6a Serie Numeros Racionais

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    30-Jul-2015

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Nmeros racionaisColgio Trilnge Inovao Rua Mato Grosso 420-E Fone/Fax: (49) 3322.4422 Chapec Santa Catarina CEP. 89801-600

Profa. Dra. Denise Ortigosa Stolf

Sumrio

Pgina

Nmeros racionais...................................................................................................................... 1 Conjunto dos nmeros racionais (Q)................................................................................... 2 Outros subconjuntos de Q ................................................................................................... 2 Alguns smbolos matemticos............................................................................................. 3 A reta numrica racional ..................................................................................................... 3 Mdulo ou valor absoluto de um nmero racional .................................................................... 4 Nmero racional oposto ou simtrico ........................................................................................ 5 Comparao de dois nmeros racionais ..................................................................................... 5 Operaes com nmeros racionais............................................................................................. 6 Adio algbrica de nmeros racionais............................................................................... 6 Multiplicao e diviso de nmeros racionais .................................................................... 7 Potenciao de nmeros racionais ...................................................................................... 8 Potenciao de nmeros racionais com expoentes inteiros no negativos...................... 8 Potenciao de nmeros racionais com expoentes inteiros negativos ............................ 9 Raiz quadrada exata de nmeros racionais ....................................................................... 11 Expresses numricas .............................................................................................................. 12 Estudo das mdias .................................................................................................................... 13 Mdia aritmtica e mdia aritmtica ponderada ............................................................... 13 Referncias bibliogrficas ........................................................................................................ 14

1

NMEROS RACIONAISNmeros racionaisJ estudamos que os nmeros 40, 10, 1258 e 54 pertencem ao conjunto dos nmeros inteiros (Z). E os nmeros

1 e 1,15, a que conjunto numrico pertencem? 10

1 uma frao. As fraes representam razes entre nmeros 10 inteiros. Essas razes chamadas de nmeros racionais, pertencem ao conjunto dos nmeros racionais. Voc j sabe que Nmeros que podem ser escritos na forma fracionria, ou seja, na forma sendo a e b nmeros inteiros e b 0, so chamados nmeros racionais. O nmero 1,15 tambm pode ser escrito na forma fracionria. Veja: 1,15 = a , b

115 . 100

Os nmeros 40, 10, 1258 e 54 tambm podem ser escritos na forma fracionria:

40 =

40 1 10 1

10 =

1258 =

1258 1

54 1 Dizemos que esses nmeros tambm so nmeros racionais. 54 =

2

Conjunto dos nmeros racionaisO conjunto dos nmeros racionais uma ampliao do conjunto dos nmeros inteiros. O conjunto formado pelos nmeros racionais positivos, os nmeros racionais negativos e o zero so um novo conjunto que chamamos de conjunto dos nmeros racionais e representado por Q. Veja como o conjunto dos nmeros racionais Q se relaciona com o conjunto dos nmeros naturais N e com o conjunto dos nmeros inteiros Z:

O conjunto de Q uma ampliao do conjunto Z. Os conjuntos N e Z so subconjuntos de Q. N est contido em Z e Z est contido em Q. Indicamos: N Z e Z Q.

Outros subconjuntos de Q:

Q* o conjunto dos nmeros racionais diferentes de zero;

Q + o conjunto dos nmeros racionais positivos e o zero;Q o conjunto dos nmeros racionais, negativos e o zero;

Q* o conjunto dos nmeros racionais e positivos; +Q* o conjunto dos nmeros racionais negativos.

3

Alguns smbolos matemticos =

Igual Diferente Maior que Menor que Pertence No pertence Est contido No est contido Contm

> 4 8

Como 2,5 > 1,5, temos:

2) Escrevendo-os na forma fracionria com um mesmo denominador:10 12 20 12 , = , 8 8 4 8

Como

20 12 10 12 > , pois 20 > 12, temos: > 8 8 4 8

Observao: Outro recurso para comparar dois nmeros racionais a reta numrica. O maior sempre o que se encontra direita do outro na reta numrica.

6

Operaes com nmeros racionaisAdio algbrica de nmeros racionais

Para simplificar a escrita, transformamos a adio e subtrao em somas algbricas. Eliminamos os parnteses e escrevemos os nmeros um ao lado do outro, da mesma forma como fazemos com os nmeros inteiros.Exemplo 1: Qual a soma:

17 5 17 5 1 17 4 5 17 20 3 1 + = = = = = 24 6 24 6 24 24 24 8

Exemplo 2: Calcule o valor da expresso 0,3

4 1 + 1,8 : 5 2

4 1 + 1,8 = 5 2 3 4 1 18 + = 10 5 2 10 3 8 + 5 18 = 10 18 9 = 10 5 0,3

Observao: As propriedades da adio com nmeros inteiros tambm so vlidas para a adio com nmeros racionais. So elas: Fechamento, Comutativa, Associativa, Elemento neutro e Elemento oposto.

7

Multiplicao e diviso de nmeros racionais

Na multiplicao de nmeros racionais, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador.Exemplos:

a)

8 4 8 4 32 = = 3 3 33 9

5 4 54 20 10 b) = = = 2 3 23 6 3

Observao: As propriedades da multiplicao com nmeros inteiros tambm so vlidas para a multiplicao com nmeros racionais. So elas: Fechamento, Comutativa, Associativa, Distributiva da multiplicao em relao adio algbrica e Elemento neutro.

Na diviso de nmeros racionais, devemos multiplicar a primeira frao pelo inverso da segunda.Exemplos:

8 4 82 31 2 1 2 / / a) : = 1 1 = = =2 3 3 3 4 1 1 1 / / 5 5 4 5 4 20 10 b) 2 = = = = 3 2 3 23 6 3 4

8

Potenciao de nmeros racionais

Na potenciao, quando elevamos um nmero racional a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente.Exemplos:

4 2 16 4 a) = 2 = 9 3 3 23 8 2 b) = 3 = 27 3 33

2

Potenciao de nmeros racionais com expoentes inteiros no negativos

A definio da potenciao de nmeros racionais com expoentes inteiros positivos a mesma das potncias com nmeros inteiros.

Sempre que o expoente de uma potncia for par, o resultado ser um nmero positivo. Sempre que o expoente de uma potncia for mpar, o resultado ter o mesmo sinal da base. Se um nmero racional a diferente de zero, a 0 = 1 .

Para todo nmero racional a tem-se: a1 = a .

Exemplos:

4 2 a) = 49 7 2 b) = 1 3 8 8 c) = 45 451 0

2

9

Observao: As propriedades da potenciao com nmeros inteiros tambm so vlidas quando a base um nmero racional diferente de zero e seus expoentes so nmeros inteiros. So elas: Produto de potncias de mesma base, Quociente de potncias de mesma base, Potncia de uma potncia e Potncia de um produto ou de um quociente.

Potenciao de nmeros racionais com expoentes inteiros negativos

Qual o valor de 31 ? E de 32 ? Para saber observe a seqncia em que o expoente diminui de 1 em 1 e as potncias so divididas por 3:

10

1 1 1 3 = 1: 3 = = 1 = 3 3 31

1

3

2

1 1 1 1 1 1 = :3 = = = 2 = 3 3 3 9 3 3

2

Para todo nmero racional a, com a 0, definimos:an

1 1 1 = n = , em que n um nmero natural e o inverso de a. a a an n

n

a Observao: b

bn bn b 1 = = n =1 n = n = n a a a a a bn b 1

Exemplos: a) 72

1 1 = 2= 49 71

2 c) 3

2

9 3 = = 4 2 7 = 23

2

1 b) 5

1 5 = = = 1 = 5 1 1 1 1 5 5

1

d) ( 3,5)

3

8 2 = = 343 7

3

11

Raiz quadrada exata de nmeros racionais

Na radiciao, quando aplicamos a raiz quadrada a um nmero racional, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador.Exemplos:

a)

25 52 5 = 2 = 64 8 8 144 12 2 12 6 = = = 100 10 2 10 5

b) 1,44 =

c) 1024 = 210 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 2 2 2 2 = 32Fatorao completa 1024 515 256 128 64 32 16 8 4 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

d)

81 32 32 33 9 = == = 121 11 11 112Fatorao completa 81 27 9 3 1 3 3 3 3 121 11 11 11 1

12

e) ou

441 32 7 2 (3 7) 2 212 21 = = 4,41 = = = = 2,1 100 2 2 52 (2 5) 2 10 2 10 4,41 = 441 32 7 2 3 7 21 = = = = 2,1 100 2 2 5 2 2 5 10

Fatorao completa 441 147 49 7 1 3 3 7 7 100 50 25 5 1 2 2 5 5

Expresses numricas 1 1 Paulo e Beto resolveram a expresso: : 4 1 0,25 5 5 S que eles percorreram caminhos diferentes. Veja os clculos que cada um fez:4 2

Paulo preferiu calcular com fraes 1 1 1 : 4 0,25 = 5 5 1 25 1 = 1 5 100 4 1 1 5 = 25 4 10 1 5 = 25 40 8 25 = 200 17 = 200 17 2002 4 2

Beto optou pela forma decimal 1 1 1 : 4 0,25 = 5 5 ( 0,2)4 : ( 0,2)2 11 0,5 = 4 ( 0,2)2 1 0,5 = 4 0,04 0,25 0,5 = 0,04 0,125 = 0,0854 2

13

Estudo das mdiasMdia aritmtica e mdia aritmtica ponderada

As notas de um aluno, em matemtica, no 2 Bimestre foram:

1 Prova 5,0

Atividade extraclasse 8,0

2 Prova 5,0

Nessas condies, qual seria a mdia do aluno no bimestre? Para responder a esta questo, devemos considerar dois casos:1 Caso: O professor no atribuiu pesos diferentes para as notas.

Neste caso, pode-se calcular a mdia do aluno adicionando-se as trs notas e dividindo-se o resultado por 3, ou seja: 5,0 + 8,0 + 5,0 18,0 = = 6,0 3 3 A mdia do aluno 6,0. Dizemos que o valor 6,0 a mdia aritmtica dos nmeros 5,0; 8,0 e 5,0.

A mdia aritmtica de n nmeros representa a soma de todos os nmeros dividida por n.

2 Caso: O professor atribuiu pesos diferentes para cada nota.

1 Prova 5,0 (peso 3)

Atividade extraclasse 8,0 (peso 2)

2 Prova 5,0 (peso 5)

14

Neste caso, a mdia do aluno calculada assim:

(3 5,0) + (2 8,0) + (5 5,0) = 15,0 + 16,0 + 25,0 = 56,0 = 5,63+ 2+5 10 10 A mdia do aluno 5,6. Dizemos que o valor 5,6 a mdia ponderada dos nmeros 5,0; 8,0 e 5,0, aos quais atribumos os pesos 3, 2 e 5, respectivamente.

Atravs dos dois casos dados, observamos que uma mdia depende das regras estabelecidas para seu clculo.

Referncias bibliogrficas[1] A conquista da matemtica (5 a 8 Srie). Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr.. Editora FTD. [2] Matemtica (Projeto Ararib) (5 a 8 Srie). Editora Moderna. [3] Tudo matemtica (5 a 8 Srie). Luiz Roberto Dante. Editora tica. [4] Matemtica hoje feita assim (5 a 8 Srie). Antonio Jos Lopes Bigode. Editora FTD.