4. MEDIDAS DE NGULOS E DE ARCOS; GRAU E ? 10 Para introduzir outra unidade de medida para ngulos,

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    09-Nov-2018

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94. MEDIDAS DE NGULOS E DE ARCOS; GRAU E RADIANO Existem diversas maneiras de se medir ngulos, dependendo da unidade que se adota. H duas unidades que se destacam: O grau e o radiano. grau uma unidade de medida para ngulos e mede a "abertura" de um ngulo. obtido dividindo-se o ngulo raso em 180 partes, e o ngulo correspondente a uma dessas partes chamado de ngulo de 1 grau. Dizemos, de modo natural, que um arco AB que subtende um ngulo de graus, tem medida angular . Resumindo, temos: A medida angular, em graus, do arco menor AB a medida do ngulo central AB, tomada em graus. Assim, o grau passa a ser tambm uma unidade de medida tambm para arcos. Deve ficar claro que esta uma medida angular, que diferente da medida, ou comprimento, desse arco. Na figura abaixo temos dois arcos com a mesma medida angular, mas com comprimentos diferentes. Figura 1 10 Para introduzir outra unidade de medida para ngulos, e conseqentemente para arcos, faremos algumas consideraes. Inicialmente, vamos lembrar um resultado da Geometria Plana: Dois arcos de crculos so semelhantes se subtendem um mesmo ngulo central e a razo de semelhana a razo entre os raios. Considerando os crculos concntricos de raios r e r', sejam s e s' os comprimentos dos arcos AB e A'B' respectivamente. Temos que srs'r'= Figura 2 Observemos que a razo entre o comprimento dos arcos e os raios constante. Isto nos leva a relacionar esta constante a uma nova medida para ngulos. Consideremos um ngulo central AB em um crculo de raio R que subtende o arco AB de comprimento S. Definimos a medida em radianos do ngulo AB como sendo a razo entre o comprimento S do arco AB e o seu raio R. AB = SR radianos 11 Analogamente, a medida em radiano do arco AB a medida em radiano do correspondente ngulo central. Usamos abreviadamente os termos rad, rd, para exprimir o radiano Como conseqncias da definio de radiano temos que: 1) Um ngulo de 1 radiano o que subtende um arco cujo comprimento igual ao raio do crculo que o contm. 2) Se S o comprimento do arco determinado por um ngulo central de medida igual a radianos em um crculo de raio R ento rad = RSRS = Assim, se queremos encontrar o comprimento de um arco que subtende um determinado ngulo central, a medida deste ngulo deve estar expressa em radiano para se usar a frmula acima. 3) Como um semicrculo um arco que subtende um ngulo de 180 e o seu comprimento S = R, temos que RRrad = 180o, ou seja , rd = 180 Alm disso, 1 180 57 rad = oo Observaes: 1) A medida do comprimento de um arco depende da unidade de comprimento considerada. 2) A medida de um ngulo em radiano no depende da unidade de comprimento considerada, desde que, obviamente, tomemos o comprimento do raio e do arco correspondentes nas mesmas unidades. 3) Quando R = 1, a medida do ngulo (e do arco correspondente) em radiano coincide com a do comprimento do arco.

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