2. SRIES NUMRICAS SRIES & EDO - 2017.2 ? COMPLEMENTOS & EXERCCIOS SRIES NUMRICAS 5 (f)

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    25-Nov-2018

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2. SRIES NUMRICAS SRIES & EDO - 2017.2::::2.1.::::::::::::::::::::::::::::FUNDAMENTOS GERAIS1. Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justique.(a) Se limn!1an = 0, ento1Pn=1an converge.(b) Se1Pn=1an diverge, ento limn!1an 6= 0:(c) Se1Pn=1an converge e an 0;8n; ento1Pn=1pan converge.(d) Se1Pn=1an diverge, ento1Pn=1a2n diverge.(e) Se1Pn=1an e1Pn=1bn divergem, ento1Pn=1(an + bn) diverge.(f) Se1Pn=1an diverge e an 6= 0;8n; ento1Pn=11anconverge.(g) Se fang uma sequncia constante, ento1Pn=1an converge.(h) Se1Pn=1an converge, ento1Pn=100an converge.2. Identique cada srie abaixo com uma srie de encaixe ou uma srie geomtrica e calcule o valorda soma no caso de ela convergir.(a)1Pn=023n(b)1Pn=3425n(c)1Pn=11pn+ 1 pnpn+ 1 +pn(d)1Pn=12n+ 1n2(n+ 1)2(e)1Pn=244n2 + 4n 3 (f)1Pn=112n2 13n+2(g)1Pn=139n2 + 3n 2 (h)1Pn=214n2 1 (i)1Pn=32(4n 3) (4n+ 1)(j)1Pn=1ln"(n+ 1)2n (n+ 2)#(k)1Pn=42(n 2) (n 1)n (l)1Pn=12n sen (n + =2)32n2:3. Encontre uma srie, cuja n-sima soma (Sn) vem dada por:(a) Sn =2n3n+ 1(b) Sn =n2n+ 1(c) Sn =12n2 SRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS4. Por observao do limite do termo geral, verique que as sries abaixo so divergentes:(a)1Pn=1pn+pn+ 1(b)1Pn=1[1 + (1)n] (c)1Pn=1n3n3 + n2 + 4(d)1Pn=1ncosn(e)1Pn=1n sen1n(f)1Pn=1n!2n:5. Encontre os valores de x que tornam a srie1Pn=1x2n convergente e calcule o valor da soma. Idempara a srie12+x 34+(x 3)28+ + (x 3)n2n+1+ :6. Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica aproximadamentemetade da distncia aps cada queda. Use uma srie geomtrica para aproximar o percurso totalfeito pela bola at o repouso completo.7. A extremidade de um pndulo oscila ao longo de um arco de 24 centmetros em sua primeiraoscilao. Se cada oscilao aproximadamente 5=6 da oscilao precedente, use uma srie geo-mtrica para obter uma aproximao da distncia total percorrida pelo pndulo at entrar emrepouso total.8. Dois atletas disputam 10 provas de percurso em 10 etapas sucessivas. Os tempos de cada etapaso os mesmos e a tabela a seguir mostra as distncias, em km, percorridas por cada um delesnas quatro etapas iniciais:etapa 1 etapa 2 etapa 3 etapa 4atleta A 121418116atleta B 122!23!3!34!4!45!Se a vitria dada quele que alcanou o maior percurso, qual foi o atleta vencedor?::::2.2.::::::::::::::::::::::::::::::::::::SRIES DE TERMOS POSITIVOS1. Use um Critrio de Comparao para determinar a natureza das sries abaixo:COMPLEMENTOS & EXERCCIOS SRIES NUMRICAS 3(a)1Pn=11n4 + n2 + 1(b)1Pn=11n3n(c)1Pn=1pnn2 + 1(d)1Pn=12 + cosnn2(e)1Pn=21(n 1)2(f)1Pn=1arctg nn(g)1Pn=1ln nn3(h)1Pn=1n+ 5n2n(i)1Pn=1ln (1 + 1=2n) (j)1Pn=1lnnn2(k)1Pn=1sen1=n2(l)1Pn=11n!(m)1Pn=12n+ n2n3 + 1(n)1Pn=113p5n2 + 1(o)1Pn=11nn(p)1Pn=21p4n3 5n(q)1Pn=1pnn+ 4(r)1Pn=11 + 2n1 + 3n(s)1Pn=1sen (1=n) (t)1Pn=1npn2 + 12. Em cada caso, verique que a funo que estende o n-simo termo da srie satisfaz s hiptesesdo Critrio da Integral e em seguida determine a natureza da srie.(a)1Pn=33n(ln n)2(b)1Pn=11(2n+ 3)2(c)1Pn=21n(n 1) (d)1Pn=12n2n3 + 1(e)1Pn=1arctg nn2 + 1:3. Em cada caso, determine o menor nmero de termos que devem ser somados, para aproximar asoma da srie com um erro menor do que E:(a)1Pn=11n2; E = 0:001 (b)1Pn=11n3; E = 0:01 (c)1Pn=21n (ln n)2; E = 0:01:4. Se fang uma sequncia de termos positivos e limn!1npan = l > 0; prove que a srie1Pn=1an convergese p > 1 e diverge se 0 < p 1:5. Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justique cada resposta para melhor compreender a teoria.(a) Se an > 0; 8n; e1Pn=1an convergente, ento1Pn=11andiverge.(b) Se an > 0; 8n; e1Pn=1an convergente, ento1Pn=1panan+1 convergente.(c) Se an > 0; 8n; e limn!1pnan = 1, ento a srie1Pn=1an diverge.(d) Se an > 0, 8n; e limn!1an = 0, ento a srie1Pn=1anpnconverge.(e) Se1Pn=1an e1Pn=1bn so divergentes, com an 0 e bn 0; 8n, ento1Pn=1(an + bn) diverge.(f) Se an > 0; 8n; e limn!1an+1an= 1, ento a srie1Pn=1an diverge.(g) Se 0 < an < 1 e1Pn=1an converge, ento1Pn=1a2n converge.(h) Se 0 < an < 1 e1Pn=1an converge, ento1Pn=1an1 anconverge.4 SRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS(i) Se1Pn=1an e1Pn=1bn so convergentes, com an 0 e bn 0; 8n, ento1Pn=1anbn converge.(j) A srie de termo geral an =1n2 + n lnnn+ 1 convergente.6. Mostre que41Pn=11n2 + 1 12+4:::::2.3.:::::::::::::::::::::::::SRIES ALTERNADAS1. Aproxime a soma da srie pela soma parcial S4 e estime o erro na aproximao.(a)1Pn=1(1)n+1n3n(b)1Pn=1(1)nn2:2. Use a Estimativa do Erro para aproximar a soma da srie com quatro casas decimais e com erromenor do que E = 5 101. Diga quando a aproximao por falta ou por excesso:(a)1Pn=1(1)n+1pn(b)1Pn=1(1)nn2(c)1Pn=1(1)nnn:3. Verique que as sries abaixo atendem s condies do Critrio de Leibniz e conclua que elas soconvergentes:(a)1Pn=1(1)nn2 + 7(b)1Pn=1(1)n n2n(c)1Pn=1(1)n n2n3 + 2(d)1Pn=1(1)n sen (1=n) :4. Determine os valores inteiros de p que tornam a srie convergente.(a)1Pn=1(1)nnp(b)1Pn=1(1)nn+ p(c)1Pn=2(1)n (lnn)pn::::2.4.:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::CONVERGNCIA ABSOLUTA, TESTE DA RAZO & TESTE DA RAIZ1. Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justique cada resposta para melhor assimilar a teoria.(a) SeP1n=1 an converge, entoP1n=1 a2n converge.(b) SeP1n=1 an converge absolutamente, entoP1n=1 a2n=1 + a2nconverge.(c) SeP1n=1 a2n converge, entoP1n=1 an converge absolutamente.(d) Se limn!1(an=bn) = 0 eP1n=1 an diverge, entoP1n=1 bn diverge.(e) Se limn!1(an=bn) =1 eP1n=1 bn converge, entoP1n=1 an converge.COMPLEMENTOS & EXERCCIOS SRIES NUMRICAS 5(f) SeP1n=1 an converge absolutamente, an 6= 0; entoP1n=1 1= janj diverge.(g) SeP1n=1 an eP1n=1 bn so divergentes, entoP1n=1 anbn divergente.(h) SeP1n=1 an eP1n=1 bn so convergentes, entoP1n=1 anbn convergente.(i) Para todo inteiro positivo k a srie alternadaP1n=1(1)nkpnconverge.2. Usando o Critrio da Raiz, verique que as sries dadas abaixo convergem:(a)1Pn=1n3n+ 1n(b)1Pn=1( npn 1)n (c)1Pn=1n55n(d)1Pn=2(5)n+1(ln n)n:3. Suponha que a sequncia fang seja convergente e tenha limite l. Considere as sequncias fa+n g efan g denidas por: a+n = 12 (an + janj) e an =12 (an janj)(a) Calcule os limites: lim a+n e lim an :(b) SePan converge absolutamente, mostre quePa+n ePan convergem.(c) SePan converge condicionalmente, mostre quePa+n ePan divergem.4. D exemplo de duas sriesPan ePbn; sendo a primeira divergente e a segunda convergente, taisque lim (an=bn) = 0. O Critrio da Comparao no Limite foi violado?!5. ESTRATGIA PARA TESTAR A CONVERGNCIA Na teoria estabelecemos vrios critrios paratestar a convergncia de uma srie numrica e a diculdade : qual o teste adequado a umadeterminada srie. Essa diculdade tambm surge quando se integra funes. No h regra queestabelea qual critrio se aplica a qual srie. Apresentamos um roteiro que poder ajudar nainvestigao.(i) Se lim an 6= 0 ou a sequncia fang divergente o critrio do n-simo termo deve ser usadopara concluir que a sriePan diverge.(ii) Se a srie da formaP1n=1 rn1 ela uma srie geomtrica, que converge para = (1 r)se jrj < 1 e diverge se jrj 1:(iii) Se a srie da formaP1n=1 (bn bn+1) ela uma srie de encaixe, que converge para b1 lim bn; se fbng convergir. Se fbng divergir a srie de encaixe tambm diverge.(iv) Se a srie da formaP1=np ela uma p-srie e ser convergente apenas quando p > 1:6 SRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS(v) Nos outros casos tenta-se o Critrio da Razo seguindo o esquema:Agora, teste a convergncia das seguintes sries:(a)1Pn=1n!nn(b)1Pn=1(1)n 2nn!(c)1Pn=1n2n!(d)1Pn=1(2n + 3n)1=nn(e)1Pn=1(n!)2(2n)!(f)1Pn=13npn3 + 1(g)1Pn=1n32n5n1(h)1Pn=1(1)n cosnn2(i)1Pn=1pnn2 + 2(j)1Pn=21(lnn )n(k)1Pn=1n!2nn(l)1Pn=1(1)nn (n+ 2)6. Teste a convergncia das sries:(a)1Pn=11 3 5 : : : (2n 1)n!(b)1Pn=12 4 6 : : : (2n)1 4 7 : : : (3n 2) (c)1Pn=11 3 5 : : : (2n 1)n!2n:RESPOSTAS & SUGESTES:::::::::::::EXERCCIOS:::::::::::::::::::::::COMPLEMENTARES::::2.11. Procure justicar as armaes falsas com um contraexemplo. Para as armaes verdadeiras,procure um critrio de convergncia adequado.(a) (F) A srie harmnica um contraexemplo.(b) (F) Veja o caso da srie harmnica.(c) (F) Considere an = 1=n2. A sriePp1=n2 a srie harmnica divergente.(d) (F) Veja as sries em (c).(e) (F) Considere an = 1=n e bn = 1= (n+ 1) :COMPLEMENTOS & EXERCCIOS SRIES NUMRICAS 7(f) (F) Considere an = n:(g) (F) Se fang uma sequncia constante, a sriePan s convergir quando an 0: Se esseno o caso, ento lim an 6= 0 e a srie correspondente diverge.(h) (V) Consequncia do Critrio da Cauda!2. Em cada caso, observe o termo geral an da srie e comprove que: ou lim an 6= 0 ou a sequncia(an) no tem limite.3. O termo geral an calculado a partir da relao: an = Sn Sn1:(a)1Pn=12(3n 2) (3n+ 1) =23(b)1Pn=1n2 + n 1n2 + n=1 (c) 11Pn=112n= 0:4. (a) 3 (b) 3275 (c) 1 (d) 1 (e)815 (f)7118 (g)12 (h)16 (i)118 (j) ln 2 (k)16 (l) 1811 :5.1Pn=1x2n =x21 x2 , se jxj < 1; e1Pn=0(x 3)n2n+1=15 x; se 1 < x < 5:6. 30 metros.7. 144 centmetros.8. O vencedor foi o atleta A, com percurso de 10231024 km contra1011 km do atleta B.:::::::::::::EXERCCIOS:::::::::::::::::::::::COMPLEMENTARES::::2.21. Nos critrios de comparao, existem duas sries envolvidas: a srie de provaPbn; de naturezaconhecida, e a srie sob investigaoPan.I So Convergentes: (a), (b), (c), (d), (e), (g), (h), (i), (k), (l), (m), (o), (p), e (r).I So Divergentes: (f), (j), (n), (q), (s) e (t).(a) Compare com a p-srie convergenteP1=n4 :an =1n4 + n2 + 1 1n4= bn:(b) Compare com a srie geomtrica convergenteP1=3n:(c) Compare com a p-srie convergenteP1=n3=2 :an =pnn2 + 1pnn2=1n3=2= bn:8 SRIES & EDO MARIVALDO P. MATOS(d) Compare com a p-srie convergenteP3=n2:(f) Compare com a srie harmnicaP1=n :an =arctannn 1n= bn; n n0:(i) Use o fato ln (1 + n) n; 8 n; e compare com uma srie geomtrica.(k) Compare, no limite, com a srie convergenteP1=n2:(s) Compare, no limite, com a srie harmnicaP1=n. Veja:limanbn= limsen (1=n)1=n= 1:2. (a) (C) (b) (C) (c) (C) (d) (D) (e) (C).3. (a) n = 1001 (b) n = 2 (c) n > e100:4. Use comparao no limite, com a srie de provaP1=np:5. (a) (V) (b) (V) (c) (V) (d) (F) (e) (V) (f) (F) (g) (V) (h) (V) (i) (V) (j) (F).6. Inicialmente recorde-se que Z 1111 + x2dx = limB!1[arctanx]x=Bx=1 = =4e para concluir note que:Z 1111 + x2dx 1Xn=11n2 + 1=12+1Xn=21n2 + 1 12+Z 1111 + x2dx::::::::::::::EXERCCIOS:::::::::::::::::::::::COMPLEMENTARES::::2.31. (a) 8; 23 104 (b) 4 102:2. (a) S ' 0:8158 (FALTA) (b) S ' 0:7987 (EXCESSO) (c) S ' 0:7831 (EXCESSO)3. Em cada caso, vemos que a srie alternada e resta-nos vericar que a sequncia (bn) que gurana srie de Leibniz no cresce e tem limite zero.(a) claro que bn =1n2 + 7decresce e tem limite zero.COMPLEMENTOS & EXERCCIOS SRIES NUMRICAS 9(b) Neste caso, bn = n=2n no crescente, porquebn+1bn=12+12n 1; 8 n;e, alm disso, lim bn = 0, como pode ser facilmente comprovado usando a Regra de LHpitalou o Critrio da Razo para sequncias.(c) Temos bn =n2n3 + 2; que decresce e tem limite zero.(d) A sequncia bn = sen (1=n) tem limite zero e para comprovar que ela decresce, notamos quea funo extenso f (x) = sen (1=x) tem derivada f 0 (x) = cos (1=x)x2< 0; para x 1:4. Em (a) e (b) a srie converge se o inteiro p for positivo; em (c) a srie converge seja qual for ointeiro p::::::::::::::EXERCCIOS:::::::::::::::::::::::COMPLEMENTARES::::2.41. (a) F (b) V (c) F (d) F (e) F (f) V (g) F (h) F (i) V.2. Em cada caso, verique que lim npjanj < 1. Por exemplo, em (b), temos:lim npjanj = lim npn 1n1=n = lim npn 1 = 0:3. Considerando que l = lim an, temos:(a) lim a+n =12 (l + jlj) e lim an =12 (l jlj) :(b) SePan converge absolutamente, entoPa+n ePan so convergentes, por serem somas desries convergentes.(c) SePan converge condicionalmente, entoPa+n ePan so divergentes, por serem somas deuma srie convergente (Pan) com outra divergente (Pjanj).4. Recorde-se que os Critrios de Comparao se aplicam s sries de termos positivos.5. I Convergem Absolutamente: (a), (b), (c), (e), (h), (i), (j), (k) e (l).I So Divergentes: (d), (f) e (g).6. A srie (a) divergente, porque lim an =1: A srie (b) convergente, porque liman+1an = 2=3:Na srie (c) temos liman+1an = 1 e o Teste da Razo no se aplica. Ela pode ser comparada coma srie divergenteP(1=2n) e deduzimos que ela divergente.

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