3. SRIES DE POTNCIAS SRIES & EDO - ? COMPLEMENTOS & EXERCCIOS SRIES DE POTNCIAS 3 12.

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    25-Aug-2018

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3. SRIES DE POTNCIAS SRIES & EDO - 2017.2::::3.1.::::::::::::::::::::::::::::FUNDAMENTOS GERAIS1. Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justique.(a) Se a sriePcnxn diverge em x = 2; ento ela diverge em x = 3.(b) Se a sriePcnxn converge em x = 2; ento ela converge em x = 3:(c) Se1Pn=0jcnj convergente, ento1Pn=0cnxn absolutamente convergente no intervalo [1; 1].(d) Se uma srie de potncias absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalode convergncia, ento ela tambm converge absolutamente no outro extremo.(e) Se R o raio de convergncia de1Pn=0cnxn; entopR o raio de convergncia de1Pn=0cnx2n.(f) Se limn!1npjcnj = L > 0; ento a srie1Pn=0cn (x a)n tem raio de convergncia 1=L.(g) Uma srie de potncias1Pn=0cnxn pode convergir apenas em dois valores de x:(h) Se uma srie de potncias converge em um extremo de seu intervalo de convergncia e divergeno outro, ento a convergncia naquele extremo condicional.(i) Se1Pn=0cnxn tem raio de convergncia 2 e1Pn=0dnxn tem raio de convergncia 3, ento o raiode convergncia de1Pn=0(cn + dn)xn R = 2:2. Em cada caso, determine o intervalo de convergncia da srie de potncias.(a)1Pn=1nn (x 3)n (b)1Pn=0x2n+1(4)n (c)1Pn=11 3 5 : : : (2n 1) x2n+12 4 6 : : : (2n)(d)1Pn=0(1)n+1 xn (e)1Pn=0n (x 1)2n32n1(f)1Pn=11 3 5 : : : (2n 1) xn2 4 6 : : : (2n)(g)1Pn=2(1)n xnn (lnn)(h)1Pn=1(x+ 5)n1n2(i)1Pn=1(1)n+1 x2n1(2n 1)!(j)1Pn=0n!xn (k)1Pn=02nx2n(2n)!(l)1Pn=0pnxn1 3 5 : : : (2n+ 1)(m)1Pn=1(3 x)n1pn(n)1Pn=1(1 x)n(n+ 1) 3n(o)1Pn=1(1)n+1 (x 3)4nn1=n(p)1Pn=1xn arctg n (q)1Pn=1(1)n 2nxn(n+ 1)3(r)1Pn=1(5n + 5n) (x+ 1)3n2n2:2 SRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS3. Comeando com a frmula11 x =1Pn=0xn, vlida para jxj < 1; represente cada funo por umasrie de potncias de x: Em cada caso determine o raio e o intervalo de convergncia.(a)12 + x(b)11 x4 (c)11 4x (d)x1 x2(e)x2 3x (f)x(1 + x2)2(g) ln (1 x) (h) x3(1 x4)2(i)1 + x2(1 x2)2(j)x2 3x 2 (k)1(1 x)3(l)16 x x2 :4. Use a srie de ex e calcule o valor da soma1Pn=0(1)nn!2n:5. Represente1(1 x)2em sries de potncias de x e use o resultado para mostrar que1Pn=1n2n= 2:6. Representeex 1xem srie de potncias de x e, por derivao termo a termo, prove que:1Xn=1n(n+ 1)!= 1:7. Represente x2ex em srie de potncias de x e, derivando o resultado, prove que1Xn=2(1)n (n+ 2) 2n+1n!= 8:8. No intervalo 0 < x < 4, mostre que:ln x = ln 2 +1Xn=1(1)n+1 (x 2)nn2n:9. Integrando de x = 0 at x = 1 uma srie de potncias que representa a funo xex, mostre que:1Xn=11n! (n+ 2)=12:10. Com auxlio da srie de potncias de arctg x, mostre que:6=1p31Xn=0(1)n3n (2n+ 1):11. Em cada caso, use uma srie de potncias adequada e aproxime a integral com duas casas decimais.(a)Z 1=30dx1 + x6(b)Z 0:50expx3dx:COMPLEMENTOS & EXERCCIOS SRIES DE POTNCIAS 312. Identique a funo do clculo denida pela srie1Pn=0(n+ 1)xn, no intervalo jxj < 1:::::3.2.::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::SRIE DE TAYLOR & SRIE MACLAURIN1. Represente as seguintes funes em sries de potncias de x:(a) f (x) = ex2(b) f (x) = x senx (c) f (x) = 3x+1 (d) f (x) = ln1 + x2(e) f (x) = x2 senx (f) f (x) = cos2 x (g) f (x) = e4x (h) f (x) = sen2 x(i) f (x) = senhx (j) f (x) = sen 4x (k) f (x) = coshx (l) f (x) = cos 3x2. Em estatstica a funo E (x) =2pZ x0et2dt recebe o nome de Funo Erro. Encontre a Sriede Maclaurin da funo E (x) :3. Determine as constantes a0; a1; a2; a3 e a4, de modo que:3x4 17x3 + 35x2 32x+ 17 = a4 (x 1)4 + a3 (x 1)3 + a2 (x 1)2 + a1 (x 1) + a0:4. Em cada caso, encontre a expanso de Taylor da funo f em torno do ponto indicado.(a) f (x) =px ; a = 9 (b) f (x) = tg x ; a = 0 (c) f (x) = cosx ; a = =3(d) f (x) = ex ; a = 4 (e) f (x) = 3px ; a = 1 (f) f (x) = senx ; a = =6(g) f (x) =1x2; a = 1 (h) f (x) =13x; a = 2 (i) f (x) =12x+ 1; a = 3 :5. Qual a Srie de Maclaurin do polinmio P (x) = a0 + a1x+ a2x2 + + anxn?6. Encontre uma srie de potncias de x para representar a funo f (x) =1 cosxxe, usando oresultado, conclua que limx!01 cosxx= 0:7. Determine uma srie de potncias de x+ 1 para a funo f (x) = e2x e uma srie de potncias dex 1 para g (x) = lnx:8. Uma funo f : R ! R, innitamente derivvel, tal que f 0 (x) = 2xf (x) ; f (x) > 0; 8 x; ef (0) = 1: Represente a funo f (x) por uma srie de potncias de x: Idem para uma funo g (x)com as propriedades: g (0) = 0; g0 (0) = 1 e g00 (x) = g (x) ; 8x 2 R:4 SRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS9. Preencha a tabela com os valores das derivadas indicadas, considerando as seguintes funes:f (x) = x senx; g (x) = cosx2; h (x) = ln1 + x2e p (x) =Z x0et2dt.f (15) (0) f (28) (0) g(16) (0) h(20) (0) p(17) (0)10. Estime o erro cometido ao substituir, no intervalo jxj < 0:1; o valor de cos por 1 x2=2:::::3.3.:::::::::::::::::::::SRIE BINOMIALA expanso binomial(x+ y)k = xk + kxk1y +k (k 1)2!xk2y2 + + yk; k = 1; 2; 3; : : : ; (0.1)simbolicamente representada por:(x+ y)k =kXj=0kjxjykje conhecida por binmio de Newton, foi generalizada por volta de 1665 por Newton, no caso em que oexpoente k um nmero fracionrio positivo ou negativo, onde ele obteve uma expanso em srie innitapara (x+ y)k : Motivados pela frmula binomial de Newton (0.1) encontra-se a seguinte expanso emsrie de potncias para a funo f (x) = (1 + x), sendo um nmero real qualquer, a qual ser a sriede Maclaurin de f :(1 + x) = 1 + x+ ( 1)x22!+ + ( 1) ( n+ 1)xnn!+ ; jxj < 1: (0.2)cujo n-simo termo an = ( 1) ( n+ 1)xnn!, temos que:limn!1an+1an = limn!1 jxj nn+ 1 = jxje, portanto, a srie binomial converge absolutamente quando jxj < 1 e diverge quando jxj > 1.Exemplo Uma maneira de obtermos um valor aproximado dep1 + x, para um dado valor de x nointervalo (1; 1), usando a srie binomial. Neste caso temos = 1=2, de modo quep1 + x = 1 + 12x18x2 + 116x3 COMPLEMENTOS & EXERCCIOS SRIES DE POTNCIAS 5e, dependendo da situao, podemos considerar apenas os dois ou os trs primeiros termos da sriepara a aproximao. Considerando x = 0:2 e aproximando a srie por seus trs primeiros termos,encontramos:p1:2 ' 1 + 12 (0:2)18 (0:2)2 ' 1:095:1. CalculeZ 10p1 x3dx com 4 casas decimais.2. Se jxj < 0:01, qual o erro cometido ao substituirp1 + x por 1 + x=2?3. Usando a srie binomial para 3p1 + x, calcule o valor de 3p25 com 3 casas decimais e compare ovalor com o resultado obtido em uma calculadora.4. Usando a srie binomial para f (x) =1p1 x2, mostre que:arcsen x = x+1Xn=11 3 5 : : : (2n 1)x2n+1n! (2n+ 1) 2n; jxj < 1:RESPOSTAS & SUGESTES:::::::::::::EXERCCIOS:::::::::::::::::::::::COMPLEMENTARES::::3.11. Associe as armaes verdadeiras aos fatos tericos e as falsas a um contraexemplo.(a) (V) (b) (F) (c) (V) (d) (V) (e) (V) (f) (V) (g) (F) (h) (V) (i) (V)2. (a) f3g (b) (2; 2) (c) (1; 1) (d) (1; 1) (e) (2; 4) (f) (1; 1) (g) (1; 1] (h) [6;4](i) (1;1) (j) f0g (k) (1;1) (l) (1;1) (m) (2; 4] (n) (2; 4] (o) (2; 4) (p) (1; 1)(q)12 ;12(r) jx+ 1j 1= 3p5:3. Em alguns casos use o processo de Derivao ou Integrao termo a termo. Por exemplo, a srie(i) obtida por derivao da srie (c).(a)12 + x=1Pn=0(1)n xn2n+1; jxj < 2:(b)11 x4 =1Pn=0x4n; jxj < 1:(c)x1 x2 =1Pn=0x2n+1; jxj < 1:6 SRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS(d)11 4x =1Pn=04nxn; jxj < 1=4:(e)x2 3x =1Pn=03nxn+12n+1; jxj < 2=3:(f)x(1 + x2)2=1Pn=1n (1)n+1 x2n1; jxj < 1:(g) ln (1 x) = Z x0t1 t = 1Pn=0Z x0tndt =1Pn=0xn+1n+ 1; jxj < 1:(h)x3(1 x4)2=1Pn=1nx4n1; jxj < 1:(i)1 + x2(1 x2)2=1Pn=0(2n+ 1)x2n; jxj < 1:(j)x2 3x 2 =1Pn=03xn xn+22n+1; jxj < 2:(k)1(1 x)3=1Pn=0(n+ 1) (n+ 2)xn2; jxj < 1:(l)16 x2 x =1513 (1 + x=3)+12 (1 x=2)= 151Pn=0(1)n3n+1+12n+1xn; jxj < 2:4. exp (1=2) :5.1(1 x)2=ddx11 x=1Pn=1nxn1; jxj < 1: Agora, considere x = 1=2:6.ex 1x=1Pk=1xk1k!) ddxex 1x=1Pk=2(k 1)xk2k!=1Pn=1nxn1(n+ 1)!. Agora faa x = 1:7. Fazer.8. O ponto de partida a srie geomtrica1x=1Xn=0(1)n (x 2)n2n+1; 0 < x < 4;que, aps integrao termo a termo, nos d:lnx ln 2 =1Xn=0(1)n (x 2)n+1(n+ 1) 2n+1= (reindexar: n+ 1 = k) =1Xk=1(1)k1 (x 2)kk2k:9. Fazer.10. Basta observar que6= arctg1=p3e considerar x = 1=p3 na srie de arctg x:COMPLEMENTOS & EXERCCIOS SRIES DE POTNCIAS 711. (a) 0:3299 (b) 0:4849:12. f (x) =1(1 x)2; 1 < x < 1::::::::::::::EXERCCIOS:::::::::::::::::::::::COMPLEMENTARES::::3.21. Algumas sries podem ser obtidas a partir de representaes conhecidas. Por exemplo, se na sriede ex substituirmos x por x2 obtemos uma srie para expx2.(a) ex2=1Pn=0(1)n x2nn!; x 2 R (b) x senx =1Pn=0(1)n x2n+2(2n+ 1)!; x 2 R(c) 3x+1 = 31Pn=0(ln 3)n xnn!; x 2 R (d) ln1 + x2=1Pn=0(1)n x2n+2n+ 1; jxj < 1(e) x2 senx =1Pn=0(1)n x2n+3(2n+ 1)!; x 2 R (f) cos2 x = 1 + 121Pn=1(1)n (2x)2n(2n)!; x 2 R(g) e4x = e41Pn=0(1)n xnn!; x 2 R (h) sen2 x = 121Pn=1(1)n (2x)2n(2n)!; x 2 R(i) senhx =1Pn=0x2n+1(2n+ 1)!; x 2 R: (j) sen (4x) =1Pn=0(1)n 42n+1x2n+1(2n+ 1)!; x 2 R(k) coshx =1Pn=0x2n(2n)!; x 2 R (l) cos (3x) =1Pn=0(1)n 32nx2n(2n)!; x 2 R2. Integrando a srie obtida no Exerccio 3.2(1a) de 0 at x, obtemos E (x) =2p1Pn=0(1)n x2n+1n! (2n+ 1):3. a0 = 6; a1 = 1; a2 = 2; a3 = 5 e a4 = 3:4. A srie de Taylor em torno de x = a de uma funo f (x) ; innitamente derivvel no intervalojx aj < R; vem dada por:f (x) =1Xn=0f (n) (a) (x a)nn!:No caso em que a = 0, a srie correspondente conhecida pelo nome de Srie de Maclaurin de f:(a)px = 3 + 16 (x 9) +P(1)n+1 1:3:5: : : : : (2n 3)n!2n32n1(x 9)n :(b) tg x = x+ 13x3 + 215x5 + ; =2 < x < =2:(c) cosx =12p32 (x =3)14 (x =3)2 +p312 (x =3)3 :(d) ex = e4:ex4 = e41Pn=0(x 4)nn!:8 SRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS(e) 3px = 1 + (x 1) =3 (x 1)2 =32 + 5 (x 1)3 =34 :(f) senx = 12 +p32 (x6 )1212!(x6 )2 p3213!(x6 )3 + :(g)1x2=1Pn=0(1)n (n+ 1) (x 1)n ; 0 < x < 2:(h)13x= 131Pn=0(1)n (x 2)n2n+1:(i)12x+ 1=1Pn=0(1)n 2n (x 3)n7n+1; 12 < x

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