6.1 A Integral de Lebesgue

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  • A INTEGRAL DE LEBESGUE

    por

    Luis Adauto Medeiros Eliel Amancio de Mello

    Professor da UFRJ Professor da UFPb

    SEXTA EDICAO

    Dedicado a Memoria de Alvercio Moreira Gomes

    (1916-2003)

    Instituto de Matematica - UFRJRio de Janeiro RJ

    2008

  • M488L

    Medeiros, Luis Adauto da Justa, 1926 -A Integral de Lebesgue/ Luis Adauto da Justa Medeiros,

    Eliel Amancio de Mello - 6. Ed. - Rio de Janeiro: UFRJ.IM, 2008.174p.Inclui ndice e bibliografia.

    1. Lebesgue, Integral de - Tese . I. Mello, Eliel Amanciode. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro. Instituto deMatematica. III. Ttulo.ISBN: 85-87674-11-0 CDD-20a 515.43

  • SUMARIOPrefacio de 4a Edicao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iPrefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iiiIntroducao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    CAPITULO 1 - FUNCOES ESCADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1 Conjuntos de medida nula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 A integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3 Integracao das funcoes escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.4 Retorno a integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

    CAPITULO 2 - INTEGRAL A LEBESGUE-RIESZ . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1 A integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .392.2 Sucessoes de Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.3 A integral sobre um intervalo nao limitado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

    CAPITULO 3 - CONJUNTOS E FUNCOES MENSURAVEIS . . . . . .593.1 Conjuntos mensuraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .593.2 A integral sobre conjuntos mensuraveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.3 O metodo de Lebesgue e sua comparacao com o metodo de Riesz . . . . . .663.4 Teoremas de Egoroff e Lusin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

    CAPITULO 4 - ESPACOS Lp; FUNCOES DE VARIAS VARIAVEIS 834.1 Os espacos Lp; o teorema de Riesz-Fischer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 834.2 Os espacos L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .924.3 Convergencia fraca nos espacos Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.4 Funcoes de varias variaveis; o teorema de Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    CAPITULO 5 - DERIVACAO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.1 Primitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1135.2 Funcoes monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1145.3 Funcoes de variacao limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1235.4 Determinacao de uma funcao a partir de sua derivada . . . . . . . . . . . . . . . .1265.5 Integracao por partes e mudanca de variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

    BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

    COMPLEMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

  • PREFACIO DA 4a EDICAO

    O presente texto vem sendo adotado na disciplina Integral de Le-besgue, ministrada no primeiro semestre da Pos-Graduacao do Ins-tituto de Matematica da UFRJ.

    Com a re-integracao do Professor Alvercio Moreira Gomes a Uni-versidade em 1980, apos o afastamento de suas atividades docentes em1964, ele passou a colaborar, de modo substancial, na Pos-Graduacaodo IM. Ao ministrar esta disciplina, seguindo o presente texto, suge-riu varias modificacoes que contribuiram, fortemente, para seu aper-feicoamento e clareza. Podemos citar, entre varias alteracoes, as se-guintes:

    i) Na definicao da classe L(a, b), funcoes integraveis, observou queS1 e apenas um cone convexo, sendo L(a, b) o espaco vetorial porele gerado. Da decorre que L(a, b) e constitudo pelas diferencasv u de objetos de S1 , como foi definido por F. Riesz. Esta ma-neira de definir L(a, b) torna mais claro e compreensvel o metodoadotado.

    ii) Incluiu, no texto, o Teorema de Lebesgue caracterizando as funcoesintegraveis a Riemann.

    iii) Corrigiu a demonstracao do teorema de Egoroff tornando-a maiscompreensvel e completa.

    iv) Reescreveu, modificando, o Captulo 5 sobre Derivacao. Por meiodo teorema de recobrimento de Vitali, deu outra demonstracaoao teorema fundamental do Calculo, tornando o captulo trans-parente.

    Com estas modificacoes profundas na edicao anterior, apresenta-se esta quarta edicao, materializando um sonho que alimentavamos,quando trabalhavamos no Departamento de Matematica da Faculdade

    i

  • Nacional de Filosofia, da UB, em torno de 1960, de escrever um textoconjunto sobre a Integral de Lebesgue, seguindo o pensamento de F.Riesz, (cf. [14]), para facilitar a aprendizagem dos alunos. Aqui, estauma aproximacao do mesmo.

    Agradeco, portanto, ao Professor Alvercio Moreira Gomes, mestre eamigo, por suas sugestoes e decisivas correcoes que contribuiram paratornar este livro mais inteligvel.

    Ao Dr. Nikolai A. Larkin, professor na UEM, meu muito obrigadopor sugestoes que contribuiram para tornar mais completo este livro.

    Agradeco ao Ivo Fernandez Lopez, professor do IM-UFRJ, pela lei-tura de certos trechos do livro e pelas sugestoes sobre o Complemento3, exemplo de conjuntos nao mensuraveis a Lebesgue.

    A Lourdinha pela revisao cuidadosa do texto, pela organizacao doquadro de evolucao da nocao de integral e, em particular, pelo perdaopermanente.

    Uma versao Rn do metodo de F. Riesz para o estudo da Integracaoa Lebesgue encontra-se em J. Dixmier [5].

    Ao Wilson Goes por mais um bonito trabalho de digitacao.

    Rio de Janeiro, 1o de maio de 1989

    L.A. Medeiros

    ii

  • PREFACIO

    E indiscutvel a necessidade do estudo da teoria da integral naformacao dos matematicos com tendencia para a Analise Matematicae suas aplicacoes. Por este motivo, surge o problema de como le-var ao conhecimento dos estudantes, de modo simples e inteligvel, asnocoes iniciais daquela teoria, as quais aparecem sob o ttulo: Inte-gral de Lebesgue. Na realidade, deseja-se, nesta etapa, fazer umestudo crtico e introdutorio, seguindo Lebesgue, da nocao de inte-gral, previamente idealizada por Cauchy, Riemann, Darboux, assimcomo de suas aplicacoes ao estudo da convergencia de sucessoes defuncoes, bem como uma analise do teorema fundamental sobre primi-tivas. Entretanto, esta fase que chamaramos preparatoria a teoria daintegral, sempre teve dificuldades pedagogicas, as quais se agravaramnos ultimos anos em nossas universidades. Em face a necessidade,cada vez maior, da nocao de integral segundo Lebesgue, para que oestudante possa prosseguir o estudo da Analise Matematica e suasaplicacoes, necessario foi procurar um metodo simples de tornar estanocao presente na formacao dos matematicos, com tendencia para aAnalise Matematica, o mais cedo possvel. Varias foram as tentati-vas, sendo uma, razoavelmente simples, adotada no presente texto,idealizada por F. Riesz.

    Tivemos a oportunidade de ensinar pelo metodo original de Le-besgue, segundo o qual faz-se a construcao da medida, dos conjuntosmensuraveis e posteriormente define-se a integral. Para os estudantes,tal metodo parecia desvinculado de seus estudos anteriores e por issomesmo trazia certa duvida, nao compreensao nem localizacao das no-vas ideias no contexto de sua formacao. Experimentamos o metodo deRiesz aqui adotado, nos parecendo mais inteligvel ao estudante, alemde ir rapidamente as nocoes fundamentais e concluir, sem dificuldade,as relacoes entre a integral e as sucessoes de funcoes. A partir de certoponto os metodos de Lebesgue e Riesz se confundem e se equivalem.

    iii

  • A fim de que o leitor tenha uma ideia do metodo de Riesz e inte-ressante compara-lo ao processo adotado por Cantor, para construiros numeros reais a partir de sucessoes de numeros racionais. De modoum tanto vago, a construcao de Riesz obedece a mesma linha de ideias,que descreveremos suscintamente. Considera-se o espaco vetorial dasfuncoes escada, no qual define-se, de maneira obvia, uma nocao de in-tegral. Considera-se a classe das sucessoes crescentes de funcoes escadacujas integrais sao limitadas. Demonstra-se que tais sucessoes conver-gem. Define-se uma nova colecao de funcoes limites de sucessoes nascondicoes anteriores. Estende-se a nocao de integral as funcoes limites.Amplia-se a nova colecao obtida, por inclusao da diferenca de seus ele-mentos, fazendo-se nova extensao da nocao de integral. A classe assimobtida, e a das funcoes integraveis a Lebesgue e a integral obtida nanova colecao e a de Lebesgue. Nesta construcao desempenha papelfundamental o teorema de Beppo-Levi. Ele afirma que se repetirmoso mesmo processo na classe obtida de funcoes integraveis a Lebesgue,nao sairemos desta colecao.

    Resta-nos localizar este texto em nosso Ensino Universitario. Dira-mos que apos um curso de Analise Matematica ao nvel da referencia[6], e compreensvel um curso baseado no presente livro. E acon-selhavel que apos a leitura deste texto os estudantes vejam algumasaplicacoes, como por exemplo: series e transformacoes de Fourier, ini-ciacao aos espacos de Hilbert com enfase na topologia do espaco L2,demonstracao de certos teoremas de existencia para equacoes diferen-ciais em hipoteses gerais de integrabilidade, etc.

    Apesar do sumario que acompanha o presente livro, nao sera perdade tempo um breve resumo do seu conteudo. Inicia-se com a nocaode conjunto de medida nula, para, a seguir, definir-se a nocao de con-vergencia quase sempre de funcoes escada. Ha duas proposicoes, de-nominadas Primeiro e Segundo Lema Fundamental, sobre as quaisse baseia a definicao de integral. Eles devem ser lidos cuidadosa-

    iv

  • mente. Com base no Segundo Lema Fundamental, define-se a classedas funcoes integraveis a Lebesgue e a respectiva integral de Lebesgue.Compara-se a nova integral com a de Riemann, estudam-se as propri-edades basicas dos conjuntos e funcoes mensuraveis, demonstrando-sea equivalencia entre os metodos de Riesz e Lebesgue. Faz-se um es-tudo breve sobre os espacos Lp, finalizando-se com o estudo sobre aderivacao e demonstracao do teorema fundamental sobre primitivas.

    Nossa gratidao aos colegas da UFRJ pelo estmulo permanente.Ao Luiz Henrique Medeiros nossos agradecimentos pelas figuras

    contidas no texto.

    Os Autores

    v

  • INTRODUCAO

    O metodo de calcular areas e volumes de figuras geometricas com-plicadas, por meio de areas e volumes de figuras mais simples, ja erausado por Arquimedes (287-212 A.C.). Tal ideia foi o germe do quese convencionou chamar calculo infinitesimal. Embora esta ideia sejatao antiga, sua formalizacao matematica, denominada teoria da inte-gracao, teve o seu apogeu no seculo passado. Podemos afirmar queo conceito de integral aparece, de fato, em forma embrionaria, nostrabalhos de Arquimedes, ao utilizar o metodo de exaustao criado porEudoxo (408-355 A.C.), no calculo do comprimento de curvas, areas evolumes de figuras geometricas.

    Newton (1642-1727) e Leibniz (1646-1716), atualmente tidos comoos inventores do Calculo Diferencial, aperfeicoaram o metodo de Ar-quimedes, lancando as bases do Calculo Integral. Entretanto, Newtone Leibniz nao possuiam com clareza a nocao de limite, deixando du-vidosos e obscuros varios pontos de seus trabalhos, com a introducaodo conceito de infinitesimo.

    Posteriormente, com os trabalhos de Cauchy (1789-1857) e Rie-mann (1826-1866) o conceito de integral foi estabelecido em basesrigorosas, tornando-se um instrumento poderoso, para a epoca, naresolucao de inumeros problemas.

    Durante muito tempo foi desenvolvida uma teoria da integracao ba-seada nas ideias de Riemann. Esta teoria, entretanto, contem certosinconvenientes que a tornam inadequada ao estudo de varios proble-mas da Analise Matematica. No Captulo 1 deste texto traremos aluz alguns deles, no paragrafo dedicado a integral de Riemann. Evi-dentemente, com fortes hipoteses sobre as funcoes em jogo, alguns dosinconvenientes mencionados desaparecem. Todavia, cumpre-nos notarque, tanto do ponto de vista das aplicacoes como do ponto de vistaestetico, os resultados contidos em uma teoria matematica devem ser

    1

  • os mais gerais possveis, em cada etapa do conhecimento, procurando-se evitar as hipoteses superfluas, muitas vezes motivadas por definicoesinadequadas de determinados conceitos. Deste modo, com a nocao deintegral de Riemann apresentando certas deficiencias que a tornavamineficaz para a resolucao de um grande numero de problemas, fazia-senecessaria uma reformulacao de tal nocao, tendo-se em mente obteruma, sem as deficiencias da anterior, mas contendo aquela como casoparticular. Dito de outro modo, dever-se-ia obter um conceito de in-tegral, tal que a nova classe de funcoes integraveis contivesse a classedas funcoes integraveis a Riemann (onde as duas integrais deveriamcoincidir) e na qual os inconvenientes da integral de Riemann desapa-recessem ou, pelo menos, fossem minimisados.

    O passo decisivo no sentido de se obter uma definicao de integral queeliminasse as deficiencias existentes na integral de Riemann foi dadopor Henri Lebesgue (1875-1941), quando em 1902 publicou sua famosatese de doutoramento, intitulada: Integrale, longueur, aire, que atu-almente esta contida em seu famoso livro Lecons sur lIntegration etla Recherche des Fonctions Primitives (cf. [9]). O conceito de integraloriginalmente proposto por Lebesgue baseia-se na nocao de medida deconjuntos. As ideias de Lebesgue se afastaram tanto dos canones daepoca que foram, em princpio, refutadas e severamente criticadas ou,na melhor das hipoteses, aceitas com desconfianca. Todavia, a origi-nalidade de suas ideias encontrou crescente reconhecimento, vindo acompletar definitivamente certas lacunas inerentes a integral de Rie-mann.

    A integral de Lebesgue foi a primeira tentativa frutfera de orga-nizacao matematica da nocao de integral e, neste sentido, costuma-sedizer que a teoria da integracao foi criada no seculo vinte.

    Com a evolucao do pensamento matematico, a nocao de medidae integral no sentido de Lebesgue foi se tornando cada vez mais im-prescindvel ao desenvolvimento e organizacao de novas teorias. Da

    2

  • resultou o problema pedagogico de saber como introduzir, o mais cedopossvel no ensino academico, as ideias de Lebesgue. Varias foram astentativas de obter outra definicao da integral de Lebesgue. Entreelas estao algumas que surtiram efeito, tais como a de W.H. Young(1863-1942), baseada no metodo das sucessoes monotonas; a de L. To-nelli (1885-1946), por meio das funcoes quase contnuas e, a que tevemaior sucesso, nao apenas do ponto de vista de generalizacoes comotambem do ponto de vista pedagogico, foi a idealizada por F. Riesz(1880-1956), a qual sera usada neste texto. (Cf. [14]).

    Dos metodos de definir a integral de Lebesgue o que penetrou noensino foi o original, criado por Lebesgue, baseado na nocao de medidade conjuntos. Tal procedimento foi sempre de difcil assimilacao, porparte dos estudantes, porque parecia desvinculado do conhecimentoanterior da nocao de integral de Cauchy e Riemann. Acreditamosque o caminho originalmente seguido por Lebesgue, isto e, desenvol-ver a teoria da medida dos conjuntos para depois definir a integral,tornar-se-ia natural, na graduacao, se fosse feita a relacao entre aintegral de Riemann e a medida de Jordan. Esclarecemos esta ob-servacao. Limitando-nos ao caso de funcoes reais de uma variavelreal, identifica-se a integral de Riemann de uma funcao limitada naonegativa u : [a, b] R, com a medida de Jordan do conjunto dospares (x, y) do R2 tais que a x b, 0 y u(x) (este con-junto e denominado conjunto ordenada de u). Assim, uma maneirade introduzir a integral de Lebesgue, relacionada imediatamente coma integral de Riemann, seria generalizar a medida de Jordan dos con-juntos do R2, obtendo-se a medida de Lebesgue de tais conjuntos edefinir u : [a, b] R limitada, como integravel a Lebesgue quando seuconjunto ordenada fosse mensuravel a Lebesgue. A integral de Lebes-gue de u seria, desta forma, a medida de Lebesgue de seu conjuntoordenada. Assim, facilmente obteramos a relacao entre as integraisde Riemann e de Lebesgue. Este procedimento, entretanto, nao e

    3

  • aconselhavel, pois neste caso teramos de desenvolver uma teoria damedida de Jordan, com pouca utilidade no estagio atual da AnaliseMatematica. Alias, nao devemos tambem perder muito tempo en-sinando propriedades particulares a integral de Riemann. Devemos,todavia, chamar a atencao dos estudantes para alguns de seus aspectosque servem de motivacao para o estudo da integral de Lebesgue.

    Da experiencia que acumulamos no ensino da Matematica em nos-sas Universidades concluimos que, o metodo de Riesz, ja mencionado,e de facil assimilacao por parte dos estudantes que, uma vez iniciadose motivados no estudo da integral de Lebesgue por este metodo, po-derao, posteriormente, estudar outros metodos de acordo com os seusinteresses e necessidades. O metodo de Riesz vem exposto tambemem [16] e [17]. O texto que aqui apresentamos e uma exposicao destemetodo, baseada na bibliografia citada, organizada ao nosso gosto eescrita, principalmente, visando os estudantes que nunca tiveram con-tato algum com a nocao de integral de Lebesgue.

    4

  • 1

    Funcoes Escada

    1.1 Conjuntos de medida nula

    Como mencionamos na introducao deste texto, o metodo que iremosusar para definir a integral de Lebesgue e o metodo de Riesz. Nestemetodo, apesar de nao ser necessaria a construcao de uma teoria damedida para os conjuntos, necessitamos, todavia, do conceito de con-junto de medida nula o qual e bastante simples e de facil compreensao.O unico conhecimento previo de que precisamos e a nocao elementarde comprimento (ou amplitude) de um intervalo da reta que e definidocomo sendo o valor absoluto da diferenca entre os extremos do inter-valo, nao importando se o mesmo e aberto ou fechado. Naturalmente,se o intervalo nao e limitado diremos que tem amplitude infinita. Aamplitude de um intervalo I sera denotada por amp(I). Salvo mencaoexplcita em contrario, todos os conjuntos a que nos referirmos saosubconjuntos do conjunto dos numeros reais, aqui denotado por R,tambem denominado reta real.

    1.1 Definicao. Diz-se que um conjunto E tem medida nula quandopara todo > 0 existe uma famlia enumeravel de intervalos abertos{Ik{kN satisfazendo as seguintes condicoes:

  • 6 Funcoes Escada Cap. 1

    (i) E k=1

    Ik , isto e, {Ik} e um recobrimento de E.

    (ii)k=1

    amp(Ik) < .

    Decorre imediatamente desta definicao que todo subconjunto deum conjunto de medida nula tem ele mesmo medida nula.

    Neste texto entendemos como enumeravel uma colecao que e finitaou equipotente ao conjunto N dos numeros naturais.

    1.2 Exemplo. Seja E = {r1, r2, . . . , rn, . . . } um subconjunto enu-meravel da reta real R. Para cada > 0, consideremos os intervalosIn = {x R; rn 2n+2 < x < rn +

    2n+2} para n = 1, 2, . . . . A famlia

    {In}nN e um recobrimento enumeravel de E e a amplitude de cada Ine dada por 2n+1 Logo, a soma das amplitudes dos In e menor que .Conclui-se que qualquer conjunto enumeravel tem medida nula. Comoconsequencia qualquer conjunto finito tem medida nula.

    1.3 Exemplo. Consideremos um intervalo compacto I = [a, b], a 6= b,e seja {Ik}kN um recobrimento enumeravel de I por intervalos abertos.Do teorema de Borel-Lebesgue podemos extrair do recobrimento dadoum sub-recobrimento finito {J1, J2, . . . , Jn}. E claro que

    (1.1) b a nj=1

    amp(Jj) k=1

    amp(Ik).

    Decorre de (1.1) que, se 0 < < b a, a soma das amplitudes dosintervalos de (Ik)kN e maior ou igual a . Portanto I nao tem medidanula.

    1.4 Proposicao. A uniao de uma famlia enumeravel de conjuntosde medida nula possui medida nula.

    Demonstracao: Seja {Ek}kN uma famlia de conjuntos de medidanula. Para cada > 0 e para cada k N existe um recobrimento

  • Secao 1.2 A integral de Riemann 7

    enumeravel de Ek por intervalos abertos {Ikn}nN , tal que

    (1.2)n=1

    amp(Ikn) 0 a diferenca S(u,D)s(u,D) e menor do que para k sufi-cientemente grande o que implica a integrabilidade segundo Riemannda funcao u.

    1.7 Exemplo. Toda funcao contnua e limitada e integravel segundoRiemann.

    A afirmativa do exemplo anterior e na verdade, um caso particulardo resultado a seguir.

    1.8 Teorema. Uma condicao necessaria e suficiente para que umafuncao limitada, u : (a, b) R, seja integravel segundo Riemann em(a, b) e que u seja contnua quase sempre em (a, b).

    Demonstracao: Para demonstrar esse resultado, recorde-se que:a) a oscilacao, (J), de u no subintervalo J de (a, b) e a diferenca entreo supremo e o nfimo de u em J ; b) a oscilacao (x) de u no pontox (a, b) e o numero inf {(J); J (a, b), x J}; c) u e contnua noponto x se e so se (x) = 0; d) designando por E o conjunto das des-continuidades de u em (a, b) e pondo Em = {x (a, b); (x) 1/m}tem-se E =

    m=1

    Em .

    Isto posto, mostremos que a condicao e necessaria. Seja, para isto,u integravel a Riemann em (a, b). Pelo que se acaba de dizer, para

  • Secao 1.2 A integral de Riemann 11

    demonstrar que u e contnua quase sempre em (a, b) e bastante de-monstrar que Em tem medida nula para todo m N. Suponha-seentao que, para algum m N, Em nao tenha medida nula. Resulta,da, que existe um > 0 tal que a soma das amplitudes dos intervalosde qualquer recobrimento de Em , por intervalos abertos, e maior que. Portanto, para toda decomposicao D de (a, b), a soma das amplitu-des dos intervalos de D, que contem pontos de Em , e maior ou iguala . Logo, S(u,D) s(u,D) 1m > 0, donde u nao e integravel aRiemann em (a, b), contra a hipotese. A condicao e, pois, necessaria.Reciprocamente, suponha-se que E tenha medida nula. Dado > 0seja

    (1.3) N >2(b a)

    De EN E resulta que EN tem medida nula, donde o conjunto FN =EN {a, b} tem medida nula e, portanto, existe um recobrimentoenumeravel (Ik) de FN , por intervalos abertos, tal que

    (1.4)k=1

    amp(Ik) k1.(1.11)

    + w(x) < wk(x) < + w(x) para k > k2.(1.12)

    Tomando k = max{k1, k2} resulta que as desigualdades (1.11) e(1.12) sao validas para k > k. Portanto,

    max{+ u(x),+ w(x)} < max{uk(x), wk(x)}< max{+ u(x), + w(x)}

    para todo k > k, ou seja

    + (u w)(x) < (uk wk(x) < + (u w)(x), k > k,

    ou ainda,

    |(uk wk)(x) (u w)(x)| < , k > k.

    Logo (uk wk) converge para (u w) quase sempre em [a, b].

    De maneira analoga mostra-se que (uk wk) converge para u wquase sempre em [a, b].

  • Secao 1.3 Integracao das funcoes escada 19

    Definiremos a integral em S0 como segue:

    1.18 Definicao. Seja u S0 e D uma decomposicao de (a, b) asso-ciada a u. Denotemos por Ck o valor constante assumido por u nointervalo Ik = (xk1, xk) de D, k = 1, 2, . . . , n. O numero real

    nk=1

    Ck(xk xk1)

    denomina-se integral da funcao u no intervalo (a, b), e e representado

    por ba u(x) dx,

    (a,b) u(x) dx ou simplesmente

    u. Isto e,

    u =

    ba

    u(x) dx =nk=1

    Ck(xk xk1).

    Devemos provar, naturalmente, que a integral de uma funcao escadau obtida da Definicao 1.18 nao depende da decomposicao D considera-da.

  • 20 Funcoes Escada Cap. 1

    1.19 Proposicao. Se u S0 entao a integral de u em (a, b) naodepende da decomposicao D de (a, b) associada a u.

    Demonstracao: Sejam D1 e D2 duas decomposicoes (a, b) associa-das a mesma funcao u S0 , obtidas, respectivamente, pelos pontosa = x0 < x1 < < xn = b e a = y0 < y1 < < ym = b. SejaD = D1 + D2 e representemos por xj1 = z

    j0 < z

    j1 < < x

    jk(j) =

    xj os pontos de divisao de D contidos no intervalo [xj1, xj]. Sendoxjxj1 = (zjk(j)z

    jk(j)1)+ +(z

    j1z

    j0) e u constante em (xj1, xj)

    para j = 1, 2, . . . , n, resulta que

    (1.13) Cj(xj xj1) =k(j)p=1

    Cj(zjp z

    jp1)

    onde Cj e o valor de u em (xj1, xj). Se denotarmos, nesta demons-tracao, a integral de u obtida usando-se uma decomposicao D por(D)

    u, obtemos de (1.13) que

    (D1)

    u =

    nj=1

    Cj(xj xj1) =nj=1

    k(j)p=1

    Cj(zjp z

    jp1) = (D)

    u.

    Procedento de maneira analoga com os pontos de divisao da decom-posicao D2 chegaremos a conclusao que (D2)

    u = (D)

    u e portanto

    (D1)u = (D2)

    u.

    Observe que a integral de u nao depende dos valores que u assumenos pontos de divisao de uma decomposicao D associada a u; dependeapenas dos valores assumidos por u nos intervalos Ik . Pode-se, pois,desconhecer os valores de u nos pontos de divisao de D ou atribuir-lhe valores arbitrarios ou, mesmo, nem defin-la nesses pontos. E,como refinando uma decomposicao associada a u por acrescimo deuma famlia finita de pontos de (a, b) tem-se ainda uma decomposicaoassociada a u, o mesmo pode ser dito a respeito de qualquer famliafinita de pontos de (a, b).

  • Secao 1.3 Integracao das funcoes escada 21

    1.20 Observacao: Seja E um subconjunto de (a, b). A funcaoXE : (a, b) R definida por XE(x) = 1 se x E e XE(x) = 0nos demais pontos de (a, b), chama-se funcao caracterstica de E. SeE (a, b) e uma uniao de n intervalos abertos Ik , k = 1, 2, . . . , n,dois a dois sem ponto interior em comum, simples e verificar queXE S0(a, b). Para cada u S0(a, b) define-se

    E u =

    ba uXE (ver

    Exerccios 1.1 e 1.2) e verifica-se queE u =

    nk=1

    Iku, uma vez que

    XE =nk=1XIk exceto, possivelmente, em uma famlia finita de pontos

    de (a, b). Em particular, se u = XE ,E XE =

    nk=1

    amp(Ik). Neste caso

    o numeroE XE chama-se amplitude de E e denota-se por amp(E).

    1.21 Observacao: Se , R e u, v S0 entao

    (u + v) =u+

    v. Esta propriedade nos diz que a aplicacao u

    u que a

    cada u S0 associa o numero real ba u e um funcional linear sobre o

    espaco vetorial S0 . Alem disto se u, v S0 e u v entao ba u

    ba v

    o que significa que o funcional linear u ba u e positivo sobre S0 .

    1.22 Observacao: Observemos que u v e entendido no sentido deque existem decomposicoes D1, D2 de (a, b), associadas as funcoes u ev, respectivamente, tais que u(x) v(x) para todo x de (a, b) distintodos pontos de divisao de D1 + D2 . Todavia, tambem convem notarque podemos admitir u(x) v(x) para todo x (a, b) uma vez que sealterarmos os valores de uma funcao escada em um numero finito depontos a sua integral nao se modifica.

    Passaremos agora a demonstrar duas proposicoes, as mais signifi-cativas deste captulo. Sobre ela esta moldada a definicao de integralde Lebesgue apresentada por F. Riesz. Dada a importancia de am-bas, no presente texto, resolvemos identifica-las como Primeiro LemaFundamental e Segundo Lema Fundamental para facilitar futuras

  • 22 Funcoes Escada Cap. 1

    referencias. Aconselhamos ao leitor memorizar estes resultados, pois,no decorrer deste texto, faremos uso frequente dos mesmos.

    1.23 Proposicao. (Primeiro Lema Fundamental) Seja (uk) umasucessao decrescente de funcoes escada nao negativas em (a, b). Se

    limk

    uk = 0 quase sempre em (a, b) entao limk

    ba uk = 0.

    Demonstracao: Para cada k N seja Ek o conjunto dos pontos dedescontinuidade da funcao uk em [a, b]. Como uk S0 entao Ek efinito e portanto E =

    k=1

    Ek e enumeravel.

    Logo, E possui medida nula. Representemos por F o conjuntodos pontos de [a, b] nos quais a sucessao (uk) nao converge para zero.Por hipotese F possui medida nula. Se G = E F entao G possuimedida nula. Resulta da que para cada > 0, existe um recobrimentoenumeravel de G por intervalos abertos, cuja soma das amplitudes emenor que /2M , onde M > sup{u1(x); x (a, b)}. Denotemos porJ1 o citado recobrimento de G.

    Se p e um ponto de [a, b] G, resulta que limk

    uk(p) = 0. Logo,

    existe um numero natural m, dependendo de p e , tal que

    um(p) 0, para cada numero natural k, considere o conjunto E,kdefinido do modo seguinte:

    E,k =

    {x (a, b); uk(x) >

    M

    }.

  • Secao 1.3 Integracao das funcoes escada 25

    Quando k varia em N obtem-se uma sucessao de conjuntos (E,k)kN ,crescente no sentido da inclusao, porque a sucessao (uk) e crescente.

    Alem disso, E0 k=1

    E,k como e simples verificar. Sendo as uk funcoes

    escada, resulta que para cada k, o conjunto E,k se nao for vazio, e auniao de um numero finito de intervalos disjuntos contidos em (a, b).Representemos por m,k a soma das amplitudes destes intervalos. Paracada k N tem-se

    (1.18) M ba

    uk =

    n(k)j=1

    Ckj(xkj xkj1

    )sendo Ckj o valor de uk no intervalo (x

    kj1, x

    kj ), de uma decomposicao

    associada a uk .

    Decomponhamos a soma do segundo membro de (1.18) nas parcelas e , definidas do seguinte modo: e a soma dos termos em queCkj >

    M e

    e a soma dos termos restantes. Destas consideracoesconclui-se que se E,k nao for vazio, entao

    M + > Mm,k +

    >M

    m,k ,

    portanto m,k < . Se E =k=1

    E,k , entao E e uma uniao enu-

    meravel de intervalos cuja soma das amplitudes e inferior a (verifi-que!). Segue-se entao que E0 tem medida nula.

    Vimos que no espaco vetorial S0 a integral definida e um funcionallinear. A proxima etapa e estender este funcional linear a um espacovetorial contendo S0 , que sera o espaco vetorial das funcoes integraveisa Lebesgue, procurado.

    Antes de alcancarmos este objetivo, passaremos por uma etapaintermediaria, construindo uma classe S1 que contem S0 mas nao eainda um espaco vetorial.

  • 26 Funcoes Escada Cap. 1

    Representaremos por S1 ou S1(a, b) a classe de todas as funcoesu : (a, b) R que sao limites quase sempre de sucessoes de funcoesde S0 , satisfazendo as hipoteses do Segundo Lema Fundamental. Istosignifica dizer que uma funcao u : (a, b) R pertence a S1 se e so-mente se existe uma sucessao crescente (uk) de funcoes de S0 tal que asucessao das integrais

    ( uk)

    tem um majorante e limk

    uk(x) = u(x)

    quase sempre em (a, b). Diremos que uma tal sucessao define u. Eclaro que todo elemento de S0 e elemento de S1 , porem, nem todo ele-mento de S1 e elemento de S0 , conforme mostra o exemplo a seguir.

    1.25 Exemplo. Seja u uma funcao nula em (a, b) exceto nos pontosde um conjunto E de medida nula. Entao u S1 , pois a sucessao(uk), onde uk e, para cada k, a funcao identicamente nula, satisfazas condicoes do Segundo Lema Fundamental e converge quase semprepara u. Em geral u nao pertence a S0(a, b) como ocorre com a funcaocaracterstica do conjunto dos racionais do intervalo (a, b) como foivisto no Exemplo 1.5.

    A etapa seguinte e a extensao da nocao de integral definida em S0 ,a nova classe S1 .

    Seja u S1 e (uk) uma sucessao de funcoes de S0 , satisfazendo ashipoteses do Segundo Lema Fundamental, convergindo para u quasesempre em (a, b). Sendo a sucessao (uk) crescente vem que

    ( uk)

    e crescente e como esta ultima tem um majorante ela e convergente,isto e, existe e e finito o lim

    k

    uk . Este limite sera, por definicao, a

    integral de u em (a, b), como elemento de S1 . Isto e ba

    u(x) dx = limk

    ba

    uk(x) dx,

    onde as integrais ba uk sao aquelas definidas para funcoes de S0 .

    Para provar que esta nocao de integral em S1 esta bem definidadevemos mostrar que

    u nao depende da sucessao (uk) de S0 , satis-

    fazendo ao Segundo Lema Fundamental, que define u. Outro fato que

  • Secao 1.3 Integracao das funcoes escada 27

    precisamos constatar e que esta integral de S1 , quando restrita aoselementos de S0 , coincide com a integral ja existente em S0 .

    Antes de prosseguirmos nesta direcao, introduziremos aqui mais al-guns conceitos gerais sobre funcoes. Dada uma funcao u : (a, b) Rpodemos definir as funcoes u+ e u chamadas, respectivamente, partepositiva e parte negativa de u, da seguinte maneira: u+ = u O eu = (u)O, conforme notacao ja introduzida apos a demonstracaodo Lema 1.16 (aqui, o smbolo O representa a funcao nula). Obser-vemos ainda que tanto a parte positiva quanto a parte negativa deu sao funcoes nao negativas. E simples verificar que u = u+ u e|u| = u+ + u . Se u e w sao funcoes reais quaisquer, definidas em(a, b), tem-se as seguintes identidades:

    (u w)+ = (u w) w = u (u w)(1.19)

    (u w) = (u w) u = w (u w)(1.20)

    (veja Exerccio 1.5).

    1.26 Proposicao. Sejam u, v funcoes de S1 definidas, respectiva-mente, pelas sucessoes (uk) e (vk) de funcoes de S0 , satisfazendo ashipoteses do Segundo Lema Fundamental. Entao, se u v quasesempre em (a, b), tem-se

    limk

    uk lim

    k

    vk .

    Demonstracao: Fixemos uma funcao um de (uk). Entao a sucessao(um vk)kN sera decrescente e converge quase sempre para um v.Alem disto, tem-se que um v u v 0 quase sempre em (a, b), deacordo com a hipotese. Entao, pela Proposicao 1.17, ([um vk]+)kNconverge quase sempre em (a, b) para a funcao [um v]+ 0. Destemodo temos uma sucessao ([umvk]+)kN de funcoes de S0 decrescentee convergente quase sempre para zero em (a, b). Pelo Primeiro Lema

  • 28 Funcoes Escada Cap. 1

    Fundamental, resulta que a sucessao das integrais(

    [um vk]+)kN

    converge para zero. Mas como para todo k N tem-se

    um vk [um vk]+,

    e estas funcoes sao de S0 , decorre da que para todo k

    (1.21)

    (um vk)

    [um vk]+.

    Tomando o limite em (1.21) quando k , levando em conta que osegundo membro converge para zero, tem-se:

    um limk

    vk = lim

    k

    (um vk) lim

    k

    [um vk]+ = 0

    ou seja

    (1.22)

    um lim

    k

    vk .

    Sendo a desigualdade (1.22) valida para todo m N, resulta da que

    limk

    uk lim

    k

    vk .

    1.27 Corolario. Se u S1 e limite de (uk) e (vk) de S0 , nas hipotesesdo Segundo Lema Fundamental, entao lim

    k

    uk = lim

    k

    vk , ou seja,

    a integral em S1 esta bem definida.

    Demonstracao: E suficiente considerar, na Proposicao 1.26, v u ev u.

    1.28 Corolario. A restricao da integral definida em S1 a classe S0 ,coincide com a integral definida em S0 .

    Demonstracao: A fim de facilitar a compreensao, representaremosnesta demonstracao as integrais definidas em S1 e S0 por I1 e I0 , res-pectivamente. Vamos provar que se u S0 entao I1(u) = I0(u). De

  • Secao 1.3 Integracao das funcoes escada 29

    fato, sendo u S0 podemos considerar a sucessao (uk) onde uk = upara todo k N. Entao (uk) define u como elemento de S1 , poisuk S0 e satisfaz as hipoteses do Segundo Lema Fundamental. Pordefinicao temos

    I1(u) = limk

    I0(uk) = I0(u).

    Resumindo, fica demonstrado que a integral em S1 e bem definidacomo extensao daquela definida em S0 . Alem disto ela preserva aordem.

    1.29 Proposicao. Sejam u, v pertencentes a S1 e um numero realnao negativo. Entao u e u+ v tambem pertencem a S1 . Alem distotem-se

    u =

    u e

    (u+ v) =

    u+

    v.

    Demonstracao: Sejam (uk) e (vk) sucessoes de funcoes de S0 , satis-fazendo as hipoteses do Segundo Lema Fundamental, que definem asfuncoes u e v, respectivamente. Como 0, a sucessao (uk) estanas condicoes do Segundo Lema Fundamental e define a funcao u.Portanto u S1 , obtendo-se

    u = limk

    uk = lim

    k

    [

    uk]

    =

    u,

    porqueuk =

    uk , uma vez que as uk pertencem a S0 .

    Da mesma forma a sucessao (uk+vk) esta nas condicoes do SegundoLema Fundamental e define a funcao u+ v. Deste modo,

    (u+ v) = limk

    (uk + vk) = lim

    k

    [ uk +

    vk]

    = limk

    uk + lim

    k

    vk =

    u+

    v.

    1.30 Observacao: A classe S1 nao e um espaco vetorial pois nao everdade que u v S1 u, v S1 (ver o Exerccio 1.6). Todavia, se

  • 30 Funcoes Escada Cap. 1

    u S1 e v S0 , entao u v S1 . De fato, de v S0 vem v S0 ,pois S0 e um espaco vetorial, donde v S1 visto que S0 S1 ; logo,u v S1 pela Proposicao 1.29.

    1.31 Observacao: Diz-se que um subconjunto C de um espaco ve-torial V e um cone se u C u C e 0. Diz-se que C eum cone convexo se C e um cone e u + v C u, v C. Verifica-seimediatamente que um cone convexo e um conjunto convexo e reci-procamente, se um cone C e um conjunto convexo, entao C e um coneconvexo. Pela Proposicao 1.29, S1 e um cone convexo.

    Seja W o subespaco de V gerado por um cone convexo C. Comoe bem sabido, cada elemento de W e uma combinacao linear de umafamlia finita de elementos de C, i.e., se w W , entao

    w = 1w1 + + nwn , wi C, i R, i = 1, . . . , n.

    Se, agora, u e v sao, respectivamente, as somas dos termos para osquais i > 0 e i < 0, tem-se w = uv com u, v C. Reciprocamente,se u, v C e w = u v, entao w W . Logo, W e o conjunto doselementos de V da forma u v, onde u, v C.

    O espaco vetorial gerado pelo cone convexo S1 sera estudado noCaptulo 2.

    1.32 Observacao: Seja u : (a, b) R uma funcao de S1 . Para cadat (a, b), a funcao uX(a,t) e tambem uma funcao de S1 . Define-se ta u =

    ba uX(a,t) . Da, simples e demonstrar que se t (a, b) e u S1

    entao ba

    u =

    ta

    u+

    bt

    u.

    Para tal e suficiente observar que u = uX(a,t) + uX(t,b) + uX{t} .

    1.33 Proposicao. Se u e w sao funcoes de S1 , entao u w e u wtambem pertencem a S1 .

  • Secao 1.4 Retorno a integral de Riemann 31

    Demonstracao: Sejam (uk) e (wk), sucessoes de funcoes de S0 , sa-tisfazendo as hipoteses do Segundo Lema Fundamental, definindo u ew, respectivamente. Consideremos a sucessao (k) onde k = uk wkpara cada k N. Pela Proposicao 1.17, (k) converge quase semprepara u w. Como (k) e uma sucessao de funcoes de S0 , crescente,resta-nos apenas provar que a sucessao das integrais

    ( k)

    tem ummajorante. Para isto, basta observar que, para cada k N, tem-se

    (1.23) k = ukwk (uk +u1 ) (wk +w1 ) (uk +u1 )+(wk +w1 )

    uma vez uk + u1 0, wk + w1 0 e o supremo de duas funcoes nao

    negativas e menor ou igual a sua soma. Decorre de (1.23), levando emconta a Observacao 1.22, que

    k uk +

    wk +

    u1 +

    w1 M,

    onde M e constante. Portanto u w pertence a S1 .Procedimento analogo, mostra-nos que, tambem, u w pertence a

    S1 . Basta observar que para cada k N, vale a desigualdade

    uk wk uk .

    1.4 Retorno a integral de Riemann

    Examinaremos a integral de Riemann, na linguagem introduzida paraas funcoes escada. Os resultados que aqui obteremos facilitarao oentendimento da comparacao entre as integrais de Riemann e de Le-besgue, que faremos posteriormente.

    Consideremos u : (a, b) R limitada, e D uma decomposicao de(a, b), por meio de pontos a = x0 < x1 < < xk = b. Para cadaj = 1, 2, . . . , k seja mj = inf{u(x); x Ij} e Mj = sup{u(x); x Ij},

  • 32 Funcoes Escada Cap. 1

    onde Ij = (xj1, xj). Deste modo, fixada u : (a, b) R, limitada, acada decomposicao D de (a, b) ficam definidas em (a, b) as seguintesfuncoes escada:

    `D(x) = mj para x Ij , j = 1, 2, . . . , kLD(x) = Mj para x Ij , j = 1, 2, . . . , k`D(xj) = LD(xj) = u(xj), j = 1, 2, . . . , k 1.

    Resulta que as somas inferior e superior, respectivamente, s(u,D) eS(u,D) podem ser representadas pelas integrais das funcoes escada`D e LD , isto e

    s(u,D) =

    ba

    `D e S(u,D) =

    ba

    LD .

    Seja (Di) uma sucessao crescente de decomposicoes de (a, b). Comisto estamos dizendo que para cada i N, todo ponto de divisao de Die ponto de divisao deDi+1 . Denotaremos esta inclusao porDi < Di+1 ,para i N. Representemos as funcoes `Di e LDi simplesmente por `i eLi , respectivamente, para i N. Observemos que Di < Di+1 acarreta`i `i+1 e Li Li+1 , para todo i N, isto e, a sucessao (`i) e crescentee a sucessao (Li) e decrescente. Sendo `i(x) u(x) Li(x) em (a, b)para todo i N, conclui-se que estas sucessoes sao convergentes em(a, b) e tem-se:

    (1.24) `(x) = limi

    `i(x) u(x) limi

    Li(x) = L(x).

    Se u R(a, b), a sucessao (Di) pode ser escolhida de modo que ba (Li `i) converge para zero.

    1.33 Proposicao. Se u for integravel a Riemann em (a, b), entaoexiste uma (Di) tal que `(x) = u(x) = L(x) quase sempre em (a, b).

    Antes de provarmos esta proposicao demonstraremos um lema, quee o recproco do Primeiro Lema Fundamental.

  • Secao 1.4 Retorno a integral de Riemann 33

    1.34 Lema. Seja (uk) uma sucessao decrescente de funcoes escadanao negativas. Se lim

    k

    uk = 0, entao a sucessao (uk) converge para

    zero, quase sempre em (a, b).

    Demonstracao: Sendo a sucessao (uk) decrescente e limitada infe-riormente por zero, conclui-se que uk converge, em (a, b), para umafuncao u nao negativa. E suficiente provar que u e nula quase sem-pre em (a, b). Como e nao negativa, o conjunto dos pontos onde elae diferente de zero e a uniao enumeravel dos conjuntos Ej = {x (a, b); u(x) 1j}, j N. Portanto, tudo que temos a fazer e provarque para cada j N o conjunto Ej tem medida nula. Sendo uk u,resulta que uk(x) 1j para todo x Ej e todo k N. Fixados k e jem N , os subintervalos disjuntos de (a, b) onde uk e constante e nosquais uk(x) 1j formam, evidentemente, um recobrimento finito dospontos de Ej diferentes das discontinuidades de uk as quais sao emnumero finito, uma vez que uk e uma funcao escada.

    Sejam I1, I2, . . . , Is os intervalos de tal recobrimento e S = I1 I2 Is . Entao b

    a

    uk ba

    ukXS 1

    j

    ba

    XS =1

    jamp(S).

    Portanto amp(S) j ba uk onde amp(S) =

    sn=1

    amp(In). Mas, como

    limk

    ba uk = 0, segue-se que se > 0 e dado, e k suficientemente

    grande, entao amp(S) < . Portanto para cada > 0 existe umrecobrimento de Ej cuja soma das amplitudes e menor que ; logo Ejtem medida nula, para cada j, uma vez que j era arbitrario.

    Demonstracao da Proposicao 1.33: A funcao L ` e limite dasucessao (Li`i), que e formada de funcoes escada nao negativas, poisLi `i 0 para todo i N. Alem disso, verifica-se sem dificuldadeque a sucessao (Li`i) e decrescente. Sendo u integravel a Riemann, a

  • 34 Funcoes Escada Cap. 1

    sucessao (Di) pode ser escolhida de modo que a sucessao das integrais( [Li `i]

    )converge para zero. Portanto, pelo Lema 1.34, a sucessao

    (Li `i) converge para zero quase sempre em (a, b), concluindo-seque `(x) = L(x) quase sempre em (a, b). Levando-se em conta adesigualdade (1.24), obtem-se que `(x) = u(x) = L(x) quase sempreem (a, b).

    1.35 Corolario. Toda funcao u R(a, b) e uma funcao de S1 e aintegral de u em S1 e a integral de u segundo Riemann.

    Demonstracao: Basta observar que para uma conveniente (Di), (`i)e uma sucessao de funcoes escada satisfazendo as hipoteses do SegundoLema Fundamental, que converge quase sempre para u, e que a integralde u segundo Riemann e dada por

    u = lim

    i

    `i ; mas esta e a integral

    de u em S1 .

    1.36 Proposicao. Sejam u : (a, b) R, limitada, (vi), (wi) sucessoesde funcoes escada em (a, b), a primeira crescente e a outra decres-cente, ambas convergindo quase sempre para u e tais que para todo i,vi u wi em (a, b). Entao u e integravel a Riemann em (a, b) eu = lim

    i

    vi = lim

    i

    wi .

    Demonstracao: Por hipotese, para todo i N se tem vi(x) u(x) wi(x) para todo x em (a, b). Para cada i, seja Di uma decomposicaode (a, b) associada, simultaneamente, as funcoes vi e wi (ver Lema1.16) e sejam (`i) e (Li) as sucessoes de funcoes escada, definidas apartir da sucessao de decomposicao (Di) como fizemos no incio desteparagrafo. E claro que para todo i tem-se:

    (1.25) vi(x) `i(x) u(x) Li(x) wi(x)

    para todo x em (a, b). Mas como (wi vi) converge para zero quasesempre em (a, b) e e decrescente segue-se do Primeiro Lema Fundamen-tal que lim

    i

    (wivi) = 0 e por (1.25) conclui-se que lim

    i

    (Li`i) = 0.

  • Secao 1.4 Retorno a integral de Riemann 35

    Assim, S(u,Di) s(u,Di) =

    (Li `i) converge para zero e portantou e integravel a Riemann. Alem disso

    u = limi

    vi = lim

    i

    `i = lim

    i

    Li = lim

    i

    wi .

    Resumindo, ficou provado que uma funcao u : (a, b) R, limitada,e integravel a Riemann em (a, b) se e somente se existem sucessoes defuncoes escada (vi), (wi), uma crescente e a outra decrescente, ambasconvergentes para u quase sempre e tais que vi u wi em (a, b)para todo i. A integral de u e o valor comum dos limites das sucessoesdas integrais de vi e wi .

    1.37 Observacao: Nem toda funcao de S1 e uma funcao de R(a, b).Para ver isto basta considerar, outra vez, a funcao do Exemplo 1.5 ecomparar com o Exemplo 1.25.

    1.38 Observacao: Se F e um conjunto de funcoes, representemospor F o conjunto das funcoes de F com sinal trocado. Entao, doCorolario 1.35 tem-se R(a, b) S1 , e R(a, b) = R(a, b) S1 .Logo, R(a, b) S1 (S1). A inclusao e forte porque a funcao doExemplo 1.5 pertence a S1 e a S1 .

  • 36 Funcoes escada Cap. 1

    Exerccios

    1.1 Mostre que o produto de duas funcoes escada e uma funcao es-cada.

    1.2 Demonstre queE u, como definida na Observacao 1.20, nao de-

    pende da maneira como E e representado pela uniao de umafamlia finita de intervalos dois a dois sem ponto interior em co-mum.

    1.3 Se u, v sao funcoes escada tais que u v entaou

    v.

    1.4 Use o Exerccio 1.3 para provar que se E (a, b) como noExerccio 1.2, entao

    E u

    ba u qualquer que seja u S0 nao

    negativa.

    1.5 Prove as identidades (1.19) e (1.20) do texto.

    1.6 Seja {In} uma famlia de intervalos em (0, 1) que cobre o conjuntodos racionais de (0, 1) e e tal que amp(In) 12 Seja S =

    n=1

    In

    e u = X(0,1) XS . Mostre que u / S1 , embora X(0,1) e XSpertencam a S1 .

    Sugestao: Para cada k N considere Sk =k

    n=1In e seja gk a

    funcao caracterstica de Sk . Entao, (gk) e uma sucessao crescentede funcoes escada que converge quase sempre para XS e alem disso 1

    0 XS 1/2. Assim, XS pertence a S1 e portanto se u pertencessea S1 teramos

    10 u = 1 XS 1/2. Por outro lado, para cada

    ponto racional p (0, 1) existe um intervalo aberto, da famlia{In}, contendo p e no qual u assume o valor zero. Desta forma,qualquer intervalo aberto J contem um intervalo aberto no qualu e zero. Resulta da que se e uma funcao escada tal que uquase sempre entao 0 quase sempre. Use estas consideracoes

  • Exerccios 37

    para concluir que se u pertencesse a S1 entao teramosu 0,

    o que seria uma contradicao.

    1.7 (a) Mostre que a palavra aberto pode ser omitida na Definicao1.1.(b) Mostre que a Definicao 1.1 e equivalente a seguinte: umconjunto E R tem medida nula se existe um recobrimentoenumeravel de E por intervalos {Jk} tais que cada ponto de Epertence a um numero infinito de tais intervalos e a soma dasamplitudes dos Jk e finita.

  • 2

    Integral a Lebesgue-Riesz

    2.1 A Integral de Lebesgue

    Sera representado por L(a, b) o subespaco do espaco das funcoes reaisem (a, b) gerado pelo cone convexo S1(a, b). Pelo que foi visto naObservacao 1.31, w L(a, b) se, e so se, w = uv, onde u, v S1(a, b).

    2.1 Proposicao. L(a, b) e um reticulado vetorial.

    Demonstracao: Como L(a, b) e um espaco vetorial e bastante de-monstrar que L(a, b) e fechado para e . Seja, para isto, = u v,u, v S1(a, b). Da, por (1.19), vem + = (uv)+ = uvv L(a, b)uma vez que u v S1(a, b). Logo, se 1, 2 L(a, b), entao(12)+ L(a, b) e como, ainda por (1.19), (12)+ = 122 ,resulta que 1 2 = (1 2)+ + 2 L(a, b). Analogamente ve-seque 1 2 L(a, b).

    2.2 Corolario. Se L(a, b), entao + e tambem pertencem aL(a, b); consequentemente, |w| L(a, b).

    Demonstracao: De fato, w+ = w O L(a, b) e w = (w) O L(a, b), pela Proposicao 2.1 (O e a funcao identicamente nula em(a, b)). Alem disto |w| = w+ + w L(a, b) pois L(a, b) e um espaco

  • 40 Integral a Lebesgue-Riesz Cap. 2

    vetorial.

    Seja w L(a, b) e escrevamos w = uv onde u, v S1 . Define-se aintegral de w em L(a, b) como sendo

    w =

    uv, onde as integrais

    do segundo membro sao definidas em S1 . Devemos demonstrar que aintegral de w assim definida nao depende da escolha da representacaode w como diferenca de funcoes de S1 . De fato, suponhamos quew = u v = u1 v1 , sendo u, v, u1, v1 funcoes de S1 . Resulta daque u1 + v = u+ v1 e como u1 + v, u+ v1 sao funcoes de S1 , obtem-seque

    u1 +

    v =

    u+

    v1 ,

    e portanto u1

    v1 =

    u

    v =

    w,

    provando assim que a integral de w esta bem definida.

    2.3 Proposicao. A aplicacao uu, que a cada u L(a, b) associa

    a integral de u e um funcional linear sobre o espaco vetorial L(a, b).

    Demonstracao: Sejam w, w1 em L(a, b). Entao w + w1 L(a, b).Vamos mostrar que

    (w+w1) =

    w+

    w1 . De fato, se w = u v e

    w1 = u1 v1 com u, v, u1, v1 S1 , tem-se por definicao:(w + w1) =

    (u+ u1)

    (v + v1) =

    u+

    u1

    v

    v1 =

    =(

    uv)

    +(

    u1 v1)

    =

    w +

    w1

    provando que a integral em L(a, b) e uma funcao aditiva. A seguirverificaremos que ela e homogenea. Seja R e w L(a, b) comw = u v, u, v S1 . Se 0 tem-se

    w =

    (u v) =

    u

    v =

    ( u

    v)

    =

    w.

  • Secao 2.1 A Integral de Lebesgue 41

    Observando que(w) =

    (v u) =

    v

    u =

    ( u

    v)

    = w

    concluimos que se < 0 tem-sew =

    (||w) =

    ||w = ||

    w =

    w.

    2.4 Definicao. L(a, b) e dito espaco vetorial das funcoes integraveisa Lebesgue. A integral definida em L(a, b) denomina-se integral deLebesgue. Omitiremos a palavra Lebesgue e diremos apenas integral efuncao integravel (ou somavel, como Lebesgue chamou originalmente)quando nos referirmos aos elementos de L(a, b).

    Observemos que a integral de Lebesgue, definida em L(a, b) e umaextensao da integral definida em S1 . Isto e, se w S1 entao a integralde w como elemento de S1 coincide com a integral de Lebesgue dew. Basta considerar uma funcao v arbitraria em S1 e escrever w =(w+ v) v. Entao, por definicao, a integral de Lebesgue de w e dadapor

    w =

    (w + v)

    v =

    w +

    v

    v =

    w,

    onde as integrais consideradas do segundo membro em diante sao aque-las definidas para os elementos de S1 . Como R(a, b) S1 e a integralde Riemann de uma funcao de R(a, b) coincide com a integral damesma funcao como elemento de S1 (ver Corolario 1.35), conclui-seque toda funcao integravel a Riemann em (a, b) e integravel a Lebes-gue e as duas integrais coincidem. A recproca, como era de se esperar,nao e verdadeira (veja Observacao 1.37).

    2.5 Proposicao. Se w L(a, b) e w 0 quase sempre, entaow 0.

  • 42 Integral a Lebesgue-Riesz Cap. 2

    Demonstracao: Seja w = u v, com u, v S1 . Sendo w 0 quasesempre, obtem-se u v quase sempre e portanto

    u

    v (veja

    Proposicao 1.26). Resulta da quew =

    u

    v 0.

    2.6 Corolario. Se w1, w2 L(a, b) e w1 w2 quase sempre entaow1

    w2.

    Demonstracao: Considere a funcao w = w1 w2 e aplique a Pro-posicao 2.5.

    2.7 Proposicao. Se w pertence a L(a, b), entao |w|

    |w|.

    Demonstracao: Do Corolario 2.2 tem-se que |w| L(a, b). Comow |w|, conclui-se pelo Corolario 2.6 que

    w

    |w| e portanto

    |w|

    |w|.

    2.8 Proposicao. Se w L(a, b) entao existe uma sucessao (wn)nNde funcoes escada em (a, b) tal que lim

    nwn = w quase sempre. Alem

    disso tem-se que limn

    |wn w| = 0.

    Demonstracao: Seja w = u v com u, v S1 . Por definicao deS1 existem sucessoes (un) e (vn) de funcoes escada satisfazendo ascondicoes do Segundo Lema Fundamental, convergindo quase semprepara u e v, respectivamente. Considere a sucessao (wn) onde paracada n, wn = un vn . E claro que cada wn e uma funcao escadae limn

    wn = w quase sempre, ficando provada a primeira parte da

    proposicao. Alem disso tem-se:

    0 |wn w| =

    |un vn u+ v|

    |u un|+

    |v vn| =

    =

    (u un) +

    (v vn),

    pois u un e v vn .

  • Secao 2.2 Sucessoes de Funcoes 43

    Tomando o limite quando n tende para infinito, levando em contaque lim

    n

    (u un) = lim

    n

    (v vn) = 0, resulta que

    limn

    |wn w| = 0.

    2.2 Sucessoes de Funcoes

    Neste paragrafo estudaremos alguns teoremas de convergencia nota-damente aqueles que dizem respeito a integracao termo a termo. Ini-ciaremos com o teorema de Beppo Levi (1906). Lembremos que apartir de S0 construimos a classe S1 constituida das funcoes obtidascomo limite quase sempre de sucessoes de funcoes S0 , satisfazendoas hipoteses do Segundo Lema Fundamental. O teorema de BeppoLevi nos assegura que se aplicarmos o mesmo metodo de construcaopara sucessoes de funcoes de L(a, b) nao obteremos uma nova classede funcoes.

    2.9 Lema. Seja w uma funcao integravel. Entao, para cada > 0existem funcoes u, v S1 tais que w = u v, v 0 e

    v dx < .

    Alem disso, se w 0 entao pode-se considerar u 0.Demonstracao: Sendo w L(a, b), por definicao, podemos escreverw = u v com u, v S1 . Seja (vn)nN uma sucessao de funcoesde S0 , satisfazendo as hipoteses do Segundo Lema Fundamental, con-vergindo quase sempre para v. Entao, para todo n, tem-se

    (2.1) w = u v = (u vn) (v vn) = Un Vn

    onde Un = u vn e Vn = v vn . Como vn v para todo n, vem

    que Vn 0 para todo n. Mais ainda, pela definicao da integral emS1 tem-se

    v = lim

    vn , donde lim

    Vn = lim

    (v vn) = 0 e,

    portanto, dado > 0, podemos escolher um n0 N tal queVn0 dx

  • 44 Integral a Lebesgue-Riesz Cap. 2

    . Considerando n = n0 em (2.1) tem-se que w = Un0 Vn0 e asfuncoes u = Un0 e v = Vn0 satisfazem as condicoes do lema, pelaObservacao 1.30. Alem disso se w 0 temos de (2.1) que, para todon, Un = w + Vn 0. Em particular, u = Un0 0.2.10 Lema. Seja (un) uma sucessao crescente de funcoes de S1 cujasucessao das integrais

    ( un)

    tem um majorante. Entao (un) convergequase sempre para uma funcao u S1 e tem-se ainda que

    u =

    limn

    un .

    Demonstracao: De fato, consideremos uma sucessao crescente (un)de elementos de S1 tal que existe uma constante M satisfazendo adesigualdade

    un < M para todo n N. Como as funcoes un per-

    tencem a S1 , para cada n existe uma sucessao (unk)kN de funcoes deS0 , nas condicoes do Segundo Lema Fundamental, convergindo quasesempre para un . Isto e,

    u11 u12 . . . u1n . . . e u1n u1u21 u22 . . . u2n . . . e u2n u2...

    ......

    ......

    us1 us2 . . . usn . . . e usn us...

    ......

    ......

    Pondo vn(x) = max1in

    {uin(x)} = max{u1n(x), u2n(x), . . . , unn(x)} paratodo x (a, b) tem-se, para cada n, uma funcao escada vn e a sucessao(vn) e crescente. Alem disto, uin ui un para 1 i n. Logo,tomando o maximo para 1 i n, obtem-se vn un e portantovn

    un M para todo n. Logo, a sucessao das integrais das

    funcoes vn e limitada. Pelo Segundo Lema Fundamental conclui-seque (vn) converge quase sempre para uma funcao u que esta em S1 ,por definicao. Mostremos que lim

    nun = u quase sempre. Para cada

    k N tem-se vk = max1nk

    {unk} unk , qualquer que seja 1 n k.Logo, tomando o limite quando k resulta que u un para todo

  • Secao 2.2 Sucessoes de Funcoes 45

    n. Mas vn un para todo n; logo vn un u para todo n. Sendolimn

    vn = u quase sempre, conclui-se que limn

    un = u quase sempre.

    Da desigualdade vn un u conclui-se ainda quevn

    un

    u

    para todo n. Mas sendo, por definicao,u = lim

    n

    vn conclui-se que

    u = limn

    un .

    2.11 Corolario. Consideremos uma serien=1

    un , com un S1,

    un 0 para todo n. Se a sucessao( [ k

    n=1un])kN for limitada,

    entao a serien=1

    un converge quase sempre para uma funcao u de S1

    eu =

    n=1

    un .

    Demonstracao: Para cada n, seja Un =nk=1

    uk . Segue-se que a su-

    cessao (Un) satisfaz as hipoteses do Lema 2.10. Logo existe uma funcaou S1 tal que lim

    nUn = u quase sempre e tem-se que

    u = limn

    Un = lim

    n

    ( nk=1

    uk)

    = limn

    nk=1

    uk =

    n=1

    un .

    Teorema (Beppo Levi). Seja (un) uma sucessao crescente de funcoesde L(a, b) cuja sucessao das integrais (

    un) e limitada superiormente.

    Entao (un) converge quase sempre para uma funcao u L(a, b) e tem-se que

    u = lim

    n

    un .

    Demonstracao: Seja (un) uma sucessao crescente de funcoes in-tegraveis e suponhamos que existe uma constante A tal que

    un < A

    para todo n. Consideremos a serie u1 +n=1

    vn onde para cada n,

    vn = un+1 un . A demonstracao reduz-se a provar que a serien=1

    vn converge quase sempre para uma funcao integravel v e que

  • 46 Integral a Lebesgue-Riesz Cap. 2

    v =

    n=1

    vn , pois, se este e o caso a sucessao (un) convergira quase

    sempre para a funcao integravel u = u1 + v eu =

    u1 +

    v =

    u1 + limn

    n1k=1

    vk = lim

    n

    un .

    Para cada n, temos queun =

    u1 +

    n1k=1

    vk e portanto

    (2.2)

    n1k=1

    vk =

    un

    u1 < A

    u1 = B.

    Sendo vn integravel pode-se escrever: vn = Un Vn com Un, Vn emS1 . Pelo Lema 2.9 pode-se admitir que Un, Vn sao nao negativas e

    (2.3)

    Vn 0existem funcoes integraveis v e w tais que se tenha v u w e ba (w v) < . Entao u e integravel.

    Demonstracao: Ponhamos sucessivamente = 12n e denotemos por

    vn e wn as funcoes correspondentes. Entao a serien=1

    ba (wn vn) e

    convergente, pois e majorada pela serien=1

    12n Entao, pelo Teorema

    2.12, a serien=1

    (wnvn) e convergente quase sempre e portanto wnvnconverge para zero quase sempre. Isto e vn u e wn u quasesempre. Se considerarmos a funcao H(x) = max{|v1(x)|, |w1(x)|} eclaro que H e integravel e |u| H. Pelo Corolario 2.28 segue-se queu e integravel.

  • 56 Integral a Lebesgue-Riesz Cap. 2

    2.3 A integral sobre um intervalo nao limitado

    Ate aqui consideramos a integral para funcoes definidas num intervalolimitado (a, b). O caso dos intervalos nao limitados como (a,+),(, b), (,) nao apresenta dificuldade. Com pequenas modi-ficacoes nas definicoes poderemos obter todos os resultados ja vistosate agora para o caso do intervalo limitado. Neste paragrafo deno-taremos por J um intervalo nao limitado de qualquer um dos tiposmencionados acima. Uma funcao definida em J e dita funcao es-cada se existe um intervalo limitado (a, b) contido em J , fora do qual e nula e no qual e funcao escada no sentido da definicao dada naSecao 1.3.

    2.30 Exemplo: A funcao definida por

    (x) =

    {maior inteiro menor que x se |x| < 50 se |x| 5

    e uma funcao escada definida em toda reta.

    Se for uma funcao escada definida em J e se denotarmos por Ck osvalores assumidos por sobre os intervalos limitados Ik (a, b) J ,k = 1, . . . , n a sua integral e definida por

    J

    =nk=1

    Ck amp(Ik) =

    ba

    .

    As definicoes de funcoes mensuraveis e integraveis sobre J sao feitasde modo analogo ao caso do intervalo finito e todos os resultados vistosate agora sao validos, com excecao dos que fazem apelo a integrabi-lidade das funcoes constantes. Embora as funcoes constantes sejammensuraveis nos intervalos ilimitados, nao sao, contudo, integraveisnesses intervalos (a funcao u constante e igual a c no intervalo (0,+),por exemplo, e mensuravel porque e o limite da sucessao (cX(0,n)) de

  • Secao 2.3 A integral sobre um intervalo nao limitado 57

    funcoes escada, mas nao e integravel porque se fosse, sua suposta in-tegral deveria ser maior que

    cX(0,n) = nc, n N, uma vez que

    u > cX(0,n), o que nao e possvel). Como consequencia, o Corolario2.26 nao e valido nos intervalos ilimitados e, desse modo, a Proposicao2.27, que permanece valida nos intervalos ilimitados, deve ter sua de-monstracao revista pois faz apelo aquele corolario. Para demonstra-lano caso ilimitado devemos substituir a funcao constante e igual a 1que figura no numerador de vn por uma funcao h integravel e essenci-almente positiva; as funcoes vn =

    h1+un

    sao integraveis pela Proposicao2.24, pois vn e mensuravel e 0 < vn h. Os demais argumentos dademonstracao permanecem validos. (Uma funcao integravel e estrita-mente positiva em (0,+), por exemplo, pode ser construda comosegue: seja uk =

    12k X(k1,k), k = 1, . . . , e hn =

    nk=1

    uk ; entao (hn) e

    uma sucessao crescente de funcoes escada cuja sucessao das integrais

    e limitada poishn =

    nk=1

    1/2k < 1. Pela forma crescente do Teorema

    de Beppo Levi, (hn) converge para uma funcao integravel h e, como eimediato, h > 0 em (0,+)).

  • 58 Integral a Lebesgue-Riesz Cap. 2

    Exerccios

    2.1 Prove que dada u integravel em (a, b) tal que 0 u M , entaoexiste uma funcao escada tal que |u | < M e

    |u | < .

    Sugestao: Aplicar Proposicao 2.8.

    2.2 Mostre que E (a, b) tem medida nula se e so se existe umasequencia (uk) de funcoes escada nao negativas tais que a serieuk e divergente nos pontos de E e a serie das integrais

    uk

    e convergente.

    2.3 Prove que uma funcao u : (a, b) R e mensuravel se e so se Tv(u)e integravel em (a, b) qualquer que seja a funcao v 0, integravelem (a, b).

    2.4 Com exemplos mostre que de u, v L(a, b) nao decorre queu v L(a, b).

    2.5 Mostre que se u e mensuravel e limitada e v e integravel, entaouv e integravel.

    2.6 Seja un = nX(n,n+1) . Entao (un) converge a u = 0 em (0,) masu 6= lim

    un . Por que o Teorema da Convergencia Limitada

    nao se aplica a este caso?

    2.7 Seja un = 1n X(0,n) . Entao (un) converge a u = 0 em (0,) eu lim inf

    n

    un .

    Por que este exemplo nao contraria o lema de Fatou?

    2.8 Demonstre a seguinte forma generalizada do Lema de Fatou: se(un) e uma sucessao de funcoes de L(u0), entao lim inf

    nun e in-

    tegravel e ba

    lim infn

    un lim infn

    ba

    un .

  • 3

    Conjuntos e Funcoes Mensuraveis

    3.1 Conjuntos mensuraveis

    O conceito de medida de um conjunto generaliza os antigos conceitosde comprimento, area e volume das figuras elementares. Nesta secaoiremos definir um conceito de medida paa subconjuntos da reta e estu-dar as propriedades de tal medida. Mais precisamente, introduziremosaqui o conceito de medida proposto por Lebesgue para os subconjun-tos da reta, na formulacao de Riesz. Posteriormente, mostra-se aequivalencia das formulacoes de Riesz e de Lebesgue.

    3.1 Definicao. Dado E R dizemos que E e mensuravel quandosua funcao caracterstica XE for mensuravel.3.2 Definicao. Seja E um subconjunto mensuravel de (a, b). Amedida de E, denotada por (E), e definida por

    (E) =

    bA

    XE ,

    caso XE seja integravel em (a, b) e, por (E) = +, caso nao seja.Da Definicao 3.2 resulta que se (a, b) e limitado, entao todos os

    subconjuntos mensuraveis de (a, b) tem medida finita uma vez que,

  • 60 Conjuntos e Funcoes Mensuraveis Cap. 3

    para cada E (a, b), XE e uma funcao limitada e, portanto, integravelpelo Corolario 2.26. Logo os subconjuntos de medida infinita so podemocorrer quando (a, b) e ilimitado.

    Da Definicao 3.2 resulta, ainda, que sempre se tem (E) 0.

    3.3 Exemplo. Se E for um intervalo limitado entao E e mensuravele a medida de E e a sua amplitude.

    3.4 Exemplo. a) O conjunto vazio e mensuravel e () = 0.Basta observar que X 0 em (a, b).

    b) Sejam E e F mensuraveis. Entao EF e EF sao mensuraveis.Basta observar que XEF = XE XF e XEF = XE XF .

    3.5 Exemplo. Todo conjunto E de medida nula no sentido da De-finicao 1.1 e mensuravel no sentido da Definicao 3.1 e tem-se (E) = 0.Reciprocamente se E e mensuravel no sentido da Definicao 3.1 e(E) = 0 entao E tem medida nula no sentido da Definicao 1.1.

    Com efeito, seja E um conjunto de medida nula no sentido daDefinicao 1.1. Entao xE = 0 quase sempre, donde xE L(a, b) e ba xE = 0. Logo, E mensuravel e (E) = 0.

    Reciprocamente, de (E) = 0 resulta que XE e integravel eXE = (E) = 0.

    Como XE 0 segue, pela Proposicao 2.14, que XE = 0 quase sempre.Logo E tem medida nula no sentido da Definicao 1.1.

    Salvo mencao explcita em contrario, os conjuntos com os quaislidaremos neste captulo, sao subconjuntos de um intervalo limitadofixo (a, b).

    3.6 Proposicao. Sejam E, F conjuntos mensuraveis tais que E F .Entao F E e mensuravel e (F E) = (F ) (E).

    Demonstracao: Basta observar que XFE = XF XE .

  • Secao 3.1 Conjuntos mensuraveis 61

    3.7 Corolario. Se E (a, b) e mensuravel entao o complemento deE em (a, b) e mensuravel.

    Demonstracao: Do Exemplo 3.3 sabemos que (a, b) e mensuravel.Logo, (a, b) E e mensuravel pela Proposicao 3.6.

    3.8 Proposicao. Seja {M; N} uma famlia enumeravel de con-juntos mensuraveis e seja M =

    =1

    M . Entao

    i) M e mensuravel.

    ii) Se os M sao dois a dois disjuntos tem-se (M) ==1

    (V).

    iii) Se a famlia {M; N} e crescente, isto e, M1 M2 M . . . tem-se (M) = lim

    (V).

    iv) Em qualquer caso tem-se (M) =1

    (V).

    Demonstracao: i) Para cada k N, seja gk(x) = maxk{XM(x)}.

    Sendo as funcoes XM mensuraveis decorre que as gk sao mensuraveis.Por outro lado temos que XM(x) = sup

    N{XM(x)} = lim

    kgk(x). Logo,

    de acordo com a Proposicao 2.27, temos que XM e mensuravel e por-tanto M e mensuravel.

    ii) Se os M sao dois a dois disjuntos as funcoes gk definidas no

    item anterior podem ser descritas por gk(x) =k=1XM(x). As funcoes

    gk sao integraveis e limk

    gk = XM . Alem disso XM e integravel e|gk| XM para todo k. Pelo Teorema 2.17 (Lebesgue) tem-se que b

    a

    XM = limk

    ba

    gk ==1

    ba

    XM

  • 62 Conjuntos e Funcoes Mensuraveis Cap. 3

    e portanto, (M) ==1

    (M).

    iii) Considere a seguinte famlia de conjuntos:

    N1 = M1, N2 = M2M1, N3 = M3M2, . . . , N = M M1, . . . .

    Pela Proposicao 3.6 os conjuntos N sao mensuraveis e tem-se (N) =(M) (M1). Alem do mais eles sao dois a dois disjuntos eM =

    =1

    N . Logo, pelo item anterior, tem-se

    (M)==1

    (N)=(M1)+(M2)(M1)+. . .+(M)(M1)+ . . .

    = lim

    [(M1) +

    k=2

    ((Mk) (Mk1))]

    = lim

    (M).

    iv) Considere a famlia {Pk; k N} onde Pk =k

    n=1M . Entao os Pk

    sao mensuraveis e P1 P2 Pk . . . . Alem disso M =k=1

    Pk .

    Logo, pelo item anterior tem-se

    (M) = limk

    (Pk) = limk

    (M1 M2 Mk}.

    Sendo M1 M2 mensuravel (Exemplo 3.4, b)) e

    (M1 M2) = (M1 (M2 (M1 M2)))= (M1) + (M2 (M1 M2))= (M1) + (M2) (M1 M2) (M1) + (M2),

    por inducao conclui-se que (M1M2 Mk) (M1) +(M2) +

    + (Mk) para todo k. Logo, (M) limk

    ki=1

    (Mi) =k=1

    (Mk).

  • Secao 3.1 Conjuntos mensuraveis 63

    3.9 Proposicao. Seja {M; N} uma famlia enumeravel de con-juntos mensuraveis e seja M =

    =1

    M . Entao

    i) M e mensuravel.

    ii) Se a famlia {M; N} e decrescente, isto e, M1 M2 M . . . , entao (M) = lim

    (M).

    Demonstracao: i) Em virtude do Corolario 3.7, basta mostrar que

    CM e mensuravel. Como CM ==1

    CM e os M sao mensuraveis,

    segue do Corolario 3.7 que os CM sao mensuraveis e portanto CMe mensuravel em virtude do item (i) da Proposicao 3.8. (Aqui e emtodo este texto CM denota o complementar de M).

    ii) Sendo a famlia {M; N} decrescente, segue-se que a famlia{CM; N} e crescente. Alem disso CM =

    =1

    CM . Logo, pelo

    item (iii) da Proposicao anterior tem-se (CM) = lim

    (CM). Ou

    seja, (b a) (M) = (b a) lim

    (M) e portanto, (M) =

    lim

    (M),.

    Sabe-se que se A e um aberto de (a, b) entao A e uniao de umafamlia enumeravel de intervalos abertos dois a dois disjuntos. Como osintervalos abertos sao mensuraveis, obtem-se pela Proposicao 3.8 queA e mensuravel. Sendo fechado o complementar de um aberto, decorredo Corolario 3.7 que todo fechado e mensuravel. Prosseguindo destamaneira conclui-se que sao mensuraveis todos os conjuntos obtidosa partir dos intervalos abertos, por meio das operacoes elementarescom conjuntos a saber, unioes, intersecoes e complementacoes. Essesparticulares conjuntos mensuraveis sao conhecidos por conjuntos deBorel ou Borelianos.

    Neste ponto e natural indagar se existem conjuntos limitados naomensuraveis. A resposta e afirmativa. Exemplos simples de tais con-

  • 64 Conjuntos e Funcoes Mensuraveis Cap. 3

    juntos podem ser encontrados em Natanson [19], pagina 76. VejaCompl. 3, p.152.

    3.2 A integral sobre conjuntos mensuraveis

    Se E (a, b) e mensuravel, pode-se definir a integral de uma funcaosobre E. Diz-se que u e integravel sobre E se a funcao uXE for in-tegravel sobre (a, b) e define-se

    E

    u =

    ba

    uXE .

    Dentre as propriedades da integral de uma funcao u sobre um con-junto mensuravel E destacaremos algumas que serao estudadas a se-guir.

    3.10 Proposicao. Se u e integravel sobre E =i=1

    Ei , onde os Ei sao

    mensuraveis e dois a dois disjuntos entao u e integravel sobre cada Eie tem-se

    (3.1)

    E

    u =i=1

    Ei

    u.

    Demonstracao: Por definicao a funcao uXE e integravel sobre (a, b)e portanto mensuravel. Ainda por definicao, para cada i, a funcaoXEi e mensuravel. Logo, para cada i, a funcao uXEi e mensuravel poisuXEi = (uXE)XEi . Alem disso, para cada i tem-se

    |uXEi| = |uXE| |XEi| |u|XE ,

    uma vez que |XEi| 1. Como a funcao |u|XE e integravel, segue-se daProposicao 2.24 que uXEi e integravel. Sendo os Ei disjuntos dois adois pode-se escrever que XE =

    i=1XEi e para todo n N,

    ni=1XEi 1.

  • Secao 3.2 A integral sobre conjuntos mensuraveis 65

    Portanto,

    (3.2) uXE =i=1

    uXEi ;

    (3.3) ni=1

    uXEi n

    i=1

    |u|XEXEi = |u|XEni=1

    XEi |u|XE .

    De (3.3) tem-se que as reduzidas de ordem n da serie (3.2) sao do-minadas pela funcao integravel |u|XE e pelo Teorema 2.17 (Lebesgue)pode-se integrar (3.2) termo a termo, obtendo (3.1).

    A recproca da proposicao anterior e valida se a seriei=1

    Ei|u| e

    suposta convergente, como mostra o resultado a seguir.

    3.11 Proposicao. Seja E =i=1

    Ei onde os Ei sao mensuraveis e dois

    a dois disjuntos. Se u e integravel sobre cada Ei e a seriei=1

    Ei|u| e

    convergente entao u e integravel sobre E e vale a igualdade (3.1).

    Demonstracao: Seja, inicialmente, u 0 e observe-se que, nessecaso, a funcao uXE e limite quase sempre da sucessao crescente cons-tituida das somas parciais da serie de funcoes integraveis

    i=1

    uXEi ,

    cujas integrais sao limitadas por uma constante porque a seriei=1

    Eiu

    e convergente por hipotese. Segue-se do Teorema 2.12 (Beppo Levi)que uXE e integravel e vale (3.1). No caso geral, da integrabilidade de usobre cada Ei , isto e, da integrabilidade de uXEi e de u+XEi = (uXEi)+e uXEi = (uXEi) resulta, pelo Corolario 2.2, a integrabilidade de u+

    e u sobre cada Ei . Alem disto, da convergencia da seriei=1

    Ei|u|

  • 66 Conjuntos e Funcoes Mensuraveis Cap. 3

    resulta a das seriesi=1

    Eiu+ e

    i=1

    Eiu. Pelo que ja foi demonstrado

    segue-se, entao, que u+ e u sao integraveis sobre E eE

    u+ =i=1

    Ei

    u+,

    E

    u =i=1

    Ei

    u .

    Portanto a funcao u+ e u = u e integravel sobre E eE

    u =

    E

    (u+ u) =i=1

    Ei

    u+ i=1

    Ei

    u =i=1

    Ei

    u.

    Quando u 0 a proposicao anterior pode ser enunciada, equivalen-temente, da seguinte forma: Se uma funcao u 0 e integravel sobrecada um dos conjuntos E1 E2 Ei . . . , e se a sucessao dasintegrais

    ( Eiu)

    e limitada, entao u e integravel sobre E =i=1

    Ei e

    tem-seE = limi

    Eiu.

    3.12 Proposicao. Se u e integravel sobre (a, b), entao para cadaconjunto mensuravel E (a, b), u e integravel sobre E.Demonstracao: Basta ver que a funcao uXE e mensuravel e queuXE| |u|. Aplicando a Proposicao 2.24 obtemos o resultado dese-jado.

    Se os conjuntos considerados possuem medida infinita podemos de-finir a intetgral sobre eles utilizando o conceito de integral sobre in-tervalos sao limitados introduzido no paragrafo 2.3.

    3.3 O metodo de Lebesgue e sua comparacao com o metodo deRiesz

    Ate aqui consideramos o metodo de Riesz para definir a integral deLebesgue. Nesta secao passaremos a expor sucintamente o metodo

  • Secao 3.3 O metodo de Lebesgue e sua comparacao com o metodo de Riesz 67

    original de Lebesgue e mostraremos a sua equivalencia com o metodode Riesz.

    O metodo de Lebesgue consiste de tres etapas: a definicao dos con-juntos mensuraveis, a definicao das funcoes mensuraveis e a definicaodas funcoes integraveis. Para distinguir os conceitos de medida, men-surabilidade e integrabilidade propostos por Riesz, dos mesmos concei-tos propostos por Lebesgue, denotaremos estes ultimos por L-medida,L-mensurabilidade e L-integrabilidade. Esta notacao e apenas tem-poraria uma vez que, como iremos ver, as definicoes de Riesz e deLebesgue sao equivalentes.

    Dado E [a, b], chama-se medida exterior de E, e denota-se porme(E), o seguinte numero

    (3.4) me(E) = inf{Ik}A

    k

    amp(Ik),

    onde A denota a colecao de todos os recobrimentos {Ik} enumeraveisde E por intervalos Ik abertos ou nao.

    Observe-se que se > 0 ek=1

    amp(Ik) < me(E)+2 , onde {Ik} A,

    entao se ak e bk sao os extensos de Ik e se designamos por Ik, k = 1, . . . ,

    o intervalo aberto(ak 2k+2 , bk+

    2k+2), tem-se

    k=1

    amp(I k) < me(E)+

    . Isto mostra que em (3.4) podemos supor que os intervalos Ik saoabertos.

    Em geral vale a seguinte desigualdade

    (3.5) me(E) +me(CE) b a.

    De fato, sejam {Ik}, {Js} recobrimentos enumeraveis de E e CE,respectivamente, por intervalos abertos tais que

    me(E) +

    2>k

    amp(Ik) e me(CE) +

    2>k

    amp(Js),

  • 68 Conjuntos e Funcoes Mensuraveis Cap. 3

    onde > 0 e arbitrario. Entao {Ik} {Js} e um recobrimento de[a, b] e pelo teorema de Borel-Lebesgue podemos escolher um subre-

    cobrimento S1, S2, . . . , Sn finito de [a, b]. E claro queni=1

    amp(Si)

    me(E) +me(CE) + . Alem disso, b a ni=1

    amp(Si). Portanto,

    b a me(E) +me(CE) + .

    Como e arbitrario, obtem-se (3.5).Diremos que o conjunto E e L-mensuravel quando em (3.5) for

    valida a igualdade. Neste caso me(E) e dita L-medida de E e denotadasimplesmente por m(E).

    E importante observar que esta definicao nao depende da escolhado intervalo fechado [a, b] que contem E.

    3.13 Teorema. Um conjunto E e L-mensuravel se e somente se Ee mensuravel e tem-se m(E) = (E).

    Demonstracao: Suponhamos que E seja L-mensuravel. Dado > 0,sejam {Ik}, {Js} recobrimentos enumeraveis de E e CE, respectiva-mente, tais que

    k

    amp(Ik) m(E) + 2 es

    amp(Js) m(CE) + 2

    Sejam h e g as somas das funcoes caractersticas dos intervalos cor-respondentes aos recobrimentos {Ik} e {Js}, respectivamente. A exis-tencia de h e g e assegurada pelo teorema de Beppo Levi. Alem domais h e g sao integraveis e

    ba h =

    s

    amp(Ik), ba g =

    s

    amp(Js).

    Tambem sao validas as seguintes desigualdades, cujas verificacoes saoimediatas:

    h XE X[a,b] ge b

    a

    [h (1 g)] =k

    amp(Ik) +s

    amp(Js) (b a)

    m(E) +m(CE) + (b a) = .

  • Secao 3.3 O metodo de Lebesgue e sua comparacao com o metodo de Riesz 69

    Segue-se do Corolario 2.29 que XE e integravel. Logo XE e mensuravele, portanto, E e mensuravel. Como a integral de XE sera compreen-dida entre as integrais de 1g e h e, alem disso valem as desigualdades ba

    (1 g) = b as

    amp(Js) b am(CE)

    2= m(E)

    2 ba h =

    k

    amp(Ik) m(E) + 2 , segue-se que m(E) 2

    ba XE

    m(E) + 2 Como e arbitrario, tem-se queXE = m(E), mostrando

    que (E) = m(E).Reciprocamente, suponhamos que E seja mensuravel. Vamos pro-

    var que E e L-mensuravel. Por definicao XE e mensuravel. Seja, entao,() uma sucessao de funcoes escada convergindo quase sempre paraXE . Podemos admitir que as funcoes sao funcoes caractersticasde conjuntos A que por sua vez sao unioes de um numero finito deintervalos. De fato, se este nao fosse o caso poderamos modificar osvalores de redefinindo-as da seguinte forma: (x) = 1 se o valoranterior (x) > 1/2 e (x) = 0 nos demais casos. A sucessao assimmodificada ainda convergiria quase sempre para XE . Alem disso afuncao XE e limite quase sempre da sucessao formada pelas funcoes

    g(x) = sup{(x), +1(x), . . .

    },

    e cada g e funcao caracterstica do conjunto B = A A+1 . . . ee claro que os B sao unioes de famlias enumeraveis de intervalos quepodemos admitir serem dois a dois disjuntos suprimindo, se necessario,de cada Ak os pontos contidos nos conjuntos Ai de ndices i inferioresa k. Assim, a integral de g e a soma das amplitudes dos intervalosque fazem parte de B e esta soma tende para a integral da funcao XEquando . Mais ainda, os intervalos que compoem os B cobremE exceto, possivelmente, por um conjunto de medida nula. Segue-seentao que

    (3.6) me(E) XE .

  • 70 Conjuntos e Funcoes Mensuraveis Cap. 3

    Como CE tambem e mensuravel, permutando E por CE em (3.6),obtemos

    (3.7) me(CE) XCE =

    (1XE) = b a

    XE .

    Adicionando membro a membro (3.6) e (3.7) conclumos que

    (3.8) me(E) +me(CE) b a.

    De (3.5) e (3.8) vem que

    me(E) +me(CE) = b a

    e portanto E e L-mensuravel.

    Daqui em diante nao necessitamos mais distinguir entre conjuntosmensuraveis e L-mensuraveis pois ja vimos que os dois conceitos saoequivalentes.

    3.14 Definicao. Uma funcao u : (a, b) R e dita L-mensuravel seo conjunto {x (a, b);u(x) c} for mensuravel qualquer que sejac R.3.15 Observacao: E um exerccio facil demonstrar que, qualquerque seja c R, se um dos seguintes conjuntos {x (a, b);u(x) c},{x (a, b);u(x) > c}, {x (b, a);u(x) c}, {x (a, b);u(x) < c} formensuravel, os outros tambem serao.

    3.16 Teorema. Uma funcao u e L-mensuravel se e somente se u emensuravel.

    Demonstracao: Suponhamos que u seja L-mensuravel. Entao, paracada k = 0,1,2, . . . e cada n N o conjunto Ek,n =

    {x

    (a, b); k/n < u(x) k+1n}

    e mensuravel (em virtude da Definicao3.14 e da Observacao 3.15). Para cada n, defina n(x) = k/n parax Ek,n . As funcoes n sao mensuraveis pois

    n(x) =+

    k=

    k

    nXEk,n .

  • Secao 3.3 O metodo de Lebesgue e sua comparacao com o metodo de Riesz 71

    Alem disso n converge para u quase sempre em (a, b). Logo u emensuravel.

    Reciprocamente, suponhamos que u e mensuravel. Seja c R econsidere a funcao mensuravel uc(x) = max{u(x), c}. Consideremos asucessao (g) onde as g sao definidas por

    g(x) = [uc+1/(x) uc(x)

    ].

    E claro que as g sao mensuraveis e e facil constatar que a sucessao(g) converge quase sempre para a funcao caracterstica do conjuntoA = {x (a, b);u(x) c}. Portanto a funcao caracterstica de A emensuravel, o que acarreta A mensuravel. Por definicao, temos que ue L-mensuravel.

    Daqui em diante nao faremos mais distincao entre as funcoes men-suraveis e as L-mensuraveis.

    Para finalizar esta secao mostraremos a equivalencia entre os con-ceitos de integral e de L-integral.

    Consideremos uma funcao u limitada e mensuravel definida numintervalo limitado (a, b). Seja (m,M) um intervalo contendo o con-junto de valores de u, isto e, tal que m < u(x) < M para todox (a, b). Seja a decomposicao de (m,M) cujos pontos de divisaosao y0 = m < y1 < < y = M e consideremos as somas integrais

    (3.9) s(u) =1j=0

    yj (Ej) e S(u) =1j=0

    yj+1 (Ej),

    onde

    Ej ={x (a, b); yj < u(x) yj+1

    }, j = 0, . . . , 1.

    Tem-se, obviamente, s(u) S(u).Dado > 0, sejam e duas decomposicoes de (m,M) cujas

    amplitudes maximas () e () sao menores que /(b a). Entao

  • 72 Conjuntos e Funcoes Mensuraveis Cap. 3

    temos

    S(u) s(u) =1j=0

    yj+1 (Ej)1j=0

    yj (Ej)

    =1j=0

    (yj+1 yj)(Ej)

    b a

    1j=0

    (Ej) = ,

    e, analogamente, S(u) s(u) . Designando por a decom-posicao cujos pontos de divisao sao os de e os de temos

    s s S S e s s S S .

    Logo, (s, S) (s, S) (s, S), donde |s s| < e, assim,quando () 0 a funcao s tende para um limite que e dito L-integral de u em (a, b).

    Se a funcao u e nao limitada admitimos inicialmente que e nao ne-gativa. Neste caso, para cada N considera-se a funcao u(x) =min{u(x), } que evidentemente e nao negativa, mensuravel e limi-tada. Assim temos uma sucessao (u), crescente, de funcoes L-integra-veis convergindo quase sempre para u. Se a sucessao numerica dasL-integrais das funcoes u tiver um limite finito quando , afuncao u e dita L-integravel e tal limite e a sua L-integral.

    No caso geral, escreve-se u = u+ u e diz-se que u e L-integravelse o forem u+ e u definindo-se a L-integral de u como a diferencaentre as L-integrais de u+ e u.

    3.17 Observacao: Notemos que a definicao de integral dada porLebesgue difere da de Riemann no fato de que enquanto este conside-rou decomposicoes do domnio (a, b) de u, aquele considerou decom-posicoes do conjunto de valores de u. Para isto ele admitiu a hipotesede u ser mensuravel a fim de que os conjuntos {x (a, b); yj < u(x) yj+1} que aparecem em (3.9) fossem mensuraveis e as igualdades (3.9)tivessem significado para toda decomposicao .

  • Secao 3.3 O metodo de Lebesgue e sua comparacao com o metodo de Riesz 73

    3.18 Teorema. Uma funcao u e L-integravel se e so se u e integravele sua L-integral coincide com sua integral.

    Demonstracao: Se U e mensuravel e limitada ja sabemos que eL-integravel e tambem integravel. Resta ver apenas que estas duasintegrais coincidem. Observemos inicialmente que se e uma decom-posicao do intervalo (m,M), m < u(x) < M x (a, b), por meiodos pontos m = y0 < y1 < < y = M , podemos associar a uma funcao (que depende de u) definida por (x) = yj parax {x (a, b); yj < u(x) yj+1}. E imediato que e integravele sua integral e igual a s(u) dada pela primeira das formulas (3.9).Alem disso, para todo x (a, b), tem-se |u(x) (x)| < ().

    Tendo isto em mente consideremos uma sucessao de decomposicoes() do intervalo (m,M) tais que para cada N se tenha (s) max{|m|, |M |}. Portanto, pelo Teorema 2.17 (Lebesgue),u = lim

    s . Mas este limite e, por definicao, a L-integral de u

    uma vez que = s(u) e () 0 quando .

    Mostremos a equivalencia das duas definicoes de integral no casoem que u e nao limitada. Evidentemente basta nos restringirmos aocaso em que u e nao negativa. Como ja vimos, neste caso u e limitede uma sucessao crescente (u) de funcao L-integraveis. Como cadau e limitada as suas L-integrais coincidem com as suas integrais, con-forme ja provamos acima. Se u e L-integravel entao existe lim

    u

    e este limite e a L-integral de u, por definicao. Mas pelo Teorema2.12 (Beppo Levi) u e integravel e tem-se

    u = lim

    u . Ou seja,

    a integral de u no sentido de Lebesgue coincide com a integral de uno sentido de Riesz. Reciprocamente, suponhamos que u e integravel.Como 0 u u para todo , vem que 0

    u

    u. Assim

  • 74 Conjuntos e Funcoes Mensuraveis Cap. 3

    a sucessao numerica crescente(

    u)

    e limitada e portanto, tem umlimite finito. Decorre da que u e L-integravel e sua L-integral e igualao lim

    u . Aplicando novamente o teorema de Beppo Levi conclui-

    remos que as duas integrais coincidem.

    3.4 Teoremas de Egoroff e Lusin

    De posse do conceito de medida dos conjuntos podemos definir outrostipos de convergencia para as sucessoes de funcoes.

    3.19 Definicao. Diremos que uma sucessao (u) de funcoes men-suraveis definidas em (a, b), nao necessariamente limitado, convergequase uniformemente para uma funcao mensuravel u em (a, b) se paracada > 0 existe um conjunto mensuravel E tal que (E) e (u)converge para u uniformemente em CE .

    Cabe aqui observar que da definicao acima nao se deduz a existenciade um conjunto de medida nula, fora do qual a convergencia e uni-forme. O seguinte exemplo esclarece este ponto.

    3.20 Exemplo. a) Consideremos a sucessao de funcoes (u) definidasno intervalo (0, 2) da seguinte forma

    u(x) = X( 1 ,

    2

    ) (x).Para cada > 0, podemos considerar E = (0, ) se < 1 e E =(0, 1) se 1. Assim, (u) converge uniformemente para zero nocomplementar de E , logo (u) converge quase uniformemente parazero em (0, 2). No entanto nao existe um conjunto de medida nula,fora do qual a convergencia seja uniforme.

    b) A sucessao (u), onde u e definida por u(x) = x, converge

    quase uniformemente para a funcao u = 0 em (0, 1). De fato, pondoE = (1 , 1) se < 12 e E =

    (12 , 1)

    se 12 tem-se (E) e (u)converge uniformemente a u = 0 em CE .

  • Secao 3.4 Teorema de Egoroff e Lusin 75

    c) A sucessao (u), onde u e definida em (0, 1) por u(x) = x,

    converge quase uniformemente a u = 1 em (0, 1). Com efeito, pondoE = (0, ) se < 1/2 e E = (0, 1/2) se 1/2, tem-se (E) e(u) converge uniformemente a u = 1 em CE .

    d) A sucessao (u), onde u e definida em (1,+) por u(x) =1/x u, converge quase uniformemente para a funcao u = 0. Aqui, > 0, podemos tomar para E o intervalo (1, 1 + ).3.21 Definicao. Uma sucessao (u) de funcoes mensuraveis definidasem (a, b) converge em medida para uma funcao mensuravel u em (a, b)quando para todo > 0 tem-se lim

    (A,) = 0, onde A, = {x

    (a, b); |u(x) u(x)| }.3.22 Proposicao. Se (u) converge quase uniformemente para uem (a, b) (nao necessariamente limitado), entao (u) converge quasesempre para u em (a, b).

    Demonstracao: Seja E o conjunto dos pontos de (a, b) onde (u)nao converge a u. Vamos mostrar que E tem medida nula. Para cadan N seja Fn tal que (Fn) < 1/2n e (u) converge uniformementea u em CFn . Ponhamos En =

    k=n

    Fk . Entao (En) e uma sucessao

    decrescente de conjuntos mensuraveis tais que (En) 0, existe (m) N tal que

    (CBm,(m)) 2m Ponhamos B =m=1

    Bm,(m) . Teremos

    (CB) = ( m=1

    CBm,(m)) m=1

    (CBm,(m)) .

    Se k (m), entao |uk(x) u(x)| < 1/m x Bm,(m) e, comoB Bm,(m), |uk(x)u(x)| < 1/m x B, isto e, (u) converge uni-formemente a u em B. Pondo E = CB tem-se que E e mensuravel,(E) = (CB) e (u) converge uniformemente a u em CE , istoe, (u) converge quase uniformemente a u em (a, b).

    3.24 Observacoes: 1) Se E e mensuravel, entao

    i) (E) = infEG

    (G), G aberto;(3.10)

    ii) (E) = supFE

    (F ), F fechado.(3.11)

    i) Com efeito pelo que foi estabelecido na Secao 3.3,

    (E) = inf{Ik}A

    k=1

    amp(Ik),

  • Secao 3.4 Teorema de Egoroff e Lusin 77

    onde A e a famlia dos recobrimentos enumeraveis de E por interva-los abertos. Como

    kN

    Ik e um conjunto aberto cuja medida e, por

    iv) da Proposicao 3.8, menor quek=1

    amp(Ik), segue-se que (E)

    infEG

    (G), G aberto. Seja, por outro lado, E G, G aberto. Como

    se sabe, G =k=1

    Jk , onde os Jk , k = 1, . . . , sao intervalos abertos e

    disjuntos dois a dois. Logo, {Jk} A e como, por ii) da Proposicao3.8, (G) =

    k=1

    amp(Jk) tem=se (E) inf (G), G aberto. Logo,

    (E) = infEG

    (G), G aberto.

    ii) Como (E) + (CE) = b a tem-se

    (E) = b a (CE) = b a infCEG

    (G)

    = b a infCEG

    (b a (CG)) = b a (b a supCEG

    (CG))

    = supCEG

    (CG) = supCGE

    (CG) = supFE

    (F ), F fechado.

    2) O conjunto B que aparece na demonstracao do Teorema de Ego-roff pode ser considerado como fechado. Com efeito, dado > 0 seja(m) tal que (CBm,(m)) (Bm,(m)) 2m+1 O conjunto F(m)existe por (3.11). Entao temos

    b a (Bm,(m)) um

    numero natural tal que 12n01 < . Entao, para todo k > n0 o conjuntoAk esta contido em E . Portanto, quaisquer que sejam x CE ek n0 tem-se

    |uk(x) u(x)| 0, existe um conjunto fechado A (a, b)tal que (CA) < e u|A e contnua.

    Demonstracao: Suponhamos que u e mensuravel e seja () umasucessao de funcoes escada convergindo quase sempre para u. O con-junto dos pontos de descontinuidade das tem medida nula donde,dado > 0 existe, por (3.10), um conjunto aberto G que contemas descontinuidades de todas as e (G) 0 exista umfechado A tal que (CA) < e u e contnua em A. Para cada k Nseja Ak fechado tal que (CAk) 1/k e u contnua em Ak . Definamos

    Bk =ki=1

    Ai e uk : (a, b) R por

    uk(x) =

    {u(x) se x Bk0 se x CBk

    E claro que as funcoes uk sao mensuraveis. Mostraremos que a su-cessao (uk) converge quase sempre para u. Observemos inicialmente

    que (CBk) = ( ki=1

    CAi) min

    1ik{(CAi)} 1k e portanto (Bk) =

    (b a) (CBk) (b a) 1k E como a sucessao (Bk) e crescente

  • 80 Conjuntos e Funcoes Mensuraveis Cap. 3

    no sentido da inclusao, segue-se que

    ( k=1

    Bk)

    = limk

    [(Bk)] b a

    e portanto,

    (3.13) ( k=1

    Bk)

    = b a.

    Seja E o conjunto dos pontos x (a, b) tais que uk(x) nao con-verge para u(x). Entao x / Bk qualquer que seja k N. Logox C

    ( k=1

    Bk), isto e, E C

    ( k=1

    Bk). Mas, por (3.13) segue-se

    (E) = 0.

    O teorema de Lusin fornece-nos outra maneira de definir a inte-gral de Lebesgue. Primeiro definimos funcao mensuravel no intervalo(a, b) pela caracterizacao dada pelo teorema de Lusin; a seguir de-finimos conjunto mensuravel como aquele que possui funcao carac-terstica mensuravel no sentido recem definido. Para definir integralconsideramos inicialmente as integrais das funcoes que sao contnuasem conjuntos fechados e a seguir, tomando-se os limites definem-se asfuncoes integraveis.

  • Exerccios 81

    Exerccios

    3.1 Seja u : (0,+) tal que limx+

    u(x) = + e un = u/n. Mostreque (un) converge em todo ponto de (0,+) mas nao convergequase uniformemente nesse intervalo.

    3.2 Mostre que o teorema de Egoroff e valido se supusermos as funcoesun definidas num conjunto mensuravel E de medida finita, con-vergindo quase sempre em E para uma funcao u.

    3.3 Mostre que a sucessao X(,+1) converge a zero em todo ponto de(1,+) mas nao converge em medida.

    3.4 Mostre que se (u) converge em medida a u, entao toda subsu-cessao de (u) tambem converge em medida a u.

    3.5 Mostre que se (u) converge a u quase sempre em (0,) entaoexiste uma sucessao (E) de conjuntos E (0,), = 1, . . . , eum conjunto A (0,) tais que A E = (0,), (A) < , > 0 dado, e (u) converge uniformemente a u em cada conjuntoE .

    3.6 Mostre que o Teorema da Convergencia Dominada de Lebesgue,e o Lema de Fatou continuam validos se a convergencia quasesempre e substituida pela convergencia em medida.

    3.7 Seja (un) uma sucessao de funcoes integraveis e nao negativasem (a, b) que converge quase sempre em (a, b) para uma funcaointegravel u e que satisfaz a condicao b

    a

    u = limn

    ba

    un .

    Mostre que E

    u = limn

    E

    un .

    para todo E (a, b) mensuravel.

  • 4

    Os Espacos Lp. Funcoes de Varias

    Variaveis

    4.1 Os Espacos Lp; o Teorema de Riesz-Fischer

    No espaco vetorial real L(a, b) identificaremos as funcoes que diferemapenas por um conjunto de medida nula, isto e, diremos que u = vse u(x) = v(x) quase sempre em (a, b), o que e possvel visto que arelacao u = v definida desse modo e uma relacao de equivalencia emL(a, b) compatvel com as operacoes de L(a, b) no sentido que

    u1 = u e v1 = v u1 + v1 = u+ ve

    u1 = u e R u1 = u.Com esta identificacao obteremos um novo espaco vetorial que deno-taremos por L1(a, b). Assim, os elementos de L1(a, b) nao sao, a rigor,funcoes e sim classes de equivalencia de funcoes. Todavia e usualconsiderar-se, nas aplicacoes, os elementos de L1(a, b) como funcoesem L(a, b) tomando-se o cuidado de nao fazer distincao entre duasfuncoes que sao iguais quase empre em (a, b). De um modo geraltemos:

    4.1 Definicao. Seja p um numero real tal que 1 p < . Repre-sentaremos por Lp(a, b) a classe de todas as funcoes reais mensuraveis

  • 84 Os Espacos Lp. Funcoes de Varias Variaveis Cap. 4

    u, definidas em (a, b) tais que |u|p e integravel.Ainda aqui estamos identificando as funcoes que diferem entre si

    nos pontos de um conjunto de medida nula.Simples e verificar que Lp(a, b) e um espaco vetorial real (ver Exer-

    ccio 4.1).

    4.2 Observacao: Se em lugar do intervalo aberto (a, b), tivermos umconjunto mensuravel E de medida nao nula (podendo ser um conjuntonao limitado), a definicao dos espacos Lp(E) e feita de maneira intei-ramente analoga a que fizemos no caso de Lp(a, b). Assim, quandonao houver necessidade de se fazer referencia ao conjunto E onde asfuncoes estao definidas, escreveremos simplesmente Lp em lugar deLp(E).

    4.3 Observacao: Note que e imprescindvel, na Definicao 4.1, exigir-mos que as funcoes u de Lp sejam mensuraveis pois, se esta exigencianao for feita, nao podemos garantir que de u Lp, v Lq, resultaque |uv| L1 como aplicacao da Proposicao 2.24. Assim, muitaspropriedades fundamentais do espaco Lp(a, b) nao seriam validas.

    Em Lp podemos definir uma norma, associando a cada u Lp onumero real

    (4.1) ||u||p =[ |u|p]1/p

    .

    Para provarmos que || ||p , definida por (4.1), e de fato uma normaem Lp teremos que verificar o seguinte:

    i) ||u||p 0, u Lp e ||u||p = 0 se e somente se u = 0, no sentidoque u(x) = 0 quase sempre.

    ii) ||u||p = || ||u||p , R, u Lp.

    iii) ||u+ v||p ||u||p + ||v||p , u, v Lp.

    A primeira parte de (i) e trivial e a segunda e uma decorrenciado Corolario 2.14. (ii) e de verificacao imediata e (iii) e a chamada

  • Secao 4.1 Os Espacos Lp; o Teorema de Riesz-Fischer 85

    Desigualdade de Minkowski cuja demonstracao sera o nosso proximoobjetivo.

    Para cada p > 1 o numero p/(p 1) sera denominado ndice conju-gado de p e sera denotado por q. Desta forma temos a relacao 1p+

    1q = 1.

    No caso p = 1 convenciona-se que o seu conjugado e q = +. Ob-serve que p = q se e so se p = 2, ou seja, o ndice 2 e o unico que eautoconjugado.

    4.4 Proposicao (Desigualdade de Young). Se a, b sao numeros reaisnao negativos entao

    (4.2) ab ap

    p+bq

    q

    sempre que 1 < p

  • 86 Os Espacos Lp. Funcoes de Varias Variaveis Cap. 4

    Demonstracao: Seja m = ||u||p , n = ||v||q , a(t) = |u(t)|m e b(t) =|v(t)|n Entao, para cada t tem-se, pela desiguldade de Young que

    (4.7)|u(t)v(t)|mn

    1p

    (|u(t)| 1

    m

    )p+

    1

    q

    (|v(t)|1

    n

    )q.

    Como |u|p e |v|q sao integraveis e uv e mensuravel segue-se da Pro-posicao 2.24 que uv e integravel e portanto |uv| tambem. Por inte-gracao obtem-se de (4.7) que

    (4.8)1

    mn

    |uv| 1

    p

    ( 1m||u||p

    )p+

    1

    q

    (1n||v||q

    )q=

    1

    p+

    1

    q= 1.

    De (4.8) obtem-se (4.6).

    4.6 Proposicao (Desigualdade de Minkowski). Se u, v Lp entao

    (4.9) |u+ v||p ||u||P + ||v||p ,

    onde 1 p 1 e consideremos adesigualdade

    (4.10) |u+ v|p = |u+ v| |u+ v|p1 (|u|+ |v|)|u+ v|p1.

    Como Lp e espaco vetorial, u+v Lp e portanto(|u+v|p1

    )q= |u+v|p

    e integravel. Logo, |u + v|p1 Lq. Consideremos h = |u + v|p1.Entao, pela Proposicao 4.5, uh e vh sao integraveis. Alem disso (4.10)pode ser escrita na forma:

    (4.11) |u+ v|p |uh|+ |vh|

    e portanto, por integracao obtemos

    (4.12)

    |u+ v|p

    |uh|+

    |vh|

  • Secao 4.1 Os Espacos Lp; o Teorema de Riesz-Fischer 87

    e pela desigualdade de Holder tem-se

    (4.13)

    |u+ v|p

    (||u||p + ||v||p

    )||h||q .

    Se ||h||q = 0, tem-se ||u + v||p = 0 e a desigualdade (4.9) e trivial.Se ||h||q 6= 0, dividimos ambos os membros de (4.13) por ||h||q =( |h|q)1/q

    =[|u + v|q(p1)

    ]1/q=

    ( |u + v|p

    )1/qe obtemos(

    |u+ v|p)1(1/q) ||u||p + ||v||p e da segue-se da desigualdade (4.9)

    uma vez que 1 1q =1p

    Sendo Lp um espaco vetorial normado podemos introduzir em Lp

    uma metrica definindo a distancia entre duas funcoes u e v de Lp por||u v||p . Com isto, Lp torna-se um espaco metrico e, desse modo,tem sentido falar de convergencia de uma sucessao (uk) de funcoes deLp. Explicitamente, uma sucessao (uk) de funcoes de L

    p converge parauma funcao u Lp se lim

    k||uk u||p = 0. Este tipo de convergencia

    e conhecido como convergencia na norma de Lp ou convergencia emmedia de ordem p ou convergencia forte em Lp.

    Se (u) converge forte Lp(a, b), entao ela converge em medida para

    a mesma funcao u. Isto e uma simples consequencia da desigualdade ba

    |u(x) u(x)|p dx A,

    |u(x) u(x)|p dx p (A,),

    sendo A, os conjuntos da Definicao 3.21. Portanto, da Proposicao3.27, existe uma subsucessao de (u) que converge quase sempre em(a, b) para o mesmo limite.

    Simples e mostrar que toda sucessao convergente em Lp e umasucessao de Cauchy em Lp (ver Exerccio 4.8). A recproca desteresultado e verdadeira e sera demonstrada a seguir.

    4.7 Teorema (Riesz-Fischer). Se (uk) e uma sucessao de Cauchy emLp entao (uk) e convergente em L

    p.

  • 88 Os Espacos Lp. Funcoes de Varias Variaveis Cap. 4

    Demonstracao: Seja (uk) uma sucessao de Cauchy em Lp. Devemos

    provar que existe uma funcao u Lp tal que (uk) converge para u nanorma de Lp.

    Sendo (uk) uma sucessao de Cauchy em Lp, existe um ndice k1 tal

    que ||uk us||p < 1/2 para todo k, s k1 . Pela mesma razao existeum outro ndice k2 , que pode ser escolhido de modo que k1 < k2 ,tal que ||uk us||p < 1/4 para todo k, s k2 e assim, sucessiva-mente, obteremos uma sucessao de ndices (kn) tais que kn+1 > kn e||uk us||p r obtemos, pela propria construcao dos ndices kn que

    (4.16)

    wn =

    |uk ukn|p = ||uk ukn||pp

    (1

    2r

    )p=

    1

    2pr

    Logo, pelo Lema de Fatou (Teorema 2.19) aplicado a sucessao (wn),tem-se que |uk u|p e integravel e

    (4.17)

    |uk u|p

    1

    2prpara todo k > kr .

    Portanto (uk u) Lp e consequentemente u = uk (uk u) e umafuncao de Lp. Alem disso, de (4.17) obtem-se que lim

    k||uk u||p =

    0.

    Um espaco metrico e dito completo quando toda sucessao de Cau-chy nesse espaco for convergente. Um espaco vetorial normado quee completo, relativamente a metrica induzida pela norma, chama-seespaco de Banach. Portanto, o Teorema 4.7 nos diz que Lp e umespaco de Banach.

    Mostraremos agora que toda funcao de Lp pode ser aproximadapor uma sucessao de funcoes escada na norma de Lp. Antes, porem,demonstraremos o seguinte:

    4.8 Lema. Se u e uma funcao integravel limitada entao u pertence aLp, onde 1 p 0existe uma funcao escada tal que ||u ||p < .Demonstracao: Observemos que em virtude do lema anterior todafuncao escada e uma funcao de Lp, qualquer que seja 1 p < .

  • 90 Os Espacos Lp. Funcoes de Varias Variaveis Cap. 4

    Seja u Lp, entao u+ e u tambem pertencem a Lp, pois u+ =12 (u + |u|) e u

    = u+ u. Em vista disto podemos supor, sem perdade generalidade, que u seja nao negativa. Para cada n N, a funcaovn(x) = (n nup u)(x) = min{n, n[u(x)]p, u(x)} e integravel porque0 vn nup e tambem vn Lp pois vpn up. Alem disso a sucessao(wn), onde wn = (u vn)p, converge quase sempre para zero e e umasucessao decrescente. Logo, pelo teorema de Beppo Levi temos que

    (4.18) limn||u vn||pp = limn

    |u vn|p = 0.

    Assim, existe k N tal que

    (4.19) ||u vk||p 0 existe um conjunto B de medidapositiva tal que u(x) > L para todo x B.

    Demonstracao: Seja A como definido acima. Entao L = inf A. SeL = + entao u(x) L para todo x e portanto u(x) L quasesempre. Se L 6= + entao A 6= e por definicao de nfimo existeuma sucessao (n) de elementos de A tal que L = lim

    nn (mesmo

    no caso L = ). Para cada n seja Fn o conjunto dos pontos xpara os quais u(x) > n . Pela definicao de majorante essencial tem-

    se que a medida de Fn e nula e portanto F =n=1

    Fn tambem tem

    medida nula. Se x nao pertence a F entao u(x) n para todo ne portanto u(x) lim

    nn = L. Portanto u(x) L quase sempre,

    ficando provado o item (i). Suponhamos, agora, que nao exista umconjunto B nas condicoes do item (ii). Neste caso a colecao dos pontosx tais que u(x) > L teria medida nula e consequentemente L seria um elemento de A. Como L > L seguir-se-ia que L 6= inf Ao que contradiz a definicao de L.

    Diz-se que uma funcao u e essencialmente limitada quando supess|u| e finito.

  • 94 Os Espacos Lp; Funcoes de Varias Variaveis Cap. 4

    4.13 Proposicao. Seja u uma funcao mensuravel, essencialmentelimitada, definida num intervalo limitado (a, b). Entao

    i) u Lp(a, b) para todo p 1.ii) supess |u| = lim

    p||u||p .

    Demonstracao: Seja M = supess |u|. Entao |u(x)| M quasesempre (pela proposicao anterior). Portanto, para cada p 1, tem-se |u(x)|p Mp quase sempre, e pelo Corolario 2.26 segue-se que|u|p e integravel e como u e mensuravel (por hipotese) conclui-se queu Lp(a, b), ficando provado o item (i). Do fato de que |u(x)|p Mpquase sempre em (a, b) decorre ainda que

    (4.24) ||u||p =[ b

    a

    |u|p]1/p [Mp(b a)]1/p = M(b a)1p.

    Como limp

    (b a)1/p = 1 decorre de (4.24) que

    (4.25) lim supp

    ||u||p M.

    Por outro lado, pela Proposicao 4.12, existe, para cada > 0, umconjunto B tal que r = (B) > 0 e |u(x)| > M para todo x em B.Portanto

    ||u||p =[ b

    a

    |u|p]1/p [

    B

    |u|p]1/p [(M )p r]1/p(4.26)

    = (M )r1/p.

    Decorre de (4.26) que lim infp

    ||u||p M e consequentemente, como e arbitrario,

    (4.27) lim infp

    ||u||p M.

    De (4.25) e (4.27) obtem-se que M = limp||u||p .

  • Secao 4.3 Convergencia Fraca nos Espacos Lp 95

    4.14 Definicao. O conjunto de todas as funcoes mensuraveis u es-sencialmente limitadas em (a, b) e representado por L(a, b) e paratodo u L(a, b) define-se a norma de u por

    (4.28) ||u|| = supess |u|.

    Naturalmente, esta notacao e motivada pela Proposicao 4.13. Sim-ples e verificar que L(a, b) e um espaco vetorial e a expressao (4.28)define, realmente, uma norma sobre L(a, b), desde que identifiquemosas funcoes que diferem apenas nos pontos de um conjunto de medidanula. Tambem nao apresentam dificuldades as demonstracoes das de-sigualdades de Holder e Minkowski para o caso p =. O teorema deRiesz-Fischer tambem e valido em L(a, b) e portanto L(a, b) e umespaco de Banach.

    4.3 Convergencia fraca nos espacos Lp

    Suponhamos que (un) seja uma sucessao de funcoes em Lp que con-

    verge em media para uma funcao u Lp, onde 1 p < . Entao(un) satisfaz as seguintes condicoes:

    i) Para toda funcao v Lq tem-se limn

    un v =

    uv.

    ii) limn||un||p = ||u||p .

    A demonstracao destas condicoes nao apresenta dificuldade e deixa-remos a cargo do leitor. (Ver Exerccio 4.13).

    Diremos que a sucessao (un) converge fracamente para u em Lp

    se (un) satisfaz a condicao (i) acima. Portanto as sucessoes que con-vergem em media (ou fortemente) em Lp sao sucessoes fracamenteconvergentes. Porem, a recproca nao e verdadeira, conforme mostrao seguinte exemplo.

    4.15 Exemplo. Seja 1 p < + e consideremos em Lp(0, 2) asucessao (un) onde un = p

    n(1/n,2/n) . Entao, un 0 fracamente em

  • 96 Os Espacos Lp; Funcoes de Varias Variaveis Cap. 4

    Lp(0, 2), conforme Exerccio 4.15. No entanto, a convergencia nao eforte, pois, para todo n N tem-se

    ||un||pp = 2/n

    1/n

    (pn)pdx = 1 e portanto ||un||p = 1.

    Todavia, se uma sucesao (un) de funcoes de Lp satisfaz as condicoes

    (i) e (ii) ela converge fortemente para u em Lp, conforme foi demons-trado por F. Riesz em [15].

    Mostra-se que o limite fraco em Lp e unico, no sentido de que se(un) e uma sucessao de funcoes de L

    p que converge fracamente paraas funcoes v e w de Lp, entao v = w quase sempre.

    Um outro resultado util e o seguinte: se (un) e uma sucessao defuncoes de Lp (1 < p < ) limitada na norma de Lp, isto e, tal queexiste uma constante C para a qual ||un||p C qualquer que sejan N, entao (un) contem uma subsucessao fracamente convergenteem Lp.

    Os resultados acima e muitos outros a respeito da convergenciafraca em Lp podem ser obtidos como casos particulares dentro de umateoria mais geral (sem, no entanto, ser muito mais difcil) a respeitode convergencia fraca em espacos de Banach. Devido ao carater intro-dutorio deste texto, limitamo-nos apenas em citar aqui os resultadosprincipais. O leitor interessado no assunto podera consultar [10] ou[16], por exemplo, a este respeito.

    Encerraremos esta secao com a demonstracao de um teorema de-vido a W.A. Strauss [20], que tem aplicacao no estudo das equacoesdiferenciais parciais nao lineares e que pode ser encontrado, numaforma um pouco mais geral que aqui, em [11].

    4.16 Teorema (Strauss). Seja (un) uma sucessao de funcoes reaismensuraveis num intervalo limitado (a, b). Para cada n N, sejamFn e Gn funcoes de R em R tais que as funcoes compostas Fn un eGn un sejam mensuraveis em (a, b). Suponhamos que:

  • Secao 4.3 Convergencia Fraca nos Espacos Lp 97

    (a) (Fn un) converge quase sempre em (a, b) para uma funcao v.

    (b) Existe uma constante C tal que ba (|Fnun| |Gnun|) dx < C para

    todo n.

    (c) Para cada M > 0 existe um N > 0 (independente de n) tal quepara todo x R, onde se verifica a desigualdade |Gn(x)| M ,tem-se necessariamente |Fn(x)| N , exceto por um numero finitode ndices n.Entao

    (d) v L1(a, b).

    (e) (Fn un) converge para v na norma de L1(a, b).

    Demonstracao: Para cada n N consideremos o conjunto n defi-nido do seguinte modo:

    n ={x (a, b); |Gn(un(x))| 1

    }.

    Seja n = (a, b)n . Entao, para todo x n tem-se |Gn(un(x))| > 1e portanto,

    |Fn(un(x))| |Gn(un(x))| |Fn(un(x))|,

    donde se obtem, pela hipotese (b), que

    (4.29)

    n

    |Fn(un(x))| dx < C

    para todo n N. Pela hipotese (c) existe um N > 0, independente den, tal que para todo x n tem-se |Fn(un(x))| N , exceto por umnumero finito de ndices n. Portanto,

    (4.30)

    n|Fn(un(x))| dx N(n) N(b a).

  • 98 Os Espacos Lp; Funcoes de Varias Variaveis Cap. 4

    De (4.29) e (4.30) resulta que

    (4.31)

    ba

    |Fn(un(x))| dx C +N(b a),

    exceto para um numero finito de ndices n, isto e, a sucessao dasintegrais de |Fn un| e limitada. Como, pela hipotese (a), |v| e limitequase sempre de (|Fn un|), obtem-se pelo lema de Fatou que |v| eintegravel em (a, b), ficando provado (d), uma vez que v e mensuravel(pois e limite quase sempre de uma sucessao de funcoes mensuraveis).Para completar a demonstracao, observemos que para cada > 0 oTeorema de Egoroff nos assegura a existencia de um conjunto fechadoE (a, b) tal que (CE) < e (Fnun) converge uniformemente parav em E. Portanto,

    limn

    E

    |Fn(un(x)) v(x)| dx = 0.

    Resta-nos demonstrar queCE |Fn(un(x))v(x)| dx tambem converge

    para zero quando n. Inicialmente observemos que

    (4.32)

    CE

    |Fn(un(x))v(x)| dx CE

    |Fn(un(x))| dx+CE

    |v(x)| dx.

    Sendo v integravel e (CE) < resulta que, dado > 0, tem-se

    (4.33)

    CE

    |v(x)| dx < 2

    se e suficientemente pequeno (ver Proposicao 4.10). ConsideremosM = 4C , onde C e a constante da hipotese (b). Para cada n Nconsideremos o conjunto

    En ={x CE; |Gn(un(x))| M

    }

  • Secao 4.3 Convergencia Fraca nos Espacos Lp 99

    e denotemos por E n = CE En . Sobre E n tem-seEn

    |Fn(un(x))| dx En

    |Gn(un(x))|M

    |Fn(un(x))| dx =

    =1

    M

    En

    |Gn(un(x))Fn(un(x))| dx 0 (independente de n), exceto por um numero finito de ndicesn. Logo, tomando-se < 4N e n suficientemente grande, tem-se

    (4.35)

    En

    |Fn(un(x))| dx N(En) < N 0} entao F tem medida nula em R (ver Figura 4.1).

    Obviamente, este lema e valido se permutarmos x por y.

  • Secao 4.4 Funcoes de varias variaveis; o Teorema de Fubini 105

    Demonstracao: Seja {G} um recobrimento enumeravel de E porretangulos tal que cada ponto de E pertence a um numero infinito

    de tais retangulos e existe M > 0 tal que=1

    a(G) < M . Seja

    G = I J um retangulo (podendo ser nao limitado) que contemtodos os retangulos G . Para cada seja g a funcao caractersticado retangulo G . Entao, teremos, obviamente que

    a(G) =

    G

    g(x, y)d(x, y) =

    I

    [ J

    g(x, y)dy]dx.

    Portanto a serie=1

    I

    [ J g(x, y)dy

    ]dx e convergente. Decorre do

    teorema de Beppo Levi que a serie

    (4.42)=1

    J

    g(x, y) dy

    converge quase sempre em I, isto e, se A e o conjunto dos pontos deI tais que (4.42) nao converge, entao A tem medida nula em I R.Se F = {x R; (Ex) > 0}, devemos provar que F tem medida nulaem R. Para isto vamos provar que F A.

    Se x0 I A tem-se a serie=1

    J g(x0, y) dy converge. Uma nova

    aplicacao do teorema de Beppo Levi nos permite concluir que a serie

    (4.43)=1

    g(x0, y)

    converge quase sempre em J , isto e, se B e o conjunto dos pontos y deJ tais que (4.43) nao converge, entao B tem medida nula em J R.Mas, nos pontos y Ex0 a serie (4.43) certamente diverge porquepara tais y, os pontos (x0, y) estao em E e portanto estao contidosem um numero infinito de retangulos G e, consequentemente, hauma infinidade de termos iguais a 1 na serie (4.43). Resulta da que

  • 106 Os Espacos Lp; Funcoes de Varias Variaveis Cap. 4

    Ex0 B e portanto tem medida nula. Logo x0 / F . Como F I ex0 e arbitrario em I A, segue-se finalmente que F A.4.22 Teorema (Fubini). Seja G = I J um retangulo e u : G Ruma funcao de L(G), isto e, u e integravel em G. Entao

    G

    u(x, y)d(x, y) =

    I

    [ J

    u(x, y)dy]dx(4.44)

    =

    J

    [ I

    u(x, y)dx]dy.

    Demonstracao: E evidente que o teorema e valido para funcoes ca-ractersticas de retangulos. Portanto, segue-se facilmente a sua vali-dade para as funcoes escada (pois estas sao combinacoes lineares finitasde funcoes caractersticas de retangulos). Em vista disto, e suficienteprovarmos o teorema supondo u S1(G) uma vez que, por definicao,as funcoes de L(G) sao representaveis por diferencas de funcoes deS1(G). Seja (u) uma sucessao crescente de funcoes de S0(G) conver-gindo quase sempre para u em G e tal que

    (4.45) lim

    G

    u(x, y)d(x, y) =

    G

    u(x, y)d(x, y).

    Como o teorema e valido para as funcoes escada, temos que para cada a funcao w : I R dada por

    w(x) =

    J

    u(x, y) dy

    e integravel em I e tem-se

    (4.46)

    I

    w(x) dx =

    G

    u(x, y)d(x, y).

    Segue-se de (4.45) e (4.46) que

    (4.47) lim

    I

    w(x) dx =

    G

    u(x, y)d(x, y).

  • Secao 4.4 Funcoes de varias variaveis; o Teorema de Fubini 107

    Desta forma, (w) e uma sucessao crescente de funcoes integraveis emI e, em vista de (4.47), a sucessao das integrais das w e convergente.Segue-se do teorema de Beppo Levi que (w) converge quase sempreem I para uma funcao integravel w, definida quase sempre em I, istoe,

    (4.48) lim

    w(x) = w(x)

    para quase todo x em I e, tendo em vista (4.47), a integral de w edada por

    (4.49)

    I

    w(x) ds = lim

    I

    w(x) dx =

    G

    u(x, y)d(x, y).

    Seja A o conjunto dos pontos x de I nos quais (w) nao convergepara w e seja E o conjunto dos pontos (x, y) de G nos quais (u) naoconverge para u. Entao A tem medida nula em R e E tem medida nulaem R2. Fixemos x0 I tal que x0 / A e Ex0 = {y J ; (x0, y) E}tenha medida nula em R. Isto e possvel para quase todo x0 I, emvirtude do Lema 4.21. Portanto,

    (4.50) lim

    u(x0, y) = u(x0, y)

    quase sempre em J (precisamente para todo y / Ex0). Mas, pelaescolha de x0 em (4.48) temos que

    (4.51) lim

    J

    u(x0, y) dy = lim

    w(x0) = w(x0).

    Uma nova aplicacao do teorema de Beppo Levi nos assegura que afuncao vx0 : J R dada por vx0(y) = u(x0, y) e integravel em J etem-se

    (4.52)

    J

    vx0(y) dy =

    J

    u(x0, y) dy = lim

    J

    u(x0, y) dy = w(x0).

  • 108 Os Espacos Lp; Funcoes de Varias Variaveis Cap. 4

    Como isto e valido para quase todo x0 em I, temos que a funcaointegravel w, dada por (4.48), e definida quase sempre em I por

    w(x) =

    J

    u(x, y) dy.

    Decorre de (4.49) que

    (4.53)

    G

    u(x, y)d(x, y) =

    I

    [ J

    u(x, y) dy]dx.

    De modo analogo, permutando-se x por y na argumentacao anterior,concluiremos que

    (4.54)

    G

    u(x, y)d(x, y) =

    J

    [ I

    u(x, y)dx]dy.

    De (4.53) e (4.54) obtem-se (4.44).

    4.23 Exemplo. Considere a funcao u : (0, 1) (0, 1) R defi-nida por u(x, y) = x

    2y2(x2+y2)2 Um calculo elementar mostra-nos que

    4 =

    10

    [ 10 u(x, y)dy

    ]dx 6=

    10

    [ 10 u(x, y)dx

    ]dy = 4 Decorre do

    teorema de Fubini que u nao e integravel a Lebesgue no quadrado(0, 1) (0, 1).4.24 Observacao. Se G = I J e um retangulo e u : G R e umafuncao tal que

    I

    [ J

    u(x, y)dy]dx =

    J

    [ I

    u(x, y)dx]dy

    nao podemos assegurar que u e integravel em G, mesmo que u sejamensuravel (veja Exerccio 4.17). Todavia vale o seguinte resultadoconhecido como teorema de Tonelli.

    4.25 Teorema (Tonelli). Se u : G = IJ R e mensuravel e existeuma das integrais repetidas

    (4.55)

    I

    [ J

    |u(x, y)| dy]dx,

    J

    [ I

    |u(x, y)| dx]dy,

  • Secao 4.4 Funcoes de varias variaveis; o Teorema de Fubini 109

    entao u e integravel em G (e consequentemente vale, para u, o teoremade Fubini).

    Demonstracao: Sendo u mensuravel existe (cf. Definicao 2.21) umasucessao (u) de funcoes escada que converge para u quase sempre emG. Para cada considere a funcao g(x, y) = min{|u(x, y)|, |u(x, y)|}.Entao, as g estao definidas quase sempre em G. Alem disso, as gsao mensuraveis e tem-se g |u| quase sempre em G. Como as usao integraveis em G, por serem funcoes escada, segue-se que as gsao integraveis em G (ver Proposicao 2.24). Pelo teorema de Fubini,temos que

    G

    g(x, y)d(x, y) =

    I

    [ J

    g(x, y)dy]dx(4.56)

    =

    J

    [ I

    g(x, y)dx]dy.

    Admitindo a existencia de uma das integrais (4.55) e levando em contaque g |u| quase sempre em G, resulta de (4.56) que, para todo ,

    G

    g(x, y)d(x, y) C,

    onde C e uma constante igual a uma das integrais (4.55). Mas, por suapropria definicao as g convergem quase sempre em G para a funcao|u|. Decorre entao, do lema de Fatou, que |u| e integravel em G ecomo u e mensuravel resulta (Corolario 2.25) que u e integravel.

  • 110 Os Espacos Lp; Funcoes de Varias Variaveis Cap. 4

    Exerccios

    4.1 Provar que Lp(a, b) e um espaco vetorial (1 p 0 proveque (E) ||u||

    pp

    p (desigualdade de Chebychev), onde E = {x (a, b); |u(x)| > }.Sugestao: ||u||pp =

    ba |u|

    p E |u|

    p.

    4.5 Se E tem medida finita e 1 p1 p2 < entao Lp2(E) Lp1(E). De um contra-exemplo para o caso em que E tem medidainfinita.

    4.6 Sejam 1 p

  • Exerccios 111

    4.8 Seja uma funcao escada definida em (a, b). Prove que, paracada > 0, existe uma funcao contnua u tal que ||u ||p < ,qualquer que seja 1 p

  • 112 Os Espacos Lp; Funcoes de Varias Variaveis Cap. 4

    Sugestao: Considere a reta como sendo o eixo dos x e os retangulosR = IJ onde I = (21, 21) e J =

    ( 2+2 ,

    22+2

    ), sendo

    > 0 escolhido arbitrariamente.

    4.16 Considere a funcao u(x, y) = xy(x2+y2)2 definida em G = (1, 1) (1, 1), exceto em (0, 0). Mostre que

    11[ 11 u(x, y)dx

    ]dy = 1

    1[ 11 u(x, y)dy

    ]dx = 0, no entanto u nao e integravel em G.

    Sugestao: Considere o subretangulo G1 = (0, 1) (0, 1). EntaoG |u(x, y)|d(x, y)

    G1u(x, y)d(x, y). No entanto u nao e in-

    tegravel em G1 pois 1

    0

    [ 20| sen cos |

    r d]dr nao existe.

  • 5

    Derivacao

    5.1 Primitivas

    Consideremos uma funcao u : (a, b) R e retornemos ao problema deestudar as solucoes da equacao

    (5.1) u = u,

    isto e, queremos estudar as primitivas de u no sentido da Definicao1.10.

    Tivemos ocasiao de verificar, na Secao 1.2, que se u e integravel aRiemann entao as integrais indefinidas de u, isto e, as funcoes v dadaspela formula

    (5.2) v(x) =

    xa

    u(t) dt+ C,

    onde C e uma constante, sao primitivas de u. Verificamos ainda,naquele contexto, que nem toda primitiva de u e necessariamente umaintegral indefinida de u (cf. Exemplo 1.11). Surgiu, entao, o problemade caracterizar as primitivas de u que sao integrais indefinidas de ue vimos que a integral de Riemann nao nos conduz a bons resultadosnesta direcao (a nao ser sobre a restrita classe das funcoes contnuascom o conhecido Teorema Fundamental do Calculo).

  • 114 Derivacao Cap. 5

    O nosso objetivo principal neste captulo e estudar o Teorema Fun-damental do Calculo no contexto da integral de Lebesgue. Para melhorconduzir o nosso estudo formularemos as questoes seguintes:

    (Q1) As funcoes v, dadas por (5.2), sao solucoes de (5.1)?

    (Q2) Existem solucoes de (5.1) que nao sao obtidas mediante a formula(5.2)?

    (Q3) Como caracterizar as solucoes de (5.1) que sao dadas pela formula(5.2).

    As questoes (Q1) e (Q2) ja foram estudadas na Secao 1.2 a luz daintegral de Riemann.

    Neste captulo, suporemos a funcao u integravel a Lebesgue, rees-tudaremos as questoes (Q1), (Q2) e procuraremos responder a questao(Q3).

    5.2 Funcoes monotonas

    Uma das razoes pelas quais a obra de Lebesgue foi recebida com certadose de desconfianca por alguns matematicos de sua epoca e que paraeles as funcoes descontnuas e as funcoes sem derivada eram conside-radas monstruosidades ou anormalidades e, precisamente tais funcoestem um papel importante no trabalho de Lebesgue.

    A maioria das funcoes usualmente utilizadas no calculo elementarsao diferenciaveis, a menos de alguns pontos excepcionais que, via deregra, sao isolados (por exemplo, funcoes do tipo u(x) = |x|). E con-cebvel pois pensar-se que se uma funcao e contnua, os pontos onde elanao e derivavel formam um conjunto insignificante num certo sentido.Este era o pensamento matematico no incio do seculo XIX e muitasforam as tentativas de provar tal conjectura. Coube a Weierstrass omerito de (em 1860) exibir o famoso exemplo de uma funcao contnuaque nao e diferenciavel em ponto algum, encerrando definitivamente

  • Secao 5.2 Funcoes monotonas 115

    as esperancas que haviam de caracterizar os pontos onde uma funcaocontnua e diferenciavel (ver, por exemplo, [22]).

    Assim, se estamos interessados em encontrar uma propriedade quenos assegure a diferenciabilidade quase sempre de uma funcao nao e acontinuidade da funcao que resolve nosso problema.

    Observando que se uma funcao u e derivavel num ponto x0 e u(x0) >

    0 entao existe uma vizinhanca de x0 onde u e crescente, cabe pergun-tar se a monotonicidade de uma funcao implica na diferenciabilidade.A resposta a esta questao e dada por um teorema devido a Lebesgue,que oportunamente veremos. (Aqui os resultados em que intervemfuncoes crescentes sao estendidos as funcoes decrescentes u tomando-se as funcoes u, como se faz usualmente).

    Antes de enunciarmos o teorema de Lebesgue necessitamos de al-guns conceitos e resultados que nao sao familiares aos cursos intro-dutorios de Analise.

    5.1 Definicao. Seja u : [a, b] R e x um ponto interior de [a, b]. Asderivadas laterais (ou de Dini) de u no ponto x sao definidas por

    (5.3) D+ u(x) = lim suph0+

    1

    h[u(x+ h) u(x)]

    (5.4) D+ u(x) = lim infh0+

    1

    h[u(x+ h) u(x)]

    (5.5) D u(x) = lim suph0

    1

    h[u(x+ h) u(x)]

    (5.6) D u(x) = lim infh0

    1

    h[u(x+ h) u(x)]

    As derivadas de Dini acima definidas podem assumir valores infini-tos. De (5.3), (5.4), (5.5) e (5.6) obtem-se que para todo x [a, b]

    (5.7) D u(x) D u(x),

  • 116 Derivacao Cap. 5

    (5.8) D+ u(x) D+ u(x).

    A Figura 5.1 da-nos uma ideia geometrica das quatro derivadas deDini.

    Se D+ u(x) e D+ u(x) sao finitas e iguais, este valor e a derivada a

    direita da funcao u no ponto x. Analogamente com D u(x) e D u(x),

    dando-nos a derivada a esquerda. Assim, u e derivavel em x se e sose sao finitas e coincidem todas as suas derivadas de Dini no ponto xe este valor comum e a derivada de u no ponto x. Observemos aindaque se u e uma funcao crescente entao todas as suas derivadas de Dinisao nao negativas.

    5.2 Definicao. Diz-se que uma famlia V de intervalos cobre o con-junto E no sentido de Vitali se, para cada x E e cada > 0, existeum I V tal que x I e amp(I) < .5.3 Lema (Vitali). Seja E R um conjunto tal que me(E) < + eV uma famlia de intervalos que cobre E no sentido de Vitali. Entao,dado > 0, existe uma famlia finita I1, . . . , IN de intervalos de V,disjuntos dois a dois e tal que

    (5.9) me(E

    Nj=1

    Ij)< .

  • Secao 5.2 Funcoes monotonas 117

    Demonstracao: Podemos supor que os intervalos de V sao fechadosporque se I1, . . . , IN sao intervalos fechados, disjuntos dois a dois esatisfazem (5.9), o mesmo acontece se alguns de seus extremos saoexcludos. Seja G um conjunto aberto, de medida finita e tal queE G. A hipotese me(E) < + assegura a existencia de G. Comoa famlia dos intervalos de V contidos em G ainda cobre E no sentidode Vitali podemos supor que I G I V . Observe-se que se Fe uma famlia finita de intervalos de V e x e um ponto de E que naopertence a uniao dos intervalos de F , entao existe um intervalo deV que contem x e e disjunto de todos os de F . Isto se da porque auniao dos intervalos de F e um conjunto fechado que nao contem x eV cobre E no sentido de Vitali. Isto posto, se existe uma famlia finitade intervalos de V , disjuntos dois a dois e cuja uniao contem E, nadaha a demonstrar porque a diferenca em (5.9) e vazia. Caso contrario,essa observacao permite escolher, por inducao, uma sucessao (In) deintervalos de V do seguinte modo: I1 e qualquer elemento de V e,suposto escolhidos I1, . . . , In , entao In+1 e qualquer intervalo de Vdisjunto dos intervalos I1, . . . , In e tal que

    amp(In+1 >n2,

    onde n e o supremo das amplitudes dos intervalos de V disjuntosde cada um dos Ij , j = 1, . . . , n (observe-se que n < (G) D+ u(x) tem medida nula. Seja, para isto,

    (5.10) Er,s ={x [a, b]; D u(x) > r > s > D+ u(x)

    },

    onde r e s sao numeros racionais. Como E = Er,s e a famlia dosconjuntos Er,s e numeravel e bastante demonstrar que me(Er,s) = 0.Ponhamos me(Er,s) = t. Seja > 0 e G um conjunto aberto tal queEr,s G e (G) < t + . Como D+ u(x) < s para todo x Er,s , afamlia dos intervalos [x, x+h], x Er,s e h > 0, contidos em G e taisque

    (5.11) u(x+ h) u(x) < sh,

  • Secao 5.2 Funcoes monotonas 119

    cobre Er,s no sentido de Vitali. Segue-se, pelo Lema de Vitali, queexistem intervalos I1, . . . , In dessa famlia, disjuntos dois a dois e tais

    que me(Er,s

    nj=1

    Ij)< . Consequentemente, me

    (Er,s

    nj=1

    Ij) > t

    e, se A e o conjunto dos pontos de Er,snj=1

    Ij situados no interior dos

    intervalos I1, . . . , In , entao me(A) > t . Pondo Ij = [xj, xj + hj],j = 1, . . . , n, fazendo x = xj e h = hj em (5.11) e somando membro amembro as n desigualdades obtidas tem-se

    nj=1

    (u(xj + hj) u(xj)) nj=1

    shj(5.12)

    = snj=1

    hj s(G) < s(t+ ).

    Como D u(x) > r para todo x Er,s , a famlia dos intervalos[y k, y], y A, k > 0, [y k, y] Ij para algum j, 1 j n,e tais que

    (5.13) u(y) u(y k) > rk

    cobre A no sentido de Vitali. Logo, pelo Lema de Vitali, existemintervalos J1, . . . , Jm dessa famlia, disjuntos dois a dois e tais que

    me(A

    mi=1

    Ji)< . Consequentemente,

    mi=1

    amp(Ji) me(A

    mi=1

    Ji)> t 2.

    Pondo Ji = [yi ki, yi], fazendo y = yi e k = ki em (5.13) e somandoas m desigualdades obtidas tem-se, pois,

    (5.14)mi=1

    (u(yi) u(yi ki)) mi=1

    rki = rmi=1

    ki > r(t 2).

  • 120 Derivacao Cap. 5

    Cada Ji esta contido em algum Ij . Somando em relacao aos Ji contidosem Ij tem-se, visto que u e crescente,

    JiIj

    (u(yi) u(yi ki)) u(xj + hj) u(xj).

    Logo,

    s(t+ ) >nj=1

    (u(xj + hj) u(xj))

    mi=1

    (u(yi) u(yi ki)) > r(t 2),

    donde s(t + ) > r(t 2) e, pela arbitrariedade de , st rt. Mass < r; logo t = 0.

    Analogamente, demonstra-se que tem medida nula o conjunto dospontos de [a, b] onde D u(x) < D+ u(x). Logo, D

    u(x) = D+ u(x)quase sempre em [a, b]. Com o mesmo argumento demonstram-seanalogas relacoes para as demais combinacoes das derivadas de Dini.Logo, as quatro derivadas de Dini sao iguais quase sempre em [a, b].

    Para completar a demonstracao vamos agora demonstrar que umadas derivadas de Dini e finita quase sempre. Demonstremos, porexemplo, que D+ u < + quase sempre em [a, b]. Seja, para isto,E = {x [a, b]; D+ u(x) = +} e mostremos que (E) = 0. Sejat = me(E) e um real positivo qualquer. De D

    + u(x) = + paratodo x E, resulta que a famlia dos intervalos [x, x + h], x E,h > 0, tais que [x, x+ h] [a, b] e

    (5.15) u(x+ h) u(x) > h,

    cobre E no sentido de Vitali. Logo, pelo Lema de Vitali, existemintervalos I1, . . . , In dessa famlia, disjuntos dois a dois e tais que

  • Secao 5.2 Funcoes monotonas 121

    me(E

    nj=1

    Ij)< e, portanto, tais que

    nj=1

    amp(Ij) me(E

    nj=1

    Ij)> t ,

    Pondo Ij = [xj, xj + hj], j = 1, . . . , n, fazendo x = xj e h = hj , j =1, . . . , n, em (5.15) e somando membro a membro as n desigualdadesobtidas tem-se

    nj=1

    (u(xj + hj) u(xj)) >nj=1

    hj = nj=1

    hj > (t ).

    Logo,

    u(b) u(a) nj=1

    (u(xj + hj) u(xj)) > (t )

    donde, pela arbitrariedade de , u(b)u(a) t e, pela arbitrariedadede , t = 0.

    Encerramos esta Secao com um teorema de Fubini para series defuncoes monotonas.

    5.5 Teorema (Fubini). Seja=1

    u uma serie de funcoes monotonas

    crescentes que converge pontualmente em [a, b] para uma funcao u.Entao u e derivavel quase sempre em [a, b] e vale a derivacao termo a

    termo quase sempre, isto e, u(x) ==1

    u(x) quase sempre em [a, b].

    Demonstracao: Sem perda de generalidade podemos supor que to-das as funcoes u sao nao negativas e se anulam no ponto x = a. Casocontrario bastaria considerar u(x) u(a) em lugar de u(x). Sejasn(x) a n-esima soma parcial da serie, isto e, sn(x) =

    n=1

    u(x); por-

    tanto sn(x) u(x). Evidentemente as funcoes sn e u sao crescentes

  • 122 Derivacao Cap. 5

    e pelo teorema de Lebesgue sao derivaveis exceto nos pontos de umconjunto E0 de medida nula, precisamente a uniao dos conjuntos nosquais cada uma das funcoes mencionadas nao e derivavel. As funcoesu(x) sendo crescentes, podemos escrever que, para h > 0

    0 sn(x+ h) sn(x)h

    sn+1(x+ h) sn+1(x)h

    u(x+ h) u(x)h

    ,

    e portanto para cada x / E0 tem-se

    0 sn(x) sn+1(x) u(x).

    Esta relacao nos mostra que a sequencia (sn) e crescente nao negativa

    e para cada x / E0 ela e definida por u(x). Assim, a serie=1

    u(x)

    e convergente quase sempre em [a, b]. Resta provar que a sua soma eprecisamente u(x). Como a sequencia (sn) e crescente, basta provarque ela contem uma subsequencia (snk) tal que s

    nk u. Para isto

    consideremos a reduzida sn(b) da serie numerica=1

    u(b). Como por

    hipotese sn(b) u(b), para cada k N existe um nk tal que u(b) snk(b) nk

    u(x) >nk

    u(b) = u(b) snk(b) 0 existe um > 0 tal que para todacolecao finita (a1, b1), (a2, b2), . . . , (an, bn) de subintervalos de [a, b] doisa dois disjuntos satisfazendo a condicao

    nk=1

    (bk ak) <

    tem-se, necessariamente,

    (5.19)nk=1

    |u(bk) u(ak)| < .

    E claro que toda funcao absolutamente contnua e uniformementecontnua e portanto e contnua. No entanto a recproca nao e verda-deira pois existe funcoes uniformemente contnuas que nao sao abso-lutamente contnuas (ver [8]).

    As funcoes lipschitzianas sao absolutamente contnuas. Diz-se queu e lipschitziana quando existe uma constante C > 0 tal que |u(x)u(y)| C|xy| para todo par x, y de [a, b]. Consequentemente, se u elipschitziana, para todo colecao finita de subintervalos (a1, b1), (a2, b2), . . . , (an, bn) de [a, b] dois a dois disjuntos tem-se

    nk=1

    |u(bk) u(ak)| Cnk=1

    (bk ak).

    Portanto dado > 0, basta considerar = /C para se ter a condicaode continuidade absoluta satisfeita.

    5.12 Proposicao. Se u L(a, b) entao as integrais indefinidas de usao funcoes absolutamente contnuas.

  • Secao 5.4 Determinacao de uma funcao a partir de sua derivada 129

    Demonstracao: Seja v(x) = xa u(t) dt + C uma integral indefinida

    de u e seja (a1, b1), (a2, b2), . . . , (an, bn) subintervalos de [a, b] dois adois disjuntos. Entao

    nk=1

    |v(bk) v(ak)| =nk=1

    bkak

    u(t) dt

    nk=1

    bkak

    |u(t)| dt E

    |u(t)| dt,

    onde

    E =nk=1

    {(ak, bk)}.

    Mas, pela Proposicao 4.10, tem-se queE|u(t)|dt0 quando (E)0.

    Logo, dado > 0 existe > 0 tal que se (E) 0 de modo que em cada subin-tervalo de [a, b] com comprimento inferior de a variacao total de u einferior a e portanto limitada. Como o intervalo [a, b] pode ser divi-dido em um numero finito de subintervalos de comprimentos inferioresa , segue-se que a variacao total de u em [a, b] sera limitada.

    5.14 Observacao. Como consequencia deste resultado, conclui-seque toda funcao absolutamente contnua e derivavel quase sempre em[a, b], conforme Observacao 5.7.

    5.15 Observacao. O conjunto das funcoes absolutamente contnuase fechado para a soma e para o produto por escalares; assim e umsubespaco do espaco das funcoes de variacao limitada.

    5.16 Lema. Seja v : [a, b] R absolutamente contnua. Se a deri-vada de v e nula quase sempre em [a, b], entao v e uma funcao cons-tante.

  • 130 Derivacao Cap. 5

    Demonstracao: Seja a < c b. Vamos mostrar que u(c) = u(a).Designemos, para isto, por E o conjunto dos pontos de (a, c) ondea derivada de v se anula. Por hipotese tem-se (E) = c a. Seja > 0 dado e > 0 o correspondente de na definicao de funcaoabsolutamente contnua. Os intervalos [x, x + h], x E, h > 0, taisque [x, x+ h] (a, c) e

    (5.20) |u(x+ h) u(x)| < hc a

    ,

    cobrem E no sentido de Vitali. Logo, pelo Lema de Vitali, umafamlia finita I1 = [x1, x1 + h1], . . . , In = [xn, xn + hn], desses inter-

    valos, I1, . . . , In disjuntos dois a dois, e tal que me(E

    nj=1

    Ij)< .

    Sem quebra da generalidade podemos supor que xj + hj < xj+1 ,j = 1, . . . , n 1. Temos, por hipotese, (a, c) = E F onde (F ) = 0.Da vem

    (x1 a) + (x2 x1 h1) + + (c xn hn) = me((a, c)

    nj=1

    Ij)

    = me[(a, c) C

    ( nj=1

    Ij)]

    = me[(E F ) C

    ( nj=1

    Ij)]

    me(E C

    ( nj=1

    Ij))

    +me(F C

    ( nj=1

    Ij))

    = me(E C

    ( nj=1

    Ij))<

    donde, pela escolha de ,

    |u(x1) u(a)|+n1j=1

    |u(xj+1) u(xj + hj)|(5.21)

    + |u(c) u(xn + hn)| < .

    Fazendo x = xj e h = hj , j = 1, . . . , n, em (5.20) e somando membro

  • Secao 5.4 Determinacao de uma funcao a partir de sua derivada 131

    a membro tem-se

    (5.22)nj=1

    |u(xj + hj) u(xj)| 0 escolhamos um > 0 tal que para todacolecao finita (a1, b1), (a2, b2), . . . , (an, bn) de subintervalos de [a, b] doisa dois disjuntos satisfazendo a condicao

    nk=1

    (bk ak) <

    se tenha

    (5.23)nk=1

    |u(bk) u(ak)| 0 (aqui estamos omitindoos pontos de [a, b] onde u nao existe uma vez que eles formam umconjunto de medida nula). Devemos provar que A tem medida nula.Seja {In} um recobrimento enumeravel de E por intervalos tais quen=1

    amp(In) seja finita, e cada ponto de E esta contido num numero

    infinito de tais intervalos. Isto e possvel porque E tem medida nula.Para cada k N, seja k a soma das funcoes caractersticas dos inter-valos I1, I2, . . . , Ik (que sao subintervalos de [u(a), u(b)]). Logo (k) euma sucessao crescente de funcoes escada que tende para + em cadaponto de E. Desta forma a sucessao de funcoes ([k u]u) e tambemcrescente e tende para + nos pontos de A. Como a sucessao dasintegrais b

    a

    (k u)u = u(b)u(a)

    k =ki=1

    amp(Ik)

    e limitada, segue-se do Teorema de Beppo Lei que o conjunto A temmedida nula. Assim (n u)u converge para (f u)u quase sempreem [a, b]. Alem disso, tem-se b

    a

    (n u)u = u(b)u(a)

    n u(b)u(a)

    f (porque f S1).

    Ainda pelo Teorema de Beppo Levi teremos que (f u)u e integravele vale a formula (5.26). Para se obter a validade da formula no casoem que f e integravel e so notar que f e, por definicao, diferenca deduas funcoes de S1 .

  • Bibliografia 137

    Bibliografia

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  • 138 Derivacao Cap. 5

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  • Indice

    Amplitudede um intervalo, 5da uniao de intervalos disjun-

    tos, 21Area de um retangulo, 102

    Borelianos, 63

    Classes Li(u0), Lp(u0), L(u0), 48Cobertura de Vitali, 116Cone convexo, 30Conjunto

    de medida nula, 5, 102mensuravel, 59L-mensuravel, 68

    Convergenciaem medida, 75em media de ordem p, 87fraca, 95forte, 87quase uniforme, 74

    Darboux, 9Decomposicao

    de um intervalo, 8associada a uma funcao es-

    cada, 16

    Derivacao, 113

    Derivadas de Dini, 115

    Desigualdade

    de Holder, 85, 111

    de Minkowski, 85, 111

    de Schwarz, 92

    de Young, 85

    Egoroff, 74

    Espaco

    de Banach, 89

    de Hilbert, 92

    das funcoes integraveis a Le-besgue, 41

    das funcoes integraveis a Ri-emann, 12

    Lp, 83

    L, 92

    metrico completo, 89

    normado, 89

    Funcao

    absolutamente contnua, 128

    caracterstica, 21

    escada, 16, 103

    essencialmente limitada, 93

    139

  • 140 Indice Remissivo

    integravel a Lebesgue, 41integravel a Riemann, 8L-mensuravel, 70lipschitziana, 128mensuravel, 52monotonas, 114parte negativa de uma, 27parte positiva de uma, 27somavel, 41de variacao limitada, 123

    Funcional linear sobre R(a, b),12

    Indice conjugado, 85Integrabilidade, das funcoes

    contnuas, 10Integracao por partes, 133Integral

    de Denjoy, 132indefinida, 13, 124inferior, 8de Lebesgue, 39, 41de Perron, 132de Riemann, 7superior, 8sobre os conjuntos mensuraveis,

    65sobre os intervalos nao limi-

    tados, 56

    Lemade Fatou, 50, 51de Vitali, 116

    Lema Fundamental

    primeiro, 22

    segundo, 24

    Limite

    forte, 95

    fraco, 95

    superior, 48

    inferior, 48

    L-integral, 73

    L-medida, 68

    Lusin, 79

    Majorante essencial, 92

    Medida

    de um conjunto, 59

    exterior, 67

    Metrica de Lp, 87

    Norma

    de f Lp, 84de f L, 95

    Parte

    negativa, 27

    positiva, 27

    Pontos de divisao de uma de-composicao, 8

    Primeiro Lema Fundamental, 22

    Primitiva de uma funcao, 14, 113

    Produto interno, 92

    Quase sempre, 7

    Retangulo,

  • Indice Remissivo 141

    de R2 limitado, 102Reticulado vetorial, 17

    Segundo Lema Fundamental, 24Somas de Darboux, 9Sucessao, de Cauchy em Lp, 87

    fortemente convergente, 87fracamente convergente, 95

    Supremo essencial, 92

    Teoremade Beppo Levi, 45, 47da Convergencia Dominada,

    49, 81

    da Convergencia Monotona,47

    de Egoroff, 74, 76, 81de Fubini, 101, 106, 121Fundamental do Calculo, 13de Lebesgue, 49, 118, 125, 131de Lusin, 74, 79de Riesz-Fischer, 83, 87, 111de Strauss, 96de Tonelli, 108

    Teoria da Totalizacao, 132

    Variacao total, 124

    Weierstrass, 114

  • Complementos 143

    COMPLEMENTOS

    1.

    Exemplo de Funcao nao Absolutamente Contnua

    No Captulo 5 foi estudada a validade do Teorema Fundamental doCalculo na classe L(a, b) concluindo-se sua validade na subclasse deL(a, b) constituda pelas funcoes Absolutamente Contnuas. A seguir,sera estudado um exemplo significativo e educativo de uma funcaonao absolutamente contnua. Trata-se de uma funcao contnua, naodecrescente, nao constante com derivada nula quase sempre. Esteexemplo foi mencionado por H. Lebesgue em 1904. Na esperanca detornar clara a exposicao, sera feita a construcao do conjunto de Cantor.(E. Hille-J.D. Tamarkin, Remarks on a known example of monotonecontinuous function, Amer. Math. Monthly, 36 (1929), pp. 255-264).

    Considere-se o intervalo (0, 1) da reta real R. Sera feita umasucessao de triseccoes e remocoes dos intervalos intermediarios, peloprocesso seguinte:

    Etapa 1. Divide-se [0, 1] em tres subintervalos iguais,(0, 13),(1

    3 ,23

    ),(2

    3 , 1), removendo-se de (0, 1) o subintervalo aberto intermediario,(1

    3 ,23

    ). Assim, restam em (0,1) os pontos

    (0, 13), 13 ,

    23 ,(2

    3 , 1).

    Etapa 2. Divide-se cada um dos subintervalos restantes:(0, 13)

    e(23 , 1)

    em tres subintervalos iguais, obtendo-se:(0,

    1

    32),( 132,

    2

    32),( 233,1

    3

    )

  • 144 Integral de Lebesgue

    e (23,2

    3+

    1

    32),(23

    +1

    32,

    2

    3+

    2

    32),(23

    +2

    32, 1).

    Removendo-se os intervalos intermediarios:( 132,

    2

    32)

    e(23

    +1

    32,

    2

    3+

    2

    32),

    restam em (0, 1) os pontos:

    (0,

    1

    3

    ),

    1

    3,

    2

    32,( 232,1

    3

    )e (2

    3,2

    3+

    1

    32),

    2

    3+

    1

    32,

    2

    3+

    2

    32,(23

    +2

    32, 1).

    Repete-se, indefinidamente, este processo de triseccao e remocaodos intervalos intermediarios. O numero de intervalos removidos naetapa n e igual a 2n1. Estes intervalos, em cada etapa, serao ordena-dos, da esquerda para a direita, representados por

    nk , k = 1, 2, . . . , 2n1.

    A amplitude de cada nk e13n

    Etapa 1. Removeu-se

    11 =(13,2

    3

    ).

    Etapa 2. Foram removidos

    21 =( 132,

    2

    32), 22 =

    (23

    +1

    32,

    2

    3+

    2

    32).

  • Complementos 145

    Etapa 3. Foram removidos os 22 intervalos

    31 =( 133,

    2

    33),

    32 =( 132

    +1

    33,

    1

    32+

    2

    33),

    33 =(23

    +1

    33,

    2

    3+

    2

    33),

    34 =(23

    +2

    32+

    1

    33,

    2

    3+

    2

    32+

    2

    33)

    O numero total de subintervalos removidos de (0, 1), ao final de netapas, e:

    1 + 2 + 22 + + 2n1 = 2n 1.Representa-se por E o subconjunto de (0, 1) constitudo pelos pon-

    tos nao removidos no processo anterior. Representando-se por D ocomplemento de E relativamente a (0, 1), obtem-se:

    D =

    nk .

    Note-se que na uniao anterior sao considerados, somente os pontosinteriores dos nk . O conjunto E consiste de todos os pontos de (0, 1)que sao extremos dos intervalos nk e de seus limites. Representando-sepor nk < nk os extremos de nk , obtem-se para 34 os extremos:

    34 =2

    3+

    2

    32+

    1

    33e 34 =

    2

    3+

    2

    32+

    2

    33

    Os extremos 34 representa-se pelo numero triadico

    34 = 0, 22200 . . .

    enquanto34 = 0, 22100 . . . .

    Para o que se tem em mente considerar, e necessario que aparecana parte fracionaria do numero triadico apenas os algarismos 0 ou 2.

  • 146 Integral de Lebesgue

    Note-se que1

    33=

    0

    33+

    2

    34+

    2

    35+ . . .

    ou, no sistema triadico:

    1

    32= 0, 00022 . . . ,

    com os algarismos 0 ou 2. Observe-se que obtem-se, de fato,

    1

    33= lim

    p

    ( 234

    +2

    35+ + 2

    34+p)

    Conseguintemente,34 = 0, 22022 . . .

    com algarismos 0 ou 2, na base triadica.De modo geral, os extremos nk e nk de nk sao da forma:

    nk =a13

    +a232

    + + an13n1

    +1

    3n

    e

    nk =a13

    +a232

    + + an13n1

    +2

    3n

    Sendo1

    3n=

    0

    3n+

    2

    3n+1+

    2

    3n+2+ . . . ,

    obtem-se, na representacao em numeros triadicos

    nk = 0, a1a2 . . . an1 0222 . . .

    enk = 0, a1a2 . . . an1 2000 . . .

    sendo os ai iguais a 0 ou 2.Portanto, os pontos de E sao representados pelas fracoes triadicas

    0, a1a2 . . . an . . .

  • Complementos 147

    com os ai iguais a 0 ou 2.

    Com o objetivo de deduzir algumas propriedades simples do con-junto E, representa-se por nk os k subintervalos nao removidos de(0, 1) na Etapa n sendo k = 2, 22, . . . , 2n. A amplitude de nk e

    13n

    O numero total de nk na Etapa n e 2n, logo a soma das amplitudes

    dos nk na Etapa n e(2

    3

    )n, que tende a zero quando n tende para o

    infinito. Portanto estando E contido na uniao dos nk , conclui-se queE possui medida de Lebesgue zero.

    Note-se que os pontos de abcissas representados no sistema triadicopor 0, a1a2 . . . an . . . , com os ai iguais a zero ou dois, sao aproximadospor numeros do mesmo tipo. Por conseguinte, E possui todos os seuspontos de acumulacao, concluindo-se que E e um conjunto perfeito.

    Observe-se que ha subintervalos de (0, 1) contidos nos subintervalosremovidos, os quais nao possuem pontos de E. Conclui-se, da, que Ee nao denso em (0, 1).

    Outro resultado significativo do conjunto E e que seu numero car-dinal e igual ao do intervalo (0, 1). (Veja G. BirkoffS. Mac Lane, Asurvey of modern algebra, Mac Millan Co. (1948), N.Y., pp. 338-339).

    ESCOLIUM. Pelo processo de triseccao do intervalo (0, 1) e remocaodos subintervalos intermediarios, construiu-se um subconjunto E de(0, 1), de medida de Lebesgue nula, perfeito, nao denso em (0, 1) ecom cardinal igual ao cardinal do intervalo (0, 1). O conjunto E foiidealizado por Cantor e por isto e denominado Conjunto de Cantor.

    A seguir sera definida em (0, 1) com valores em (0, 1) uma funcaocontnua, derivavel mas nao absolutamente contnua. Este exemplofoi idealizado por H. Lebesgue em 1904.

    De fato, como foi visto anteriormente, todo ponto de E e da forma:

    x = 0, a1a2 . . . an . . . ,

  • 148 Integral de Lebesgue

    no sistema triadico, sendo os ai zero ou dois. Sob a forma de serie,obtem-se:

    x =a13

    +a232

    + + an3n

    + . . . .

    Considere-se a funcao definida em E por

    (x) =b12

    +b222

    + + bn2n

    + . . .

    sendo bi =ai2 , os bi serao 0 ou 1. Logo (x) leva x triadico na base

    diadica. Ela esta bem definida em E com valores em (0, 1).

    Calculo de nos extremos dos nk .Como visto anteriormente, os extremos nk e nk de nk sao da

    forma:

    nk =a13

    +a232

    + + an13n1

    +0

    3n+

    2

    3n+1+

    2

    3n+2+ . . .

    e

    nk =a13

    +a232

    + + an13n1

    +2

    3n,

    com os ai iguais a zero ou dois.

    Na definicao de , obtem-se:

    (nk) =b12

    +b222

    + + bn12n1

    +0

    2n+

    1

    2n+1+

    1

    2n+2+ =

    =b12

    +b222

    + + bn12n1

    +1

    2n= (nk).

    Portanto, toma valores iguais nos extremos dos intervalos nk .Estende-se a definicao aos pontos interiores a nk , definido constanteigual ao valor comum nos extremos.

    Sendo

    0 = 0, 000 . . . e 1 = 0, 222 . . . ,

    na base triadica, calcula-se (0) = 0 e (1) = 1.

  • Complementos 149

    Portanto esta definida em todos os pontos do intervalo (0, 1) comvalores em (0, 1), mesmo nos extremos.

    e monotona nao decrescente.E suficiente provar para os pontos de E porque ela e constante nos

    outros pontos. Considere dois pontos x x de E. Tem-se

    x = 0, a1a2 . . . a

    n . . . e x

    = a, a1a2 . . . a

    n . . . ,

    e para algum n tem-se

    a1 = a1, . . . , a

    n1 = a

    n1 mas a

    n an .

    Logo pela definicao de obtem-se (x) (x).Assim cresce de 0 a 1, permanecendo constante nos intervalos

    nk .

    e contnua em (0, 1).E suficiente restringir-se aos pontos de E. De fato, sejam

    x = 0, a1a2 . . . an . . . e x = 0, a1a

    2 . . . a

    n . . .

    pontos de E sendo x x. Logo, ha valores de n, quando n cresce,tais que

    am = am para todo m < n.

    Resulta que

    (x) = 0, b1b2 . . . bn1bn 0, b1b2 . . . bn1bn = (x).

    Logo contnua e monotona e derivavel quase sempre em (0, 1) e(x) = 0 quase sempre. Nao vale o Teorema Fundamental do Calculopara , porque 1

    0(x) dx 6= (1) (0).

  • 150 Integral de Lebesgue

    nao e absolutamente contnua.Deduz-se do ultimo argumento. Sera feita uma demonstracao di-

    reta.Considere-se a decomposicao (nk, nk) de (0, 1) sendo nk , nk os

    extremos de nk . Tem-se

    (k) = 0, b1 . . . bn1 0111 . . .

    e(nk) = 0, b1 . . . bn1 1000 . . .

    no sistema diadico. A funcao e nao decrescente. Logok

    |(nk) (nk)| =k

    {(nk) (nk)} = (1) (0) = 1.

    Tem-se k

    (k k) =(23

    )n 0 quando n.Logo nao e absolutamente contnua.

    E simples obter-se uma imagem grafica da funcao no sistemaortogonal de coordenadas cartesianas no plano R2. Relembrando-seos intervalos nk , obtem-se:

    (x) =1

    2em 11 ; (x) =

    1

    4em 21 ; (x) =

    3

    4em 22 . . . .

    Colocando estes numeros no sistema de coordenadas obtem-se umaideia do grafico de . (A. KolmogorovS. Fomin, Elements de laTheorie des Fonctions et dAnalyse Fonctionelle Editions Mir-Moscou(1974), p. 336).

  • Complementos 151

    2.

    Henri Lebesgue (1875-1941)

    Em 1901 Lebesgue publicou uma pequena nota no C.R. Acad.Sci. Paris, 132, (1901) pp. 86-88, completando um seculo em 2001.Alias, o conteudo desta nota nao ocuparia mais de uma pagina. Nela,Lebesgue muda de modo profundo a maneira de definir a integralidealizada por Riemann-Darboux.

    Dada a relevancia para o desenvolvimento da Analise Matematica,por ocasiao do centenario da nota de Lebesgue, op. cit., J.M. Bony,G. Choquet, G. Lebeau, publicaram: Le centenaire de lintegrale deLebesgue, C.R. Acad. Sci. Paris, t. 332, Serie I, (2001) pp. 85-90, sa-lientando a profunda mudanca na Analise Matematica motivada pelasideias de Lebesgue.

    Para definir seu novo conceito de integral, Lebesgue faz a observacaoque e repetida a seguir.

    Supoe f : [a, b] R, limitada, crescente, sendo m, M , respectiva-mente, o nfimo e o supremo de f em [a, b], veja Figura 1.

  • 152 Integral de Lebesgue

    Considere-se uma particao P de [a, b] em intervalos [xk1, xk], k =1, . . . , n. Esta determina uma particao em intervalos [yk1, yk], k =1, . . . , n, de [m,M ]. Reciprocamente, em face de ser f crescente em[a, b], uma particao de [m,M ] em intervalos [yk1, yk], k = 1, . . . , n,determina uma particao de [a, b] em intervalos [xk1, xk], k = 1, . . . , n.Portanto, no caso crescente, qualquer metodo de particao de [a, b] ou[m,M ] conduz a um mesmo conceito de integral, considerando-se:

    (1) sP =nk=1

    (xk xk1)yk1 e SP =nk=1

    (xk xk1)yk .

    Conclui Lebesgue que no caso em que f e crescente, limitada, obtem-se as integrais inferior e superior de Riemann-Darboux com particoesde [a, b] ou [m,M ], conduzindo ao mesmo conceito de integral. O casodecrescente limitado e analogo.

    Suponha f : [a, b] R limitada mas nao necessariamente monotona,cf. Figura 2.

  • Complementos 153

    Uma particao em [a, b] em intervalos [xk1, xk], k = 1, . . . , n, per-mite definir as somas de Darboux conduzindo a um conceito de integralde Riemann.

    Entretanto, fazendo-se uma particao [yk1, yk], k = 1, . . . , n, y0 =m, yn = M , conclui-se que em [a, b] nao se tem uma particao emintervalos, veja Fig. 4, para um caso simples. Em [a, b] obtem-se osconjuntos:

    {x [a, b]; yk1 f(x) yk},

    que, no caso Fig. 2, compoe-se da uniao de quatro intervalos, semponto comum. Se f for muito oscilante em [a, b] a particao de [m,M ]determina subconjuntos bem gerais em [a, b].

    Assim, segue-se um metodo heursitco para concluir a nova de-finicao proposta por Lebesgue.

    De fato, da particao [yk1, yk], k = 1, . . . , n, y0 = m, yn = M , de[m,M ], resulta em [a, b] a particao

    (2) Ek ={x [a, b]; yk1 f(x) yk , k = 1, . . . , n

    },

    mas em subconjuntos Ek .

    Desejando-se manter as somas (1) para obter o novo conceito deLebesgue, surgem os problemas:

    (i) Como atribuir aos Ek dados por (2) um numero positivo quecorresponda a medida dos Ek como xk xk1 mede o comprimentodos intervalos [xk1, xk], k = 1, . . . , n ?

    Suponha resolvido este problema. A cada Ek , dado por (2), atribui-se um numero positivo representado por (Ek), que se le medidado conjunto Ek , generalizando o conceito de amplitude do intervalo[xk1, xk]. A estes conjuntos Ek aos quais atribui-se uma medida,Lebesgue denominou mensuraveis. Os intervalos [xk1, xk] sao men-suraveis.

    Desta forma, as somas (1) sao reescritas, no caso de particao em[m,M ] em intervalos [yk1, yk], y0 = m, yn = M , k = 1, . . . , n, sob a

  • 154 Integral de Lebesgue

    forma:

    (3) sP =nk=1

    yk1 (Ek) e SP =nk=1

    yk (Ek).

    Resolvida esta etapa, surge um problema crucial:(ii) Para quais funcoes limitadas f : [a, b] R e possvel atribuir

    uma medida (Ek) aos conjuntos Ek , da particao de [a, b] ? Ditode modo equivalente, para quais funcoes f : [a, b] R, limitadas, osconjuntos Ek de [a, b] sao mensuraveis?

    Deste modo, para responder a questao (ii) Lebesgue restringe asfuncoes limitadas a classe que ele denominou funcoes mensuraveis.Dada f : [a, b] R, limitada, denominou mensuravel quando paratodo par de numeros < , o conjunto{

    x [a, b]; < f(x) < },

    for mensuravel.Conclui-se que tudo fica em ordem para as funcoes f : [a, b] R,

    limitadas e mensuraveis. Ele observa que as funcoes contnuas a menosde conjunto de medida nula sao exemplos de funcoes mensuraveis.

    Conclusao. Aceitando-se as nocoes de conjunto e funcao mensuravel,se f : [a, b] R for limitada e mensuravel as somas sP e SP defini-das em (3) estao bem definidas. Assim, define-se as integrais inferiore superior, respectivamente, por sup

    P{sP} e inf

    P{SP}. Quando estas

    integrais forem iguais, a este valor comum denomina-se integral deLebesgue da funcao f : [a, b] R, representada por

    (L)

    ba

    f(x) dx.

    Lebesgue provou que se f : [a, b] R for limitada e mensuravel,entao f e integravel.

  • Complementos 155

    Suponha que se deseja ensinar a integral como idealizou Lebesgue,por exemplo para funcoes

    u : (a, b) R.

    As etapas seriam as seguintes:

    (i) definir a nocao de medida e conjunto mensuravel para os sub-conjuntos de (a, b),

    (ii) definir a nocao de funcao mensuravel para as u : (a, b) R,(iii) de posse destas nocoes tudo fica em ordem sendo possvel

    seguir corretamente o processo heurstico.

    Ha uma vasta bibliografia com a construcao da integral de Lebesguepelo processo original de Lebesgue. Entre estes, veja por exemploNatanson [13], Titchmarsh [22].

    Note-se que a criacao de Lebesgue modificou a Analise Matematicaa partir de sua nota de 1901. Todos os cursos basicos de matematicaincluem uma disciplina denominada Integral de Lebesgue, impres-cindvel na formacao dos estudantes de matematica.

    3.

    Conjuntos Nao Mensuraveis a Lebesgue

    Sera apresentado um exemplo de conjunto nao mensuravel a Lebes-gue. A ideia aqui exposta vimos, pela primeira vez, no livro de JohnVon Neumann, Functional Operators, Vol. I, Measures and Integrals,pagina 38, Princeton, USA, 1954. Posteriormente encontramos emoutros textos, sendo reproduzida a ideia no presente apendice.

    Representando por R o corpo dos numeros reais e por Q o dosracionais, considere-se em R a relacao binaria , definida do modoseguinte: para x, y R diz-se que x y, lendo-se x equivalente a y,se x y for um numero racional. Demonstra-se que a relacao

  • 156 Integral de Lebesgue

    assim definida em R e uma relacao de equivalencia, isto e, reflexiva,simetrica e transitiva. Como consequencia, o corpo R fica decompostoem classes de equivalencia do tipo

    K(x) = {x+ r; r Q},

    para x variando em R. Resulta que x 6 y entao K(x) K(y) = ,isto e, as classes K(x) e K(y) sao disjuntas. Cada classe K(x) contempontos do intervalo [0, 1]. De fato, dado x R toma-se r Q tal quex r 1 x, ou seja, 0 x + r 1. Por meio do axioma deZermelo, considera-se o conjunto E [0, 1] definido pela escolha deum ponto em cada classe de equivalencia K(x).

    Represente-se por (ri)iN a sucessao de todos os racionais de [1,+1].Defina-se Ei = E+ri , a translacao do conjunto E por meio do racionalri [1,+1].

    Temos as seguintes propriedades:

    i. [0, 1] e parte dei=1

    Ei :

    De fato, seja x [0, 1], existe e E [0, 1] tal que x e eracional. Tem-se 0 x 1 e 0 e 1, logo x e e um racionalde [1,+1], isto e, xe = ri , ri membro da sucessao dos racionaisde [1,+1]. Resulta que x = e+ ri pertence a algum Ei , ou seja,[0, 1]

    i=1

    Ei .

    ii.i=1

    Ei e parte de [1, 2]:

    De fato, se x i=1

    Ei resulta que x Ei para algum i N. Pela

    definicao de Ei , conclui-se que se x = e+ ri com e [0, 1] e ri [1,+1]. Resulta que 1 e+ ri +2, isto e, x [1,+2].

    iii. Das inclusoes (i) e (ii) obtem-se que [0, 1] i=1

    Ei [1,+2].

  • Complementos 157

    iv. O conjunto E nao e mensuravel:Observe-se, inicialmente, que se e, e sao elementos distintos deE, nao pode ser e e, isto e, e e racional, pois as classesK(x) sao disjuntas. Prova-se que esta propriedade de E implicaEi Ej = se i 6= j. De fato, se assim nao fosse, resultariaque existiria x Ei Ej , isto e, x = e + ri = e + rj , logoe e = rj ri Q, provando que e e, contradicao.

    Suponha E mensuravel. Resulta que suas translacoes Ei = E + risao mensuraveis e possuem a mesma medida de E, isto e, (E) =(Ei). De (iii) e da -aditividade da medida de Lebesgue resulta,

    1

    ( i=1

    Ei

    )=

    i=1

    (Ei) =i=1

    (E) 3,

    contraditorio, pois a seriei=1

    (E) ou e nula ou nao converge. Logo E

    nao e mensuravel.

    Observacao 1: Esta versao do exemplo de Von Neumann pode servista em: Russel A. Gordon - The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Per-ron and Henstock - AMS - 1995. Ver tambem I.P. Natanson - Theoryof Functions of a Real Variable - Fred Ungar Publishing Co. NY, 1995.

    4.

    Integral de Kurzweil-Henstock

    1. Nos captulos um e cinco, do texto, foram investigados os proble-mas de reconstrucao de uma funcao por meio do conhecimento de suaderivada. Constatou-se que na classe R(a, b), das funcoes integraveisa Riemann em (a, b), o problema e bem posto na subclasse de R(a, b)constituda pelas funcoes contnuas em [a, b]. Tambem valido na classe

  • 158 Integral de Lebesgue

    das u R(a, b) tais que u R(a, b). Na classe L(a, b) o problema dareconstrucao de uma funcao por meio do conhecimento de sua deri-vada, seria bem resolvido na subclasse de L(a, b) formada pelas funcoesabsolutamente contnuas. Assim, se u for a derivada de v em (a, b) aigualdade

    v(x) = v(a) +

    xa

    u(s) ds,

    para todo a x b sera obtida para as funcoes contnuas em R(a, b)e para as absolutamente contnuas em L(a, b).

    Da, surgiu o problema, no incio do seculo XX, de obter um con-ceito de integral para funcoes u definidas em (a, b), representada porIba(u), de modo que na classe H(a, b) das funcoes integraveis com esteprocesso, fosse resolvido o problema da reconstrucao de uma funcaopor meio do conhecimento de sua derivada. De modo preciso, se umafuncao v de H(a, b) possui derivada u finita quase sempre em [a, b],entao u H(a, b) e vale a igualdade:

    v(b) v(a) = Iba(u).

    Inicialmente este problema central da Analise Matematica, da epo-ca, foi abordado por A. Denjoy, matematico frances, 1912, obtendoum conceito de integral, contendo o de Lebesgue, segundo o qual oproblema acima e resolvido.

    Simultaneamente, O. Perron, matematico alemao, em 1914, ima-ginou um processo de integracao segundo o qual o problema da recons-trucao da funcao por meio de sua derivada e resolvido, O processo dePerron contem o de Lebesgue e foi demonstrado que e equivalente aode Denjoy e mais simples. Varias outras construcoes foram feitas naesperanca de resolver o problema da reconstrucao de uma funcao.

    Os processos acima mencionados tiveram origens na integral se-gundo Lebesgue. Em 1960 foi investigado por R. Henstock, um pro-cesso de integracao com o objetivo de reconstrucao da funcao, porem

  • Complementos 159

    baseado nas ideias de Riemann. Ele obteve, o que denominou Inte-gral de Riemann Generalizada ou Integral de Kurzweil-Henstock. (R.Henstock, A Riemann type integral with Lebesgue power, Canadian J.of Math. 20 (1968), pp. 79-87, e R.G. Bartle, Return to the RiemannIntegral, Amer. Math. Monthly (out. 1996), pp. 625-632). Tendo emvista a simplicidade do processo de Henstock, sera feito um resumodas ideias no paragrafo que se segue.

    2. Integral de Riemann Generalizada. Considere-se um intervalo(a, b) da reta real R e funcoes reais definidas em (a, b).

    Considere-se a distribuicao de pontos de (a, b) como segue:

    a = x0 < x1 < < xj1 < xj < < xn = b.

    Os intervalos fechados ([xj1, xj])1jn sao dois a dois sem ponto in-terior comum e sua uniao e igual a [a, b]. Uma famlia de intervaloscom estas propriedades denomina-se uma particao de [a, b].

    Uma particao de [a, b] na qual escolhe-se, em cada subintervalo[xj1, xj], um ponto tj , diz-se indexada. Assim, uma particao in-dexada e uma colecao ordenada de pares [xj1, xj] e tj , para j =1, 2, . . . , n. Representa-se por

    P ={

    [xj1, xj]; tj}

    1jn ,

    uma particao indexada de (a, b).

    Considere-se uma funcao u : [a, b] R. Denomina-se Soma deRiemann de u, correspondente a particao indexada,

    P ={

    [xj1, xj]; tj}

    1jn ,

    ao numero

    S(u, P ) =nj=1

    u(tj)(xj xj1).

  • 160 Integral de Lebesgue

    Integral de Riemann. Diz-se que um numero real I e a integralde Riemann de u : [a, b] R, quando para cada > 0 existe umaconstante > 0 tal que se

    P ={

    [xj1, xj]; tj}

    1jn ,

    para qualquer particao indexada de (a, b) com

    0 < xj xj1 < , j = 1, 2, . . . , n,

    entao|S(u, P ) I| < .

    Observacao 1: Admitir que > 0 e constante, traz grande restricaoa definicao de integral de Riemann. Assim, obtem-se uma integralmais geral quando e uma funcao de (a, b) em R, estritamente po-sitiva. A integral assim obtida resolve o problema da reconstrucao deuma funcao por meio de sua derivada, no contexto de Riemann.

    Calibre sobre (a, b)(a, b)(a, b). Denomina-se um calibre sobre (a, b) a umaqualquer funcao : [a, b] R estritamente positiva.

    Particao -fina. Considere-se um calibre : (a, b) R e sejaP = {[xj1;xj]; tj}1jn uma particao indexada de (a, b). Diz-se queP e -fina quando

    0 < xj xj1 < (tj), para j = 1, 2, . . . , n.

    Demonstra-se que conhecido um calibre sobre (a, b) existe umaparticao -fina de (a, b). (R.A. Gordon, The Integrals of Lebesgue,Denjoy, Perron and Henstock, AMS, 1995, RI, USA).

    Integral de Riemann Generalizada. Um numero real H de-nomina-se integral de Riemann Generalizada da funcao u : [a, b] R,quando, para cada > 0, existe um calibre sobre (a, b) tal que

    |S(u, P )H| < ,

  • Complementos 161

    para toda particao P = {[xj1, xj]; tj}1jn de (a, b) que seja -fina.Diz-se que u possui H para sua Integral de Riemann Generalizada

    e escreve-se

    H =

    ba

    u.

    Representa-se por R(a, b) a classe de todas as funcoes u : (a, b) R,que possuem Integral de Riemann Generalizada.

    Exemplos

    As funcoes integraveis a Riemann em (a, b), isto e, R(a, b) per-tencem a R(a, b). E suficiente considerar calibres constantes em(a, b). Resulta que as funcoes contnuas em [a, b] pertencem a R(a, b).

    Considere a funcao caracterstica dos racionais do intervalo (0, 1),conhecida, tambem, sob a denominacao de funcao de Dirichlet. Re-presentando-a por , tem-se (x) = 1 se x for um racional de (0, 1)e (x) = 0 nos irracionais de (0, 1). Sabe-se que nao pertence aR(0, 1). Sera demonstrado que pertence a R(0, 1) e

    10 = 0.

    De fato, o problema principal e definir, para cada > 0, um calibre sobre (0, 1). Para tal considere-se todos os racionais de (0, 1) inde-xados na sucessao (rj)jN . Dado > 0, define-se a funcao em (0, 1)do modo seguinte: (x) = 1 se x for irracional(rj) =

    2j+1, j = 1, 2, . . . .

    A funcao assim definida e, de fato, um calibre em (0, 1). Considere-se uma particao indexada

    P = {[xj1, xj]; tj}1jn ,

  • 162 Integral de Lebesgue

    que seja fina, sendo definida acima. Isto significa que xj1 tj xj e

    [xj1, xj] (tj

    1

    2(tj), tj +

    1

    2(tj)

    ).

    Note-se que ha no maximo dois subintervalos [xj1, xj] possuindo rjpara ndice cuja amplitude de cada um e menor ou igual a /2j+1.Logo, a contribuicao para S(, P ) dos intervalos [xj1, xj], com tj = rjpara ndice, e menor ou igual a /2j. A contribuicao para S(, P )das parcelas com ndice tj irracional e zero, pois nestes (tj) = 0.Conseguintemente:

    0 S(, P ) =nj=1

    (tj)(xj xj1) 0 existe (t) > 0 em [a, b], tal quev(z) v(t)z t u(t) < , para todo z [a, b]

    tal que |z t| < (t). Assim, (t) e um calibre em [a, b].Da desigualdade acima, obtem-se:

    |v(z) v(t) (z t)u(t)| < |z t|

    para todo z [a, b] tal que |z t| < (t).Portanto, se a t b e 0 < < (t), resulta que:

    |v() v() ( )u(t)| |v() v(t) ( t)u(t)|+ |v(t) v() (t )u(t)|

    ( t) + (t ) = ( ).

    Considere-se a particao indexada

    P ={

    [xj1, xj]; tj}

    de [a, b],

    com calibre (t). Obtem-se:

    v(b) v(a) =nj=1

    {v(xj) v(xj1)

    }.

  • 164 Integral de Lebesgue

    Logo,

    |v(b) v(a) S(u, P )| =

    =

    nj=1

    {v(xj) v(xj1)

    }

    nj=1

    u(tj)(xj xj1)

    nj=1

    |v(xj) v(xj1) u(tj)(xj xj1)|

    nj=1

    (xj xj1) = (b a),

    para todo > 0. Isto implica que u R(a, b) e que ba

    u = v(b) v(a).

    Conclui-se que concernente a reconstrucao de uma funcao por meiode sua derivada, a Integral de Riemann Generalizada supera a integralde Lebesgue.

    3. Aspectos Historicos. Prefere-se fixar como incio do estabeleci-mento do conceito de integral as investigacoes de Newton (1643-1727)e Leibniz (1646-1712). Estas concepcoes sao sintetizadas nas duasseguintes linhas de ideias:

    Idealizada por Newton como integral indefinida, na nomencla-tura atual ou como funcao primitiva. Denomina-se metodo descritivo.

    Concebido por Leibniz como integral definida, isto e, como umaarea. Sera chamado metodo construtivo.

    Segundo Newton, uma funcao real de variavel real v denomina-seuma integral indefinida ou uma primitiva de Newton, quando v possui

  • Complementos 165

    uma derivada finita igual a u, isto e

    v = u.

    A funcao u diz-se integravel no sentido de Newton e a variacao de vem [a, b], isto e, v(b)v(a) denomina-se integral de Newton da funcaou em [a, b]. Toda funcao integravel no sentido de Newton e finita.

    A teoria da integral desenvolveu-se, inicialmente, segundo as ideiasde Newton, processo bem natural por ser o inverso da derivacao. Ateoria de Newton cresceu razoalvemente na epoca com aplicacoes aMecanica e a Fsica em geral. As ideias de Leibniz, entretanto, per-maneceram estaticas. Cauchy (1789-1857) retornou as ideias de Leib-niz com o estudo do conceito de integral na classe das funcoes reaiscontnuas no intervalo [a, b]. Definiu a nocao de integral para umafuncao contnua u em [a, b], representado-a por b

    a

    u(x) dx.

    Para este conceito de integral segundo Cauchy para as funcoescontnuas, ele provou que os conceitos de Newton e Leibniz se equiva-lem: Ele demonstrou que se u for uma funcao real contnua em [a, b]e a < x < b, entao

    v(x) =

    xa

    u(s) ds

    e uma primitiva de u em [a, b], isto e, v = u e que

    v(b) v(a) = ba

    u(s) ds.

    Este resultado da reconstrucao de uma funcao por meio do conheci-mento de sua derivada denomina-se, atualmente, teorema fundamentaldo calculo.

    Cauchy desenvolveu suas ideias estendendo o conceito para o casode uma semireta em vez de um intervalo compacto [a, b], obtendo

  • 166 Integral de Lebesgue

    o que denominou integrais improprias. Definiu o conceito de valorprincipal de uma integral impropria que e uma concepcao bem geralneste contexto. (Augustin Louis Cauchy Le Calcul Infinitesimal Tome Premier, 1823, Ellipses Ed., Paris, France).

    Supondo-se, ainda, o caso compacto [a, b], deseja-se estender o con-ceito de integral para uma classe mais ampla que a das contnuas.Neste ponto Riemann e Darboux idealizaram um processo para defi-nir a integral de uma funcao u definida em [a, b], porem apenas limi-tada. A classe das funcoes integraveis em [a, b] no sentido de Riemannrepresenta-se por R(a, b). Esta classe que contem as funcoes contnuasem [a, b] nao possui a propriedade do teorema fundamental do calculo.Como foi visto foi superado com o conceito de integral de Riemanngeneralizada de Henstock, obtendo a classe R(a, b).

    A integral de Riemann nao atendia a outras questoes fundamentaisda Analise Matematica, como por exemplo, no estudo de convergenciade series de funcoes, principalmente tratando-se das series de Fourier.Seria imperativo reexaminar o conceito e procurar obter um outro maiseficiente contendo o anterior. Da, Lebesgue (1875-1941) idealizou umconceito de integral que domina a Analise Matematica ate os dias dehoje, (ver Complemento 2).

    Lebesgue observou que sendo a funcao u definida em [a, b], umafina divisao de [a, b] em subintervalos pequenos nao implicaria, parafuncoes gerais, que os valores de u estariam proximos. Entao diz ele:... il est clair alors que nous devons morceler, non pas lintervalle ouvaries x, mais lintervalle limite par les bornes inferieurs et superieursde u. On considere valeurs des x qui correspond a

    yv1 u(x) yv .

    Les valeurs de x forment un ensemble Ev . Avec une fonction quelcon-que il peu etre tres complique, mais peut import on lui attachera unemesure m(Ev). (Henri Lebesgue, Lecons sur lIntegration et Recher-che des Fonctions Primitives Gauthier Villars, Paris, 1950, France).

  • Complementos 167

    Assim pensando, Lebesgue publicou sua primeira nota em 1901, naqual fixava a definicao de medida e de integral atualmente ligada a seunome, dando um impulso consideravel ao trabalho de investigacao emAnalise Matematica.

    No que concerne aos teoremas de convergencia de series o progressoda integral segundo Lebesgue e grande. Outro aspecto fundamen-tal e a classe das funcoes integraveis a Lebesgue L(a, b) ou mesmoLp(a, b), 1 p que desempenharam papeis decisivos no pro-gresso da Analise Matematica e suas varias aplicacoes, principalmenteas equacoes diferenciais parciais.

    Resta examinar a reconstrucao de uma funcao v por meio do co-nhecimento da derivada. Dito de outro modo, como fica o teoremafundamental do calculo na classe L(a, b) das funcoes integraveis a Le-besgue em (a, b). Embora muito geral, Lebesgue demonstrou que oteorema fundamental do calculo vale apenas na subclasse de L(a, b)constituda das funcoes absolutamente contnuas. (Veja Captulo 5 dotexto). Para suprir esta falha da integral de Lebesgue, ha os processosde integracao de Denjoy e Perron conforme ja foi mencionado nestescomplementos e outros que surgiram posteriormente.

    Varios sao os processos de definir a integral. Para facilitar a com-preensao do leitor, vem organizado, a seguir, um quadro sinopticocontendo os metodos e os matematicos envolvidos. O quadro foi orga-nizado dentro das tres linhas de ideias: Newton - metodo descritivo;Leibniz - metodo construtivo; Daniel - metodo axiomatico. O quadromostra a evolucao, no tempo, destas tres ideias centrais da AnaliseMatematica.

  • 168 Integral de LebesgueM

    todo Descritivo (sem

    medida)

    New

    ton(1643-1727)

    Mtodo C

    onstrutivo (com m

    edida)

    Leibniz(1646-1712)

    Daniell

    (1889-1946)

    Mtodo A

    xiomtico

    Haar

    (1885-1933)

    Perron D

    enjoy Khintchine R

    iesz(1914)S

    uper e Sub F

    unes (Perron)

    Nm

    eros Transfinitos ( D

    enjoy-Khintchine)

    De La Valle P

    oussinn(F

    unes Majorantes)

    Riem

    annn(1826-1866)

    (Funes lim

    itadas)

    Darboux

    (1842-1917)(Integrais inferior e superior)

    Cauchy

    (1777-1855)

    (Funes contnuas)

    Stone(1903-1989)

    Stieltjes(1856-1894)

    (Cauchy-R

    iemann)

    Lebesgue(1875-1941)

    Outros: H

    anh; Lusin; Riesz;

    N.H

    .Young; B

    orel; Carateodory

    (Mensurveis)

    Stieltjes - Lebesgue(C

    uso Lebesgue Collge de

    France (1904)

    Kuzw

    eil-Henstock(1960)

    Mac Shane

    Bourbaki

    (Distribuio de L. S

    chwartz)

    Teorem

    a Fundam

    ental

    L.A.Medeiros

  • Complementos 169