Anlise de Modelos de Pedestres para a Caracterizao da ...

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  • ANDRA DUARTE CARVALHO de QUEIROZ

    Anlise de Modelos de Pedestres para a Caracterizao

    da Radiopropagao em Interiores.

    Tese apresentada Escola Politcnica da

    Universidade de So Paulo para obteno do ttulo

    de Doutora em Engenharia Eltrica.

    rea de Concentrao: Sistemas Eletrnicos

    Orientador: Luiz Cezar Trintinalia

    So Paulo

    2014

  • II

    Ao v Joo, pelo dia dos pais em que eu faltei,

    v Ivone, pelo aniversrio em que eu no cantei (parabns),

    v Helosa, pelas histrias que eu no ouvi.

    Aos meus pais, pela companhia que eu no fiz,

    ao meu irmo, pelos telefonemas que eu no respondi,

    e ao Cristiano, pelos sbados de sol que eu perdi.

  • III

    AGRADECIMENTOS

    Ao meu orientador, Prof. Dr. Luiz Cezar Trintinalia, por dividir seus

    conhecimentos, esclarecer minhas dvidas e mostrar o caminho das pedras;

    Aos professores Dr. Jorge Mieczyslaw Janiszewski e Dr. Antonio Fischer de

    Toledo pelas orientaes e sugestes apresentadas na banca de qualificao.

    Fundao Educacional Inaciana (FEI), de modo especial ao Prof. Dr. Renato

    Camargo Giacomini pela colaborao e incentivo.

    Ao professor Rubener da Silva Freitas pelos esclarecimentos das funes

    matemticas avanadas.

    Aos Raphael Ardisson, Rodrigo Duarte, Vanessa Rodrigues e Vitor Duarte,

    pelos computadores e fora de processamento.

    E a todos aqueles, que de forma direta ou indireta, contriburam para a

    concluso deste trabalho.

  • IV

    "E Deus disse:

    ,

    E a luz se fez. Autor Desconhecido

  • V

    RESUMO

    QUEIROZ, A. D. C. Anlise de Modelos de Pedestres para a Caracterizao da Radiopropagao em Interiores. 2013. Tese Escola Politcnica, Universidade de So Paulo, So Paulo, 2013. Neste trabalho, modelos de pedestres, utilizados para simular a caracterizao da

    radiopropagao em interiores de edifcios, so reproduzidos, analisados e

    comparados em diversos ambientes e com diferentes fluxos de pedestres. Estes

    modelos tm como base o mtodo de traado de raios (imagens), e se diferenciam

    em relao ao formato (lmina, paraleleppedo e cilindro), constantes

    eletromagnticas (material absorvente, condutor e dieltrico) e mecanismos de

    espalhamento de onda eletromagntica (difrao, reflexo ou ambos) considerados

    sobre o pedestre. Para cada um dos modelos, um algoritmo foi criado e detalhado

    atravs da apresentao de equaes e estrutura dos dados. A anlise dos modelos

    foi realizada em duas etapas de comparao: uma com dados empricos e outra

    entre parmetros de caracterizao do canal, como desvanecimentos e disperso no

    tempo, obtidos atravs de simulaes com cada tipo de modelo de pedestre. Dentre

    os vinte e nove modelos ensaiados, os resultados da anlise mostraram que o

    pedestre modelado por um cilindro condutor aquele que apresenta resultados mais

    satisfatrios.

    Palavras-chave: Radiopropagao, Interiores, Traado de Raios, Modelos de

    pedestres.

  • VI

    ABSTRACT

    QUEIROZ, A. D. C. Pedestrian Models Analysis for Characterization of Indoor Radio Propagation. 2013. Thesis Escola Politcnica, Universidade de So Paulo, So Paulo, 2013. In this work, pedestrian models, used to simulate characterization of indoor radio

    propagation are reproduced, analyzed and compared in different environments with

    different pedestrian flows. These models are based on the image ray-tracing method,

    and differs themselves on shape (plate, cylinder and cuboid), electromagnetic

    constant (absorber, conductive and dielectric materials) and considered spread

    mechanisms (diffraction, reflection, or both). For each model, an algorithm is created

    and detailed through the presentation of equations and data structure. The models

    analysis were made in two comparison steps: one with empirical data and the other

    with the environment characterization parameters, like fading and time spread,

    obtained through simulations of each pedestrian model. Within twenty nine models

    simulation, the results analysis show that the most satisfactory results are given by

    the model that considers the pedestrian as a conducting cylinder.

    Keywords: Indoor radio propagation, Simulation, Ray tracing method, body-

    human models

  • VII

    SUMRIO

    CAPTULO 01 -INTRODUO 1

    1.1. ESTADO DA ARTE 3 1.2. OBJETIVO DO TRABALHO 8

    CAPTULO 02 -PROPAGAO DE ONDAS ELETROMAGNTICAS 9

    2.1. MEIOS DE PROPAGAO 10 2.2. PROPAGAO ATRAVS DE MEIOS DISTINTOS: 11 2.2.1. REFLEXO E REFRAO 12 2.2.2. DIFRAO 14 2.3. ANLISE DE ONDAS ELETROMAGNTICAS A PARTIR DOS PRINCPIOS DA TICA GEOMTRICA. 16 2.3.1. REFLEXO E TRANSMISSO 20 2.3.2. DIFRAO 22 2.3.2.1. Difrao em arestas 23 2.3.2.2. Difrao em superfcies arredondadas 26 2.4. PROPAGAO NO CANAL DE MULTIPERCURSO 30 2.4.1. DESVANECIMENTO EM GRANDE ESCALA 31 2.4.2. DESVANECIMENTO EM PEQUENA ESCALA 32 2.4.2.1. Desvanecimento plano 33 2.4.2.2. Desvanecimento seletivo em frequncia 33

    CAPTULO 03 -TRAADO DE RAIOS E MODELOS DE PEDESTRES 35

    3.1. FORMULAO DO TRAADO DE RAIOS AMBIENTE DETERMINSTICO 36 3.1.1. DEFINIO DO AMBIENTE 36 3.1.2. DETERMINAO DOS PERCURSOS 37 3.1.3. FUNES DE POLARIZAO, FASE E AMPLITUDE. 45 3.2. ALGORITMOS DE INTERAO COM MODELOS DE PEDESTRES 57 3.2.1. LOCALIZAO DAS IMAGENS DOS PEDESTRES 58 3.2.2. TESTE DE INTERSECO ENTRE RAIOS E PEDESTRES 59 3.3. APLICAO DOS MODELOS DE PEDESTRES 62 3.3.1. CATEGORIA A PEDESTRE ABSORVENTE 64 3.3.2. CATEGORIA B PEDESTRE GUME DE FACA 66 3.3.3. CATEGORIA C PEDESTRE DIFRATOR PARALELEPIPDICO 69 3.3.4. CATEGORIA D PEDESTRE DIFRATOR CILNDRICO 73 3.3.5. CATEGORIA E PEDESTRE REFLETOR PARALELEPIPDICO. 77 3.3.6. CATEGORIA F PEDESTRE REFLETOR CILNDRICO 80 3.3.7. CATEGORIA G PEDESTRE DIFRATOR E REFLETOR. 85

  • VIII

    CAPTULO 04 -ANLISE DOS MODELOS 86

    4.1. COMPARAO COM DADOS EMPRICOS 86 4.2. COMPARAO ENTRE MODELOS. 97 4.2.1. ANLISE DOS AMBIENTES DETERMINSTICOS. 100 4.2.2. ANLISE DOS MODELOS DE PEDESTRES 105 4.3. ANLISE DOS ALGORITMOS E REQUISITOS DE SISTEMA 117

    CAPTULO 05 -CONCLUSO 120

    REFERNCIAS 124

    APNDICE 132

    APNDICE A INTERSECES 133 APNDICE B FUNES MATEMTICAS ESPECIAIS 139

  • IX

    LISTA DE ILUSTRAES

    Figura 1. Mecanismo da Reflexo ............................................................................ 12 Figura 2. Mecanismo da Difrao .............................................................................. 15 Figura 3. Geometria do tubo de raios ........................................................................ 18 Figura 4. Geometria da Reflexo e Refrao ............................................................ 21 Figura 5. Geometria do mecanismo de difrao em arestas. .................................... 23 Figura 6. Difrao em cilindros .................................................................................. 27 Figura 7. Representao das faces refletoras de obstculos planos ........................ 36 Figura 8. Reflexo de raios em uma superfcie plana ............................................... 38 Figura 9. rvore de Imagens ..................................................................................... 39 Figura 10. Trajetria dos raios refletidos ................................................................... 41 Figura 11. Trajetria dos Raios Refratados ............................................................... 43 Figura 12. Trajetria do raio difratado ....................................................................... 45 Figura 13. Reapresentao da trajetria do raio refletido. ........................................ 49 Figura 14. Raio Refratado ......................................................................................... 53 Figura 15. Formatos dos modelos ............................................................................. 58 Figura 16. Imagem do Pedestre e Interseco com o raio. ....................................... 59 Figura 17. Pedestres Circunscritos por Cilindros ...................................................... 60 Figura 18. Modos de Interseco entre raios e pedestres ........................................ 61 Figura 19. Algoritmo de interao entre raios e pedestres ........................................ 63 Figura 20. Modelo de Difrao Gume de Faca......................................................... 67 Figura 21. Modelo de Difrao UTD em arestas ....................................................... 71 Figura 22. Modelo de Difrao UTD para pedestres cilndricos ................................ 73 Figura 23. Geometria da difrao em superfcies cilndricas - Plano ............... 76 Figura 24. Projeo do modelo de reflexo em pedestres em forma de

    lminas ..................................................................................................... 78 Figura 25. Orientao de pedestres para reflexo .................................................... 79 Figura 26. Projeo do modelo de reflexo em pedestres cilndricos .............. 81 Figura 27. Geometria de reflexo no cilindro projetada no plano ..................... 82 Figura 28. Rotao do cilindro para a determinao do ponto de reflexo. .............. 84 Figura 29. Dados empricos obtidos extrados de (61) .............................................. 87 Figura 30. Dados simulados versus dados empricos ............................................... 93 Figura 31. Ambientes Simulados ............................................................................... 98 Figura 32. Trajetrias de Pedestres ........................................................................ 100 Figura 33. Variao do nvel da amplitude do sinal recebido em termos da

    posio do receptor. ............................................................................... 101 Figura 34. Perfis de atraso de potncia normalizados. ........................................... 102

    Figura 35. Variao do nvel mdio do sinal recebido devido presena de pedestres no ambiente. .......................................................................... 108

    Figura 36. Variao do desvio padro do desvanecimento lognormal devido presena de pedestres no ambiente. ................................................ 110

    Figura 37. Variao Fator de Rice do desvanecimento em pequena escala devido presena de pedestres no ambiente. ....................................... 112

    Figura 38. Variao do atraso excessivo mdio devido presena de pedestres no ambiente. .......................................................................... 115

    Figura 39. Variao do espalhamento de atraso RMS devido presena de pedestres no ambiente. .......................................................................... 116

    Figura 40. Requisitos de tempo e sistema. ............................................................. 117

  • X

    LISTA DE TABELAS

    Tabela 1. Modelo de Pedestres ................................................................................. 65 Tabela 2. Valores de parmetros empricos. ............................................................. 88 Tabela 3. Comparao entre dados empricos e simulados...................................... 94

  • XI

    LISTA DE ABREVIAES E SIGLAS

    2D Bidimensional

    3D Tridimensional

    FDTD Diferenas finitas no domnio do tempo

    GO tica Geomtrica

    GTD Teoria geomtrica da difrao

    ISB Fronteira de sombra de raios incidentes

    RCS Seco transversal de radar (radar cross section)

    RMS Mdia quadrtica (root mean square)

    RSB Fronteira de sombra de raios refletidos

    RT Traado de Raios

    RX Receptor

    SSB Fronteira de sombra de superfcie

    TX Transmissor

    UTD Teoria geomtrica uniforme da difrao

  • XII

    LISTA DE SMBOLOS

    A

    Processo aleatrio referente amplitude do componente de multipercurso

    Raio do cilindro

    Raio da superfcie refletora no plano de incidncia

    Raio da superfcie refletora no plano perpendicular ao plano de incidncia

    Vetor que representa uma aresta horizontal do modelo do pedestre

    Vetor que representa uma aresta vertical do modelo do pedestre

    Ponto de origem da aresta difratora

    Ponto de origem dos vetores e que definem um obstculo plano

    Fator de espalhamento

    (x) Funo de Airy do tipo Keller

    B

    Vetor tangente pertencente base ortonormal relacionada ao

    pedestre

    C

    Constante dependente dos parmetros da antena

    Centro do circunferncia base do cilindro no no plano

    Coeficiente de interao do raio com o pedestre: pode ser de reflexo ou de difrao , conforme o caso

    D

    Dimetro, ou largura, do pedestre

    Coeficiente de difrao

    Coeficiente de difrao de Keller

    Coeficiente de UTD para o cilindro

    Coeficiente da UTD em cilindros para incidncia do raio no cilindro

    Coeficiente da UTD em cilindros para a perda de raios de

    superfcie

    E

    Vetor Polarizao do campo eltrico

    Vetor Polarizao da Antena

    Vetores de polarizao perpendicular ( , ou paralelo (||)ao plano

    de incidncia, para raios incidente ( ), difratado( ) e refletido( )

    Vetor campo eltrico Amplitude do campo eltrico de referncia para

    Vetor campo eltrico atribudo ao raio

    Vetor campo eltrico atribudo ao raio aps a interao com o

    pedestre

  • XIII

    Vetor campo eltrico difratado

    Vetor campo eltrico incidente

    Vetor campo eltrico refletido

    Intensidade do campo eltrico mdio para o ambiente sem pedestre

    F

    Funo de Transio UTD

    Frequncia central da banda do sinal transmitido

    H

    Resposta Impulsiva do canal

    Altura do pedestre

    Poro da elipsoide de Fresnel bloqueada pelo pedestre

    Vetor campo magntico

    I

    Intensidade da corrente que passa pela antena

    Coordenadas da imagem de TX

    Projeo do ponto no plano

    Ponto de interseco entre raio e cilindro

    Projees dos pontos no plano

    Quantidade de obstculos em que o raio refletido em sua trajetria

    Nmero mximo de reflexes sofridas pelo raio

    J

    Nmero sequencial atribudo superfcie refletora

    Componente complexo

    K

    Constante de fase ou nmero de onda

    Nmero atribudo ao transmissor gerador de uma imagem

    L

    Parmetros de distncia associados s fronteiras de sombreamento

    Comprimento do dipolo

    M

    Modos de propagao do raio de superfcie

    N

    Parmetro que relaciona o ngulo interno ao ngulo externo da cunha

    Vetor normal superfcie j

  • XIV

    Vetor normal pertencente base ortonormal relacionada ao

    pedestre

    Quantidade de pedestres que geram imagens vlidas do

    transmissor

    O

    Ponto de origem do vetor

    Ponto de origem do vetor

    Ponto de origem dos vetores e para modelo gume de faca

    P

    Perfil de atraso de potncia

    Ponto de origem do vetor trajetria

    Coordenadas do receptor

    Coordenadas do transmissor

    Vetor de Poynting

    Funo de Pekeris

    Q

    Raiz da funo de Airy do tipo Keller

    Ponto de destino do vetor trajetria

    Ponto de reflexo

    Ponto de difrao

    Pontos de difrao na lateral do cilindro

    Projeo dos pontos no plano

    R

    Projeo do ponto no plano

    Coeficiente de reflexo

    S

    Distncia entre um ponto qualquer e a fonte transmissora

    Distncia de referncia para determinao do campo

    Vetor trajetria

    Vetor trajetria com origem em TX

    Funo trajetria do raio aps interao com o pedestre

    Vetor Trajetria do Raio direto incidente

    Vetor Trajetria do Raio refletido

    Vetor Trajetria do Raio refletido

    Vetor incidente no ponto antes da difrao

    Vetor difratado a partir do ponto em direo ao receptor.

    Projeo do vetor

    no plano

    Projeo do vetor

    no plano

    Distncia entre e o pedestre para difrao por gume de faca

  • XV

    Distncia entre e o pedestre para difrao por gume de faca

    T

    Vetor tangente pertencente base ortonormal relacionada ao

    pedestre

    Coeficiente de transmisso

    Instante de observao relativo movimentao dos objetos espalhadores

    Comprimento do arco entre dois pontos pertencentes a um cilindro

    U

    Vetor que define a aresta difratora

    V

    Parmetro de Fresnel-Kirchoff

    Fator de Rice

    Velocidade de propagao do campo eletromagntico no ar

    Velocidade de propagao do campo eletromagntico no meio 01

    Velocidade de propagao do campo eletromagntico no meio 02

    X

    Razes do polinmio utilizado para encontrar o ponto em cilindros

    Sinal transmitido

    Y

    Sinal recebido pela antena receptora

    Nvel do sinal recebido esperado devido perda de percurso

    Nvel do sinal recebido devido ao desvanecimento em grande

    escala

    Nvel do sinal recebido devido ao desvanecimento em pequena

    escala

    Fator de amortecimento ou constante de atenuao da onda

    Constante de atenuao de propagao de raios de superfcie

    ngulo interno cunha

    ngulos de referncia utilizados para a UTD em cilindros

    Constante de propagao da onda eletromagntica

    ngulos de referncia utilizados para a UTD em cilindros

    Funo Delta de Dirac

    Permissividade dieltrica

  • XVI

    Impedncia intrnseca do meio

    ngulo de incidncia do raio axial na superfcie refletora

    Processo aleatrio referente fase do componente de multipercurso

    ngulo de reflexo do raio axial na superfcie refletora

    ngulo de refrao do raio axial na superfcie refletora

    ngulo de entre o raio incidente e a aresta difratora

    Comprimento de onda

    Permeabilidade magntica

    Mdia do processo de desvanecimento em grande escala

    Parmetro de Fock

    Densidade de cargas eletromagnticas

    Raios de curvatura de um tubo de raio

    Condutividade eltrica

    Desvio padro do processo de desvanecimento em grande escala

    Espalhamento de atraso RMS

    Atraso excessivo mdio

    Atraso excessivo mximo

    Instante de chegada do primeiro componente de multipercurso

    Processo aleatrio referente ao tempo de atraso do componente de multipercurso

    ngulo entre o raio incidente e a superfcie de incidncia na UTD

    ngulo entre o raio difratado e a superfcie de incidncia na UTD

    ngulo que define a fronteira de sombra de raios refletidos na UTD

    ngulo que define a fronteira de sombra de raios diretos na UTD

    Funo eikonal

    Frequncia angular

  • XVII

    Estrutura e Organizao do Trabalho

    De acordo com a estrutura recomendada pelo regimento do programa de ps-

    graduao em engenharia eltrica (PPGEE) da Universidade de So Paulo este

    trabalho est organizado da seguinte maneira:

    O captulo 1 apresenta a reviso bibliogrfica completa e, com ela, a

    justificativa e o objetivo deste trabalho.

    O captulo 2 apresenta um resumo terico da radiopropagao sob o ponto de

    vista da teoria eletromagntica e da tica geomtrica, assim como conceitos que

    envolvem ambientes de multipercurso e seus parmetros de caracterizao.

    O captulo 3 apresenta, de maneira detalhada, a formulao dos algoritmos de

    traado de raios, bem como os algoritmos relacionados a cada modelo de pedestre,

    analisado por este trabalho.

    O captulo 4 apresenta anlise dos modelos, realizada em duas etapas de

    comparao: uma com dados empricos e outra entre os parmetros de

    caracterizao do canal atravs de simulaes de diferentes tipos de ambiente com

    cada tipo de modelo de pedestre.

    E, por fim, o captulo 5, encerra o trabalho atravs da apresentao da

    concluso e sugestes para trabalhos futuros.

  • 1

    Captulo 01 - Introduo

    A demanda pelos servios de comunicaes mveis como telefonia celular e

    redes de computadores sem fio, vem crescendo de modo exponencial nas ltimas

    dcadas.

    Este crescimento resultado, principalmente, da possibilidade da eliminao de

    cabos e estrutura de cabeamento, da flexibilidade na troca e criao de usurios e,

    tambm, da liberdade de movimentao.

    Entretanto, mesmo com o grande empenho, por parte dos pesquisadores e

    centros de pesquisa em atender s necessidades referentes qualidade das

    comunicaes, srios problemas relacionados aos ambientes ainda no foram

    completamente resolvidos.

    O principal deles relacionado variabilidade do canal, e vem do fato de os

    sistemas sem fio serem utilizados em ambientes repletos de obstculos, onde

    dificilmente existe uma linha de visada direta entre transmissor e receptor.

    Tais ambientes, chamados de ambientes de multipercurso, so altamente

    sujeitos a fenmenos como reflexo, difrao, absoro e disperso que ocorrem

    devido aos obstculos e fazem com que o sinal transmitido atinja o receptor por mais

    de um caminho, produzindo, de modo aleatrio, uma verso distorcida deste sinal.

    Por este motivo, a anlise detalhada do comportamento do sinal, neste tipo de

    ambiente, de fundamental importncia para o desenvolvimento de sistemas mveis

    futuros e para a otimizao dos j existentes.

    As primeiras anlises datam da dcada de 1970 (1-2), e tiveram como objetivo

    a obteno de dados empricos de propagao em ambientes urbanos e da

    obteno de modelos estatsticos. (1) (2)

  • 2

    Estes modelos que serviram de base para os estudos da propagao em

    interiores, se tornaram ainda mais necessrios na dcada seguinte, com o advento

    da telefonia celular, e so utilizados at os dias de hoje como base para novas

    pesquisas. (3-21). (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) ( 11) ( 12) ( 13) (14) (15) (16) ( 17) ( 18) ( 19) (20) (21).

    Alm da necessidade da transmisso de sinais em frequncias mais altas e em

    bandas cada vez mais largas, a diversidade dos ambientes fez com que,

    paralelamente, algumas pesquisas fossem realizadas com o objetivo de tornar o

    mtodo de caracterizao mais preciso (atravs de medidas no domnio da

    frequncia), mais acessvel (atravs do uso de analisadores de espectro) e menos

    trabalhoso (atravs da elaborao de conjuntos de equipamentos) (22-29). (22) (23) ( 24) ( 25) (26) (27) (28) (29).

    Embora a realizao de campanhas de medidas seja, at o hoje, o mtodo

    mais completo de caracterizao de um canal, mtodos de predio determinsticos

    baseados nestas medidas e realizados atravs de simulaes vm sendo propostos

    a fim de viabilizar e tornar gil tal caracterizao (30-33). (30) (23) (31) (32) (33).

    Dentre eles, os mais utilizados so: o mtodo numrico das diferenas finitas

    no domnio do tempo (FDTD) (34-36), baseado nas equaes de Maxwell e

    condies de contorno, e o mtodo do traado de raios (RT), baseado nos princpios

    da tica geomtrica (GO) (37-41) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41).

    Embora, o mtodo FDTD seja mais minucioso e detalhista, e, por isso, esteja

    sendo muito utilizado na caracterizao da propagao em meios heterogneos,

    como no caso da propagao intracorporal (42-48); o mtodo do RT vem ganhando

    mais espao na caracterizao de ambientes em interiores devido a sua maior

    simplicidade e eficincia computacional (49-50). Por esse motivo, grande nmero de

    autores segue pesquisando mtodos de otimizao deste ltimo tipo de algoritmo

    (51-53). (42) (43) (44) (45) (46) (47) (48) (49) (50) (51) (52) (53).

  • 3

    Ocorre, entretanto, que a grande parte dos desenvolvedores, objetivando um

    mtodo determinstico e de simples simulao, optou por negligenciar certos

    aspectos estatsticos do canal, como a presena e movimentao de pedestres,

    principais causadores de desvanecimentos em interiores (54-64), cujas dimenses e

    caractersticas dieltricas so muito bem conhecidas (65-69). (54), (55) (56) ( 57) ( 58) ( 59) (60) (61) (62) (63) ( 64) ( 65) ( 66) (67) (68) (69).

    Nos ltimos quinze anos, visando preencher estas lacunas, alguns

    pesquisadores comearam a ajustar os algoritmos baseados no mtodo do traado

    de raios, atravs da insero de obstculos que pudessem representar os pedestres

    dentro dos ambientes simulados.

    Muitas propostas de modelos foram apresentadas (70-92). Elas se

    diferenciaram, principalmente, pelo grau de complexidade e detalhamento. (70) (71) (72) (73) ( 74) ( 75) (76) (77) (78) ( 79) (80) (81) (82) ( 83) ( 84) (85) (86) ( 87) ( 88) (89) (90) ( 91)

    (92)

    1.1. Estado da Arte

    O primeiro a considerar a presena de pedestres nas simulaes baseadas no

    mtodo de traado de raios foi Qi, et al. (70) em 1995. Em sua simulao foi utilizado

    um modelo em duas dimenses baseado no mtodo da fora bruta1, e os resultados

    foram comparados com dados empricos. Os pedestres foram aproximados atravs

    de lminas dieltricas, onde foram considerados apenas os efeitos de difrao por

    obstculo gume-de-faca (knife-edge model).

    Seguindo a mesma linha de simulao em duas dimenses, porm atravs do

    mtodo das imagens, Obayashi e Zander (71), em 1998, realizaram um estudo

    sobre o sombreamento causado pelo corpo humano.

    1 O mtodo da Fora Bruta um mtodo de traado de raios que consiste em lanar raios, a partir de uma

    determinada fonte, com separao angular uniforme de modo a permitir a anlise individual de cada componente

    de multipercurso at que ele atinja o receptor, ou sofra uma perda significativa em sua amplitude de modo que

    possa ser eliminado do processamento.

  • 4

    Diferentemente do anterior, eles realizaram um pr-estudo estatstico sobre os

    principais caminhos percorridos por pedestres naquele ambiente e encontraram os

    pontos de interseco entre eles e os componentes de multipercurso do sinal.

    Sempre que um dos componentes possusse tal ponto de interseco, uma perda

    aditiva obtida atravs de dados empricos era adicionada a perda de percurso do

    raio.

    Ainda no mesmo ano, Sato e Manabe (72) tambm consideraram o corpo

    humano como um obstculo puramente absorvente e realizaram outro pr-estudo

    estatstico sobre o sombreamento causado pelo pedestre na transmisso de sinais

    de rdio. Nesta simulao, entretanto, no foram consideradas as reflexes no cho

    e paredes de modo que s o percurso de linha de visada direta tenha sido analisado.

    Nos dois anos seguintes, 1999 e 2000, Villanese liderou trs trabalhos de

    simulao utilizando mtodos hbridos tridimensionais, baseados no mtodo das

    imagens e fora bruta (73-75) para estudar a influncia de corpos humanos, desta

    vez modelados como cilindros dieltricos homogneos, nos ambientes de

    propagao de multipercurso. (73) (74) (75)

    Nos dois primeiros trabalhos, apenas os fenmenos de reflexo e difrao,

    atravs da teoria geomtrica uniforme de difrao (UTD), foram considerados; sendo

    adicionado, no terceiro, o fenmeno da transmisso das ondas eletromagnticas

    atravs do cilindro.

    Em 2001, Scanlon e Ziri-Castro (76), visando aprimorar os trabalhos liderados

    por Villanese, apresentaram outro modelo de traado de raios em trs dimenses

    baseado no mtodo das imagens. Entretanto, para este novo modelo, eles utilizaram

    o radar-cross section (RCS) de um modelo realstico de corpo humano, modelado

  • 5

    atravs de simulaes pelo mtodo das diferenas finitas no domnio do tempo

    (FDTD), como meio de simular o espalhamento causado pelos pedestres.

    Depois de uma pausa de aproximadamente trs anos nesta linha de pesquisa,

    em 2004, Ghaddar et al. (77) e Ghaddar, Talbi e Denidni (78) retomaram o esforo

    que vem sendo fortemente despendido a esta tarefa at os dias de hoje.

    Em ambos os trabalhos, os pedestres foram aproximados por cilindros

    circulares de material condutor perfeito e, ento, combinados com a tcnica de

    traado de raios, mtodo das imagens, para lidar com as particularidades do cenrio

    de propagao.

    Para a obteno das contribuies dos raios difratados, o mtodo da UTD foi

    novamente utilizado. Ele foi escolhido como a melhor das opes UTD e GTD (teoria

    geomtrica de difrao), por apresentar uma soluo contnua entre a rea

    iluminada pelos raios provenientes do transmissor e a rea sombreada pelos

    cilindros, fornecendo assim boa concordncia com os dados empricos.

    Em 2005 e 2006, enquanto Ziri-Castro, Scanlon e Evans (79) confirmavam a

    boa concordncia entre os dados empricos e simulados, obtida em 2001, atravs de

    uma nova simulao com as mesmas caractersticas (mtodo das imagens, modelo

    realstico, FDTD e RCS), realizada com mais pedestres dentro de um mesmo

    ambiente, Huang et al. (80-81) utilizou o modelo do cilindro condutor perfeito atravs

    do mtodo das imagens unido a UTD para analisar o efeito da interao do corpo

    humano com as estruturas do ambiente na propagao de multipercurso. (80) (81)

    Em 2007, visando justificar o uso de cilindros na simulao de pedestres,

    apresentada trs anos antes, Ghaddar et al. (82) realizou uma campanha de

    medidas para observar a concordncia dos dados simulados com os dados

    empricos.

  • 6

    Apesar de ter obtido boa concordncia com o cilindro circular metlico, chegou

    a sugerir o uso do cilindro elptico como alternativa para o modelo de pedestres.

    O uso deste ltimo cilindro, entretanto, foi descartado pelos prprios autores

    com a justificativa de que por ser, o cilindro circular, um caso particular do cilindro

    elptico, este apresentava resultados similares, de modo que a preferncia pelo o

    uso do cilindro circular foi justificada pela menor complexidade computacional que

    ele oferecia.

    Seguindo esta linha, ainda no ano de 2007, alguns autores resolveram

    simplificar alguns mtodos apresentados na literatura a fim de obter uma menor

    complexidade computacional.

    Kashiwagi e Taga (83) e Kashiwagi, Taga e Imai (84), visando estudar o

    sombreamento causado pelos pedestres em canais de mltiplos-receptores e

    mltiplos-transmissores (MIMO), realizaram um estudo em trs dimenses baseado

    na tcnica de traado de raios com mtodo das imagens, onde os pedestres foram

    modelados atravs de cilindros de material dieltrico e tiveram seus coeficientes de

    reflexo e refrao desprezados. Anos depois, em 2010, (85), obtiveram boa

    concordncia entre os dados empricos e o modelo simulado.

    Alm deles, ainda em 2007, Fuji e Ohta (86) simplificaram, ainda mais, os

    modelos existentes atravs do uso do mtodo de traado de raios em duas

    dimenses e o uso de pedestres modelados atravs de discos completamente

    absorventes de onda eletromagntica. Para estes modelos, alm dos fenmenos de

    reflexo e transmisso, tambm foi desprezado o efeito de difrao no pedestre.

    O resultado desta simplificao foi validado atravs de medidas.

  • 7

    Para confirmar a heterogeneidade dos trabalhos que utilizam modelos de

    pedestres para simular os canais em interiores, os ltimos anos apresentaram

    trabalhos bem diversificados nesta rea.

    O nico trabalho que apresentou um novo modelo foi o de Chetcuti, Debono e

    Bruillot (87), que sugeriu o uso de um modelo humano construdo a partir de seis

    cilindros que representariam braos, pernas, tronco e cabea, compostos de dois

    materiais: gua na camada externa e ar na camada interna. Porm, para efeito de

    simplificao em sua simulao, utilizou um cilindro dieltrico homogneo e finito.

    Os demais trabalhos, entretanto, no tinham mais o objetivo de propor novos

    modelos de pedestres, e, sim, o objetivo de obter dados de caracterizao do

    ambiente atravs de modelos j apresentados.

    Das Gupta e Ziri-Castro (88), utilizaram o modelo realstico simulado atravs da

    RCS do corpo humano; Fakharzdeh et al (89) utilizou o modelo dieltrico com efeitos

    de difrao; Ali e Mughal (90) utilizaram um cilindro condutor perfeito; Wang, Prasad

    e Niemegeers (91) voltaram para o modelo onde o pedestre considerado um corpo

    completamente absorvente e Jacob et al (92) utilizou o modelo gume-de-faca para

    representar a difrao.

    Assim, o que se observa um crescente grau de complexidade dos modelos

    at meados desta ltima dcada e uma tendncia decrescente nos ltimos anos.

    Uma breve anlise dos resultados aponta que esta tendncia decrescente pode

    vir do fato de que a elaborao de modelos muito complexos demanda grande

    trabalho e tempo de processamento, alm de apresentar, em alguns casos,

    resultados to satisfatrios quanto os resultados obtidos em modelos mais simples.

  • 8

    1.2. Objetivo do trabalho

    Desse modo, levando em considerao as questes sobre a existncia de

    muitos mtodos e modelos para a simulao de pedestres em interiores e,

    principalmente, a ausncia de uma concluso sobre o melhor modelo a ser utilizado,

    o objetivo deste trabalho analisar e comparar os diversos tipos de modelos,

    baseados naqueles apresentados no estado da arte deste trabalho, com o propsito

    de preencher esta lacuna.

  • 9

    Captulo 02 - Propagao de Ondas Eletromagnticas

    O fenmeno da transmisso de ondas eletromagnticas pode ser entendido

    como a propagao de campos eletromagnticos, variantes no tempo e no espao,

    atravs de um meio qualquer, cujo comportamento a uma distncia da fonte pode

    ser completamente caracterizado a partir das equaes de Maxwell (93).

    Obtidas a partir destas equaes, as equaes diferenciais de Helmholtz,

    dadas por

    (2.1)

    (2.2)

    representam a propagao da onda eletromagntica em um determinado meio

    caracterizado pela constante de propagao da onda, , escrita em funo de (a

    condutividade), (a permissividade) e (a permeabilidade) por

    (2.3)

    onde seu termo real, , o chamado de fator de amortecimento, ou

    constante de atenuao, e seu termo imaginrio denominado constante

    de fase, ou nmero da onda (wavenumber),.

    A partir das equaes de Helmholtz, uma relao linear entre os campos

    eltrico e magntico

    (2.4)

    onde a impedncia intrnseca do meio.

  • 10

    Esta relao e a decomposio da constante de propagao do meio em

    suas partes, real e imaginria, faz com que todo o comportamento do campo

    propagado possa ser analisado, somente, a partir da forma fasorial de como

    (2.5)

    onde um valor de referncia do campo eltrico e o fator de

    espalhamento, relacionado ao princpio de conservao de energia.

    Este fator pode ser obtido a partir do postulado de Poynting que diz que uma

    potncia que flui para fora de um determinado volume no meio de propagao

    dada pela integral fechada que envolve este volume como

    (2.6)

    onde o produto vetorial

    (2.7)

    o chamado vetor de Poynting que indica a direo do fluxo de potncia instantneo

    em um determinado ponto do espao.

    Desse modo, o fator de espalhamento , ento, escrito como

    (2.8)

    onde e so os campos em uma posio inicial de referncia.

    2.1. Meios de Propagao

    A partir destas equaes, pode-se concluir que os meios de propagao

    exercem um papel importante tanto na intensidade, quanto na velocidade

  • 11

    caracterstica da onda eletromagntica e direo do campo eletromagntico

    propagado.

    De acordo com esta influncia, decorrente do tipo de corrente eltrica existente

    entre seus tomos, os meios de propagao so classificados como dieltricos,

    condutores ou quase-condutores (93).

    Meios dieltricos (ou isolantes) so constitudos, principalmente, das chamadas

    cargas fixas, que embora possam sofrer pequenos deslocamentos em razo da

    aplicao de um campo eltrico, no contribuem para o processo de conduo de

    corrente, fazendo com que a condutividade tenda a zero (94).

    Por esse motivo, possuem uma constante de propagao de valor puramente

    imaginrio, que faz com que o material dieltrico perfeito tenha a caracterstica de,

    alm de no ser dissipativo, apresentar os campos eltrico e magntico sempre em

    fase.

    Por outro lado, materiais com condutividade chamados de materiais

    condutores e quase-condutores, so os materiais que possuem cargas livres em sua

    banda de conduo, de modo a permitir o processo de corrente eltrica.

    Por serem materiais dissipativos ( , apresentam sua impedncia

    intrnseca complexa, de modo que a propagao do campo eletromagntico atravs

    dele possa ser invivel (94).

    2.2. Propagao atravs de meios distintos:

    De acordo com a teoria eletromagntica, as equaes tratadas nas sees

    anteriores so verdadeiras apenas para regies lineares, isotrpicas e homogneas

    do espao, caracterizadas por valores constantes de , e (95).

  • 12

    Entretanto, devido aos obstculos existentes no canal de propagao, o campo

    eletromagntico est sujeito a mudanas abruptas nos valores destas

    caractersticas, que atravs de mecanismos de propagao como reflexo, refrao

    e difrao, acabam por gerar o espalhamento destes campos (94).

    2.2.1. Reflexo e Refrao

    A reflexo e a refrao so dois mecanismos complementares de propagao

    que ocorrem quando uma onda, que se propaga em um determinado meio

    ( ), incide sobre a superfcie de um obstculo ( ) de dimenses

    muito maiores que seu comprimento de onda.

    Esta incidncia tem como consequncia a diviso de sua energia em duas

    novas ondas, uma refletida de volta para o meio de origem e outra transmitida, ou

    refratada, para o interior do novo meio, conforme Figura 1.

    Esta figura apresenta os sentidos de propagao das ondas incidente, refletida

    e refratada, que podem ser demonstrados a partir do postulado de Poynting,

    equao (2.7).

    Figura 1. Mecanismo da Reflexo

  • 13

    De acordo com o princpio da continuidade dos campos, possvel estabelecer

    as condies de contorno para a transio entre meios como

    {

    (2.9)

    onde os expoentes , e significam os campos incidente, refletido e transmitido,

    respectivamente e o ndice indica a parcela dos campos perpendiculares ao plano

    de incidncia2, mas tangentes superfcie do obstculo.

    A partir das condies de contorno, pode-se, ento, encontrar a relao entre o

    campo eltrico da onda refletida e o campo eltrico da onda incidente como

    (2.10)

    onde o chamado de coeficiente de reflexo perpendicular ( ) e paralelo (||),

    ao plano de incidncia, tal que

    (2.11)

    (2.12)

    E, da mesma forma, pode-se encontrar a relao do campo eltrico da onda

    refratada e o campo eltrico da onda incidente, como

    (2.13)

    onde o chamado de coeficiente de refrao, determinado em funo do

    coeficiente de reflexo, tal que

    2 Entende-se como plano de incidncia, o plano que contm os vetores de direo de propagao das trs ondas:

    incidente, refletida e difratada.

  • 14

    {

    (2.14)

    2.2.2. Difrao

    A difrao o mecanismo de propagao que ocorre quando uma onda, que se

    propaga em um determinado meio ( ), incide em um obstculo ( )

    de dimenses compatveis com seu comprimento de onda, como, por exemplo,

    irregularidades em uma superfcie, arestas ou at mesmo superfcies com curvatura

    acentuada.

    Este mecanismo tem como base o princpio de Huygens (96) que estabelece

    que todos os pontos infinitesimais de uma frente de onda agem como fontes

    independentes, produtoras de novas ondas secundrias que, combinadas entre si,

    corroboram para a formao de uma nova frente de onda.

    Desse modo, segundo este princpio, o campo eltrico irradiado por cada uma

    das fontes infinitesimais que formam uma frente de onda pode ser escrito como

    (2.15)

    de modo que o campo resultante total num ponto localizado a uma distncia da

    fonte seja escrito atravs da somatria da contribuio de todas estas fontes (97)

    pela integral de Fresnel.

    (2.16)

    Assim, quando uma parte da frente de onda obstruda, ocorre um

    espalhamento da onda eletromagntica, de modo que parte de sua energia seja

  • 15

    absorvida ou refletida e parte continue a se propagar formando novas frentes de

    onda, conforme mostra a Figura 2.

    Figura 2. Mecanismo da Difrao

    Isso significa que o campo eltrico resultante em um ponto aps a incidncia

    de parte da frente de onda original no obstculo dado por

    (2.17)

    onde o chamado de parmetro de Fresnel-Kirchoff dado por

    (

    )

    (2.18)

    tal que a altura do obstculo, em relao a linha de visada direta, que obstrui a

    frente de onda, a distncia percorrida pela onda incidente at o obstculo e

    a distncia percorrida pela parte da onda que no foi obstruda, aps o obstculo.

  • 16

    2.3. Anlise de ondas eletromagnticas a partir dos princpios da tica

    geomtrica.

    A tica geomtrica um mtodo de aproximao que utiliza o princpio da

    propagao retilnea da luz3 para representar o comportamento do campo

    eletromagntico atravs de raios, que nada mais so do que a aproximao do

    campo por ondas de comprimento tendendo a zero, .

    A estes raios, definidos como vetores paralelos direo do vetor de Poynting

    so associadas funes de fase, amplitude, polarizao e direo que, por sua vez,

    so obtidas a partir de uma soluo assinttica das equaes de Helmholtz.

    Esta soluo, proposta por Kline (98), com base em observaes fsicas dos

    princpios da tica geomtrica, tem como objetivo facilitar a anlise do

    comportamento do campo eletromagntico de alta frequncia em um meio isotrpico

    e a uma distncia suficientemente grande de sua fonte. Ela dada4 por:

    (2.19)

    onde para altas frequncias ( ), sua somatria reduzida apenas ao

    primeiro termo ( ), como

    (2.20)

    de onde se verifica uma semelhana com a equao (2.5), exceto pela presena da

    funo , chamada de eikonal.

    3 O princpio de Fermat estabelece que a luz que se propaga entre dois pontos, se propaga pelo menor caminho

    tico entre estes pontos. O que significa que em um ambiente homogneo, a luz se propaga em linha reta. 4 Uma vez que j foi mostrada a linearidade entre o campo eltrico e o campo magntico, as equaes que

    representam o campo eletromagntico sero apresentadas somente em funo do campo eltrico.

  • 17

    A funo eikonal (99) uma manipulao matemtica utilizada para ajustar a

    soluo assinttica de Kline de acordo com o operador ,que atua de forma espacial

    nas equaes de Maxwell.

    Ela diretamente relacionada trajetria do raio, e, desse modo, oferece uma

    descrio conveniente, tanto da amplitude do campo, quanto da variao da fase ao

    longo do percurso.

    Assim, uma vez que , se for considerado que a propagao ocorre em

    um ambiente homogneo, a trajetria do raio, , pode ser definida a partir da funo

    eikonal como

    (2.21)

    que apresenta uma soluo diferente para cada tipo de frente de onda. So

    exemplos:

    {

    (2.22)

    onde , e so as coordenadas cartesianas e , , e so valores de

    ponderao.

    Entretanto, alm da variao descrita com o auxlio da funo eikonal, a

    amplitude de um raio , tambm, relacionada ao princpio do espalhamento de

    energia, representado na tica geomtrica atravs do conceito da transmisso de

    tubo de raios.

    Um tubo de raios entendido como um conjunto de raios adjacentes (paraxiais)

    que formam um tubo infinitesimalmente pequeno ao redor do raio principal (axial) e

    que partem em diversas direes a partir de um determinado ponto, conforme

    mostra Figura 3 (96).

  • 18

    Figura 3. Geometria do tubo de raios

    Cada tubo de raios possui energia independente de outros tubos, de modo que

    todos os raios de mesma fase, provenientes de um mesmo ponto, apresentem o

    mesmo resultado para a funo eikonal, assim como mostrado na figura para e

    .

    Isto permite que o campo eltrico seja calculado ao longo de qualquer raio

    propagado, atravs da variao de sua amplitude e fase como

    (2.23)

    onde

    (2.24)

    Nestas equaes, o fator relaciona a fase do campo eltrico em uma

    posio com a fase do campo eltrico em uma posio de referncia ,

    como

    (2.25)

    e o fator , anlogo ao fator de espalhamento da equao (2.8), relaciona a

    amplitude do campo eltrico em uma posio com a amplitude do campo

    eltrico em uma posio de referncia , devido ao espalhamento da energia.

  • 19

    Assim, seja , a amplitude de um campo eltrico em um ponto de referncia

    e a distncia entre este ponto e um ponto de observao no espao. Pode-se

    demonstrar (99) que, para este caso geral, o fator de espalhamento dado por:

    (2.26)

    onde e so os raios de curvatura da superfcie da frente de onda, a que o

    ponto de observao pertence.

    Entende-se como raios de curvatura, a distncia medida sobre o raio central,

    entre uma superfcie de referncia ( ) e a custica do tubo de raios, definida

    como o ponto onde os raios do tubo se interceptam.

    Desse modo, os raios de curvatura, e , assumem valores diferentes, de

    acordo com o tipo da onda e do mecanismo de propagao que o gerou.

    Por exemplo: ondas planas apresentam e , ondas cilndricas

    apresentam e igual distncia entre a fonte e a superfcie de referncia, e

    ondas esfricas apresentam igual distncia entre a fonte e a superfcie de

    referncia.

    J ondas geradas a partir de mecanismos de reflexo ou difrao podem

    apresentar valores independentes para e dependendo da forma do objeto

    refletor ou difrator.

    Para estes tubos de raios, que apresentam , dado o nome de tubos de

    raios astigmticos.

  • 20

    2.3.1. Reflexo e Transmisso

    No contexto da tica geomtrica, a anlise destes fenmenos muito parecida

    com a apresentada na seo 2.2.1, podendo ser obtida a partir da incidncia de um

    tubo de raios astigmtico em um determinado ponto , pertencente a uma

    superfcie grande e lisa.

    A diviso da energia representada a partir da formao de dois novos tubos

    de raios lanados a partir do mesmo ponto de incidncia: um refletido e outro

    refratado.

    A cada um destes tubos de raios, representados pelos seus raios axiais,

    coplanares ao raio axial do tubo incidente, so associadas novas funes de fase,

    amplitude, e direo.

    Assim, seja o ngulo de incidncia, o ngulo de reflexo e o ngulo de

    refrao (ou transmisso), todos formados entre os respectivos raios (incidente,

    refletido e refratado) e a normal da superfcie no ponto de incidncia , conforme o

    apresentado pela na Figura 4, as direes dos novos raios so, ento, definidas

    pelas leis da reflexo, dadas por

    (2.27)

    e

    (

    )

    (2.28)

    onde e so as velocidades de propagao da onda nos meios 1 e 2.

  • 21

    Figura 4. Geometria da Reflexo e Refrao

    De acordo com o item 2.2.1 e com os princpios da tica geomtrica, pode-se

    dizer que a fase a e amplitude de campo eltrico de um raio refletido e refratado so,

    ento, dadas por

    (2.29)

    (2.30)

    onde, e so, respectivamente, os coeficientes de reflexo e refrao j

    apresentados pelas equaes 2.11, 2.12 e 2.14; o campo eltrico

    associado ao raio incidente no ponto de reflexo , encontrado a partir da equao

    2.23, como

    (2.31)

    onde os ndices , e indicam, respectivamente, os raios incidentes, refletidos e

    refratados; o comprimento do raio axial do tubo de raios, e e so os raios

  • 22

    de curvatura dos tubos de raios envolvidos, obtidos, de acordo com o formato do

    obstculo, como

    (2.32)

    (2.33)

    tal que o raio de curvatura da superfcie, projetado no plano de incidncia

    [ e o raio de curvatura da superfcie refletora, projetado no plano

    perpendicular ao plano de incidncia (99).

    2.3.2. Difrao

    No contexto da tica geomtrica, a anlise do fenmeno da difrao pode ser

    obtida a partir da chamada Teoria Geomtrica da Difrao (GTD), desenvolvida por

    Keller (100) com o objetivo de complementar os conceitos da tica geomtrica

    clssica, (que s envolviam raios diretos, refletidos e refratados) atravs da incluso

    de uma soluo, tambm, para os raios difratados.

    Esta teoria (99) postula que a difrao pode ser geometricamente tratada como

    um desvio na trajetria da frente de onda predita pela tica geomtrica, de modo

    que, quando uma frente de onda atinge um ponto de uma rea no homognea do

    obstculo, novos raios so lanados a partir deste ponto, de acordo com a lei geral

    da difrao.

    Esta lei que diz que quando um raio incidente atinge uma descontinuidade do

    obstculo, formando com ela, um ngulo de incidncia , novos raios difratados so

    lanados em formato de um cone de raios, com ngulo de abertura igual a .

  • 23

    Desse modo, assim como a reflexo, a difrao pode, tambm, ser tratada

    como um fenmeno local, de modo que seus raios satisfaam os princpios da tica

    geomtrica, e sejam caracterizados por sua fase, amplitude e direo. (96)

    2.3.2.1. Difrao em arestas

    O fenmeno da difrao em arestas pode ser ilustrado a partir do esquema

    geral apresentado na Figura 5, onde um tubo de raio, representado por seu raio

    axial, incide obliquamente, com ngulo , em uma aresta da superfcie de

    coeficiente de reflexo gerando, a partir da, trs regies distintas de iluminao.

    Figura 5. Geometria do mecanismo de difrao em arestas.

    Estas regies diferenciam-se pelo tipo de campo predominante e so

    delimitadas pelas chamadas fronteiras de sombreamento: A primeira, chamada de

    fronteira de sombra de raios refletidos (reflected shadow boundary RSB), definida

    pelo raio refletido exatamente no ponto , e forma com a superfcie um ngulo

    (2.34)

    j a segunda, chamada de fronteira de sombra de raios incidentes (incident shadow

    boundary - ISB), definida pelo raio do tubo de raios tangente ao mesmo ponto ,

    e forma com a superfcie um ngulo

    Regio iluminada

  • 24

    (2.35)

    Sendo , o ngulo entre o raio difratado e a superfcie de incidncia da frente

    de onda no obstculo, o campo eletromagntico total em cada uma das regies ,

    ento, escrito por

    {

    (2.36)

    onde o campo direto, o campo refletido , apresentado no item 2.3.1, e

    o campo difratado, dado por

    (2.37)

    onde, o campo da tica geomtrica incidente no ponto de difrao .

    Uma vez que, diferentemente dos demais tubos de raios, o tubo de raio

    difratado apresenta uma de suas custicas determinada pelo ponto , seu fator de

    espalhamento , ento, escrito como

    (2.38)

    , o coeficiente de difrao dado pela teoria de Keller (100), dado por:

    [(

    ( ) (

    )

    ) (

    ( ) (

    )

    )]

    (2.39)

    onde o ngulo interno s superfcies, e relacionado atravs do parmetro por

    (2.40)

    de modo que o ngulo externo aresta seja, sempre, da ordem de .

  • 25

    Entretanto, apesar de fornecer bons resultados em regies distantes das

    fronteiras, esta soluo (GTD) apresenta certas deficincias nas regies prximas a

    elas.

    Em tais regies, o campo descrito pela tica geomtrica clssica cai

    abruptamente para zero, fazendo com que o campo total difratado tenda ao infinito.

    Por esse motivo, a Teoria Uniforme da Difrao, (UTD) foi desenvolvida (101),

    a partir da GTD, com o objetivo de fornecer uma soluo contnua em toda a regio

    do campo difratado (102). Ela faz com que a descrio deste campo mude rpida e

    continuamente a partir da regio iluminada at a regio de sombra, evitando as

    singularidades existentes no mtodo original.

    Seu objetivo alcanado atravs da multiplicao dos coeficientes de difrao

    de Keller por uma funo de transio obtida a partir da integral de Fresnel, de modo

    que o campo difratado resultante permanea limitado nas regies prximas aos

    limites de sombreamento (99).

    Assim, um novo coeficiente de difrao que relaciona o campo incidente com

    o campo difratado atravs da equao (2.37), definido como

    (2.41)

    tal que

    [

    ]

    (2.42)

    [

    ]

    (2.43)

    [

    ]

    (2.44)

  • 26

    [

    ]

    (2.45)

    onde a funo de transio, dada por

    (2.46)

    e as funes so definidas como

    ( ) ( ( )

    )

    (2.47)

    onde so os inteiros mais prximos que satisfazem as igualdades

    ( ) (2.48)

    ( ) (2.49)

    e os termos e so os chamados parmetros de distncia associados s

    fronteiras de sombreamento, e definidos por

    (

    )

    (2.50)

    onde

    o raio de curvatura do tubo de raios definido no plano que contm o raio

    incidente e a aresta difratora.

    2.3.2.2. Difrao em superfcies arredondadas

    Superfcies arredondadas so superfcies que, apesar de difratarem ondas

    eletromagnticas, no possuem arestas e nem descontinuidades em sua superfcie

    lateral.

  • 27

    Por este motivo, este tipo de superfcie entendido como um plano inteiro onde

    ngulo interno , apresentado pela Figura 5, igual a , e o ngulo de incidncia

    .

    Isso faz com que, se a difrao for analisada com base nas equaes

    apresentadas para arestas, os campos difratados que se propagam em direo

    regio de sombra sero considerados nulos (99).

    Entretanto, experincias (102) indicam que os campos difratados nestas

    regies possuem valores diferentes de zero, comprovando, assim, que as equaes

    utilizadas para o clculo do coeficiente de difrao em arestas no so vlidas para

    este tipo de obstculo.

    Aqui, o fenmeno pode ser ilustrado de acordo com a Figura 6, onde um tubo

    de raios incidentes, representado pelo seu raio axial, , atinge a superfcie de um

    cilindro, de modo tangencial, no ponto, , se transformando em um conjunto de

    raios de superfcie que carrega a energia at um dado ponto , onde se

    desprende, tambm, de modo tangencial, e segue seu percurso em uma trajetria

    retilnea, at o ponto de destino.

    Figura 6. Difrao em cilindros

  • 28

    O resultado desta incidncia, assim como no caso da difrao em arestas, a

    gerao de regies distintas de iluminao, que se diferenciam pelo tipo de campo

    predominante.

    Para o cilindro, entretanto, as fronteiras RSB e ISB se coincidem, de modo a

    formar apenas uma fronteira, chamada de fronteira de sombreamento de superfcie

    (surface shadow boundary - SSB) que delimita as reas sombreada e iluminada pelo

    tubo de raios incidente.

    Desse modo, sendo , o ngulo definido entre o raio difratado e raio incidente

    no obstculo, o campo eletromagntico , ento, dado por

    {

    (2.51)

    onde o campo direto, o campo refletido na superfcie, apresentado no item

    2.3.1, e o campo difratado pela superfcie, dado por

    ( )

    (2.52)

    tal que, ( ) a amplitude do campo relacionado ao raio incidente, rasante no

    ponto e tangente superfcie, o fator de espalhamento atribudo ao

    campo do raio difratado e a variao de fase desse raio a partir do ponto

    .

    O coeficiente de difrao na superfcie, ( ), definido (101) como

    ( )

    [

    ( )]

    (2.53)

    onde o arco entre os pontos , e o fator de espalhamento devido a

    propagao dos raios na superfcie do cilindro dado por

  • 29

    {

    (2.54)

    Alm disso,

    (

    )

    (2.55)

    e

    (

    )

    (2.56)

    tal que o raio do cilindro, a funo de transio, definida na equao

    (2.46), e o chamado parmetro de Fock, dado por

    (2.57)

    que indica se o ponto se encontra na regio iluminada ( ) ou sombreada

    ( ).

    A funo de Pekeris, ( ), que garante que o campo apresente uma

    resposta contnua para todos os valores de (103), encontra-se detalhada no

    apndice B e pode ser calculada, para a regio de sombra como

    ( )

    ( )

    (2.58)

    onde obtido atravs do desenvolvimento de Taylor da raiz da funo

    ( ) ( )

    (2.59)

    como

    (

    )

    (2.60)

  • 30

    tal que e so duas das funes de Airy (apresentadas no apndice B) e

    o parmetro de impedncia da superfcie, dado por

    {

    (2.61)

    tal que impedncia intrnseca do material que constitui a superfcie.

    2.4. Propagao no Canal de Multipercurso

    O canal de propagao de multipercurso um canal repleto de obstculos fixos

    ou mveis, onde o sinal eletromagntico propagado atinge o receptor atravs de

    diversos caminhos, que se formam devido a mltiplas reflexes, refraes e

    difraes.

    Deste modo, o sinal recebido formado por uma composio de diversas

    cpias do sinal transmitido com fases e amplitudes aleatoriamente distribudas.

    Estas cpias, chamadas de componentes de multipercurso ou raios, no mbito

    da tica geomtrica (item 2.3), se combinam vetorialmente no receptor, causando

    distores no sinal recebido, Assim seu campo eltrico possa ser escrito

    (104) como o resultado de uma soma ponderada de cpias do sinal transmitido,

    , atrasadas e defasadas aleatoriamente, tal que

    (2.62)

    onde o instante de observao relativo a movimentao dos obstculos do

    ambiente e , e so processos aleatrios em funo do tempo, ,

    referentes amplitude, tempo de atraso e fase de cada componente de

    multipercurso .

  • 31

    Estas distores ou perdas aleatrias, que ocorrem alm da j esperada

    perda no espao livre (18), so desvanecimentos, e podem ser caracterizadas

    atravs de parmetros estatsticos obtidos atravs de dois processos aleatrios:

    a) a variao do nvel de sinal recebido em funo do tempo ( dada pela

    somatria vetorial dos componentes de multipercurso atravs da equao

    (2.62); e

    b) o perfil de atraso de potncia (power delay profile), que representa o

    espalhamento da energia recebida em funo do atraso destes

    componentes, dado por

    (2.63)

    onde a resposta impulsiva do canal determinada, tambm, por meio da

    equao (2.62), quando .

    2.4.1. Desvanecimento em grande escala

    Tambm chamado de desvanecimento log-normal, o desvanecimento em

    grande escala o resultado da obstruo do canal, por grandes objetos, que

    bloqueiam completa ou parcialmente a linha de visada, provocando uma queda

    temporria no nvel do sinal recebido, cuja durao depende do tempo em que a

    parte mvel leva para atravessar a regio sombreada (97).

    Estas variaes no nvel do sinal so descritas por meio de uma distribuio

    log-normal de mdia e desvio padro , parmetro, este, que caracteriza

    o canal em relao a este tipo de desvanecimento, (20).

  • 32

    2.4.2. Desvanecimento em pequena escala

    O desvanecimento em pequena escala a consequncia de variaes rpidas

    no canal de propagao, adicionais s flutuaes resultantes do desvanecimento em

    grande escala.

    Pode ser entendido como a consequncia da propagao de multipercurso e ,

    diretamente, influenciado pela largura de banda do sinal transmitido e pela

    velocidade em que os objetos espalhadores e equipamentos mveis se deslocam

    dentro do ambiente.

    Seus principais efeitos so mudanas rpidas na intensidade do sinal recebido,

    modulao aleatria em frequncia e a disperso do sinal no tempo.

    A propagao de multipercurso, geradora de disperso no tempo, causa o

    efeito do desvanecimento em frequncia que pode ser classificado em dois tipos:

    plano e seletivo.

    E o movimento relativo entre transmissor, receptor e os objetos espalhadores

    resulta em uma modulao de frequncia devido ao efeito Doppler, que age

    diretamente em cada um dos componentes de multipercurso.

    Entretanto, uma vez que os obstculos mveis em interiores de edifcios se

    movimentam em baixa velocidade5, a modulao aleatria, resultante do efeito

    Doppler, se torna no significativa, podendo ser desprezada.

    As outras variaes de desvanecimento em pequena escala, entretanto,

    merecem ser detalhadas.

    5 Considerando que os pedestres caminham a uma velocidade mxima de 5km/h, o espalhamento na frequncia

    devido ao efeito Doppler para um sinal de 2,4 GHz de apenas 22,4 Hz.

  • 33

    2.4.2.1. Desvanecimento plano

    O desvanecimento plano, tambm chamado de desvanecimento Rayleigh (13)

    ou desvanecimento Rice (10), ocorre quando a largura de banda do sinal transmitido

    menor que a banda passante do canal.

    Isso faz com que, uma vez que a estrutura do canal preserva as caractersticas

    de espectro do sinal at que ele atinja o receptor, o sinal sofra flutuaes rpidas

    devido adio vetorial dos componentes, sem que haja a distoro do sinal

    recebido.

    Os resultados so variaes rpidas no nvel do sinal que podem ser

    estatisticamente modeladas, atravs de uma varivel aleatria do tipo Rice (27),

    onde o fator de Rice o parmetro que indica quanto o sinal proveniente do

    percurso direto influencia na composio do sinal recebido.

    2.4.2.2. Desvanecimento seletivo em frequncia

    O desvanecimento seletivo em frequncia ocorre quando o canal de

    transmisso no apresenta resposta em frequncia linear sobre a banda do sinal

    transmitido, de modo que o sinal recebido apresente-se distorcido (105).

    Este desvanecimento pode ser medido atravs da quantidade de componentes

    que atingem o receptor, modelada estatisticamente por uma distribuio de Poisson

    (13), e atravs dos parmetros de disperso no tempo, obtidos a partir do perfil de

    atraso de potncia, .

    Estes parmetros so (106): O atraso excessivo mximo (maximum excess

    delay), , dado pela diferena entre os instantes de chegada do primeiro ( e do

  • 34

    ltimo componente de multipercurso; o atraso mdio (mean delay), ,

    estatisticamente definido como o primeiro momento do processo aleatrio dado pelo

    perfil de atraso de potncia e, por fim, o espalhamento de atraso RMS (RMS delay

    spread) definido estatisticamente como o desvio padro, ou segundo momento do

    processo aleatrio dado pelo perfil de atraso de potncia,

    Este ltimo parmetro considerado o melhor modo de se quantificar o

    espalhamento dos multipercursos, uma vez que altamente influenciado por

    reflexes com nveis de sinal compatveis com o nvel do componente em .

    Detalhes sobre a extrao destes parmetros, assim como significados e

    valores esperados so amplamente discutidos no trabalho (27), que antecede este.

  • 35

    Captulo 03 - Traado de Raios e Modelos de Pedestres

    O mtodo de traado de raios baseia-se na representao dos raios da tica

    geomtrica atravs da atribuio de funes de amplitude, fase, polarizao e

    trajetria, determinadas de acordo com o tipo do campo que eles representam (107):

    direto ( ), refletido ( ) ou difratado ( ).

    Existem, basicamente, duas abordagens para a implementao desse mtodo:

    uma baseada no mtodo do lanamento de raios, tambm chamado de mtodo da

    fora bruta, e outra baseada na teoria das imagens.

    O primeiro mtodo consiste em lanar, a partir de um transmissor, raios em

    direes com separao angular uniforme e, ento, acompanh-los, individualmente,

    por todo seu percurso at que atinjam a rea das proximidades do receptor ou, at

    que sofram perdas suficientemente grandes para que seus campos sejam

    considerados desprezveis (96).

    J a tcnica das imagens, escolhida para este trabalho, capaz de pr-

    determinar, a partir de imagens do transmissor formadas nos obstculos do

    ambiente, todos os raios que alcanaro o receptor de modo preciso, sem risco de

    redundncia, fazendo com que o nmero de raios analisados seja

    consideravelmente menor que o utilizado no mtodo anterior (108).

    Neste trabalho, o mtodo do traado de raios aplicado atravs de um

    conjunto de algoritmos, desenvolvido atravs do software MatLab, que tm o

    objetivo de descrever, em um primeiro momento, o comportamento do campo

    propagado em ambientes descritos de forma determinstica, ou seja, em ambientes

    onde no exista a presena de obstculos mveis, e em um segundo momento,

    descrev-lo sob a influncia do trnsito de pedestres.

  • 36

    3.1. Formulao do Traado de Raios Ambiente Determinstico

    A formulao do traado de raios para o ambiente determinstico consiste,

    basicamente, na definio do ambiente atravs da localizao dos obstculos fixos;

    na obteno das trajetrias dos raios atravs de imagens do transmissor; e,

    finalmente, na determinao de funes e coeficientes que possibilitam o clculo do

    campo total na parte receptora.

    3.1.1. Definio do Ambiente

    Para a definio do ambiente analisado, todos os obstculos (paredes, teto e

    cho), representados por suas faces voltadas para o interior do ambiente, so

    definidos como superfcies planas, retangulares e perpendiculares entre si.

    Estas superfcies, s quais so atribudos nmeros sequenciais representados

    pela letra , so definidas a partir de duas arestas, representadas pelos vetores e

    , perpendiculares entre si, e de origem em um dos vrtices da superfcie, chamado

    de ponto .

    Este ponto escolhido de modo que o produto vetorial entre os vetores

    resulte em um vetor, , normal superfcie e com sentido voltado para o interior do

    ambiente, conforme apresentado pela Figura 7.

    Figura 7. Representao das faces refletoras de obstculos planos

  • 37

    3.1.2. Determinao dos Percursos

    Uma vez que os raios da tica geomtrica representam ondas eletromagnticas

    que se propagam em ambiente homogneos, seus percursos so descritos atravs

    de trajetrias retilneas, representadas na forma vetorial (95), como

    (3.1)

    onde e representam, respectivamente, os pontos de origem e de destino deste

    vetor trajetria.

    Estes pontos so definidos de acordo com o tipo de campo representado pelo

    raio: direto, refletido, refratado ou difratado.

    a) Trajetrias de Raios Diretos

    Raios diretos so aqueles que atingem o receptor atravs de uma trajetria

    retilnea a partir do transmissor, sem que haja qualquer obstruo ou desvio em seu

    caminho. So definidos por

    (3.2)

    onde o ponto definido pelas coordenadas do transmissor e o ponto

    definido pelas coordenadas do receptor.

    b) Trajetrias de Raios Refletidos

    Raios refletidos so aqueles que, provenientes do transmissor, atingem o

    receptor, aps serem refletidos em obstculos, de modo que suas trajetrias sejam

    representadas por vetores, conforme apresentado pelo exemplo da Figura 8,

    para .

  • 38

    Figura 8. Reflexo de raios em uma superfcie plana

    A partir da figura possvel verificar que, quando a reflexo ocorre em um

    obstculo plano, a trajetria do raio refletido, pode ser representada, de forma

    simplificada, por um nico vetor de mesmo comprimento, definido por

    (3.3)

    tal que a imagem do transmissor formada na face do obstculo.

    A definio do ponto inicial do vetor trajetria como sendo a imagem do

    transmissor no obstculo vlida no somente para raios refletidos apenas uma

    vez, mas, tambm, para raios refletidos em diversos obstculos.

    Para estes casos, as imagens do transmissor so geradas a partir de imagens

    geradas em outros obstculos, atravs de um processo recursivo de gerao de

    imagens, ilustrado pela Figura 9 e que utiliza como exemplo um ambiente com trs

    obstculos.

    O processo iniciado a partir da definio do transmissor original, denominado

    de ao qual so atribudas as coordenadas da posio do transmissor real

    ( ) e os valores de condies iniciais nulos.

    L L

  • 39

    Figura 9. rvore de Imagens

    Onde a condio indica a quantidade de reflexes consideradas para a

    formao desta imagem (da o nome de imagem ), a condio indica a

    partir de qual transmissor (real ou imagem) tal imagem foi gerada e a condio

    apresenta qual foi o obstculo gerador desta imagem.

    Imagens Tercirias

    Imagens Secundrias

    Imagens Primrias

    Original

    (0,0,0)

    (1,1,1)

    (3,1,5)

    (3,3,5)

    (3,1,6)

    (3,2,6)

    (1,2,1)

    (2,1,3) (3,2,7)

    (3,3,7)

    (3,1,8)

    (3,3,8)

    (2,1,4) (3,2,9)

    (3,3,9)

    4 (3,1,10)

    (3,3,10)

    TX = 1

    TX = 2

    TX = 3

    TX = 4

    TX = 5

    TX = 6

    TX = 7

    TX = 8

    TX = 9

    TX = 10

  • 40

    Assim, a partir destas condies iniciais, as imagens obtidas diretamente a

    partir do transmissor inicial em cada um dos obstculos do ambiente so definidas.

    A estas novas imagens, atribui-se a numerao sequencial , e

    4, os ndices , por se tratarem de imagens primrias, por

    serem originadas a partir de , e , ou de acordo com o

    obstculo que as gerou.

    Suas coordenadas, so determinadas por

    (3.4)

    onde so as coordenadas do transmissor real, o vetor normal ao obstculo

    onde a imagem gerada e o ponto de origem deste obstculo, conforme

    apresentado na seco 3.1.1.

    A partir destas imagens primrias, obtm-se, ento, as imagens secundrias,

    em todos os obstculos do ambiente, com exceo do obstculo que as criou.

    A estas imagens, so atribudos: a numerao sequencial , ,

    , , e ; os ndices , por se tratarem de

    imagens secundrias; os ndices , ou , de acordo com o

    obstculo gerador e os ndices , por serem originadas a partir de ,

    por serem originadas a partir de e 4 por serem originadas a

    partir de 4.

    Do mesmo modo como apresentado na equao (3.4), suas coordenadas so,

    ento, determinadas por

    (3.5)

  • 41

    onde so as coordenadas da imagem primria, a partir da qual as imagens

    secundrias so criadas.

    A partir destas imagens secundrias, continua-se o processo recursivo de

    criao de imagens, atravs da definio das imagens tercirias, quaternrias etc.

    at que atinja o valor 4, que representa a quantidade mxima6 de

    reflexes que um raio pode sofrer antes de atingir o receptor.

    Uma vez definidas as possveis imagens do transmissor em todos os

    obstculos do ambiente, faz-se, ento, necessria a utilizao de uma tcnica que

    objetiva a identificao das imagens vlidas (109).

    Esta tcnica consiste em traar raios a partir do receptor , que refletidos nos

    obstculos alcanam o transmissor real , conforme o exemplo

    esquematizado na Figura 10, que ilustra um raio definido pela imagem secundria,

    numerada como .

    Figura 10. Trajetria dos raios refletidos

    6 No existe um padro adotado pela maioria dos trabalhos, para a determinao do valor . (92), por

    exemplo, considera , (41) faz e (110) . Neste trabalho, optou-se por seguir (100) e utilizar como o nmero de reflexes que, em mdia, gera perdas, suficientemente grandes para que a amplitude do raio decaia para, pelo menos, um dcimo da amplitude de referncia . Dados de simulao, realizados neste trabalho, mostram que para ngulos de incidncia inferiores a 4 , esta condio j atendida a partir de 4.

    (0,0,0)

    (1,1,1)

    (1,2,1)

    (2,1,4)

    4

    4

  • 42

    Conforme a figura, o raio traado a partir de pode ser definido por trs

    vetores , e , onde o primeiro relacionado com o vetor como

    (3.6)

    A partir deste vetor, a existncia de um ponto de interseco entre ele e o plano

    que representa o ltimo obstculo gerador da imagem (apresentado na figura

    como ) verificada atravs do processo apresentado no apndice A.

    A no existncia deste ponto indica a no existncia desta imagem e, assim, o

    vetor retirado do restante do processamento.

    Mas, caso este ponto exista, ele passa a servir como origem do vetor ,

    determinado, a partir de

    (3.7)

    E, novamente, a partir do processo apresentado no apndice A, verificada a

    existncia de um ponto de interseco entre ele e o plano que representa o

    penltimo obstculo gerador da imagem (apresentado no exemplo da figura

    como ).

    Do mesmo modo, a no existncia do ponto de interseco indica uma

    trajetria no vlida, e resulta na excluso do vetor . Mas, em contrapartida, a

    existncia resulta no ponto de origem do vetor determinado em funo de , por

    (3.8)

    Este processo , ento, realizado sucessivamente at que o ltimo vetor

    (representado pelo exemplo como ) determine o ponto , de modo a garantir a

    existncia de uma trajetria vlida, definida conforme a equao (3.3).

  • 43

    c) Trajetrias dos Raios Refratados

    Raios refratados so os raios que para alcanarem o transmissor so

    transmitidos atravs de um ou mais obstculos.

    Sua trajetria real composta de pelo menos trs vetores em sequncia: dois

    representando propagao no espao livre e um representando a propagao dentro

    do obstculo, conforme mostra a Figura 11.

    Figura 11. Trajetria dos Raios Refratados

    Entretanto, uma vez que as paredes do ambiente so construdas de material

    dissipativo e consideradas estreitas, quando comparadas com a distncia percorrida

    pelo raio, as funes trajetrias destes raios podem, ento, ser aproximadas por um

    nico vetor dado por

    (3.9)

    j definido como trajetria do raio direto ou refletido pela equao (3.3).

    A confirmao da existncia do raio refratado feita atravs do mesmo teste de

    interseco entre a reta e o plano (apndice A) que verifica se os vetores trajetria,

    obtidos para os raios diretos e refletidos, interceptam algum outro obstculo que no

    esteja listado como percurso.

  • 44

    Caso ocorra alguma interseco no prevista pela rvore de imagens da Figura

    9, ento este raio considerado, alm de refletido, refratado pelo obstculo em

    questo e suas perdas devem ser levadas em considerao para o clculo do

    campo total recebido.

    d) Trajetrias dos Raios Difratados

    Raios difratados so aqueles que, aps atingir um ponto, pertencente a um

    obstculo com dimenses compatveis com seu comprimento de onda, tm sua

    trajetria desviada da trajetria original.

    De acordo com a teoria do traado de raios (109), este ponto de difrao passa,

    ento, a ser tratado como um novo transmissor, que transmite raios em todas as

    direes, dando origem a novos raios diretos, refletidos e refratados, atravs do

    mesmo processo j descrito nos itens anteriores desta seo.

    No entanto, este tratamento implica em, pelo menos, dobrar o tempo do

    processamento e a quantidade de memria necessria para a anlise do ambiente.

    Por este motivo, para a anlise do ambiente determinstico, optou-se por no

    considerar raios sujeitos difrao seguidos de reflexo, ou vice-versa, de modo a

    considerar apenas o raio difratado cuja trajetria seja escrita por meio dos vetores

    {

    (3.10)

    onde e so, respectivamente, o transmissor e o receptor e o ponto de

    difrao pertencente ao obstculo, conforme apresentado na Figura 12a.

    Sua determinao feita com base na Lei da Difrao que afirma que uma vez

    que raio difratado e seu correspondente raio incidente esto no mesmo meio de

    propagao, ambos formam ngulos, , iguais com a aresta difratora, , (109).

  • 45

    a)

    b)

    Figura 12. Trajetria do raio difratado a) Trajetria real b) trajetria que trs os dois raios para o mesmo plano

    Desse modo, sendo a aresta difratora definida pelo vetor vertical = [ ] e

    pelo ponto de origem [

    ], e os pontos do transmissor e receptor

    definidos, respectivamente, pelas coordenadas [ ] e [ ],

    as coordenadas [ ] que definem o ponto podem, ento, ser

    determinadas por

    {

    |

    |

    | | |

    |

    (3.11)

    onde e

    so, respectivamente, as projees dos vetores e

    no plano

    , conforme apresentado na Figura 12b.

    3.1.3. Funes de polarizao, fase e amplitude.

    As funes de polarizao, fase e amplitude so funes relacionadas s

    funes trajetrias e responsveis pela determinao do campo eltrico relacionado

    a cada raio.

  • 46

    A funo de polarizao, especificamente, uma funo vetorial, dada por

    (3.12)

    e definida como a orientao do vetor campo eltrico ( que, de acordo com a

    teoria eletromagntica, mutuamente perpendicular trajetria, , e ao vetor campo

    magntico,

    Em um ambiente homogneo, este vetor mantem-se constante em toda a

    trajetria do raio, podendo ser alterado somente em casos de reflexo, refrao e

    difrao, de acordo com o formato e material do obstculo, em que ocorrem estes

    fenmenos.

    J as funes de fase e amplitude so funes escalares, definidas em termos

    do comprimento do vetor trajetria, , que podem ser entendidas como funes

    responsveis por corrigir a aproximao feita pela representao do campo eltrico

    atravs de raios de comprimento de onda .

    Esta correo feita atravs do fator , que representa a variao de fase

    ao longo do percurso, e do fator de espalhamento, que representa a variao

    da amplitude devido ao princpio da conservao de energia.

    Este fator, apresentado na equao (2.26), reapresentado aqui por

    convenincia

    (3.13)

    onde so os raios de curvatura do tubo de raios a qual o raio, seja ele direto,

    refletido, refratado ou difratado, pertence.

  • 47

    Alm destas funes, a amplitude do campo associado ao raio , tambm,

    resultado de coeficientes, definidos para cada tipo de campo: direto, refletido,

    refratado ou difratado, que sero detalhados, ainda, nesta seo.

    a) Campo de Raios Diretos

    Uma vez que estes raios alcanam o receptor diretamente a partir do

    transmissor, as funes relacionadas a eles so completamente dependentes do

    tipo de antena utilizada na simulao.

    Neste trabalho, dois tipos de antenas foram considerados: uma antena

    filamentar infinita e um dipolo Hertziano, utilizados, respectivamente, para as

    representaes bi e tridimensionais.

    Para o caso bidimensional considerada uma fonte filamentar e infinita que

    irradia um campo eltrico, cuja amplitude num determinado ponto , localizado na

    regio de campo distante da antena, dada por

    (3.14)

    onde uma constante, dependente dos parmetros da antena (99) e de uma

    distncia de referncia ( , dada por

    4

    (3.15)

    com sendo a corrente que passa por este filamento; e a menor distncia entre

    ponto e este filamento, definido no sentido do eixo das coordenadas

    cartesianas.

  • 48

    A partir da equao (3.14), pode-se notar que tanto a fase, quanto a amplitude

    do campo irradiado so funes dependentes da distncia, de modo que se possa

    concluir que o fator de espalhamento, relacionado funo amplitude do raio

    irradiado a partir desta fonte, dado por

    .

    (3.16)

    J para o caso tridimensional, onde se considera um dipolo Hertziano,

    posicionado no ponto , o campo eltrico irradiado por ele, num determinado

    ponto , dado por

    (3.17)

    onde uma constante, dependente dos parmetros da antena (99) e de uma

    distncia de referncia ( , dada por

    (3.18)

    tal que a corrente que passa por este dipolo, a impedncia intrnseca do meio,

    o comprimento do dipolo e a distncia entre o dipolo e o ponto , dada por

    (3.19)

    A partir da equao (3.17), pode-se notar que, mais uma vez, a fase ( e

    o fator de espalhamento, dado por

    (3.20)

    so funes, apenas, da distncia.

    Entretanto, o campo no ponto depende, ainda, do ngulo, , em que o raio

    lanado a partir do dipolo, de modo que sua amplitude de referncia seja dada por

  • 49

    (3.21)

    onde o vetor polarizao, dado em funo da polarizao da antena por

    (3.22)

    Assim, com base nestas informaes, os campos associados aos raios diretos

    podem ser escritos, de forma resumida, como

    {

    (3.23)

    b) Campo de raios Refletidos

    Para raios refletidos em um ou mais obstculos, as funes de polarizao,

    fase e amplitude e, consequentemente, a determinao do campo relacionado a eles

    so completamente dependentes da trajetria real destes raios.

    Assim, para ilustrar o mtodo de obteno destas funes, a Figura 13

    apresenta um raio refletido em dois obstculos.

    Figura 13. Reapresentao da trajetria do raio refletido.

  • 50

    Nesta figura, possvel visualizar que, ao ser lanado a partir do transmissor

    em direo ao primeiro ponto de reflexo, denominado de , o raio tem

    comportamento semelhante ao comportamento de um raio direto, de modo que o

    campo neste ponto, ( ), determinado pelas equaes apresentadas para os

    raios diretos.

    Neste ponto, o raio , ento, refletido de modo que o campo eltrico

    imediatamente aps a reflexo seja dado por

    ( ) ( )

    (3.24)

    onde uma matriz de coeficientes de reflexo, dada por

    [

    ]

    (3.25)

    onde e so os coeficientes de reflexo para a polarizao paralela e

    perpendicular ao plano de incidncia, e encontrados atravs das equaes (2.11) e

    (2.12).

    Uma vez que os coeficientes de reflexo so apresentados em termos de suas

    parcelas paralela e perpendicular, conveniente definir a questo da polarizao,

    tambm, em termos da projeo do vetor campo eltrico em (vetor unitrio

    paralelo ao plano de incidncia) e em (vetor unitrio perpendicular ao plano de

    incidncia) definidos atravs dos vetores que representam os raios incidente e

    refletido, , por

    (3.26)

    (3.27)

  • 51

    onde o vetor normal a superfcie refletora .

    A partir da definio destes vetores de polarizao, a equao (2.29) pode,

    ento, ser reescrita como

    [

    ( )

    ( )

    ] [

    ] [

    ] ( )

    (3.28)

    Onde o subscrito significa transposto, e

    so as parcelas paralela e

    perpendicular do vetor campo eltrico refletido em , dado por

    [

    ( )

    ( )

    ] .

    (3.29)

    Aps a reflexo, o raio segue de em direo a um novo ponto de reflexo,

    definido por e o campo eltrico relacionado a este raio , ento, novamente

    obtido a partir da equao (3.23), como

    (3.30)

    onde o comprimento do raio , e o fator de espalhamento, obtido

    por meio da equao (3.13), com raios de curvatura do tubo de raios refletidos

    dados por

    (3.31)

    e

    {

    (3.32)

    onde o raio de curvatura do tubo refletido definido no plano de incidncia ( , )

    e o raio de curvatura no plano ( , ), tal que

  • 52

    {

    (3.33)

    Para a determinao do campo no receptor, os mesmos clculos realizados a

    partir da equao (3.24) devem ser repetidos, entretanto tendo como campo de

    referncia inicial o campo ( ).

    Assim, sem perda de generalidade, pode-se dizer que o campo no ponto ,

    resultante de reflexes pode ser determinado por

    (

    [

    ] [

    ])

    (3.34)

    onde o campo eltrico no ponto resultante da propagao do raio

    definido por como se este fosse direto.

    c) Campo de Raios Refratados

    Assim como os raios refletidos, as funes de polarizao, fase e amplitude e,

    consequentemente, a determinao do campo relacionado aos raios refratados so

    completamente dependentes da trajetria real destes raios.

    Assim, para ilustrar o mtodo de obteno destas funes, a Figura 14

    apresenta como exemplo um raio refratado em duas faces de um obstculo.

    Neste esquema, o primeiro vetor representa a incidncia do raio , na

    superfcie do obstculo, onde o campo eltrico associado a ele determinado

    atravs do clculo do campo do raio direto, como

    (3.35)

  • 53

    onde e so, respectivamente, o fator de espalhamento, equaes (3.16) e

    (3.20), e a amplitude do vetor campo eltrico na fonte, equao (3.22), dados de

    acordo com o formato da onda incidente (cilndrica ou esfrica) e com o

    comprimento do raio .

    Figura 14. Raio Refratado

    Ao incidir no ponto , parte da energia vinculada ao raio refletida de volta

    para o espao livre, e parte refratada atravs de um novo raio , de campo

    eltrico dado por

    [

    ( )

    ( )

    ] [

    ] [

    ] ( )

    (3.36)

    onde o chamado de coeficiente de transmisso, encontrado em funo do

    coeficiente de reflexo, pela equao (2.14), e

    so os vetores de polarizao

    do raio incidente e e

    so as parcelas paralela e perpendicular do vetor

    campo eltrico refratado.

    Assim, se propaga atravs do obstculo que, por ser composto de um

    material diferente do ar, gera perdas adicionais ao campo eltrico, fazendo com que

    relacionado ao raio, quando este atinge a outra superfcie do obstculo,

    seja dado por

  • 54

    [

    ( )

    ( )

    ] [

    ( )

    ( )

    ]

    (3.37)

    onde a constante de propagao da onda, apresentada pela equao (2.3).

    importante ressaltar que, diferentemente dos raios refletidos, aqui no

    necessrio encontrar o campo total em funo da soma vetorial de suas parcelas,

    antes de calcular os efeitos da prxima refrao.

    Isso porque, aps o raio se propagar no interior do obstculo, ele ser

    novamente refratado por uma superfcie paralela primeira de modo que o plano de

    incidncia e, consequentemente, as funes de polarizao, permaneam

    inalterados.

    Desta maneira, ao atingir a outra superfcie, o raio tem sua energia, outra

    vez, dividida entre dois novos raios: um refletido para dentro do obstculo e outro,

    que recebe o nome de transmitido para fora, com campo eltrico dado por

    [

    ( )

    ( )

    ] [

    ] [

    ( )

    ( )

    ]

    (3.38)

    de modo que campo refratado imediatamente aps a refrao seja, ento, dado por

    [

    ( )

    ( )

    ]

    (3.39)

    e o campo no ponto ,

    (3.40)

    Entretanto, conforme apresentado no item 3.1.2, uma vez que a parede

    composta de material dissipativo e apresenta uma espessura, , pequena quando

    comparada com a distncia total entre transmissor e receptor, pode-se demonstrar

  • 55

    que a soma do mdulo dos vetores que compe a trajetria real do raio refratado

    pode ser aproximada como sendo a distncia em linha reta entre o transmissor e o

    ponto .

    Assim, as funes de amplitude e fase podem ento, tambm, ser aproximadas

    por

    (3.41)

    (3.42)

    de modo que o campo refratado no ponto possa ser escrito por

    [

    ] [

    ]

    (3.43)

    onde o campo direto ou refletido, no caso de reflexo seguida de

    refrao, calculado para o ponto nos itens anteriores.

    d) Campo de Raios Difratados

    Diferentemente dos casos anteriores, que fazem parte da tica geomtrica

    clssica, o tratamento do campo de raios difratados, pode ser realizado por pelo

    menos dois modos distintos: o mtodo da aproximao de obstculos por gume de

    faca e o mtodo da teoria uniforme da difrao (UTD), ambos apresentados na

    seco 2.3.2.

    Nesta etapa do trabalho, entretanto, a difrao ocorre somente em arestas,

    correspondentes juno entre duas paredes (superfcies), que podem ser

    caracterizadas como obstculos em forma de cunha com ngulo interno .

    Assim, como apresentado na seo 1.1 deste trabalho, o mtodo da UTD foi

    escolhido para a caracterizao do ambiente determinstico, uma vez que atende a

  • 56

    obstculos com valores de e, principalmente, por ser um mtodo

    completamente difundido e validado.

    Uma vez que a trajetria dos raios difratados descrita em termos de dois

    vetores, e

    , as funes de fase e amplitude devem, tambm, ser descritas

    considerando a existncia destes dois raios.

    A partir do raio , emitido diretamente a partir do transmissor, o campo eltrico

    atribudo a ele no ponto dado a partir da equao (3.23) por

    ( )

    (3.44)

    Ao alcanar a aresta, entretanto, este raio tem sua energia dividida em diversos

    raios, de maneira que o campo eltrico logo aps a difrao seja dado como

    [

    ] [

    ]

    (3.45)

    onde o coeficiente de difrao encontrado atravs da equao (2.41).

    Do mesmo modo, o campo no ponto , ento, dado por

    (

    )

    (3.46)

    ou

    [

    ] [

    ] ( ) (

    )

    (3.47)

    onde ( ) e (

    ) so os fatores de espalhamento obtidos de acordo com as

    equaes (3.13) e (2.38), como

  • 57

    ( )

    {

    (3.48)

    e

    ( )

    {

    (3.49)

    3.2. Algoritmos de Interao com modelos de Pedestres

    Os algoritmos de interao com os pedestres so responsveis pela interao

    dos raios obtidos para o ambiente determinstico com os modelos de pedestre,

    atravs da excluso ou criao de novos raios, e da atribuio de perdas e

    defasagens, que ocorrem devido a esta interao.

    Conforme apresentado pelo estado da arte deste trabalho, existem na literatura

    diversos modelos utilizados para simular a influncia de pedestres na rdio-

    propagao em interiores de edifcios.

    Estes modelos se diferenciam, basicamente, pelo formato e pelo material em

    que os pedestres so representados.

    A definio do material, atravs de suas constantes eletromagnticas e ,

    influencia diretamente na existncia ou no dos raios refletidos, refratados ou

    difratados pelos pedestres, bem como nas funes de amplitude, fase, e polarizao

    relacionadas a eles.

  • 58

    J a definio do formato influencia no s na localizao dos pontos de

    interseco entre os raios e os pedestres, mas, consequentemente, nas trajetrias

    dos raios refletidos, refratados ou difratados por eles.

    Neste trabalho, os formatos escolhidos para representar os pedestres so,

    basicamente, trs: lmina retangular (Figura 15a), cilindro (Figura 15b) e

    paraleleppedo (Figura 15c).

    Os trs com as mesmas dimenses de altura ( e largura ( ),

    escolhidas de acordo com (77).

    a) Lmina

    b) Cilindro

    c) Paraleleppedo

    Figura 15. Formatos dos modelos

    3.2.1. Localizao das imagens dos pedestres

    A localizao das imagens dos pedestres feita com o objetivo de possibilitar o

    teste de interseco entre pedestres e raios refletidos.

    Um exemplo deste processo pode ser visto na Figura 16, onde um raio sofre

    duas reflexes antes de alcanar o receptor. Neste exemplo, os segmentos

    pontilhados representam a trajetria real do raio e, o cilindro hachurado representa

    um pedestre que, visivelmente, intercepta esta trajetria.

    .

    .

  • 59

    Figura 16. Imagem do Pedestre e Interseco com o raio.

    Entretanto, assim como apresentado na seo anterior, neste ponto da

    simulao, os raios esto representados por um nico vetor, , apresentado no

    exemplo da figura pela reta em linha cheia que une a imagem secundria do

    transmissor ( ) ao receptor.

    Como pode ser notado, este vetor no intercepta o pedestre hachurado, no

    interior do ambiente, mas sim, uma de suas imagens, gerada pelos mesmos

    obstculos (paredes) que geraram a imagem do transmissor.

    Por este motivo, para cada uma das posies dos pedestres, suas imagens

    so localizadas para que, s ento, os testes de interseco possam ser realizados.

    A localizao destas imagens feita pelo mesmo processo utilizado para a

    localizao das imagens do transmissor (seco 4.2.1) e em duas etapas, uma para

    cada extremidade do segmento de reta definido como o eixo central do pedestre.

    3.2.2. Teste de Interseco entre raios e pedestres

    Com o objetivo de criar um algoritmo geral que pudesse servir como entrada

    para todos os modelos comparados neste trabalho, optou-se por representar,

    I I

    RX

  • 60

    apenas neste primeiro momento, todos os pedestres atravs de cilindros que,

    conforme Figura 17, circunscrevem cada um dos formatos utilizados.

    Figura 17. Pedestres Circunscritos por Cilindros

    Esta escolha justificada pelo fato de que os pedestres podem girar em torno

    do seu prprio eixo e movimentar seus braos de modo aleatrio e independente do

    percurso traado, de modo que, estatisticamente, eles ocupem um volume cilndrico

    no espao.

    Assim, o teste de interseco realizado atravs da verificao da existncia

    de um ponto que pertena, simultaneamente, ao segmento de reta, representado

    pelo raio , e pela imagem do cilindro.

    Esta verificao, detalhada no apndice A, realizada em duas etapas e a

    interseco s considerada vlida se o resultado for positivo em ambas.

    Para a primeira etapa consideram-se as projees do segmento de reta e do

    cilindro no plano do cho , de modo a simular o ambiente bidimensional.

    Estas projees apresentam como resultado uma circunferncia e um

    segmento de reta coplanares, a partir dos quais so encontrados dois pontos de

    interseco, e , descritos a partir de suas coordenadas cartesianas .

    1.21.4

    1.61.8

    -9.6-9.4

    -9.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    1.41.6

    -9.6-9.4

    -9.2

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    3

    3.5

    3.23.4

    3.6

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

  • 61

    A partir destas coordenadas bidimensionais, a segunda etapa do teste calcula,

    atravs de uma anlise linear, o valor da coordenada para ambos os pontos,

    obtendo, assim, dois novos pontos, e com coordenadas tridimensionais e com

    projeo no plano do cho, dadas por e .

    Se, pelo menos, um destes pontos ( ou ) pertencer ao cilindro, ento, a

    interseco considerada verdadeira, associada ao pedestre e classificada de

    acordo com o apresentado na Figura 18 como:

    tipo 1, quando o raio incide e deixa o cilindro atravs da superfcie

    lateral;

    tipo 2, quando o raio incide no cilindro pela superfcie lateral e o deixa

    pela face superior; e

    tipo 3, quando o raio incide pela face superior e o deixa pela lateral.

    Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3

    Figura 18. Modos de Interseco entre raios e pedestres

    . .

    . . . . . .

    . . .

    .

  • 62

    3.3. Aplicao dos Modelos de Pedestres

    Esta a principal etapa do trabalho, pois somente a partir dela que o objetivo

    de comparar os modelos de pedestres pode ser atingido.

    Aqui, a partir dos dados obtidos na etapa anterior, um tratamento especial para

    cada um dos modelos oferecido, de modo que todos eles sejam analisados em

    situaes exatamente iguais, onde as interseces ocorram entre os mesmo raios e

    os mesmos pedestres, sempre nos mesmos instantes.

    O fluxograma geral do algoritmo que representa esta etapa apresentado na

    Figura 19, onde se verifica a existncia de apenas duas rotinas principais, indicadas

    por . Essas rotinas so as responsveis pelo clculo das funes de campo,

    associadas a cada raio e a cada instante.

    A rotina responsvel pela aplicao dos dados obtidos na rotina de

    modo a encontrar o novo campo relacionado ao raio aps a interseco do

    pedestre, como

    [

    ] [

    ] [

    ] ( )

    (3.50)

    onde

    so os vetores de polarizao perpendicular e paralelo ao plano de

    incidncia, para os raios incidente, difratado ou refletido, obtidos pelas equaes

    (3.26) e (3.27); o campo eltrico atribudo ao raio durante a anlise do

    ambiente determinstico, ( ) o fator de espalhamento, obtido em funo da

    nova trajetria, do raio e so coeficientes que podem ser de difrao ( ),

    de reflexo ( ou ambos conforme o modelo do pedestre.

  • 63

    Figura 19. Algoritmo de interao entre raios e pedestres

    sim

    sim

    sim

    sim

    sim

    no

    no

    no

    no

    no

    Passa para prxima

    Incio

    Carrega Dados

    Inicia posio de RX

    Inicia Instante

    Inicia Imagens

    Houve interseco entre raios e pedestres

    ?

    foi interceptado?

    Aplica modelo de pedestre e encontra novas trajetrias e coeficientes

    Encontra novas funes de fase, polarizao e amplitude para

    Acabaram as imagens de TX?

    Acabaram os Instantes?

    Passa para prximo instante

    Acabou a rota de RX?

    Passa para prxima posio de RX

    Obtm parmetros de caracterizao

    Fim

  • 64

    Estes coeficientes, assim como as novas funes trajetrias, resultantes

    da interseco dos raios com pedestres, so obtidos atravs da rotina do

    fluxograma, que representa, efetivamente, a principal diferena entre os modelos

    apresentados neste trabalho.

    Esta rotina pode ser implementada atravs de sete categorias de algoritmos, de

    modo que modelos de pedestre semelhantes possam ser analisados a partir de

    simples mudanas de parmetro iniciais, tais como valores de ngulos internos e

    constantes eletromagnticas, que escolhidas de acordo com a literatura que

    representam trs tipos de material.

    O primeiro representa o pedestre, seja qual for seu formato, como um slido

    constitudo de material absorvente perfeito de ondas eletromagnticas, j o segundo

    o apresenta como um slido condutor perfeito, de coeficientes de reflexo

    (94), enquanto o terceiro representa o pedestre atravs de um material dieltrico

    dissipativo, definido de acordo com constantes eletromagnticas, ,

    e =1, correspondentes ao msculo do ser humano (73).

    Estas categorias so detalhadas nos itens subsequentes e associadas aos

    modelos de pedestres pela Tabela 1.

    3.3.1. Categoria A Pedestre absorvente

    Este modelo de pedestre consiste no modelo mais simples apresentado na

    literatura, (71), (72), (86) e (91).

    Trata da representao do pedestre por um obstculo constitudo de material

    completamente absorvente de ondas eletromagnticas, onde a existncia de um

    ponto de interseco, entre ele o vetor , tem o efeito de extinguir o raio e anular

  • 65

    seu campo, de modo que, na equao (3.50), o fator que multiplica o campo

    seja dado por

    [

    ] [

    ] [

    ] ( )

    (3.51)

    Tabela 1. Modelo de Pedestres

    Categoria Modelo Formato Material

    A 1 Cilindro Absorvente

    B 2 Gume de Faca

    C

    3 Lmina Difrator

    UTD

    Absorvente

    4 Metlico

    5 Dieltrico

    6 Paraleleppedo Difrator

    UTD

    Absorvente

    7 Metlico

    8 Dieltrico

    D

    9 Cilindro Difrator

    UTD

    Absorvente

    10 Metlico

    11 Dieltrico

    E

    12 Lmina Refletor

    Absorvente

    13 Metlico

    14 Dieltrico

    15 Paraleleppedo

    Refletor

    Absorvente

    16 Metlico

    17 Dieltrico

    F

    18 Cilindro Refletor

    Absorvente

    19 Metlico

    20 Dieltrico

    G

    21 Lmina

    Refletor e Difrator

    Absorvente

    22 Metlico

    23 Dieltrico

    24 Paraleleppedo

    Refletor e Difrator

    Absorvente

    25 Metlico

    26 Dieltrico

    27 Cilindro

    Refletor e Difrator

    Absorvente

    28 Metlico

    29 Dieltrico

  • 66

    3.3.2. Categoria B Pedestre gume de faca

    O modelo de difrao por obstculo gume de faca um modelo muito utilizado

    no projeto e anlise de propagao de ondas eletromagnticas para radioenlaces de

    longo alcance.

    Ele apresenta, de modo aproximado, o efeito da perda por difrao em uma

    frente de onda qualquer, quando esta encontra obstculos ngremes, absorventes e

    de cumes, que quando analisados atravs de seu corte transversal, se assemelham

    ao gume de uma faca.

    Nesta categoria, entretanto, assim como em (70) e (92), o modelo de gume de

    faca utilizado para encontrar as perdas por difrao, que ocorrem nas laterais e na

    cabea7 de um pedestre, como resultado de uma interseco entre o raio e a lmina

    retangular que o representa.

    Esta lmina posicionada sobre o dimetro do cilindro, de modo que seu vetor

    normal, , paralelo projeo do raio, no plano do cho, seja escrito por

    (3.52)

    e os vetores, e , tangentes superfcie e que, juntamente com , formam uma

    base ortonormal relacionada ao pedestre, sejam escritos por

    (3.53)

    (3.54)

    7 A difrao na cabea dos pedestres considerada somente para a representao tridimensional do modelo, de

    modo a ser ignorada para anlises bidimensionais.

  • 67

    onde e so, respectivamente, as projees das coordenadas do receptor

    e da imagem do transmissor no plano do cho e as coordenadas da posio do

    pedestres no instante da interseco, como pode ser visualizado pela Figura 20.

    Figura 20. Modelo de Difrao Gume de Faca

    Consequentemente, as arestas verticais e horizontais desta lmina so escritas

    a partir dos vetores

    (3.55)

    (3.56)

    onde e so, respectivamente, a largura e a altura do pedestre, definidas na

    seco 3.2, e o ponto de origem de ambas as arestas, definido por

    (3.57)

    0.81 1.2

    1.4 1.61.8 2

    2.2-10

    -9.5

    -9

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    1.8

  • 68

    O ponto , comum ao raio e ao plano que representa o pedestre,

    determinado a partir do processo descrito no Apndice A, de modo que as distncias

    , , , e sejam determinadas, respectivamente, por

    (3.58)

    (3.59)

    (3.60)

    (3.61)

    | | (3.62)

    A determinao do campo resultante da difrao feita por meio da

    substituio do termo

    [

    ] [

    ] [

    ] ( )

    (3.63)

    apresentado na equao (3.50), por

    (3.64)

    Nele, , e representam os parmetros de Fresnel-Kirchoff obtidos

    atravs da equao (2.18), reapresentada aqui, por convenincia, como

    (

    )

    (3.65)

  • 69

    onde so as pores do tubo de raios obstrudas pelo pedestre e so,

    respectivamente, a distncia entre e o pedestre e a distncia entre o pedestre e

    .

    3.3.3. Categoria C Pedestre difrator paralelepipdico

    Conforme apresentado no estado da arte deste trabalho, a teoria da difrao

    uniforme UTD (seco 2.3.2) o mtodo mais utilizado para estudar o efeito da

    difrao em ambientes de multipercurso.

    A vantagem desta teoria em relao ao modelo do gume de faca que ela

    permite calcular os efeitos da difrao em obstculos de diferentes formatos e

    constitudos por diferentes tipos de materiais, bastando, para isso, uma simples

    mudana nos valores iniciais do algoritmo.

    Entretanto, diferentemente da maioria dos trabalhos que utilizam a UTD com

    pedestres cilndricos (vide seco 3.3.4), nesta categoria ela utilizada para calcular

    os coeficientes de difrao que ocorrem em pedestres representados num primeiro

    momento, por lminas (ngulo interno Figura 15a) e num segundo momento,

    por paraleleppedos (ngulo interno , Figura 15c).

    Apesar de no ter sido encontrado, na literatura, nenhum trabalho que

    utilizasse a UTD para determinar a difrao em pedestres nestes formatos, este

    modelo foi includo neste trabalho, pois acredita-se que ele possa apresentar bom

    desempenho, quando comparado aos modelos das categorias B e D.

    Esta hiptese baseada no fato de que, como dito anteriormente, a UTD foi

    desenvolvida especialmente para ser utilizada em conjunto com o traado de raios

  • 70

    (Seo 2.3.2) e no fato de que estes obstculos, formados por arestas lineares e

    superfcies planas, permitem o uso mais eficiente da lgebra linear.

    Desse modo, para a determinao do efeito da difrao causado pelos

    pedestres, assim como feito no modelo da categoria B, a anlise deste tem incio a

    partir do posicionamento dos slidos, que representam os pedestres, de acordo com

    uma base ortonormal formada a partir dos vetores , e .

    Estes vetores so obtidos, respectivamente, a partir das equaes (3.52),

    (3.53) e (3.54), reapresentadas aqui, por convenincia, como

    (3.66)

    (3.67)

    (3.68)

    de modo que, conforme apresentado na Figura 21, as arestas difratoras (verticais ou

    horizontais) sejam escritas por

    (3.69)

    (3.70)

    onde e so, respectivamente, a largura e a altura do pedestre (definidas na

    seco 3.2) e so os pontos de origem de cada uma das arestas, definidos de

    acordo com o formato do pedestre e com o tipo de interseco entre o raio original,

    , e o pedestre.

  • 71

    a)

    b)

    c)

    d)

    Figura 21. Modelo de Difrao UTD em arestas a) Lmina com interseco tipo 01, b) lmina com interseco tipo 02,

    c) paraleleppedo com interseco tipo 01 e d) paraleleppedo com interseco tipo 02

    1 1.2 1.41.6 1.8 2

    -10

    -9.5

    -9

    -8.5

    0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4

    1.6

    1.6 1.8 2 2.2 2.4 22.5

    30

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    1 1.5 2

    -9.8

    -9.6

    -9.4

    -9.2

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

    1

    2

    3

    4

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    1.6 1.8 2 2.2 2.42

    2.2

    2.4

    2.6

    2.8

    3

    Vista superior

  • 72

    Para difraes em arestas laterais (verticais), resultantes de interseces do

    tipo 01, o ponto de origem dado por

    (3.71)

    J para difraes em arestas superiores (horizontais), resultantes de

    interseces do tipo 02 ou 03, o ponto de origem pode tomar diferentes valores

    de acordo com o formato do pedestre.

    Assim, se forem definidas, as variveis e , tal que

    {

    (3.72)

    {

    (3.73)

    ento, o ponto de origem da aresta horizontal difratora pode ser escrito, a partir de

    , a extremidade superior do eixo central do pedestre, como

    (3.74)

    O ponto de difrao no pedestre, , , ento, encontrado atravs do mesmo

    mtodo apresentado na seo 3.1.2, para difrao em arestas da parede, de modo

    que os raios e

    que compem o raio difratado sejam escritos por

    {

    (3.75)

    definindo, assim, a nova trajetria do raio difratado no pedestre.

  • 73

    As funes de fase, polarizao e amplitude so encontradas a partir desta

    nova trajetria composta por e

    , pelas equaes apresentadas na seco 3.1.3

    e ento substitudas, ento, na equao (3.50).

    3.3.4. Categoria D Pedestre difrator cilndrico

    . Esta quarta categoria representa os modelos de pedestres mais utilizados nos

    trabalhos de caracterizaes de canais em interiores apresentados no estado da

    arte deste trabalho.

    Ela utiliza a UTD para determinar os efeitos dos raios difratados em pedestres e

    poderia, assim, ser tratada como uma variante da categoria anterior.

    Entretanto, aqui, os pedestres so representados atravs de cilindros circulares

    (Figura 15b), onde a difrao ocorre no somente em arestas, mas, tambm em

    superfcies arredondadas (Figura 22), de modo que duas formulaes distintas de

    UTD sejam necessrias: uma baseada na seo 2.3.2.1(arestas) e outra na seo

    2.3.2.2 (superfcies arredondadas).

    a)

    b)

    Figura 22. Modelo de Difrao UTD para pedestres cilndricos a) com interseco do tipo 01 e b) com interseco do tipo 02.

    1 1.5 2 2.51.5

    2

    2.5

    3

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    11.5

    22.5

    1.5

    2

    2.5

    30

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

  • 74

    a) Formulao para a difrao em arestas

    A difrao na aresta do cilindro ocorre quando o raio intercepta o obstculo,

    incidindo pela lateral e saindo pela superfcie superior (interseco tipo 2) ou

    incidindo pela superfcie superior e saindo pela lateral (interseco tipo 3).

    A formulao para este caso muito parecida com a formulao apresentada

    pela categoria C, exceto pelo fato de que como o cilindro possui um volume

    simtrico em relao ao seu eixo central, no necessrio que uma base ortonormal

    seja definida para a determinao do ponto de difrao.

    Ao contrrio, este ponto pode ser diretamente encontrado a partir da

    determinao do ponto de interseco entre o raio e a superfcie lateral do

    cilindro (Apndice A), projetado no plano da base superior do cilindro, conforme

    apresentado pela Figura 22b.

    Do ponto em diante, uma nova trajetria descrita a partir dos raios

    {

    (3.76)

    de maneira que as novas funes de fase, polarizao e amplitude sejam

    encontradas e substitudas na equao (3.50).

    b) Difrao na superfcie lateral

    Este segundo tipo de difrao ocorre quando o raio original, , intercepta o

    pedestre, incidindo e saindo pela sua lateral, ou seja, quando a difrao resultante

    de uma interseco do tipo 1.

    Sua formulao baseada na seo 2.3.2.2 e tem como principal objetivo (Vide

    Figura 22a) a determinao dos pontos de incidncia ( ) e de difrao ( ),

  • 75

    responsveis por determinar a trajetria do raio difratado por meio dos vetores

    tangentes ao cilindro nestes pontos, dados por

    {

    (3.77)

    Assim, sejam e definidos em termos de suas coordenadas cartesianas

    [

    ]

    (3.78)

    as coordenadas destes pontos no plano ] podem, ento, ser determinados por

    {

    (3.79)

    onde o dimetro do pedestre (definido na seo 3.2), e so as

    coordenadas do eixo central do cilindro; so ngulos de referncia,

    apresentados na Figura 23, e definidos8 por

    (

    )

    (3.80)

    e

    (

    )

    (3.81)

    e so ngulos definidos como

    (

    | |)

    (3.82)

    8 Os ngulos podem assumir qualquer valor entre e , de modo que seja necessria uma rotina de

    determinao de quadrante. No MatLab, o comando executa esta funo.

  • 76

    e

    (

    | |)

    (3.83)

    onde , e so, respectivamente, as projees dos pontos , e

    no plano do cho, definido por ].

    Figura 23. Geometria da difrao em superfcies cilndricas - Plano

    As coordenadas so obtidas, de modo linear, a partir das coordenadas

    e , como

    | |

    | | |

    |

    (3.84)

    e

    0.5 1 1.5 2 2.51

    1.2

    1.4

    1.6

    1.8

    2

    2.2

    2.4

    2.6

    2.8

    3

  • 77

    | |

    | | | |

    (3.85)

    onde e representam as coordenadas das projees dos pontos e

    no plano .

    Devido geometria no linear do cilindro fcil verificar que a equao (3.79)

    no apresenta uma soluo nica, de modo que existam pelos menos dois raios

    (Figura 23) que, lanados a partir de , alcanam aps serem difratados pela

    superfcie.

    Assim, estes dois raios tm seus campos obtidos novamente a partir da

    equao (3.50) e so somados vetorialmente (78) para formar o campo relacionado

    ao raio difratado pelo pedestre.

    3.3.5. Categoria E Pedestre refletor paralelepipdico.

    Desenvolvido a partir dos mesmos pedestres (lmina ou paraleleppedo)

    apresentados na categoria C, os modelos desta categoria foram baseados em (92),

    com objetivo de verificar a influncia dos raios refletidos por pedestres, mas,

    principalmente, com o objetivo de facilitar o desenvolvimento dos algoritmos da

    categoria G (seo 3.3.7), por meio da incluso dos efeitos dos raios difratados

    (categoria C seo 3.3.3), aos efeitos dos raios refletidos.

    Estes raios (os refletidos) so formados atravs de imagens de , geradas

    nas laterais dos pedestres, de modo a formar o campo total em dado por

    (3.86)

  • 78

    onde campo atribudo a cada raio aps a reflexo nos pedestres, equao

    (3.50), e a quantidade de pedestres que circulam pelo ambiente e que geram

    imagens vlidas do transmissor.

    Um exemplo de formao de campo em apresentado na Figura 24, para

    pedestres em formato de lminas, onde o raio original , interceptado por um

    pedestre , anulado, e raios refletidos em outros pedestres ( e ) so criados

    de modo a formar o campo total recebido.

    Figura 24. Projeo do modelo de reflexo em pedestres em forma de lminas

    Uma vez que os pedestres apresentam faces refletoras planas, as trajetrias

    dos raios refletidos podem ser facilmente obtidas por meio do apresentado na

    seco 3.1.2, como

    (3.87)

    onde a imagem do ponto na face do pedestre, dada por

    (3.88)

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

  • 79

    onde o ponto de origem da face refletora e o vetor normal superfcie,

    ambos apresentados pela Figura 25.

    Figura 25. Orientao de pedestres para reflexo

    Para possibilitar que as superfcies criem imagens vlidas de na maioria dos

    casos, os pedestres refletores so orientados de acordo com uma base ortonormal

    definida pelos vetores e , obtidos por

    | | (

    | |

    | |)

    (3.89)

    (3.90)

    (3.91)

    A partir destes vetores, a face refletora do pedestre , ento, definida por suas

    arestas dadas por

    0

    1

    2

    -0.500.511.522.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    0

    1

    2

    -0.500.51

    1.522.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

  • 80

    (3.92)

    e

    (3.93)

    onde e so, respectivamente, a largura e a altura do pedestre (definidas na

    seco 3.2) e o ponto de origem definido como

    (3.94)

    onde a extremidade inferior do eixo central do pedestre e uma

    varivel auxiliar, dada de acordo com o formato do pedestres como

    {

    (3.95)

    3.3.6. Categoria F Pedestre refletor cilndrico

    Desenvolvidos a partir dos mesmos pedestres cilndricos utilizados na categoria

    D (seo 3.3.4), os modelos desta categoria so para verificar a influncia dos raios

    refletidos pelos pedestres, mas principalmente, o objetivo de facilitar o

    desenvolvimento dos algoritmos da categoria G (seo 3.3.7), atravs da incluso os

    efeitos dos raios difratados (categoria D), aos efeitos dos raios refletidos.

    Por este motivo, sua formulao segue exatamente a formulao da categoria

    anterior, excluindo o raio interceptado por um pedestre e acrescentando novos raios

    que, refletidos nos demais pedestres do ambiente, so os responsveis pela

    formao do campo no receptor, conforme mostra o exemplo da Figura 26.

  • 81

    Figura 26. Projeo do modelo de reflexo em pedestres cilndricos

    A diferena entre as formulaes, entretanto, encontra-se no fato de que o

    cilindro, por ser um objeto simtrico, no depende de ser orientado para gerar

    imagens vlidas, mas, em contrapartida, por apresentar caractersticas no lineares,

    requer um procedimento mais complexo para localizao do ponto de reflexo e,

    consequentemente, para a definio dos raios refletidos.

    Este procedimento consiste em determinar, atravs do mtodo apresentado por

    Glaeser (110), a projeo do ponto de reflexo no cilindro, , no plano do cho

    , para depois encontrar, de modo linear, sua coordenada , como

    ( )

    | |

    (3.96)

    onde e so as coordenadas dos pontos e , respectivamente; e

    so as trajetrias do raio incidente e refletido no pedestre, projetados, tambm, no

    plano do cho.

    O mtodo apresentado por Glaeser, aqui resumido, tem como base as razes

    do polinmio algbrico de quarta ordem,

    (3.97)

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

  • 82

    de coeficientes dados por

    {

    4

    (3.98)

    onde

    {

    (3.99)

    o dimetro do cilindro e [ , , [ , ] e [ , ] so, respectivamente,

    as coordenadas do ponto , e , apresentados na Figura 27.

    Figura 27. Geometria de reflexo no cilindro projetada no plano

    A partir das razes ( do polinmio, quatro solues dadas por

    {

    (3.100)

    [

    ]

    [

    ]

    [

    ]

    [

    ]

  • 83

    so obtidas como possveis coordenadas do ponto .

    Dentre estas solues, apenas uma atende a condio dada pela lei da tica

    geomtrica, de que o ngulo de incidncia, , deve ser igual ao ngulo de reflexo,

    . E este o ponto, que atente a condio, o ponto definido como .

    Entretanto, importante ressaltar que estas equaes consideram que o centro

    do cilindro encontra-se na origem do plano cartesiano e que,

    consequentemente, a coordenada do receptor nula. Desse modo, necessrio

    que o cilindro seja rotacionado sobre seu eixo central e, em alguns casos, espelhado

    em relao ao vetor , antes de encontrar as razes do polinmio apresentado

    na equao (3.97). A Figura 28 mostra alguns exemplos.

    A partir desta determinao, para cada um dos pedestres envolvidos na

    simulao, as funes trajetria e, consequentemente, as funes de amplitude,

    fase e polarizao so, ento, encontradas para cada um dos raios refletidos, de

    modo a possibilitar que o campo recebido seja, finalmente, obtido pela soma vetorial

    destes novos raios refletidos, como

    (3.101)

    onde a quantidade de pedestres no ambiente e o campo atribudo a

    cada um dos raios aps a reflexo no pedestres, conforme apresentado na equao

    (3.50).

  • 84

    Figura 28. Rotao do cilindro para a determinao do ponto de reflexo. A primeira figura apresenta a condio do cilindro j rotacionado. As demais figuras, apresentam

    diversas situaes de posio relativa entre o cilindro, transmissor e receptor. Todas estas situaes so convertidas para a primeira para que o ponto de reflexo seja encontrado.

    -1 0 1 2 3 4 5 6

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

    0

    0.5

    1

    0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

    1

    1.5

    2

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

    0

    0.5

    1

    0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

    0

    0.5

    1

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

    0

    0.5

    1

    -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

    1

    1.5

    2

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

    0

    0.5

    1

    -1 0 1 2 3 4 5 6

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

    0

    0.5

    1

    -1 0 1 2 3 4 5 6

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

    0

    0.5

    1

    -1 0 1 2 3 4 5 6

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

    0

    0.5

    1

    -3 -2 -1 0 1 2 3 4

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

    0

    0.5

    1

    -3 -2 -1 0 1 2 3 4

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

    0

    0.5

    1

    -3 -2 -1 0 1 2 3 4

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

    0

    0.5

    1

    -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6-2

    -1

    0

    1

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

    0

    0.5

    1

    -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7-2

    -1

    0

    1

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

    0

    0.5

    1

    -1 0 1 2 3 4 5 6

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

    0

    0.5

    1

  • 85

    3.3.7. Categoria G Pedestre Difrator e Refletor.

    Esta ltima categoria contm os modelos mais completos apresentados neste

    trabalho, (73) (74) (75) (92).

    Diferentemente das demais, eles tm como objetivo analisar, de modo

    concomitante, os efeitos de raios difratados e refletidos em pedestres, na formao

    do campo no receptor.

    Para isso, as funes de amplitude, fase e polarizao que definem o campo

    associado a cada um dos raios nos modelos anteriores, so somadas vetorialmente,

    de modo que um novo campo associado a cada raio seja dado por

    {

    (3.102)

    onde e so os campos vetoriais associados aos raios, obtidos,

    respectivamente, atravs dos modelos da categoria C (seo 3.3.3), D (seo 3.3.4),

    E (seo 3.3.5) e F (seo 3.3.6).

  • 86

    Captulo 04 - Anlise dos Modelos

    Uma vez apresentados os modelos e seus respectivos mtodos de

    implementao, os algoritmos desenvolvidos foram executados a fim de obter dados

    que permitissem sua validao e anlise.

    Embora a validao dos algoritmos, na qual um grande esforo foi despendido,

    no esteja detalhada neste trabalho, ela pode ser facilmente verificada a partir das

    etapas de anlise, apresentadas nos item subsequentes.

    Estas etapas compreendem desde uma comparao com dados empricos at

    a anlise de resultados de simulaes realizadas em diversos ambientes e com

    diferentes trajetrias e fluxos de pedestres.

    4.1. Comparao com dados empricos

    A primeira etapa de anlise consiste na comparao dos dados simulados com

    dados empricos.

    Estes dados, extrados de (61) e apresentados na Figura 29, foram obtidos

    atravs da transmisso de um sinal em 4 , enquanto um nico pedestre

    percorria seis trajetrias de dois modos: caminhando de frente e caminhando de

    lado.

    Dentre estas trajetrias, trs eram paralelas linha de visada direta e

    posicionadas distantes dela em , e , enquanto as outras trs eram

    perpendiculares LOS e posicionadas, distante do ponto mdio e em direo ao

    transmissor, em , e 4 .

  • 87

    Figura 29. Dados empricos obtidos extrados de (61)

    O eixo das abcissas representa a posio do pedestre na trajetria, onde a origem representa seu ponto mdio, e o eixo das ordenadas representa, em , a variao do nvel do sinal recebido em

    relao ao nvel do sinal esperado, para o ambiente sem pedestre.

    A anlise desses dados mostra que tanto a posio das trajetrias, quanto os

    diferentes modos de caminhar do pedestre, podem causar efeitos instantneos

    distintos, porm estatisticamente similares, no comportamento do nvel do sinal

    recebido.

    Esta semelhana estatstica permite que o comportamento do sinal possa ser

    analisado a partir da definio de certos limites, obtidos a partir dos dados empricos,

    dentro dos quais os dados simulados devem se encaixar.

    Para as trajetrias paralelas, estes limites so definidos por

    {

    (4.1)

    onde o nvel de flutuao do sinal a cada trajetria, definido como metade da

    diferena entre os valores mximo e mnimo do sinal recebido, mdia destes

    valores e , o desvio padro. Com isso, o que se deseja que assim como os

    -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

    -20

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    10

    Posio Pedestre (m)

    Ate

    nuao (

    dB

    )

    Trajetrias Perpendiculares

    frente 0m

    frente 0.2m

    frente 0.4m

    lado 0m

    lado 0.2m

    lado 0.4m

    -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

    -12

    -10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    4

    Posio Pedestre (m)

    Ate

    nuao (

    dB

    )

    Trajetrias Paralelas

    frente 1.6m

    frente 1.2m

    frente 0.8m

    lado 1.6m

    lado 1.2m

    lado 0.8m

  • 88

    valores empricos, os valores simulados tambm oscilem com flutuaes prximas a

    esses limites.

    J para as trajetrias perpendiculares, os limites so definidos atravs dos

    valores mximos e mnimos de atenuao causada pelo pedestre, quando este

    intercepta a linha de visada direta, e do perodo de sombra, definido como o

    intervalo em que o nvel do sinal recebido permanece inferior ao nvel mnimo

    definido pelos limites de flutuao, .

    Estes limites so apresentados na Tabela 2, juntamente com os dados obtidos

    em cada uma das trajetrias e modos de caminhar do pedestre.

    Tabela 2. Valores de parmetros empricos.

    Trajetria Posio Modo

    Caminhar

    Atenuao

    Mxima

    ( )

    Sombra

    ( ) Flutuaes

    ( )

    Perpen-

    dicular

    Frente 16 0,55 --

    Lado 21 0,40 --

    Frente 15 0,55 --

    Lado 11 0,45 --

    4 Frente 7 0,60 --

    Lado 13 0,50 --

    Paralela

    Frente -- -- 1,2 Lado -- -- 1,7

    Frente -- -- 2,0 Lado -- -- 1,8

    Frente -- -- 1,7 Lado -- -- 3,0

    Limite Mximo 7 0,40 2,5 Limite Mnimo 21 0,60 1,3

    Mdia 12,3 0,50 1,9

    Segundo os autores, o ambiente utilizado para a realizao destas medidas era

    amplo e livre de moblia, onde a transmisso e recepo do sinal foram feitas por

    antenas do tipo corneta, posicionadas a pelo menos dois metros uma da outra, com

    linha de visada direta entre elas.

  • 89

    Esta descrio, no muito rica do ambiente, leva a hiptese de que devido ao

    uso de antenas diretivas, os possveis componentes refletidos nas paredes no

    tenham provocado efeitos significativos na composio do sinal recebido, de modo

    que se possa considerar que os dados obtidos sejam referentes, somente,

    influncia do pedestre no raio direto.

    Alm disso, o posicionamento das antenas a uma altura de do solo (o

    que corresponde a menos da metade da altura dos pedestres) faz com que, de

    acordo com o apresentado por (99), o problema possa ser tratado de maneira

    bidimensional.

    Assim, para esta comparao, optou-se por simular um ambiente infinito, sem

    reflexo ou difrao em suas estruturas, onde as antenas foram posicionadas a

    aproximadamente 4 uma da outra e os pedestres percorreram as mesmas seis

    trajetrias definidas para a obteno dos dados empricos: trs paralelas linha de

    visada direta e posicionadas, distantes dela, a , e , e trs

    perpendiculares LOS e posicionadas distantes do ponto mdio e em direo ao

    transmissor, em , e 4 .

    As curvas tpicas, obtidas atravs das simulaes deste ambiente por cada um

    dos modelos de pedestres, so apresentadas pela Figura 30 juntamente aos

    limites mximos e mnimos, referentes aos dados empricos.

    De onde, de um modo geral, uma boa concordncia entre os dados empricos e

    simulados pode ser verificada, sendo que apenas algumas no conformidades so

    observadas.

    Essas no conformidades so encontradas, principalmente, nos modelos em

    que a perda devido obstruo do pedestre tende a infinito e em alguns modelos

  • 90

    refletores, onde as flutuaes de nvel do sinal esto, visivelmente, fora dos limites

    apresentados pelos dados empricos.

    Perpendicular Paralela

    Cate

    goria

    A

    Mode

    lo 0

    1

    Cate

    goria

    B

    Mod

    elo

    02

    Cate

    goria

    C

    Mode

    lo 0

    3

    Cate

    goria

    C

    Mode

    lo 0

    4

    Cate

    goria

    C

    Mode

    lo 0

    5

    Cate

    goria

    C

    Mode

    lo 0

    6

    Cate

    goria

    C

    Mode

    lo 0

    7

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

  • 91

    Cate

    goria

    C

    Mode

    lo 0

    8

    Cate

    goria

    D

    Mode

    lo 0

    9

    Cate

    goria

    D

    Mode

    lo 1

    0

    Cate

    goria

    D

    Mode

    lo 1

    1

    Cate

    goria

    E

    Mode

    lo 1

    2

    Cate

    goria

    E

    Mode

    lo 1

    3

    Cate

    goria

    E

    Mode

    lo 1

    4

    Cate

    goria

    E

    Mode

    lo 1

    5

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

  • 92

    Cate

    goria

    E

    Mode

    lo 1

    6

    Cate

    goria

    E

    Mode

    lo 1

    7

    Cate

    goria

    F

    Mode

    lo 1

    8

    Cate

    goria

    F

    Mode

    lo 1

    9

    Cate

    goria

    F

    Mode

    lo 2

    0

    Cate

    goria

    G

    Mode

    lo 2

    1

    Cate

    goria

    G

    Mode

    lo 2

    2

    Cate

    goria

    G

    Mode

    lo 2

    3

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

  • 93

    Cate

    goria

    G

    Mode

    lo 2

    4

    Cate

    goria

    G

    Mode

    lo 2

    5

    Cate

    goria

    G

    Mode

    lo 2

    6

    Cate

    goria

    G

    Mode

    lo 2

    7

    Cate

    goria

    G

    Mode

    lo 2

    8

    Cate

    goria

    G

    Mode

    lo 2

    9

    Figura 30. Dados simulados versus dados empricos Nestas figuras, as linhas cheias correspondem ao nvel do sinal obtido em cada um dos modelos

    enquanto as linhas pontilhadas correspondem aos valores mximo e mnimo. O eixo das abcissas apresentado em metros, onde a origem representa o ponto mdio de cada trajetria e o eixo das

    ordenadas apresentado em dB.

    Entretanto, a partir da Tabela 3 que uma avaliao mais precisa destes

    modelos pode ser realizada. Nesta tabela, os valores dos trs parmetros

    (atenuao mxima, sombra e flutuao) obtidos em cada um dos modelos so

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

    -1 -0.5 0 0.5 1

    -30

    -20

    -10

    0

    10

    -1 -0.5 0 0.5 1-20

    -10

    0

  • 94

    apresentados de modo a permitir a comparao com os limites fornecidos pelos

    dados empricos, atravs da Tabela 2.

    Tabela 3. Comparao entre dados empricos e simulados

    Perpendicular Paralela

    Atenuao Mxima

    ( ) Sombra

    Flutuaes sobre a mdia

    ( )

    Limites

    Empricos

    21,0 0,60 2,5

    7,0 0,40 1,3

    Mdia 12,3 0,50 1,9

    Trajetria 0,0m 0,2m 0,4m 0,0m 0,2m 0,4m 0,8m 1,2m 1,6m

    M1 0,50 0,50 0,50 0 0 0 M2 23,0 22,2 22,0 0,16 0,16 0,16 0 0 0

    M3 23,0 22,2 21,5 0,16 0,16 0,16 0 0 0

    M4 23,5 22,7 22,0 0,22 0,30 0,40 0 0 0

    M5 23,3 22,6 22,0 0,19 0,19 0,30 0 0 0

    M6 14,2 14,0 14,0 0,35 0,35 0,35 0 0 0

    M7 14,4 14,4 14,5 0,35 0,35 0,35 0 0 0

    M8 14,4 14,3 14,3 0,35 0,35 0,35 0 0 0

    M9 0,50 0,50 0,50 0 0 0 M10 21,5 20,2 19,3 0,47 0,47 0,47 0 0 0

    M11 21,7 20,4 21,0 0,50 0,47 0,47 0 0 0

    M12 0,50 0,50 0,50 0 0 0 M13 0,50 0,50 0,50 1,80 1,80 3,90 M14 0,50 0,50 0,50 1,75 1,85 3,80 M15 0,50 0,50 0,50 0 0 0 M16 0,50 0,50 0,50 3,10 11,85 1,90 M17 0,50 0,50 0,50 3,10 6,25 1,85 M18 0,50 0,50 0,50 0 0 0 M19 0,50 0,50 0,50 0,25 0,75 0,50 M20 0,50 0,50 0,50 0,23 0,70 0,45 M21 23,0 22,2 21,5 0,16 0,16 0,16 0 0 0

    M22 23,5 22,7 22,0 0,20 0,22 0,22 1,80 1,80 4,00 M23 23,5 22,6 22,9 0,19 0,19 0,40 1,70 1,85 3,80 M24 14,2 14,0 13,8 0,35 0,35 0,35 0 0 0

    M25 14,4 14,4 14,3 0,35 0,35 0,35 3,10 11,85 1,90 M26 14,4 14,3 14,2 0,35 0,35 0,35 3,10 6,25 1,90 M27 0,50 0,50 0,50 0 0 0 M28 21,5 20,2 19,3 0,47 0,47 0,47 0,25 0,75 0,50 M29 21,7 20,4 21,0 0,47 0,47 0,47 0,23 0,70 0,45

    A partir desta tabela, percebe-se que o nvel de flutuao devido reflexo no

    pedestre varia de acordo com a distncia entre a trajetria e a linha de visada direta,

  • 95

    enquanto que nos parmetros de atenuao e sombreamento, estes efeitos j no

    so to perceptveis.

    Iniciando pelos valores de atenuao, verifica-se que os modelos numerados

    de a e de 4 a , que utilizam pedestres paralelepipdicos, e os modelos ,

    , e , que utilizam pedestres cilndricos, so aqueles em que os valores

    simulados se encaixam nos limites empricos.

    Os demais modelos que utilizam pedestres laminares (numerados de a e

    de a ) e apresentam valores distantes do limite inferior em no mximo , e

    aqueles que utilizam pedestres absorventes ( , , e de a ) e apresentam

    valores de atenuao tendendo ao infinito, entretanto, no devem ser

    imediatamente descartados. Isto pois, como discutido a seguir, estes valores de

    atenuao no esto distantes dos limites estabelecidos.

    Como visto no Captulo 03 o nmero mximo de reflexes nas paredes do

    ambiente ( ) foi definido como a quantidade mnima de reflexes capaz de gerar

    perdas suficientemente grandes, a ponto de fazer com que a amplitude do campo

    eltrico, associado ao raio refletido, decasse para pelo menos um dcimo (ou

    do valor de referncia . Isso significa que para o algoritmo deste trabalho,

    qualquer perda superior a pode ser considerada uma atenuao total do raio,

    de modo que o limite de atenuao ( e todas as atenuaes maiores que

    estas tenham efeitos similares s atenuaes que tendem ao infinito.

    Assim, todos os modelos deste trabalho podem ser interpretados como se

    estivessem dentro dos limites definidos pelos dados empricos, de modo que para

    anlises com a preciso igual adotada por este trabalho, todos os modelos

    apresentem valores satisfatrios em termos de atenuao mxima.

  • 96

    Em relao ao sombreamento, entretanto, apenas os modelos em que o

    pedestre representado pela forma cilndrica (de a e de a e, tambm,

    aqueles em que os coeficientes de difrao so desprezados, fazendo com que a

    perda mxima tenda ao infinito ( e de a ), apresentaram resultados dentro

    dos limites estabelecidos. Os demais modelos, diferentemente, apresentaram

    dimenses de sombras bem inferiores, chegando a at para os pedestres

    laminares.

    Porm, assim como sugerido por (73), neste trabalho, o efeito da difrao

    levado em considerao somente quando o pedestre est obstruindo o raio, fazendo

    com que o receptor esteja na regio de sombreamento profundo. Este mecanismo

    de otimizao do algoritmo, entretanto, quando utilizado em pedestres com arestas,

    faz com que, mesmo utilizando o UTD, algumas mudanas abruptas de nvel do

    sinal sejam observadas.

    Acredita-se, embora este teste no tenha sido realizado, que se a difrao

    fosse considerada enquanto o pedestre se aproxima ou se afasta do raio, antes e

    depois de intercept-lo, estas mudanas abruptas poderiam ser suavizadas, de

    modo a alargar a regio sombreada pelo pedestre.

    Porm, com a forma atual de implementao desses modelos, conclui-se que

    para a anlise do efeito de sombreamento causado pelo pedestre, os modelos de

    pedestres absorventes, independente do formato, e, tambm, os modelos cilndricos,

    independente de serem constitudos de materiais condutores ou dieltricos, so

    aqueles que apresentam melhor concordncia com os dados experimentais.

    Em relao s flutuaes sobre o nvel do sinal, geradas devido reflexo dos

    raios nos pedestres, pode-se perceber uma grande variao entre os valores obtidos

    a partir dos diversos modelos. Verifica-se que nos modelos em que as reflexes no

  • 97

    so consideradas e, tambm, naqueles onde os pedestres so constitudos de

    materiais absorventes, as flutuaes sobre o nvel mdio, como era de se esperar,

    no esto presentes.

    Diferentemente, elas esto em todos os demais modelos, sendo seus efeitos

    inferiores, porm prximos aos limites (menos de de diferena em mdia), nos

    modelos que utilizam pedestres cilndricos ( e .

    Os modelos que utilizam pedestres laminares e paralelepipdicos, entretanto,

    apresentam valores que, dependendo da trajetria, geram sinais com oscilaes que

    podem ser muito altas, chegando a 4 e , repectivamente, muito fora,

    portanto, das mximas oscilaes observadas nos dados empricos.

    J os modelos cilndricos tendem a apresentar nveis de flutuao, sempre

    limitados, uma vez que suas faces arredondadas geram um maior espalhamento do

    raio refletido. Desse modo, mesmo apresentando valores de flutuao ligeiramente

    inferiores aos estabelecidos empiricamente, estes modelos so os mais indicados, ,

    tambm para este caso.

    4.2. Comparao entre Modelos.

    A segunda etapa da anlise dos modelos consiste na comparao entre os

    parmetros de caracterizao do canal, apresentados na seo 2.4, obtidos em

    diversos tipos de situao.

    Como resultado, aps 20 dias ininterruptos de processamento paralelo em um

    computador pessoal, equipado com processador Intel core e de

    memria, um total de arquivos foi gerado, totalizando, aproximadamente,

    de dados simulados.

  • 98

    Estes arquivos correspondem aos conjuntos de dados obtidos em cada uma

    das possveis combinaes entre os modelos e as situaes que

    compreendem diferentes fluxos de pedestres e configuraes de ambientes.

    Asconfiguraes de ambiente, apresentadas pela Figura 31, foram escolhidas de

    modo a apresentar um grau de complexidade crescente, possuindo de zero a sete

    obstculos e podendo ser representados de maneira bi ou tridimensional.

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    h)

    i)

    Figura 31. Ambientes Simulados As coordenadas que indicam o tamanho do ambiente esto em metros, e as paredes so

    representadas por linhas mais grossas.

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

    RX .

    TX

    RX .

    TX

    RX .

    TX

    RX .

    TX

    RX .

    TX

    RX .

    TX

    RX .

    TX

    RX .

    TX

    RX .

    TX

  • 99

    A representao bidimensional consistiu em simular o p direito do ambiente,

    os filamentos utilizados como antenas transmissora e receptora, e a altura dos

    pedestres envolvidos na simulao como se fossem infinitos. J a representao

    tridimensional atribuiu dimenses finitas a todos estes itens, de modo que as

    antenas foram simuladas como dipolos curtos (verticalmente polarizados e com

    haste de sustentao medindo de altura em relao ao solo), o p direito do

    ambiente foi, arbitrariamente, considerado igual a e a altura dos pedestres foi

    escolhida, conforme seo 3.3, igual a .

    Em todas as configuraes, a parte transmissora foi mantida em um nico

    ponto fixo e a parte receptora foi posicionada em 628 pontos9, igualmente

    espaados, formando uma circunferncia de raio igual a comprimento de onda (

    do sinal de frequncia 4 , igual aos dados empricos.

    Em relao ao fluxo de pedestres, situaes foram simuladas. Dentre estas

    situaes, uma considerou o ambiente sem a presena de pedestres (ambiente

    determinstico), seis consideraram a presena de um ou dois pedestres caminhando

    em trajetrias pr-definidas (apresentadas pela Figura 32) e a ltima considerou a

    presena de cinco pedestres caminhando em trajetrias retilneas, definidas por

    pares de pontos, cujas coordenadas foram descritas como variveis aleatrias,

    uniformemente distribudas em toda a rea til do ambiente.

    A fim de simular a variao dos canais no tempo, as trajetrias dos pedestres

    foram divididas em segmentos, onde o valor de foi definido como resultado da

    diviso do comprimento da trajetria mais extensa por um quarto do comprimento de

    onda da frequncia do sinal transmitido. Desse modo, cada um dos arquivos de

    9 Estes pontos foram escolhidos de acordo com (27), de modo que fosse possvel amostrar corretamente as

    interferncias construtivas e destrutivas.

  • 100

    dados foi formado a partir de execues do mesmo algoritmo, realizadas com o

    propsito de obter as respostas impulsivas do canal, os nveis mdios do sinal

    recebido em cada instante de tempo e, consequentemente, os parmetros que

    caracterizam a propagao em cada uma das situaes.

    a) 1 pedestre

    b) 1 pedestre

    c) 1 pedestre

    d) 2 pedestres

    e) 2 pedestres

    f) 2 pedestres

    Figura 32. Trajetrias de Pedestres

    Nesta figura, as escalas esto em metros, a circunferncia indica as posies do receptor e o tringulo indica a posio do transmissor. As setas indicam as trajetrias dos pedestres.

    4.2.1. Anlise dos ambientes determinsticos.

    Esta anlise tem como objetivo a obteno de dados do comportamento do

    sinal propagado nestes ambientes, de modo a auxiliar a anlise da influncia dos

    pedestres. Assim, os dados relativos ao ambiente determinstico so apresentados

    na Figura 33 e na Figura 34, tal que a primeira apresenta a variao do nvel do sinal

    recebido em funo da posio do receptor e a segunda apresenta os perfis de

    atraso de potncia, normalizados em , para o receptor mais prximo do

    transmissor.

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

    0 2 4 6 8 10

    0

    2

    4

    6

  • 101

    Con

    fig

    ura

    o 2

    D

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    h)

    i)

    Con

    fig

    ura

    o 3

    D

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    h)

    i)

    Figura 33. Variao do nvel da amplitude do sinal recebido em termos da posio do receptor. A linha horizontal representa o valor mdio ( e a linha com mdia senoidal representa o valor do campo recebido em relao ao campo de referncia . O eixo das abcissas apresenta a numerao atribuda a cada receptor posicionado na circunferncia. Est numerao crescente no sentido anti-

    horrio, tal que o receptor de nmero 1 corresponde a posio em

    0 200 400 600

    0.46

    0.48

    0.5

    0.52

    0.54

    a)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 6000.9

    1

    1.1b)

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.4

    0.5

    0.6

    d)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    -0.2

    0

    0.2

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -0.4 -0.2 0 0.2 0.40

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 600

    0.48

    0.5

    0.52

    0.54

    0.56

    a)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 6000.9

    1

    1.1

    b)

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.4

    0.5

    0.6

    d)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -0.4 -0.2 0 0.2 0.40

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 600

    0.46

    0.48

    0.5

    0.52

    0.54

    a)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    0.9

    1

    1.1

    b)

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.4

    0.5

    0.6

    d)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    -0.4

    -0.2

    0

    0.2

    0.4

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -0.4 -0.2 0 0.2 0.40

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 6000.34

    0.36

    0.38

    0.4

    a)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 6000.9

    1

    1.1

    b)

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.3

    0.4

    0.5

    d)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    -0.2

    0

    0.2

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -0.4 -0.2 0 0.2 0.40

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 6000.460.480.5

    0.520.540.560.58

    a)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    0.9

    1

    1.1

    b)

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.4

    0.5

    0.6

    d)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    -0.5

    0

    0.5

    e)

    Percurso PedestreLS

    F

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 600

    0.460.480.5

    0.520.540.560.58

    a)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    0.9

    1

    1.1

    b)

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.4

    0.5

    0.6

    d)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    -0.5

    0

    0.5

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSFC

    DF

    0 200 400 600

    0.34

    0.36

    0.38

    0.4

    0.42

    a)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    0.9

    1

    1.1

    b)

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.3

    0.4

    0.5

    d)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    -0.5

    0

    0.5

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 6000.45

    0.5

    0.55

    a)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    0.9

    1

    1.1

    b)

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.4

    0.5

    0.6

    d)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    -0.5

    0

    0.5

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F0 200 400 600

    0.320.340.360.380.4

    0.420.44

    a)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    0.8

    1

    1.2

    b)

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.3

    0.4

    0.5

    d)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -2 -1 0 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 600

    0.22

    0.24

    0.26

    0.28

    0.3

    a)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 6000.9

    1

    1.1

    b)

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    0.35

    d)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    -0.5

    0

    0.5

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 600

    0.22

    0.24

    0.26

    0.28

    0.3

    a)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 6000.9

    1

    1.1

    b)

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.2

    0.3

    0.4

    d)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    -0.5

    0

    0.5

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 600

    0.22

    0.24

    0.26

    0.28

    0.3

    a)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    0.9

    1

    1.1

    b)

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.15

    0.2

    0.25

    0.3

    0.35

    d)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 600

    -0.5

    0

    0.5

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 600

    0.16

    0.18

    0.2

    0.22

    a)

    Percurso Pedestre

    (Vre

    c/V

    trans)

    0 200 400 6000.9

    1

    1.1

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.1

    0.2

    0.3

    d)

    Percurso Pedestre

    0 200 400 600

    -0.5

    0

    0.5

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 600

    0.22

    0.24

    0.26

    0.28

    0.3

    a)

    Percurso Pedestre

    0 200 400 600

    0.9

    1

    1.1

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.2

    0.3

    0.4

    d)

    Percurso Pedestre

    0 200 400 600

    -0.5

    0

    0.5

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 600

    0.22

    0.24

    0.26

    0.28

    0.3

    Percurso Pedestre

    0 200 400 600

    0.9

    1

    1.1

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.2

    0.3

    0.4

    d)

    Percurso Pedestre

    0 200 400 600

    -0.5

    0

    0.5

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 600

    0.16

    0.18

    0.2

    0.22

    a)

    Percurso Pedestre

    0 200 400 600

    0.9

    1

    1.1

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.1

    0.2

    0.3

    d)

    Percurso Pedestre

    0 200 400 600

    -0.5

    0

    0.5

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 600

    0.22

    0.24

    0.26

    0.28

    0.3

    a)

    Percurso Pedestre

    0 200 400 600

    0.9

    1

    1.1

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.2

    0.3

    0.4

    d)

    Percurso Pedestre

    0 200 400 600

    -0.5

    0

    0.5

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

    0 200 400 600

    0.16

    0.18

    0.2

    0.22

    a)

    Percurso Pedestre

    0 200 400 600

    0.9

    1

    1.1

    Percurso Pedestre

    SS

    F

    0.5 1 1.5 2 2.50

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4c)

    SSF

    CD

    F R

    ice

    0 200 400 600

    0.1

    0.2

    0.3

    d)

    Percurso Pedestre

    0 200 400 600-1

    -0.5

    0

    0.5

    e)

    Percurso Pedestre

    LS

    F

    -1 -0.5 0 0.5 10

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1

    1.2

    1.4e)

    LSF

    CD

    F

  • 102

    Con

    fig

    ura

    o 2

    D

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    h)

    i)

    Con

    fig

    ura

    o 3

    D

    a)

    b)

    c)

    d)

    e)

    f)

    g)

    h)

    i)

    Figura 34. Perfis de atraso de potncia normalizados. O eixo das ordenadas apresenta a potncia normalizada pela potncia total do sinal recebido,

    enquanto o eixo das abcissas apresenta o instante de chegada (normalizado por ) de cada componente de multipercurso.

    Iniciando pelo ambiente , o mais simples, verifica-se que, conforme era

    esperado, o sinal composto por apenas um componente, na representao

    bidimensional, e dois, na representao tridimensional.

    Alm disso, ele apresenta uma variao de nvel relacionada, principalmente,

    perda de espao livre, de modo a apresentar, assim como nos demais ambientes,

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

    0 5 10

    x 10-8

    0

    0.5

    1

  • 103

    um nvel maior quando o receptor est posicionado nos pontos mais prximos do

    transmissor.

    Para ambientes , e , que apresentam uma s parede posicionada em

    lugares distintos, verificam-se diferentes formas de interao entre o ambiente e o

    sinal transmitido. Nestes ambientes, quando representados de maneira

    bidimensional, verifica-se a existncia de somente dois componentes de

    multipercursos, do quais um o componente direto e o outro resultado da

    interao com o ambiente.

    No ambiente , por exemplo, este componente resultado da reflexo em uma

    parede posicionada atrs do transmissor, a uma distncia tal que faz com ele esteja

    praticamente em fase com o sinal direto. Por esse motivo verifica-se que o nvel do

    sinal em cada um dos receptores resultado de uma interferncia construtiva, que

    tem como consequncia o aumento do nvel mdio do sinal recebido.

    No ambiente , o segundo componente tambm resultado de uma reflexo na

    parede. Entretanto, esta parede est paralela linha de visada direta, fazendo com

    que o sinal recebido em cada um dos receptores seja resultado de interferncias

    destrutivas e construtivas alternadas, que causam flutuaes no nvel do sinal, sem

    que sua mdia seja alterada.

    J no ambiente , diferentemente dos ambientes anteriores, a parede est

    obstruindo a linha de visada direta, o que faz com que o segundo componente seja

    resultado, no da reflexo, mas sim da difrao em uma das arestas desta parede.

    Neste ambiente, percebe-se que o nvel mdio de sinal significativamente menor

    que o nvel mdio observado nos ambientes anteriores, e isto se deve a que, ao ser

    transmitido atravs do obstculo, o campo eltrico relacionado ao raio direto sofre

    uma perda de refrao adicional perda de espao livre.

  • 104

    Esta mesma perda pode ser observada nos ambientes e , mostrando que,

    assim como era esperado, o nvel mdio determinado, principalmente, pelo raio de

    menor percurso entre TX e RX, seja ele direto ou refratado.

    Tambm, conforme o esperado, estes mesmos ambientes ( , e ), quando

    analisados de modo tridimensional, apresentam pelo menos mais um componente

    de multipercurso, resultado de uma ou mltiplas reflexes no teto e paredes.

    As reflexes mltiplas, especificamente, ocorrem tambm nos demais

    ambientes ( , , , e ), no s no caso tridimensional, mas tambm no caso

    bidimensional, uma vez que estes ambientes apresentam mais de uma parede. Isto

    explica a maior quantidade de componentes de multipercurso apresentadas pelos

    perfis de atraso de potncia destes ambientes e, consequentemente, o maior

    espalhamento da potncia do sinal no tempo.

    Alm disso, verifica-se que com o aumento da complexidade do ambiente, a

    quantidade de componentes de multipercurso tambm aumenta e,

    consequentemente, as flutuaes observadas no nvel dos sinais. Estas flutuaes

    poderiam ser resultado tanto de desvanecimentos em pequena, quanto em grande

    escala.

    Entretanto, conforme pode ser visto na Figura 31 todos os pontos da

    circunferncia, definidos para o posicionamento do RX, esto sob as mesmas

    condies de sombreamento, de modo que os efeitos do desvanecimento em

    grande escala praticamente no existam nestes ambientes.

    Com base nestas afirmaes, pode-se dizer que estas flutuaes so

    resultantes apenas das interferncias entre componentes de multipercurso, ou seja,

    de desvanecimentos em pequena escala.

  • 105

    Nota-se que quanto menor o fator de Rice, que indica a influncia do sinal

    direto na composio total do sinal, menor a parcela de energia atribuda ao

    componente direto e, consequentemente, maior o espalhamento do sinal no

    tempo. Este ltimo, claramente, maior no ambiente bidimensional.

    A justificativa para este comportamento a representao bidimensional utiliza

    uma frente de onda cilndrica, enquanto a representao tridimensional utiliza a

    frente de onda esfrica. Isso faz com que os componentes da representao

    tridimensional apresentem uma perda exponencialmente maior, de modo que seus

    campos decaiam mais rapidamente e a concentrao maior de energia esteja nos

    componentes com menor quantidade de reflexes. E este mesmo motivo (onda

    esfrica versus onda cilndrica) que faz com que a mdia do sinal, assim como a

    quantidade de componentes de multipercurso que atingem o receptor, seja maior

    nos ambientes bidimensionais.

    Todas estas afirmaes podem ser verificadas atravs dos parmetros de

    propagao, obtidos para cada um dos ambientes, e apresentados na prxima

    seo de modo a auxiliar na anlise dos modelos de pedestres.

    4.2.2. Anlise dos modelos de pedestres

    A anlise dos modelos foi realizada atravs da comparao entre os

    parmetros de propagao obtidos para os ambientes determinsticos e os

    parmetros obtidos quando estes esto sujeitos ao trfego de pedestres. Para isso,

    a simulao para a aquisio dos parmetros foi realizada uma vez para cada

    modelo, de modo a permitir a anlise da influncia dos pedestres.

  • 106

    Para cada uma das posies dos pedestres na trajetria, o algoritmo obteve os

    parmetros de caracterizao instantneos do canal, e os apresentou atravs de

    sua mdia ao final do processamento. A apresentao destas mdias foi feita

    atravs da atribuio de cores a cada faixa de valores, que por meio de pixels,

    configuraram imagens do tipo tabela, apresentadas nos moldes da Figura 35.

    Nestas figuras, os nmeros de a , dispostos horizontalmente, indicam os

    modelos de pedestres (Tabela 1), enquanto as letras de a , dispostas

    verticalmente, indicam os ambientes de anlise. A letra apresentada no extremo

    esquerdo da tabela corresponde aos valores dos parmetros obtidos para o

    ambiente determinstico, comentado na seo anterior.

    Entre duas letras consecutivas, sete linhas de pixels so apresentadas. Cada

    uma corresponde a uma condio de fluxo e trajetria de pedestres (apresentadas

    na Figura 32): onde as trs primeiras so referentes presena de um nico

    pedestre, as trs seguintes so referentes presena de dois pedestres e a ltima

    referente presena de cinco pedestres.

    Assim, o que se espera que os modelos apresentem valores similares para

    cada combinao de ambiente e trajetria e, de preferncia, prximos aos valores

    obtidos para os modelos cilndricos, uma vez que foram aqueles que apresentaram a

    melhor concordncia com os dados empricos.

    Iniciando pela anlise do nvel mdio do sinal (Figura 35), verifica-se que a

    presena do pedestre influencia o nvel mdio do sinal recebido. Esta variao pode

    ser em maior ou menor escala e se deve, principalmente, ao bloqueio de alguns dos

    componentes de multipercurso pelo pedestre, que faz com que o sinal recebido seja

    resultado de uma nova combinao de raios, que se somam vetorialmente. Estes

  • 107

    componentes resultantes podem, ento, interagir de maneira construtiva ou

    destrutiva, aumentando ou diminuindo o nvel mdio do sinal recebido.

    Analisando cada ambiente individualmente percebe-se que, na maioria dos

    casos, o nvel mdio do sinal menor nas trajetrias (linha ), (linha ) e (linha

    ), onde, a linha de visada direta bloqueada pelo pedestre, e, tambm, em alguns

    modelos na trajetria (linha ), onde a presena de cinco pedestres andando

    aleatoriamente pode gerar obstrues, mais ou menos duradouras. A exceo se d,

    entretanto, nas colunas , 4, , , , , e , que representam modelos de

    pedestres com superfcies planas. Nestes modelos, a reflexo no pedestre (junto ou

    no com a difrao) exerce grande influncia na composio do campo final

    recebido, fazendo com que o nvel mdio do sinal aumente consideravelmente.

    A anlise dos demais modelos, entretanto, mostra um comportamento

    diferente, porm de acordo com o esperado. Neles, o nvel mdio do sinal no

    apresenta grandes variaes em relao aos valores obtidos para o ambiente

    determinstico, alm de apresentar, sempre, valores menores para as trajetrias em

    que h a obstruo da linha de visada direta.

    Comparando-os atravs dos valores referentes s mesmas trajetrias e

    ambientes verifica-se que, de modo geral, quando se exclui os modelos refletores de

    faces planas, todos os outros modelos apresentam valores relativamente prximos

    um dos outros, diferenciando-se em apenas alguns poucos s para ambientes

    mais simples e chegando a at, no mximo, nos ambientes mais complexos

    com maior quantidade de pedestres.

    Esta diferena, entretanto, consideravelmente menor nos ambientes

    tridimensionais, chegando a no mximo no ambiente mais complexo ( quando

    este est sujeito ao trfego aleatrio de cinco pedestres (linha .

  • 108

    a)

    b)

    Figura 35. Variao do nvel mdio do sinal recebido devido presena de pedestres no

    ambiente.

    Modelos

    Con

    figur

    ae

    s de

    Am

    bien

    te 2

    D

    O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    I

    -15

    -10

    -5

    0

    5

    10

    15

    Modelos

    Con

    figur

    ae

    s de

    Am

    bien

    te 3

    D

    O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    I

    -15

    -10

    -5

    0

    5

  • 109

    Desse modo, uma vez que a principal diferena entre a representao bi e

    tridimensional (alm da presena do teto) o formato da frente de onda (esfrica ou

    cilndrica) e, consequentemente, a perda de propagao entre TX e RX, acredita-se

    que em ambientes onde as antenas sejam posicionadas com mais distncia uma de

    outra, aumentando a perda de propagao entre elas, esta diferena tenda a

    diminuir ainda mais.

    Assim, uma vez que no foram realizadas simulaes para esta nova situao

    de distanciamento entre as antenas, conclui-se, ento que para a determinao do

    nvel mdio do sinal devido presena de pedestre nos ambientes, o modelo de

    pedestre mais adequado o cilndrico, seja ele condutor ou dieltrico, desde que

    sejam considerados os efeitos da reflexo em sua lateral.

    Em relao ao desvio padro relacionado ao desvanecimento em larga escala,

    (Figura 36), verifica-se que a existncia de um nico pedestre que cruza a linha de

    visada direta, j causa variaes no valor deste parmetro.

    Por outro lado, verifica-se, tambm, que pedestres que no interceptam

    nenhum dos raios presentes no ambiente, simplesmente no interferem no valor

    obtido para o ambiente determinstico.

    Alm disso, de um modo geral, o que se observa que, de acordo com o

    esperado, o desvio padro tende a ser maior com a complexidade do ambiente e,

    naturalmente, ainda maior com aumento da quantidade de pedestres neste

    ambiente.

    Entretanto, mesmo estando em acordo com o esperado, pode-se observar que

    os valores de desvio padro apresentaram resultados diferentes (superiores a )

    para modelos distintos, nas mesmas condies de simulao.

  • 110

    a)

    b)

    Figura 36. Variao do desvio padro do desvanecimento lognormal devido presena de

    pedestres no ambiente.

    Modelos

    Con

    figur

    ae

    s de

    Am

    bien

    te 2

    D

    O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    I0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    Modelos

    Con

    figur

    ae

    s de

    Am

    bien

    te 3

    D

    O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    I

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

  • 111

    Este fato decorre do observado na comparao com os dados empricos, onde

    foi verificado que cada modelo gera atenuaes diferentes, com duraes diferentes,

    no campo relacionado ao raio interceptado, e de onde se pode concluir que os

    modelos cilndricos eram os mais adequados. Note que so exatamente estas

    atenuaes, grandes em relao ao comprimento de onda, que caracterizam o

    desvanecimento em grande escala.

    Assim, apesar de todos os modelos apresentarem resultados compatveis com

    o esperado, a opo pelo modelo mais adequado recai, devido anlise obtida

    atravs da comparao com dados empricos, nos modelos cilndricos, constitudos

    tanto de material dieltrico quanto condutor, onde a reflexo dos raios em sua

    superfcie no desprezada.

    Cabe acrescentar que modelos cilndricos que utilizam reflexo e difrao ( e

    ) apresentam, para este caso, resultados muito semelhantes aos modelos

    cilndricos que desprezam os coeficientes de difrao e consideram somente o efeito

    da reflexo ( e ).

    Para o fator de Rice (Figura 37), diferentemente dos parmetros anteriores,

    verifica-se que este pode assumir valores que vo de cerca de , em alguns

    casos tridimensionais tendendo ao infinito nos ambiente mais simples. Entretanto,

    uma vez que o fator de Rice o parmetro que relaciona a potncia de um

    componente predominante potncia dos demais componentes de multipercurso,

    pode-se dizer que valores superiores a apresentam praticamente o mesmo

    efeito, ou seja, uma baixa variao de pequena escala no sinal medido.

  • 112

    a)

    b)

    Figura 37. Variao Fator de Rice do desvanecimento em pequena escala devido presena

    de pedestres no ambiente.

    Modelos

    Conf

    igura

    es

    de

    Ambie

    nte

    2D

    O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    I

    5

    10

    15

    20

    Modelos

    Con

    figur

    ae

    s de

    Am

    bien

    te 3

    D

    O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    I

    6

    8

    10

    12

    14

    16

    18

    20

    >20

    >20

  • 113

    Esta afirmao baseada no fato de que a partir deste valor, a relao entre o

    nvel de potncia dos componentes secundrios e o nvel de potncia do

    componente predominante inferior a um dcimo, de modo que para a preciso

    adotada neste trabalho, os componentes secundrios possam ser considerados

    dentro do nvel de rudo.

    Independentemente desse fato, porm, o esperado para este parmetro que

    seu valor tenda a diminuir medida que a quantidade de obstculos refletores

    presentes nos entornos do ambiente aumenta. E exatamente isso que se verifica,

    tanto nos ambientes determinsticos como nos aleatrios, em cada combinao de

    modelo, ambiente e trajetria.

    Entretanto, assim como nos demais parmetros apresentados, a utilizao da

    reflexo em apenas alguns dos modelos faz com que certas diferenas entre os

    valores por eles obtidos em uma mesma linha sejam, visualmente, percebidas. Estas

    diferenas so maiores nos ambientes mais simples, tendendo a diminuir com o

    aumento da complexidade do ambiente, principalmente nos casos tridimensionais.

    Isso faz supor que em ambientes tridimensionais ainda mais complexos, a

    presena, ou ausncia, do pedestre no seja um fator to importante na

    determinao do fator de Rice.

    Mas, por ora, baseando-se no modelo que melhor representou as flutuaes de

    nvel de sinal empiricamente, conclui-se que os modelos cilndricos (metlicos ou

    dieltricos), que consideram o efeito da reflexo em suas laterais, so aquele que

    mais se adequam, tambm, para a obteno do fator de Rice.

    Assim, tendo sido o modelo cilndrico refletor mais uma vez escolhido, j

    possvel supor, com certa confiana, que ele ser o eleito para a representao do

    canal.

  • 114

    Entretanto, para a confirmao desta suposio, a apresentao dos

    parmetros de espalhamento no tempo necessria, uma vez que so eles, os

    parmetros, que auxiliam na determinao da taxa mxima de transmisso de

    smbolos em um canal digital.

    Estes parmetros so o atraso excessivo mdio (Figura 38) e o espalhamento

    de atraso RMS (Figura 39) que, em ambos os casos, apresentem comportamentos

    parecidos entre si e de acordo com o esperado.

    Verifica-se, assim como comentado para a anlise do ambiente determinstico,

    a existncia de um aumento gradativo no valor destes parmetros, que ocorre com o

    aumento da complexidade do canal e, consequentemente, um aumento da influncia

    dos componentes secundrios, que ocorrem com o aumento de obstculos nos

    entornos do ambiente. Porm, ainda assim, mais uma vez, uma diferena entre os

    valores obtidos atravs dos diversos modelos observada.

    Aqui, diferentemente do observado para o fator de Rice, esta diferena

    apresenta um comportamento distinto. L, ela tende a diminuir com a complexidade

    do ambiente, levando a crer que em ambientes muito mais complexos, todos os

    modelos apresentariam valores similares. J aqui, o que se observa que com o

    aumento da complexidade do ambiente, a diferena entre as colunas tende a ser

    ainda mais significativa, de modo que os pedestres tenham que ser sempre levados

    em considerao, ainda mais em casos mais complexos.

    Assim, conclui-se, mais uma vez com base nos dados empricos, que os

    modelos mais adequados, no s para a obteno destes parmetros de

    espalhamento no tempo, mas para a obteno de todos os demais parmetros

    citados neste trabalho, so aqueles em que o pedestre tem formato cilndrico e a

    reflexo em suas faces no desprezada ( , , e ).

  • 115

    a)

    b)

    Figura 38. Variao do atraso excessivo mdio devido presena de pedestres no ambiente.

    Modelos

    Con

    figur

    ae

    s de

    Am

    bien

    te 2

    D

    O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    I

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    4

    4.5

    x 10-8

    Modelos

    Con

    figur

    ae

    s de

    Am

    bien

    te 3

    D

    O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    I0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    3.5

    x 10-8

  • 116

    a)

    b)

    Figura 39. Variao do espalhamento de atraso RMS devido presena de pedestres no

    ambiente.

    Modelos

    Con

    figur

    ae

    s de

    Am

    bien

    te 2

    D

    O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    I

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    x 10-8

    Modelos

    Conf

    igur

    ae

    s de

    Am

    bien

    te 3

    D

    O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920212223242526272829

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    G

    H

    I

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    x 10-8

  • 117

    4.3. Anlise dos algoritmos e requisitos de sistema

    Para completar a apresentao dos modelos e, ento, poder tomar uma

    deciso em favor de um ou outro, importante tambm analisar as dificuldades de

    implementao, a complexidade computacional, os requisitos de sistema e o tempo

    de processamento, necessrios para cada um dos algoritmos.

    As dificuldades de implementao e a complexidade computacional puderam

    ser analisadas atravs do contedo apresentado pelo captulo 3, que detalha passo

    a passo a formulao dos algoritmos.

    J os requisitos de sistema e a quantidade de memria necessria para o

    processamento podem ser analisados a partir da Figura 40, desde que seja levado

    em considerao que os dados por ela apresentados so baseados nos algoritmos

    descritos no captulo 3, onde nenhuma forma de otimizao adicional foi utilizada.

    Figura 40. Requisitos de tempo e sistema.

    O A B C D E F G1 G20

    20

    40

    60

    80

    Hor

    as

    Tempo de Processamento

    O A B C D E F G1 G20

    5

    10

    15x 10

    4

    MB

    ytes

    Tamanho do Arquivo Gerado

  • 118

    Nesta figura, a letra corresponde ao ambiente determinstico, enquanto as

    demais letras representam cada uma das categorias de modelos de pedestres

    apresentadas na Tabela 1, tal que as categorias , e , correspondem aos

    modelos de pedestres cilndricos.

    Em cada uma das categorias, cada ponto, corresponde a um pixel das figuras

    anteriores (da figura 35 a figura 39) e representa a simulao em um dado ambiente

    com um dado fluxo de pedestres.

    Nestes grficos, verifica-se que a partir da categoria , onde a reflexo nos

    pedestres comea a ser considerada, o tempo de processamento e a requisio por

    memria aumentam significativamente, uma vez que mais raios so envolvidos e,

    consequentemente, mais testes de interseco so realizados.

    Isso faz pensar que se todos os modelos fossem equivalentes, a escolha seria,

    obviamente, feita em funo do modelo A, ou pelo menos em funo dos modelos

    que desprezam os coeficientes de reflexo.

    Entretanto, o verificado nas etapas anteriores foi exatamente o contrrio:

    atravs delas conclui-se que os modelos mais adequados para a caracterizao de

    ambientes sujeitos ao trfego de pedestres, so os modelos cilndricos que, sim,

    consideram a reflexo, independentemente de considerarem ( e , categoria )

    ou no ( e , categoria ) a difrao e, tambm, independente se o material que

    constitui o pedestre for condutor ( e ) ou dieltrico ( e , de constante

    eletromagnticas equivalentes s constantes do msculo humano, apresentadas no

    captulo 3.

    Assim, levando em considerao que:

    os modelos que desprezam os coeficientes de difrao, atenuando

    completamente o campo do raio obstrudo pelo pedestre, alm de

  • 119

    permitirem implementao mais simples, apresentam menor tempo de

    processamento, e que

    O coeficiente de reflexo de um material condutor perfeito pode ser

    calculado independentemente do ngulo de incidncia do raio em sua

    superfcie, facilitando mais ainda a implementao do algoritmo;

    Conclui-se que o modelo mais adequado para as especificaes apresentadas neste

    trabalho o modelo 19: Cilndrico, refletor, condutor perfeito, que despreza a

    difrao, atenuando completamente o campo do raio obstrudo pelo pedestre.

  • 120

    Captulo 05 - Concluso

    Inicialmente, a ideia para este trabalho era dar continuidade ao trabalho anterior

    (27), onde tcnicas e campanhas de medidas para a caracterizao de interiores

    foram apresentadas. O objetivo seria, entretanto, incrementar tais tcnicas, de modo

    que fosse possvel, atravs de campanhas de medidas, analisar, tambm, a

    influncia de pedestres na propagao de ondas eletromagnticas neste tipo de

    canal.

    Entretanto, durante a fase inicial da pesquisa bibliogrfica, verificou-se que,

    atrelada s diversas campanhas da literatura, existia uma grande variedade de

    modelos de pedestres, sugeridos com o objetivo de otimizar a aquisio dos dados

    atravs de simulaes.

    Verificando as referncias destes trabalhos, percebeu-se que a maioria delas

    sugeria modelos baseados em resultados de medidas, sem que qualquer meno,

    ou comparao, aos resultados obtidos pelas demais referncias fosse citada.

    Analisando mais profundamente estes modelos que, segundo seus autores,

    apresentavam boa concordncia com os dados empricos, um questionamento,

    sobre o porqu de se utilizar modelos cada vez mais complexos, uma vez que

    modelos mais simples j apresentavam resultados satisfatrios, veio tona.

    Foi neste momento que se deu, ento, incio a este trabalho, onde vinte e nove

    modelos de pedestres foram apresentados, detalhados e comparados entre si e com

    valores empricos.

    Estes modelos se diferenciavam em relao ao formato do objeto que

    representava o pedestre (lmina, paraleleppedo ou cilindro), em relao ao material

    que o constitua (completamente absorvente, condutor ou dieltrico com perdas), em

  • 121

    relao aos mecanismos de propagao considerados ou desprezados (absoro,

    reflexo ou difrao) e, no caso da difrao, em relao sobre o mtodo utilizado

    para calcular seus coeficientes (gume de faca ou UTD).

    Para a anlise destes modelos, um breve estudo sobre a propagao de ondas

    eletromagnticas e seus diferentes mtodos de simulao foi feito e, de acordo com

    a maioria dos trabalhos relacionados propagao em interiores, foi feita a opo

    pelo traado de raios, mais especificamente pelo mtodo das imagens.

    Assim, um algoritmo de traado de raios para o ambiente determinstico foi

    desenvolvido, de modo que, a partir dele, cada um dos algoritmos dos vinte e nove

    modelos pudesse ser implementado.

    Dentre os modelos, aqueles que utilizavam pedestres laminares com difrao

    por gume de faca; cilindros absorventes, condutores ou dieltricos, com difrao

    atravs da UTD e que desprezavam ou no os coeficientes de reflexo, foram

    extrados da literatura. J as demais variaes, como aquelas que utilizaram

    pedestres laminares e paralelepipdicos; absorventes, condutores ou dieltricos;

    com coeficientes de difrao desprezados ou obtidos atravs UTD; e com

    coeficientes de reflexo desprezados ou no, foram resultados de ideias que

    surgiram durante o desenvolvimento dos algoritmos dos anteriores.

    A partir dos algoritmos prontos, uma comparao com dados empricos foi

    realizada para todos os modelos, de onde se concluiu que os modelos de pedestres

    com faces laterais planas, como a lmina e o paraleleppedo, que consideravam os

    efeitos da reflexo em suas faces, no apresentavam resultados satisfatrios, uma

    vez que as contribuies destas reflexes na formao do campo total recebido

    eram muito intensas.

  • 122

    Alm disso, verificou-se que as reflexes nos pedestres devem, sim, ser

    levadas em considerao na composio do campo final, e os modelos com

    pedestres cilndricos foram os que melhor aproximaram os resultados empricos no

    que se refere reflexo.

    Em relao ao efeito da obstruo do raio, verificou-se que, com exceo feita

    aos pedestres laminares e paralelepipdicos em que os coeficientes de difrao no

    so desprezados, todos os demais modelos apresentaram bons resultados, tanto em

    relao atenuao quanto ao sombreamento.

    Como o objetivo era a determinao de um modelo de pedestre capaz de

    descrever, da maneira mais adequada, o comportamento do sinal propagado em um

    determinado ambiente, de modo a caracteriz-lo a partir de seus parmetros, uma

    comparao entre todos estes modelos foi realizada atravs da simulao em

    diversos tipos de ambientes, com um grau de complexidade crescente. A partir

    dessas simulaes, os parmetros de caracterizao de propagao foram obtidos e

    ento comparados para cada um dos modelos.

    O resultado desta comparao foi similar ao obtido pela comparao com os

    dados empricos, onde os nicos modelos que apresentaram bons resultados em

    todos os parmetros foram os cilndricos refletores, independente de serem

    condutores ou dieltricos com perdas, e independente de desprezarem ou no os

    coeficientes de difrao.

    Assim, concluiu-se que a melhor opo de modelo de pedestre para a

    simulao da propagao em interiores, pelo mtodo do traado de raios, o

    modelo do cilindro refletor condutor perfeito, sem difrao, pois dentre os modelos

    que apresentaram resultados satisfatrios, este o que apresenta a menor

    complexidade computacional e a maior facilidade de implementao do algoritmo.

  • 123

    Este resultado, entretanto, foi baseado na transmisso de sinais na frequncia

    de 4 , em modelos de de altura e de dimetro, e em simulaes de

    ambientes relativamente pequenos, onde o transmissor era fixo e os receptores

    permaneciam sempre na mesma circunferncia de de raio, cujo centro se

    encontrava a 4 do transmissor.

    Assim, a anlise destes modelos em outras faixas de frequncia, em ambientes

    maiores, mais complexos e com um maior fluxo de pedestres ficam como propostas

    para trabalhos futuros, alm, claro, da ideia inicial da campanha de medida e,

    consequentemente, da anlise da influncia dos pedestres nos parmetros de

    caracterizao do canal.

    Por fim, como contribuio comunidade cientfica, ficam o detalhamento dos

    algoritmos desenvolvidos, a comparao entre os modelos e a indicao sobre o

    modelo mais adequado a ser utilizado na caracterizao da radiopropagao em

    interiores.

  • 124

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    106. Sarkar, T.K., et al., et al. Smart Antennas. New Jersey : John Wiley & Sons, Inc., 2003. pp. 240-245.

    107. Faria, A.A.A. Rdio Propagao Indoor Utilizando Ray Tracing Fora Bruta. Comunicaes, Universidade Estadual de Campinas. 1996.

    108. Cavalcante, A.M., et al., et al. Uma nova abordagem paralela para tcnicas de traado de raios 3D aplicadas na predio da radiopropagao. IEEE Latin America Transactions. 2007, Vol. 5 (5).

    109. Schettino, D.N. Tcnicas assintticas para a predio de cobertura radioeltrica. Engenharia Eltrica, UFMG. Belo Horizonte : s.n., 2002. dissertao de mestrado.

    110. Glaeser, G. Reflection on Spheres and Cylinders of Revolution. Journal of Geometry and Graphics. 1999, Vol. 3 no.2, pp. 121-139.

    111. Yang, C.F., Wu, B.C e Ko, C.J. A ray tracing method for modeling indoor wave propagation and penetration. IEEE transactions on antennas and propagation. jun. de 1998, Vol. 46, pp. 907-919.

  • 132

    APNDICE

    APNDICE

  • 133

    Apndice A Interseces

    A1. Interseco entre dois segmentos de reta.

    Seja um segmento de reta definido pelo vetor e um segmento

    de reta definido pelo vetor , coplanares e no paralelos, tal que

    e

    a interseco entre eles acontece em um determinado ponto , pertencente aos dois

    segmentos de reta.

    Assim, pode-se dizer que o ponto pertencente ao segmento de reta se, e

    somente se, existir um vetor

    linearmente dependente de , onde um valor escalar, tal que

    E, do mesmo modo, pode-se dizer que o mesmo ponto pertence ao segmento

    de reta definida por se, e somente se existir um vetor

    A

    B

    C

    D

    I

  • 134

    linearmente dependente de , onde um valor escalar, tal que

    Isolando-se nas duas equaes e igualando-as, pode-se, ento, escrever o

    sistema linear de duas incgnitas, dados por

    [

    ]

    onde, a partir da soluo deste sistema, caso e estiverem dentro dos limites

    estipulador para a existncia da interseco, encontra-se o ponto como

    A2. Interseco entre segmento de reta e paralelogramo.

    Seja um paralelogramo de vrtices nos pontos pertencente ao plano

    definido pelos vetores e , e um segmento da reta definida pelo

    vetor , no paralelo ao plano, tal que

    e

    A

    B

    C

    D

    Q

    I

    P

  • 135

    a interseco entre eles acontece em um determinado ponto , simultaneamente,

    pertencente ao paralelogramo e ao segmento de reta.

    Assim, pode-se dizer que o ponto pertencente ao paralelogramo se, e

    somente se, existir um vetor

    linearmente dependente de e , onde e so valores escalares, tal que

    e

    E, do mesmo modo, pode-se dizer que o mesmo ponto, , pertence ao

    segmento de reta definido por se, e somente se existir um vetor

    linearmente dependente de , onde um valor escalar, tal que

    Isolando-se nas duas equaes e igualando-as, pode-se, ento, escrever o

    sistema linear de trs incgnitas, dados por

    [

    ]

    onde, a partir da soluo deste sistema, caso e estiverem dentro dos limites

    estipulador para a existncia da interseco, o ponto pode ser encontrado como

    A3. Interseco entre cilindro e segmento de reta

    Seja , um cilindro representado pelo eixo central (definido pelo vetor

    ) e pela base circular de raio com centro em , e, um segmento da

  • 136

    reta definida pelo vetor , cuja distncia entre ele e o eixo central do cilindro

    menor ou igual a , tal que

    A interseco entre o segmento de reta e a superfcie ocorre nos pontos e ,

    que podem pertencer, tanto superfcie lateral, quanto superior do cilindro, conforme

    o esquema, apresentado abaixo:

    Pode-se, ento, dizer que os pontos e pertencem superfcie (lateral ou

    superior) do cilindro se, e somente se:

    1) a circunferncia, , que descreve a base inferior do cilindro no plano , por

    sua vez definido pelos vetores unitrios

    Q

    P

    I1

    I2 P

    Q

    P

    r

    O

    h

    Q

    I1

    I2

    d

    h

    r

    O

    y

    x

    x

    y

    z

    Q

    P

    I1

    I2

    Q

    P

    I2

    Q

    P

    I1

    I2

    h

    r

    O

    x

    y

    z

    y

    x

  • 137

    [ ] [

    ]

    possuir pelo menos um ponto em comum com o segmento de reta, definido

    pelo vetor resultante da projeo do vetor neste plano, dado por

    [

    ]

    e

    2) pelo menos dois dos vetores que descrevem o paralelogramo, , resultante da

    projeo do corte longitudinal do cilindro no plano , perpendicular a e

    definido pelos vetores unitrios

    [ ]

    possurem um ponto de interseco com o segmento de reta, definido pelo

    prprio vetor .

    Assim, pode-se dizer que os pontos e so pertencentes ao segmento de

    reta (onde e so as projees dos pontos e no plano ) se, e

    somente se, existirem os vetores

    e

    linearmente dependentes de , onde e so valores escalares, tal que

    e

    Se estes pontos, e so pertencentes circunferncia, , ento pode-se

    encontrar os valores de e atravs da equao da circunferncia dada por

  • 138

    de onde se pode encontrar e como

    e

    A partir de onde os pontos e so encontrados atravs do teste de

    interseco entre os vetores:

    {

    a partir do procedimento apresentado no apndice A1 para a interseco entre dois

    segmentos de reta.

  • 139

    Apndice B Funes Matemticas Especiais

    B1. Integral de Fresnel

    A integral de Fresnel uma funo de suma importncia para o tratamento

    quantitativo da difrao por obstculo gume de faca. De acordo com (102), ela

    dada por

    e comumente escrita em termos das integrais seno e cosseno, como

    onde

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    e

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    (

    )

    Estas integrais, entretanto, no possuem primitivas, de modo que uma soluo

    numrica seja necessria.

    Esta soluo pode ser implementada, no MatLab, atravs dos comandos

    e

  • 140

    B2. Funo de transio

    A funo de transio utilizada para expressar o coeficiente de difrao

    atravs da UTD. De acordo com (102), ela dada por

    e definida para , de modo que para esta funo seja dada por

    onde o asterisco indica a conjugao complexa.

    Assim como a integral de Fresnel, esta integral no possui primitiva. Entretanto,

    a funo de transio pode ser aproximada por partes, de modo que

    {

    (

    (

    )

    )

    4

    onde , e

    so fornecidos pela tabela.

    Real

    Imaginrio

    Real

    Imaginrio

    0,3 0,5729 0,2677 0,0 0,0

    0,5 0,6768 0,2682 0,5195 0,0025

    0,7 0,7439 0,2549 0,3355 -0,0665

    1,0 0,8095 0,2322 0,2187 -0,0757

    1,5 0,8730 0,1982 0,1270 -0,680

    2,3 0,9240 0,1577 0,0638 -0,0506

    4,5 0,9658 0,1073 0,0246 -0,0296

    5,5 0,9797 0,0828 0,0093 -0,0163

  • 141

    B3. Funo de Airy

    De acordo com (99), existem pelo menos dois tipos de funes de Airy

    utilizadas na teoria de propagao eletromagntica: A funo de Airy do tipo Keller

    (definidas para um argumento real) e a funo de Airy do tipo Fock (definidas para

    um argumento complexo).

    As funes de Airy do tipo Keller, (primeiro tipo) e (segundo tipo) so

    definidas por integrais representadas ao longo do eixo real como

    e

    (

    )

    de modo que, assim como suas derivadas, e

    , sejam por si s, funes reais.

    J a funo de Airy do tipo Fock, , onde , em geral, complexo, definida

    como

    onde so funes definidas pela integral de contorno

    (

    )

    tal que vai de infinito a zero sobre a linha de e de 0 a infinito no

    eixo real, e vai de infinito a zero sobre a linha de e de 0 a infinito no

    eixo real, conforme apresentado pela figura, de onde se pode concluir que

  • 142

    Assim, pode-se relacionar as funes de Airy do tipo Keller e do tipo Fock por

    ( ) ( )

    A soluo para estas funes pode ser implementada, no MatLab, atravs da

    funo tal que

    {

    A tabela abaixo apresenta o mdulo das dez primeiras razes ( | |

    da funo

    ( ) ( )

    obtidas a partir da anlise dos grficos criados no matlab, para os valores de

    utilizados neste trabalho.

    44 44

    4 4 44

    1 1,018 2,338 2,739 1,023

    2 3,248 4,087 4,493 3,219

    3 4,820 5,520 5,903 4,825

    4 6,163 6,786 7,153 6,168

    5 7,372 7,944 8,299 7,376

    6 8,488 9,022 9,364 8,490

    7 9,535 10,040 10,343 9,536

    8 10,527 11,008 11,302 10,520

    9 11,471 11,930 12,230 11,470

    10 12,384 12,828 13,120 12,390

    Im(z)

    Re(z) 2/3

    -2/3

  • 143

    B4. Integrais de Pekeris e de Fock

    A integral de Pekeris (103), utilizada para calcular o campo difratado em

    superfcies cilndricas e dieltricas, definida a partir das funes de Airy por

    onde o parmetro que caracteriza o material da superfcie e o parmetro de

    Fock, associado a coordenada angular do ponto de observao, que indica o limite

    SSB ( , a regio iluminada ( e a regio sombreada ( , pelo

    obstculo. Ela pode ser relacionada com a integral de Fock (103) por

    a partir da qual desenvolvida uma soluo numrica, para cada uma das regies

    de sombreamento.

    Para a regio sombreada ( , a soluo numrica obtida a

    partir do mtodo dos resduos, por

    tal que dado por

    (

    )

    e so as razes da funo

    ( ) ( )

    apresentadas no apndice B3.

  • 144

    Para a regio iluminada ( , a soluo numrica obtida de

    maneira assinttica por

    4

    [(

    )

    4 ]

    tal que

    |

    E, para a regio de transio ( , feita pela

    integrao de Filon (103) e pela integrao por partes, de modo que

    onde

    (

    )

    4

    (

    )

    tal que

    e

    4

    E a terceira integral dada por

    onde definido com passos

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