura 4.3.4 Fluxo de calor j,

    2

    1q para um elemento no contorno. 95

    Figura 4.5.1. Fator de vista para um rea infinitesimal e relaes diferenciais. 101

    Figura 4.7.1 (a) dimenses em mm do perfil IPE 400 e pontos onde as temperaturas foram analisadas; (b) temperaturas a 30 min para o perfil discretizado com elementos finitos retangulares; (c) temperaturas a 60 min para o perfil discretizado com elementos finitos retangulares; (d) escala de temperaturas. 105

    Figura 4.7.2 Viga de concreto 160x230 2mm analisada. 107

    Figura 4.7.3 Pontos onde as temperaturas foram medidas. 110

    Figura 4.7.4 Temperaturas em C para o tempo de 60 min. 111

    Figura 4.7.5 Comparao das temperaturas. 112

    Figura 4.7.6 Temperaturas em C para o tempo de 420min. 113

    Figura 4.7.7 Temperaturas dos gases e temperaturas obtidas experimentalmente por Huang et al. (2007) e segundo o presente trabalho,

  • xiii

    no centro geomtrico do perfil de ao. 113

    Figura 4.7.8 Dimenses em mm da seo analisada. 114

    Figura 4.7.9 Temperaturas para o tempo de exposio de 90 min. 115

    Figura 4.7.10 Relao temperatura-tempo em pontos da seo. 115

    Figura 4.7.11 Temperaturas na seo tubular circular. 116

    CAPTULO 5 MODELOS PARA SEES TRANSVERSAIS EM

    SITUAO DE INCNDIO

    Figura 5.2.1 Relaes tenso-deformao do concreto a temperatura elevada

    (EN 1992-1-2:2004). 122

    Figure 5.3.1 Seo transversal e sistemas de coordenadas (NA a linha neutra). 123

    Figura 5.3.2 Sistema de coordenadas xyz, e variao da temperatura. 125

    Figura 5.3.3 Domnio 1D . 126

    Figura 5.3.4 Domnio 2D . 126

    Figura 5.3.5 Domnio 3D . 127

    Figura 5.3.6 Domnio 4D . 128

    Figura 5.3.7 Superfcie de interao completa para uma dada seo. 129

    Figura 5.3.8 Diagrama de interao NM, para temperatura ambiente e temperatura elevada. 129

    Figura 5.5.1 Comparao dos diagramas de interao NM para vrios tempos de exposio ao incndio-padro. 132

    Figura 5.5.2 Temperaturas para 300 min de exposio: (a) uma face exposta; (b) duas faces expostas; (c) trs faces expostas; (d) escala de temperatura em C. 133

    Figura 5.5.3 Diagrama para uma face exposta, = 0 . 134

    Figura 5.5.4 Diagrama para uma face exposta, = 90 . 134

    Figura 5.5.5 Diagrama para duas faces expostas, = 0 . 135

    Figura 5.5.6 Diagrama para duas faces expostas, = 90 . 135

  • xiv

    Figura 5.5.7 Diagrama para trs faces expostas, = 0 . 136

    Figura 5.5.8 Diagrama para duas faces expostas, = 90 . 136

    Figura 5.5.9 Seo transversal mista: (a) dimenses in mm; (b) Temperaturas para 300 minutos de exposio ao incndio. 137

    Figura 5.5.10 Diagramas de interao para vrios tempos de exposio. 138

    Figura 5.5.11 Pilar analisado por Dotrepped et al. (1999): (a) diagrama de interao NzMx; (b) distribuio das temperaturas (C) para o tempo de 40 min de exposio ao incndio. 139

    Figura 5.5.12 Pilar analisado por Tan e Yao (2004): (a) diagrama de interao NzMx; (b) distribuio das temperaturas (C) para o tempo de 75 min de exposio ao incndio. 140

    CAPTULO 6 MODELO DE ELEMENTO DE VIGA TRIDIMENSIONAL

    Figura 6.1.1 Mtodo de Newton Raphson com controle do tempo: (a) incrementos de tempo e processo iterativo; (b) falha da estrutura. 147

    Figura 6.2.1 Algoritmo de Spurrier para obteno do quaternion unitrio a partir da matriz de rotao. Observao: o smbolo = indica atribuio e o smbolo == indica igualdade. 150

    Figura 6.2.2 Configurao inicial do elemento no espao. 151

    Figura 6.2.3 Triedros nodais para a configurao deformada. 152

    Figura 6.2.4 Graus de liberdade locais (o smbolo * indica os graus de liberdade considerados na formulao corrotacional). 154

    Figura 6.3.1 Resultados para os pilares analisados. 160

    Figura 6.3.2 Resultados para a viga com o momento aplicado variando de 0,1 a 0,9 do momento de plastificao da seo IPE 360. 162

    Figura 6.3.3 Viga de concreto (Cai et al., 2003) 163

    Figura 6.3.4 Deslocamentos mximos da Viga 3 no vo exposto ao incndio. 163

    Figura 6.3.5 Deslocamentos mximos da Viga 6 no vo exposto ao incndio. 164

    Figura 6.3.6 Anlise de vigas mistas em situao de incndio. 165

    Figura 6.3.7 Estrutura de ao tridimensional analisada (Souza Jr. e Creus, 2006). 166

    Figura 6.3.8 Relao deslocamento-temperatura para a estrutura tridimensional. 166

  • xv

    Figura 6.3.9 Deslocamento axial no topo do pilar. 168

    Figura 6.3.10 Deslocamento no topo da coluna do Teste 1 da tabela 6.3.10 (Kodur, 1998; 2006). 170

    CAPTULO 7 MODELO DE ELEMENTO DE CASCA

    Figura 7.4.1 Notao utilizada para o elemento de casca. 181

    Figura 7.5.1 Detalhes das lajes analisadas (adaptado de Huang et al., 2003b), dimenses em mm. (a) Teste B1; (b) Teste C1. 183

    Figura 7.5.2 Comparao dos deslocamentos centrais. 184

    Figura 7.5.3 Geometria e discretizao da laje. Dimenses em mm. 185

    Figura 7.5.4 Deslocamentos centrais. 186

    Figura 7.5.5 Deslocamento central do Teste MF4. 187

    Figura 7.5.6 Detalhes do teste S56. Dimenses em mm. 188

    Figura 7.5.7 Deslocamentos centrais. 189

    CAPTULO 8 MODELO DE ELEMENTO DE MOLA

    Figura 8.1.1 Mtodo das componentes (Block et al., 2004): (a) componentes de uma ligao viga-coluna; (b) modelo com base no conceito das componentes apresentado pelo EN 1993-1-8:2005). 192

    Figura 8.2.1 Graus de liberdade do elemento de mola. 195

    Figura 8.2.2 Curvas cargas-deslocamento tpicas, variando em funo da temperatura. 195

    Figura 8.3.1 Viga de ao com ligaes semi-rgidas, dimenses em mm (Bailey, 1998). 196

    Figura 8.3.2 Relao momento-rotao para vrias temperaturas. 197

    Figura 8.3.3 Comportamento de uma viga aquecida com diferentes caractersticas das ligaes. 198

    Figura 8.3.4 Prtico com ligaes semi-rgidas, dimenses em mm. 199

    Figura 8.3.5 Comparaes entre o modelo proposto e os resultados presentados por Bailey (1998). 200

  • xvi

    LISTA DE TABELAS

    CAPTULO 2 CONCEITOS BSICOS E REVISO BIBLIOGRFICA

    Tabela 2.2.1 Fatores e suas influncias na severidade do incndio e segurana da vida e do patrimnio (Vargas e Silva, 2005).

    10

    Tabela 2.3.1 Tempos requeridos de resistncia ao fogo, TRRF, em minuto (ABNT NBR 14432:1999).

    22

    Tabela 2.6.1 Influncia da temperatura na colorao do concreto. 35

    Tabela 2.6.2 Valores dos parmetros do modelo matemtico apresentado na figura 2.6.1 (EN 1993-1-2:2005).

    37

    Tabela 2.6.3 Fatores de reduo da relao tenso-deformao dos aos trabalhados a frio.

    38

    Tabela 2.6.4 Valores dos principais parmetros da relao tenso-deformao dos concreto com agregados silicosos ou calcrios temperatura elevada (EN 1992-1-2:2004).

    41

    Tabela 2.6.5 Valores dos principais parmetros da relao tenso-deformao do concreto de baixa densidade (EN 1994-1-2:2005).

    47

    Tabela 2.6.6 Fatores de reduo da resistncia de concretos de alta resistncia. 51

    Tabela 2.6.7 Propriedades trmicas de alguns materiais de proteo isolantes. 59

    CAPTULO 4 MODELOS PARA TRANSFERNCIA DE CALOR

    Tabela 4.7.1 Calor especfico do Blaze Shield II em funo da temperatura. 104

    Tabela 4.7.2 Condutividade trmica do Blaze Shield II em funo da temperatura.

    104

    Tabela 4.7.3 Temperaturas em C. 106

    Tabela 4.7.4 Temperaturas obtidas via MDF com e sem discretizao do material de proteo.

    107

    Tabela 4.7.5 Temperaturas em C. 108

    Tabela 4.7.6 Comparao das temperaturas obtidas, para a seo da viga discretizada em 4512 elementos e umidade do concreto igual a 2% e 4%.

    109

  • xvii

    Tabela 4.7.7 Comparao dos resultados obtidos no CSTMI com o ECCS-TC3 (2001).

    110

    Tabela 4.7.8 Propriedades trmicas das placas de vermiculita. 114

    CAPTULO 6 MODELO DE ELEMENTO DE VIGA TRIDIMENSIONAL

    Tabela 6.3.1 Resumo dos parmetros das anlises. 169

    Tabela 6.3.2 Tempos de resistncia ao fogo calculados e medidos. 171

    Tabela 6.3.3 Resumo dos parmetros das anlises. 172

    CAPTULO 8 MODELO DE ELEMENTO DE MOLA

    Tabela 8.3.1 Valores da rigidez inicial, momento fletor resistente e rigidez do segundo trecho linear.

    197

  • xviii

    LISTA DE SMBOLOS

    MAISCULOS

    A = rea;

    ABNT = Associao Brasileira de Normas Tcnicas;

    vA = rea das aberturas verticais;

    tA = rea total de fechamento (paredes, piso e teto, incluindo as aberturas);

    B = matriz que relaciona deslocamentos e deformao ( qB = );

    C = matriz de calor especfico, matriz constitutiva;

    C = graus Celsius, carbono, ;

    CBMESP = Corpo de Bombeiros Militar do Estado de So Paulo;

    CBMMG = Corpo de Bombeiros Militar do Estado de Minas Gerais;

    CFD = modelagem computacional utilizando dinmica dos fludos;

    CO = monxido de carbono;

    CO2 = gs carbnico;

    D = matriz de complincia;

    E = mdulo de elasticidade;

    F = vetor de foras internas;

    F = fator de vista;

    G = mdulo de elasticidade transversal;

    H = hidrognio;

    HCN = gs ciandrico;

    H2O = gua;

    I = matriz identidade;

    I = inrcia;

    IT = instruo tcnica;

  • xix

    K = Kelvin;

    K = matriz de condutividade trmica, matriz de rigidez;

    M = momento fletor;

    MEF = mtodo dos elementos finitos;

    MDF = mtodo das diferenas finitas;

    N = esforo axial;

    O = oxignio, fator de ventilao ou fator de abertura;

    O2 = gs oxignio;

    P = vetor de foras;

    Q& = taxa de calor;

    R = matriz de rotao;

    S = matriz skew (tensor spin);

    T = matriz de transformao;

    TRRF = tempo requerido de resistncia ao fogo;

    V = volume;

    W = Watts, trabalho;

    MINSCULOS

    b = fator trmico, largura;

    d = infinitesimal;

    f = vetor de fora interna;

    cf = resistncia a compresso do concreto;

    yf = resistncia ao escoamento do ao;

    pf = limite de proporcionalidade;

    tf = resistncia a trao do concreto;

    h = altura;

    vh = altura mdia das aberturas verticais;

  • xx

    k = fator de reduo, curvatura, condutncia;

    k = matriz de rigidez;

    q = fluxo de calor;

    q = deslocamentos generalizados;

    q = quaternion unitrio;

    r = vetor de fora externa;

    s = distncia;

    T = tempo, espessura;

    U = deslocamento na direo do eixo x, permetro;

    V = deslocamento na direo do eixo y;

    w = deslocamento na direo do eixo z;

    OUTROS

    = ngulo, coeficiente de transmisso de calor;

    = parmetro de deformao;

    = vetor tenso;

    = tenso;

    = vetor deformao;

    = deformao, emissividade;

    = massa especfica;

    c = calor especfico;

    = condutividade trmica, esbeltez relativa (realao do comprimento efetivo com o raio de girao), fator de carga;

    = coeficiente de Poisson;

    = pseudo vetor rotao;

    = temperatura, rotao;

    = variao, fator de amplificao dos momentos;

    = funes de interpolao;

  • xxi

    = fluxo de calor por unidade de rea;

    l = comprimento;

    = derivao;

    = domnio;

    = contorno;

    = variao;

    = vetor de foras desiquilibradas;

    ll / = alongamento;

    SUBSCRITOS

    a = ao dos perfis estruturais;

    b = concreto de baixa densidade;

    c = concreto;

    g = gases;

    s = ao das armaduras;

    x = eixo x;

    y = eixo y;

    z = eixo z;

  • xxii

    RESUMO

    CALDAS, R. B., Anlise Numrica de Estruturas de Ao, Concreto e Mistas em

    Situao de Incndio, Belo Horizonte, 2008, 226p. Tese de Doutorado, Programa

    de Ps-Graduao em Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia,

    Universidade Federal de Minas Gerais.

    Este trabalho apresenta o desenvolvimento e implementao de modelos numricos no-

    lineares, para a anlise trmica e mecnica de estruturas de ao, concreto e mistas de

    ao e concreto em situao de incndio. Procedimentos para anlise de transferncia de

    calor, com base no mtodo das diferenas finitas e elementos finitos, ao nvel da seo

    transversal, fornecem a distribuio de temperatura da qual se pode obter a degradao

    das propriedades dos materiais submetidos ao incndio. Um novo procedimento para

    anlise da resistncia de sees arbitrrias de vigas, colunas e lajes em situao de

    incndio apresentado. Um elemento de viga tridimensional, capaz de simular

    estruturas submetidas ao incndio implementado e testado. Para simular lajes de

    concreto em altas temperaturas, um elemento de casca composto por camadas com um

    modelo constitutivo de dano introduzido. Finalmente, um elemento de mola para

    ligaes semi-rgidas em situao de incndio desenvolvido e acoplado aos elementos

    de viga. Os modelos numricos so validados por comparaes com resultados

    numricos e experimentais encontrados na literatura.

    Palavras-chave: ao, concreto, estrutura mista, incndio, modelos numricos, anlise

    trmica, anlise estrutural.

  • xxiii

    ABSTRACT

    CALDAS, R. B., Numerical Analysis of Steel, Concrete and Composite Structures

    Subjected to Fire, Belo Horizonte, 2008, 226p. Tese de Doutorado, Programa de

    Ps-Graduao em Engenharia de Estruturas, Escola de Engenharia, Universidade

    Federal de Minas Gerais.

    This work presents the development and implementation of nonlinear numerical models

    for the thermal and mechanical analyses of steel, reinforced concrete and composite

    structures of steel and concrete subjected to fire. Heat transfer procedures, based on

    finite differences and finite elements at the cross section level, provide the temperature

    distribution from which the material degradation under fire may be assessed. A new

    procedure for the strength analysis of arbitrary cross sections of beam, columns and

    slabs under fire is presented. Three-dimensional beam-column element, able to simulate

    framed structures under fire action, are implemented and tested. To simulate reinforced

    concrete slabs under high temperatures, a layered shell finite element with a damage

    constitutive model is introduced. Finally, a spring element for semi-rigid connections

    under fire action is developed and coupled to the beam-column elements. The

    numerical schemes are validated by comparison with numerical and experimental

    results found in the literature.

    Key words: steel, concrete, composite structures, fire, numerical models, thermal

    analyses, structural analyses.

  • 1

    INTRODUO

    Este captulo contm uma apresentao deste trabalho, os objetivos e a motivao

    para o seu desenvolvimento.

    1.1 MOTIVAO

    O fogo sempre esteve presente na vida dos homens. Seu conhecimento e domnio

    influenciaram o desenvolvimento de vrios povos. O homem primitivo conhecia o fogo

    apenas em incndios florestais, considerando-o um segredo dos deuses. Aos poucos foi

    aprendendo a produzir e dominar o fogo, descobrindo sua utilidade para iluminar,

    cozinhar, afugentar animais e o frio. Porm, houve um dia em que o fogo tornou-se

    incontrolvel, causando ferimentos e destruio. Surgia ento o primeiro incndio e a

    necessidade de control-lo.

    O fogo continua sendo uma necessidade da vida humana, seja nas indstrias ou

    moradias, de vez em quando fugindo do controle do homem e dando origem aos

    incndios, responsveis por prejuzos materiais e pela perda de vidas.

    Nos edifcios onde se mora ou se trabalha, ou nos lugares de lazer e diverso, a

    preocupao com a segurana contra incndio e pnico (por vezes associado ao

    incndio) est sempre presente. Pode-se notar nas sinalizaes e iluminaes de

    emergncia dos cinemas ou nos hidrantes nas ruas que esta preocupao rodeia o ser

    humano a todo instante.

    Os objetivos da segurana contra incndio so minimizar o risco vida e a perda

    patrimonial. O risco vida surge devido exposio fumaa, calor e desabamento de

  • 2

    elementos construtivos sobre usurios e equipes de combate ao fogo. A perda

    patrimonial se refere destruio parcial ou total da edificao e adjacncias,

    equipamentos, documentos e estoques.

    Um sistema de segurana contra incndio formado por um conjunto de meios de

    proteo ativos e passivos que possa garantir a desocupao dos usurios da edificao,

    possibilitar as operaes de combate ao incndio e minimizar danos edificao e suas

    adjacncias (por questes econmicas necessrio identificar a extenso do dano que

    pode ser considerado admissvel). Entre os meios de proteo ativos, tm-se os

    detectores de calor ou fumaa, chuveiros automticos, extintores, hidrantes, sistemas de

    iluminao de emergncia, sistemas de controle e exausto de fumaa, brigadas contra

    incndio e outros que precisam ser acionados manual ou automaticamente. Entre os

    meios de proteo passivos podem-se citar a capacidade resistente em situao de

    incndio das estruturas, compartimentao, sadas de emergncia, isolamento de risco,

    rotas de fuga, controle dos materiais de acabamento e outros incorporados construo

    da edificao que no requerem nenhum tipo de acionamento para o seu funcionamento.

    O desenvolvimento de modelos numricos para o estudo do comportamento de

    estruturas em situao de incndio o objetivo deste trabalho, assunto em relao ao

    qual, recentemente, observam-se intensivas pesquisas e avanos. Inicialmente, o

    conceito de temperatura crtica, pelo qual as estruturas de ao eram protegidas limitando

    a temperatura do ao, e o uso de tabelas para a verificao de estruturas de concreto,

    juntamente com ensaios experimentais, foram os principais procedimentos de

    verificao da capacidade resistente das estruturas em situao de incndio. Atualmente,

    modelos analticos, numricos e experimentais cada vez mais sofisticados permitem um

    melhor conhecimento e entendimento do comportamento estrutural e dos materiais

    construtivos em situao de incndio.

    Os procedimentos de projeto devem levar em conta o comportamento da estrutura

    em temperatura elevada, a exposio ao calor e os benefcios dos meios de proteo

    ativa e passiva, juntamente com as incertezas associadas e a importncia relativa da

    estrutura. No momento, possvel determinar de forma adequada o desempenho de uma

    estrutura ou de seus componentes em um incndio real, incorporando os parmetros

    citados. Esses procedimentos so chamados de aproximaes com base em

    desempenho. Todavia, onde os procedimentos tm por base um incndio nominal

  • 3

    (incndio-padro) com perodos de resistncia ao incndio, os parmetros citados so

    considerados (no explicitamente), e recebem o nome de aproximaes prescritivas.

    Modelos avanados de clculo podem ser utilizados tanto em uma aproximao

    prescritiva ou com base em desempenho. Os modelos desenvolvidos neste trabalho

    podem ser utilizados em anlises avanadas, tanto com o objetivo de estudar solues

    de projeto ou no estudo do comportamento de estruturas.

    1.2 OBJETIVOS

    O presente trabalho tem como objetivo o desenvolvimento de modelos numricos

    avanados capazes de simular de forma adequada o comportamento de estruturas de

    ao, concreto e mistas de ao e concreto em temperatura elevada, possibilitando a

    verificao e o estudo de estruturas sob essas condies.

    Na busca por esse objetivo, foram desenvolvidos modelos numricos que

    abrangem desde o estudo do comportamento das sees transversais dos elementos

    estruturais como vigas, pilares e lajes, ao desenvolvimento de elementos finitos no-

    lineares de viga, casca e mola para a modelagem das estruturas sob altas temperaturas.

    Com esses modelos, as possibilidades futuras de anlises e estudos so inmeras e,

    portanto, trabalhos especficos podero ser levados adiante.

    1.3 JUSTIFICATIVA DA ESCOLHA DO TEMA

    Dois pontos importantes contribuem para que a capacidade resistente das

    estruturas em situao de incndio seja maior do que a prescrita nos mtodos

    simplificados de clculo: as condies reais de incndio ao qual a estrutura est

    submetida e o comportamento da estrutura como um todo. O nico caminho de se

    prever como um edifcio se comporta em incndio por meio de modelos numricos

    que incluam as mudanas no comportamento do material em altas temperaturas, as

    distribuies de temperaturas nas diversas partes da estrutura e a habilidade para

    trabalhar adequadamente em grandes deslocamentos (Burgess, 2005).

  • 4

    Com o objetivo de desenvolver modelos numricos para anlise de estruturas em

    situao de incndio, foram utilizadas, em conjunto, vrias propostas e resultados de

    pesquisas encontradas na literatura. Dessa forma foi possvel agrupar, de forma indita,

    um conjunto de hipteses para o desenvolvimento de modelos numricos para anlise

    de estruturas em situao de incndio. Adicionalmente, ao longo do desenvolvimento

    desses modelos, novas hipteses foram estabelecidas.

    Ao final, os modelos desenvolvidos foram validados estabelecendo seus limites de

    aplicao, tornando-se uma opo interessante para o desenvolvimento de pesquisas e

    projetos nessa rea.

    No Brasil, ainda so modestas as pesquisas sobre o comportamento de estruturas

    em situao de incndio, principalmente as experimentais, devido ao alto custo das

    instalaes e equipamentos envolvidos. Assim, o desenvolvimento de modelos

    numricos capazes de simular o comportamento de estruturas em situao de incndio

    torna-se extremamente relevante.

    1.4 ORGANIZAO

    No captulo 2 tem-se uma reviso bibliogrfica e a apresentao dos conceitos

    bsicos envolvidos na engenharia de segurana contra incndio. Ao final do captulo,

    apresenta-se um resumo dos principais trabalhos voltados para o desenvolvimento de

    modelos numricos para anlise de estruturas em situao de incndio.

    No captulo 3, apresentam-se a metodologia e os programas computacionais

    utilizados como plataforma para o desenvolvimento dos modelos apresentados neste

    trabalho.

    Nos captulos seguintes apresentam-se o desenvolvimento dos modelos numricos

    para anlise trmica via elementos finitos e diferenas finitas, modelo para anlise de

    sees transversais, modelos de elementos de viga e casca e um captulo sobre o

    desenvolvimento de um elemento de mola, respectivamente, captulos 4, 5, 6, 7 e 8.

    Dentro desses procedimentos so apresentadas as formulaes e hipteses adotadas.

    Pode-se destacar que dois tipos de modelos foram desenvolvidos: modelos para

    verificao da capacidade resistente (estado limite ltimo) da seo transversal de

  • 5

    elementos estruturais como vigas e pilares, e modelos para anlise do comportamento

    global de estruturas, capazes de prever estados limites de servio e ltimo utilizando

    elementos finitos de viga, casca e mola.

    No captulo 9 so apresentadas as concluses e finalmente, as referncias

    bibliogrficas deste trabalho.

  • 2

    CONCEITOS BSICOS E

    REVISO BIBLIOGRFICA

    Apresentam-se os conceitos bsicos da engenharia de segurana contra incndio, o

    comportamento e o projeto de estruturas em situao de incndio, propriedades dos

    materiais e uma reviso bibliogrfica dos modelos numricos encontrados na literatura.

    2.1 INTRODUO

    No estudo do comportamento de estruturas em situao de incndio, trs etapas

    so importantes: modelagem do incndio, anlise trmica e anlise estrutural. A

    modelagem do incndio, do ponto de vista estrutural, tem como objetivo obter a relao

    temperatura-tempo dos gases ou os fluxos de calor por radiao e conveco. A anlise

    trmica visa obteno da elevao da temperatura nos elementos estruturais a partir da

    relao temperatura-tempo dos gases. A elevao da temperatura importante para

    avaliao das propriedades dos materiais que devero ser utilizadas na anlise estrutural.

    Os modelos desenvolvidos neste trabalho so voltados para as etapas de anlise trmica

    e estrutural.

    2.2 FOGO, INCNDIO E SEGURANA

    Ao desenvolvimento simultneo de calor e luz, produto da combusto de materiais

    inflamveis, como, por exemplo, a madeira, d-se o nome de fogo, que o exemplo

    mais comum de oxi-reduo (oxidao). Quando um material qualquer entra em

  • 7

    combusto, ele reage com o oxignio do ar (comburente), e nessa reao exotrmica

    ocorre oxi-reduo. Do ponto de vista da estrutura da matria, a oxi-reduo apenas a

    transferncia de eltrons entre tomos. A expresso

    OvHuCOtOHC 222sr ++ (2.2.1)

    onde r, s, t, u e v so variveis que expressam a quantidade dos componentes,

    exemplifica a combusto completa de um elemento, formado por carbono e hidrognio,

    tpico em um compartimento incendiado.

    O chamado tringulo do fogo (figura 2.2.1a) simboliza os trs elementos que

    devem estar continuamente presentes para a ocorrncia da combusto: combustvel,

    calor e oxignio. Caso algum desses elementos seja removido, o processo de combusto

    no se sustenta e o fogo extinto.

    Fonte de calor Oxignio

    Combustvel

    Combustvel

    Reao em cadeia

    Calo

    r

    Oxi

    gn

    io

    (a) (b)

    Figura 2.2.1 Tringulo e quadriltero do fogo.

    Todavia, a combusto uma reao que se processa em cadeia e que, aps o

    incio, mantida com parte do calor produzido. Dessa forma, verifica-se que a

    existncia do fogo depende de quatro condies, como mostrado no quadriltero do

    fogo, figura 2.2.1b (a mesma definio pode ser representada por um tetraedro). O

    conhecimento desse comportamento o princpio de vrios dispositivos e formas de

    combate a incndios. Por exemplo, quando a gua usada, seu efeito o de resfriar o

    ambiente, inibindo a reao entre o combustvel e o oxignio. Extintores a base de CO2

    substituem o oxignio nas proximidades do foco de incndio interrompendo a

    combusto.

    O incndio definido como fogo que lavra com intensidade, em material que no

    estava a ele destinado, destruindo e, s vezes, causando prejuzos. Pode ter origem fsica

    (raios, eletricidade, centelhas devido eletricidade esttica, curtos-circuitos e calor

  • 8

    devido ao atrito de peas em movimento), biolgica (ao de bactrias termognicas),

    fsico-qumica (hidrocarbonetos insaturados e gorduras animais e vegetais em certas

    condies de confinamento), acidental (involuntariamente criado pelo homem),

    intencional (propositadamente criado pelo homem).

    Nos incndios, a combusto pode ser completa gerando como produto apenas

    dixido de carbono e gua, ou incompleta. Na combusto incompleta no h suprimento

    suficiente de oxignio sendo evidenciada pela gerao de fumaa. Diferentemente da

    combusto completa, a reao com o oxignio gera inmeros produtos e sub-produtos,

    entre eles o monxido de carbono (CO).

    Existem trs pontos notveis da combusto: ponto de fulgor, ponto de combusto

    e ponto de ignio. O ponto de fulgor a temperatura mnima na qual o combustvel

    comea a desprender vapores, que se incendeiam em contato com uma chama ou

    centelha (agente gneo), mas sem que a chama se mantenha devido insuficincia da

    quantidade de vapores. O ponto de combusto ou inflamao a temperatura mnima na

    qual o corpo combustvel comea a desprender vapores, que se incendeiam em contato

    com um agente gneo e mantm-se queimando, mesmo com a retirada do agente gneo.

    O ponto de ignio a temperatura na qual os gases desprendidos do combustvel

    entram em combusto apenas pelo contato com o oxignio do ar, independentemente de

    qualquer agente gneo.

    A fumaa varia de cor conforme o tipo de combusto: branca, indicando que a

    combusto mais completa, com rpido consumo de combustvel e boa quantidade de

    comburente (oxignio); negra, indicando altas temperaturas, porm com deficincia de

    comburente; amarela, roxo ou violeta, indicando a presena de gases altamente txicos.

    A morte em incndio geralmente provocada pela fumaa ou pelo calor. Os

    efeitos fisiolgicos da exposio fumaa e calor resultam em vrios graus de

    incapacitao. Entre estes efeitos tem-se: dificuldade de viso que resulta da opacidade

    da fumaa e dos efeitos irritantes da fumaa e do calor nos olhos; dor e dificuldade de

    respirao ou mesmo ferimentos devido inalao de fumaa irritante ou quente,

    podendo levar ao desmaio devido asfixia; asfixia devido inalao de gases txicos

    como o monxido de carbono (CO) e o cido ciandrico (HCN), resultando em

    convulso e perda de conscincia; dor devido exposio da pele e partes respiratrias,

    seguida de queimaduras, ou hipertermia, que pode levar ao desmaio (Purser, 2002).

  • 9

    Em relao aos riscos, deve-se considerar que importante o tempo em que os

    efeitos incapacitantes so provveis de ocorrer, podendo atrasar ou impedir o escape,

    comparado com o tempo requerido para o escape do local, e ainda que qualquer

    exposio pode resultar em ferimentos ou morte, dependendo do tempo. O tempo de

    evacuao de uma edificao incendiada funo da forma da edificao (altura, rea,

    sadas e outros), da quantidade de pessoas e de sua mobilidade (idade, estado de sade e

    outros). Uma rota de fuga adequada, sinalizada, desobstruda e segura estruturalmente,

    essencial na proteo da vida em um incndio (Vargas e Silva, 2003).

    Os objetivos da segurana contra incndio so minimizar o risco vida e a perda

    patrimonial. De acordo com a IT-CBMMG 02 (2006), o conceito de segurana contra

    incndio definido como o conjunto de aes e recursos internos e externos

    edificao ou rea de risco, que permitem controlar a situao de incndio e pnico e

    remoo das pessoas do local do sinistro em segurana. A tabela 2.2.1 apresenta o

    resumo de alguns fatores e suas influncias na severidade do incndio e segurana da

    vida e do patrimnio.

    Requerimentos de segurana contra incndio para edificaes so ditados por lei e

    tentam refletir os riscos que um incndio pode acarretar aos ocupantes e equipes de

    combate. No Brasil podem-se citar as Leis 684 de 1975 e 14130 de 2001 do Estado de

    So Paulo e Minas Gerais respectivamente (as instrues tcnicas, algumas j citadas,

    do suporte tcnico aos engenheiros e arquitetos para o cumprimento dessas leis) e o

    Building Regulation (2000) no Reino Unido.

    Os requisitos de segurana contra incndio em edificaes incluem meios

    adequados de escape para os ocupantes, meios de deteco e controle do incndio,

    juntamente com os requerimentos de resistncia para a estrutura, os quais so expressos

    por um perodo de tempo (tempo requerido de resistncia ao fogo, TRRF). Todos os

    materiais comumente utilizados nas estruturas das edificaes (concreto e ao, por

    exemplo) perdem resistncia e rigidez quando submetidos a altas temperaturas, da a

    necessidade de verificao da capacidade resistente das estruturas em situao de

    incndio.

  • 10

    Tabela 2.2.1 Fatores e suas influncias na severidade do incndio e segurana da vida e

    do patrimnio (Vargas e Silva, 2005).

    Influncia na Influncia na Influncia na

    severidade do incndio segurana da vida segurana do patrimnio

    Carga de incndioA temperatura mxima de um incndio depende da

    quantidade, tipo e distribuio do material combustvel.

    O nvel de enfumaamento, toxicidade e calor depende da quantidade, tipo e distribuiodo

    material combustvel.

    O contedo da edificao consideravelmente afetado por incndios de grandes propores.

    VentilaoEm geral, o aumento da ventilao faz aumentar a temperatura do incndio e diminuir sua durao.

    A ventilao mantm as rotas de fuga livres de nveis perigosos de enfumaamento e toxicidade.

    A ventilao facilita a atividade de combate ao incndio por evacuao da fumaa e dissipao dos

    gases quentes.

    Compartimentao

    Quanto mais isolantes forem os elementos de compartimentao (pisos, tetos e paredes), menor ser a propagao do fogo para outros ambientes,

    porm, o incndio ser mais severo no compartimento.

    A compartimentao limita a propagao do incndio.

    A compartimentao limita a propagao do incndio, restringindo as perdas.

    Resistncia das estruturas em situao

    de incndio

    A resistncia das estruturas em situao de incndio no afeta diretamente a severidade do incndio.

    A resistncia das estruturas em situao de incndio tem pequeno efeito na segurana vida em edifcios

    de pequena altura ou rea, por serem de fcil desocupao. Em edifcios altos essencial a

    resistncia em situao de incndio, pois garante a segurana ao escape dos ocupantes, s operaes de

    combate e vizinhana.

    O colapso estrutural pode trazer consequncias danosas s operaes de combate ou vizinhana. Se o risco for pequeno, a verificao de resistncia

    pode ser dispensada.

    Rotas de fugaRotas de fuga bem sinalizadas, desobstrudas e

    seguras estruturalmente so essenciais para garantir a evacuao e dependem do tipo de edificao.

    Reserva de gua

    Deteco de calor ou fumaa

    A rpida deteco do incndio, apoiada na eficincia da brigada contra incndio e corpo de bombeiros, reduzem o risco da propagao do

    incndio.

    A rpida deteco do incio do incndio, por meio de alarme, d aos ocupantes rpido aviso da

    ameaa, antecipando a desocupao.

    A rpida deteco do incio de um incndio minimiza o risco de progao, reduzindo a regio

    afetada pelo incndio.

    Chuveiros automticos

    Projeto adequado e manuteno de chuveiros automticos so internacionalmente reconhecidos

    como um dos principais fatores de reduo do risco de incndio, pois contribuem, ao mesmo tempo,

    para a compartimentao, a deteco e a extino.

    Chuveiros automticos limitam a propagao do incndio e reduzem a gerao de fumaa e gases

    txicos.

    Chuveiros automticos reduzem o risco de incndio e seu efeito na perda patrimonial.

    Hidrantes e extintores

    Brigada contra incndio

    A presena de pessoas treinadas para preveno e combate reduz o risco de incio e prograo de um

    incndio.

    Alm de reduzir o risco de incndio, a brigada coordena e agiliza a desocupao da edificao.

    A presena da brigada contra incndio reduz o risco e as consequentes perdas patrimoniais decorrentes

    de um incndio.

    Corpo de BombeirosProximidade, acessibilidade e recursos do Corpo de

    Bombeiros otimizam o combate ao incndio, reduzindo o risco de propagao.

    Em grandes incndios, o risco vida maior nos primeiros instantes. Dessa forma deve haver

    medidas de proteo independentes da presena do Corpo de Bombeiros. Um rpido e eficiente

    combate por parte do Corpo de Bombeiros reduz o risco vida.

    Proximidade, acessibilidade e recursos do Corpo de Bombeiros facilitam as operaes de combate ao

    incndio, reduzindo perdas estruturais e do contedo.

    Projeto de segurana contra incndio

    Fatores

    gua e disponibilidade de pontos de suprimento so necessrios para extino do incndio, diminuindo os riscos de propagao e seus efeitos vida e ao patrimnio.

    Hidrantes, extintores e treinamento dos usurios da edificao, para rpido combate, reduzem o risco de propagao do incndio e seu efeito ao patrimnio e vida humana.

    Um projeto de engenharia de segurana contra incndio deve prever um sistema adequado ao porte e ocupao da edificao, de forma a reduzir o risco de incio e propagao de um incndio, a facilitar a desocupao e as operaes de combate. Dessa forma reduz a severidade do incndio, as perdas de vidas e

    patrimoniais.

    Diferentes tipos de falha causam diferentes nveis de risco a uma edificao. A

    falha de um pilar potencialmente desastrosa, pois pode levar queda de parte da

    estrutura ou uma redistribuio imprevista de carga entre os demais pilares que,

  • 11

    sobrecarregados, podem sofrer colapso progressivo. Por isso no se deve deixar os

    pilares sem adequada resistncia em situao de incndio, pois, as conseqncias da

    falha podem ser extremas. Vigas podem perder resistncia e rigidez experimentando

    grandes deslocamentos, mas, desde que permaneam ligadas nas extremidades, e que as

    lajes sobrepostas no entrem em colapso, os efeitos sero somente locais. necessrio

    avaliar a influncia das vigas na estabilidade dos pilares, principalmente nos de

    extremidade que podem ser puxados ou empurrados devido s deformaes das vigas.

    Se as lajes falham localmente ou apresentam fissuras como resultado de grandes

    deslocamentos, o principal problema que o incndio pode propagar para o pavimento

    superior (a compartimentao do incndio um dos objetivos da engenharia de

    segurana contra incndio). Se as ligaes entre vigas e pilares falham, vrios efeitos

    podem ocorrer e o incndio pode atingir o pavimento superior. Tambm, se as vigas

    falham na ligao, os pisos suportados caem sobre o piso inferior podendo causar um

    colapso progressivo. Outro efeito negativo o aumento do comprimento destravado do

    pilar, reduzindo sua capacidade resistente.

    2.3 CARACTERSTICAS DOS INCNDIOS

    Existindo materiais combustveis e oxignio, o fogo evolui centrifugamente a

    partir do ponto de origem, deixando sinais caractersticos pelos caminhos onde passou.

    As evidncias materiais, com fundamento nos princpios fsico-qumicos que governam

    a propagao do fogo, iro indicar se o desenvolvimento do fogo foi natural ou

    artificial. O fogo se propaga desde o foco aos combustveis por quatro meios:

    conveco, conduo, radiao e contato direto (no confundir meios de propagao do

    fogo com transferncia de calor). A conveco, conduo e radiao so meios de

    transferncia de calor e sempre esto presentes no incndio. O contato direto pode ser

    conseqncia do tamanho das chamas que atingem vrios elementos combustveis ou da

    queda (deslocamento ou projeo) de objetos em combusto provocando outros pontos

    de foco (exemplos so janelas em madeira que podem cair de um edifcio e atingir outro

    menor).

    De acordo com a IT-CBMMG 02 (2006), a compartimentao uma medida de

    proteo passiva, constituda de elementos de construo resistentes ao fogo, destinados

  • 12

    a evitar ou minimizar a propagao do fogo, calor, fumaa e gases, interna ou

    externamente ao edifcio, no mesmo pavimento (compartimentao horizontal) ou para

    pavimentos elevados consecutivos (compartimentao vertical). Na compartimentao

    so utilizados os seguintes elementos de vedao: paredes, entrepisos ou lajes e portas

    corta-fogo; vedadores nas paredes, entrepisos ou lajes; enclausuramento de dutos

    (shafts) e escadas por meio de paredes corta-fogo; selagem corta-fogo nas instalaes

    prediais existentes nas paredes de compartimentao e na altura dos pisos e/ou

    entrepisos e registros corta-fogo nas tubulaes de ventilao e de ar condicionado que

    ultrapassam paredes, lajes ou entrepisos de compartimentao.

    O isolamento de risco tambm visa limitar a propagao do incndio sendo

    definido (IT-CBMMG 02, 2006) como uma caracterstica construtiva na qual se tem a

    separao fsica de uma edificao em relao s circunvizinhas, cuja caracterstica

    bsica a impossibilidade tcnica de uma edificao ser atingida pelo calor irradiado,

    conduzido ou propagado pela conveco de massas gasosas aquecidas, emanadas de

    outra atingida por incndio.

    Deve-se notar que as relaes temperatura-tempo dos gases, definidas em normas,

    e os procedimentos de clculo das estruturas em situao de incndio tm por base o

    comportamento do incndio em compartimentos.

    2.3.1 Descrio Geral e Modelagem do Incndio em Compartimentos

    A intensidade e a durao dos incndios em edificaes podem variar muito.

    possvel estimar o desenvolvimento da temperatura em um incndio em um

    compartimento sob vrias condies, desde que os parmetros envolvidos sejam

    conhecidos. Vrios desses parmetros, como quantidade e rea superficial dos materiais

    combustveis, so imprevisveis, uma vez que variam com o tempo e de um

    compartimento para o outro. Portanto impossvel saber a relao temperatura-tempo

    que um edifcio poder ser exposto durante sua vida til. Porm, possvel, com

    razovel probabilidade, indicar para qualquer compartimento, uma relao temperatura-

    tempo que no ser excedida durante a vida til da edificao. Essas relaes so as

    bases do projeto de segurana contra incndio e facilitam o estudo dos componentes

  • 13

    resistentes da edificao expostos a incndios de vrias intensidades e duraes (Lie,

    2002).

    A curva temperatura-tempo dos gases est associada taxa de calor liberado pela

    combusto que pode ser representada pela figura 2.3.1 (EN 1992-1-2:2004) e est

    diretamente relacionada taxa de combusto por meio do potencial calorfico especfico

    do material em combusto (Babrauskas, 2002).

    O desenvolvimento do incndio em um compartimento, figura 2.3.1, pode ser

    dividido em trs fases: (1) crescimento do incndio; (2) combusto permanente com um

    aumento rpido de temperatura; (3) reduo da temperatura.

    O incndio comea a partir da combusto de um primeiro item dentro do

    compartimento. Durante essa fase, o incndio localizado e a distribuio de

    temperatura no compartimento altamente varivel. O perigo maior o risco de morte

    devido produo de gases quentes e fumaa. Se o incndio rapidamente detectado e

    medidas efetivas de combates so acionadas, ele pode ser facilmente controlado e os

    danos e riscos so mnimos. Se no h interveno, mas o primeiro item em combusto

    est suficientemente distante de outros materiais combustveis, o incndio pode se

    extinguir. O mesmo pode ocorrer caso os materiais tenham dificuldades de combusto.

    Com o desenvolvimento do incndio, se no houver quantidade suficiente de

    oxignio, o incndio pode se extinguir de fato ou apenas aparentemente, neste ltimo

    caso, sendo capaz de crescer novamente caso mais oxignio entre no compartimento.

    Em algumas situaes pode ocorrer uma exploso ambiental chamada backdraft. Para

    respirao humana, o mnimo de oxignio na atmosfera de 16% em volume (a

    concentrao de oxignio na atmosfera de aproximadamente 21%). Para a combusto,

    o mnimo para as chamas de 13%, e 4% o mnimo para as brasas sendo que abaixo

    de 4% no h combusto. Quando a quantidade de oxignio pequena (abaixo de 8%

    em volume) e se tem calor, gases inflamveis continuam a ser liberados no

    compartimento. Esses gases podem se incendiar rapidamente se houver uma entrada

    suficiente de oxignio no ambiente, provocando o backdraft.

    Na engenharia estrutural, assume-se que o incndio se espalha e que h suficiente

    quantidade de oxignio para que ele no se extinga. Durante o crescimento do incndio,

    fase (1) ou pr-flashover, gases quentes e fumaa so liberados a partir da combusto

    dos materiais. Esses gases, figura 2.3.2, se acumulam na parte superior do

  • 14

    compartimento definindo juntamente com as aberturas (janelas e portas) duas zonas:

    uma zona superior de gases quentes e uma zona inferior de ar fresco. A diviso entre as

    zonas superior e inferior denominada plano neutro, acima do qual gases fluem para

    fora do compartimento e abaixo do qual o ar fresco entra no compartimento. Nessa fase,

    em geral o incndio controlado pelo combustvel (quantidade ou facilidade de

    combusto).

    O volume de gases torna-se estvel enquanto ocorre um aumento da radiao e

    temperatura devido contnua combusto, o que leva ignio de todos os materiais

    combustveis no compartimento (a temperatura de ignio da madeira exposta a um

    fluxo de calor mnimo de aproximadamente 250C, segundo Babrauskas, 2002).

    Esse fenmeno, no qual todos os materiais combustveis encontram-se envolvidos pelo

    fogo, conhecido como flashover (inflamao generalizada). O flashover est associado

    principalmente ao fluxo de calor recebido pelos materiais que ainda no entraram em

    combusto (Cadorim, 2003). Esse fluxo, transmitido por conveco e radiao, est

    associado s temperaturas do contorno (paredes e teto) e, portanto, temperatura dos

    gases quentes que formam a zona superior. Cadorim (2003) com base em resultados de

    vrias pesquisas adota para o fluxo o valor de 2m/kW20 e para a temperatura C600 .

    Aps o flashover, tem-se a fase (2) ou ps-flashover, onde a temperatura aumenta

    rapidamente. Nessa fase, a extino do incndio quase sempre impossvel e as equipes

    de combate se concentram em prevenir a propagao para outros compartimentos ou

    edifcios.

    Na fase (2), o incndio entra em um estado estvel de combusto e, portanto, a

    taxa de calor liberado tambm se torna constante (figura 2.3.1). A taxa de combusto

    depende, principalmente, da quantidade de ar que entra no compartimento, ou seja, o

    incndio controlado pela ventilao. Nessa fase, a temperatura alta e os danos

    estrutura, tambm, atingem o mximo. Essa a fase mais relevante para a engenharia

    estrutural. Aps um perodo de combusto, muitos materiais so consumidos e a taxa de

    combusto comea a diminuir. Nesse ponto, cerca de 70% dos materiais foram

    consumidos (esse o ponto em que comea o decrscimo na taxa de calor liberado,

    figura 2.3.1). O incndio entra, ento, na terceira fase, na qual as temperaturas

    diminuem e o incndio se extingue quando todos os materiais combustveis so

    consumidos.

  • 15

    Tempo

    Reduo datemperatura

    Aumento datemperatura

    Tem

    pera

    tura

    dos

    gase

    s

    ~ 600C

    TempoFlashover

    Cal

    or li

    bera

    do

    70% dos combustveis

    consumidos

    Figura 2.3.1 Relao temperatura-tempo de um incndio em um compartimento e taxa

    de calor liberado em um compartimento segundo o EN 1992-1-2:2004.

    Plano Neutro

    Ar Fresco

    (a) (b) (c)

    (d) (e)

    Figura 2.3.2 Comportamento do incndio em um compartimento: (a), (b) e (c) so

    diferentes estgios da fase pr-flashover; (d) e (e) fase ps-flashover.

  • 16

    A modelagem do comportamento de um incndio um processo sofisticado e tem

    atrado a ateno de vrios pesquisadores. Como resultado, muitos modelos tm sido

    desenvolvidos e podem ser divididos em trs grupos: modelos analticos, modelagem

    por zonas e modelagem computacional utilizando dinmica dos fludos (CFD).

    Nos modelos analticos, um grande nmero de ensaios executado nos quais

    diferentes parmetros so avaliados. Anlises de regresso so realizadas estabelecendo

    relaes entre as variveis de sada (taxa de combusto, temperatura dos gases no

    incndio, quantidade de gases quentes) e variveis de entrada como carga de incndio e

    ventilao. Devido complexidade do problema, somente em poucos casos solues

    analticas podem ser encontradas. Exemplos de modelos analticos so as curvas de

    incndio parametrizado e incndio localizado apresentadas pelo EN 1991-1-2:2002.

    Modelos analticos mais simples so as curvas de incndio nominais como a do

    incndio-padro onde o TRRF (tempo requerido de resistncia ao fogo) incorpora as

    diversas variveis do problema de uma maneira subjetiva.

    Na modelagem computacional utilizando dinmica dos fludos (CFD), equaes

    so escritas com base nas equaes fundamentais da dinmica dos fludos,

    termodinmica, mecnica e reaes qumicas que so resolvidas a partir da discretizao

    do compartimento em um grande nmero de volumes de controle, volumes finitos ou

    elementos finitos. Esse modelo mais verstil e conduz a resultados mais apurados e

    detalhados. Um exemplo de programas computacionais que utilizam modelagem CFD

    o SMARTFIRE (http://fseg.gre.ac.uk, acessado em julho de 2008) desenvolvido na

    University of Greenwich. A figura 2.3.3 apresenta a anlise de um compartimento

    incendiado. Caldas et al. (2006) utilizaram o programa para obteno da relao

    temperatura-tempo dos gases em um compartimento para posterior anlise da estrutura,

    demonstrando a possibilidade de economia com a utilizao de mtodos avanados de

    clculo. Pannoni et al. (2005a, b) tambm utilizaram o programa para simular o

    comportamento do incndio em compartimentos.

  • 17

    (a) (b)

    Figura 2.3.3 Modelagem CFD usando o programa SmartFire (http://fseg.gre.ac.uk):

    (a) discretizao do compartimento em volumes de controle, apenas o fechamento do

    compartimento apresentado; (b) escala de temperaturas em K.

    A modelagem por zonas se enquadra como uma aproximao intermediria entre

    os modelos analticos e a modelagem CFD. O incndio dividido em poucas e grandes

    zonas com diferentes caractersticas. Por exemplo, para a fase pr-flashover, o

    compartimento incendiado pode ser dividido em duas zonas: uma zona superior de

    gases quentes e uma zona inferior de ar fresco, figura 2.3.2. Assume-se que cada zona

    possua propriedades uniformes como temperatura e concentrao de gases. Os

    resultados obtidos so menos detalhados do que os da modelagem CFD, todavia, para

    compartimentos de geometria regular, a modelagem por zonas fornece um bom

    entendimento do comportamento do incndio. O programa computacional OZONE,

    desenvolvido por Cadorin (2003), utiliza o conceito de modelagem por zonas e modelos

    analticos para obteno da relao temperatura-tempo dos gases no incndio.

    Devido a incertezas sobre fatores como o local do incio do incndio, as condies

    de ventilao, a aleatoriedade das aberturas e a variedade nas propriedades dos materiais

    que formam o compartimento, necessita-se de uma aproximao probabilstica para

    modelagem dos incndios. Porm, devido falta de informao sobre as vrias

    distribuies probabilsticas e natureza complexa do processo, utilizam-se

    aproximaes determinsticas considerando-se os casos mais desfavorveis.

  • 18

    2.3.2 Incndio Localizado ou Pr-Flashover

    Devido ao alto risco de morte, a maior parte dos estudos em relao dinmica do

    incndio tm sido concentrados na fase pr-flashover, com o objetivo de se obter um

    maior conhecimento da produo e propagao de fumaas e gases quentes. Para a

    engenharia estrutural, a capacidade de modelar o comportamento do incndio na fase

    pr-flashover permite investigar o comportamento estrutural sob incndios localizados

    em edificaes como edifcios-garagem, estdios e aeroportos, onde, devido s grandes

    dimenses, no ocorre o flashover.

    Para modelagem da fase pr-flashover, modelos analticos e a modelagem por

    zonas so os mais utilizados, podendo-se empregar uma combinao de ambos (EN

    1991-1-2:2002).

    O EN 1991-1-2:2002 apresenta um modelo analtico para tratar os incndios

    localizados. Segundo essa norma, quando o flashover no provvel de ocorrer, as

    aes trmicas na estrutura devido a um incndio localizado devem ser avaliadas.

    2.3.3 Incndio Ps-Flashover

    O principal objetivo do estudo da fase ps-flashover obter a relao

    temperatura-tempo que ser utilizada na anlise da estrutura. Essa relao pode ser

    encontrada a partir do balano de energia no compartimento

    grcsinc QQQQQ &&&&& +++= , (2.3.1)

    que indica que a taxa de calor liberado pela combusto dos materiais igual taxa de

    calor perdido pelo incndio. Nessa expresso, incQ& a taxa de calor ganha pelo incndio

    devido combusto dos materiais, sQ& a taxa de calor perdida pela sada de gases

    quentes do compartimento (parte da energia que pode ser liberada como calor tambm

    perdida pela sada de gases e partculas que no sofreram combusto dentro do

    compartimento), cQ& a taxa de calor perdida para os materiais que formam o

    compartimento, como paredes, teto e piso, rQ& a taxa de calor perdida por radiao

    atravs das aberturas no compartimento e gQ& a taxa de calor requerida para aumentar

    a temperatura dos gases.

  • 19

    Os termos da expresso 2.3.1 podem ser determinados a partir de observaes

    experimentais, das quais se obtm expresses empricas, sendo influenciados por fatores

    como tipo e quantidade dos materiais em combusto, materiais que formam o contorno

    do compartimento (paredes, teto e pisos), ventilao e outros.

    A taxa de calor liberado pode ser obtida experimentalmente ou em normas como o

    EN 1992-1-2:2004, figura 2.3.1.

    2.3.3.1 Curvas Paramtricas

    A soluo da expresso 2.3.1 em geral difcil, constituindo tambm um

    problema a falta de informaes sobre as variveis envolvidas. Para procedimentos de

    projeto, relaes temperatura-tempo aproximadas tm sido desenvolvidas.

    Com base nos resultados de Pettersson et al. (1976), o EN 1991-1-2:2002

    apresenta expresses para a avaliao das relaes temperatura-tempo da fase ps-

    flashover, chamadas curvas paramtricas ou incndio parametrizado.

    Como mostrada na figura 2.3.4, a curva paramtrica tem um ramo ascendente,

    usado para descrever a relao durante a elevao de temperatura, e um ramo

    descendente. O ramo ascendente dado por

    ( )*** t19t7,1t2,0g e472,0e204,0e324,01132520 += , (2.3.2) onde o tempo modificado *t relaciona-se com o tempo real t a partir da expresso

    = tt* , (2.3.3)

    sendo o fator funo do fator de ventilao, O, do fator trmico b e da carga de

    incndio (EN 1991-1-2:2002).

    O fator ou grau de ventilao ou fator de abertura,

    t

    eqv

    A

    hAO = , (2.3.4)

    funo da rea das abertura verticais, vA , da altura mdia das aberturas verticais, vh ,

    e da rea total de fechamento (paredes, piso e teto, incluindo as aberturas), tA .

    O fator trmico ou inrcia trmica,

    = cb , (2.3.5)

    funo da massa especfica, , do calor especfico, c , e da condutividade trmica

    dos materiais que formam o contorno do compartimento.

  • 20

    A mxima temperatura dos gases, max,g , na fase de elevao de temperatura,

    figura 2.3.4, definida em funo da carga de incndio e do fator de ventilao.

    Por simplicidade, o ramo descendente dado por uma linha reta, figura 2.3.4.

    Uma vez que o comportamento estrutural pouco afetado pelo ramo descendente, no

    necessrio usar expresses complexas.

    g,max

    Tempo

    Incndio parametrizado

    Temperatura

    Figura 2.3.4 Curva paramtrica segundo o EN 1991-1-2:2002.

    As curvas paramtricas conforme apresentadas pelo EN 1991-1-2:2002 so

    vlidas para compartimentos com rea de piso de at 500 m2, sem aberturas no teto e

    com altura mxima de 4 m. Para compartimentos com maiores reas de piso ou mais

    altos, o efeito da variao da temperatura no compartimento deve ser considerado.

    2.3.3.2 Curvas Nominais, TRRF e Tempo Equivalente

    Em procedimentos prescritivos de projeto e em ensaios padronizados, a

    temperatura calculada segundo a curva do incndio-padro, figura 2.3.5, (EN 1991-1-

    2:2002; ABNT NBR 14432:2000; ISO 834-1:1999)

    ( )18log34520 ++= tg . (2.3.6)

    A expresso 2.3.6 utilizada para incndios base de materiais celulsicos. Para

    incndios devido combusto de materiais formados por hidrocarbonetos, a relao

    temperatura-tempo (EN 1991-1-2:2002)

    ( )ttg ee 5,2167,0 675,0325,01108020 += (2.3.7) deve ser utilizada.

  • 21

    Para estruturas externas, localizadas fora do compartimento incendiado, mas que,

    sofrem a ao do incndio atravs de aberturas, o EN 1991-1-2:2002 apresenta a

    expresso

    ( )ttg ee 8,332,0 313,0687,0166020 += . (2.3.8) Nas expresses anteriores, g a temperatura dos gases em graus Celsius e t o tempo

    em minutos.

    0

    100

    200

    300

    400

    500

    600

    700

    800

    900

    1000

    1100

    1200

    0 15 30 45 60 75 90 105 120

    Tempo (min)

    Tem

    pera

    tura

    (C

    )

    Incndio-padro (materiais celulsicos)Incndio base de materiais hidrocarbonetosIncndio externo

    Figura 2.3.5 Curvas nominais (EN 1991-1-2:2002).

    Observa-se que as curvas nominais, figura 2.3.5, apresentam um crescimento

    constante da temperatura, diferentemente do que ocorre em um incndio real, figura

    2.3.1. Segundo Wang (2002), para dar alguma realidade exposio ao incndio-

    padro, um tempo limite de exposio especificado, sendo denominado tempo

    requerido de resistncia ao fogo, TRRF. Em procedimentos prescritivos de projeto, a

    especificao do TRRF tem por base critrios gerais como o tipo e altura da edificao

    que esto associados carga de incndio e s conseqncias da exposio a altas

    temperaturas. Nota-se que apesar da considerao de critrios gerais como a carga de

    incndio e as conseqncias da exposio a altas temperaturas, fatores importantes,

    como a ventilao e as propriedades dos materiais que compem o compartimento, no

    so considerados. A tabela 2.3.1 apresenta alguns exemplos de TRRF.

    Segundo Vargas e Silva (2003), o tempo requerido de resistncia ao fogo, TRRF,

    um tempo mnimo de resistncia ao fogo de um elemento construtivo, quando sujeito

    ao incndio-padro. A resistncia ao fogo a propriedade de um elemento estrutural

  • 22

    resistir ao do fogo por determinado perodo de tempo, mantendo sua segurana

    estrutural, estanqueidade e isolamento, onde aplicvel.

    Tabela 2.3.1 Tempos requeridos de resistncia ao fogo, TRRF, em minuto

    (ABNT NBR 14432:1999).

    h 6m 6 < h 12m 12 < h 23m 23 < h 30m h > 30mResidencial 30 30 60 90 120

    Hotel 30 60 60 90 120Supermercado 60 60 60 90 120

    Escritrio 30 60 60 90 120Escola 30 30 60 90 120

    Shopping 60 60 60 90 120Hospital 30 60 60 90 120

    Ocupao/usoAltura da edificao

    O TRRF varia de uma especificao (norma, lei ou regulamentao) para outra,

    sendo fruto do consenso da sociedade, no significando a durao do incndio ou o

    tempo de evacuao dos ocupantes do edifcio ou o tempo de chegada do corpo de

    bombeiros.

    Apesar das limitaes, a utilizao do incndio-padro tem muitas vantagens em

    relao s condies reais de exposio ao incndio:

    - o conceito de TRRF tem uma longa histria e est bem relacionado com a segurana

    em incndio, apresentando resultados seguros na utilizao em projetos;

    - tem-se um grande conhecimento obtido a partir de ensaios utilizando a relao

    temperatura-tempo do incndio-padro, porm pouco se tem para outras relaes

    temperatura-tempo;

    - a curva do incndio-padro tem somente uma relao temperatura-tempo, sendo de

    fcil utilizao em projetos.

    Por causa dessas vantagens, tentativas tm sido feitas para correlacionar incndios

    naturais ao incndio-padro por meio do uso do conceito de tempo equivalente, que vem

    a ser o tempo de exposio do elemento construtivo ao incndio-padro que conduz ao

    mesmo efeito da exposio do elemento ao incndio natural. necessrio selecionar o

    efeito apropriado. Usando a temperatura como exemplo, o conceito de tempo

    equivalente ilustrado na figura 2.3.6.

  • 23

    Tempo

    Tem

    pera

    tura

    Tempo Equivalente

    Incndio natural

    Incndio-padro

    Temperatura no

    elemento exposto ao

    incndio padro

    Temperatura no

    elemento exposto ao

    incndio natural

    max

    Figura 2.3.6 Conceito do tempo equivalente.

    Durante muitos anos vrias relaes para o tempo equivalente tm sido

    desenvolvidas. O EN 1991-1-2:2002 apresenta um procedimento para obteno do

    tempo equivalente, no qual se baseiam as IT-CBMESP 08 (2006) e IT-CBMMG 06

    (2006).

    2.4 ENSAIOS EXPERIMENTAIS E O COMPORTAMENTO DE

    ESTRUTURAS MISTAS EM SITUAO DE INCNDIO

    Ensaios experimentais so importantes para o conhecimento do comportamento e

    avaliao de procedimentos de verificao de estruturas em situao de incndio. A

    realizao de ensaios experimentais com o objetivo direto de se estudar solues de

    projeto no comum e, em geral, os ensaios tm o objetivo de fornecer bases para

    estudos mais detalhados.

    Nos ensaios, usualmente, carrega-se a estrutura e em seguida tem-se a exposio

    ao incndio com o carregamento mantido constante. O ensaio termina quando a

    estrutura atinge algum critrio de falha.

    Com o objetivo de se ter uma qualificao relativa e se graduar o comportamento

    entre diferentes estruturas, a temperatura nos fornos elevada segundo a curva do

    incndio-padro, expresso 2.3.6. Todavia, o incndio-padro pode no ser apropriado

    para o entendimento do comportamento real de uma estrutura em situao de incndio.

  • 24

    A falha da estrutura determinada pela capacidade resistente, isolamento e

    integridade. O isolamento est associado com o impedimento do aumento excessivo da

    temperatura em superfcies do elemento no expostas ao incndio. A integridade est

    associada no propagao do incndio atravs de rachaduras no elemento ensaiado. A

    falha por perda de capacidade resistente pode tambm ser determinada por

    deslocamentos excessivos.

    Os ensaios podem ser de vrios nveis, variando desde ensaios simples onde um

    pedao de perfil colocado em um pequeno forno para obteno do seu aquecimento,

    at ensaios mais sofisticados de elementos estruturais como vigas e pilares. No ltimo

    nvel de sofisticao tm-se os ensaios em prticos ou edifcios reais.

    Devido ao alto custo de ensaios em grande escala em edifcios reais, somente

    elementos individuais so testados em incndio, levando a um comportamento muitas

    vezes diferente do real. Incndios acidentais podem dar indcios do comportamento

    estrutural em situao de incndio, porm, impossvel reconstruir o cenrio completo,

    incluindo o desenvolvimento da temperatura e propagao do incndio. Todavia,

    incndios bem documentados do uma viso geral e otimista da resistncia de estruturas

    mistas de ao e concreto. Burgess (2005) cita exemplos significativos de incndios

    acidentais ocorridos nos edifcios One Meridian Plaza, na Philadelphia, e Broadgate

    Phase 8, em Londres. Apesar dos danos causados pelo incndio, os edifcios no

    sofreram colapso. O One Meridian Plaza tinha proteo contra incndio nas estruturas e

    o Broadgate Phase 8 ainda no estava protegido.

    A partir de incndios acidentais notou-se que as estruturas mistas poderiam ser

    muito mais resistentes do que os mtodos de clculo sugeriam, e um grande projeto

    experimental foi desenvolvido pela Britain British Steel em meados dos anos 90. Um

    edifcio de 8 pavimentos, tpico de um prdio moderno de escritrios foi construdo

    dentro de um grande galpo em Cardington, Reino Unido. O edifcio foi projetado por

    engenheiros, sem qualquer influncia de pesquisadores, segundo a norma BS 5950

    (1990) e as prescries do Eurocode. As lajes mistas concretadas no local trabalhavam

    em conjunto com as vigas de ao, formando vigas mistas. A estrutura era contraventada

    e as ligaes projetadas para resistir somente cargas verticais. Todos os pisos foram

    carregados com sacos de areia com carga semelhante s dos escritrios no Reino Unido.

    Seis testes em situao de incndio foram realizados no edifcio com medio das

  • 25

    temperaturas, deslocamentos e deformaes durante e aps os incndios (Lawson, 2001;

    Wang, 1995, 2000a,b e Wang e Davies, 2003). O maior teste compreendeu uma rea de

    380m. Os pilares foram cobertos com proteo tipo caixa por causa das conseqncias

    severas da falha de um pilar, porm, todas as vigas internas, foram deixadas sem

    proteo.

    Figura 2.4.1 Edifcio com elementos estruturais de ao e mistos ensaiado em

    Cardington, UK (Lawson, 2001).

    Apesar das temperaturas nos ensaios (acima de 800 C) serem bem maiores do

    que a temperatura crtica dada por mtodos de clculos usuais, e os deslocamentos dos

    pisos serem grandes, no houve falha em nenhum dos testes.

    Desde o fim dos testes em 1996, estudos vm sendo realizados com o objetivo de

    entender as complexas interaes que ocorrem durante um incndio em um edifcio,

    produzindo modelos numricos capazes de predizer o desempenho de projetos futuros.

    Dois pontos importantes contribuem para que o comportamento de estruturas

    mistas em situao de incndio seja melhor do que o prescrito nos mtodos

    simplificados de clculo (Burgess, 2005): as condies reais de incndio ao qual a

    estrutura est submetida e o comportamento da estrutura como um todo. O nico

    caminho de se prever como um edifcio contnuo se comporta em incndio atravs de

  • 26

    modelos numricos que incluam as mudanas no comportamento do material para altas

    temperaturas, as distribuies de temperaturas nas partes da estrutura e a habilidade para

    trabalhar adequadamente em grandes deslocamentos. Quando os projetistas utilizam

    mtodos semelhantes, eles conseguem uma viso mais realstica de como a estrutura se

    comporta.

    Os ensaios de Cardington mostraram que o bom comportamento estrutural de

    pisos mistos de ao e concreto em situao de incndio est relacionado principalmente

    degradao da relao tenso-deformao do concreto e do ao e s deformaes

    trmicas que levam a um comportamento de membrana. Com o aumento da

    temperatura, o piso mostrado na figura 2.4.2, passa pelas seguintes fases: (1)

    inicialmente as vigas expostas ao incndio aquecem rapidamente, com pequena reduo

    de resistncia e rigidez; (2) a laje de concreto aquece mais lentamente, causando um

    encurvamento na direo da fonte de calor; (3) com a reduo da resistncia do ao, a

    laje mista, pelo efeito de membrana, pode suportar parte ou todo o carregamento antes

    resistido pelas vigas mistas, principalmente no caso de lajes mistas construdas com

    malhas de ao devidamente projetadas (figura 2.4.2). O comportamento de membrana

    ocorre em lajes mistas ou de concreto armado. Em lajes de concreto, esse

    comportamento no explorado, pois, devido aos grandes deslocamentos, rachaduras

    ocorrem levando perda de estanqueidade, problema que no ocorre em lajes mistas

    devido presena da forma de ao (steel deck).

    Laje mista

    Viga principal

    Vig

    a se

    cund

    ria

    Vig

    a se

    cund

    ria

    Figura 2.4.2 Piso misto tpico: caminho das cargas para a estrutura em temperatura

    ambiente.

  • 27

    O comportamento de membrana se desenvolve desde que a laje seja bem

    suportada verticalmente ao longo de linhas que dividem o piso em reas

    aproximadamente quadradas (as vigas no contorno dessa rea, em geral, so protegidas

    para garantir a resistncia em situao de incndio). A dupla curvatura e os grandes

    deslocamentos sofridos pela laje levam a um comportamento de membrana tracionada

    em sua regio central enquanto que na parte perifrica tem-se a formao de um anel de

    compresso, figura 2.4.3. Esse mecanismo alto-equilibrado e capaz de suportar o

    carregamento ou parte do carregamento que atua no piso.

    Viga protegida

    Vig

    a pr

    oteg

    ida

    Regiotracionada

    Regio comprimida

    Viga protegida

    Vig

    a pr

    oteg

    ida

    Vig

    a de

    spro

    tegi

    da

    Figura 2.4.3 Piso misto tpico: comportamento de membrana para grandes

    deslocamentos.

    Se a laje efetiva em apenas uma direo, onde, por exemplo, a rea suportada

    no aproximadamente quadrada, ento a laje trabalha, em situao de incndio, com

    curvatura simples. Ocorre ento, um comportamento de catenria, distinto do

    comportamento de membrana por no ser auto-equilibrado, necessitando de ancoragem

    horizontal nos suportes. Nesse caso, a falha pode ocorrer devido trao na laje ou nos

    elementos suportes. As ligaes entre as vigas na direo de trao e seus pilares

    suporte podem falhar, levando queda do piso e perda de conteno lateral do pilar.

    Nas extremidades do edifcio, a rigidez horizontal para ancorar a trao da catenria

    dada principalmente pela rigidez dos pilares no pavimento afetado e no pavimento

  • 28

    superior. Se os pilares so aquecidos significantemente, sua rigidez reduzida e podem

    flambar para o interior do edifcio, puxados pelas lajes. Portanto, ao utilizar a ao da

    catenria necessrio observar seus efeitos at um suporte adequado.

    Viga protegida

    Regio tracionada

    Viga protegida

    Vig

    a pr

    oteg

    ida

    Vig

    a pr

    oteg

    ida

    Figura 2.4.4 Piso misto tpico: comportamento de catenria para grandes deslocamentos.

    Durante um incndio, grandes deslocamentos da estrutura so aceitveis desde

    que o incndio fique confinado ao compartimento de origem. Durante os anos 60

    significantes pesquisas experimentais e tericas foram realizadas sobre o

    comportamento de membrana em lajes de concreto sujeitas a grandes deslocamentos.

    Esse comportamento faz com que as lajes suportem cargas bem superiores s calculadas

    considerando apenas o comportamento flexo. Um mtodo simplificado de clculo,

    considerando o comportamento de membrana, foi desenvolvido inicialmente por Bailey

    (2001) para lajes mistas em grandes deslocamentos e sujeitas a temperaturas elevadas.

    Usando o comportamento de membrana, possvel projetar estruturas onde vrias vigas

    podem ficar sem proteo durante um incndio. Inicialmente, considerando somente a

    resistncia flexo, todas as vigas de um piso eram protegidas.

  • 29

    2.5 PROJETO DE ESTRUTURAS EM SITUAO DE INCNDIO

    Os componentes de uma edificao so projetados para satisfazer requisitos de

    utilizao e segurana. Um dos requerimentos de segurana a adequada resistncia em

    situao de incndio, pois, quando outras medidas de proteo contra incndio falham, a

    integridade estrutural a ltima defesa (Kodur e Harmathy, 2002).

    Os procedimentos de projeto em situao de incndio devem levar em conta

    parmetros como o comportamento da estrutura em temperatura elevada, a exposio ao

    calor e os benefcios dos meios de proteo ativa e passiva, juntamente com as

    incertezas associadas e a importncia da estrutura. No momento, possvel determinar

    de forma adequada o desempenho de uma estrutura ou de seus componentes em um

    incndio real (simulado a partir de modelos analticos, zonas ou CFD), incorporando os

    parmetros citados. Esses procedimentos so chamados de aproximaes com base em

    desempenho. Nos procedimentos que tm por base um incndio nominal (incndio-

    padro) com perodos de resistncia ao incndio definidos, os parmetros citados so

    considerados implicitamente, e recebem o nome de aproximaes prescritivas (figura

    2.5.1).

    Conforme apresentado na figura 2.5.1, a verificao em situao de incndio se

    baseia em mtodos tabulares, modelos simplificados e avanados de clculo. Ensaios

    experimentais tambm so permitidos.

    O caminho usual para satisfazer os requerimentos de resistncia em situao de

    incndio para estruturas de ao simplesmente revestir o ao com um material isolante.

    Os materiais isolantes so constitudos por alvenaria, concreto normal ou leve,

    argamassa base de cimento, fibras minerais, resinas acrlicas, vermiculita ou gesso,

    mantas de fibras cermicas ou de l de rocha, tintas intumescentes e outros. No caso de

    materiais industrializados, a espessura especificada pelos fabricantes, e tem como

    objetivo manter a temperatura do ao abaixo de uma temperatura crtica (usualmente

    entre 550 C e 650 C) dentro do tempo requerido de resistncia ao fogo (TRRF),

    independente do nvel de carregamento. A temperatura crtica definida com base na

    reduo da resistncia do ao at que a reserva de resistncia seja esgotada. A reserva

    de resistncia dada pela diferena entre os coeficientes de ponderao da resistncia e

    das aes temperatura ambiente e elevada. Nessa definio, considera-se que os

  • 30

    elementos estejam totalmente carregados temperatura ambiente. Mtodos mais

    racionais relacionam a temperatura crtica ao nvel de carregamento.

    O mtodo tabular tem por base observaes experimentais e resultados de anlises

    numricas a partir dos quais so construdas tabelas, bacos ou cartas de cobertura. Em

    geral, nesse mtodo, a partir das caractersticas do elemento estrutural como dimenses,

    propriedades dos materiais e solicitaes, obtm-se diretamente o tempo de exposio

    ao incndio (EN 1994-1-2:2005; EN 1992-1-2:2004; ABNT NBR 143231999; ABNT

    NBR 15200:2004).

    Os modelos simplificados de verificao temperatura elevada seguem os

    mesmos princpios de verificao temperatura ambiente modificando-se as

    propriedades mecnicas dos materiais de acordo com a temperatura. Esses

    procedimentos de projeto so adotados em normas como o ANSI/AISC 360-05, o EN

    1994-1-2:2005 e a ABNT NBR 14323:1999.

    Procedimentos de projeto

    Prescritivos

    Anlise de umelemento

    Anlise de parte daestrutura

    Anlise da estruturainteira

    Anlise de umelemento

    Anlise de parte daestrutura

    Anlise da estruturainteira

    Determinao dasaes mecnicas e

    condies decontorno

    Determinao dasaes mecnicas e

    condies decontorno

    Seleo das aoesmecnicas

    Determinao dasaes mecnicas e

    condies decontorno

    Determinao dasaoes mecnicas e

    condies decontorno

    Seleo das aoesmecnicas

    Mtodo tabularModelos

    simplificados declculo

    Modelos avanadosde clculo

    Modelossimplificados de

    clculo

    Modelos avanadosde clculo

    Modelos avanadosde clculo

    Com base em desempenho

    Seleo de modelos simples ouavanados de desenvolvimento

    do incndio

    Modelossimplificados de

    calculo

    Modelos avanadosde clculo

    Modelos avanadosde clculo

    Modelos avanadosde clculo

    Figura 2.5.1 Procedimentos de projeto (EN 1994-1-2:2005).

  • 31

    Segundo o EN 1994-1-2:2005, onde o mtodo tabular ou modelos simplificados

    no so aplicveis, necessrio usar um mtodo com base em anlise avanada ou um

    mtodo com base em ensaios experimentais.

    Modelos avanados de clculo, em geral, tm por base modelos numricos para

    soluo do problema e so fundamentados no comportamento da estrutura em situao

    de incndio. Modelos de anlise trmica devem ter por base os fundamentos da

    transferncia de calor. Para anlise mecnica os modelos devem seguir os princpios da

    anlise estrutural levando em conta os efeitos da temperatura.

    A interao entre os elementos estruturais ainda um ponto pouco abordado nas

    normas de projeto de estruturas em situao de incndio, e em geral, apenas so

    apresentadas as diretrizes que devem ser seguidas para realizao de anlises numricas

    (modelos avanados de clculo). Tal fato pode ser constatado ao se observar o enfoque

    dado pelas normas ao estado limite ltimo de elementos individuais que formam a

    estrutura. No que se refere s estruturas mistas, o comportamento de membrana um

    exemplo do comportamento estrutural como um todo, que no abordado nas normas.

    Para estruturas de concreto, Bailey (2002) comenta que os procedimentos

    correntes de projeto tm por base, principalmente, a verificao de elementos estruturais

    a partir de tabelas e modelos analticos derivados de ensaios experimentais. Considera-

    se que a resistncia da estrutura completa ser no mnimo igual resistncia dos

    elementos individuais. Porm, o comportamento de estruturas completas

    significantemente diferente do comportamento de elementos isolados, com a ocorrncia

    de efeitos favorveis e desfavorveis. Segundo Bailey (2002), em alguns casos, ao

    ignorar o verdadeiro comportamento da estrutura, efeitos desfavorveis, os quais no

    so destacados por procedimentos de verificao ou ensaios de elementos isolados,

    podem levar ao colapso prematuro da estrutura. Uma diferena bvia entre o

    comportamento de uma estrutura completa e de um elemento isolado que a estrutura

    utiliza vrios caminhos de resistncia das cargas que no podem ser identificados a

    partir de ensaios de elementos. Por exemplo, a restrio de uma laje expanso trmica,

    causada pela parte no aquecida que contorna um compartimento incendiado, pode

    induzir altas tenses de compresso na laje aquecida, o que pode ser benfico por levar

    a um comportamento de membrana comprimida, suportando o carregamento atuante.

    Porm, essas foras de compresso podem aumentar a possibilidade de spalling. Outra

  • 32

    forma de comportamento da estrutura completa, que pode levar a um colapso

    prematuro, resulta da falta de resistncia ou acomodao dos movimentos laterais

    causados pela expanso trmica da laje (figura 2.5.2). Essas formas de comportamento,

    no previstas em normas correntes, tm sido recentemente destacadas como a razo de

    colapsos em estruturas de concreto em situao de incndio (Bailey, 2002).

    Figura 2.5.2 Deslocamento lateral das colunas externas observado em um ensaio de uma

    estrutura de concreto em Cardington, UK (Bailey, 2002).

    Segundo Burgess (2005), o nico caminho de se prever como uma estrutura

    completa se comporta em incndio por meio de modelos numricos que incluam as

    mudanas no comportamento do material para altas temperaturas, as distribuies de

    temperaturas nas partes da estrutura e a habilidade para trabalhar adequadamente em

    grandes deslocamentos. Quando projetistas tm conhecimentos para utilizar

    semelhantes mtodos, eles tm uma viso mais realstica de como a estrutura se

    comporta.

  • 33

    2.6 COMPORTAMENTO DOS MATERIAIS TEMPERATURA ELEVADA

    O desempenho de um elemento estrutural depende das propriedades de seus

    materiais constituintes. O conhecimento das propriedades temperatura elevada e a

    distribuio de temperatura, permite, a partir de mtodos da mecnica estrutural, prever

    o comportamento dos elementos estruturais em situao de incndio.

    Com relao ao comportamento em situao de incndio, os materiais

    construtivos podem ser divididos em materiais resistentes (ao e concreto), isolantes

    (concreto, tijolo, gesso e materiais isolantes de proteo contra incndio) e combustveis

    (madeira, revestimentos e forros). Alguns materiais, como o concreto, so resistentes e

    isolantes, outros so resistentes e combustveis, como a madeira.

    As propriedades que determinam o comportamento estrutural dos elementos

    temperatura elevada so resistncia, rigidez, deformao trmica e fluncia dos

    materiais componentes (Kodur e Harmathy, 2002).

    As deformaes de fluncia so definidas como deformaes dependentes do

    tempo. Para altas tenses e temperatura elevada, a taxa de deformao devido

    fluncia substancial. Portanto, os principais fatores que influenciam a fluncia so a

    temperatura, o nvel de tenso e sua durao. Para o concreto, os modelos de

    Thelandersson e Schneider (Purkis, 2006) podem ser utilizados para clculo das

    deformaes em situao de incndio. Kodur e Harmathy (2002) apresentam maiores

    informaes sobre a fluncia nos aos. Os modelos apresentados para o ao e concreto,

    pelo Eurocode, incluem implicitamente o efeito da fluncia.

    As propriedades que influenciam a distribuio e o aumento da temperatura em

    um elemento so a condutividade trmica, o calor especfico e a massa especfica, que

    dependem da composio dos materiais constituintes.

    Alm das propriedades citadas, o spalling do concreto e a carbonizao da

    madeira influenciam o comportamento dos respectivos materiais temperatura elevada.

    O ao um material resistente e pode ser laminado a quente ou trabalhado a frio,

    sendo uma liga de ferro e carbono (at 0,29% de carbono), possuindo outros elementos

    como o silcio, mangans, fsforo e enxofre.

    Concreto um material resistente e isolante formado pela pasta de cimento

    hidratada e agregados (brita e areia). A pasta de cimento hidratada compe de 20 a 40%

  • 34

    do volume. Portanto, as propriedades do concreto variam grandemente com os

    agregados utilizados, em geral, silicosos ou calcrios. Tradicionalmente, a resistncia

    compresso do concreto fica entre 20 e 50 MPa . Recentemente, concretos com

    resistncia compresso entre 50 e 100 MPa vm sendo utilizados e so referenciados

    como concretos de alto desempenho ou alta resistncia. Dependendo da densidade, eles

    so tratados como concretos de densidade normal para densidades em torno de

    2400 3m/kg e concretos de baixa densidade, entre 1600 e 2000 3m/kg (ABNT NBR

    14323:1999).

    Em alguns casos, fibras de ao ou polipropileno so misturadas ao concreto com o

    objetivo de melhorar o seu comportamento. As fibras de polipropileno minimizam o

    spalling (Han et al., 2005; Fletcher et al., 2007), e as fibras de ao melhoram o

    comportamento dos concretos sem armaduras (concreto simples) temperatura

    ambiente e elevada (Kodur, 1998, 2006).

    Materiais de proteo contra incndio, em geral, so isolantes que ajudam a

    retardar a elevao da temperatura em um elemento estrutural, aumentando a resistncia

    em situao de incndio.

    Os materiais resistentes como ao, concreto e madeira sofrem reduo da

    resistncia e rigidez com a elevao da temperatura. Alm da degradao dessas

    propriedades, o concreto pode perder parte da seo transversal devido ao spalling e a

    madeira perde parte de sua seo devido carbonizao. As alteraes nas propriedades

    termomecnicas so devido mudanas fsicas, qumicas e modificaes na

    microestrutura dos materiais.

    O concreto perde resistncia e rigidez devido fissurao interna e mudanas

    qumicas, alm de sofrer uma srie de mudanas de colorao, especialmente se os

    agregados so silicosos. As mudanas de colorao podem indicar as perdas de

    resistncia e rigidez, tabela 2.6.1 (Cnovas, 1988).

  • 35

    Tabela 2.6.1 Influncia da temperatura na colorao do concreto.

    c(C)20 cinza200 cinza300 rosa400 rosa500 rosa600 vermelho900 cinza avermelhado

    1000 amarelo alaranjado

    Cor

    Aps o aquecimento o concreto no recupera sua resistncia inicial ao resfriar,

    diferentemente do ao. Segundo Cnovas (1988), se a temperatura atingida pelo

    concreto no ultrapassa os 500C, este pode sofrer uma hidratao posterior que pode

    levar recuperao de at 90% de sua resistncia.

    2.6.1 Propriedades Termomecnicas do Ao Segundo o Eurocode

    A tabela 2.6.2 e a figura 2.6.2 apresentam os fatores de reduo temperatura

    elevada, relativos aos valores a 20C, para a resistncia ao escoamento, o limite de

    proporcionalidade e o mdulo de elasticidade dos aos laminados, respectivamente,

    y

    ,y,y f

    fk = ,

    y

    ,p,p f

    fk = e E

    Ek ,E

    = (2.6.1)

    onde ,yf a resistncia ao escoamento dos aos laminados a uma temperatura a e yf

    a resistncia ao escoamento do ao a 20C, ,pf o limite de proporcionalidade a uma

    temperatura a , E o mdulo de elasticidade a uma temperatura a e E o mdulo

    de elasticidade a 20C.

    Para taxas de aquecimento entre 2 e 50 C/min, a relao tenso-deformao do

    ao em temperatura elevada dada pelas expresses apresentadas na figura 2.6.1.

  • 36

    fy,

    p,f

    p, y, t,

    E a, = tan

    u,

    Deformao Tenso Mdulo de Elasticidade

    ,p ,aE ,aE

    ,y,p ( ) ( )[ ] 5,02,y2,p aa/bcf + ( )( )[ ] 5,02,y2

    ,y

    aa

    b

    ,t,y ,yf 0

    ,u,t ( ) ( )[ ] 5,0,t,u,t,y /1f -

    = ,u 0 -

    Parmetros = ,a,p,p E/f 02,0,y = 15,0,t = 20,0,u =

    Funes

    ( )( ) += ,a,p,y,p,y2 E/ca

    ( ) 2,a,p,y2 cEcb +=

    ( )( ) ( )

    =

    ,p,y,a,p,y

    2,p,y

    ff2E

    ffc

    Figura 2.6.1 Relao tenso-deformao do ao em temperaturas elevadas

    (EN 1993-1-2:2005).

  • 37

    Tabela 2.6.2 Valores dos parmetros do modelo matemtico apresentado na figura 2.6.1

    (EN 1993-1-2:2005).

    Fator de reduo para

    a resistncia ao

    escoamento

    Fator de reduo para

    o limite de

    proporcionalidade

    Fator de reduo para

    a inclinao do trecho

    elstico linear

    (C) fy,/fy kp, = fp,/fy kE, = Ea,/Ea20 1,000 1,000 1,000100 1,000 1,000 1,000200 1,000 0,807 0,900300 1,000 0,613 0,800400 1,000 0,420 0,700500 0,780 0,360 0,600600 0,470 0,180 0,310700 0,230 0,075 0,130800 0,110 0,050 0,090900 0,060 0,0375 0,0675

    1000 0,040 0,0250 0,04501100 0,020 0,0125 0,02251200 0,000 0,0000 0,0000

    Nota: para valores intermedirios de temperatura, pode-se usar interpolao linear.

    0,0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1,0

    0 200 400 600 800 1000 1200

    Temperatura (C)

    Fat

    or d

    e R

    edu

    o

    Escoamento

    Proporcionalidade

    Inclinao trecho linear

    Figura 2.6.2 Fatores de reduo da relao tenso-deformao dos aos laminados. (EN 1993-1-2:2005).

    A partir da tabela 2.6.2 nota-se que os fatores de reduo do mdulo de

    elasticidade inicial e da resistncia ao escoamento tm os mesmos valores dos fatores de

    reduo apresentados pela ABNT NBR 14323:1999 para os aos laminados.

    No caso das aes trmicas determinadas segundo o EN 1991-1-2:2002,

    utilizando modelos de incndio naturais, durante o decrscimo de temperatura, os

    valores especificados na tabela 2.6.2 para a relao tenso-deformao do ao podem

    ser utilizados.

  • 38

    Segundo o EN 1992-1-2:2004 e EN 1994-1-2:2005, para o ao das armaduras, as

    mesmas consideraes anteriores podem ser adotadas caso o ao seja laminado. No caso

    dos aos trabalhados a frio pode-se utilizar o mesmo modelo apresentado na figura 2.6.1

    adotando-se os fatores de reduo apresentados na tabela 2.6.3.

    Tabela 2.6.3 Fatores de reduo da relao tenso-deformao dos aos trabalhados a

    frio.

    s

    Fator de reduo para

    a resistncia ao

    escoamento

    Fator de reduo para

    o limite de

    proporcionalidade

    Fator de reduo para

    a inclinao do trecho

    elstico linear

    (C) ky, = fy,/fy kp, = fp,/fy kE, = Es,/Es20 1,00 1,00 1,00100 1,00 0,96 1,00200 1,00 0,92 0,87300 1,00 0,81 0,72400 0,94 0,63 0,56500 0,67 0,44 0,40600 0,40 0,26 0,24700 0,12 0,08 0,08800 0,11 0,06 0,06900 0,08 0,05 0,05

    1000 0,05 0,03 0,031100 0,03 0,02 0,021200 0,00 0,00 0,00

    Nota: para valores intermedirios de temperatura, pode-se usar interpolao linear.

    A massa especfica do ao, a , pode ser considerada independente da temperatura

    e igual a 7850 kg/m3.

    O alongamento do ao, figura 2.6.3, dado por

    42a

    8a

    5aa 10416,2104,0102,1/

    += ll , para C750C20 a ,

    2aa 101,1/

    = ll , para C860C750 a

  • 39

    0,000

    0,002

    0,004

    0,006

    0,008

    0,010

    0,012

    0,014

    0,016

    0,018

    0,020

    0 200 400 600 800 1000 1200

    Temperatura (C)

    Alo

    ngam

    ento

    do

    Ao

    .

    Figura 2.6.3 Alongamento do ao em funo da temperatura (EN 1993-1-2:2005).

    O calor especfico do ao, figura 2.6.4, em J/kgC, pode ser considerado,

    3a

    62a

    3a

    1a 1022,21069,11073,7425c ++=

    , para C600C20 a

  • 40

    a2

    a 1033,354 = , para C800C20 a

  • 41

    onde, ,cf a resistncia caracterstica compresso do concreto a uma temperatura c

    e cf a resistncia compresso do concreto a 20C. Na tabela 2.6.4, os parmetros

    apresentados so para concretos silicosos ou calcrios (no mnimo 80% em peso de

    agregado calcrio).

    Tabela 2.6.4 Valores dos principais parmetros da relao tenso-deformao dos

    concreto com agregados silicosos ou calcrios temperatura elevada

    (EN 1992-1-2:2004).

    c

    (C) fc,/fc c1, cu1, fc,/fc c1, cu1,20 1,00 0,0025 0,0200 1,00 0,0025 0,0200

    100 1,00 0,0040 0,0225 1,00 0,0040 0,0023200 0,95 0,0055 0,0250 0,97 0,0055 0,0250300 0,85 0,0070 0,0275 0,91 0,0070 0,0275400 0,75 0,0100 0,0300 0,85 0,0100 0,0300500 0,60 0,0150 0,0325 0,74 0,0150 0,0325600 0,45 0,0250 0,0350 0,60 0,0250 0,0350700 0,30 0,0250 0,0375 0,43 0,0250 0,0375800 0,15 0,0250 0,0400 0,27 0,0250 0,0400900 0,08 0,0250 0,0425 0,15 0,0250 0,0425

    1000 0,04 0,0250 0,0450 0,06 0,0250 0,04501100 0,01 0,0250 0,0475 0,02 0,0250 0,04751200 0,00 - - 0,00 - -

    Nota: para valores intermedirios de temperatura, pode-se usar interpolao linear.

    Agregados silicosos Agregados calcrios

    A figura 2.6.6 e a tabela 2.6.4 apresentam a relao tenso-deformao aplicvel

    para taxas de aquecimento entre 2 e 50C/min, uma vez que os efeitos da fluncia no

    so considerados explicitamente.

  • 42

    fc,

    c1, cu1,

    Deformao Tenso

    ,1c

    +

    3

    ,1c,1c

    ,c

    2

    f3

  • 43

    A massa especfica do concreto influenciada pela perda de gua com a elevao

    da temperatura, podendo se considerar

    c,c = , para C115C20 c ,

    ( )( )85/11502,01 cc,c = , para C200C115 c

  • 44

    O calor especfico do concreto seco, com agregados silicosos ou calcrios, em

    J/kgC, dado por

    900c ,c = , para C100C20 c ,

    ( )100900c ,c += , para C200C100 c

  • 45

    0

    1000

    2000

    3000

    4000

    5000

    6000

    0 200 400 600 800 1000 1200

    Temperatura (C)

    Cal

    or e

    spec

    fic

    o do

    con

    cret

    o (

    kJ/k

    gC

    ) .

    Calor especfico

    Umidade 0%

    Umidade 1,5%

    Umidade 3,0%

    Umidade 10%

    Figura 2.6.8 Calor especfico em funo da temperatura, para trs contedos de umidade

    diferentes (EN 1992-1-2:2004).

    O EN 1992-1-2:2004 utiliza uma umidade de 1,5% para obteno das

    distribuies de temperatura apresentadas no seu anexo. Segundo o EN 1994-1-2:2005

    caso no haja uma medio da umidade, esta no pode ser considerada superior a 4% do

    peso do concreto. A situao de 10% de umidade pode ocorrer em sees tubulares

    preenchidas com concreto (EN 1994-1-2:2005).

    De acordo com o EN 1992-1-2:2004, a condutividade trmica, em W/mC, para

    C1200C20 c

  • 46

    0,0

    0,5

    1,0

    1,5

    2,0

    2,5

    0 200 400 600 800 1000 1200

    Temperatura (C)

    Con

    duti

    vida

    de t

    rmic

    a (W

    /mC

    ) .

    Limite superior

    Limite inferior

    Figura 2.6.9 Limite superior e inferior da condutividade trmica do concreto

    (EN 1992-1-2:2004).

    2.6.3 Propriedades Termomecnicas do Concreto de Baixa Densidade Segundo o

    Eurocode

    Para concretos de baixa densidade, a relao tenso-deformao apresentada na

    figura 2.6.6 pode ser utilizada com os parmetros da tabela 2.6.5, segundo o EN 1992-1-

    2:2004. Para a deformao ,1cu , a tabela 2.6.4 adotada.

    A massa especfica, cb , deve situar-se entre 1600 kg/m3 e 2000 kg/m3 (EN 1994-

    1-2:2005). O alongamento deve ser determinado por

    ( )20108/ c6

    cb,cb =

    ll . (2.6.13)

    O calor especfico pode ser considerado independente da temperatura,

    Ckg/J840ccb = .

    A condutividade trmica, dada por

    ( )1600/1 ccb = , para C800C20 c e

    5,0cb = , para C800c > . (2.6.14)

  • 47

    Tabela 2.6.5 Valores dos principais parmetros da relao tenso-deformao do

    concreto de baixa densidade (EN 1994-1-2:2005).

    c

    (C)

    20 1,00100 1,00200 1,00300 1,00400 0,88500 0,76600 0,64700 0,52800 0,40900 0,28

    1000 0,161100 0,041200 0,00

    fc,/fc

    As demais propriedades, como o calor especfico, podem ser tomadas iguais s do

    concreto de densidade normal.

    2.6.4 Resistncia Trao do Concreto

    Conservadoramente, a resistncia trao deve ser ignorada. Porm, em clculos

    simplificados ou avanados, o fator de reduo da resistncia trao (EN 1992-1-

    2:2004)

    t

    ,t,t f

    fk = (2.6.15)

    onde, ,tf a resistncia trao do concreto a uma temperatura c e tf a resistncia

    trao do concreto a 20C, pode ser tomado igual a

    0,1k ,t = , para C100C20 c e

    ( ) 500/1000,10,1k ,t = , para C600C100 c

  • 48

    fatores de reduo a compresso dados na tabela 2.6.4 para concretos com agregados

    silicosos.

    0,0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1,0

    0 200 400 600 800

    Temperatura (C)

    Fat

    or d

    e re

    du

    o .

    EN 1992-1-2:2004

    Proposta

    Figura 2.6.10 Fatores de reduo da resistncia a trao do concreto segundo o EN

    1992-1-2:2004 e a aproximao proposta.

    A relao tenso-deformao do concreto tracionado considerada conforme

    Huang et al. (2003a), figura 2.6.11. Na figura, crcu 15= onde cr dado pela diviso

    da tenso de fissurao ct f3321,0f = (ASCE, 1982) pela rigidez inicial da relao

    tenso-deformao de compresso adotada.

    0

    f t

    Deformao de trao

    Tenso de trao

    0,33f t

    cr 0,22cu cu

    fissurao

    f t = 0,3321(f c)1/2

    Figura 2.6.11 Relao tenso deformao do concreto a trao

    (Huang et al., 2003).

  • 49

    2.6.5 Modelo de Han para a Relao Tenso-Deformao do Concreto em Sees

    Tubulares de Ao

    Han (2000, 2001) e Han et al. (2003) apresentam um modelo para a relao

    tenso-deformao do concreto temperatura elevada, que considera a interao entre

    ao e concreto em pilares tubulares retangulares ou circulares preenchidos com

    concreto. Esse modelo referenciado neste trabalho como modelo de Han. A relao

    tenso-deformao tem por base resultados experimentais de pilares curtos. A interao

    entre o tubo de ao e o ncleo de concreto considerada a partir de um fator de

    confinamento,

    cc

    ,ys

    fA

    fA = , (2.6.17)

    onde sA a rea da seo transversal do tubo e cA a seo transversal de concreto,

    ,yf a resistncia ao escoamento do ao temperatura e cf a resistncia

    compresso do concreto temperatura ambiente.

    Para sees tubulares circulares, a relao tenso-deformao, figura 2.6.12a,

    dada por

    ( )2o xx2 = ( )1x

    ( )( ) ( )

    ( )( )

    onde o

    x

    = ;

    +

    =

    2q

    745,0

    ; cc

    ,ys

    fA

    fA = ; ( ) ( )( )

    75,025,052c

    4 1036,2f1051,3+ = ;

    ( ) ( )

    ++=

    55.945.0

    c

    2,co 1000/1f

    244,0054.01f ;

    ( )( )921,3c

    ,c1020986,11

    ff

    += ;

    ( )6242,0c,cco 1022,4106,303,1124f

    8001400 ++

    ++= ( ) ;

  • 50

    ( )( )c624,cc f5,1213001022,4106,303,1 +++= ( ) . (2.6.18)

    Para sees tubulares quadradas ou retangulares, figura 2.6.12b,

    ( )2o xx2 = ( )1x

    ( )( ) ( )

    ( )( )

    onde o

    x

    = ;

    +

    =

    2q

    745,0

    ; cc

    ,ys

    fA

    fA = ;

    x

    5,16,1 += ;

    ( )

    ( )( )

    +

    +

    =

    0,32135,1

    f

    0,3135,1

    f

    2

    1,0c

    1,0c

    ( ) ( )

    ++=

    55,945,0

    c

    2,co 1000/1f

    241,00135,01f ;

    ( )( )921,3c

    ,c1020986,11

    ff

    += ;

    ( )6242,0c,cco 1022,4106.303,1124f

    7601330 ++

    ++= ( ) ;

    ( )( )c624,cc f5,1213001022,410T6,303,1 +++= ( ) , (2.6.19) As unidades para tenso e temperatura so MPa e C, respectivamente. A deformao

    dada em 610= .

    Na figura 2.6.12 tem-se as relaes tpicas para um concreto de 40MPa e fator de

    confinamento igual a 0,39.

  • 51

    200C

    400C

    600C

    800C

    20CT

    ens

    o (

    /fc)

    0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1,0

    Deformao (%)

    1000C

    200C

    400C

    600C

    800C

    20C

    1000C

    Ten

    so

    (/f

    c)

    0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1,0

    Deformao (%)

    (a) Seo circular (b) Seo retangular

    Figure 2.6.12. Relaes tenso-deformao segundo o modelo de Han.

    2.6.6 Propriedades Termomecnicas do Concreto de Alta Resistncia

    Segundo o Eurocode

    Os fatores de reduo da resistncia de concretos de alta resistncia, CAR,

    expostos ao incndio-padro so dados em trs classes conforme a tabela 2.6.6, onde

    tem-se a Classe 1, definida para concretos com resistncia a compresso entre 50 e 70

    MPa, Classe 2, para concretos de 70 a 90 MPa e Classe 3 para concreto com resistncia

    acima de 90 MPa.

    Tabela 2.6.6 Fatores de reduo da resistncia de concretos de alta resistncia.

    c

    (C) Classe 1 Classe 2 Classe 3

    20 1,00 1,00 1,0050 1,00 1,00 1,00100 0,90 0,75 0,75200 -- -- 0,70250 0,90 -- --300 0,85 -- 0,65400 0,75 0,75 0,45500 -- -- 0,30600 -- -- 0,25700 -- -- --800 0,15 0,15 0,15900 0,08 -- 0,08

    1000 0,04 -- 0,041100 0,01 -- 0,011200 0,00 0,00 0,00

    fc,/fc

  • 52

    As propriedades trmicas de concretos normais podem ser aplicadas aos concretos

    de alta resistncia, lembrando que, estes podem ter uma maior condutividade do que

    concretos de resistncia normal. Nesse caso, o limite superior de condutividade trmica,

    definido pelo EN 1992-1-2:2004, mais apropriado.

    2.6.7 Modelo de Schaumann para a Relao Tenso-Deformao de

    Concretos de Alta Resistncia

    Uma investigao numrica sobre o comportamento de pilares tubulares de ao

    preenchidos com CAR foi realizada por Schaumann e Kodur (2006) utilizando o

    programa BOFIRE. As propriedades do CAR dadas pelas normas americana e europia

    foram utilizadas no clculo dos tempos de exposio ao incndio. Pilares preenchidos

    com CAR simples, com fibras ou armaduras de ao foram analisados numericamente e

    comparados com resultados experimentais. A relao tenso-deformao do CAR com

    fibras de ao apresentadas por Kodur e Sultan (2003), figura 2.6.13, tambm

    apresentadas por Schaumann e Kodur (2006) e utilizadas tambm para pilares com

    armaduras de ao so chamadas neste trabalho de modelo de Schaumann, sendo

    representado pelas expresses

    =

    o

    o,c 1f se o e

    ( )( )

    =

    2

    oc

    o,c f130

    301f se o> ,

    onde x

    5,16,1 += ; ( ) 62co 1003,06f7,60018,0 +++= e

    ( )( )20003125,00625,1ff c,c = , para 100

  • 53

    Ten

    so

    (/f

    c)

    200C

    400C

    600C

    800C

    0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1,0

    Deformao (%)

    20C

    Figura 2.6.13 Relao tenso-deformao tpica segundo o modelo de Schaumann para

    perfis tubulares de ao preenchidos com concreto de alta resistncia.

    2.6.8 Spalling do Concreto

    O termo spalling envolve diferentes fenmenos prejudiciais que podem ocorrer

    quando as estruturas de concreto so expostas ao incndio. Esses fenmenos so

    causados por diferentes mecanismos: presso nos poros devido umidade, gradiente

    trmico, fissurao trmica interna, fissurao em torno das barras de ao e diminuio

    da resistncia do concreto devido fissurao e reaes qumicas.

    O fenmeno do spalling do concreto ainda no bem conhecido e as medidas

    tomadas para evit-lo, como a utilizao de materiais de proteo trmica e a adio de

    fibras de polipropileno massa de concreto, so empricas (Breunese e Fellinger, 2004).

    Fibras de polipropileno aliviam a presso devido ao vapor de gua e materiais de

    proteo trmica reduzem os gradientes trmicos retardando a elevao da temperatura.

    Todavia, quando no se tem conhecimento de qual mecanismo causa o spalling em

    algum caso especfico, fica difcil escolher uma soluo adequada. Uma combinao

    entre fibras de polipropileno e materiais de proteo trmica pode evitar todos os

    fenmenos do spalling, porm, essa soluo antieconmica. As fibras de polipropileno

    derretem a aproximadamente 160C criando pequenos canais no concreto. Esses canais

    podem ser internos, funcionando como um espao para alvio da presso do vapor, ou

    ter um acesso ao exterior, permitindo a sada do vapor.

  • 54

    Durante o aquecimento, tenses se desenvolvem no interior da seo de concreto.

    Gradientes trmicos e presso nos poros devido umidade levam a tenses mecnicas

    que podem causar tanto a fissurao quanto o spalling do concreto. Os mecanismos

    envolvidos no spalling so conhecidos, e para descreve-los, apresenta-se um exemplo.

    Quando uma parede de concreto aquecida de um lado, a distribuio de temperatura se

    desenvolve conforme a figura 2.6.14. Para elevadas temperaturas, a fissurao interna e

    a desidratao levam a uma perda de resistncia do concreto. A fissurao pode ter

    vrias origens, como por exemplo, a diferena entre os coeficientes de dilatao da

    pasta de cimento e dos agregados. Devido ao gradiente trmico, a faixa da parede

    prxima superfcie exposta ao incndio fica submetida a uma tenso de compresso

    paralela a esta superfcie, propiciando o aparecimento de fissuras perpendiculares.

    Dependendo da restrio, as faixas da parede mais distantes da superfcie exposta ao

    incndio podem estar comprimidas ou tracionadas. As tenses de compresso podem

    crescer durante o aquecimento devido a restries, armaduras, protenso, carregamento

    externo ou devido alta taxa de aquecimento. Observa-se a partir do trabalho de

    Bostrm et al. (2004) que maiores tenses de compresso propiciam o spalling. Perto da

    face exposta ao incndio, parte da umidade evapora e parte migra para o interior da

    parede gerando um pico de presso devido umidade.

    Spalling efissurao

    Presso devido a umidade

    Tenses trmicas: - compresso; + trao

    Resistncia doconcreto

    Temperatura

    -

    +

    -

    + +

    Figura 2.6.14 Fenmenos associados ao spalling (Breunese e Fellinger, 2004).

  • 55

    No trabalho de Breunese e Fellinger (2004), onde se tem uma sntese das

    pesquisas e concluses de trabalhos realizados no TNO Centre for Fire Research,

    encontram-se referncias a trs tipos de spalling: violent spalling, progressive gradual

    spalling (falling off) e explosive spalling.

    O termo violent spalling atribudo ao fenmeno onde pequenas partes ou faixas

    do concreto so separadas da seo com certa velocidade e rudo, liberando energia.

    Esse tipo de spalling causado por gradientes trmicos e presso nos poros devido

    umidade, com a fissurao tambm influenciando o processo. A presso nos poros

    depende da taxa de aquecimento, taxa de umidade, permeabilidade e porosidade.

    O progressive gradual spalling (falling off) causado pela perda de resistncia

    devido fissurao interna e deteriorao qumica do concreto. Esse tipo de spalling

    est associado principalmente s altas temperaturas atingidas pelo concreto e no taxa

    de aquecimento. Se o concreto aquecido a altas temperaturas, a resistncia se torna to

    pequena que partes se soltam devido ao da gravidade. Esse tipo de spalling

    provvel de ocorrer em lajes aquecidas em sua face inferior (figura 2.6.16).

    Explosive spalling o resultado de uma combinao de presso nos poros e

    gradientes trmicos na seo. Este se difere do violent spalling por apresentar uma

    regio com alta presso nos poros devido umidade que migra para o interior da seo.

    Esse tipo de spalling provvel de ocorrer em sees com aquecimento a partir de mais

    de um lado, como por exemplo, vigas e pilares. A presso to grande que pode causar

    a exploso de grandes partes da seo. Esse fenmeno pode ocorrer aps um tempo

    considervel de exposio ao incndio se a superfcie do concreto est revestida com

    materiais de proteo trmica ou se a taxa de aquecimento for baixa (Wong, 2004).

    No EN 1992-1-2:2004 so apresentadas prescries relativas ao spalling que

    dividido em explosive spalling e falling off do concreto. O explosive spalling engloba

    tanto o prprio explosive spalling quanto o violent spalling abordados acima.

    Quanto ao explosive spalling, o Eurocode prescreve: o spalling deve ser evitado a

    partir de dispositivos apropriados como materiais de proteo trmica ou a utilizao de

    fibras de polipropileno, caso contrrio, sua influncia na integridade, isolamento e

    resistncia deve ser verificada; o explosive spalling menos provvel de ocorrer em

    estruturas com umidade menor do que 3% em peso; uma umidade menor do que 3%

    pode ser admitida para estruturas no interior de edifcios ou submetidas a baixas

  • 56

    umidades relativas do ar; quando se usa o mtodo tabular nenhuma verificao adicional

    quanto ao spalling necessria a no ser que a distncia da face ao eixo da armadura

    seja superior a 70mm, neste caso, uma armadura superficial prescrita conforme ser

    comentado a seguir; para vigas, lajes e elementos tracionados com umidade acima de

    3%, a influncia do spalling na resistncia pode ser considerada assumindo-se uma

    perda local do cobrimento de uma barra ou de um feixe de barras e ento, verificando a

    capacidade da seo reduzida; pode-se assumir que uma redistribuio de tenses sem

    perda da estabilidade ocorre quando se tem um nmero de barras suficiente como em

    lajes macias com barras igualmente espaadas e vigas com largura maior do que

    400mm contendo mais do que 8 barras na regio tracionada.

    Quanto ao falling off do concreto, o EN 1992-1-2:2004 prescreve: o falling off do

    concreto nos ltimos estgios de exposio ao incndio deve ser evitado ou avaliado

    segundo a integridade, isolamento e/ou resistncia; onde a distncia da face do elemento

    ao eixo das armaduras for superior a 70mm, uma malha de armaduras superficial deve

    ser prevista (essa prescrio tambm deve ser observada quanto ao explosive spalling).

    A malha deve ter espaamento inferior a 100mm e barras com dimetro superior a

    4mm.

    A partir das prescries do EN 1992-1-2:2004, apresentadas acima, nota-se que o

    o efeito do spalling em estruturas tpicas de concreto pode ser desconsiderado.

    Devido baixa porosidade, concretos de alta resistncia so mais susceptveis ao

    spalling do que concretos de resistncia normal. A figura 2.6.15 apresenta o spalling em

    dois pilares, um de concreto normal e outro de concreto de alta resistncia.

    Segundo o EN 1992-1-2:2004, para concretos de alta resistncia contendo menos

    de 6% de silica fume em peso, deve-se seguir as mesmas regras aplicadas a concreto de

    resistncia normal, apresentadas anteriormente. Para maiores contedos de silica fume,

    o spalling pode correr quando o concreto exposto diretamente ao incndio e pelo

    menos um dos seguintes mtodos deve ser seguido:

    - mtodo A: uma malha de reforo com cobrimento de 15mm, formada por barras de

    dimetro menor do que 2mm e espaamentos menores do que 50mm. O cobrimento das

    armaduras principais deve ser maior do que 40mm;

    - mtodo B: um tipo de concreto para o qual tem sido demonstrado (por experincia

    local ou ensaio) que no ocorre spalling;

  • 57

    - mtodo C: materiais de proteo para os quais tm sido demonstrado que no ocorre

    spalling;

    - mtodo D: incluindo no concreto mais do que 2kg/m de fibras de polipropileno.

    Observa-se que o spalling traz como conseqncia uma diminuio da seo

    resistente e em geral uma exposio das armaduras ao incndio, diminuio do

    isolamento e possvel perda de estabilidade, figuras 2.6.15 e 2.6.16.

    (a) (b)

    Figura 2.6.15 Spalling aps a exposio ao incndio de um pilar com concreto normal

    (a) e um pilar com concreto de alta resistncia (b) (Kodur e Harmathy, 2002).

    Figura 2.6.16 Efeito do incndio em uma estrutura de concreto (Cnovas, 1988): pilar

    rompido por compresso devido diminuio da resistncia; concreto desagregado e

    armadura exposta na face inferior da laje.

  • 58

    2.6.9 Mtodos e Materiais de Proteo contra Incndio

    O objetivo dos vrios mtodos de proteo retardar o calor transferido para o

    elemento estrutural, conseguindo-se um tempo maior de exposio ao incndio. Esse

    objetivo alcanado utilizando-se isolantes, membranas, proteo (anteparo) contra as

    chamas e materiais que absorvem o calor (heat sinks). Com relao ao spalling do

    concreto, observa-se que outro mtodo de proteo a adio de fibras de polipropileno

    ao concreto. A ao protetora est relacionada ao alvio da presso do vapor de gua

    devido ao derretimento das fibras criando pequenos espaos no concreto.

    Mtodos isolantes incluem o uso de placas (a base de minerais, gesso e

    vermiculita), materiais pulverizados (spray a base de cimentos, intumescentes e fibras

    minerais), mantas minerais ou de vidro, revestimento com concreto ou argamassas e

    tintas intumescentes.

    Inicialmente a proteo era feita com alvenaria ou concreto, figura 2.6.17. Na

    figura 2.6.18 o concreto que reveste a seo de ao completa ou parcialmente pode ter

    funo estrutural formando um pilar misto. Atualmente, os materiais mais empregados

    so as tintas intumescentes, argamassas e fibras.

    Os materiais de proteo trmica podem ser aplicados tanto a estruturas de ao

    como de concreto, claro, dentro dos limites de aplicao de cada material.

    (a) (b)

    Figura 2.6.17 Protees com alvenaria (a) e concreto (b) (Ribeiro, 2004).

  • 59

    x

    y

    x

    y

    Figura 2.6.18 Pilares mistos de ao revestidos com concreto.

    Um bom isolamento trmico est associado a um alto calor especfico, baixa

    condutividade trmica e alta massa especfica, que deve ser limitada, em geral a um

    mximo de 700kg/m3, para no aumentar exageradamente o peso prprio da estrutura,

    no dificultando ou onerando as operaes de transporte e instalao, tabela 2.6.7.

    Adicionalmente s propriedades trmicas citadas, reaes qumicas, como a calcinao,

    intumescncia e sublimao, podem ocorrer reduzindo a taxa de calor transferido.

    Tabela 2.6.7 Propriedades trmicas de alguns materiais de proteo isolantes.

    Massa especficaCondutividade

    trmicaCalor especfico

    (kg/m) (W/mC) (J/kgC)Spray de fibra mineral 250-350 0,10 1050Placa de vermiculita 300 0,15 1200

    Placa de gesso 800 0,15 1200Reboco de gesso 800 0,20 1700

    Manta de fibra mineral 500 0,25 1500Concreto com ar incorporado 1600 0,30 1200Concreto de baixa densidade 1600 0,80 1200

    Concreto de densidade normal 2200 1,70 1200

    Material

    Outras caractersticas importantes para os materiais de proteo so (Fakury,

    2004): viabilidade econmica; manter a integridade durante o incndio, ou seja, no

    apresentar rachaduras ou deslocamentos; no podem ser combustveis, propagar chamas

    ou produzir fumaa ou gases txicos; ter boa resistncia mecnica, no esfacelando sob

    pequenos impactos e nem sofrendo ao desproporcional da eroso; serem seguros

    garantindo uma proteo uniforme; acompanhar os movimentos da estrutura sem

    apresentar fissuras ou deslocamento; penetrar em todos os espaos vazios; no podem

    conter material nocivo sade; no podem apresentar desprendimentos por

    ressecamento superficial; devem ter durabilidade igual da estrutura e, no caso de

    danos, permitirem a recomposio; no podem absorver umidade alm da permitida; e,

  • 60

    no podem conter espaos vazios, nem permitir a proliferao de fungos ou bactrias

    em seu interior.

    Quanto forma, as protees trmicas podem ser classificadas em tipo contorno

    ou tipo caixa, figura 2.6.19.

    As formas de aplicao das protees so vrias: as argamassas e fibras, em geral

    so projetadas por meio de um esguicho, sendo pulverizadas (spray) na superfcie dos

    elementos, constituindo normalmente proteo do tipo contorno, figura 2.6.20a; as

    argamassas, tambm podem ser aplicadas manualmente com uso de colher de pedreiro e

    desempenadeira, ou moldados atravs de frmas, figura 2.6.20b; as placas so fixadas

    nas estruturas atravs de pinos ou perfis leves de ao, constituindo normalmente

    proteo do tipo caixa; as mantas so aplicadas envolvendo a estrutura, e fixadas

    mesma usando-se pinos, constituindo normalmente proteo do tipo contorno; as tintas

    intumescentes so aplicadas sobre a superfcie perfeitamente limpa e com uma camada

    de primer compatvel. Sobre a tinta intumescente, pode ser aplicada uma tinta de

    acabamento, na cor desejada.

    (a)

    (b)

    Figura 2.6.19 Protees trmicas do tipo contorno e do tipo caixa (Ribeiro, 2004):

    (a) em pilares; (b) em vigas.

  • 61

    (a) (b)

    Figura 2.6.20 Material isolante pulverizado (a) e material isolante aplicado com o

    auxlio de uma tela metlica (b) (Milke, 2002).

    As tintas intumescentes formam uma pelcula fina que tem aumento de 20 a 30

    vezes quando aquecida (apresentando um aspecto esponjoso) protegendo termicamente

    a estrutura.

    As propriedades trmicas e mecnicas, a aderncia e a eficincia das juntas dos

    materiais de proteo devem ser comprovadas por ensaios realizados em laboratrio

    nacional ou estrangeiro, de acordo com a ABNT NBR 5628:2001 ou de acordo com

    outra norma brasileira ou estrangeira.

    O texto apresentado no pargrafo anterior, retirado do projeto de reviso da

    ABNT NBR 14323:1999 (PR NBR 14323:2003) reflete a natureza particular de cada

    material de proteo, que pode apresentar complicadas e variadas reaes qumicas em

    alta temperatura.

    Os mtodos de proteo chamados de membrana so obtidos por forros usados

    para proteger estruturas de piso ou cobertura. Os painis dos forros podem ser

    constitudos de gesso, vermiculita ou fibras minerais.

    Anteparos para as chamas so mtodos de proteo que objetivam diminuir a

    transferncia de calor por radiao para os elementos estruturais. Milke (2002) cita

    estudos utilizando placas de ao para proteo de estruturas.

    Exemplos de materiais que absorvem o calor (heat sinks) so lquidos

    preenchendo o interior de sees de ao tubulares. O lquido utilizado para proteo

    uma soluo aquosa contendo aditivos que evitam a corroso, o congelamento e reaes

    biolgicas. O preenchimento com gua mantm a temperatura do perfil baixa devido

  • 62

    conveco (Twilt et al., 1994). O lquido circula atravs dos perfis a partir de um

    sistema formado por reservatrio e tubos adequadamente projetados.

    2.7 MODELOS NUMRICOS DESENVOLVIDOS

    Para uma adequada modelagem de estruturas, que podem ter vrias formas de

    carregamento, configuraes, condies de contorno e exposio ao incndio, o mtodo

    dos elementos finitos tem sido o preferido da maioria dos pesquisadores.

    Os programas de computador desenvolvidos, atualmente, podem ser divididos em

    dois grupos: (1) programas especialmente desenvolvidos para anlise de estruturas em

    situao de incndio, como o SAFIR e o VULCAN (Franssen, 2005; Huang et al.,

    2003a); e, (2) programas comerciais genricos que tm sido adaptados para anlise em

    situao de incndio, como o ANSYS e o ABAQUS.

    As primeiras pesquisas sobre o comportamento de estruturas em situao de

    incndio datam do final do sculo XIX, motivadas por grandes perdas devido falha

    estrutural de edifcios durante incndios. Desde ento, especialmente nas ltimas trs

    dcadas, significativos avanos nos sistemas computacionais impulsionaram o

    desenvolvimento de muitos procedimentos, numricos e analticos, para a anlise do

    comportamento de estruturas em situao de incndio.

    A possibilidade de analisar o comportamento de estruturas completas, que

    dificilmente poderiam ser ensaiadas experimentalmente, impossibilitando a observao

    de fenmenos como a redistribuio de esforos e a possibilidade de realizar estudos

    paramtricos, so algumas vantagens dos mtodos numricos. Atualmente, mtodos

    numricos so usados principalmente para o projeto de estruturas complexas ou para o

    desenvolvimento e verificao de procedimentos de projeto (Franssen, 2005).

    Um dos mais antigos estudos analticos publicados sobre flambagem de pilares de

    ao em situao de incndio foi realizado por Culver (1972), onde pilares de ao

    carregados axialmente e submetidos a gradientes de temperatura longitudinais foram

    analisados numericamente utilizando-se diferenas finitas. Em Najjar (1994) tem-se

    uma completa reviso bibliogrfica acerca dos modelos numricos desenvolvidos e

    aplicados para anlise de pilares, vigas e prticos de ao.

  • 63

    Franssen (2005) comenta que entre os primeiros trabalhos esto os realizados na

    University of Berkeley, nos Estados Unidos, com o desenvolvimento de programas

    como FIRES-T e FIRES-RC (Becker et al, 1974a,b) para anlise de pilares de concreto.

    Segundo Franssen (2005), o interesse pela modelagem numrica do comportamento de

    estruturas em situao de incndio diminuiu nos Estados Unidos e muito dessas

    atividades, desde os anos 80, ocorreram na Europa.

    O programa ADAPTIC comeou a ser desenvolvido por Izzuddin (1991) no

    Imperial College, Londres, para estudar o comportamento no-linear dinmico de

    estruturas de ao temperatura ambiente. Posteriormente, foi modificado para

    considerar os efeitos da exposio ao incndio aps exploses (Song et al., 1995, 2000;

    Izzuddin, 1996; Izzuddin et al., 2000; Elghazouli et al., 2000). O programa possui a

    capacidade de refinamento da malha utilizando elementos de viga elsticos com

    interpolao de quarta ordem dos deslocamentos transversais e elementos cbicos

    elasto-plsticos.

    O programa Finite Element Analysis of Structures at Temperatures, FEAST, vem

    sendo desenvolvido na University of Manchester (Liu 1994, 1996), sendo aplicado

    principalmente ao estudo de ligaes em situao de incndio. O programa possui em

    sua biblioteca elementos de viga, elementos de casca, elementos slidos e elementos de

    contato. Os elementos de viga so lineares e elsticos e os elementos slidos

    consideram a no-linearidade fsica dos materiais ao e concreto. O usurio pode

    selecionar entre uma combinao de controle de carga, controle de temperatura,

    controle de deslocamento com carga constante e temperatura varivel e controle de

    deslocamento com temperatura constante e carga varivel, possibilitando ao programa

    analisar a estrutura aps a falha. Vrias pesquisas voltadas para o estudo de ligaes de

    ao e mistas em situao de incndio vm sendo realizadas utilizando esse programa

    (Leston-Jones, 1997; Al-Jabri et al., 1998).

    Na Universidade de Lige, Blgica, a partir dos trabalhos de Dotreppe e Franssen

    (1985) e Franssen (1987) foi desenvolvido um programa computacional com base no

    MEF para anlise de prticos planos mistos em situao de incndio. O programa

    denominado CEFICOSS, Computer Engineering of the Fire Design of Composite and

    Steel Structures, utiliza o mtodo das diferenas finitas de forma explcita para o clculo

    da elevao da temperatura na seo transversal de elementos de ao ou mistos. O

  • 64

    programa utiliza elementos finitos bidimensionais de viga com dois ns com trs graus

    de liberdade cada. O efeito das deformaes devido ao cisalhamento desprezado. A

    seo transversal dos elementos discretizada a partir de uma malha retangular utilizada

    tanto para anlise trmica como mecnica. Todas as variveis como tipo de material,

    temperatura, deformao, tenso e outras, so consideradas constantes em cada

    retngulo que discretiza a seo (modelo de fibras). A considerao de grandes

    deslocamentos feita utilizando-se uma formulao lagrangeana atualizada. As relaes

    tenso-deformao no-lineares dos materiais e as deformaes trmicas so

    consideradas segundo as prescries do Eurocode. O programa utiliza um procedimento

    incremental-iterativo onde a carga aplicada temperatura ambiente. Tenses,

    deformaes e deslocamento so ento calculados para um nmero de passos de tempo

    que caracterizam o incndio at a falha da estrutura (Franssen et al., 1995). O programa

    ainda utilizado em trabalhos como o de Huber e Aste (2005).

    Posteriormente, Franssen et al. (1997) desenvolveram o programa SAFIR para

    servir como plataforma para a implementao de vrios elementos finitos e modelos

    constitutivos (Franssen, 2005). O programa utilizado em inmeras pesquisas sobre

    o comportamento de estruturas de ao, concreto e mistas de ao e concreto em

    situao de incndio e na calibrao de procedimentos de projeto (Landesmann e

    Batista, 2002; Landesmann, 2003; Vila Real et al., 2003; Vila Real et al., 2004a, b,

    Franssen et al., 2006). Em sua biblioteca podem ser encontrados, elementos slidos

    para anlise trmica bidimensional e tridimensional. Para a anlise estrutural, o

    programa apresenta elementos de viga 3D, casca e slidos. O elemento de viga

    tridimensional tem por base uma formulao corrotacional, possuindo trs ns, um

    em cada extremidade com sete graus de liberdade cada, trs rotaes, trs

    deslocamentos e empenamento. O terceiro n est localizado no meio do elemento e

    tem apenas um grau de liberdade que interpola a parcela no-linear do deslocamento

    axial (Franssen, 2005). As deformaes tm por base a hiptese de von Krmn, sendo

    desprezado o efeito das deformaes devido ao cisalhamento. A integrao longitudinal

    realizada pelo mtodo de Gauss, sendo a seo transversal discretizada em fibras

    triangulares e retangulares. Em qualquer ponto longitudinal de integrao, todas as

    variveis (temperatura, tenses e deformaes) so constantes em cada fibra,

    caracterizando um modelo de fibras. As tenses residuais podem ser consideradas como

  • 65

    tenses iniciais que permanecem constantes durante a anlise. O comportamento do

    material no caso de descarga elstico, com mdulo de elasticidade igual ao da origem

    da curva tenso-deformao. A rigidez toro reduzida com o aumento da

    temperatura.

    Na Universidade de Sheffield, UK, desde 1985, o programa VULCAN vem sendo

    desenvolvido. Saab (1990) e Saab e Nethercot (1991) incorporaram relaes tenso-

    deformao para o ao temperatura elevada ao programa INSTAF desenvolvido para

    analisar o comportamento de estruturas planas de ao temperatura ambiente na

    University of Alberta (El-Zanaty e Murray, 1983). Najjar (1994) estendeu a formulao

    bidimensional do INSTAF para anlise de estruturas de ao tridimensionais. Nesse novo

    programa, denominado 3DFIRE (Najjar e Burgess, 1996), os elementos de viga com

    dois ns possuem oito graus de liberdade locais por n e onze graus de liberdade

    globais, funes de forma cbicas so utilizadas. Os oito graus de liberdade incluem trs

    translaes, trs rotaes, a derivada da deformao axial e o empenamento. As sees

    transversais so discretizadas por segmentos para os quais a espessura modificada com

    base na relao entre o mdulo de elasticidade tangente e o mdulo de elasticidade

    inicial. A variao da temperatura somente considerada ao longo da seo e um dado

    de entrada para o programa. A deformao devido ao cisalhamento no considerada na

    obteno da matriz de rigidez. Bailey (1995) introduziu elementos de placa com 4 ns e

    a possibilidade de modelagem das ligaes semi-rgidas. Huang et al. (1999) realizou

    modificaes para modelar lajes de concreto armado com base na discretizao do

    elemento de placa em camadas. Cai (2002) modificou o elemento de viga desenvolvido

    possibilitando a modelagem de sees transversais assimtricas de ao, concreto ou

    mistas atravs da implementao de um modelo de fibras (Cai et al., 2002, 2003).

    Segundo Huang et al. (2003a; 2004), o elemento de viga com oito graus de

    liberdade locais e onze globais, tem sido preciso para nveis de deslocamentos alm dos

    aceitveis para estruturas em situao de incndio, porm, apresenta algumas

    desvantagens: devido presena de graus de liberdade alm dos convencionais o tempo

    de processamento se torna muito maior quanto comparado com anlises usando seis

    graus de liberdade por n; sempre necessrio aplicar restries a alguns graus de

    liberdade mesmo quando no existem condies de contorno, o que pode influenciar os

    resultados, especialmente quando os deslocamentos se tornam grandes. Essas

  • 66

    observaes motivaram Huang et al. (2003) a implementar no programa VULCAN um

    elemento isoparamtrico com 3 ns e seis graus de liberdade por n apresentado por

    Bathe (1982). O elemento, com base em uma formulao lagrangeana total, considera as

    no-linearidades fsica e geomtrica utilizando uma aproximao de segunda ordem

    para as rotaes (Bathe, 1996). As deformaes so consideradas pequenas. A seo

    transversal discretizada utilizando-se um modelo de fibras.

    Huang et al. (2003b) tambm implementaram um elemento de placa

    isoparamtrico (Bathe, 1996; Crisfield, 1991) de alta ordem, 9 ns, geometricamente

    no-linear com base em uma formulao lagrangeana total e nas hipteses de von

    Krmn (grandes deslocamentos e rotaes moderadas). O elemento utiliza um modelo

    de camadas para obteno da matriz constitutiva. No trabalho de Huang et al. (2003c),

    as implementaes citadas so validadas. Inmeras pesquisas vm utilizando o

    programa VULCAN, entre as quais: Bailey et al. (1996; 1999); Burgess e Plank (1998)

    e Huang et al. (2002).

    Alguns programas comerciais como o ANSYS, o ABAQUS e o DIANA vm

    sendo utilizados em pesquisas sobre o comportamento de estruturas em situao de

    incndio por meio da incluso das propriedades dos materiais temperatura elevada.

    Anlises de transferncia de calor para obteno da distribuio de temperatura tambm

    podem ser facilmente realizadas. O ABAQUS vem sendo utilizado para simular o

    comportamento de estruturas de ao e mistas na Edinburgh University (Gillie, 1999;

    Gillie et al., 2000, 2001; Sanad et al., 2000a,b,c) e no Corus Research, (OConnor e

    Martin, 1998), mostrando-se capaz de simular problemas complexos como o

    comportamento de lajes, ligaes e flambagem local de elementos de ao.

    Both et al. (1996) utilizam o programa DIANA para simular os resultados dos

    ensaios experimentais realizados em Cardington. O programa tambm foi utilizado para

    simular o comportamento trmico e estrutural de lajes mistas.

    Lopes et al. (2005) utilizam o programa ANSYS para modelar a flambagem

    lateral com toro de vigas de ao inoxidvel em situao de incndio empregando

    elementos de viga e casca. Li e Guo (2006) e Piloto et al. (2006) tambm utilizam o

    ANSYS para anlise de estruturas em situao de incndio.

    Alm dos trabalhos citados, que em geral utilizam modelos de plasticidade

    distribuda com um modelo de fibras ao nvel seccional no desenvolvimento de

  • 67

    elementos de viga, inmeros outros trabalhos, utilizando modelos de rotulas

    plsticas vm sendo desenvolvidos (Liew et al., 1998; Ma e Liew, 2004; Iu et al.,

    2005; Landesmann et al., 2005; Souza e Creus, 2006).

    2.7.1 Segurana Contra Incndio e Modelos Numricos no Brasil

    Em 1972 aconteceu um grande incndio no edifcio Andraus, localizado na cidade

    de So Paulo, que resultou em 16 mortes e 336 feridos. O edifcio Joelma, tambm

    localizado na mesma cidade, entrou em chamas em 1974 devido a um curto-circuito no

    sistema de ar-condicionado. No mesmo ano o edifcio da Caixa Econmica, localizado

    no Rio de Janeiro, tambm sofreu a ocorrncia de um incndio.

    Esses acontecimentos levaram a elaborao de regulamentos e normas de

    segurana contra incndio. A maioria surgiu da adaptao de legislaes estrangeiras

    por empresas de seguros, corporaes de bombeiros e cdigos de obras (Ferreira et al.,

    2006).

    Em 1980 foi editada pela Associao Brasileira de Normas Tcnicas a ABNT

    NBR 5627:1980 Exigncias particulares das obras de concreto armado e protendido

    em relao resistncia ao fogo. A ABNT NBR 5627:1980 prescrevia o cobrimento e

    dimenses mnimas de elementos usuais de concreto como vigas, lajes e pilares. Devido

    ao conservadorismo para a poca, e a pouca ateno dada pelos projetistas ao problema,

    essa norma nunca foi efetivamente utilizada, sendo cancelada em 2001.

    Em 1981, na cidade de So Paulo, ocorreu um incndio no edifcio Grande

    Avenida levando morte 17 pessoas e ferindo outras 53.

    O edifcio Andorinhas, localizado na cidade do Rio de Janeiro, sofreu a ao de

    um incndio em 1986, deixando 20 mortes e 50 feridos. Em 1987, o edifcio CESP,

    cidade de So Paulo, entrou em colapso aps um incndio.

    Houve ento um grande avano da segurana contra incndio no pas. Em So

    Paulo, por meio de leis e decretos, foram aprovadas especificaes para instalao de

    sistemas de segurana contra incndio. Foi redigida a Instruo Tcnica CB-02.33-94

    que estabelecia tempos de resistncia ao fogo para estruturas de ao. Segundo Souza Jr.

    (2004) a instruo, com vigncia no Estado de So Paulo, um importante mercado, foi

    considerada bastante restritiva pelos setores interessados na promoo do uso do ao na

  • 68

    construo civil. Isso motivou a elaborao de normas com abrangncia nacional, para o

    dimensionamento de estruturas em situao de incndio.

    Em 1996, a ABNT instalou uma comisso de estudos na qual foi criado um grupo

    de trabalho, constitudo por representantes dos meios universitrio (Universidade de So

    Paulo, Universidade Federal de Minas Gerais e Universidade Federal de Ouro Preto) e

    tcnico para elaborar textos-base normativos sobre o assunto. A comisso composta,

    entre outros, de representantes do corpo de bombeiros do Estado de So Paulo, de

    fabricantes de material de revestimento contra fogo, do Instituto de Pesquisas

    Tecnolgicas, de escritrios de projeto, de siderrgicas, em 1999, aprovou a ABNT

    NBR 14323:1999 "Dimensionamento de estruturas de ao de edifcios em situao de

    incndio". Atualmente a norma encontra-se em processo de reviso. Para a utilizao da

    ABNT NBR 14323:1999, foi necessria a elaborao de outra norma, que fornecesse as

    diretrizes para a determinao da ao trmica nos elementos construtivos das

    edificaes. Foi elaborado um texto-base que deu origem ABNT NBR 14432:2000

    "Exigncias de resistncia ao fogo de elementos construtivos das edificaes". Essa

    norma vlida para quaisquer estruturas, independentemente do material utilizado.

    Em 2001, no Estado de So Paulo, o Decreto 46.076 instituiu o regulamento de

    segurana contra incndio das edificaes e reas de risco para os fins da Lei 684 de

    1975. Tambm em 2001, no Estado de Minas Gerais foi criada a Lei 14.130, que

    dispes sobre a preveno contra incndio e pnico, regulamentada pelo Decreto 44.270

    de 2006, semelhante ao Decreto 46.076 do Estado de So Paulo. Os objetivos dos

    decretos so: proporcionar condies de segurana contra incndio e pnico aos

    ocupantes das edificaes e reas de risco, possibilitando o abandono seguro e evitando

    perdas de vida; minimizar os riscos de eventual propagao do fogo para edificaes e

    reas adjacentes; proporcionar meios de controle e extino do incndio e pnico; dar

    condies de acesso para as operaes do corpo de bombeiros e garantir as intervenes

    de socorros. De acordo com a altura, rea, ocupao e uso das edificaes, so

    especificadas em instrues tcnicas, prescries relativas : acesso de viatura;

    segurana estrutural contra incndio; compartimentao horizontal e vertical; controle

    de materiais de acabamento; sadas de emergncia; plano de interveno de incndio;

    brigada de incndio; iluminao de emergncia; deteco de incndio; alarme de

  • 69

    incndio; sinalizao de emergncia; extintores; hidrantes ou mangotinhos; chuveiros

    automticos (sprinklers).

    O edifcio da Eletrobrs, cidade do Rio de Janeiro, sofreu a ao de um incndio

    sem vtimas, em 2004. Tambm, entrou em vigor a ABNT NBR 15200:2004 Projeto

    de estruturas de concreto em situao de incndio.

    Esses acontecimentos motivaram o desenvolvimento de vrias pesquisas. Entre os

    trabalhos realizados na UFMG, com relao ao desenvolvimento de modelos

    numricos, pode-se citar o modelo de elementos finitos para avaliao da distribuio

    de temperatura em estruturas, implementado por Figueiredo Jr. (2002). Neste trabalho

    foi desenvolvido o programa denominado CALTEMI, com base no programa CALTEP

    do Centro Integrado de Mtodos Numricos em Engenharia, CIMNE, da Universidade

    Politcnica da Catalunha, na Espanha (Zrate e Onate, 1993). O CALTEMI trata de

    problemas de transferncia de calor por conduo em domnios bidimensionais. Ribeiro

    (2004), a partir dos programas citados, desenvolveu o programa THERSYS, capaz de

    analisar problemas tridimensionais de transferncia de calor por conduo em domnios

    slidos. Algumas pesquisas utilizando os programas citados vm sendo realizadas na

    UFMG (Nbrega, 2003; Fakury et al., 2003a, 2003b, 2004).

    Souza Jr. (1998) na Universidade Federal de Ouro Preto desenvolveu um modelo

    de elementos de viga planos para modelagem de estruturas de ao em situao de

    incndio. A matriz de rigidez obtida considerando-se comportamento linear e elstico.

    A distribuio de temperatura na seo e ao longo do comprimento do elemento

    considerada uniforme. As deformaes trmicas no so consideradas no modelo.

    Vrias outras pesquisas vm sendo desenvolvidas nessa instituio utilizando-se uma

    verso inicial do programa VULCAN.

    Souza Jr. (2004) na Universidade Federal do Rio Grande do Sul implementou um

    modelo de elementos de viga 3D onde a no-linearidade fsica modelada com base no

    conceito de rtulas plsticas. A descrio cinemtica adotada tem por base o trabalho de

    Oran (1973) e a matriz de rigidez a proposta por Argyris et al. (1979).

    Landesmann (2003) na Universidade Federal do Rio de Janeiro desenvolveu um

    modelo computacional para anlise trmica e estrutural de estruturas de ao em situao

    de incndio. Nesse trabalho foi desenvolvido o programa PNL-F para anlise no-linear

    elasto-plstica de estruturas planas de ao em situao de incndio. A anlise trmica

  • 70

    realizada por meio de um procedimento no-linear com base no mtodo dos elementos

    finitos. O comportamento estrutural simulado por meio de princpios de plasticidade

    concentrada, que fazem uso do modelo refinado das rtulas plsticas, funes de

    estabilidade, mdulos tangentes e superfcies de interao de esforos. Utilizando-se o

    programa desenvolvido por Landesmann (2003) e o programa SAFIR, vrias outras

    pesquisas foram desenvolvidas nesta instituio (Landesmann e Batista, 2002).

    Fernandes (2004) apresenta um modelo de elementos finitos no-linear para modelagem

    de estruturas planas onde a anlise trmica realizada conforme a ABNT NBR

    14323:1999.

    Na Universidade de So Paulo, vrios trabalhos vm sendo realizados sobre o

    comportamento de estruturas de ao, concreto e madeira em situao de incndio (Silva,

    2005, 2006; Costa et al., 2005; Pinto et al., 2008). Recentemente modelos numricos

    para simulao de vigas mistas formadas por perfis de ao formados a frio vm sendo

    desenvolvidos (Regobello et al., 2007, 2008) utilizando programas comerciais como o

    ANSYS.

  • 3

    PLATAFORMA COMPUTACIONAL E

    METODOLOGIA

    A metodologia e os programas computacionais utilizados como plataforma para o

    desenvolvimento dos modelos numricos para anlise de estruturas em situao de

    incndio so apresentados. Neste captulo a nfase maior para a plataforma

    computacional utilizada. A metodologia e o desenvolvimento de cada modelo numrico

    so descritos separadamente e com maiores detalhes nos captulos seguintes.

    3.1. INTRODUO

    No trabalho de Caldas (2004), dois programas computacionais, restritos

    temperatura ambiente, foram desenvolvidos e modificados a partir de implementaes

    que podem ser divididas em dois grupos: (a) implementaes para anlise de sees

    transversais genricas de ao e concreto; (b) implementaes para anlise do

    comportamento de estruturas formadas por vigas e pilares com sees transversais

    genricas.

    No primeiro grupo, entre as implementaes para anlise de sees transversais

    genricas, foi desenvolvido o programa CSTM (Clculo de Sees Transversais

    Mistas), capaz de realizar anlises no-lineares de sees transversais genricas. Entre

    as funes disponveis tem-se a obteno de esforos resistentes, relaes momento-

    curvatura e superfcies de interao. A partir desse programa foram desenvolvidos neste

    trabalho modelos para anlise de sees genricas em situao de incndio. Nesses

    desenvolvimentos, a maior dificuldade foi a definio dos estados limites ltimos do

  • 72

    concreto, que podem ser dados por domnios de deformao, propostos neste trabalho e

    apresentados no captulo 5.

    Entre as implementaes realizadas por Caldas (2004), voltadas para anlise do

    comportamento estrutural, desenvolveu-se um modelo de elementos finitos capaz de

    representar o comportamento de pilares mistos, considerando-se as no-linearidades

    fsica e geomtrica. O modelo tambm foi utilizado para anlise de vigas de ao e

    mistas de ao e concreto. Utilizando-se elementos de mola, desenvolveu-se ainda um

    sistema capaz de simular prticos planos semi-rgidos. Nessas implementaes,

    utilizou-se como plataforma computacional o programa FEMOOP, Finite Element

    Method Object Oriented Program.

    O FEMOOP foi inicialmente desenvolvido na Pontifcia Universidade Catlica do

    Rio de Janeiro (Martha e Parente Jr., 2002) em linguagem C++, com programao

    orientada a objetos, a partir de 1990 (Guimares, 1992) e foi utilizado por vrios

    pesquisadores, como Pitangueira (1998), Parente Jr. (2000) e Sousa Jr. (2000). Em sua

    biblioteca podem ser encontrados elementos de trelia, viga bidimensionais e

    tridimensionais no-lineares (Caldas, 2004; Muniz, 2005), elementos de placa, casca e

    slidos no-lineares. A partir das implementaes feitas no FEMOOP por Caldas

    (2004), foram desenvolvidos neste trabalho elementos de viga tridimensionais, mola e

    casca para modelagem de estruturas em situao de incndio (captulos 6, 7 e 8).

    Para viabilizar esses desenvolvimentos, modelos para anlise de transferncia de

    calor foram estudados. Esses estudos so apresentados no captulo seguinte e levaram s

    implementaes numricas para anlise de transferncia de calor apresentados neste

    trabalho.

    3.2. PROGRAMA CSTM

    O programa CSTM foi desenvolvido para plataforma Windows utilizando a

    linguagem C++. No desenvolvimento do programa, foram utilizados alguns pacotes

    grficos, como IUP, Sistema Porttil de Interface com o Usurio, e o CD, Canvas Draw

    (www.tecgraf.puc-rio.br). O IUP um sistema de criao de interfaces que permite que

    o programa possa ser executado em diferentes sistemas operacionais como Windows e

    Linux. O CD uma biblioteca grfica 2D que contm funes para suportar aplicaes

  • 73

    com grficos vetoriais e imagens. Possui tambm drivers que permitem, por exemplo, a

    gerao de arquivos em formato DXF, EMF e WMF.

    O programa CSTM tem algoritmos implementados para obteno de (i) esforos

    resistentes, (ii) relaes momento-curvatura, (iii) configurao deformada da seo em

    funo dos esforos solicitantes, (iv) superfcie de interao entre fora axial e

    momento, (v) superfcie de interao dos momentos para uma dada fora axial e (vi)

    superfcie de iterao tridimensional, fora axial e momentos.

    Neste trabalho apenas alguns pontos de maior interesse do programa CSTM sero

    abordados. Para maiores detalhes deve-se consultar o trabalho de Caldas (2004).

    3.2.1 Obteno de Esforos em Sees Transversais Mistas de Ao e Concreto

    Define-se a seo transversal por meio de poligonais, uma para o componente

    concreto que sempre envolve toda a seo, outra para o perfil metlico e outras para as

    aberturas contidas na poligonal do componente concreto. Barras de armadura so

    definidas pontualmente e localizadas no interior da poligonal do concreto, figura 3.2.1.

    Os vrtices das poligonais so descritos segundo um sistema de coordenadas xyz

    declarados no sentido anti-horrio.

    1

    2

    4

    5

    1

    2

    3

    4

    5 1

    23

    4 5

    67

    8 9

    1011

    12

    1

    5

    4

    3

    2

    LOCAL

    y LOCAL z

    a

    MRx

    MRy

    NRz

    LN

    CP

    LOCAL

    x LOCAL y

    z LOCAL x

    Figura 3.2.1 Definio da seo transversal e sistemas locais ou seccionais.

  • 74

    Os esforos resistentes da seo transversal so os momentos fletores MRx, MRy e

    o esforo axial NRz descritos segundo um sistema local, seccional, de coordenadas xyz,

    paralelo ao sistema global, XYZ, e com origem em um ponto qualquer do plano que

    contm a seo, figura 3.2.1.

    Um outro sistema local, seccional, , rotacionado em relao ao sistema xyz

    de um ngulo igual ao de inclinao da linha neutra , com o eixo paralelo linha

    neutra, tambm definido (figura 3.2.1). A utilizao desse sistema interessante, por

    exemplo, na obteno de pontos sob maiores e menores deformaes na seo uma vez

    que o eixo perpendicular linha neutra.

    Com base na hiptese de que sees planas permanecem planas, e a perfeita

    aderncia entre o concreto e ao, para definir a deformada da seo dispe-se de trs

    alternativas:

    i) 0 , xk e yk que definem, respectivamente, deformao na origem do sistema xyz,

    curvatura em torno do eixo x, curvatura em torno do eixo y (figura 3.2.1). Obtm-se a

    deformao em um ponto (x,y) qualquer da seo com a expresso

    ( ) xkyky,x yx0 += ; (3.2.1)

    ii) 0 , 0k e que definem, respectivamente, deformao na origem do sistema ,

    figura 3.2.1, curvatura em torno da linha neutra, ngulo de inclinao da linha neutra em

    relao ao eixo x, sendo positivo no sentido anti-horrio. Obtm-se a deformao em

    um ponto ( ), qualquer com a expresso

    ( ) += 00 k, , (3.2.2)

    equivalente expresso 3.2.1;

    iii) e , onde um parmetro de deformao com o qual descrevem-se

    deformadas da seo restritas ao estado limite ltimo, figura 3.2.2.

    Para o concreto, considera-se o diagrama tenso-deformao simplificado fixado

    pelo Cdigo Modelo CEB (CEB, 1990), composto de uma parbola e de uma reta,

    tambm utilizado pela ABNT NBR 6118:2003. Para o ao, uma relao tenso-

    deformao bi-linear (elasto-plstico perfeita) adotada.

    Os esforos seccionais resistentes MRx, MRy e NRz, momentos fletores em torno

    dos eixos locais (seccionais) x e y (figura 3.2.1), e fora axial segundo o eixo z,

  • 75

    respectivamente, so obtidos por integrao das tenses definidas para valores das

    variveis de deformao, por exemplo 0 , xk e yk ,

    = dAN zz , = ydAM zx e = xdAM zy (3.2.3)

    As integrais referentes aos esforos seccionais dados pelas expresses 3.2.3 so

    resolvidas aps uma transformao das integrais de superfcie (rea) em integrais de

    contorno por meio de uma aplicao do teorema de Green (Caldas, 2004).

    3.2.2 Obteno de Superfcies de Interao em Sees Transversais

    Duas formulaes utilizadas para a obteno das superfcies de interao em

    sees transversais esto implementadas no programa CSTM. Uma das formulaes

    utiliza o mtodo de Newton Raphson e outra utiliza um parmetro de deformao, o

    parmetro , que descreve as configuraes deformadas em estado limite ltimo da

    seo. Apresenta-se a seguir somente a formulao que utiliza o parmetro (Caldas,

    2004), pois este procedimento ser estendido para sees transversais em situao de

    incndio neste trabalho.

    Para definir a configurao deformada de uma seo em flexo oblqua, so

    necessrios pelo menos trs parmetros, por exemplo, 0 , xk e yk . Porm, se a

    descrio da deformada corresponde a um estado limite ltimo, pode-se definir apenas

    dois parmetros, j que algum valor de deformao sempre estar fixo, segundo a figura

    3.2.2, que apresenta os domnios de deformao da ABNT NBR 6118:2003 e do CEB

    (1990). Com estas informaes, ajustam-se equaes que, a partir do valor do parmetro

    e do ngulo de inclinao da linha neutra, , podem percorrer todas as possveis

    configuraes deformadas em estado limite ltimo da seo. Para cada configurao, os

    esforos resistentes, fora axial e momentos fletores, so calculados a partir das

    expresses 3.2.3, obtendo-se assim as superfcies de interao de esforos ponto a

    ponto.

  • 76

    alongamento

    10A

    a 2

    d'

    1

    y

    3

    4

    4a

    b

    5

    C

    B

    encurtamento2 cu

    h

    Figura 3.2.2 Representao dos domnios de deformao correspondentes ao estado limite ltimo de uma seo (ABNT NBR 6118:2003).

    3.3. ASPECTOS RELEVANTES DO PROGRAMA FEMOOP

    Uma importante caracterstica do FEMOOP a possibilidade de tratar modelos de

    elementos finitos com diferentes dimenses de uma forma genrica (Martha e Parente

    Jr., 2002). Isso possvel por meio da definio de duas classes: Analysis Model and

    Shape. A primeira responsvel por especificar aspectos relacionados equao

    diferencial que governa o comportamento do elemento finito, enquanto a ltima define

    aspectos referentes interpolao das variveis e da geometria. Em nvel global, por

    meio da classe Control tem-se a implementao dos algoritmos que controlam a anlise

    do problema, a partir da qual se deriva a classe Equilibrium Path, que contm os

    diferentes mtodos de obteno dos caminhos de equilbrio (path-following methods).

    A entrada e sada de dados do programa so feitas por meio de arquivos neutros,

    Neutral File (www.tecgraf.puc-rio.br/neutrafile). O arquivo neutro foi criado com os

    objetivos de conter todas as informaes necessrias para os programas de pr e ps-

    processamento e anlise por elementos finitos, sendo facilmente legvel por programas

    em FORTRAN, C ou C++.

    3.3.1 Modelo de Elementos Finitos para Anlise de Pilares Mistos

    Neste item, apresenta-se a formulao do elemento de viga com 11 graus de

    liberdade, figura 3.3.2, implementado no programa FEMOOP por Caldas (2004). O

  • 77

    elemento tem por base uma formulao lagrangiana total, adequado para grandes

    deslocamentos e rotaes moderadas. Os deslocamentos transversais so interpolados

    por funes hermitianas cbicas. Para os deslocamentos axiais, funes quadrticas so

    empregadas, com um grau de liberdade axial hierrquico, figura 3.3.2.

    Na figura 3.3.1 apresenta-se uma barra reta indeformada de comprimento l , seo

    transversal qualquer e um sistema de eixos cartesianos globais ortogonais xyz. A origem

    pode ser em um ponto qualquer no plano de uma das sees extremas da barra.

    Admite-se que sees planas permaneam planas aps a deformao, hiptese de

    Navier-Bernoulli, e considera-se total aderncia entre o ao e o concreto. O efeito das

    deformaes produzidas pelo esforo cortante desprezado, considerando-se estado

    uniaxial de tenses.

    x

    zy

    seo transversal

    genrica

    (a)

    1

    2

    4

    5

    1

    2

    3

    4

    5 1

    23

    4 5

    67

    8 9

    1011

    12

    1

    5

    4

    3

    2

    LOCAL

    y LOCAL z

    a

    MRx

    MRy

    NRz

    LN

    CP

    LOCAL

    x LOCAL y

    z LOCAL x

    (b)

    Figura 3.3.1 Sistema de coordenadas de referncia: (a) sistema global;

    (b) sistema local ou seccional.

  • 78

    Sendo u, v e w as componentes de deslocamento nas direes globais x, y e z,

    respectivamente, tem-se (Garcia e Villaa, 1999, Crisfield, 1991) a expresso para

    rotaes moderadas para a componente x de deformao axial

    +

    +

    =

    22

    x x

    w

    x

    v

    2

    1

    x

    u (3.3.1)

    Usando-se a notao x/)()'( = nas expresses seguintes e sendo o campo de

    deslocamentos dados por

    ( ) zwyvxuu o = , ( )xvv o= e ( )xww o= , (3.3.2)

    tem-se

    ( ) ( )[ ] zwyvwv2

    1u 22x ++= , (3.3.3)

    ou

    yzox zkyk += , (3.3.4)

    onde

    ( ) ( )[ ]22o wv21

    u ++= , wk y = e vkz = (3.3.5)

    so, respectivamente, a deformao axial e as curvaturas em torno dos eixos y e z.

    Usando-se o princpio dos trabalhos virtuais, PTV, podem-se estabelecer as

    equaes de equilbrio no-lineares para a estrutura (Garcia e Villaa, 1999). Com as

    hipteses adotadas na presente formulao, reduz-se a expresso do PTV para

    0WW extint = (3.3.6)

    sendo

    = VdW xxint (3.3.7)

    onde x a variao na deformao axial produzida pela variao nos deslocamentos

    virtuais. A integral de volume realizada na estrutura indeformada, caracterizando uma

    formulao lagrangiana total.

    Discretizando o volume V da estrutura em elementos finitos de volume Vm, sendo

    m um elemento genrico e ne o nmero total de elementos, pode-se escrever a

    expresso 3.3.7 como

  • 79

    ( ) =

    =ne

    1mmxxint VdW . (3.3.8)

    A variao de x , expresso 3.3.3, resulta em

    wzvywwvvux ++= . (3.3.9)

    Substituindo-se a expresso 3.3.9 em 3.3.8, tem-se

    ( )[ ] =

    ++=ne

    1mxxxint dxAdvydxAdwzdxAdwwvvuW .

    (3.3.10)

    A partir das expresses 3.2.3, e observando-se a figura 3.3.1, tem-se

    = dAN xx , = zdAM xy e = ydAM xz . (3.3.11)

    Na expresso 3.3.11, Nx a fora axial interna na direo x, My o momento

    interno em torno do eixo y e Mz o momento interno em torno do eixo z, resultantes das

    tenses na seo funo das deformaes, que por sua vez so funes dos

    deslocamentos do elemento. Substituindo as expresses 3.3.11 em 3.3.10 tem-se

    ( )[ ]{ } =

    +++=ne

    1mzyxint xdvMwMwwvvuNW . (3.3.12)

    Conhecendo o carregamento externo, rm, aplicado nos ns do elemento, tem-se

    mT

    extW rq= (3.3.13)

    e, sendo q um conjunto de deslocamentos nodais generalizados do elemento, obtm-se a

    partir da expresso 3.3.12,

    +

    +

    +

    = xd

    vM

    wM

    ww

    vv

    uNW zyx

    Tint

    qqqqqq . (3.3.14)

    Levando-se as expresses 3.3.14 e 3.3.13 em 3.3.6, obtm-se para o elemento a

    expresso

    0xdv

    Mw

    Mw

    wv

    vu

    N mmmzyx ==

    +

    +

    +

    = rfr

    qqqqq .

    (3.3.15)

    Tem-se ento um conjunto de neq equaes no lineares, onde neq o nmero de

    graus de liberdade do elemento, e

  • 80

    +

    +

    +

    = xd

    vM

    wM

    ww

    vv

    uN zyxm

    qqqqqf (3.3.16)

    o vetor das foras internas do elemento.

    A partir da expresso 3.3.16, derivando o vetor de foras internas em relao aos

    deslocamentos nodais q, obtm-se a matriz de rigidez km do elemento, logo

    +

    +

    +

    +

    +

    = xdMvMw

    wwN

    vvN

    Nww

    vv

    u

    T

    z

    Ty

    T

    x

    T

    x

    T

    x

    m

    qqqq

    qqqqqqqqk (3.3.17)

    No modelo implementado faz-se interpolao quadrtica para u, e cbica para v e

    w. A figura 3.3.2 apresenta os graus de liberdade analisados.

    x, u

    z, w

    y, vw1

    z1

    v1y1

    u3

    v2y2

    w2

    z2

    u1 u2seo transversal

    genrica

    x2x1

    Figura 3.3.2 Eixos de referncia e graus de liberdade locais.

    Os componentes de deslocamentos u, v e w so aproximados em funo dos

    deslocamentos nodais locais generalizados TwTvTuT qqqq = (a notao ser empregada para representar vetor linha), sendo

    321Tu uuu=q , 2z21z1

    Tv vv =q e

    2y21y1Tw ww =q (3.3.18)

    e, usando-se os polinmios

  • 81

    ( )

    ( )

    +

    =

    12

    11

    12

    1

    2u ,

    ++

    +

    +

    +

    =

    32

    3

    32

    3

    v

    4

    1

    4

    1

    4

    1

    4

    1

    2

    4

    1

    4

    3

    2

    14

    1

    4

    1

    4

    1

    4

    1

    2

    4

    1

    4

    3

    2

    1

    l

    l

    e

    ++

    +

    +

    +

    =

    32

    3

    32

    3

    w

    4

    1

    4

    1

    4

    1

    4

    1

    2

    4

    1

    4

    3

    2

    14

    1

    4

    1

    4

    1

    4

    1

    2

    4

    1

    4

    3

    2

    1

    l

    l

    (3.3.19)

    como funes de interpolao na coordenada generalizada 1x2

    =l

    , tem-se

    uTuu q= , v

    Tvv q= e w

    Tww q= (3.3.20)

    A derivao dessas expresses em relao coordenada x fornece

    uTuu q= , v

    Tvv q= e w

    Tww q= (3.3.21)

    e, derivando-se as expresses 3.3.21 em relao a q,

    =

    w

    v

    uu

    0

    0q

    ,

    =

    w

    v

    u

    v

    0

    0

    q,

    =

    w

    v

    u

    w0

    0

    q,

    =

    w

    v

    u

    v

    0

    0

    q e

    =

    w

    v

    u

    w0

    0

    q. (3.3.22)

    Observa-se a presena das rotaes nos graus de liberdade generalizados, mas,

    pela hiptese de rotaes moderadas, vz e wy , ficando assegurada a

    continuidade de v e w. A figura 3.3.2 mostra o sistema xyz e os graus de liberdade do

    elemento.

    Derivando as funes de interpolao, expresses 3.3.19, em relao coordenada

    x tem-se

    ( )

    +

    =

    2

    122

    2

    2

    12Tu

    lll

    ++

    +

    += 2222Tv 4

    3

    2

    1

    4

    1

    4

    3

    4

    32

    4

    3

    2

    1

    4

    1

    4

    3

    4

    32

    ll

  • 82

    +

    ++

    += 2222Tw 4

    3

    2

    1

    4

    1

    4

    3

    4

    32

    4

    3

    2

    1

    4

    1

    4

    3

    4

    32

    ll

    +

    +

    =

    2

    3

    2

    12

    2

    34

    2

    3

    2

    12

    2

    34

    22Tv

    llll

    +

    +

    =

    2

    3

    2

    12

    2

    34

    2

    3

    2

    12

    2

    34

    22Tw

    llll (3.3.23)

    e, com relao s derivadas referidas a q, os vetores nulos presentes na expresso 3.3.22

    so definidos como

    000Tu =0 0000

    Tv =0 0000

    Tw =0 (3.3.24)

    Substituindo as devidas relaes nas expresses 3.3.17 e 3.3.16, obtm-se,

    respectivamente, a matriz de rigidez tangente e o vetor das foras internas do elemento.

    respectivamente

    +

    +

    +

    = xd

    MN

    Nw

    MN

    Nv

    N

    Ty

    wwvux

    T

    xw

    T

    zvwvux

    T

    xv

    T

    xu

    m

    q00

    q

    q00

    q

    q

    k (3.3.25)

    e,

    +

    = xd

    MwN

    MvN

    N

    wywx

    vzvx

    ux

    mf . (3.3.26)

    As derivadas dos esforos internos que aparecem na expresso da matriz de

    rigidez, expresso 3.3.25, so funo de rigidezes generalizadas, obtidas utilizando-se a

    mesma tcnica para obteno dos esforos resistentes apresentada no item referente ao

    programa CSTM. Observa-se nesse ponto a relao entre as pesquisas voltadas para o

    comportamento da seo e as pesquisas voltadas para o comportamento dos elementos

    estruturais. Diferentemente do que foi feito por Caldas (2004), onde os esforos e

    rigidezes generalizadas so obtidos analiticamente utilizando-se uma aplicao do

    Teorema de Green, no desenvolvimento dos modelos para anlise em temperatura

    elevada, utilizou-se um modelo de fibras. Essa opo foi feita pelo fato de que as

  • 83

    relaes tenso-deformao dos materiais em temperatura elevada, em geral, no serem

    polinomiais, impossibilitando o uso do Teorema de Green.

    Caldas (2004) desenvolveu outro modelo a partir da modificao do elemento

    finito apresentado eliminando-se os graus de liberdade fora do plano xz e incluindo ao

    sistema de anlise a matriz de rotao, tornando possvel a anlise de prticos planos de

    ao, concreto, mistos ou hbridos. Alm disto, foram adicionados ao sistema elementos

    de mola capazes de simular ligaes semi-rgidas ou mistas.

    3.4. METODOLOGIA DE DESENVOLVIMENTO DOS MODELOS

    NUMRICOS PARA ANLISE EM SITUAO DE INCNDIO

    Neste item, uma descrio geral da metodologia utilizada apresentada. Nos

    captulos seguintes, a metodologia e o desenvolvimento de cada modelo numrico so

    descritos separadamente com maiores detalhes.

    O programa CSTM e os modelos de elementos finitos apresentados foram

    validados a partir de resultados numricos e experimentais encontrados na literatura,

    sempre apresentando bons resultados na modelagem de estruturas de ao, concreto e

    mistas temperatura ambiente (Caldas, 2004). Os programas apresentados foram

    utilizados como plataforma bsica para o desenvolvimento dos modelos numricos para

    anlise de estruturas em situao de incndio, apresentados nos captulos seguintes

    deste trabalho.

    A partir do programa CSTM foi desenvolvido um sistema para anlise de sees

    considerando os estados limites ltimos em situao de incndio, denominado CSTMI

    (Clculo de Sees Transversais Mistas em Situao de Incndio). Em procedimentos

    normativos, quando se trata de sees transversais, o estado limite ltimo, ou seja, a

    capacidade resistente a nica verificao exigida para as estruturas em situao de

    incndio. Essa observao mostra a principal aplicao desse programa, voltado para a

    anlise e desenvolvimento de procedimentos de projeto em situao de incndio.

    Para a completa anlise de sees transversais submetidas a tenses normais em

    situao de incndio, duas etapas so necessrias: obteno da distribuio de

    temperaturas na seo (captulo 4) e obteno dos esforos normais resistentes (captulo

    5). A partir dos esforos resistentes e rigidezes calculadas para a seo de um dado

  • 84

    elemento estrutural exposto ao incndio, pode-se avaliar o comportamento deste por

    meio de mtodos analticos como os utilizados para verificao de estruturas

    temperatura ambiente.

    A partir dos elementos finitos implementados no FEMOOP foi desenvolvido um

    sistema para anlise termomecnica. Apesar da verso original do programa modificada

    neste trabalho possuir vrias formulaes de elementos de casca e placa implementados,

    alguns com considerao das no-linearidades geomtrica e fsica utilizando modelos de

    plasticidade, estes no so capazes de modelar, por exemplo, lajes de concreto armado.

    O programa tambm possui elementos slidos no-lineares geometricamente e a

    possibilidade de utilizao de vrios modelos de plasticidade para os materiais. Os

    principais desenvolvimentos, apresentados nos captulos seguintes deste trabalho,

    foram: um modelo de elementos de barra 3D no-linear e de um mtodo incremental-

    iterativo para obteno do caminho de equilbrio de estruturas submetidas ao

    trmica do incndio (captulo 6); um modelo constitutivo associado a um esquema de

    camadas (layers) para considerao da no-linearidade fsica em elementos de casca,

    possibilitando a modelagem de lajes de concreto armado em temperatura elevada

    (captulo 7); um elemento de mola para modelagem de ligaes e conectores de

    cisalhamento (captulo 8).

    Um outro programa denominado ANTRAC (Anlise de Transferncia de Calor)

    foi desenvolvido (captulo 4) e que constitui a base (arquivos fontes) para a anlise de

    transferncia de calor dos demais programas CSTMI e FEMOOP. O programa contm

    todas as propriedades dos materiais (ao, concreto e materiais de proteo) como calor

    especfico, massa especfica, condutividade trmica, dilatao trmica e relao tenso-

    deformao.

  • 4

    MODELOS PARA

    TRANSFERNCIA DE CALOR

    Apresentam-se a implementao e o desenvolvimento de modelos numricos para

    anlise de transferncia de calor por conduo e radiao utilizados neste trabalho.

    Modelos com base em elementos finitos e diferenas finitas so descritos.

    4.1 INTRODUO

    De maneira geral, anlises de transferncia de calor envolvem slidos, lquidos e

    gases. Aplicaes incluem mquinas, componentes eletrnicos, processos qumicos e,

    no caso deste trabalho, a elevao de temperatura em elementos construtivos.

    Quando o objetivo a obteno de tenses (esforos em uma anlise estrutural),

    anlises de transferncia de calor em meios slidos so aplicadas para a determinao

    da distribuio de temperatura a partir das quais podem se obter as deformaes

    trmicas e a influncia nas propriedades dos materiais (modificao da resistncia e

    rigidez). Em anlises numricas conveniente realizar a anlise trmica e em seguida o

    clculo dos esforos. Por vezes, as mesmas discretizaes so utilizadas nas duas fases.

    Esse procedimento adequado quando as temperaturas influenciam os esforos sem

    nenhuma influncia dos esforos ou deslocamentos nas temperaturas, ou seja, o

    problema desacoplado (Cook et al., 2002).

    O calor transmitido dentro de um slido por conduo e transferido a partir de

    um slido por conveco e por radiao, figura 4.1.1. O calor tambm pode ser gerado

    internamente, como, por exemplo, em resistncias eltricas.

  • 86

    Temperatura

    prescrita

    Fluxo de calor prescrito

    y

    x

    n

    Radiao

    Conveco

    g

    c

    r

    Calor interno

    gerado

    Conduo

    de calor

    Figura 4.1.1 Condies de contorno em um problema de conduo de calor em meio

    slido.

    A condutividade e outras propriedades podem ser funes da temperatura, o que

    torna a anlise trmica no-linear. A anlise tambm ser no-linear se a radiao for

    uma condio de contorno, pois o fluxo de calor associado depende da diferena da

    quarta potncia das temperaturas absolutas (escala Kelvin).

    O problema considerado neste trabalho a determinao da distribuio de

    temperaturas em slidos (elementos estruturais), a partir das propriedades e condies

    de contorno conhecidas. As propriedades utilizadas podem ser encontradas na literatura

    ou obtidas experimentalmente. As condies de contorno em incndio (radiao e

    conveco) so obtidas a partir da relao temperatura-tempo dos gases (item 2.3) e/ou

    fluxos de calor obtidos analiticamente ou por simulaes numricas.

    Para o projeto de estruturas de concreto em situao de incndio, as normas

    deixam em aberto a obteno da distribuio de temperaturas nos elementos estruturais

    (EN 1992-1-2:2004; ABNT NBR 15200:2004). Algumas normas como o EN 1992-1-

    2:2004 apresentam isotermas para as sees transversais mais usuais de pilares, vigas e

    lajes. Em normas voltadas para verificao de estruturas mistas, como o EN 1994-1-

    2:2005, podem ser vistos alguns procedimentos especficos onde as temperaturas

    mdias em partes da seo transversal so obtidas analiticamente, caso, por exemplo, de

    pilares parcialmente envolvidos por concreto e lajes mistas. No Model Code on Fire

    Engineering (ECCS-TC3, 2001) so apresentadas algumas isotermas para pilares

    tubulares preenchidos com concreto, alm de procedimentos similares aos apresentados

    pelo projeto de reviso da ABNT NBR 14323:1999 (PR NBR 14323:2003) e o EN

  • 87

    1994-1-2:2005 para obteno da temperatura em pilares mistos e lajes. Observa-se que,

    em se tratando de elementos de concreto armado ou mistos, extremamente

    recomendvel a utilizao de algum modelo numrico, mtodo dos elementos finitos ou

    das diferenas finitas, ou ensaios experimentais para obteno da elevao da

    temperatura nos elementos.

    Para o projeto de estruturas de ao, as normas PR NBR 14323:2003 e EN 1993-1-

    2:2005 apresentam procedimentos incrementais para obteno da elevao da

    temperatura em sees transversais. Devido s formas geomtricas dos perfis de ao, o

    conceito de massas concentradas, juntamente com a alta condutividade trmica do ao,

    permite o desenvolvimento de expresses para obteno da elevao da temperatura em

    elementos com ou sem proteo contra incndio. A elevao de temperatura, em graus

    Celsius, na seo transversal de um elemento estrutural de ao sem proteo contra

    incndio, situado no interior da edificao, durante um intervalo de tempo t em

    segundos, dada por (EN 1993-1-2:2005)

    ( )t

    c

    A/uk

    aast,a

    = , (4.1.1)

    onde A/u o fator de massividade para elementos estruturais de ao sem proteo

    contra incndio; de maneira geral, u a rea de superfcie por unidade de comprimento

    do elemento (EN 1993-1-2:2005) ou simplesmente, o permetro exposto da seo de ao

    ao incndio (PR NBR 14323:2003); A o volume por unidade de comprimento do

    elemento (EN 1993-1-2:2005), ou simplesmente, a rea da seo transversal do

    elemento estrutural (PR NBR 14323:2003); a a massa especfica e ac o calor

    especfico do ao; o valor do fluxo de calor por unidade de rea, transferido por

    radiao ou conveco (expresses 4.2.3 e 4.2.4a); sk um coeficiente que leva em

    conta o efeito de sombra (shadow effect) que considera que a energia que chega ao

    elemento no pode ser superior energia que passa atravs do menor retngulo que

    envolve a seo. Nesse caso, no h mais energia atingindo a superfcie do elemento do

    que a energia que flui atravs do menor retngulo que envolve a seo. Na ABNT NBR

    14323:1999 no aparece o coeficiente sk , porm, a emissividade relativa (que aparece

    na expresso do fluxo de calor por radiao, 4.2.4a) tem valor inferior ao indicado pelo

    EN 1993-1-2:2005. O valor de t deve ser limitado para garantir a estabilidade da

    soluo no clculo das temperaturas. Para elementos com proteo contra incndio a

  • 88

    elevao da temperatura, em graus Celsius, dada pela expresso (EN 1993-1-2:2005;

    ABNT NBR 14323:1999)

    ( ) ( ) ( ) t,g10/t,at,gaam

    mmt,a 1et3/1ct

    A/u

    +

    = (4.1.2)

    com

    ( )A/utc

    cmm

    aa

    mm

    = (4.1.3)

    onde A/um o fator de massividade para elementos estruturais envolvidos por

    material de proteo contra incndio; mu a rea apropriada do material por unidade de

    comprimento do elemento estrutural, ou simplesmente, o permetro apropriado do

    material de proteo contra incndio, mc o calor especfico do material de proteo

    contra incndio; mt a espessura do material, t,g a temperatura dos gases no tempo

    t, m a condutividade trmica e m a massa especfica do material de proteo

    contra incndio. Na expresso 4.1.3, 0t,a se 0t,g . Essa considerao feita

    porque o segundo termo da expresso pode levar a uma diminuio da temperatura do

    ao nos primeiros estgios de aumento da temperatura dos gases no incndio.

    A limitao de t na soluo das expresses 4.1.2 e 4.1.3 est associada

    utilizao de um algoritmo de integrao explcita da expresso. Algoritmos implcitos

    podem ser utilizados com maiores valores de t , porm, com computadores cada vez

    mais modernos, o tempo de processamento no um problema (Franssen e Zaharia,

    2006).

    Com relao s expresses 4.1.2 e 4.1.3, algumas observaes podem ser feitas:

    - a expresso 4.1.1 da elevao de temperatura para o ao sem proteo resolve

    exatamente a equao de transferncia de calor em meios slidos. Pode-se notar que a

    expresso considera a transferncia de calor nos contornos, tendo os resultados

    influenciados pela emissividade relativa e coeficiente de conveco considerados;

    - a expresso 4.1.3 de elevao de temperatura do ao com proteo, desenvolvida a

    partir de vrias simplificaes e apresenta um coeficiente exponencial para correo.

    Nota-se que a emissividade relativa e o coeficiente de conveco so fatores que no

    entram na expresso. Segundo Franssen e Zaharia (2006), as propriedades do material

    de proteo que so utilizadas na expresso de elevao de temperatura devem ser

  • 89

    determinadas experimentalmente segundo a norma ENV 13381-4:2002. De acordo com

    essa norma, vrios elementos, com diversos fatores de massividade e espessuras de

    material de proteo devem ser expostos ao incndio-padro. A condutividade trmica

    calculada com o inverso da expresso de elevao de temperatura usando as

    temperaturas medidas no ensaio. A massa especfica e o calor especfico devem ser

    fornecidos pelo fabricante do produto (se o calor especfico no conhecido, um valor

    de 1000 J/kgC pode ser assumido). Dessa forma, as propriedades trmicas

    determinadas segundo a ENV 13381-4:2002 so aplicveis somente ao tipo de seo

    ensaiado, por exemplo, I ou H, sendo possvel a necessidade de ajustes para aplicao

    do produto em sees U ou T e sees tubulares. Portanto, nota-se que a condutividade

    trmica, obtida dessa forma, inclui fatores como tipo de seo, umidade da proteo,

    efeitos das vrias reaes qumicas que ocorrem nos materiais de proteo, podendo

    absorver calor e retardando a elevao da temperatura nos elementos protegidos e o

    efeito de sombra (shadow effect), que modifica a transferncia de calor por radiao em

    pontos menos expostos da seo. Logo, extremamente importante que as hipteses

    feitas para obteno da condutividade trmica do material, obtida da expresso de

    elevao de temperatura, sejam consistentes com as hipteses feitas ao se analisar os

    resultados experimentais utilizados para derivao desta condutividade;

    - Franssen e Zaharia (2006) atentam que tm sido aceitveis algumas discrepncias

    entre os resultados de um modelo avanado (elementos finitos ou diferenas finitas) e

    de modelos simplificados (expresses de norma) devido s aproximaes e

    simplificaes introduzidas nos ltimos. Normalmente, acredita-se que a introduo de

    aproximaes e simplificaes seja a favor da segurana. Porm, se um modelo

    avanado de clculo utilizado, em sees I ou H, por exemplo, as temperaturas

    obtidas, em geral, so maiores do que as obtidas pelos modelos simplificados. Isto

    contra o princpio usualmente aceito de que modelos simplificados sejam conservadores

    comparados com modelos mais avanados. Franssen e Zaharia (2006) indicam a

    utilizao de fatores para levar em conta o efeito de sombra. Deve-se mencionar que o

    EN 1991-1-2:2002 utiliza para emissividade relativa um valor de 0,8, bem superior ao

    do PR NBR 14323:2003, que utiliza 0,5, portanto, esse efeito j foi em parte

    considerado nas analises realizadas segundo o PR NBR 14323:2003.

  • 90

    4.2 CONDUO DE CALOR E SUAS CONDIES DE CONTORNO

    Trs so os mecanismos bsicos de transferncia de calor: conduo, conveco, e

    radiao. Na conduo, o calor transferido a nvel molecular sem qualquer movimento

    de pores macroscpicas da matria. Em geral, os elementos submetidos

    transferncia de calor por conduo tm como condies de contorno transferncias de

    calor por conveco e radiao (figura 4.1.1).

    A conveco se refere transferncia de calor na interface entre um fluido e as

    superfcies de um slido. A transferncia devida ao movimento do fludo, o qual pode

    ser originado por uma fora externa, independente dos gradientes trmicos, causando o

    que se chama de conveco forada. Em um compartimento incendiado tm-se

    correntes de conveco de direes aleatrias e altas velocidades devido ao aumento de

    volume proporcionado pela combusto, configurando uma conveco forada. A

    conveco tambm pode ser devida ao gradiente de temperaturas no fludo, causando a

    chamada conveco natural.

    A radiao a transferncia de calor atravs de ondas eletromagnticas que

    podem ser absorvidas, transmitidas ou refletidas pelas superfcies. Diferentemente da

    conduo e da conveco, a radiao no necessita de um meio entre a fonte de calor e o

    receptor.

    Somente em casos simples possvel encontrar solues analticas para o

    problema da transferncia de calor. Portanto, em anlises em situao de incndio, os

    problemas de transferncia de calor so tratados experimentalmente ou numericamente.

    A conduo de calor em meios slidos e em trs dimenses governada pela

    equao diferencial

    tc

    zzyyxx zyx

    =+

    +

    +

    & (4.2.1)

    onde & a taxa de calor interno gerado, x , y e z so as condutividades trmicas

    nas direes x, y e z, respectivamente, c o calor especfico, a densidade do

    material, ( )t,z,y,x o campo de temperaturas e t o tempo.

    Reescrevendo-se os termos da expresso 4.2.1, considerando-se a condutividade

    trmica igual nas direes x, y e z, tem-se, em um domnio , a expresso

  • 91

    tcT

    =+ & . (4.2.2)

    O campo de temperaturas que satisfaz a expresso 4.2.2 de conduo de calor no

    domnio deve satisfazer certas condies de contorno, que podem ser: temperaturas

    prescritas numa parte do contorno; fluxo de calor prescrito p numa outra parte p ;

    transmisso de calor por conveco entre uma parte c

    temperatura , e o fludo

    temperatura g , dado por

    ( )gcc = , (4.2.3)

    onde c o coeficiente de transmisso de calor por conveco; transmisso de calor

    por radiao no contorno r

    temperatura , dado por

    ( )4g4resr =

    ( ) ( )( )( ) ( )grgggresgresr =++== 2244 , (4.2.4a)

    (4.2.4b)

    onde res a emissividade resultante da superfcie, a constante de

    proporcionalidade de Stefan-Boltzmann, e ( )( )g2g2resr ++= o coeficiente de

    transmisso de calor por radiao. No caso da transferncia de calor no contorno se

    processar simultaneamente por conveco e por radiao, pode-se escrever

    ( ) ( ) ( )gcrgrgcrccr =+=+= , (4.2.5)

    onde rccr += o coeficiente de transmisso de calor por conveco e radiao.

    Os coeficientes e constantes envolvidos na transmisso de calor por conveco e

    radiao podem ser encontrados em especificaes de projeto (ABNT NBR

    14323:1999; EN 1991-1-2:2002). As condies de contorno com fluxo prescrito

    (conveco ou radiao) so chamadas de condies naturais. Quando se tm

    temperaturas prescritas, as condies de contorno so essenciais.

    Existem vrios modelos numricos para avaliao da elevao da temperatura em

    elementos estruturais de ao, concreto e outros materiais. As possibilidades de soluo

    dos sistemas de equaes diferenciais que representam o problema de transferncia de

    calor tambm podem variar entre mtodos como diferenas finitas ou elementos finitos,

    alm de outros. Milke (2002) e Rockett e Milke (2002) apresentam uma reviso sobre

    os vrios modelos e programas desenvolvidos. Entre os programas encontrados na

  • 92

    literatura, pode-se citar o FIRES-T3, TASEF-2, SAFIR e SUPER-TEMPCALC, alm

    de outros desenvolvidos especificamente para avaliar a elevao de temperatura em

    elementos estruturais de ao em situao de incndio (Milke, 2002).

    A seguir, apresentam-se dois modelos numricos utilizados neste trabalho. Um

    modelo implementado que tem por base o mtodo das diferenas finitas e outro

    desenvolvido com base no mtodo dos elementos finitos. No modelo de elementos

    finitos tambm foi implementada a possibilidade de anlise de transferncia de calor por

    radiao.

    4.3 MODELO NUMRICO PARA CONDUO DE CALOR COM BASE NO

    MTODO DAS DIFERENAS FINITAS

    Apresenta-se a formulao encontrada em Blomberg (1996), onde o campo de

    temperaturas, aproximado por valores em pontos discretos que formam uma malha,

    considerado em consecutivos passos de tempo, caracterizando um mtodo explcito

    (Incropera e Witt, 1992). Um mtodo implcito tambm pode ser adotado, porm no

    ser aqui apresentado (Incropera e Witt, 1992; Zienkiewicz e Morgan, 1983).

    Blomberg (1996) apresenta a formulao a seguir como uma aplicao do mtodo

    das diferenas finitas, porm, como ser visto, esta no tem por base a expanso da

    expresso 4.2.1 via srie de Taylor. Patankar (1980) apresenta essa mesma formulao

    como uma aplicao do mtodo dos volumes de controle.

    Discretizando-se um corpo bidimensional em elementos retangulares ( )j,i de

    dimenses ix e jy , largura e altura respectivamente, tem-se a malha mostrada na

    figura 4.3.1. A temperatura no centro de cada elemento ( )j,i para o passo de tempo

    considerado dada por j,i .

    O acoplamento trmico entre os elementos da malha dado pelas condutncias

    trmicas. A figura 4.3.2 mostra a notao dos ndices para as condutncias.

  • 93

    Figura 4.3.1 ndices dos elementos na malha.

    A condutncia por unidade de comprimento perpendicular ao plano xy (figuras

    4.3.1 e 4.3.2) entre dois elementos ( )j,1i e ( )j,i dada por

    ( ) ( )j,iij,1i1ij

    j,2

    1i 2/x2/x

    yk

    +

    =

    (4.3.1)

    onde j,i a condutividade trmica do elemento ( )j,i . A condutncia dada pela

    expresso 4.3.1 se refere ao calor total transferido atravs do lado jy por unidade de

    comprimento. O primeiro termo no denominador a resistncia trmica na direo x ao

    longo da metade do elemento ( )j,1i .

    Figura 4.3.2 Condutncias trmicas entre o elemento ( )j,i e os elementos adjacentes.

  • 94

    Para elementos no contorno, figura 4.3.4, a condutncia j,

    2

    1k calculada como

    ( )j,11j

    j,2

    1 2/x

    yk

    = (4.3.2)

    A figura 4.3.3 mostra os quatro fluxos de calor associados ao elemento ( )j,i . O

    fluxo de calor atravs do contorno esquerdo, j,

    2

    1i

    q

    , dado por

    ( )j,ij,1ij,

    2

    1ij,

    2

    1i

    kq =

    . (4.3.3)

    Figura 4.3.3 Fluxos de calor no elemento ( )j,i .

    O fluxo de calor atravs do contorno inferior, 2

    1j,i

    q

    , dado por

    ( )j,i1j,i2

    1j,i

    2

    1j,i

    kq =

    . (4.3.4)

    O fluxo de calor atravs de elementos no contorno determinado por condies

    de contorno como radiao e conveco. Considerando, por exemplo, o elemento ( )j,1

    da figura 4.3.4, se o fluxo de calor prescrito, o fluxo de calor por unidade de

    comprimento perpendicular ao plano xy

    ( ) jj,

    2

    1 ytq = . (4.3.5)

  • 95

    A capacidade de calor do elemento por unidade de comprimento perpendicular ao

    plano xy dada por jij,iv yxc , onde j,ij,ij,iv cc = a capacidade volumtrica do

    elemento ( )j,i obtida pela multiplicao da massa especfica pelo calor especfico do

    material.

    Figura 4.3.4 Fluxo de calor j,

    2

    1q para um elemento no contorno.

    O aumento de energia em um elemento interno, figura 4.3.3, durante um passo de

    tempo t , dado pela expresso de balano de energia

    ( ) tqqqqyxc2

    1j,i

    2

    1j,ij,

    2

    1ij,

    2

    1i

    j,in

    j,ijij,iv

    +=

    ++, (4.3.6)

    onde j,i a temperatura anterior do elemento ( )j,i , e n

    j,i a nova temperatura aps o

    passo de tempo t .

    Tem-se, ento, a expresso final para as novas temperaturas

    +

    +=

    ++2

    1j,i

    2

    1j,ij,

    2

    1ij,

    2

    1i

    jij,ivj,i

    nj,i qqqqyxc

    t. (4.3.7)

    O passo de tempo t para o elemento ( )j,i determinado a partir do seguinte

    critrio de estabilidade

    2

    1j,i

    2

    1j,ij,

    2

    1ij,

    2

    1i

    jij,iv

    kkkk

    yxct

    +++++

  • 96

    A expresso 4.3.7 d a nova temperatura com base na mudana de energia durante

    o passo de tempo t . Esse clculo realizado para todos os elementos. As novas

    temperaturas do os novos fluxos de calor entre os elementos segundo as expresses

    4.3.4 e 4.3.5, que sero utilizados na obteno das prximas temperaturas, e assim por

    diante.

    Segundo Zienkiewicz e Morgan (1983) a mesma derivao por diferenas finitas

    pode ser obtida a partir do mtodo dos resduos ponderados, sendo o procedimento por

    diferenas finitas um caso particular do mtodo dos elementos finitos com funes de

    interpolao especficas. Essas observaes motivaram o desenvolvimento do modelo

    de elementos finitos apresentado a seguir.

    4.4 MODELO NUMRICO PARA CONDUO DE CALOR COM BASE NO

    MTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

    O desenvolvimento e aplicao do mtodo dos elementos finitos conduo de

    calor em meios slidos podem ser vistos em livros-texto como os de Zienkiewicz e

    Morgan (1983), Bathe (1996) e Cook et al. (2002).

    Aplicando-se expresso 4.2.2 e s suas condies de contorno, o mtodo dos

    resduos ponderados, utilizando-se elementos finitos e para discretizar o domnio ,

    o teorema de Green e o mtodo de Galerkin, obtm-se, o seguinte sistema de equaes

    diferenciais (Vila Real, 1988)

    FCK =+ & (4.4.1)

    onde

    =

    =

    +=+=H

    1e

    emcr

    E

    1e

    em2,m1,mm

    ecr

    cre

    dNNdNNKKKlllll

    (4.4.2)

    =

    =E

    1e

    emm

    e

    dNcNCll

    (4.4.3)

    =

    =

    =

    +=H

    1e

    egcr

    Q

    1e

    ep

    E

    1e

    e

    ecr

    cre

    p

    pe

    dNdNdNFllll

    & (4.4.4)

  • 97

    sendo E o numero total de elementos que discretizam o domnio slido analisado, Q o

    nmero de elementos com contorno do tipo p

    , H o nmero de elementos com

    contorno do tipo cr

    e l

    N e mN so funes de forma habituais.

    A expresso 4.4.1 resulta apenas da discretizao do domnio, representando um

    sistema de equaes que pode ser resolvido por mtodos numricos. A soluo por

    mtodos numricos requer a discretizao no tempo. Para essa discretizao pode-se

    utilizar uma aplicao do mtodo das diferenas finitas, que tem por base: a expresso

    4.4.1 satisfeita apenas em pontos discretos +nt de cada intervalo de tempo t em que

    o tempo foi discretizado, sendo 10 ; as temperaturas variam linearmente ao longo

    do intervalo de tempo t , desde o instante nt at ttt n1n +=+ .

    No instante ttt nn +=+ ,

    ( )t

    t n1nnn

    += ++

    com 10 . (4.4.5)

    Segundo a hiptese de que as temperaturas variam linearmente ao longo do

    intervalo de tempo t ,

    ttn1nn

    =

    ++ . (4.4.6)

    Substituindo as expresses 4.4.5 e 4.4.6 na expresso 4.4.1, chega-se na frmula

    de recorrncia,

    +++ = nnn FK , para 10 < , (4.4.7)

    onde

    +++

    += nnn t

    1 CKK (4.4.8)

    e

    nnnn t

    1 CFF +++

    += . (4.4.9)

    Resolvido o sistema de equaes 4.4.7, para +n no instante +nt , o valor de

    no final do intervalo de tempo t , ou seja, no instante 1nt + dado por

    nn1n

    11

    1

    +

    = ++ , (4.4.10)

  • 98

    sendo essas as condies iniciais quando se avana para o intervalo de tempo seguinte.

    Fazendo-se variar o parmetro , obtm-se vrios esquemas de integrao no tempo,

    sendo os mais usuais 2/1= , 3/2= e 1= correspondentes respectivamente aos

    esquemas implcitos de Crank-Nicolson, Galerkin e Euler Backward (Zienkiewicz e

    Morgan, 1983). Para 0= , tem-se o esquema explcito de Euler.

    Segundo Hughes (1977), o algoritmo apresentado nas expresses 4.4.7 a 4.4.10

    tem os mesmos critrios de estabilidade, quer se trate de problemas lineares ou no-

    lineares, sendo incondicionalmente estveis quando 2/1 . Para 0= o intervalo de

    tempo t deve ser limitado para garantir a estabilidade da soluo.

    Em problemas no-lineares, em que as propriedades trmicas do material

    dependem da temperatura, o sistema de equaes 4.4.1 pode ser escrito na forma

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t,tt,tt, =+ FCK & . (4.4.11)

    No h um mtodo geral para resolver esse sistema no-linear de equaes, no

    entanto existem vrias solues numricas com base essencialmente em uma integrao

    linear no tempo e utilizando processos iterativos, (Hughes, 1977; Zienkiewicz e

    Morgan, 1983; Vila Real, 1988).

    Nos trabalhos de Vila Real (1988) e Ribeiro (2004) foram implementados o

    mtodo iterativo simples. Neste mtodo, a soluo anterior utilizada para obter a

    soluo atual (Zienkiewicz, 1977; Owen e Hinton, 1980). Logo, a partir da expresso

    4.4.7, tem-se

    [ ] in1i

    n1i

    n

    +

    ++

    + = FK (4.4.12)

    onde in +K e in +F so calculados a partir de

    in + . Sendo o processo convergente, ento,

    quando o nmero de iteraes i tende para o infinito, in + tende para a soluo

    verdadeira. A convergncia verificada a partir de algum critrio de parada dado, por

    exemplo, pela comparao da norma da diferena entre os valores da iterao 1i + e os

    valores da iterao i com uma tolerncia, tol, em C, logo

    toli1i + . (4.4.13)

    A partir do modelo de elementos finitos apresentado acima, foi desenvolvido um

    modelo com o objetivo de diminuir o tempo de soluo do problema via elementos

    finitos. A partir das primeiras anlises realizadas utilizando o mtodo das diferenas

    finitas e comparando com o modelo acima, observou-se que as anlises via diferenas

  • 99

    finitas tm tempo de processamento muito menor. Observando as simplificaes do

    mtodo das diferenas finitas e a partir de observaes feitas por Bathe (1996) e Cook et

    al. (2002), desenvolveu-se um modelo de elementos finitos com base em uma

    integrao explcita no tempo, o que levou a tempos de processamento prximos ao

    observados nas anlises via diferenas finitas. A vantagem em relao s anlises via

    diferenas finitas a possibilidades de modelar contornos irregulares.

    Considerando o esquema explcito de integrao no tempo de Euler, 0= , na

    expresso 4.4.5, tem-se

    nn =+ (4.4.14)

    e logo ttnn

    =

    + . Portanto, da expresso 4.4.6,

    ttn1nn

    =

    + . (4.4.15)

    Substituindo as expresses 4.4.14 e 4.4.15 na expresso 4.4.11, tem-se

    F

    CK =

    + +

    tn1n

    n (4.4.16)

    que pode ser reescrita como

    ( ) tn1

    n1n +=

    + KFC . (4.4.17)

    Pode-se notar a semelhana da expresso 4.4.17 com a expresso 4.3.7 obtida pela

    aplicao do mtodo das diferenas finitas.

    Na implementao computacional, so considerados elementos retangulares e

    triangulares. A matriz de condutividade trmica, formada pelos coeficientes 1,mK l

    (primeiro termo da matriz K , expresso 4.4.2), para os elementos retangulares obtida

    a partir da integrao considerando quatro pontos de Gauss e trs pontos para os

    elementos triangulares. Tambm, foi proposto para a integrao do termo 1,mK l , que a

    condutividade trmica seja avaliada para a temperatura mdia no elemento (mdia das

    temperaturas dos ns do elemento). Dessa forma, pode-se escrever o primeiro termo da

    matriz de condutividade trmica,

    =

    =E

    1e

    em1,m

    e

    dNNKll

    , (4.4.18)

    ou

  • 100

    1,m1,m kK ll = (4.4.19)

    onde os coeficientes de condutividade trmica

    =

    =E

    1e

    em1,m

    e

    dNNkll

    (4.4.20)

    so avaliados apenas no incio do clculo. Posteriormente apenas a condutividade

    trmica atualizada. O segundo termo da expresso 4.4.2, 2,mKl , considerado

    juntamente com o vetor F , avaliados a partir da contribuio dos contornos dos

    elementos sujeitos a conveco e radiao, sendo considerado a partir do comprimento

    do lado do elemento dividido por dois (n inicial e final de uma linha que um dos

    lados do elemento).

    A matriz de calor especfico C diagonalizada considerando o domnio de

    contribuio de cada elemento igual rea do elemento dividida pelo nmero de ns do

    elemento. O calor e massa especfica de contribuio de cada elemento para o n so

    avaliados a partir das temperaturas do n.

    Com a diagonalizao da matriz de calor especfico a sua inverso simples (o

    elemento da diagonal da matriz inversa 1C igual unidade sobre o elemento da

    matriz C ).

    Com a considerao da condutividade trmica em funo da temperatura mdia no

    elemento, proposta neste trabalho, e a utilizao da expresso 4.4.17 que dispensa a

    necessidade de mtodos de soluo de sistemas de equaes, o tempo de processamento

    se tornou bem reduzido. Tambm, como ser mostrado no item seguinte, o mtodo

    explcito torna mais simples a considerao da transferncia de calor por radiao.

    Sendo o modelo com base em uma integrao explcita no tempo, um critrio de

    estabilidade deve ser adotado. Com base na expresso 4.3.8, considerando yx ,

    ( )

  • 101

    4.5 MODELO NUMRICO PARA RADIAO DE CALOR

    Este item apresenta as consideraes feitas na implementao da transferncia de

    calor por radiao no modelo de elementos finitos desenvolvido.

    Considere dois planos infinitos com temperaturas uniformes, 1 para o plano 1 e

    2 para o plano 2, e imagine que esses so corpos negros ideais (corpos com absoro e

    radiao perfeitas). Dessa forma, o plano de temperatura 1 absorve um fluxo de calor

    42 e irradia um fluxo de calor

    41 , onde a constante de Stefan-Boltzmann e as

    temperaturas so dadas em Kelvin. Portanto, os fluxos de calor totais nas superfcies de

    temperaturas 1 e 2 so, respectivamente,

    ( )41421 = e ( )42412 = . (4.5.1) Se os planos no so corpos negros, a radiao e absoro destes so

    caracterizadas pela emissividade 1 e 2 , logo,

    ( ) ( )( )4142

    211 1/1/1

    +

    = e

    ( ) ( )( )4241

    212 1/1/1

    +

    = (4.5.2)

    que se reduzem expresso 4.5.1 se 121 == . Porm, as superfcies podem ser no

    paralelas, curvas e finitas. Para avaliar esses fatores geomtricos um fator de vista

    (tambm chamado fator de forma, ngulo, configurao ou fator de intercepo)

    definido. Esse fator igual unidade para planos infinitos paralelos e zero para

    superfcies que no se vem, como reas coplanares ou escondidas de outras por

    algum anteparo. Considere duas reas infinitesimais 1dA e 2dA separadas por uma

    distncia s e tendo direes normais 1v e 2v , figura 4.5.1.

    v11

    dA1

    s

    2

    v2

    dA 2

    2221

    21 dAs

    coscosdF

    = 12

    2112 dA

    s

    coscosdF

    = 212121 dAdFdAdF =

    Figura 4.5.1. Fator de vista para um rea infinitesimal e relaes diferenciais.

  • 102

    O fator de vista incremental 21dF representa a parte do fluxo de calor que deixa

    1dA e interceptada por 2dA . Para clculo de transferncia de calor, grandes

    superfcies podem ser divididas, e fatores de vista podem ser considerados sobre

    subreas finitas pequenas 1A e 2A se suas separaes so suficientemente grandes. Em

    anlises por elementos finitos, cada contorno do elemento pode ser considerado como

    uma subrea, e fatores de vista podem ser calculados para cada par de subreas que

    trocam radiao.

    O fluxo de calor recebido pela rea 1A a partir de n reas, suficiente pequenas,

    pode ser escrito como

    ( ) ( )( )

    =

    +

    =

    n

    2i

    41

    4i

    i11i1 1/1/1

    F , (4.5.3)

    onde

    12i

    i11i dAs

    coscosF

    = . (4.5.4)

    Considerando o modelo de transferncia de calor via elementos finitos com

    integrao explcita no tempo, os fluxos de calor devido radiao podem ser somados

    ao vetor F da expresso 4.4.17.

    Observa-se que a radiao, absoro e reflexo do meio entre as superfcies

    radiantes foram desconsideradas. Isso verdade para o ar, mas no para chamas ou ar

    contendo gases (H2O e CO2, por exemplo). Neste trabalho esse fato no importante,

    pois a inteno modelar o comportamento de aberturas nas sees transversais de

    elementos estruturais e espaos entre protees contra incndio do tipo caixa.

    4.6 PROGRAMA ANTRAC

    Nos itens 4.3 a 4.5 foram apresentadas a aplicao do mtodo das diferenas

    finitas e o desenvolvimento de um modelo de elementos finitos para anlise da

    transferncia de calor por conduo em meios slidos e por radiao.

    Os modelos foram implementados em um programa denominado ANTRAC

    (Anlise de Transferncia de Calor) que constitui a base (arquivos fontes) da anlise de

    transferncia de calor dos demais programas apresentados neste trabalho. O programa

  • 103

    contm todas as propriedades dos materiais (ao, concreto e materiais de proteo)

    como calor especfico, massa especfica, condutividade trmica, deformao trmica e

    relao tenso-deformao.

    Para as anlises pelos modelos apresentados necessria a discretizao do

    domnio 2D em diferenas finitas (retngulos regulares) ou em elementos finitos

    retangulares de 4 ns ou triangulares de 3 ns. Para este fim e para posterior

    visualizao dos resultados o programa GMSH (Geuzaine e Remacle, 2006) verso

    1.65.0 utilizado. O programa CSTMI, desenvolvido neste trabalho, tambm pode ser

    utilizado para obteno da distribuio das temperaturas. As principais caractersticas

    do programa CSTMI so apresentadas no captulo seguinte.

    4.7 EXEMPLOS

    Neste item, apresentam-se alguns exemplos dos modelos para anlise de

    transferncia de calor desenvolvidos neste trabalho.

    4.7.1 Perfil Laminado com Proteo Tipo Contorno

    Como primeiro exemplo, comparam-se os resultados obtidos por Ribeiro (2004)

    utilizando o programa SAFIR e o modelo de diferenas finitas e elementos finitos

    apresentados, para um perfil I laminado IPE 400 com proteo do tipo contorno

    constituda de Blaze Shield II, figura 4.7.1. As propriedades do material de proteo so

    apresentadas nas tabelas 4.7.1 e 4.7.2. A massa especfica do Blaze Shield II igual a

    240 3m/kg . Nas tabelas 4.7.3 e 4.7.4 so apresentados os resultados obtidos das anlises

    e segundo o PR NBR 14323:2003.

    Utilizando o modelo de diferenas finitas, o perfil protegido foi discretizado em

    1376 elementos. A partir do modelo de elementos finitos, duas anlises foram feitas.

    Uma discretizando com 1032 elementos retangulares e outra com 1020 elementos

    triangulares. A seo foi exposta ao incndio-padro por todos os lados sendo o

    coeficiente de conveco tomado igual a 25W/mC e a emissividade resultante igual a

    0,5 conforme o PR NBR 14323:2003.

  • 104

    Tabela 4.7.1 Calor especfico do Blaze Shield II em funo da temperatura.

    Temperatura Calor especfico

    (C) (J/kgC)96 2093104 837150 1675200 1770400 2148482 2303600 2343800 2411

    1093 25121200 2512

    Tabela 4.7.2 Condutividade trmica do Blaze Shield II em funo da temperatura.

    TemperaturaCondutividade

    trmica

    (C) (W/mC)100 0,061200 0,080400 0,112482 0,147600 0,173

    1093 0,208

    Na anlise para 30 min de exposio ao incndio, a diferena mxima nas mdias

    foi de 15% e para 60 min a diferena mxima de 6% indicando que os resultados so

    prximos. Quanto ao tempo de processamento, observa-se que as anlises segundo o

    presente trabalho so extremamente mais rpidas em comparao com o SAFIR. Esta

    observao est associada ao esquema de integrao no tempo e s otimizaes na

    obteno das matrizes de condutividade trmica e calor especfico propostas neste

    trabalho. O programa SAFIR utiliza o mtodo dos elementos finitos com uma

    integrao implcita no tempo. Em relao discretizao com elementos retangulares e

    triangulares geradas com o programa GMSH 1.65.0 nota-se que este gera uma malha

    mais uniforme quando se trabalha com elementos triangulares, o que explica o menor

    tempo de processamento em relao discretizao com elementos finitos retangulares.

  • 105

    (a)

    (b) (c)

    (d)

    Figura 4.7.1 (a) dimenses em mm do perfil IPE 400 e pontos onde as temperaturas

    foram analisadas; (b) temperaturas a 30 min para o perfil discretizado com elementos

    finitos retangulares; (c) temperaturas a 60 min para o perfil discretizado com elementos

    finitos retangulares; (d) escala de temperaturas.

  • 106

    Tabela 4.7.3 Temperaturas em C.

    TRRF Ponto MDF MEF MEF SAFIR NBR 14323(min) Analisado (retangular) (triangular)

    A 326 284 289 335 328B 318 275 280 325 328

    30 C 315 270 275 320 328D 379 315 320 367 328E 393 327 329 383 328

    Mdia: 335 286 291 337 328A 618 564 569 579 604B 610 556 558 569 604

    60 C 608 551 554 565 604D 658 601 601 610 604E 679 611 613 625 604

    Mdia: 625 568 571 581 604

    0,15 1,43 0,15 22 --Nota: A tempertura mdia foi calculada com base na rea de influncia de cada ponto, sendo dada por (2A + 4B + 3C + 2D + E) / 12

    Temperaturas (C)

    Tempo de Processamento (min)

    A partir da expresso 4.1.2 (ABNT NBR 14323:1999) desenvolveu-se uma

    expresso para o fluxo de calor. Por exemplo, conforme a expresso 4.3.5, o fluxo de

    calor em um elemento de discretizao via diferenas finitas, no contorno, fica

    ( ) ( )t

    yxc1e

    3/1t

    yu/uq aat,g

    10/t,at,g

    m

    mm

    +

    =

    . (4.7.1)

    onde no necessria a discretizao do material de proteo. O mesmo pode ser feito

    em anlises via elementos finitos. Na expresso, ( )u/u m a relao entre o permetro

    interno da proteo contra incndio e o permetro da seo. Na tabela 4.7.4 tem-se uma

    comparao dos resultados das anlises com e sem discretizao do material de

    proteo.

    A partir da tabela 4.7.4 observa-se que o mtodo utilizado no qual no se tem

    necessidade de discretizar o material de proteo, bastante adequado e possui

    suficiente preciso. Nesse caso foram utilizados somente 318 elementos para

    discretizao do perfil. Esse mtodo pode ser utilizado para anlise da transferncia de

    calor em sees protegidas com os mais diferentes tipos de materiais. Necessita-se,

    somente, obter uma expresso apropriada para o fluxo de calor, que pode ser ajustada a

    partir de ensaios experimentais. Essa mesma aproximao pode ser utilizada para

    modelar protees do tipo caixa, nesse caso a relao ( )u/u m deve ser diferente de 1,0.

  • 107

    Tabela 4.7.4 Temperaturas obtidas via MDF com e sem discretizao do material de

    proteo.

    TRRF Ponto MDF MDF NBR 14323(min) Analisado (proteo discretizada) (sem discretizar proteo)

    A 326 320 328B 318 318 328

    30 C 315 322 328D 379 365 328E 393 376 328

    Mdia: 335 332 328A 618 599 604B 610 597 604

    60 C 608 601 604D 658 641 604E 679 651 604

    Mdia: 625 610 604

    0,15 0,05 --Nota: A tempertura mdia foi calculada com base na rea de influncia de cada ponto, sendo dada por (2A + 4B + 3C + 2D + E) / 12

    Temperaturas (C)

    Tempo de Processamento (min)

    4.7.2 Viga de Concreto

    Ribeiro (2004) analisou uma viga de dimenses 160x230 2mm , sobreposta por

    laje de 100mm. A parte superior da laje est submetida ao arrefecimento. Alm dos

    resultados obtidos por Ribeiro (2004), no programa THERSYS, que utiliza elementos

    finitos e realiza uma integrao implcita no tempo, so apresentados nas tabelas os

    valores de temperatura segundo as isotermas do EN 1992-1-2:2004.

    Figura 4.7.2 Viga de concreto 160x230 2mm analisada (Ribeiro, 2004).

  • 108

    As propriedades utilizadas nas anlises, como a condutividade trmica, calor

    especfico e outras, foram tomadas segundo o PR NBR 14323:2003. Observa-se que os

    resultados obtidos com o modelo de diferenas finitas foram prximos aos obtidos pelo

    THERSYS, tabela 4.7.5. Nota-se tambm uma grande diferena nos tempos de

    processamento dos programas. No presente trabalho, toda a seo foi discretizada com

    um total de 4512 elementos. Na anlise via elementos finitos no THERSYS apenas a

    metade da seo foi discretizada num total de 740 elementos. Devido ao alto ganho de

    tempo a seo pode ser mais discretizada e melhorar os resultados.

    Observa-se que em relao ao Eurocode os resultados no so to prximos. Tal

    diferena deve estar associada principalmente s propriedades do concreto como a

    condutividade trmica, calor especfico e a umidade. Dentro desse contexto, duas

    anlises foram realizadas considerando as porcentagens de umidade em relao ao peso

    do concreto de 2% e 4% (Caldas et al., 2005). Nas anlises, a seo foi discretizada num

    total de 4512 elementos. A umidade considerada segundo as observaes do item

    2.6.2. A tabela 4.7.6 apresenta os resultados para uma porcentagem de umidade de 2% e

    4% do peso do concreto.

    Tabela 4.7.5 Temperaturas em C.

    TRRF Ponto MDF THERSYS EUROCODE MDF/THERSYS MDF/EUROCODE(min) Analisado

    A 101 100 -- 1,01 --B 179 170 130 1,05 1,38

    30 C 315 299 255 1,05 1,24D 559 532 490 1,05 1,14E 813 813 820 1,00 0,99

    Mdia: 1,03 1,19A 279 280 -- 1,00 --B 402 385 330 1,04 1,22

    60 C 559 536 470 1,04 1,19D 781 755 740 1,03 1,06E 937 938 939 1,00 1,00

    Mdia: 1,02 1,120,4 4,0Tempo Processamento (min)

    Temperaturas (C) Comparao

  • 109

    Tabela 4.7.6 Comparao das temperaturas obtidas, para a seo da viga discretizada

    em 4512 elementos e umidade do concreto igual a 2% e 4%.

    TRRF Ponto MDF MDF EUROCODE MDF/THERSYS MDF/EUROCODE(min) Analisado Umidade 2% Umidade 4%

    A 91 83 -- -- --B 142 121 130 1,09 0,93

    30 C 289 264 255 1,13 1,04D 547 534 490 1,12 1,09E 812 811 820 0,99 0,99

    Mdia: 1,08 1,01A 259 215 -- -- --B 377 351 330 1,14 1,06

    60 C 542 526 470 1,15 1,12D 775 769 740 1,05 1,04E 936 936 939 1,00 1,00

    Mdia: 1,08 1,05

    ComparaoTemperaturas (C)

    A partir da considerao da umidade os resultados obtidos se tornam mais

    prximos dos apresentados pelo EN 1992-1-2:2004. Considerando uma porcentagem de

    umidade igual a 4% do peso do concreto, as mdias das relaes entre os resultados via

    MDF e do Eurocode diminuem de no mximo 1,19 para no mximo 1,08.

    Deve-se notar que as isotermas apresentadas pelo EN 1992-1-2:2004 foram

    obtidas considerando 1,5% de umidade em peso, limite inferior de condutividade,

    emissividade resultante de 0,7 e coeficiente de conveco igual a 25W/mC. Quanto a

    essas consideraes, o PR NBR 14323:2003 se difere por considerar uma condutividade

    trmica igual ao limite superior do Eurocode (mais adequada a estruturas mistas),

    emissividade relativa igual a 0,5 e valores de umidade igual a 2%, 4% e 10%.

    4.7.3 Pilar Misto Quadrado Preenchido com Concreto

    Neste exemplo, um pilar misto quadrado preenchido com concreto de dimenses

    externas 405x405mm2 com perfil tubular de espessura de 5mm foi analisado via MDF e

    comparado com as isotermas apresentadas no ECCS-TC3 (2001). O pilar foi

    discretizado em 7056 elementos, e as temperaturas foram medidas em vrios pontos,

    figura 4.7.3. As propriedades utilizadas nas anlises como a condutividade trmica,

    calor especfico e outras, foram tomadas segundo o PR NBR 14323:2003. Observa-se

    que os resultados obtidos via MDF esto prximos dos valores do ECCS-TC3 (2001),

    tabela 4.7.7.

  • 110

    A B C D E F

    Figura 4.7.3 Pontos onde as temperaturas foram medidas.

    Tabela 4.7.7 Comparao dos resultados obtidos no CSTMI com o ECCS-TC3 (2001).

    TRRF Comparao com CSTMI

    (min) Ponto CSTMI ECCS-TC3 (2001) ECCS-TC3 (2001)

    A 20 21 5,0%

    B 21 - -

    30 C 25 - -

    D 50 - -

    E 162 176 8,6%

    F 626 606 -3,2%

    Mdia 3,5%

    A 29 21 -27,6%

    B 35 - -

    60 C 60 - -

    D 132 140 6,3%

    E 318 350 9,9%

    F 840 847 0,8%

    Mdia -2,6%

    A 61 62 1,6%

    B 72 82 13,8%

    90 C 114 110 -3,8%

    D 213 210 -1,2%

    E 430 380 -11,5%

    F 937 944 0,7%

    Mdia -0,1%

    A 107 105 -1,9%

    B 122 139 13,9%

    120 C 174 174 -0,1%

    D 286 300 4,9%

    E 514 550 7,0%

    F 996 1001 0,5%

    Mdia 4,1%

    Temperatura (C)

    4.7.4 Pilar Misto Circular Preenchido com Concreto

  • 111

    No trabalho de Lie (1994) encontram-se os resultados do ensaio de um pilar misto

    tubular circular com dimetro externo de 273mm e espessura de 6,35mm preenchido

    com concreto. As temperaturas foram medidas na superfcie da seo tubular de ao e

    para as profundidades de 65 e 130mm no concreto. Nas simulaes considerou-se o

    limite superior de condutividade trmica para o concreto e demais propriedades segundo

    o EN 1992-1-2:2004 para concreto com agregados calcrios. Uma umidade de 10% do

    peso do concreto foi considerada. A umidade de 10% tambm foi adotada por Lie

    (1994) em seus clculos. Na discretizao da seo foram utilizados 1296 elementos

    retangulares e as armaduras foram desconsideradas. A figura 4.7.4 apresenta as

    temperaturas obtidas via MEF para o tempo de 60min de exposio ao incndio-padro.

    A figura 4.7.5 apresenta as temperaturas obtidas com o modelo de elementos finitos

    desenvolvido e as temperaturas obtidas experimentalmente.

    Figura 4.7.4 Temperaturas em C para o tempo de 60 min.

  • 112

    0

    200

    400

    600

    800

    1000

    1200

    0 40 80 120 160 200Tempo de incndio (min)

    Tem

    pera

    tura

    s (

    C)

    Presente trabalho (superfcie)Presente trabalho (65mm)Presente trabalho (130mm)Ensaio (superfcie)Ensaio (65mm)Ensaio (130mm)

    Figura 4.7.5 Comparao das temperaturas.

    4.7.5 Pilar Misto Totalmente Envolvido com Concreto

    Huang et al. (2007) apresentam os resultados de anlises numricas e

    experimentais de uma seo I envolvida com concreto e exposta ao incndio. O

    concreto que envolve uma seo de ao UC 152x152x37 tem 300x300 mm e contm

    quatro barras de ao que no foram consideradas nas anlises feitas neste trabalho. A

    temperatura dos gases no incndio tem duas fases ascendentes a 5C/min e 8C/min,

    respectivamente, figura 4.7.7.

    As propriedades dos materiais so consideradas de acordo com o EN 1994-1-

    2:2005 com uma umidade de 8% do peso do concreto (valor utilizado por Huang et al.,

    2007 em simulaes numricas). O limite superior de condutividade foi considerado. A

    seo foi discretizada em 1198 elementos finitos retangulares. A figura 4.7.6 apresenta

    as temperaturas para o tempo de 420 min de exposio ao incndio.

  • 113

    Figura 4.7.6 Temperaturas em C para o tempo de 420min.

    A figura 4.7.7 apresenta a comparao dos resultados obtidos numericamente e

    experimentalmente.

    0

    200

    400

    600

    800

    0 60 120 180 240 300 360 420 480

    Tempo de incndio (min)

    Tem

    pera

    tura

    s (

    C)

    Temperatua dos gases

    Presente trabalho

    Ensaio

    Figura 4.7.7 Temperaturas dos gases e temperaturas obtidas experimentalmente por

    Huang et al. (2007) e segundo o presente trabalho, no centro geomtrico do perfil de

    ao.

  • 114

    4.7.6 Proteo Tipo Caixa

    Na figura 4.7.8 tem-se um perfil I soldado CVS 300x79 com proteo do tipo

    caixa constituda por placas de vermiculita com 15mm de espessura, tabela 4.7.8.

    Tabela 4.7.8 Propriedades trmicas das placas de vermiculita.

    Propriedade Valor

    Massa especfica 225 kg/mCalor especfico 1200 J/kgCCondutividade 0,15 W/mC

    A elevao de temperatura foi obtida segundo o PR NBR 14323:2003 e segundo o

    modelo de elementos finitos apresentado. O problema apresenta inclusive transferncia

    de calor por radiao nos espaos entre a proteo e o perfil, sendo apresentado com o

    objetivo de validar os desenvolvimentos com relao modelagem desse tipo de

    transferncia de calor. Na discretizao da seo foram utilizados 500 elementos

    retangulares. A seo est sujeita ao incndio-padro por todos os lados.

    Figura 4.7.8 Dimenses em mm da seo analisada.

  • 115

    Figura 4.7.9 Temperaturas para o tempo de exposio de 90 min.

    A figura 4.7.9 apresenta as temperaturas para o tempo de exposio ao incndio-

    padro por 90 min. Na figura 4.7.10 esto os resultados obtidos para os pontos

    mostrados na figura 4.7.8.

    0

    100

    200

    300

    400

    500

    600

    700

    800

    0 30 60 90 120 150

    Tempo de incndio (min)

    Tem

    pera

    tura

    s (

    C)

    Presente trabalho (Ponto A)

    Presente trabalho (Ponto B)

    Presente trabalho (Ponto C)

    NBR 14323:1999

    Figura 4.7.10 Relao temperatura-tempo em pontos da seo.

    4.7.7 Seo de Ao Tubular Circular

    Uma seo de ao tubular circular com dimetro externo de 273,1 mm e espessura

    de 6,35 mm foi submetida ao incndio-padro. O problema apresenta inclusive

    transferncia de calor por radiao no interior da seo. Na discretizao da seo foram

  • 116

    utilizados 220 elementos retangulares. A figura 4.7.11 apresenta as temperaturas obtidas

    via MEF e utilizando o PR NBR 14323:2003.

    0

    200

    400

    600

    800

    1000

    1200

    0 30 60 90 120 150

    Tempo de incndio (min)

    Tem

    pera

    tura

    s (

    C)

    Presente trabalho

    NBR 14323:1999

    Figura 4.7.11 Temperaturas na seo tubular circular.

    4.8 CONCLUSES

    A partir dos exemplos apresentados, nota-se que o modelo implementado com

    base nos mtodos das diferenas finitas e o modelo desenvolvido com base em

    elementos finitos so adequados para obteno da elevao da temperatura em

    elementos estruturais de ao e concreto. Outros materiais, como por exemplo, madeiras,

    podem ser usados desde que as propriedades sejam conhecidas.

    A capacidade de realizar anlises com radiao e a possibilidade de utilizao de

    elementos finitos triangulares ou retangulares tornam os modelos numricos bastante

    genricos e possibilitam a modelagem de diversas geometrias e condies de contorno.

    As hipteses propostas neste trabalho, como a integrao da matriz de

    condutividade trmica considerando uma mdia das temperaturas na obteno da

    condutividade trmica foram adequadas, e juntamente com o mtodo de integrao

    explcito no tempo diminuram consideravelmente o tempo de processamento em

    relao a outros modelos, como o implementado no programa SAFIR (exemplo 4.7.1).

  • 5

    MODELO PARA SEES TRANSVERSAIS

    EM SITUAO DE INCNDIO

    Apresenta-se o desenvolvimento de modelos numricos para anlise de sees

    transversais genricas em situao de incndio. O texto apresenta um enfoque voltado

    para elementos estruturais de concreto armado devido necessidade de definio de

    parmetros para obteno da resistncia de sees compostas por concreto.

    5.1 CONSIDERAES INICIAIS E INTRODUO

    No desenvolvimento do algoritmo para obteno de diagramas de interao de

    esforos em sees genricas (item 3.2.2), a principal premissa foi a definio da

    configurao ltima de sees formadas por concreto. De forma semelhante, apresenta-

    se neste captulo a proposta de um domnio de deformao para sees compostas por

    concreto em situao de incndio.

    Diversos trabalhos encontrados na literatura, alguns citados a seguir, tentam

    resolver o problema de determinao da capacidade resistente de elementos de concreto,

    principalmente pilares. Porm, so limitados ao incndio-padro ou condies

    simtricas de exposio ou geometria da seo. Neste captulo, um novo procedimento

    para anlise de sees e exposies genricas ao incndio proposto. Devido sua

    generalidade, elementos de ao, concreto ou mistos podem ser analisados.

    O algoritmo para obteno de diagramas de interao tem como principal

    aplicao a obteno da capacidade resistente de sees. Para o modelo de elementos

    finitos de viga apresentado no captulo 6, a importncia deste captulo est relacionada

  • 118

    obteno dos esforos e rigidezes que aparecem na matriz de rigidez e fora interna

    desse elemento.

    Pelas razes mencionadas, o presente captulo tem um enfoque voltado para

    elementos de concreto, principalmente pilares, uma vez que a soluo deste elementos

    pode ser extendida a vigas e lajes.

    Em geral, o comportamento de estruturas de concreto submetidas ao incndio

    satisfatrio. O concreto um material no combustvel e que tem baixa condutividade

    trmica, protegendo as armaduras ou perfis de ao envolvidos. Todavia, o spalling

    algumas vezes observado reduzindo a resistncia em temperatura elevada,

    especialmente no caso de concretos de alta resistncia (Kodur e McGrath, 2003).

    Apesar desse fenmeno, que pode ser minimizado com detalhes apropriados (EN 1992-

    1-2:2004), a resistncia em situao de incndio de estruturas de concreto deve ser

    adequada. Purkis (2006) e Fleischmann e Buchanan (2002) apresentam vrios mtodos

    para clculo da resistncia de elementos de concreto em temperatura elevada.

    As possibilidades para anlise das estruturas de concreto sob incndio podem ser

    divididas em trs grupos principais, segundo Franssen e Dotreppe (2003): testes

    experimentais, modelagem numrica (mtodos avanados de clculo) e mtodos

    simplificados de clculo. Testes experimentais fornecem dados importantes, porm so

    caros e consomem tempo, sendo em geral restritos a ensaios de pequenos elementos,

    no avaliando a continuidade ou restries proporcionadas por uma estrutura completa.

    Modelagens numricas so atualmente ferramentas importantes para prever o

    comportamento de estruturas em situao de incndio. O desenvolvimento de mtodos

    numricos, dos computadores e o conhecimento das propriedades do concreto e ao em

    temperatura elevada permitem o desenvolvimento de programas genricos ou

    especializados, capazes de realizar anlises estruturais em situao de incndio, como o

    VULCAN (Huang et al., 2003a) e o SAFIR (Franssen, 2005). Todavia, esses programas

    sofisticados no esto sempre disposio de engenheiros e tendem a ser mais

    utilizados em pesquisas. Mtodos simplificados, por outro lado, so apresentados em

    normas de projeto.

    As normas europia (EN 1992-1-2:2004), americana (ACI 216R, 1989) e

    brasileira (ABNT NBR 15200:2004) indicam o uso de mtodos de clculo com base em

    correlaes experimentais, empricas e dimenses mnimas (mtodos tabulares),

  • 119

    mtodos simplificados e mtodos avanados de clculo para determinao da resistncia

    em situao de incndio, alm de testes experimentais. Como a engenharia de segurana

    contra incndio avana a partir de mtodos prescritivos para mtodos com base em

    desempenho, mtodos de clculo e modelos computacionais avanados so mais

    provveis de serem utilizados do que mtodos com base em correlaes empricas e

    dimenses mnimas.

    O mecanismo de falha em situao de incndio, para vigas simplesmente apoiadas

    e lajes armadas em uma s direo, bem conhecido. Devido reduo da resistncia

    da armadura tracionada em temperatura elevada, o escoamento leva falha do elemento

    estrutural. Em pilares de concreto armado, o mecanismo de falha mais difcil de ser

    avaliado. No somente o esmagamento do concreto ou escoamento das armaduras

    tracionadas pode ocorrer, mas tambm a flambagem do pilar. Vrios trabalhos

    encontrados na literatura apresentam mtodos para determinao da resistncia de

    pilares de concreto em situao de incndio.

    Em geral, os mtodos de clculo podem ser divididos em duas etapas distintas:

    anlise de transferncia de calor e anlise estrutural. Anlises de transferncia de calor

    so realizadas para avaliar a distribuio de temperatura ao longo da estrutura. Em

    situao de incndio, a resistncia do material diminui, as deformaes aumentam e

    adicionalmente, deformaes trmicas se desenvolvem. Nos mtodos simplificados,

    aplicados a pilares, geralmente as anlises so realizadas ao nvel da seo transversal

    com consideraes devido flambagem de uma maneira simplificada (Tan e Yao, 2003,

    2004; Kang et al., 2004).

    Lie e Celikkol (1991) apresentaram um modelo matemtico para calcular a

    resistncia em situao de incndio de pilares circulares. A curvatura do pilar suposta

    variando linearmente a partir dos apoios rotulados at a seo intermediria. Para uma

    dada curvatura, varia-se a deformao axial at que o momento resistente na seo

    intermediria esteja em equilbrio com o momento aplicado. A distribuio da

    temperatura na seo transversal obtida por diferenas finitas. Lie e Irwin (1993)

    aplicaram o esquema para a anlise de pilares retangulares. O modelo similar ao

    apresentado pelo EN 1992-1-2:2004, que se baseia na estimativa da curvatura.

    Franssen e Dotreppe (2003) descreveram ensaios experimentais e valores obtidos

    para a resistncia de pilares circulares. Mtodos tericos so apresentados para uma

  • 120

    verificao rpida de pilares de concreto em situao de incndio. Um dos mtodos tem

    por base o trabalho anterior de Dotreppe et al. (1999), onde um modelo de elementos

    finitos foi utilizado para anlise de resultados experimentais e para o desenvolvimento

    de uma expresso para projeto. A expresso foi obtida segundo os passos: determinao

    da resistncia plstica ao esmagamento em temperatura elevada; determinao de um

    coeficiente de flambagem; e, desenvolvimento de um termo no-linear para

    carregamentos excntricos.

    Tan e Yao (2003) desenvolveram um mtodo de clculo simples para avaliao da

    resistncia de pilares com seo transversal aquecida nas quatro faces com base nas

    prescries de pilares em temperatura ambiente do American Concrete Institute. Os

    efeitos da elevao da temperatura na deteriorao dos materiais e consideraes quanto

    resistncia e estabilidade dos pilares so avaliados. Segundo Tan e Yao (2003) com o

    aumento da temperatura, o diagrama de interao de momento fletor e fora axial

    (diagrama NM) contrai. Dessa forma, pode-se avaliar se o pilar falha ou no

    comparando a capacidade resistente para uma dada exposio ao incndio com o

    carregamento aplicado. O mtodo desenvolvido envolve a determinao de fatores de

    reduo da resistncia dos materiais, do mdulo de elasticidade e a determinao da

    capacidade resistente por um processo de tentativa e erro. Flexo uniaxial e biaxial so

    consideradas. O mtodo foi posteriormente estendido para anlise de pilares com sees

    aquecidas em uma, duas e trs faces (Tan e Yao, 2004), com a predio do

    deslocamento da linha neutra devido ao aquecimento assimtrico.

    Kang et al. (2004) apresentam um mtodo numrico para avaliao do

    comportamento ltimo de pilares de concreto armado submetidos ao incndio. A

    capacidade resistente determinada por um diagrama NM. O mtodo considera os

    efeitos de segunda ordem ao longo do pilar e as condies de restrio na extremidade

    do pilar.

    Alguns mtodos simplificados de clculo usam uma seo transversal reduzida

    para representar a deteriorao da resistncia e rigidez. A seo transversal reduzida

    utilizada em mtodos de clculo temperatura ambiente para obter a resistncia em

    situao de incndio. Exemplos so os mtodos simplificados e gerais de clculo dados

    pela norma brasileira ABNT NBR 15200:2004 e aqueles apresentados pelo EN 1992-1-

  • 121

    2:2004: 500C isotherm method e Zone method, que tm por base os mtodos

    desenvolvidos por Anderberg (1978) e Hertz (1985), respectivamente.

    Seja qual for o mtodo empregado para o projeto de pilares, o comportamento da

    seo transversal sob incndio deve ser conhecido. Diagramas de interao momento

    fletor e fora axial e superfcies de interao para fora axial e momentos fletores so

    ferramentas importantes para o projeto de sees e de pilares temperatura ambiente.

    Todavia, no h na literatura uma formulao geral para obteno destas superfcies em

    sees submetidas aos efeitos da elevao de temperatura.

    Nos itens seguintes, apresenta-se o procedimento proposto para obteno de

    diagramas e superfcies de interao em sees de concreto, ao e mistas de ao e

    concreto de geometria e exposio ao incndio genricas, anlogos s superfcies e

    diagramas comumente empregados para o projeto de sees temperatura ambiente.

    Diagramas de interao da fora axial e momento fletores so obtidos levando em conta

    a degradao das propriedades dos materiais com a elevao da temperatura e as

    deformaes trmicas. Para ilustrar os procedimentos propostos e as possibilidades de

    anlises, alguns diagramas so apresentados, alm de exemplos de verificao de

    pilares.

    5.2 PROPRIEDADES DOS MATERIAIS

    Para a obteno das superfcies de interao com o objetivo de projetar sees,

    algumas consideraes so necessrias em relao s propriedades dos materiais. A

    relao tenso-deformao do concreto utilizada a do EN 1992-1-2:2004, apresentada

    no item 2.6.2 (figura 2.6.6). A deformao ltima compresso para uma dada

    temperatura de forma conservadora adotada como o valor correspondente tenso de

    pico na relao tenso-deformao, ou seja, ,1c na figura 2.6.6. Como pode ser notado

    na figura 5.2.1, quanto maior a temperatura, maiores so as deformaes no ramo

    descendente da relao, portanto, o valor adotado para a deformao ltima, ,1c ,

    conservador. A resistncia trao do concreto no considerada.

  • 122

    0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0

    0,2

    0,4

    0,6

    0,8

    1,0

    Deformao (%)

    Tenso (/f c)

    20C

    200C

    400C

    600C

    800C

    1000C

    Figura 5.2.1 Relaes tenso-deformao do concreto a temperatura elevada

    (EN 1992-1-2:2004).

    As expresses 2.6.6, apresentadas pelo EN 1994-1-2:2005 e que trazem

    informaes sobre o comportamento do concreto aquecido e posteriormente resfriado

    tambm so consideradas, permitindo a avaliao da resistncia residual de sees aps

    a exposio ao incndio.

    Para o ao, a relao tenso-deformao bilinear com deformao mxima

    absoluta de 0,10 adotada com fatores de reduo a 0,2% para aos classe N, indicado

    pelo EN 1992-1-2:2004 para uso com mtodos simplificados de clculo. As expresses

    para a tenso no ao so:

    yC100C20,y ff = ;

    ( )( ) yC400C100,y f300/4003,07,0f =

  • 123

    5.3 DIAGRAMAS DE INTERAO DOS ESFOROS

    Assumindo que sees planas permanecem planas e que no h deslizamento

    entre os materiais (concreto e ao), as configuraes deformadas de uma seo sujeita a

    fora axial e momentos biaxiais, temperatura ambiente, podem ser descritas por um

    conjunto de variveis generalizadas de deformao ( o , ok , xk , yk , e ), conforme

    apresentado no item 3.2.1.

    temperatura ambiente, uma configurao ltima da seo definida pelo ao ou

    concreto atingindo um limite convencional de deformao, figura 3.2.2. A deformao

    total puramente mecnica (para uma definio de deformao mecnica e total,

    utilizadas nesta parte do trabalho, ver item 6.1). Esses limites iro ocorrer nos pontos

    mais distantes, medidos ao longo do eixo , figura 5.3.1, usualmente tomados igual a

    0,0035 e 0,01 respectivamente, de acordo com a ABNT NBR 6118:2003. A obteno

    das superfcies de interao a partir da definio das configuraes ltimas, figura 3.2.2,

    pode ser feita com a definio de um parmetro, , conforme o item 3.2.2.

    a

    elementos

    finitos

    z, x

    y

    NA

    Mx

    My

    barras

    de ao

    Figure 5.3.1 Seo transversal e sistemas de coordenadas (NA a linha neutra).

  • 124

    Em condies de incndio, a presena de deformaes trmicas e a degradao

    das propriedades dos materiais introduzem dificuldades considerveis s anlises de

    estado limite ltimo das sees. No presente trabalho, assume-se a deformao

    mecnica ltima como sendo a deformao para a tenso mxima na relao tenso-

    deformao do concreto, que depende da temperatura do ponto, tornando impossvel

    conhecer inicialmente em qual ponto da seo um estado limite ser atingido primeiro.

    Os pontos de avaliao das deformaes so os centros dos elementos da malha em

    elementos finitos ou diferenas finitas. As deformaes mecnicas, ou efetivas

    (associadas s tenses), so dadas por

    ( ) thyxo xkyky,x += ou

    ( ) thoo k, +=

    (5.3.1)

    onde th a deformao trmica, funo da temperatura, que por sua vez varia com a

    posio.

    Um estado limite atingido quando a deformao ( )y,x em um dos centros dos

    elementos que discretiza a seo atinge seu valor limite. Se ambos, a deformao

    trmica th e a deformao de compresso limite no concreto cu dependem da

    distribuio de temperatura )y,x( , ou ),( , possvel avaliar esses termos para

    cada elemento e obter pontos da superfcie ),(cu que representam os limites de

    deformao total de compresso, figuras 5.3.2 e 5.3.3 a 5.3.6. Se qualquer ponto da

    configurao deformada da seo toca essa superfcie limite, um estado limite

    caracterizado.

  • 125

    barras

    de ao

    a

    elementos

    finitos

    z, x

    y

    NA

    Mx

    My

    Figura 5.3.2 Sistema de coordenadas xyz, e variao da temperatura.

    Para uma orientao fixa da linha neutra, , possvel definir uma varivel

    arbitrria que traa a evoluo da configurao deformada para as vrias possibilidades

    de estados limites considerados. A escolha no nica, e uma das possibilidades

    adotada neste trabalho como uma varivel contnua e adimensional, chamada

    (mesmo smbolo do parmetro citado no item 3.2.2, pois ambos so semelhantes), cujos

    valores numricos so escolhidos para dar uma descrio to simples quanto possvel. A

    varivel , ou parmetro de deformao, assume valores entre 0 e 52, semelhana do

    que foi feito em Caldas (2004), conforme comentado no item 3.2.2 deste trabalho.

    Em uma seo sujeita a uma distribuio genrica de temperatura devido

    exposio a um incndio (considerando deformaes de compresso negativas), maxc e

    minc so os valores mximo e mnimo admissveis para a deformao total de

    compresso, obtidos a partir da superfcie ),(cu , figura 5.3.3. maxt a mxima

    deformao total de trao admissvel, convencionalmente adotada igual a 10% (0,10

    para qualquer material).

    Partindo de um estado limite caracterizado por deformaes plsticas excessivas

    nas armaduras, o domnio 1D definido, figura 5.3.3, onde o ponto extremo est

    submetido deformao maxt e o ponto inferior assume valores entre maxt e zero. As

  • 126

    linhas 0h e 1h definem esse domnio, no qual se assume que o concreto no tem

    resistncia. Portanto, definindo 10 , tem-se

    maxtmax = e ( ) maxt

    min 1 = . (5.3.2)

    onde max e min so as deformaes nos pontos (centros dos elementos que

    discretizam a seo) de mxima e mnima coordenada , respectivamente.

    elementos finitos

    ()

    1h1

    h0

    tmaxcmaxcmin

    compresso trao

    cu()

    Figura 5.3.3 Domnio 1D .

    O prximo domnio, 2D , definido considerando a deformao positiva igual ao

    valor mximo e comprimindo o concreto nos pontos inferiores, caracterizando um

    estado de flexo. As linhas 1h e 2h delimitam esse domnio, figura 5.3.4. Tomando

    81 < , tem-se

    maxtmax = e ( )( )7/1 maxc

    min = . (5.3.3)

    tmaxcmaxcmin

    compresso trao

    cu()

    elementos finitos

    ()

    2

    h2 h1

    Figura 5.3.4 Domnio 2D .

  • 127

    O domnio 3D considera configuraes deformadas no concreto compresso e

    redues na deformao de trao nos pontos superiores. Esse domnio comea na linha

    3h , onde os pontos superiores tm deformaes de trao, e termina na linha 4h , onde

    os pontos superiores tm deformao nula. Os pontos inferiores tm deformaes min

    que esto entre maxc e minc , e, portanto, so avaliados por um processo de tentativas

    para cada valor de . O processo realizado a partir do incremento de deformao

    partindo de maxc . A soluo encontrada quando a configurao deformada tangencia

    a superfcie limite ),(cu , figura 5.3.5. Definindo 188 < , tem-se

    ( )( )10/18 maxtmax = and ( ))(f maxmin = . (5.3.4)

    h4h3

    tmaxcmaxcmin

    compresso trao

    cu() 3

    elementos finitos

    ()

    Figura 5.3.5 Domnio 3D .

    Posteriormente, tem-se o domnio 4D , entre as linhas 4h e 5h . A seo

    completamente comprimida e 5h corresponde a uma compresso uniforme, porm, no

    corresponde a uma compresso pura (sem flexo), a menos que se tenha geometria e

    distribuio de temperaturas simtricas. Esse domnio pode ser representado, para

    2618 < , por

    ( )( )8/18 maxcmax = e ( ))(f maxmin = . (5.3.5)

    Mais uma vez, min deve ser encontrado por um processo de tentativas para um valor

    fixo de .

  • 128

    Z4h5

    h4

    h0

    tmaxcmaxcmin

    compresso trao

    cu()

    elementos finitos

    ()

    Figura 5.3.6 Domnio 4D .

    Para 26> , tem-se domnios anlogos, mas com compresso nos pontos

    superiores da seo. As expresses para esses domnios so dadas por

    ( )( )8/34 maxcmin = e ( ))(f minmax = , para 3426 < , (5.3.6)

    ( )( )10/34 maxtmin = e ( ))(f minmax = , para 4434 < , (5.3.7)

    maxtmin = e ( )( )7/51 maxc

    max = , para 5144 < , (5.3.8)

    maxtmin = e ( ) maxt

    max 51 = , para 5251 < . (5.3.9)

    Dado um valor entre 0 e 52 para e com max e min definidos nos centros dos

    elementos com coordenadas max e min , as deformaes generalizadas podem ser

    obtidas por

    ( ) ( )minmaxminmaxo /k = ,

    maxomax

    o k = , ( )= coskk ox e ( )= sinkk oy .

    (5.3.10)

    Conhecidos o , xk e yk , os esforos resistentes da seo so avaliados por uma

    integrao numrica atravs dos elementos

    =

    =n

    1iiz )A)((N ,

    =

    =n

    1iix )yA)((M e

    =

    =n

    1iiy )xA)((M , (5.3.11)

    com obtido a partir da relao tenso-deformao para a temperatura no centro do

    elemento, e avaliado a partir da expresso 5.3.1 para o mesmo ponto. A contribuio

    das armaduras adicionada s expresses 5.3.11, assumindo-se uma temperatura igual

    temperatura do seu centro, na posio correspondente da malha. Partes da seo

    formada por outros materiais como, por exemplo, perfis de ao em um pilar misto, tm

  • 129

    suas contribuies na resistncia somadas diretamente na expresso 5.3.11, uma vez que

    tais elementos tambm so discretizados juntamente com as regies em concreto.

    Variando o parmetro , 520 , e para valores fixos da inclinao da linha

    neutra, , pode-se obter os pontos (Nz,Mx,My), necessrios para a descrio de uma

    superfcie de interao aproximada por linhas discretas, figura 5.3.7. A interseo dessa

    superfcie com um dos planos de momento nulo, leva aos diagramas de interao NM

    para flexo uniaxial, figura 5.3.8. Outra representao til obtida fixando um valor de

    fora axial, resultando numa curva de interao MxMy.

    N z

    MxM

    y

    tra

    o

    com

    pre

    sso

    Figura 5.3.7 Superfcie de interao completa para uma dada seo.

    com

    pre

    ss

    otr

    a

    o

    tem

    pera

    tura

    ambi

    ente

    tem

    pera

    tura

    elev

    ada

    Mx

    N z

    Figure 5.3.8 Diagrama de interao NM, para temperatura ambiente e temperatura

    elevada.

  • 130

    5.4 ANLISE DE PILARES

    O principal objetivo deste captulo a anlise de sees transversais. Este item

    apresenta um algoritmo para o uso dos diagramas NM na anlise global de pilares.

    A partir da superfcie de interao NM, ou MxMy para um dado esforo axial Nz, a

    verificao de pilares pode ser feita considerando os efeitos de segunda ordem devido

    aos momentos nas extremidades do pilar. As proposies apresentadas tm por base o

    ACI 318 (2005). Para incluir o efeito de segunda ordem ao longo do pilar necessrio

    calcular o fator de amplificao

    0,1N/N1

    C

    crE

    m

    = . (5.4.1)

    Na expresso 5.4.1,

    4,0M

    M4,06,0C

    2E

    1Em += , (5.4.2)

    onde 1EM o maior dos momentos aplicados nas extremidades e 2E1E M/M negativo

    para pilares com dupla curvatura. Para pilares com curvatura simples, mC igual a 1,0.

    A carga de flambagem calculada como

    ( )22

    crkL

    EIN

    = , (5.4.3)

    onde 1k = para elementos com as extremidades bi-rotuladas; 7,0k = para uma

    extremidade fixa e outra rotulada; e 5,0k = quando as extremidades forem fixas.

    A rigidez efetiva para cada material da seo obtida por um somatrio nos

    elementos que discretizam a seo, i = 1...n, com rea A , considerando a temperatura

    constante e igual mdia das temperaturas nodais (ou temperatura no centro do

    elemento),

    =

    =n

    1ii)EA(EA ,

    =

    =n

    1ii

    2x )EAy(EI e

    =

    =n

    1ii

    2y )EAx(EI . (5.4.4)

    A rigidez efetiva do pilar calculada por

    sc EI8,0EI5,0EI += , (5.4.5)

    onde os subscritos c e s referem-se ao concreto e ao, respectivamente. O valor

    caracterstico para o mdulo secante do concreto em situao de incndio tomado

  • 131

    igual a ,cf dividido pela deformao correspondente tenso mxima da relao

    tenso-deformao, figura 5.2.1. Essa considerao e a expresso 5.4.5 tm por base as

    prescries do EN 1994-1-2:2005 para pilares mistos de ao e concreto.

    O mtodo proposto deve ser aplicado a pilares com ndice de esbeltez (relao

    entre o comprimento efetivo e o raio de girao correspondente) menor ou igual a 100, e

    uma excentricidade mnima (ACI 318, 2005),

    he 03,0015,0min += , (5.4.6)

    em metros, deve ser considerada.

    Para pilares de ao, ou mistos de ao e concreto, prope-se que uma

    excentricidade mnima igual a L/500 seja considerada (L o comprimento do pilar).

    Tambm, no caso de pilares de concreto, sugere-se que o valor obtido com a expresso

    5.4.6 seja maior ou igual a L/500. Observa-se nos exemplos apresentados nos itens 6.3.6

    e 6.3.7, que anlises numricas de pilares com uma imperfeio senoidal de amplitude

    mxima igual a 0,1 mm leva a resultados prximos aos obtidos experimentalmente.

    Essa imperfeio bem menor do que as sugeridas acima com base em procedimentos

    normativos.

    5.5 EXEMPLOS

    A seguir, alguns exemplos do modelo proposto neste trabalho para avaliao da

    resistncia de sees transversais e pilares so apresentados. Nas anlises, foram

    consideradas, para o concreto, propriedades de acordo com o EN 1992-1-2:2004 para

    concretos com agregados silicosos. Os exemplos mostram a influncia da ao do

    incndio sobre os diagramas de interao obtidos temperatura ambiente e a aplicao

    do procedimento proposto para verificao de pilares.

    5.5.1 Seo Transversal Totalmente Exposta ao Incndio

    Meda et al. (2002) estudaram o comportamento ltimo de trs diferentes sees

    transversais quadradas de concreto armado sujeitas a uma fora axial excntrica com

    referncia a um tpico concreto de alta resistncia e a vrios tempos de exposio ao

    incndio-padro. Alm dos diagramas NM das sees em temperatura elevada, so

    obtidos os diagramas aps o resfriamento do concreto. So feitas ento comparaes

    com sees de concreto normal com o mesmo tamanho ou resistncia, assim como com

  • 132

    sees de concreto de alta resistncia com diferentes arranjos das armaduras ou

    protegidas por material de isolamento trmico. Relaes tenso-deformao bilineares

    so utilizadas para o concreto, e alguns indicadores de desempenho so introduzidos

    para descrever a contrao dos diagramas NM.

    Neste trabalho as seguintes caractersticas so utilizadas nas anlises da seo de

    concreto normal apresentada por Meda et al. (2002): rea de 0,6x0,6m, 24 barras de

    armadura com 20mm de dimetro e 50mm de distncia do centro da armadura at a

    superfcie de concreto mais prxima; 40MPa de resistncia compresso do concreto;

    430MPa de resistncia ao escoamento do ao e 2x105 MPa para o mdulo de

    elasticidade. A seo foi discretizada em 1022 elementos finitos retangulares e exposta

    ao incndio-padro da ISO 834-1:1999.

    A figura 5.5.1 mostra o diagrama NM colocado de forma adimensional com base

    nas expresses ( )bhf/Nn c= e ( )2cbhf/Mm = , onde b a largura e h a altura da

    seo.

    Nota-se que o momento fletor resistente menor segundo o presente trabalho,

    provavelmente pela considerao da deformao ltima do concreto ser limitada

    deformao para a tenso de pico. A fora axial de compresso resistente maior por se

    levar em considerao as deformaes trmicas na obteno da configurao deformada

    da seo, fazendo com que pontos mais aquecidos e com menor resistncia venham a

    contribuir nos esforos, pois apresentam maiores deformaes trmicas. Na regio de

    trao o comportamento segundo o presente trabalho e o obtido por Meda et al. (2002)

    so mais prximos.

    -0,2

    -0,16

    -0,12

    -0,08

    -0,04

    0

    -1,4-1,2-1-0,8-0,6-0,4-0,200,20,4

    n

    mMeda et al. (0 min)

    Meda et al. (30 min)

    Meda et al. (90 min)

    Meda et al. (180 min)

    Meda et al. (300 min)

    Presente trabalho (0 min)

    Presente trabalho (30 min)

    Presente trabalho (90min)

    Presente trabalho (180min)

    Presente trabalho (300min)

    Figura 5.5.1 Comparao dos diagramas de interao NM para vrios tempos de

    exposio ao incndio-padro.

  • 133

    5.5.2 Seo Transversal Parcialmente Exposta ao Incndio

    Para ilustrar a possibilidade de aplicao do procedimento para diferentes tipos de

    exposio ao incndio, e investigar o comportamento dos diagramas, a mesma seo do

    exemplo anterior exposta parcialmente ao incndio. Uma, duas ou trs faces so

    expostas ao incndio-padro conforme a figura 5.5.2 que apresenta as temperaturas para

    300min. As faces no expostas so consideradas protegidas por um anteparo adiabtico,

    fluxo de calor nulo. Os diagramas NM so obtidos para duas orientaes da linha

    neutra, = 0 (flexo sobre o eixo-x) e = 90 (flexo sobre o eixo-y). Para = 0 ,

    os diagramas obtidos representam uma flexo uniaxial (My=0) uma vez que a ao do

    incndio simtrica em relao ao eixo y nos trs casos.

    (a) (b) (c) (d)

    Figure 5.5.2 Temperaturas para 300 min de exposio: (a) uma face exposta; (b)

    duas faces expostas; (c) trs faces expostas; (d) escala de temperatura em C.

    As figuras 5.5.3 e 5.5.4 apresentam as curvas de interao para uma face

    aquecida, para = 0 e = 90 respectivamente. A primeira situao uma flexo

    uniaxial, uma vez que no h momentos em relao ao eixo y. O diagrama se contrai e

    torna-se no simtrico em relao fora axial. Portanto, compresso pura apenas

    obtida se a carga for aplicada excentricamente. Deve-se notar que com = 90 , o

    diagrama da figura 5.5.4 somente a projeo de uma superfcie de interao no plano,

    uma vez que ocorrem momentos em relao ao eixo-x devido perda de simetria.

  • 134

    -0.2

    -0.16

    -0.12

    -0.08

    -0.04

    0

    0.04

    0.08

    0.12

    0.16

    0.2

    -1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.4

    n

    m x

    0 min

    30 min

    90 min

    180 min

    300 min

    Figura 5.5.3 Diagrama para uma face exposta, = 0 .

    -0.2

    -0.16

    -0.12

    -0.08

    -0.04

    0

    0.04

    0.08

    0.12

    0.16

    0.2

    -1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.4

    n

    m y

    0 min

    30 min

    90 min

    180 min

    300 min

    Figura 5.5.4 Diagrama para uma face exposta, = 90 .

    As figuras 5.5.5 e 5.5.6 mostram os diagramas para duas faces aquecidas com

    = 0 e = 90 , respectivamente. Nesse caso, a simetria da seo e da distribuio de

    temperaturas causa uma contrao do diagrama, como j observado por Meda et al.

    (2002).

  • 135

    -0.2

    -0.16

    -0.12

    -0.08

    -0.04

    0

    0.04

    0.08

    0.12

    0.16

    0.2

    -1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.4

    n

    m x

    0 min

    30 min

    90 min

    180 min

    300 min

    Figura 5.5.5 Diagrama para duas faces expostas, = 0 .

    -0.2

    -0.16

    -0.12

    -0.08

    -0.04

    0

    0.04

    0.08

    0.12

    0.16

    0.2

    -1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.4

    n

    m y

    0 min

    30 min

    90 min

    180 min

    300 min

    Figura 5.5.6 Diagrama para duas faces expostas, = 90 .

    Finalmente, as figuras 5.5.7 e 5.5.8 apresentam os diagramas para trs faces

    aquecidas e concluses anlogas s de uma face exposta so observadas.

  • 136

    -0.2

    -0.16

    -0.12

    -0.08

    -0.04

    0

    0.04

    0.08

    0.12

    0.16

    0.2

    -1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.4

    n

    m x

    0 min

    30 min

    90min

    180min

    300min

    Figura 5.5.7 Diagrama para trs faces expostas, = 0 .

    -0.2

    -0.16

    -0.12

    -0.08

    -0.04

    0

    0.04

    0.08

    0.12

    0.16

    0.2

    -1.4-1.2-1.0-0.8-0.6-0.4-0.20.00.20.4

    n

    m y

    0 min

    30 min

    90 min

    180 min

    300 min

    Figura 5.5.8 Diagrama para duas faces expostas, = 90 .

    5.5.3 Seo Mista de Ao e Concreto

    A seo arbitrria mista com 15 barras, uma abertura circular e um perfil de ao

    envolvido por concreto, figura 5.5.8, foi analisada por Chen et al. (2001) temperatura

    ambiente. Para investigar a influncia da ao do incndio na superfcie de resistncia, a

    seo submetida ao incndio-padro (EN 1991-1-2:2002). As seguintes caractersticas

    so utilizadas nas anlises da seo: barras de armadura com 18mm de dimetro e

  • 137

    50mm de distncia do centro extremidade mais prxima; seo de ao com 10,5mm

    de espessura de alma, 17,3mm para as mesas; resistncia ao escoamento do ao de

    323MPa; resistncia a compresso do concreto de 20MPa; resistncia ao escoamento

    das armaduras de 400MPa e mdulo de elasticidade igual a 5102 MPa. A seo foi

    dividida em 889 elementos finitos retangulares e as propriedades trmicas foram

    tomadas segundo o EN 1992-1-2:2004 para concretos com agregados silicosos com 0%

    de umidade.

    A distribuio de temperaturas para 300 min de exposio ao incndio

    apresentada na figura 5.5.9. A figura 5.5.10 apresenta o diagrama de interao dos

    momentos para um valor de fora axial de compresso igual a 4120 kN, para

    temperatura ambiente e vrios tempos de exposio. A contrao do diagrama para

    maiores tempos de exposio ilustra a perda de resistncia da seo aos momentos

    fletores. Os resultados para a temperatura ambiente, segundo o presente trabalho, so

    conservadores, provavelmente devido considerao dos limites de deformao do

    concreto. Chen et al. (2001) emprega uma relao tenso-deformao formada por uma

    parbola e um retngulo assumindo maiores limites de deformao ltima.

    y

    x

    281,5

    292,2

    abertura

    100

    260

    90

    200

    400

    100 256 344

    300

    340

    (a) (b)

    Figure 5.5.9 Seo transversal mista: (a) dimenses in mm; (b) Temperaturas para

    300 minutos de exposio ao incndio.

  • 138

    -1000

    -750

    -500

    -250

    0

    250

    500

    750

    1000

    -1250 -1000 -750 -500 -250 0 250 500 750 1000 1250

    Mx (kNm)

    My

    (kN

    m)

    Chen et al. (2001)

    0 min

    30 min

    90 min

    180 min

    300 min

    Figure 5.5.10 Diagramas de interao para vrios tempos de exposio.

    5.5.4 Pilar Aquecido em 4 Faces

    Dotreppe et al. (1999) apresentam a capacidade resistente, obtida

    experimentalmente, de um pilar exposto ao incndio-padro por 40 min. No presente

    trabalho, as seguintes caractersticas foram utilizadas nas anlises do pilar: rea de

    2,02,0 m; 4 barras com dimetro de 20mm; comprimento de 5,76m, rotulado nas

    extremidades; 28mm de distncia do centro da barra extremidade do concreto mais

    prxima; 21mm de excentricidade para a carga axial aplicada (excentricidade mnima

    dada pela expresso 5.4.6), 39MPa de resistncia a compresso do concreto; resistncia

    ao escoamento do ao igual a 443MPa e mdulo de elasticidade igual a 5102 MPa. A

    seo foi discretizada em 1248 elementos retangulares.

  • 139

    -1600

    -1400

    -1200

    -1000

    -800

    -600

    -400

    -200

    0

    200

    400

    -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50

    Mx (kNm)

    Nz

    (kN

    )

    Ponto de projeto

    Diagrama de interao

    (a) (b)

    Figura 5.5.11 Pilar analisado por Dotreppe et al. (1999): (a) diagrama de interao

    NzMx; (b) distribuio das temperaturas (C) para o tempo de 40 min de exposio ao

    incndio.

    O diagrama de interao NzMx para o pilar mostrado na figura 5.5.11. O ponto

    de projeto envolvido pelo diagrama NM foi encontrado para kNN E 188= da seguinte

    forma:

    10004,0/1033,1/76,5 4 == ;

    2kNm7157198,02805,0EI =+= ; ( ) kN21376,5/715N 22cr == ; ( ) 52,8213/1881/1 == ;

    kNm34188021,052.8ME == .

    A carga de falha obtida de kN188 90% do resultado do ensaio experimental

    igual a kN208 .

  • 140

    5.5.5 Pilar Aquecido em 3 Faces

    A resistncia em situao de incndio de um pilar aquecido em trs faces expostas

    ao incndio-padro da ISO 834-1:1999 por 75 min foi analisada por Tan e Yao (2004),

    via elementos finitos. As seguintes caractersticas foram utilizadas: rea de 3,03,0 m;

    4 barras com 22mm de dimetro; comprimento de 4,2m, rotulado nas extremidades;

    30mm de distncia do centro das barras de ao extremidade de concreto mais

    prxima; 25mm de excentricidade do carregamento, 40MPa de resistncia a compresso

    do concreto; resistncia ao escoamento do ao igual a 460MPa e mdulo de elasticidade

    igual a 5102 MPa. A face no exposta ao incndio foi considerada como protegida por

    um anteparo adiabtico, com fluxo de calor nulo. A seo foi discretizada em 1022

    elementos retangulares.

    -3000

    -2500

    -2000

    -1500

    -1000

    -500

    0

    500

    -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100

    Mx (kNm)

    Nz

    (kN

    )

    Ponto de projeto

    Diagrama de interao

    (a) (b)

    Figura 5.5.12 Pilar analisado por Tan e Yao (2004): (a) diagrama de interao

    NzMx; (b) distribuio das temperaturas (C) para o tempo de 75 min de exposio ao

    incndio.

    O diagrama NzMx mostrado na figura 5.5.12. O ponto de projeto envolvido pelo

    diagrama foi calculado como kN970NE = . O deslocamento da linha neutra devido ao

    aquecimento assimtrico tomado como a excentricidade do diagrama de interao para

  • 141

    a fora axial mxima de compresso, 020,02876/58yNA == . O ponto de projeto

    foi determinado como segue:

    4809,0/1075,6/2,4 4 == ;

    22c

    2NAcc kNm2927431,507020,03130EAyEIEI ===

    22s

    2NAss kNm1919054,137020,01974EAyEIEI ===

    2x kNm299919198,029275,0EI =+= ; ( ) kN16782,4/2999N 22cr == ;

    ( ) 37,21678/9701/1 == ;

    ( ) kNm8402,097097002,0025,037,2ME =+= .

    Nesse caso, a curvatura devido ao gradiente trmico favorvel e no foi

    considerada. Esse efeito pode ser estimado como uma excentricidade dada por

    ( ) h8/kLe 2th = , onde o coeficiente de dilatao trmica do concreto; a

    variao de temperatura ao longo da altura, h , da seo. A carga kN970 de falha do

    pilar pouco maior que a carga de kN900 obtida via elementos finitos por Tan e Yao

    (2004).

    5.6 CONCLUSES

    Este captulo apresentou um procedimento para a avaliao de diagramas e

    superfcies de interao do esforo axial e momentos fletrores para sees submetidas

    ao incndio. Diagramas de interao so ferramentas comuns para o projeto de sees

    de elementos estruturais temperatura ambiente, porm poucos trabalhos nesse tpico

    tm sido publicados para o caso de sees genricas expostas ao incndio.

    As superfcies de interao obtidas a partir da formulao do um melhor

    entendimento do comportamento de sees quando sujeitas a altas temperaturas,

    especialmente para os casos onde a variao de temperatura apresenta uma distribuio

    complexa e os diagramas podem desviar consideravelmente do seu formato

    temperatura ambiente.

    Algumas hipteses feitas para construo dos diagramas, como a escolha da

    deformao ltima do concreto, todavia, necessitam ser estudas por procedimentos

  • 142

    numricos ou experimentais. Neste trabalho a escolha foi conservadora. Tambm, a

    possibilidade de spalling no foi considerada.

    O modelo para verificao de pilares de concreto armado em situao de incndio

    pode ser aplicado a pilares de ao ou mistos de ao e concreto. Observa-se a partir dos

    exemplos, onde foi analisado um pilar esbelto e outro com 3 faces aquecidas, que os

    diagramas de interao representam adequadamente a resistncia da seo de pilares de

    concreto armado. Modelos semelhantes, adaptados s normas brasileiras ABNT NBR

    6118:2003 e ABNT NBR 15200:2004 tambm podem ser desenvolvidos. A anlise da

    seo pode, tambm, ser utilizada para o dimensionamento ou estudo do

    comportamento de vigas e lajes em situao de incndio.

  • 6

    FORMULAO DO ELEMENTO DE VIGA

    TRIDIMENSIONAL

    Inicialmente so apresentados o conceito de deformao efetiva, a obteno das

    foras internas e rigidezes de elementos finitos no-lineares e a implementao de um

    mtodo incremental-iterativo para obteno do caminho de equilbrio de estruturas sob a

    ao trmica do incndio. Posteriormente apresenta-se o desenvolvimento do elemento

    de viga tridimensional para anlise termomecnica.

    6.1 INTRODUO

    Na anlise estrutural, pode-se modificar a relao tenso-deformao dos

    materiais para incluir os efeitos da deformao trmica e variao das propriedades

    fsicas dos materiais com o aumento da temperatura. Para uma estrutura unidimensional

    com material linear, tem-se a expresso para a tenso

    ( )= E , (6.1.1)

    onde E o mdulo de elasticidade que pode variar com a temperatura, a

    deformao devida ao deslocamento unidimensional, o coeficiente de expanso

    trmica que tambm pode variar com a temperatura e a variao de temperatura.

    Essa expresso mostra que as tenses so causadas por uma deformao efetiva,

    tambm chamada deformao puramente mecnica,

    =ef , (6.1.2)

    onde a deformao trmica dada por

  • 144

    = . (6.1.3)

    Esse conceito de deformao efetiva extremamente simples e similar

    definio das deformaes elsticas utilizada em anlise de estruturas elasto-plsticas

    (Chen e Han, 1988; Simo e Hughes, 1998).

    Para materiais lineares e elsticos, tem-se ento a relao tenso-deformao

    efC = , (6.1.4)

    onde C a matriz constitutiva do material que pode variar com a temperatura e ef

    o vetor de deformaes efetivas ou mecnicas, lembrando que as variaes trmicas em

    geral no produzem distores angulares. Para problemas elasto-plsticos, considerando

    pequenas deformaes (Liu, 1996; Parente Jr. et al., 2005),

    ( ) == C pef , (6.1.5)

    onde p so as deformaes plsticas. As deformaes devido aos deslocamentos,

    contidas no vetor , so chamadas de deformaes totais.

    Portanto, as relaes constitutivas no-lineares e implementaes computacionais

    desenvolvidas para anlise de estruturas temperatura ambiente podem ser utilizadas

    para anlise de estruturas sob ao trmica, desde que as deformaes computadas

    sejam substitudas por deformaes efetivas. Porm, para materiais elasto-plsticos, a

    resistncia ao escoamento pode variar com a temperatura. Bathe (1996) apresenta a

    utilizao de modelos de plasticidade para anlise de estruturas sob ao trmica,

    modificando as propriedades dos materiais de acordo com a temperatura.

    Em seguida, partindo-se do princpio dos trabalhos virtuais, obtm-se o vetor de

    foras internas, mf , de um elemento genrico de volume V, considerando a ao

    trmica. Sendo a expresso de variao do trabalho interno

    == VdW mint qf , (6.1.6)

    na qual o vetor de deformaes virtuais produzidas pelo conjunto de

    deslocamentos virtuais, q , onde q o conjunto de deslocamentos nodais

    generalizados do elemento, obtm-se o vetor de foras internas,

    = VdT

    m Bf , (6.1.7)

    no qual o vetor de tenses obtido conforme as expresso 6.1.5. A matriz B que

    relaciona os deslocamentos com as deformaes totais, conforme a expresso

  • 145

    qB = , (6.1.8)

    pode ser funo dos deslocamentos e varia para cada tipo de elemento (Bathe, 1996;

    Crisfield, 1991).

    Nota-se que nenhuma modificao (Bathe, 1996; Parente Jr. et al., 2005) nos

    procedimentos de obteno da fora interna so necessrios para considerar as aes

    trmicas, desde que as tenses sejam obtidas a partir das deformaes efetivas,

    expresso 6.1.5.

    Outro ponto importante para simulao do comportamento estrutural a obteno

    do caminho de equilbrio da estrutura. Com base no trabalho de Parente Jr. et al. (2005),

    apresenta-se a tcnica que ser utilizada, que tem por base o mtodo de Newton

    Raphson.

    Considerando a estrutura submetida a um dado carregamento e mudanas de

    temperatura, pode-se escrever a equao de equilbrio de um modelo de elementos

    finitos (Parente Jr. et al., 2005)

    ( ) ( ) ( )c,, PPuFu += , (6.1.9)

    onde o vetor de foras desequilibradas, cP um vetor de foras constantes, como

    por exemplos cargas que permanecem constantes durante o incndio, P o vetor de

    foras proporcionais de referncia e o fator de carga.

    No trabalho de Parente Jr. et al. (2005), o fator de carga tambm controla as

    mudanas de temperatura por meio da expresso

    ( ) +=+= 0010 , (6.1.10)

    onde 0 a temperatura de referncia e 1 a temperatura correspondente a 1= .

    Neste trabalho, a elevao de temperatura obtida por anlise trmica (captulo 4) na

    seo transversal dos elementos.

    A expresso 6.1.9 mostra que o vetor de foras internas F depende dos

    deslocamentos e do fator de carga, que est relacionado com as tenses no elemento

    devido s variaes de temperatura.

    Devido ao comportamento no-linear das equaes de equilbrio, 6.1.9,

    procedimentos incrementais iterativos so utilizados.

    Parente Jr. et al. (2005) apresentam vrias tcnicas, entre elas o mtodo do

    controle de carga. O sistema de equaes, expresso 6.1.9, tem N+1 variveis e N

  • 146

    equaes, onde N o nmero de graus de liberdade do modelo de elementos finitos.

    Porm, nesse mtodo, o fator de carga prescrito no incio de cada passo. Portanto, a

    linearizao da expresso 6.1.9, leva a

    uKu u +=+=+ i,i1i , (6.1.11)

    onde K a matriz tangente, i o nmero da iterao e u a correo do vetor de

    deslocamentos nodais. A correo pode ser calcula fazendo-se 01i =+ , o que leva ao

    sistema linear

    ici FPPuKuK +== . (6.1.12)

    Os deslocamentos nodais so atualizados usando-se

    uuu +=+ i1i . (6.1.13)

    O processo continua at que a convergncia seja alcanada segundo algum critrio

    e tolerncia.

    A matriz de rigidez pode ser obtida a partir da linearizao do vetor de foras

    internas,

    uKuKBBuKF dddVddVddd egTT +=+== , (6.1.14)

    sendo

    uBCC ddd == , (6.1.15)

    onde C matriz constitutiva tangente que pode variar com a temperatura. A matriz de

    rigidez elstica dada por

    = dVT

    e BCBK . (6.1.16)

    A matriz de rigidez geomtrica, gK , dependente do tipo de elemento utilizado,

    porm, a partir da expresso 6.1.14, nota-se que esta s depende da variao de

    temperatura por meio das tenses.

    Usando o conceito de deformao efetiva e o mtodo do controle de carga, a

    introduo da ao trmica em programas de anlise mecnica no-linear via elementos

    finitos simples e eficiente quando comparada a outras formulaes com base em

    tenses trmicas. O problema se torna mais complexo quando outros mtodos

    incrementais-iterativos so utilizados, principalmente devido ao fato de que se precisa

    quantificar a variao da fora interna com o fator de carga.

  • 147

    Com base em ensaios experimentais e observaes de incndios reais, nota-se

    que, quando da ocorrncia do incndio, a estrutura j se encontra com um nvel de

    carregamento. Pode-se notar que em simulaes computacionais o adequado aplicar

    um carregamento que mantido constante durante a atuao do incndio.

    Logo, pode-se utilizar o mtodo do controle de carga da forma convencional at o

    ponto onde se atinge o nvel de carregamento desejado. A partir desse ponto, comea-se

    o incndio onde a fora externa mantida constante. O processo deixa ento de ter

    incrementos de carga e passa a ter incrementos de tempo, durante os quais se passa o

    incndio com a variao de temperatura associada ao fator de carga , expresses 6.1.9

    e 6.1.10. Durante os passos de tempo realiza-se uma anlise trmica ao longo dos

    elementos com suas devidas condies de contorno. Para cada incremento de tempo, as

    etapas de iterao consideram na obteno da matriz de rigidez e fora interna a

    degenerescncia das propriedades fsicas dos materiais. O processo continua, com

    incrementos de tempo, at a falha da estrutura (Najjar, 1994; Souza Jr., 1998).

    Na figura 6.1.1a tem-se uma ilustrao do mtodo de Newton Raphson com

    controle do tempo, onde t0 representa o carregamento da estrutura temperatura

    ambiente. Os demais tempos t1 a tn representam os incrementos de tempo para os quais

    se realiza o processo iterativo considerando a ao do incndio. O tempo tn+1 indica que

    a estrutura no consegue manter o carregamento aplicado, externo, caracterizando a

    falha.

    Deslocamento

    Car

    ga

    P

    t0u u t1 t2u

    Tempo: t0 < t1 < t2

    t0 t1t2

    tn

    Car

    ga

    Deslocamento

    tn+1

    Matriz de rigidez tangenteatualizada durante oprocesso iterativo

    Posio de equilbriopara o tempo tn

    P

    t0u u t1

    (a) (b)

    Figura 6.1.1 Mtodo de Newton Raphson com controle do tempo:

    (a) incrementos de tempo e processo iterativo; (b) falha da estrutura.

  • 148

    Para cada incremento de tempo realizada uma anlise de transferncia de calor

    nas sees transversais dos elementos sujeitos ao incndio e obtm-se a variao de

    temperatura. A partir da integrao nos elementos que discretizam as sees dos

    elementos de viga, captulo 5, pode-se obter os esforos resistentes e rigidezes

    generalizadas das sees em situao de incndio. Esses esforos e rigidezes so, ento,

    utilizados para obteno da matriz de rigidez e fora interna dos elementos de viga.

    A capacidade de realizar as anlises trmica e estrutural em conjunto uma

    caracterstica particular dos modelos desenvolvidos neste trabalho. Em programas como

    o VULCAN ou SAFIR as temperaturas so um dado de entrada do problema ou a

    anlise trmica realizada e posteriormente feita a anlise estrutural.

    6.2 ELEMENTO DE VIGA TRIDIMENSIONAL

    A no-linearidade fsica considerada ao nvel seccional, utilizando-se integrao

    nos elementos que discretizam a seo, conforme apresentado para a soluo da

    expresso 5.3.11. Para tratamento da no-linearidade geomtrica, utiliza-se uma

    formulao corrotacional (Crisfield, 1991, 1997; Pacoste e Eriksson 1997; Souza 2000).

    De maneira resumida, a formulao corrotacional consiste em usar um sistema de

    referncia o qual continuamente translada e rotaciona com o elemento. Relativo a este

    sistema local que move, a formulao do elemento definida e os efeitos dos grandes

    deslocamentos e rotaes so considerados nas transformaes entre os sistemas local e

    global.

    6.2.1 Grandes Rotaes

    O resultado de um certo nmero de grandes rotaes depende da ordem na qual

    elas so aplicadas (Crisfield, 1997). Portanto, essas rotaes no podem ser tratadas

    como vetores. Esse comportamento tem importantes implicaes nas anlises por

    elementos de viga, placas e cascas. Para evitar o problema, na rotao de um dado vetor,

    utiliza-se uma matriz de rotao

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222

    tcos1tsincos1sin

    SSISSIR ++=

    +

    += , (6.2.1)

  • 149

    conhecida como frmula de Rodrigues, onde t um vetor unitrio na direo do pseudo-

    vetor , e o mdulo do pseudovetor. O pseudovetor contm as rotaes em trs

    dimenses utilizadas em elementos de viga usuais. Na expresso 6.2.1,

    ( )

    =

    0

    0

    0

    S

    12

    13

    23

    (6.2.2)

    a matriz skew, que representa rotaes infinitesimais sobre eixos ortogonais, tambm

    chamada de tensor spin.

    Utilizando-se uma forma modificada do pseudovetor,

    ( ) ( )tt

    ===

    2/tan22/tan2 , (6.2.3)

    chamada de vetor tangente-escalado, obtm-se outra forma da matriz de rotao

    ( ) ( ) ( ) ( )

    +

    +

    += SSS

    IR2

    1

    4

    11

    1

    T.

    (6.2.4)

    Quatro parmetros, chamados de parmetros de Euler, 0q , 1q , 2q e 3q , podem

    ser agrupados em um vetor, tambm chamado de quaternion unitrio,

    ( )( )

    ( )

    ( )

    =

    =

    =

    = tq

    q2/sin

    2/cos

    2/sin

    2/cosq

    q

    q

    q

    q

    0

    3

    2

    1

    0

    , (6.2.5)

    e, como pode ser visto, esto relacionados com o pseudovetor . Seus componentes

    podem ser utilizados para obter a matriz de rotao por meio da expresso

    ++

    ++

    ++

    =

    2/1qqqqqqqqqq

    qqqq2/1qqqqqq

    qqqqqqqq2/1qq

    23

    2010232013

    01322

    22

    03012

    203130212

    12

    0

    R . (6.2.6)

    Conforme citado, o resultado de sucessivas rotaes aplicadas a um corpo

    depende da ordem nas quais estas so aplicadas. Duas rotaes sucessivas podem ser

    representadas pelo produto de quaternions unitrios, dado por

    +

    ==

    2110210

    2T

    1001212

    2

    21

    qq

    qq

    qqqq

    qqqqq , (6.2.7)

  • 150

    onde 10

    q indica o componente 0q do quaternion unitrio 1q . Deve-se notar que esta

    operao no comutativa e representa a rotao de um vetor a partir da matriz de

    rotao representa por 1q e posteriormente por 2q .

    A obteno do quaternion unitrio a partir da matriz de rotao pode ser feita a

    partir da matriz escrita em funo dos componentes do quaternion unitrio, expresso

    6.2.6. O procedimento pode ser sumarizado pelo algoritmo de Spurrier, mostrado na

    figura 6.2.1.

    ( )( )( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( )[ ] ( )

    ( )

    ( ) ( )k,jparaRRq4

    1q

    RRq4

    1q

    mRquetalicomtrao12

    1m

    2

    1q

    contrriocaso

    3,2,1decclicapermutaoumacomok,j,icomRRq4

    1q

    1trao2

    1q

    traomse

    R,R,R,traomaxm

    iii

    jkkji

    0

    iii

    jkkj0

    i

    0

    332211

    ==

    =

    =+=

    =

    +=

    ==

    =

    llll

    R

    R

    R

    R

    Figura 6.2.1 Algoritmo de Spurrier para obteno do quaternion unitrio a partir da

    matriz de rotao. Observao: nesta figura, o smbolo = indica atribuio e o

    smbolo == indica igualdade.

    Aps a obteno do quaternion unitrio correspondente aos parmetros de Euler,

    pode-se obter o vetor tangente-escalado e conseqentemente o pseudovetor com a

    expressso 6.2.3, que pode ser reescrita como

    ( ) ( )( )

    qqtt

    0q

    2

    2/cos

    22/tan22/tan2 =

    =

    === . (6.2.8)

  • 151

    6.2.2 Formulao Corrotacional

    A transformao entre os sistemas local (xyz na figura 6.2.2) e global (XYZ na

    figura 6.2.2) feita de acordo com uma formulao corrotacional. No caso de estruturas

    planas essa transformao pode ser exata (Muniz, 2005). Em trs dimenses, todavia,

    diferentes formulaes so propostas com base em diferentes definies do sistema

    local e diferentes consideraes relacionadas ao tamanho das rotaes locais. Neste

    trabalho, o procedimento proposto por Crisfield (1990, 1997), ser utilizado por estar

    bem consolidado.

    A figura 6.2.2 mostra o elemento de viga indeformado e seu sistema local inicial

    zyx definido a seguir. O vetor 1e dado por

    L IJ1

    Xe = , (6.2.9)

    onde

    IJIJ XXX = (6.2.10)

    a diferena entre as coordenadas globais dos ns J e I, e

    ( ) 2/1IJTIJIJL XXX == (6.2.11) o comprimento inicial, indeformado, do elemento.

    Os outros vetores 2e e 3e so obtidos a partir de um vetor v fornecido como

    dado de entrada, que neste trabalho, quando multiplicado pelo vetor 1e fornece a

    direo do vetor 3e , portanto,

    1

    13

    ev

    eve

    = (6.2.12)

    e

    ( )312 eee = . (6.2.13)

  • 152

    X

    ZY

    I

    3 2 1

    yz x^

    J

    I

    x

    ^^

    yz

    e1e2

    e3 J

    Figura 6.2.2 Configurao inicial e atual do elemento no espao.

    Assim, define-se o triedro formado pelos vetores bases que corresponde matriz

    de rotao que transforma vetores a partir do sistema global para o local indeformado

    [ ]321 eeeE = . (6.2.14)

    Aps a deformao do elemento, as sees localizadas nas extremidades do

    elemento sero rotacionadas no espao, figura 6.2.3, e as bases do sistema que definem

    a nova posio compem os triedros

    [ ]3I2I1II nnnN = e

    [ ]3J2J1JJ nnnN = , (6.2.15)

    que inicialmente so iguais ao triedro E , expresso 6.2.14.

    A rotao dos triedros feita a partir das rotaes globais obtidas aps a soluo

    do sistema de equaes que representa a estrutura. Deve-se notar que as rotaes globais

    em cada n formam um pseudovetor, e as rotaes sucessivas dos triedros so obtidas a

    partir da composio dos quaternions unitrios, expresso 6.2.7. Sendo o triedro uma

    matriz de rotao, esta pode ser representada por um quaternion unitrio obtido

    utilizando-se o algoritmo de Spurrier, figura 6.2.1.

  • 153

    X

    ZY

    I

    J

    nI3 nI2

    nI1

    nJ3

    nJ2

    nJ1

    Figura 6.2.3 Triedros nodais para a configurao deformada.

    Com a deformao do elemento, o sistema de coordenadas local xyz pode ser

    definido com o eixo x ao longo da linha que liga os ns I e J na configurao

    deformada, vetor 1e na figura 6.2.2. O sistema local xyz pode ser representado pelo

    triedro

    [ ]321 eeeE = . (6.2.16)

    Os demais vetores, 2e e 3e , que aparecem na expresso, so dados por

    ( )111T

    222 2

    erer

    re += e ( )111T

    333 2

    erer

    re += , (6.2.17)

    onde os vetores 1r , 2r e 2r formam o triedro

    [ ]321 rrrR = , (6.2.18)

    que corresponde a uma rotao intermediria entre as rotaes dos ns (Crisfield, 1997).

    A partir das definies apresentadas, as rotaes locais podem ser obtidas a partir

    das expresses

    ( )

    = 3I

    T22I

    T3xI 2

    1arcsin nene , ( )

    = 1I

    T33I

    T1yI 2

    1arcsin nene ,

    ( )

    = 2I

    T11I

    T2zI 2

    1arcsin nene , ( )

    = 3J

    T22J

    T3xJ 2

    1arcsin nene ,

    ( )

    = 1J

    T33J

    T1yJ 2

    1arcsin nene e ( )

    = 2J

    T11J

    T2zJ 2

    1arcsin nene .

    (6.2.19)

    Localmente, admite-se que o elemento possui sete graus de liberdade (Crisfield,

    1997), formados pelas rotaes dadas pelas expresses 6.2.19 e o deslocamento u do n

  • 154

    J na direo 1e , figuras 6.2.2 e 6.2.4, obtido a partir do comprimento deformado do

    elemento. Esse comprimento pode ser obtido a partir dos deslocamentos globais dos

    ns.

    A relao tangencial entre deslocamentos nos sistemas local, u , e global, u ,

    dada por

    uTuu

    uu

    =

    = . (6.2.20)

    A transposta da matriz T transforma foras a partir do sistema local para o

    global,

    PTPT = . (6.2.21)

    z, w

    y, vwI

    zI*

    vIyI*

    uJ*

    vJyJ*

    wJ

    zJ*

    uI uK

    I K J

    seo transversal

    genrica

    condies de

    contorno em

    incndio

    xJ*xI* x, u

    Figura 6.2.4 Graus de liberdade locais (o smbolo * indica os graus de liberdade

    considerados na formulao corrotacional).

    A partir da variao dos deslocamentos locais em relao aos globais, expresso

    6.2.20, pode-se obter a matriz de transformao (Crisfield, 1997)

    [ ]T12T2T1T ... tttT = , (6.2.22) onde 0ttttt ===== 98321 , pois se tem apenas sete graus de liberdade locais. Os

    demais vetores da expresso 6.2.22 so

    ( ) ( )[ ]T1I3I22I32I

    4 cos2

    1hnrLnrLt

    = , ( )[ ]T2I1I3

    2I5 cos2

    1hnrLt

    = ,

    ( )[ ]T3I1I23I

    6 cos2

    1hnrLt +

    = , [ ]TT1TT1T7 0e0et = ,

    ( ) ( )[ ]T1J3J22J31J

    10 cos2

    1hnrLnrLt

    = e ( )[ ]T3J1J2

    3J12 cos2

    1hnrLt +

    = ,

    (6.2.23)

    onde

  • 155

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]Tk2Tk1Tk2Tk1Tk rLrLrLrLrL = , para 3e2k = , (6.2.24) com

    ( ) ( )T11k1T

    kT

    k1 2

    1

    2

    1rerAAerrL ++= e

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T111k11T

    kkT

    k2 4

    1

    4

    1

    2

    1reerSrSerrSrL +=

    (6.2.25)

    onde ( )S o tensor spin, expresso 6.2.2. Nas expresses tambm aparecem os termos

    ( )T111 eeIA =l

    , onde l o comprimento deformado do elemento, e,

    ( ) ( )( )[ ]TTT23I32ITT1I 00enSenS0h = , ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]TT3IT13I31IT3IT2I 0AnenSenSAnh = , ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]TT2IT12I21IT2IT3I 0AnenSenSAnh = ,

    ( ) ( )( )[ ]T23I32JTTTT1J enSenS000h = , ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]T13J31JT3JTT3JT2J enSenSAn0Anh = e ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]T12J21JT2JTT2JT3J enSenSAn0Anh = .

    (6.2.26)

    A matriz de rigidez do elemento no sistema local relaciona incrementos de

    deslocamento aos incrementos de fora,

    uKP = . (6.2.27)

    A matriz de rigidez global, K , pode ser obtida a partir da linearizao da

    expresso 6.2.21 e usando-se as expresses 6.2.20 e 6.2.27, logo

    ( ) ( ) uKuKTKTPTuKTPTPTPTP gTTTTTT =+=+=+== . (6.2.28)

    Como pode ser visto a matriz de rigidez geomtrica, expresso 6.2.28, dada por

    Pu

    TK :

    T

    g

    = , (6.2.29)

    onde o smbolo : representa uma contrao, tal que

    uKtPT P gr3

    1rr

    T == =

    , (6.2.30)

    onde rt so as linhas da matriz de transformao T , expresses 6.2.22 a 6.2.26.

  • 156

    A derivao da matriz de rigidez geomtrica envolve longas manipulaes

    algbricas (Crisfield 1997; Souza 2000), que no sero apresentadas aqui. A expresso

    final pode ser apresentada como uma soma de vrias matrizes,

    fedcbag KKKKKKK +++++= . (6.2.31)

    As matrizes que aparecem na expresso so

    =

    0000

    0A0A

    0000

    0A0A

    K a ,

    ( )1J10T103I4T462J11T1152I5

    T543J12

    T1233I6

    T62b

    tantanPtanP

    tanPtanPtanP

    +++

    ++=

    tttttt

    ttttttK,

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )3I22I3J63J22J3I6

    1J351I341J231I22c

    ,,m,,m

    ,m,m,m,m

    nrGnrGnrGnrG

    nrGnrGnrGnrGK

    +

    +=,

    [ ]4d2dd K0K0K = , onde

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2II61I433II61I222d mmmm nSnSrLnSnSrLK +++= e

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )2JJ61J533JJ61J324d mmmm nSnSrLnSnSrLK +++= ,

    Tde KK = e

    =

    44f14fT

    14f

    14f11f12f11f

    T12f22f

    T12f

    14f11f12f11f

    f

    KK0K

    KKKK

    0KKK

    KKKK

    K , onde

    ( ) ( ) ( ) ( )3J53I42J32I211f mmmm nMnMnMnMK ++= ,

    ( ) ( )3I42I212f mm nASnASK += , ( ) ( )3J52J314f mm nASnASK += ,

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )3I22I3I6

    3I11I342I11I2222f

    m

    mm

    nSeSnSeS

    nSeSnSeSnSeSnSeSK

    =

    e

    ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( )( )3J22J3J6

    3J11J352J11J2344f

    m

    mm

    nSeSnSeS

    nSeSnSeSnSeSnSeSK

    +

    =.

    (6.2.32)

  • 157

    Nas expresses anteriores,

    ( ) ( ) ( )

    ++= zeAAzeAzezM 1

    TT1

    T1

    1

    l e

    ( )

    =

    22T

    1222T

    12

    12111211

    22T

    1222T

    12

    12111211

    fk ,

    gggg

    gggg

    gggg

    gggg

    zrG , onde

    ( ) ( ) ( )( )kT111TkTkTk11 21

    rzMrezMerAzrAArAzg ++++= ,

    ( ) ( ) ( ) ( )( )1TkkT11kT112 41

    rSzrArzASrerSAzeg +++= ,

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )k1

    T11k

    T11

    k1T

    1k11T

    k22 28

    1

    rSezSrerSzerS

    rSzSrSzerSrSzSerg

    ++

    ++=.

    (6.2.33)

    Tambm aparecem nas expresses as foras escaladas

    zI

    22 cos2

    Pm

    = ,

    zJ

    33 cos2

    Pm

    = ,

    yI

    44 cos2

    Pm

    = ,

    yJ

    55 cos2

    Pm

    = ,

    xI

    6I6 cos2

    Pm

    = e

    xJ

    6J6 cos2

    Pm

    =

    (6.2.34)

    onde P so as foras internas associadas aos respectivos graus de liberdade, conforme

    as expresses acima, sendo 6P associada rotao xJ , figura 6.2.4.

    Observa-se que a matriz geomtrica no simtrica. Para evitar uma mudana nos

    algoritmos de soluo de equaes com base em matrizes simtricas, a matriz

    geomtrica tornada simtrica segundo a expresso

    ( )Tggg 21

    KKK += . (6.2.35)

    Essa considerao no trar prejuzos graves uma vez que, segundo Crisfield (1997), a

    matriz geomtrica se torna simtrica quando se est prximo do ponto de equilbrio no

    processo iterativo de Newton Raphson.

  • 158

    6.2.3 Matriz de Rigidez Local

    Nas expresses 6.2.28 e 6.2.21 onde aparecem a matriz de rigidez e fora interna

    globais, o nico requerimento que a formulao local do elemento tenha os sete graus

    de liberdade mostrados na figura 6.2.4, indicados com o smbolo *.

    O elemento com onze graus de liberdade apresentado no item 3.3.1 (Caldas, 2004;

    Sousa Jr. e Caldas, 2005) utilizado com o grau de liberdade toro desacoplado

    adicionado. Os graus de liberdade adicionais so condensados estaticamente ao nvel

    incremental (Cook et al., 2002) (alguns so simplesmente eliminados).

    A toro levada em considerao a partir da incluso da relao linear GJ/T=

    onde a rigidez GJ um dado de entrada que deve ser avaliado considerando fenmenos

    como a fissurao do concreto e degenerescncia das propriedades com o aumento de

    temperatura e l o comprimento inicial, indeformado, do elemento.

    Portanto, para a matriz de rigidez local do elemento, tem-se

    =

    13,1312,1311,139,138,137,136,135,133,132,131,13

    13,1212,1211,129,128,127,126,125,123,122,121,12

    13,1112,1111,119,118,117,116,115,113,112,111,11

    13,912,911,99,98,97,96,95,93,92,91,9

    13,812,811,89,88,87,86,85,83,82,81,8

    13,712,711,79,78,77,76,75,73,72,71,7

    13,612,611,69,68,67,66,65,63,62,61,6

    13,512,511,59,58,57,56,55,53,52,51,5

    13,312,311,39,38,37,36,35,33,32,31,3

    13,212,211,29,28,27,26,25,23,22,21,2

    13,112,111,19,18,17,16,15,13,12,11,1

    kkk0kkkkk0kkk

    kkk0kkkkk0kkk

    kkk0kkkkk0kkk

    000/GJ00000/GJ000

    kkk0kkkkk0kkk

    kkk0kkkkk0kkk

    kkk0kkkkk0kkk

    kkk0kkkkk0kkk

    kkk0kkkkk0kkk

    000/GJ00000/GJ000

    kkk0kkkkk0kkk

    kkk0kkkkk0kkk

    kkk0kkkkk0kkk

    ll

    ll

    K

    (6.2.36)

    onde os coeficientes 13..1,13..1k so obtidos atravs da expresso 3.3.25.

    A fora interna do elemento ser obtido a partir da expresso

    131211x98765x321m fff/GJfffff/GJfff ll =f , (6.2.37)

    sendo os coeficientes 13..1f obtidos a partir da expresso 3.3.26 e x representa a toro

    total de uma extremidade do elemento em relao outra.

    Apesar do elemento ter 13 graus de liberdade (6 em cada n e o deslocamento

    axial hierrquico), os deslocamentos transversais so tomados iguais a zero juntamente

    com a rotao em torno do eixo axial e o deslocamento axial no n I. Isso feito porque

    a formulao corrotacional admite uma matriz local correspondente a um elemento

    isosttico no espao. O deslocamento axial hierrquico condensado estaticamente,

  • 159

    restando apenas sete graus de liberdade. A figura 6.2.4 apresenta os 13 graus de

    liberdade e indica com o smbolo * os graus de liberdade utilizados na formulao

    corrotacional.

    6.3 EXEMPLOS

    O modelo numrico desenvolvido foi comparado com resultados experimentais e

    numricos. Os resultados numricos encontrados na literatura foram obtidos com os

    programas VULCAN e SAFIR. Alguns resultados do programa VULCAN foram

    obtidos a partir de uma verso comercial (verso 10.0) disponvel na Universidade

    Federal de Minas Gerais. Nos exemplos, utilizam-se as propriedades em temperatura

    elevada obtidas do EN 1993-1-2:2005 e EN 1994-1-2:2005 e a anlise trmica foi

    realizada por diferenas finitas, exceto quando comentado.

    6.3.1 Pilar de Ao

    Os resultados obtidos no presente trabalho foram comparados com o modelo

    desenvolvido por Landesmann et al. (2005), com o programa SAFIR (encontrados em

    Landesmann et al., 2005) e com o programa VULCAN, verso 10.0, para um pilar de

    ao biapoiado com 4m de comprimento, submetido ao incndio-padro nas quatro faces

    do perfil e tambm em trs faces. O pilar submetido, temperatura ambiente, a um

    carregamento dado por 20% e 30% do momento e carga axial de plastificao,

    respectivamente, da seo de ao IPE 360, configurando uma flexo com curvatura

    simples. Na seo exposta ao incndio em trs faces, os deslocamentos devido ao

    dos momentos agindo nas duas extremidades do pilar ocorrem na direo da mesa sem

    proteo. O ao tem resistncia ao escoamento igual MPa250 e mdulo de

    elasticidade igual a MPa205000 .

    No presente trabalho, o pilar foi discretizado com quatro elementos de viga de

    comprimentos iguais onde as propriedades termomecnicas do ao foram tomadas

    segundo o EN 1993-1-2:2005. Utilizando o mtodo das diferenas finitas para obteno

    das temperaturas, a seo transversal foi discretizada com pelo menos 4 elementos

  • 160

    retangulares ao longo da espessura, com uma dimenso mxima de 1,0 cm. Um

    algoritmo foi desenvolvido para discretizao da seo (Caldas et al., 2005a). Na figura

    6.3.1 so apresentados os deslocamentos transversais na seo central do pilar. Para o

    pilar submetido ao incndio-padro nas trs faces do perfil, considerou-se a face no

    exposta ao incndio como protegida por um anteparo adiabtico. Observa-se que os

    resultados obtidos no presente trabalho tm uma tima concordncia com os resultados

    obtidos no programa SAFIR (Franssen, 2005).

    Em relao ao VULCAN, os resultados tambm foram bons. As temperaturas

    fornecidas como dados de entrada foram tomadas iguais temperatura do centride da

    mesa desprotegida. A partir da temperatura da mesa desprotegida, para o perfil exposto

    ao incndio em trs faces, considerou-se para a alma e mesa protegida pela laje as

    porcentagens de 100% e 80%, respectivamente.

    Essa distribuio de temperatura foi adotada com base nos resultados de anlises

    trmicas para o perfil em estudo, e afeta pouco o resultado, indicando que a utilizao

    de mtodos muito sofisticados para obteno da distribuio da temperatura tem pouca

    influncia nos resultados no caso de perfis de ao.

    -10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    0 300 600 900 1200Tempo de exposio ao incndio (s)

    Des

    loca

    men

    tos

    (cm

    ) 3 faces4 facesSAFIRVULCANLandesmannPresente trabalho

    Figura 6.3.1 Resultados para os pilares analisados.

    Em relao aos resultados obtidos por Landesmann et al. (2005), as diferenas so

    maiores e devem estar relacionadas s aproximaes adotadas no modelo onde o

    comportamento estrutural simulado por meio de princpios de plasticidade

  • 161

    concentrada, que fazem uso do modelo refinado das rtulas plsticas, funes de

    estabilidade, mdulos tangentes e superfcies de interao de esforos (Landesmann,

    2003).

    6.3.2 Viga de Ao

    Landesmann et al. (2005) tambm analisaram uma viga de ao biapoiada com 5 m

    de comprimento submetida a momentos nas extremidades. Os momentos aplicados

    variam entre 0,1 e 0,9 do momento de plastificao da seo de ao IPE360

    temperatura ambiente. As propriedades termomecnicas do ao nas anlises realizadas

    no presente trabalho foram tomadas segundo o EN 1993-1-2:2005. As vigas foram

    discretizadas com quatro elementos de comprimentos iguais e seo transversal

    conforme exemplo anterior. A laje foi considerada como um anteparo adiabtico e para

    o ao as mesmas propriedades, resistncia e mdulo de elasticidade, do exemplo

    anterior foram usadas.

    O programa VULCAN tambm foi utilizado, sendo a porcentagem da temperatura

    da mesa protegida em relao mesa desprotegida de 80% para as vigas com momento

    aplicado variando de 0,7 a 0,9 do momento de plastificao da seo temperatura

    ambiente, e para os demais casos de carregamento a relao entre as temperaturas foi de

    90%. Essa distribuio de temperatura foi considerada com base nos resultados de

    anlises trmicas para o perfil IPE 360.

    Na figura 6.3.2 apresentam-se os deslocamentos no meio do vo da viga que foi

    carregada em temperatura ambiente, tendo-se, em seguida, iniciado os incrementos de

    tempo que simulam o incndio. Apenas os resultados de Landesmann et al. (2005) para

    0,1, 0,2, 0,8 e 0,9 do momento de plastificao so apresentados. De forma similar ao

    exemplo anterior, os resultados obtidos para a viga ficaram bem prximos dos obtidos

    no programa SAFIR e um pouco diferentes dos resultados do modelo apresentado por

    Landesmann et al. (2005).

  • 162

    -35

    -25

    -15

    -5

    0 300 600 900 1200 1500 1800 2100 2400

    Tempo de exposio ao incndio (s)

    Des

    loca

    men

    tos

    (cm

    )

    0,1 M p

    0,2 M p

    0,30,40,5

    0,80,7

    0,6

    0,9 M p

    SAFIRVULCANLandesmannPresente trabalho

    Figura 6.3.2 Resultados para a viga com o momento aplicado variando de 0,1 a

    0,9 do momento de plastificao da seo IPE 360.

    6.3.3 Viga de Concreto

    Seis espcimes de viga de concreto armado, mostrada na figura 6.3.3, foram

    testados por Ellingwood e Lin (1991) e analisados numericamente com o programa

    VULCAN por Cai et al. (2003). As vigas analisadas com o elemento desenvolvido

    correspondem Viga 3 e Viga 6 do trabalho original e so expostas ao incndio nas

    faces laterais e inferior, enquanto o balano mantido temperatura ambiente. A Viga 3

    est sujeita ao incndio-padro da ASTM E119 e a Viga 6 exposta a um incndio de

    curta durao e grande intensidade (short duration high intensity, SDHI). A resistncia

    a compresso do concreto de 29,65 e 64,54 MPa para as Vigas 3 e 6, respectivamente.

    As armaduras tm resistncia ao escoamento de 495 MPa e 187244 MPa para o mdulo

    de elasticidade. Uma umidade de 3% do peso do concreto foi considerada. A

    condutividade trmica foi tomada como o limite inferior prescrito pelo EN 1992-1-

    2:2004. A carga Po foi considerada constante e igual a 157,8 e 111,2 kN para as Vigas 3

    e 6, respectivamente.

    Cai et al. (2003) empregaram 20 elementos nas anlises numricas e obtiveram a

    distribuio de temperaturas a partir de uma programa de anlise de transferncia de

    calor e massa tridimensional, chamado FPRCBC-T (Huang et al., 1996). No presente

    trabalho, 16 elementos foram utilizados. O mtodo das diferenas finitas foi utilizado

  • 163

    para anlise de transferncia de calor com elementos retangulares de dimenso mxima

    igual a 1,0 cm. As figuras 6.3.4 e 6.3.5 mostram as comparaes entre os deslocamentos

    mximos obtidos nos testes e nas anlises numricas. Os resultados so razoavelmente

    bons apesar das incertezas de alguns parmetros envolvidos nas anlises numricas,

    como, por exemplo, a umidade do concreto.

    3251 15496100

    360 102

    300 1830

    510 1016 1016 1016 1016 1016 1524510

    P = 44,48 kN P P P P P Po

    a

    a

    838

    4 25.4

    4 22.2

    6865

    6568

    6868

    228Section a-a

    534

    Figura 6.3.3 Viga de concreto (Cai et al., 2003)

    -16

    -12

    -8

    -4

    0

    0 3600 7200 10800 14400

    Tempo de incndio (s)

    Des

    loca

    men

    to (

    cm)

    EnsaioVULCANPresente trabalho

    Figura 6.3.4 Deslocamentos mximos da Viga 3 no vo exposto ao incndio.

  • 164

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    0 3600 7200 10800 14400

    Tempo de incndio (s)

    Des

    loca

    men

    to (

    cm)

    Ensaio

    VULCANPresente trabalho

    Figura 6.3.5 Deslocamentos mximos da Viga 6 no vo exposto ao incndio.

    6.3.4 Viga Mista de Ao e Concreto

    No trabalho de Huang et al. (1999b) encontram-se os resultados numricos da

    anlise de duas vigas mistas em situao de incndio, utilizando o programa VULCAN.

    Os resultados experimentais mostrados por Wainman e Kirby (1988) tambm so

    apresentados. A seo mista composta por um perfil I de ao 254x146mm x 43kg/m

    sobreposto por uma laje de concreto 624x130 mm com 4 armaduras de 8 mm de

    dimetro. O perfil tem resistncia ao escoamento igual a MPa255 e o concreto tem

    resistncia compresso de 0MPa3 . As armaduras possuem resistncia ao escoamento

    igual a 00MPa6 . As vigas com 4,53 m de comprimento possuem quatro pontos de

    aplicao de carga iguais a 2,47kN3 e 2,36kN6 , respectivamente, Teste 15 e Teste 16.

    As vigas foram expostas ao incndio-padro em sua face inferior. A figura 6.3.6

    apresenta os resultados. Nas anlises, as propriedades foram tomadas segundo o EN

    1994-1-2:2005 e foram utilizados 8 elementos com 4 pontos de Gauss cada. A seo,

    analisada pelo mtodo das diferenas finitas, foi discretizada utilizando elementos

    retangulares com dimenso mxima de 1,0 cm e com no mnimo dois elementos ao

    longo da espessura do perfil.

  • 165

    -0,40

    -0,35

    -0,30

    -0,25

    -0,20

    -0,15

    -0,10

    -0,05

    0,00

    0 100 200 300 400 500 600 700 800

    Temperatura da mesa inferior do perfil (C)

    Des

    loca

    men

    to (

    m)

    TesteVULCANPresente trabalho

    (a) Teste 15

    -0,30

    -0,25

    -0,20

    -0,15

    -0,10

    -0,05

    0,00

    0 100 200 300 400 500 600 700 800

    Temperatura da mesa inferior do perfil (C)

    Des

    loca

    men

    to (

    m)

    TesteVULCANPresente trabalho

    (b) Teste 16

    Figura 6.3.6 Anlise de vigas mistas em situao de incndio.

    Os resultados mostram uma boa concordncia entre os deslocamentos obtidos no

    presente trabalho e os obtidos experimental e numericamente.

  • 166

    6.3.5 Prtico de Ao 3D

    Os resultados da anlise numrica do prtico de ao mostrado na figura 6.3.7,

    podem ser obtidos de Souza Jr. e Creus (2006). O material possui resistncia ao

    escoamento igual a 25MPa3 , as sees so do tipo H 150x150x7x10mm e a carga P

    igual a kN250 . Um incndio na parte inferior da estrutura simulado aquecendo-se

    todas as colunas e vigas da parte inferior. Os resultados dos deslocamentos dos pontos

    de aplicao das cargas H1 e H2 podem ser vistos na figura 6.3.8. Cada elemento

    estrutural, pilar ou viga, foi discretizado com 4 elementos de viga, num total de 64

    elementos. As sees foram analisadas pelo mtodo das diferenas finitas com

    elementos retangulares com dimenso mxima de 1,0 cm e com pelo menos dois

    elementos ao longo da espessura do perfil.

    cobertura

    zy

    x

    segundo

    piso

    base

    elementos

    aquecidos

    2.20 m

    1.76 m

    3,00 m

    2,50 m

    H2=P/6

    H1=P/3

    P

    P

    P

    P

    Figura 6.3.7 Estrutura de ao tridimensional analisada (Souza Jr. e Creus, 2006).

    0

    0,01

    0,02

    0,03

    0,04

    0,05

    0,06

    0 200 400 600

    Temperatura (C)

    Des

    loca

    men

    tos

    (m). SAFIR

    Souza Jr. e CreusPresente trabalho

    Figura 6.3.8 Relao deslocamento-temperatura para a estrutura tridimensional.

  • 167

    Em relao ao modelo apresentado por Souza Jr. e Creus (2006) os resultados

    demonstram pequenas diferenas. O modelo utiliza elementos finitos de viga 3D onde a

    no-linearidade fsica modelada com base no conceito de rtulas plsticas (Souza Jr.,

    2004). Em relao ao programa SAFIR, (dados obtidos de Souza Jr. e Creus, 2006) os

    resultados foram bem prximos.

    6.3.6 Pilar Misto Totalmente Envolvido por Concreto

    Desde o trabalho de Caldas (2004), o autor deste trabalho apresenta particular

    interesse no estudo de pilares mistos de ao e concreto. Paralelamente a este trabalho

    alguns estudos foram realizados e levaram a proposio dos procedimentos de clculo

    atualmente empregados pela ABNT NBR 8800:2008 (Caldas et al., 2005, 2007).

    Tambm, alguns trabalhos sobre o comportamento de pilares mistos em situao de

    incndio, foram desenvolvidos (Caldas et al., 2006, 2007). Os exemplos e concluses a

    seguir foram obtidos desses trabalhos.

    Huang el al. (2007) apresentam os resultados da anlise experimental e numrica

    de um pilar formado por uma seo I envolvida por concreto submetida ao incndio,

    Teste RCC01. O concreto envolvendo uma seo de ao UC 152x152x37 tem

    300x300mm e possui quatro barras de dimetro de 13 mm com cobrimento de 30 mm.

    O pilar tem 3540 mm de comprimento, resistncia a compresso do concreto de 43 MPa

    e escoamento do ao de 460 MPa. As barras tm resistncia ao escoamento igual a 460

    MPa. A relao temperatura-tempo dos gases no incndio tem duas fases ascendentes a

    5 e 8 C/min, respectivamente, ver item 4.7.5.

    As propriedades dos materiais foram tomadas segundo o EN 1994-1-2:2005 com

    uma umidade de 8% do peso do concreto. O limite superior de condutividade foi

    considerado. Quatro elemento de viga com 4 pontos de Gauss foram adotados e a seo

    foi discretizada em 1198 elementos retangulares, figura 6.3.9. A carga axial aplicada

    de 1106 kN. Uma imperfeio senoidal com amplitude mxima de 0,1 mm foi

    considerada nas anlises.

    A figura 6.3.9 mostra que o deslocamento axial similar ao da anlise numrica

    realizada por Huang el al. (2007) usando o programa FEMFAN-3D sendo o tempo de

    exposio obtido igual a 95% do tempo medido no ensaio experimental. Observa-se que

  • 168

    nos estgios finais, a contrao calculada do pilar menor do que a medida

    experimentalmente. Acredita-se que essa diferena esteja associada relao tenso-

    deformao adotada pelo EN 1992-1-2:2004, que no considera as deformaes

    transientes. Essa observao motivou a realizao de mais algumas anlises,

    apresentadas nos exemplos seguintes.

    -0,003

    0

    0,003

    0,006

    0,009

    0,012

    0,015

    0 60 120 180 240 300 360 420 480

    Tempo de incndio (min)

    Des

    loca

    men

    to a

    xial

    (m

    )

    Ensaio

    FEMFAN-3D

    Presente trabaho

    Figura 6.3.9 Deslocamento axial no topo do pilar.

    6.3.7 Pilar Misto Preenchido com Concreto

    Kodur (1998, 2006) apresenta os resultados de ensaios em pilares tubulares de ao

    preenchidos com concreto submetidos carga axial centrada, tabela 6.3.1. Onze

    espcimes com sees tubulares retangulares e quadradas foram testadas por Han et al.

    (2003), tabela 6.3.1. Alguns testes possuem carregamento excntrico e proteo contra

    incndio. O material de proteo possui condutividade trmica de 0,116 W/mC, calor

    especfico de 1047 J/KgC e 400 kg/m3 de massa especfica. A razo do carregamento

    aplicado em relao a resistncia temperatura ambiente superior a 0,7.

    Han et al. (2003) estudaram a influncia de vrios parmetros como: tempo de

    resistncia ao fogo, dimenses da seo, esbeltez, excentricidade do carregamento,

    resistncia residual do concreto e do ao. Frmulas para o clculo da resistncia em

    situao de incndio e da espessura do material de proteo so apresentadas.

    Lie (1994) realizou estudos experimentais e tericos sobre a resistncia de sees

    tubulares circulares de ao preenchidas com concreto e armaduras em situao de

    incndio, tabela 6.3.1. As distribuies de temperaturas e deslocamentos axiais so

  • 169

    apresentadas. Lie e Irwin (1995) apresentaram resultados de um experimento em sees

    tubulares retangulares de ao preenchidas com concreto e armaduras. Modelos para

    clculo das temperaturas, deslocamento e resistncias em situao de incndio so

    apresentados por Lie (1994) e Lie e Irwin (1995).

    A tabela 6.3.1 apresenta os principais parmetros utilizados neste trabalho para

    simular a capacidade resistente em situao de incndio dos testes mencionados. Duas

    anlises foram realizadas utilizando as relaes tenso-deformao segundo o EN 1994-

    1-2:2005 e segundo o modelo apresentado por Han, item 2.6.5. Quatro elementos de

    viga com quatro pontos de Gauss so utilizados para analisar o comprimento dos pilares

    expostos ao incndio-padro (ISO 834 e ASTM E-119). As sees foram divididas em

    1200 a 1400 elementos retangulares e uma imperfeio senoidal de amplitude mxima

    igual a 0,1 mm foi considerada. Em geral, a umidade foi considerada igual a 4% do peso

    do concreto. As propriedades dos materiais seguem o EN 1994-1-2:2005 e o EN 1992-

    1-2:2004 quando se tem agregados calcrios. O limite superior de condutividade trmica

    para o concreto foi adotado.

    Observa-se a partir das anlises realizadas, tabela 6.3.2, que o modelo do EN

    1992-1-2:2004 sempre apresenta resultados seguros, sendo uma boa opo para o

    clculo do tempo de resistncia ao fogo. O modelo de Han d resultados melhores

    provavelmente pela considerao do comportamento misto, item 2.6.5.

    Tabela 6.3.1 Resumo dos parmetros das anlises.

    Seo Seo Armaduras Concreto Proteo Carga Excentricidadetubular (mm) (diametro) (MPa) (mm) (kN) (mm)

    1 Kodur (2006) circular 273 x 6.35 -- 38.2a -- 712 --2 Kodur (2006) circular 219 x 4.78 -- 42.7a -- 560 --3 Han et al. (2003) retang. 300 x 200 x 7.96 -- 32,83 -- 2486 --4 Han et al. (2003) retang. 300 x 200 x 7.96 -- 32,83 -- 2233 22,55 Han et al. (2003) retang. 300 x 150 x 7.96 -- 32,83 -- 1906 --6 Han et al. (2003) retang. 300 x 150 x 7.96 -- 32,83 -- 1853 22,57 Han et al. (2003) retang. 300 x 200 x 7.96 -- 32,83 13 2486 --8 Han et al. (2003) retang. 300 x 200 x 7.96 -- 32,83 20 2486 --9 Han et al. (2003) retang. 300 x 150 x 7.96 -- 32,83 13 1906 --

    10 Han et al. (2003) retang. 300 x 150 x 7.96 -- 32,83 22,6 1906 --11 Han et al. (2003) quadrada 219 x 5.30 -- 12,53 17 950 --12 Han et al. (2003) quadrada 350 x 7.70 -- 12,53 11 2700 --13 Han et al. (2003) quadrada 350 x 7.70 -- 12,53 7 1670 52,514 Lie (1994) circular 273 x 6.35 4 (19.5 mm) 46.7a -- 1050 --15 Lie (1994) circular 273 x 6.35 4 (19.5 mm) 47a -- 1900 --16 Lie and Irwin (1995) quadrada 203 x 6.35 4 (16 mm) 47a -- 500 --17 Lie and Irwin (1995) quadrada 254 x 6.35 4 (16 mm) 48.1a -- 1440 --

    a 10% de umidade em peso; O comprimento dos pilares de 3810mm.

    Ensaio Referncia

  • 170

    -0,03

    -0,02

    -0,01

    0

    0,01

    0,02

    0,03

    0 20 40 60 80 100 120 140 160

    Tempo de incndio (min)

    Des

    loca

    men

    to a

    xial

    (m

    ) .

    Ensaio

    Presente trabalho (EN 1994)

    Presente trabalho (Han)

    Figura 6.3.10 Deslocamento no topo da coluna do Teste 1 da tabela 6.3.10

    (Kodur, 1998; 2006).

    A figura 6.3.10 mostra o deslocamento axial tpico dos pilares sem proteo.

    Durante os primeiros estgios de aquecimento, a seo de ao resiste a grande parte do

    carregamento devido sua maior expanso em relao ao componente de concreto da

    seo mista, figura 6.3.10. Com o aumento da temperatura, o perfil de ao escoa devido

    diminuio da resistncia e o pilar contrai, em geral, para um tempo de exposio ao

    incndio-padro entre 15 e 30 min. Devido baixa condutividade do concreto, esse

    perde resistncia mais lentamente que o perfil, proporcionando uma resistncia ao

    incndio nos estgios posteriores. Quando o concreto no pode mais suportar o

    carregamento, ocorre a falha do pilar por esmagamento ou flambagem. O tempo durante

    o qual o componente concreto pode suportar o carregamento pode ser bastante

    significativo como mostra a figura 6.3.10.

    O presente trabalho prev bem o comportamento do pilar. Porm, observa-se que

    nos estgios finais, assim como no exemplo anterior, a contrao calculada menor do

    que a medida no ensaio. Acredita-se que esse comportamento esteja associado

    principalmente deformao transiente do concreto. Essa observao mais

    pronunciada quando se utiliza o modelo de Han, porm, este apresenta melhores

    resultados em relao ao tempo de exposio ao incndio conforme se pode ver na

    tabela 6.3.2.

  • 171

    Li e Purkiss (2005) apresentaram uma reviso crtica dos modelos matemticos

    correntes para o comportamento do concreto em temperatura elevada. Com base nos

    modelos e em resultados experimentais, uma relao tenso-deformao que incorpora

    implicitamente os efeitos da deformao transiente proposta. Esse modelo foi

    implementado no presente trabalho, porm, os resultados no apresentaram uma

    melhoria significativa em relao ao modelo do EN 1992-1-2:2004. Dessa forma,

    acredita-se que mais investigaes numricas e experimentais sejam necessrias para

    avaliar o comportamento observado.

    Tabela 6.3.2 Tempos de resistncia ao fogo calculados e medidos.

    EN 1994 Han (2007)Experimental Experimental

    1 138,5 142,5 144 0,96 0,992 77,5 82 108 0,72 0,763 18,5 25,5 21 0,88 1,214 10 9,5 24 0,42 0,405 24,5 24,5 16 1,53 1,536 22 20,5 20 1,10 1,037 60 69 104 0,58 0,668 95 110,5 146 0,65 0,769 60,5 63 78 0,78 0,81

    10 109,5 114 122 0,90 0,9311 88 108,5 169 0,52 0,6412 165,5 188 140 1,18 1,3413 129 128 109 1,18 1,1714 133 136,5 188 0,71 0,7315 79 75 96 0,82 0,7816 94,5 104,5 150 0,63 0,7017 107,5 102,5 113 0,95 0,91

    Mdia: 0,85 0,90Desvio padro: 0,28 0,29

    aPrsente trabalho utilizando o modelo do EN 1994-1-2:2005;bPrsente trabalho utilizando o modelo de Han (2007);

    Ensaio EN 1994a Han (2007)b

    Resistncia (minutos)

    Experimental

    6.3.8 Pilares Mistos Preenchidos com Concreto de Alta Resistncia

    Kodur (1998, 2006) apresenta os resultados de ensaios em pilares mistos

    preenchidos com concreto de alta resistncia (CAR). Concretos simples e armados e

    reforados com fibras de ao so utilizados para preencher as sees tubulares, tabela

    6.3.3. As prescries do EN 1992-1-2:2004 para os fatores de reduo da resistncia de

    concretos de alta resistncia, item 2.6.6, e o modelo de Schaumann, item 2.6.7, so

    utilizados nas anlises. As propriedades trmicas so adotadas segundo as prescries

  • 172

    do EN 1992-1-2:2004 com o limite superior de condutividade e 10% de umidade em

    peso sendo considerados.

    Segundo Schaumann e Kodur (2006), difcil prever o comportamento de

    concretos de alta resistncia, CAR, devido aos complexos fenmenos como micro

    fissurao e spalling que surgem devido reduzida porosidade. Esses fenmenos levam

    a uma reduo no tempo de resistncia ao fogo. A tabela 6.3.3 mostra os tempos de

    resistncia ao fogo calculado e medido de um pilar preenchido com CAR sem reforo,

    Teste 18. O tempo calculado utilizando os modelos do EN 1992-1-2:2004 e de

    Schaumann maior do que o medido experimentalmente. Schaumann e Kodur (2006)

    tambm fazem as mesmas observaes e atribuem essa divergncia fissurao que

    leva a um decrscimo acentuado na resistncia da seo, levando falha do pilar. O uso

    de barras ou fibras de ao reduz este fenmeno.

    Na tabela 6.3.3, observa-se que os tempos calculados so conservadores em

    relao aos obtidos experimentalmente para os pilares com fibras ou armaduras de ao.

    Schaumann e Kodur (2006) tambm realizaram anlises numricas com o programa

    BOFIRE e obtiveram resultados semelhantes.

    Tabela 6.3.3 Resumo dos parmetros das anlises.

    Seo seo Armaduras Concreto Cargatubular (mm) n (dimetro) (MPa) (kN) EC2 SK (2006)

    bExperimental

    18 Kodur (2006) circular 273 x 6.35 -- 90,5 1050 153,5 147 4819 Kodur (2006) circular 219 x 4.78 fibras de aoa 90,1 600 100 154,5 17420 Kodur (2006) quadrada 203 x 6.35 fibras de aoa 90,1 900 81 76 12821 Kodur (2006) quadrada 203 x 6.35 4 (15 mm) 81,7 1150 68 65 89

    a Fibras: 50 mm de comprimento; 0,9 mm de dimetro equivalente; 57 de razo de aspecto; 1,77% no peso do concreto.b Schaumann e Kodur (2006).

    Ensaio RefernciaResistncia (minutos)

    Para CAR, os modelos do uma boa estimativa da resistncia desde que fibras ou

    armaduras sejam adicionadas aos pilares para diminuir os efeitos da fissurao.

    O modelo apresentado pelo EN 1992-1-2:2004 sempre uma boa opo, podendo

    ser adotado no estudo ou projeto de estruturas completas constitudas por esses

    elementos.

  • 173

    6.4 CONCLUSES

    Este captulo apresenta o desenvolvimento de um modelo de elemento de viga

    para anlise termomecnica de estruturas tridimensionais de ao, concreto e mistas de

    ao e concreto. O modelo proposto apresenta boa concordncia com programas

    validados como o VULCAN e o SAFIR, alm de resultados experimentais.

    Sees transversais genricas, possibilidade de modelagem de exposies

    genricas ao incndio e de realizar as anlises trmica e estrutural em conjunto, fazem

    do modelo apresentado uma importante ferramenta para o estudo e projeto de estruturas

    em situao de incndio. O estudo do comportamento de pilares mistos em situao de

    incndio, apresentado nos ltimos exemplos, ilustra as possibilidades de pesquisas que

    podem ser realizadas.

  • 7

    FORMULAO DO ELEMENTO DE CASCA

    Apresenta-se o desenvolvimento de um modelo numrico formado por elementos

    de casca com discretizao ao longo da espessura para clculo das propriedades

    constitutivas e distribuio da temperatura, permitindo a anlise de lajes de concreto

    armado em situao de incndio.

    7.1 INTRODUO

    Incndios recentes e ensaios experimentais (Newman et al., 2006) tm

    demonstrado que lajes de concreto armado em situao de incndio podem apresentar

    um comportamento de membrana. Seguindo as observaes de incndios, uma grande

    quantidade de modelos numricos e analticos vem sendo desenvolvida por muitos

    pesquisadores para melhor entender o comportamento de lajes de concreto em situao

    de incndio. Um breve resumo de alguns trabalhos apresentado a seguir.

    Nizamuddin (1976) desenvolveu um elemento finito no-linear com base na teoria

    de Kirchhoff (placas delgadas), subdividido em camadas, para modelar lajes de concreto

    armado em situao de incndio.

    Bailey (1995) empregou a teoria de Mindlin/Reissner (placas espessas) para

    modelar lajes de concreto e sua influncia em estruturas mistas de ao e concreto

    submetidas a incndio usando o programa VULCAN. Com base no trabalho de Bailey

    (1995), Huang et al. (1999) desenvolveram um elemento de casca no-linear

    subdividido em camadas para representao do concreto e armaduras de ao. Antes da

    fissurao ou esmagamento, o concreto considerado isotrpico, homogneo e elstico-

    linear. Um modelo de fissurao distribuda adotado, no qual a fissurao

  • 175

    identificada quando as tenses principais atingem uma superfcie de falha. Aps a

    fissurao, o concreto tratado como um material ortotrpico com eixos principais

    normais e paralelos a direo da fissura. O concreto paralelo fissura considerado

    capaz de resistir trao e compresso com base em uma relao tenso-deformao

    uniaxial. Um modelo para resistncia trao e strain-softening adotado. Aps o

    esmagamento, assume-se que o concreto perde toda sua resistncia e rigidez. Huang et

    al. (2003a) introduziram a no-linearidade geomtrica no modelo, possibilitando uma

    melhor representao do comportamento de membrana. Uma formulao lagrangeana

    total adotada, assumindo pequenas deformaes. O elemento de casca tem por base as

    hipteses de von Krmn (grandes deslocamentos e rotaes moderadas) possuindo 9

    ns. Um fator rigidez efetiva adotado para modificar a rigidez do material levando em

    considerao as propriedades ortotrpicas de lajes mistas de ao e concreto (Huang et

    al., 2000).

    Lim et al. (2004a, b) descrevem a modelagem numrica de lajes em situao de

    incndio utilizando o programa SAFIR. Um elemento de casca com 4 ns, desenvolvido

    com base na teoria Discrete Kirchhoff Quadrangular (DKQ) e incluindo propriedades

    para modelar o comportamento de membrana utilizado. As propriedades do concreto

    so modeladas considerando estado plano de tenses pelo modelo de von Mises, com

    um corte na superfcie de plastificao com base na teoria de Rankine para considerao

    da fissurao (Talamona e Franssen, 2005). A integrao ao longo da espessura do

    elemento feita utilizando quadratura de Gauss. As armaduras so representadas com

    base em um modelo distribudo, e uma formulao corrotacional adotada (Franssen,

    2005).

    Elghazouli et al. (2000) e Elghazouli e Izzudin (2001) utilizam elementos de viga

    implementados no programa ADAPTIC para modelar como grelhas o comportamento

    de lajes em situao de incndio. Os autores comparam os resultados com os ensaios

    experimentais realizados em Cardington.

    Gillie et al. (2001) modelam lajes mistas de ao e concreto em situao de

    incndio utilizando uma aproximao com base em tenses resultantes. O modelo foi

    implementado utilizando o conjunto de programas Finite Element Analysis of Shells at

    High Temperatures (FEAST), desenvolvido para anlise de placas ortotrpicas e

    adequado para interagir com o programa ABAQUS.

  • 176

    Mtodos simplificados (Newman et al., 2000; Bailey, 2001), vm sendo

    desenvolvidos considerando o comportamento de membrana em lajes de concreto ou

    mistas. Recentemente, os procedimentos de projetos apresentados por Newman et al.

    (2000) sofreram adaptaes (Newman et al., 2006 e Bailey e To, 2006) para incluir

    arranjos de armaduras mais eficientes e a possibilidade do uso de incndios naturais.

    Neste captulo, o principal objetivo a apresentao de um modelo constitutivo

    que adota o enfoque distribudo para considerao da ocorrncia de dano no material

    concreto em temperaturas elevadas, seja em trao ou em compresso, a partir de uma

    lei de complincia ortotrpica. O dano em compresso e o acoplamento devido ao efeito

    de Poisson so considerados a partir de uma lei com base na relao tenso-deformao

    do concreto em temperatura elevada definido pelo EN 1992-1-2:2004. O

    comportamento de membrana tambm considerado a partir da implementao de um

    elemento de casca plano isoparamtrico de nove ns geometricamente no-linear.

    7.2 DESENVOLVIMENTO DO MODELO DE DANO

    O modelo de dano para modelagem do concreto pode ser visto no trabalho de

    Pitangueira (1998), onde se tem uma reviso da evoluo desses modelos para anlise

    de estruturas temperatura ambiente. Pitangueira (1998) apresenta uma formalizao e

    generalizao dos modelos de dano distribudo (ou modelo distribudo para tratamento

    de dano) desde os trabalhos iniciais at a adoo de relaes de complincia inversa. A

    referida formalizao contempla as vrias possibilidades para a relao de complincia

    inicial, variao da direo de ocorrncia de dano, aproximaes do tensor tangente do

    referido modelo e leis de evoluo de dano em trao e compresso. Vrias

    possibilidades de implementao do modelo distribudo numa anlise via elementos

    finitos, em relao escolha da matriz de complincia inicial, variao da direo de

    ocorrncia de dano durante a anlise, s aproximaes do tensor tangente do referido

    modelo e s leis locais que descrevem a evoluo do dano em trao e compresso so,

    tambm, analisadas.

    Na anlise do comportamento de estruturas feitas de materiais frgeis,

    normalmente estes so considerados como inicialmente homogneos, elsticos e

    isotrpicos, admitindo-se que, com a aplicao de cargas e conseqentes deformaes,

  • 177

    os materiais tornam-se heterogneos pela ocorrncia de dano em trao ou compresso.

    Tal processo leva formao de descontinuidades geomtricas denominadas fissuras ou

    trincas.

    Diferentes modelos tm sido propostos para representao desse fenmeno,

    podendo-se dividi-los em dois grupos: o modelo de fissuras discretas e o modelo de

    fissuras distribudas. Para o estudo do comportamento da estrutura como um todo, o

    modelo distribudo suficiente, sendo o modelo discreto mais aplicado para o estudo

    local da fissura.

    O modelo de fissuras distribudas considera que o material torna-se ortotrpico na

    regio fissurada, modificando-se sua relao constitutiva no sistema local posicionado

    no plano de fissurao. Outra vantagem do modelo distribudo que, por considerar a

    deteriorao da rigidez a partir de uma modificao da relao constitutiva local, pode

    ser generalizado para considerar tambm regies com dano em compresso, e o

    acoplamento entre as deformaes direta e indireta devido ao efeito de Poisson. Esse

    refinamento leva ao uso da chamada Teoria de Dano.

    Modelos de dano vm sendo aplicados para anlise de estruturas em situao de

    incndio por vrios outros pesquisadores. Tenchev e Purnel (2005) apresentam um

    modelo capaz de avaliar os efeitos do spalling no concreto, no abordado nos

    desenvolvimentos seguintes. O modelo considera a interao entre os agregados e

    argamassa. Referencias a vrios modelos com base em plasticidade e dano tambm so

    apresentadas pelos autores.

    7.3 MODELO DE DANO

    O modelo de dano supe a validade de uma relao de complincia

    1212 D = , (7.3.1)

    representada pela matriz de complincia D , entre deformaes, 12 , e tenses, 12 , num

    sistema local, ( )2,1 , posicionado nas direes principais de ortotropia. A direo 1 a

    direo da maior deformao principal e a direo 2 a direo da menor deformao

    principal (deformaes de trao so positivas e compresso negativas). Essas direes

    so fixadas para cada incremento de carga ou para cada passo de tempo de exposio ao

  • 178

    incndio dentro do mtodo de Newton Raphson utilizado para soluo do sistema de

    equaes que representa a estrutura.

    Para que a matriz de complincia seja simtrica, uma hiptese para o acoplamento

    devido ao efeito de Poisson deve ser adotada. A hiptese mais usada que o

    acoplamento dado pelo mdulo de elasticidade inicial do material antes de sofrer

    dano, 0E , e por um nico valor de coeficiente de Poisson, , vlido para qualquer

    direo (Bazant e Oh, 1983). Portanto, para o estado plano de tenses, tem-se a matriz

    de complincia

    =

    12

    20

    01

    G

    100

    0E

    1

    E

    0EE

    1

    D , (7.3.2)

    que invertida, leva ao tensor constitutivo secante local

    =

    122

    20

    21

    20

    21

    0

    211

    220

    21

    s12

    GE

    EE100

    0EE

    EE

    0E

    EEE

    E

    EE1

    1C , (7.3.3)

    onde 1E e 2E so os mdulos secantes, obtidos a partir da lei de dano adotada e da

    deformao ocorrida em cada direo, respectivamente. Para anlise de estruturas de

    concreto em situao de incndio, para regies de compresso, adota-se uma lei de dano

    em funo da relao tenso-deformao definida pelo EN 1992-1-2:2004.

    Para regies de trao, adota-se a relao tenso-deformao apresentada no item

    2.6.4. Talamona e Franssen (2005) apresentam uma discusso sobre a resistncia

    trao e sua influncia no comportamento de lajes em situao de incndio. Lim et al.

    (2004b) comentam que os deslocamentos obtidos em lajes com pequenas taxas de

    armadura so sensveis resistncia a trao. Neste trabalho tambm se observou que

    valores elevados da resistncia trao podem diminuir muito os deslocamentos da

    estrutura em estgios finais de exposio ao incndio, levando a um tempo de exposio

  • 179

    muito superior ao observado experimentalmente. A relao tenso-deformao adotada

    neste trabalho se mostrou adequada.

    Quando se tem um descarregamento, este feito segundo a secante, o que indica

    que aps se atingir determinado nvel de dano este fixado. Essa hiptese tambm

    coerente quando o concreto exposto ao incndio e posteriormente resfriado, no

    recuperando sua resistncia inicial.

    O mdulo de elasticidade transversal dado por

    212010

    21012 EE2EEEE

    EEEG

    ++= , (7.3.4)

    aparece nas expresses 7.3.2 e 7.3.3, e deve ser limitado por 012 GG onde

    ( )( )+= 12/EG 00 o modulo de elasticidade transversal e um fator de reteno

    considerado igual a 0,25.

    As tenses so obtidas a partir da expresso

    12s1212 C = , (7.3.5)

    sendo 12 uma deformao efetiva, igual s deformaes totais diminudas das

    deformaes trmicas.

    O tensor constitutivo tangente local

    12

    12t12

    C

    = , (7.3.6)

    pode ser obtido derivando a expresso 7.3.5,

    ( ) 1212

    s12s

    1212s12

    1212

    12t12

    CCC

    C

    +=

    =

    = . (7.3.7)

    Na expresso 7.3.7, a parcela 1212

    s12

    C

    , dada pela matriz

    +

    +

    +

    +

    =

    000

    0CCCC

    0CCCC

    22

    s22

    12

    s12

    21

    s22

    11

    s12

    22

    s12

    12

    s11

    21

    s12

    11

    s11

    1212

    s12

    C, (7.3.8)

    obtida numericamente por diferenas finitas, e, em geral, no simtrica. A mdia da

    soma da matriz e sua transposta utilizada para torn-la simtrica.

  • 180

    Nos desenvolvimentos anteriores, foram omitidas as relevantes transformaes

    entre o sistema local e global para simplificar a apresentao do modelo. Essas

    transformaes podem ser vistas em Pitangueira (1998).

    As armaduras so modeladas utilizando camadas equivalentes com propriedades

    constitutivas somente na direo axial das armaduras (Huang et al., 2003). Cada camada

    definida pela orientao em relao ao eixo x global. Perfeita aderncia entre o

    concreto e o ao considerada.

    Huang et al. (1999; 2003b) atentam para o fato de que ainda no se tem modelos

    tericos universalmente aceitos devido ao pouco conhecimento e falta de dados sobre o

    comportamento constitutivo do concreto em temperatura elevada. Dessa forma, o

    modelo apresentado poder sofrer futuras modificaes e adequaes, sendo desejvel a

    incluso de efeitos como o spalling ou o comportamento ortotrpico de lajes mistas de

    ao e concreto.

    A distribuio de temperaturas ao longo da espessura da laje obtida por

    diferenas finitas na direo da espessura. Todos os tipos de concreto ou aos, alm de

    materiais de proteo citados no item 2.6 podem ser utilizados na discretizao da

    espessura da laje.

    7.4 FORMULAO DO ELEMENTO FINITO

    A formulao apresentada neste item pode ser vista em maiores detalhes em

    Crisfield (1991) que discute a implementao de vrios elementos de casca. Neste

    trabalho adotou-se um elemento isoparamtrico com nove pontos nodais.

    Partindo das hipteses de von Krmn, as deformaes de Green-Lagrange so

    dadas por

    +

    +

    +

    +

    +

    +

    =+=

    =

    yx

    y

    x

    z

    y

    w

    x

    w

    x

    v

    y

    uy

    w

    2

    1

    y

    v

    x

    w

    2

    1

    x

    u

    z

    yx

    x

    y

    2

    2

    o

    xy

    y

    x

    k (7.4.1)

  • 181

    onde z a coordenada em relao ao plano de referencia do elemento e u , v x e y

    so os deslocamentos no plano de referncia expressos em termos dos deslocamentos

    nodais usando funes quadrticas de interpolao, figura 7.4.1.

    As deformaes de cisalhamento so dadas por

    s +=

    +

    =

    =

    y

    wx

    w

    x

    y

    yz

    xz (7.4.2)

    onde w o deslocamento vertical do plano de referncia.

    x, u

    y, v

    z, w

    camada de

    concreto

    camada de ao

    plano de

    referncia

    pontos

    nodais

    x

    y

    z

    Figura 7.4.1 Notao utilizada para o elemento de casca.

    Utilizando o princpio dos trabalhos virtuais e definindo, a partir da expresses

    anteriores, qBk k= , qB = , qB =o e wsBs = , onde yxwvu =q ,

    pode-se obter o vetor de foras internas

    ++= dA)(TT

    kT

    m QBMBNBf (7.4.3)

    onde = dzN , = zdzM e dzG= Q so obtidos a partir do somatrio nas

    camadas que subdividem o elemento, so as tenses no plano, no sistema global,

    obtidas a partir da transformao das tenses no sistema local, expresso 7.3.5, e o

    shear factor, usualmente tomado igual a 5/6. A distribuio de temperaturas na seo

    obtida por diferenas finitas com a mesma discretizao em camadas.

    A matriz de rigidez tangente pode ser obtida de forma usual a partir da

    diferenciao da expresso 7.4.3,

  • 182

    +

    =

    os2Tsokb

    Tmb

    mbm

    T

    Tk

    T

    m dAdA BNB

    B

    B

    B

    C00

    0CC

    0CC

    B

    B

    B

    k (7.4.4)

    onde 2N contm as foras no plano de referncia e

    = dzt

    m CC , = zdzt

    mb CC , = dzz2t

    b CC e 2GtIC = . (7.4.5)

    Nas expresses 7.4.5, tC tensor constitutivo tangente no sistema global obtido a

    partir da transformao do tensor constitutivo tangente local, expresso 7.3.7, e 2I a

    matriz identidade 2x2. As integrais na expresso 7.4.5 so substitudas por somatrios

    nas camadas que subdividem o elemento (Huang et al., 2003). A integrao do vetor de

    foras internas e da matriz de rigidez na rea A do plano de referncia do elemento

    feita utilizando-se a integrao de Gauss.

    7.5 EXEMPLOS

    Resultados experimentais e numricos utilizando os programas VULCAN e

    SAFIR, encontrados na literatura, so utilizados para validao do modelo numrico

    desenvolvido. Procurou-se analisar estruturas pequenas e isoladas, livre de interaes

    com estruturas adjacentes, possibilitando uma maior ateno no desenvolvimento do

    modelo apresentado.

    7.5.1 Lajes de Concreto em Temperatura Ambiente

    Ghoneim e MacGregor (1994a, 1994b) realizaram uma srie de testes em placas

    de concreto armado combinando cargas aplicadas no plano e lateralmente

    (carregamento uniformemente distribudo aplicado perpendicularmente placa). Dois

    testes, B1 e C1, ensaiados com carga lateral, foram analisados por Huang et al. (2003b)

    utilizando o programa VULCAN. As placas so simplesmente apoiadas. As armaduras

    superiores e inferiores, figura 7.5.1, so compostas de 260 mm2/m de rea nas direes

    ortogonais x e y.

  • 183

    No presente trabalho, os testes B1 e C1 so analisados utilizando a mesma

    discretizao utilizada por Huang et al. (2003b), figura 7.5.1. O teste B1 tem dimenses

    2745x1829 mm2 com espessura de 68,2 mm. O teste C1 tem dimenses 1829x1829

    mm2 com uma espessura de 67,8 mm. A resistncia ao escoamento do ao foi

    considerada igual a 450MPa e a resistncia compresso do concreto foi tomada igual a

    18,7 MPa e 25,2 MPa para os testes B1 e C1, respectivamente. Os elementos que

    discretizam a laje foram subdivididos em 16 camadas.

    x

    y

    x

    ya

    z z

    32,7 68,2 34,9 67,8

    a

    a a

    corte a-a

    elementos de casca

    2745 1829

    1829

    1829

    corte a-a

    camadas de ao

    (a) (b)

    Figura 7.5.1 Detalhes das lajes analisadas (adaptado de Huang et al., 2003b),

    dimenses em mm. (a) Teste B1; (b) Teste C1.

    Os resultados obtidos para o deslocamento central, juntamente com resultados

    experimentais e das anlises com o programa VULCAN so apresentadas na figura

    7.5.2.

  • 184

    0

    50

    100

    150

    200

    0 10 20 30 40 50 60 70

    Carga (kN/m2)

    Des

    loca

    men

    to (

    mm

    )

    Teste

    Vulcan

    Presente trabalho

    0

    50

    100

    150

    200

    0 20 40 60 80 100

    Carga (kN/m2)

    Des

    loca

    men

    to (

    mm

    )

    Teste

    Vulcan

    Presente trabalho

    (a) Teste B1 (b) Teste C1

    Figura 7.5.2 Comparao dos deslocamentos centrais.

    A partir dos resultados, nota-se que o modelo produz bons resultados e tem boa

    concordncia com os resultados experimentais. Apesar da indicao de que os

    resultados numricos levam a uma carga ltima de falha maior, deve-se mencionar que

    os testes terminaram antes da falha completa das lajes. Outra observao importante

    que os testes experimentais e anlises numricas levaram a uma carga ltima superior

    calculada com base em um comportamento de flexo, evidenciando a ocorrncia de um

    comportamento de membrana.

    Nota-se, a partir dos deslocamentos do teste B1, que o modelo apresentado torna o

    comportamento mais suave no apresentando mudanas bruscas na curva como

    apresentado pelo VULCAN. Este comportamento suave deve estar associado

    considerao da modificao do tensor constitutivo do concreto a partir das leis de

    dano, evitando a mudana brusca do tensor linear elstico isotrpico para um tensor

    ortotrpico, como ocorre no modelo implementado no VULCAN.

    7.5.2 Lajes em Temperatura Elevada

    Talamona e Franssen (2005) apresentam os resultados numricos e experimentais

    obtidos por Lim e Wade (2002) para a laje de concreto em situao de incndio

    mostrada na figura 7.5.3. Os resultados numricos foram obtidos com o programa

    SAFIR. A laje simplesmente apoiada nos quatro lados. O carregamento

  • 185

    uniformemente aplicado igual a 3,0 kN/m, e mantido constante durante a exposio

    ao incndio-padro da ISO 834.

    A figura 7.5.3 mostra as dimenses e discretizao da laje, a espessura de 100

    mm, a resistncia compresso do concreto de 36 MPa e o cobrimento de concreto

    igual a 25 mm. A malha de armaduras composta de barras de 8,7 mm a cada 300 mm

    nas duas direes. A resistncia ao escoamento do ao de 565 MPa. As armaduras

    foram consideradas como de ao trabalhado a frio e as propriedades em temperatura

    elevada foram consideradas segundo o EN 1992-1-2:2004. Agregados calcrios foram

    considerados e o limite inferior para condutividade trmica definido pelo EN 1992-1-

    2:2004. Uma umidade de 3% por peso foi considerada na anlise. Os elementos que

    discretizam a laje foram subdivididos em 22 camadas.

    Os resultados numricos e o experimental so prximos, sendo apresentados na

    figura 7.5.4. A laje analisada apresenta uma taxa alta de deslocamentos nos primeiros

    30 min, um deslocamento suave e finalmente um aumento acentuado a partir dos

    150min at a falha. Talamona e Franssen (2005) comentam que a alta resistncia de

    lajes com pequenas taxas de armadura atribuda a um comportamento de membrana.

    x

    y z

    66.3

    elementos de casca

    4600

    3160

    corte a-a

    100

    a

    a

    Figura 7.5.3 Geometria e discretizao da laje. Dimenses em mm.

  • 186

    -0,45

    -0,40

    -0,35

    -0,30

    -0,25

    -0,20

    -0,15

    -0,10

    -0,05

    0,00

    0 30 60 90 120 150 180 210

    Tempo de incndio (min)D

    eslo

    cam

    ento

    (m

    )

    Teste

    SAFIR

    Presente trabalho

    Figura 7.5.4 Deslocamentos centrais.

    7.5.3 Ensaios em Pequena Escala

    Bailey e Toh (2006) apresentam uma srie de testes a temperatura ambiente e

    elevada em lajes em pequena escala, sem restrio horizontal, com diferentes malhas de

    ao, diferentes ductilidades, tamanho e espaamento das armaduras. Os ensaios em

    situao de incndio mostraram que o comportamento de membrana ocorria. Na figura

    7.5.5 os resultados do Teste MF4 so comparados com os do presente trabalho.

    Considerou-se uma dimenso de 1,15x1,15 m para a laje, espessura de 19,6 mm,

    armaduras nas duas direes com dimetro de 1,54 mm espaadas de 25,4 mm e

    cobrimento de 5 mm. A resistncia do concreto foi considerada igual a 39 MPa e a

    resistncia ao escoamento do ao laminado igual a 311 MPa. Uma carga distribuda de

    5,429 kN/m (incluindo o peso prprio) foi aplicada e mantida constante durante a

    exposio ao incndio. A laje foi discretizada com 16 elementos subdivididos em 17

    camadas.

  • 187

    -0,20

    -0,16

    -0,12

    -0,08

    -0,04

    0,00

    0 100 200 300 400 500 600 700 800

    Tempo de incndio (min)

    Des

    loca

    men

    to (

    m)

    Teste

    Presente trabalho

    Figura 7.5.5 Deslocamento central do Teste MF4.

    7.5.4 Laje Restringida

    Lin et al. (1989) apresentam os resultados de um ensaio temperatura elevada

    realizado em uma laje de concreto armado, teste S56, na qual a expanso foi restringida

    pela aplicao de fora horizontais para simular o comportamento em uma estrutura

    real, figura 7.5.6. Huang et al. (2003b) tambm analisaram essa laje com o programa

    VULCAN.

    Neste trabalho, a resistncia a compresso do concreto foi considerada igual a

    36MPa e a resistncia ao escoamento do ao das armaduras de 414 MPa. As foras

    horizontais aplicadas foram consideradas constantes e igual a 600 kN e 1200 kN nas

    direes oeste e sul, respectivamente. A carga distribuda aplicada foi de 6,61 kN/m,

    sendo mantida constante durante o incndio. Elementos de viga, apresentados no

    captulo 6, com uma pequena rigidez toro, 550 kNm, obtida com base nas

    propriedades fissuradas do concreto e armao mnima, foram considerados nas

    extremidades da laje. O incndio-padro segundo a ASTM E119 foi utilizado. As

    propriedades do concreto com agregados calcrios, o limite inferior de condutividade,

    umidade de 3% e propriedades do ao laminado foram considerados segundo o EN

    1992-1-2:2004. A distribuio das armaduras pode ser vista em Lin et al. (1989).

    A figura 7.5.6 apresenta a discretizao da laje com os elementos que foram

    subdivididos em 23 camadas.

  • 188

    x

    y

    z

    116

    a

    elementos de casca

    5410

    4230

    seo b-b

    a

    178

    178

    178

    5232

    356

    carga uniforme

    oest

    e

    lest

    e (f

    ixo)

    norte (fixo)

    sul

    seo a-a

    b

    bfora de

    restrio

    Figura 7.5.6 Detalhes do teste S56. Dimenses em mm.

    Os deslocamentos centrais so mostrados na figura 7.5.7 juntamente com

    resultados obtidos com o programa VULCAN. O comportamento razoavelmente bem

    descrito, ambas as anlises, presente trabalho e VULCAN, apresentam deslocamentos

    prximos e menores em relao ao experimental no incio da exposio ao incndio.

    Isso pode indicar que a distribuio de temperatura ao longo da espessura da laje mais

    desfavorvel do que a obtida pelas anlises trmicas. As diferenas entre as anlises

    numricas devem estar associadas considerao das foras de restrio como

    constantes e a rigidez a toro das vigas nas extremidades. Neste trabalho observou-se

    que a rigidez a toro destas vigas influenciam sensivelmente os deslocamentos centrais

    da laje.

  • 189

    -0,15

    -0,12

    -0,09

    -0,06

    -0,03

    0

    0 30 60 90 120 150 180 210 240

    Tempo de incndio (min)D

    eslo

    cam

    ento

    (m

    )

    Teste

    Vulcan

    Presente trabalho

    Figura 7.5.7 Deslocamentos centrais.

    7.6 CONCLUSES

    Um elemento de casca e um modelo constitutivo de dano para modelagem de lajes

    de concreto armado em situao de incndio so apresentados. Nos exemplos, a

    modelagem de acordo com o presente trabalho mostra-se adequada e tem boa

    concordncia com resultados experimentais e numricos encontrados na literatura.

    Vrias outras comparaes foram realizadas alm das apresentadas, o que tende a

    demonstrar que o elemento e o modelo constitutivo propostos so capazes de

    representar o comportamento de lajes de concreto armado em situao de incndio.

    Modificaes podem ser introduzidas na matriz constitutiva secante para levar em

    conta o comportamento ortotrpico de lajes mistas de ao e concreto e os efeitos do

    spalling atravs da introduo de fatores de modificao das propriedades de rigidez

    dos materiais.

  • 8

    FORMULAO DO ELEMENTO DE MOLA

    Apresenta-se o desenvolvimento de um modelo de elemento de mola para

    ligaes em situao de incndio.

    8.1 INTRODUO

    A observao de experimentos e incndios reais em estruturas tem demonstrado

    que o comportamento como um todo diferente do comportamento de elementos

    isolados. Em parte, isso devido semi-rigidez das ligaes, que pode aumentar o

    tempo de resistncia ao incndio. Todavia, existem poucos trabalhos sobre o

    comportamento de ligaes sob altas temperaturas, dos quais um dos principais foi

    realizado por Leston-Jones et al. (1997) utilizando um forno portvel para estudar as

    relaes momento-rotao.

    Segundo Block et al. (2006), tradicionalmente, as ligaes so assumidas tendo

    suficiente resistncia em situao de incndio devido s suas temperaturas menores em

    relao aos elementos conectados, pelo fato de possurem maior concentrao de massa

    do que as barras. Porm, a partir de testes em grande escala realizados em Cardington,

    Reino Unido, e de pesquisas posteriores, observou-se que as ligaes so mais

    vulnerveis do que o assumido. Isso causado por foras e deformaes s quais a

    ligao submetida durante o incndio, significativamente diferentes das normalmente

    consideradas. As foras internas mudam de momento e cortante temperatura ambiente,

    para momento, cortante e compresso devido restrio expanso trmica das vigas

    nos estgios iniciais e intermedirios do incndio e para cortante e trao nos estgios

    posteriores, quando as cargas aplicadas s vigas so suportadas por meio do

  • 191

    comportamento de catenria. Gerar todas estas condies de carregamento em

    experimentos difcil devido grande variao dos detalhes das ligaes e interaes

    entre a estrutura e ligao. Portanto, meios alternativos para investigar as ligaes em

    situao de incndio so necessrios.

    Na modelagem das ligaes em situao de incndio podem-se utilizar elementos

    slidos juntamente com outros elementos para discretizar partes da ligao. Em um

    nvel mais simples, utiliza-se um nico elemento com rigidezes obtidas a partir de

    modelagens mais sofisticadas, modelos analticos, ensaios experimentais ou utilizando-

    se o conceito do mtodo dos componentes (EN 1993-1-8:2005).

    A modelagem utilizando-se elementos slidos adequada para o estudo especfico

    das ligaes. Nesse contexto, podem-se citar os trabalhos de Liu (1996) no

    desenvolvimento do programa FEAST, utilizado em trabalhos como o de Liu (1999).

    O mtodo dos componentes foi desenvolvido por Tschemmernegg et al. (1987) e

    posteriormente introduzido nas normas europias. O aspecto original deste mtodo

    considerar qualquer ligao como um conjunto de componentes do tipo mola. O

    comportamento da ligao dado pela combinao das rigidezes e resistncia dos

    componentes nas zonas de compresso, trao e cisalhamento, figura 8.1.1 (Block et al.,

    2004).

    Parafusos

    tracionados

    Mesa e placa de extremidade

    flexionados

    Alma tracionada

    e comprimida

    Mesa

    comprimido

    Alma

    tracionada

    Alma sob

    cortante

    Alma

    comprimida

    Trao

    Compresso

    Flexo

    Cortante

    Esforos:

    VN

    M

    (a)

  • 192

    M

    ngulo de rotao

    Rigidez

    trao

    Rigidez

    compresso

    Rigidez ao

    cortante

    NV

    (b)

    Figura 8.1.1 Mtodo dos componentes (Block et al., 2004): (a) componentes de uma ligao viga-pilar; (b) modelo com base no conceito dos componentes apresentado pelo

    EN 1993-1-8:2005).

    A grande vantagem do mtodo dos componentes a possibilidade de se investigar

    experimentalmente partes isoladas de uma ligao que podem ser comuns a vrias

    outras ligaes (Spyrou et al., 2002; Block et al., 2005). Esses estudos so conduzidos

    de forma a caracterizar, principalmente, o comportamento das zonas tracionadas e

    comprimidas da ligao.

    Vrios pesquisadores tm utilizado o mtodo dos componentes para descrever o

    comportamento de ligaes em temperatura elevada. Leston-Jones (1997) foi o primeiro

    a aplicar o mtodo para simular seus resultados experimentais. Al-Jabri (1999) usou o

    mtodo para modelar o comportamento de ligaes ensaiadas em situao de incndio e

    Spyrou (2002) realizou uma srie de experimentos em componentes e combinou-os

    utilizando um modelo de duas molas. Simes da Silva (2001) usou o mtodo dos

    componentes, em combinao com os fatores de reduo dados pelo Eurocode, para

    modelar os resultados de ensaios. Ramly Sulong et al. (2005) e Block et al. (2006)

    implementaram elementos com base no mtodo dos componentes, respectivamente, nos

    programas de elementos finitos ADAPTIC e VULCAN. Os elementos so capazes de

    considerar os efeitos da carga axial, porm poucos so os ensaios experimentais em

    situao de incndio que podem ser utilizados para validao dos resultados.

    Em temperatura ambiente, pesquisadores tm includo, detalhadamente, o

    comportamento das ligaes em anlises completas usando elementos desenvolvidos

  • 193

    com base no mtodo dos componentes, Li et al. (1995), Lowes et al. (2003) e Bayo et

    al. (2006).

    No presente trabalho, foi desenvolvido um elemento de mola de comprimento

    nulo com curvas carga-deslocamento bilineares definidas em funo da temperatura

    mdia dos elementos de ao que compe uma seo transversal qualquer. As curvas

    carga-deslocamento podem ser curvas momento-rotao ou fora-deslocamento,

    definidas na entrada de dados para os seis deslocamentos relativos do elemento (trs

    deslocamentos e trs rotaes). O elemento possui os mesmos graus de liberdade dos

    elementos de viga e casca apresentados neste trabalho. O elemento tambm admite

    comportamentos compresso e trao diferenciados para o deslocamento axial, sendo

    possvel a definio de uma curva carga-deslocamento para trao e outra para a

    compresso.

    O elemento desenvolvido pode ser utilizado para a modelagem de ligaes semi-

    rgidas, mistas e conectores de cisalhamento em situao de incndio como um nico

    elemento, ou representando partes especficas da ligao como no mtodo dos

    componentes.

    A modificao das curvas carga-deslocamento com a variao da temperatura

    pode ter por base o trabalho de Al-Jabri et al. (2004). Nesse trabalho, foram obtidas

    experimentalmente, relaes momento-rotao de vrias ligaes em situao de

    incndio e concluiu-se que os fatores de reduo das propriedades do ao so adequados

    para considerao da degradao das caractersticas das ligaes.

    Na modelagem de conectores de cisalhamento para a simulao de vigas mistas

    com interao parcial podem-se utilizar dois elementos de barra, um para simular o

    perfil e outro para simular a laje de concreto, que estaro conectados por elementos de

    mola simulando os conectores. A laje de concreto tambm poder ser simulada a partir

    do elemento de casca apresentado no captulo anterior. Nesse tipo de modelagem, a

    seo transversal associada ao elemento de mola fornecer as temperaturas mdias no

    conector que sero utilizadas para modificar as propriedades da mola de acordo com as

    curvas fornecidas na entrada de dados.

  • 194

    8.2 ELEMENTO DE MOLA

    O elemento de mola tem os mesmos graus de liberdade que os elementos de viga

    e casca apresentados neste trabalho, figura 8.2.1. A matriz de rigidez do elemento

    dada por

    =

    zz

    yy

    xx

    ww

    vv

    uu

    zz

    yy

    xx

    ww

    vv

    uu

    T

    k00000k00000

    0k00000k0000

    00k00000k000

    000k00000k00

    0000k00000k0

    00000k00000k

    k00000k00000

    0k00000k0000

    00k00000k000

    000k00000k00

    0000k00000k0

    00000k00000k

    k

    ,

    (8.2.1)

    e a fora interna, por

    zyxwvuzyxwvum ffffffffffff =f . (8.2.2)

    Na expresso 8.2.1, os coeficientes de rigidez so obtidos a partir da tangente das

    curvas carga-deslocamento bilineares que variam em funo da temperatura. Na figura

    8.2.2, tem-se uma curva carga-deslocamento tpica. O deslocamento apresentado

    relativo, ou seja, o deslocamento do n inicial menos o do n final. Os coeficientes do

    vetor de foras internas, expresso 8.2.2, tambm so obtidos da curva carga-

    deslocamento a partir dos deslocamentos relativos (trs translaes e trs rotaes).

    Outros tipos de curvas podem ser associados ao elemento, porm, para situao de

    incndio preferiu-se trabalhar com curvas bilineares, pois podem ser ajustadas sem a

    necessidade de definio de muitas variveis.

    Para a anlise, so fornecidos a rigidez inicial, ou seja, do primeiro trecho linear, o

    momento resistente e a rigidez do segundo trecho linear em funo das temperaturas,

    figura 8.2.2. Durante a anlise, a temperatura mdia nas partes de ao de uma seo

    transversal genrica associada ao elemento avaliada e utilizada para definio da curva

    correspondente temperatura. A temperatura mdia pode ser multiplicada por um fator

    menor do que 1,0 para representar condies menos desfavorveis de exposio ao

    incndio. Caso a temperatura seja intermediria s definidas, faz-se uma interpolao da

  • 195

    rigidez inicial, do momento resistente e da rigidez do segundo termo, obtendo uma

    curva carga-deslocamento apropriada. O elemento tambm possuiu a possibilidade de

    associao de uma curva carga-deslocamento trao e compresso diferenciadas para

    o deslocamento axial. Na prtica, o elemento assume um tamanho pequeno (nas

    modelagens utilizou-se 1 mm) necessrio para definio da direo axial.

    x2

    x, u

    u2

    z2w2v2

    y2

    x1

    u1

    w1 z1z, w

    y, v

    y1

    v1

    Figura 8.2.1 Graus de liberdade do elemento de mola.

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

    Deslocamento

    For

    a

    20C200C

    300C

    400C500C

    550C

    650C

    750C

    Figura 8.2.2 Curvas cargas-deslocamento tpicas, variando em funo da temperatura.

  • 196

    8.3 EXEMPLOS

    No trabalho de Bailey (1998) so apresentados dois exemplos de modelagens

    numricas de estruturas com ligaes semi-rgidas. Os resultados numricos

    apresentados so utilizados para validao do modelo de mola apresentado neste

    trabalho.

    8.3.1 Viga de Ao com Ligaes Semi-rgidas

    Com o objetivo de estudar qualitativamente a influncia das ligaes semi-rgidas,

    Bailey (1998) utilizou uma viga de ao UB 305x165x40 com resistncia ao escoamento

    do ao igual a 275 MPa e mdulo de elasticidade igual a 205000 MPa ligada a ns

    rgidos por elementos de mola, figura 8.3.1.

    013751375

    P

    0 1375 1375

    P = 44,928 kN P

    Figura 8.3.1 Viga de ao com ligaes semi-rgidas, dimenses em mm (Bailey, 1998).

    As cargas produzem uma razo de carga igual a 0,6, definida como o momento

    solicitante em situao de incndio dividido pelo momento fletor resistente

    temperatura ambiente. No trabalho de Bailey (1998), caractersticas diferentes para a

    ligao so consideradas a partir do escalonamento da rigidez e da resistncia da ligao

    mostrada na figura 8.3.2. Na figura, tambm esto as relaes bilineares utilizadas neste

    trabalho para aproximar as curvas definidas por Bailey (1998). Na definio das curvas

    bilineares a rigidez inicial foi tomada igual utilizada por Bailey (1998) (obtida

    graficamente). O momento resistente foi fixado para a rotao relativa de 0,02 rad e a

    rigidez do segundo trecho linear foi adotada com o objetivo de se aproximar do

    momento para a rotao de 0,12 rad dado nas curvas utilizadas por Bailey (1998). A

    tabela 8.3.1 apresenta os valores utilizados na obteno das curvas bilineares. As curvas

    apresentadas na figura 8.3.2 foram atribudas apenas ao grau de liberdade rotacional

  • 197

    correspondente ao eixo de flexo da viga, relevante para a anlise que ocorre em um

    plano. Para os demais graus de liberdade do elemento foram atribudos valores altos de

    rigidez e resistncia.

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    120

    0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12 0,14

    Rotao relativa (rad)

    Mom

    ento

    (kN

    m)

    20C200C300C400C500C

    550C

    650C

    750C

    Bailey (1998)Presente trabalho

    Figura 8.3.2 Relao momento-rotao para vrias temperaturas.

    Tabela 8.3.1 Valores da rigidez inicial, momento fletor resistente e rigidez do

    segundo trecho linear.

    Temperaturas Rigidez inicial Momento resistente Rigidez 2 trecho

    (C) (kNm) (kNm) (kNm)

    20 30000 97 156200 18600 93 149300 12571 88 138400 7800 78 172500 5909 65 266550 4455 49 200650 3182 35 143750 1909 21 86

  • 198

    As caractersticas da ligao, rigidez e resistncia, foram escaladas em 25, 50, 75

    e 100% das apresentadas na figura 8.3.2. Para as propriedades do ao, considerou-se o

    EN 1993-1-2:2005, sendo o perfil discretizado com 249 elementos triangulares,

    aquecido uniformemente. Quatro elementos de viga com quatro pontos de Gauss foram

    utilizados nas anlises. A seo transversal associada ao elemento de mola foi a mesma

    do perfil com as temperatura mdias multiplicadas por um fator igual a unidade. Os

    casos de apoios rotulados e engastados tambm foram analisados e os resultados para o

    deslocamento no centro do vo so apresentados na figura 8.3.3, juntamente com os

    obtidos por Bailey (1998).

    -1,2

    -1,1

    -1,0

    -0,9

    -0,8

    -0,7

    -0,6

    -0,5

    -0,4

    -0,3

    -0,2

    -0,1

    0,0

    0 100 200 300 400 500 600 700 800

    Temperatura (C)

    Des

    loca

    men

    to (

    m).

    Bailey (1998)Presente trabalho

    Rgida100%75%50%25%

    Rotulada

    L/20

    Figura 8.3.3 Comportamento de uma viga aquecida com diferentes caractersticas das

    ligaes.

  • 199

    As diferenas nas curvas obtidas podem estar associadas formulao do

    elemento de viga utilizado nas anlises, uma vez que para as extremidades rotuladas os

    resultados so um pouco diferentes principalmente quando os deslocamentos so

    grandes. Para as extremidades rgidas os resultados so bem prximos. Quando se tem

    as caractersticas das ligaes escaladas de 25% a 100% nota-se que, apesar das

    diferenas, o comportamento calculado no presente trabalho coerente com as

    observaes feitas por Bailey (1998) nas quais a resistncia da viga em situao de

    incndio, que pode ser definida para um deslocamento igual ao vo dividido por 20,

    aumenta com o aumento da rigidez e resistncia das ligaes. As diferenas nas curvas

    obtidas esto associadas principalmente aproximao das curvas apresentadas em

    Bailey (1998) por curvas bilineares. Essa aproximao leva ao aumento acentuado dos

    deslocamentos quando os esforos na ligao ultrapassam o momento resistente, e a

    curva carga-deslocamento entra no segundo trecho linear de rigidez bem menor do que

    a rigidez inicial.

    8.3.2 Prtico com Ligaes Semi-rgidas

    Bailey (1998) tambm apresenta a anlise de um prtico semi-rgido formado pela

    viga do exemplo anterior, figura 8.3.4.

    1375 1375

    34,925 kN

    13751375

    1500

    1500

    34,925 kN 34,925 kN500 kN 500 kN

    UC

    203

    x203

    x52

    UC

    203

    x203

    x52

    UB 305x165x40

    (1)

    (2)

    (3) (4) (5) (6) (7) (8)

    (10)

    (9)

    (11)

    Figura 8.3.4 Prtico com ligaes semi-rgidas, dimenses em mm.

  • 200

    Os pilares do prtico foram submetidos a uma razo de carga igual a 0,3 (carga

    durante o incndio dividida pela capacidade de carga em temperatura ambiente) e todos

    os elementos foram aquecidos uniformemente e mesma razo. As caractersticas da

    ligao so as mesmas definidas na figura 8.3.2, escaladas em 50%. No presente

    trabalho, o perfil UC 203x203x52 dos pilares teve a seo transversal discretizada em

    296 elementos triangulares. No total, o prtico foi discretizado com oito elementos de

    viga, conforme a figura 8.3.4, com quatro pontos de Gauss. Essa estrutura foi utilizada

    por Bailey (1998) para validar suas implementaes comparando os seus resultados com

    os obtidos numericamente por El-Rimawi et al. (1993).

    O clculo do deslocamento vertical no centro da viga mostrado na figura 8.3.5.

    -0,09

    -0,08

    -0,07

    -0,06

    -0,05

    -0,04

    -0,03

    -0,02

    -0,01

    0,00

    0,01

    0 100 200 300 400 500 600 700

    Temperatura (C)

    Des

    loca

    men

    to (

    m)

    Bailey (1998)Presente trabalho

    Figura 8.3.5 Comparaes entre o modelo proposto e os resultados apresentados por

    Bailey (1998).

    Pode-se ver que os resultados so bem prximos, apesar de as diferenas nos

    modelos de elemento de viga e da aproximao das curvas momento-rotao.

  • 201

    8.4 CONCLUSES

    Um modelo de elemento de mola capaz de ter relaes carga-deslocamento que

    variam em funo da temperatura foi desenvolvido. O elemento define a curva a ser

    utilizada na obteno da matriz de rigidez e fora interna a partir da temperatura mdia

    nos elementos de ao que compe uma seo transversal qualquer, definida, juntamente

    com as curvas carga-deslocamento, como dados de entrada.

    Apesar da falta de resultados experimentais, os exemplos apresentados formam

    uma base razovel de validao.

    O modelo desenvolvido pode ser utilizado para modelagens de estruturas

    completas, juntamente com os modelos de viga e casca apresentados anteriormente,

    simulando ligaes, partes das ligaes ou conectores de cisalhamento.

  • 9

    CONSIDERAES FINAIS

    Apresentam-se uma sntese do trabalho, concluses e sugestes

    para trabalhos futuros.

    9.1 SNTESE DO TRABALHO

    No captulo inicial foram apresentados a motivao e o objetivo deste trabalho:

    desenvolvimento de modelos numricos para a anlise de estruturas em situao de

    incndio.

    Os principais conceitos sobre a engenharia de segurana contra incndio,

    principalmente no que se refere segurana estrutural, foram apresentados no captulo

    2. O texto apresenta uma fonte de dados sobre materiais, comportamento do incndio,

    comportamento e projeto de estruturas, alm de uma reviso bibliogrfica dos modelos

    numricos desenvolvidos. Esse texto uma fonte importante de informaes para

    futuras pesquisas e trabalhos que venham utilizar os modelos desenvolvidos neste

    trabalho.

    O captulo 3 apresenta a plataforma e metodologia utilizadas neste trabalho. A

    utilizao de programas desenvolvidos com a tcnica de programao orientada a objeto

    em linguagem C++ e contendo os desenvolvimentos apresentados por Caldas (2004),

    foram fundamentais para alcanar os objetivos deste trabalho. A tcnica de programao

    utilizada extremamente importante para que os programas desenvolvidos possibilitem

    a introduo de novos materiais e elementos finitos. Neste trabalho esta foi uma

    preocupao contnua.

  • 203

    Os modelos para a anlise de transferncia de calor com base no mtodo das

    diferenas finitas, MDF, e elementos finitos, MEF, apresentados no captulo 4, formam

    uma base importante para os demais modelos desenvolvidos. A aplicao do MDF

    anlise trmica de sees transversais uma importante contribuio deste trabalho. Na

    aplicao do MEF, o desenvolvimento do modelo com integrao explcita do tempo e a

    forma de integrao da matriz de condutividade trmica, considerando a condutividade

    para a temperatura mdia dos ns do elemento, permitindo que os coeficientes da matriz

    de condutividade sejam calculados apenas no incio dos clculos e posteriormente

    apenas as condutividades sejam atualizadas, expresses 4.4.18 a 4.4.20, levaram a um

    modelo com pequeno tempo de processamento e resultados adequados, conforme

    apresentado nos exemplos do captulo 4. O modelo tambm capaz de considerar a

    transferncia de calor por radiao trmica, permitido a simulao de sees com

    proteo tipo caixa ou com aberturas.

    No desenvolvimento do algoritmo para obteno de superfcies e diagramas de

    interao de esforos em sees genricas, um domnio de deformao ltima em

    situao de incndio para sees compostas por concreto foi proposto. Apesar de haver

    vrios trabalhos nesta rea, o esquema proposto indito e genrico, considerando as

    relaes tenso-deformao adequadas e a influncia das deformaes trmicas. O

    algoritmo permite a anlise da resistncia ltima da seo transversal de elementos

    estruturais como pilares, vigas e lajes submetidas a tenses normais, possibilitando uma

    anlise adequada em situaes de projeto ou em pesquisas.

    O elemento de viga tridimensional apresentado no captulo 6 pode ter uma seo

    genrica com uma exposio ao incndio qualquer. Com essas caractersticas e a

    capacidade de experimentar grandes deslocamentos e rotaes, o elemento uma

    alternativa aos modelos j desenvolvidos como os implementados nos programas

    VULCAN (Huang et al. 2003a) e SAFIR (Franssen, 2005). Os exemplos apresentados

    no captulo 6, onde elementos de ao, concreto e mistos de ao e concreto so

    analisados e comparados com resultados numricos e experimentais encontrados na

    literatura demonstram a robustez e viabilidade do elemento desenvolvido.

    No captulo 7, o elemento de casca apresentado mostrou-se adequado para simular

    o comportamento de lajes em situao de incndio. A utilizao do modelo de dano

    proposto, utilizando a relao tenso-deformao do concreto segundo o EN 1992-1-

  • 204

    2:2004 apresenta uma opo aos modelos de plasticidade at ento aplicados a

    estruturas em situao de incndio (Franssen, 2005).

    Finalmente, o elemento de mola complementa os modelos apresentados

    possibilitando uma modelagem mais realista das estruturas. A possibilidade de definir

    curvas carga-deslocamento em funo da temperatura torna possvel a considerao de

    ligaes semi-rgidas ou mistas ou a simulao de conectores de cisalhamento. A

    propriedade de associar uma seo transversal na qual so avaliadas as temperaturas dos

    elementos de ao uma propriedade interessante desse modelo.

    Uma caracterstica importante das solues desenvolvidas a capacidade de

    realizar em conjunto as anlises trmica e mecnica, o que os diferencia de outros

    programas (Franssen, 2005; Huang et al. 2003a).

    9.2 CONCLUSES

    Diversos modelos numricos para anlise do comportamento de elementos

    estruturais em situao de incndio foram desenvolvidos e apresentados neste trabalho.

    Os modelos desenvolvidos seguem os princpios e hipteses da teoria de transferncia

    de calor e mecnica estrutural levando em conta os efeitos das mudanas de

    propriedades dos materiais com a temperatura.

    Os modelos numricos se revelaram adequados para a anlise de estruturas em

    situao de incndio conforme normas internacionais (EN 1992-1-2:2004; EN 1993-1-

    2:2005) e com base na comparao dos resultados obtidos com resultados numricos e

    experimentais encontrados na literatura. Concluiu-se que os modelos numricos so

    capazes de simular, de forma precisa e robusta, o comportamento de estruturas de ao,

    concreto e mistas em situao de incndio. Dessa forma, o objetivo deste trabalho foi

    alcanado e outros trabalhos podero ser realizados com as ferramentas desenvolvidas.

    Com isso, considera-se que este trabalho representa uma contribuio relevante para as

    pesquisas na rea de engenharia de segurana contra incndio.

  • 205

    9.3 TRABALHOS FUTUROS

    Alguns fenmenos e comportamentos ainda so carentes de estudos e melhor

    entendimento por parte da engenharia estrutural e de segurana contra incndio. Esses

    fenmenos necessitam principalmente de maiores estudos experimentais e

    posteriormente modelos numricos ou analticos podero ser desenvolvidos.

    O aparecimento do esforo normal em ligaes submetidas ao incndio algo que

    vem sendo estudado recentemente. Programas como o VULCAN e ADAPTIC, ver item

    8.1, procuram simular esse comportamento com elementos desenvolvidos com base no

    mtodo dos componentes, porm, poucos ensaios experimentais foram realizados

    ficando difcil a avaliao dos modelos.

    O comportamento ortotrpico das lajes mistas, em geral, desconsiderado em

    situao de incndio. De forma simplificada, apenas a parte sobre as nervuras da forma

    de ao considerada nas modelagens (Caldas et al., 2006). Devido ao comportamento

    de membrana essa modelagem suficiente, porm, a considerao do comportamento

    ortotrpico em modelos constitutivos desejvel.

    O spalling ainda considerado um comportamento imprevisvel nas estruturas de

    concreto e a sua considerao nos modelos constitutivos uma importante tarefa para os

    pesquisadores.

    De acordo com o objetivo deste trabalho, desenvolvimento de modelos numricos

    para anlise de estruturas em situao de incndio, a principal sugesto a utilizao

    dos modelos desenvolvidos na modelagem de elementos, subestruturas e estruturas

    completas, com o objetivo de estudar, projetar, elaborar e validar procedimentos

    normativos, alm de outras pesquisas relevantes para o desenvolvimento da engenharia

    estrutural e de segurana contra incndio.

  • REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS

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