143514_1a Lista de EDO

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    18-Jul-2015

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FTC Faculdade de Tecnologia e CinciasCurso: EngenhariasDisciplina: Equaes DiferenciaisProf:Ernani Previtera Santos1a Lista de Exerccios1. Verifique se as funes abaixo dependentes de constantes arbitrrias satisfazem s equaes diferenciais ao lado.Funes: Equaes Diferenciais:a) y = C e3xy+3y = 0b) y = C cosx y + y tgx = 0c)( )( ) x senCe 1 x sen y+ ( ) ( ) x 2 sen21x cos ydxdy +d) y = C1 cos3x + C2 sen3x. y + 9y = 0e) y = Cx3xy= yf) y = ex + C1x + C2 y = ex2. Resolva as seguintes equaes diferenciais.a) y+ y = 1h) y x 4yxy 2xdxdy22++n)tu t 2u 2dtdu+ + + b) x y= 3y i) tg(x) y = y 0) 2y(x+1)dy = x dxc) y= 2xyj) tg(x) sen2(y) dx + cos2(x) cotg(y) dy = 0 p)0yy yx1 x 2 x' y3 2 4,_+,_+ d)0 t tdtdye3 y k) 3 extg(y) dx + (1 ex) sec2(y) dy = 0q) (y + yx2) dy + ( x + xy2) dx = 0e)42idtdi2 +l) x y y= 1 x2 r) y = x 1 + xy yf)( ) 0 dx x sen dyxy2 m)ex dy = 2x dx s) (x + 1 ) dy ( x + 6 ) dx = 0g)y xedxdy+t) x2 y yx2 = y 3. Para as equaes diferenciais a seguir determine as solues particulares que satisfazem as condies iniciais.a) xy= 2y y( 2) = 1 d)( ) ( ) ( ) e 2 y , y yln x sen y' b) (1 + ex)y y= ex,y(0) = 1e)( ) 1 1 y 0, ydxdyx 13 2 + c) (xy2 + x) dx + ( x2y y ) dy = 0;y(2) =1f)( ) ( )( )( ) 1 2 y 0, dy e 1 y dx x ysenx cos 2 + +4. Para a famlia de curvas a seguir, ondeC uma constante arbitrria real, determine i) a equao diferencial ( derive uma vez e elimine a constante C ) ii) as trajetrias ortogonais.1a) y = 2x + C e) x2 y2 = Cb) y = ln( x3 + C ) f) y2 = Cx3c) y = C exg)xy = Cd) y2 = Cx h) y = C / e2x5. a) Determine a equao da curva que passa pelo ponto P(1,0) e corta ortogonalmente as hiprboles 1 Cy x2 2 .b) Encontre a trajetria ortogonal da famlia de curvas y = C ( x 1)que passa pelo ponto ( 2, 2)c)Encontre a curva que passa pelo ponto (1,0) e corta ortogonalmente a famlia de curvas 3xCe y .d) Encontre a trajetria ortogonal da famlia de curvas x2 y2= C que passa pelo ponto(1, 1)6. Determine a equao das curvas tais que:a) a inclinao da reta tangente num ponto ( x, y )qualquer 2x/y.b) a inclinao da tangente em qualquer ponto da curva metade da inclinao da reta que liga a origem ao ponto de tangncia.7. Verifique se as funes abaixo so homogneas e, em caso afirmativo, determine o grau.a)( )2yxy3xxsen y x, f2+,_e) ( )3 3 3y x y x, f + b) ( ) ,_ +x4y x6cos y x, ff) f( x, y ) = xy y3c) f( x, y ) = x ln(y) + y exg)( )5xyy xy x, f2 2 d) f ( x, y ) = 3x2 + 2y2h) f( x, y ) = 3x3 + 4y2x8. Resolva as seguintes equaes diferenciais homogneasa)0 1xyln ydxdyx 1]1+ ,_ .d). xy y xtg(y/x) = 0b) x y= y x. e) y xy xy+ c) ( 2x + y ) ydx x2 dy = 0 9. Resolva as seguintes equaes diferenciais que podem ser variveis separveis ou homogneas2a) exdy = 2xdxi)tu t u 2 2dtdu+ + + b) 2y(x+1)dy = xdxj) 0yy yx1 x 2 x' y3 2 4,_+,_+ c) (y + yx2) dy + ( x + xy2) dx = 0k) x / y 2 2e x xydxdyx+ d) (x + 2y) dx (2x y ) dy = 0 l) xyy = 2y2 + x2 e) y = x 1 + xy ym) (x + 1 ) dy ( x + 6 ) dx = 0f) xy y x sec(y/x) = 0 g)y x y y x h) x2 y yx2 = y Algumas aplicaes de E.D.O.s de 1a ordem.10. Consideremos um corpo de massa m em queda vertical influenciada apenas pela gravidade g e pela resistncia do ar proporcional velocidade do corpo. Admitamos que tanto a gravidade como a massa permaneam constantes e, por convenincia, escolhemos o sentido para baixo como sentido positivo.Segunda Lei de Newton do Movimento:Aforaresultante queatua sobre umcorpo igual taxa de variaoda quantidade de movimento do corpo:F mdvdt ,onde F a fora resultante que atua sobre o corpo e v a velocidade do corpo, ambas consideradas no instante t.No problema em foco, h duas foras atuando sobre o corpo: (1) a fora devido gravidade, dada pelo peso do corpo que igual amg; e (2) a fora devido resistncia do ar, dada porkv, onde 0 k uma constante de proporcionalidade. O sinal negativo se torna necessrio por que esta se ope velocidade; isto , atua no sentido para cima, ou seja, no sentido negativo. Desta forma, a fora resultante F mg kv . Obtemos ento: mg kv mdvdt oudvdtkmv g + como equao diferencial do movimento do corpo.Aplicao: Um homem usando pra-quedas salta de uma grande altura. A massa do conjunto do homem e do pra-quedas de 80Kg. Seja v(t) sua velocidade no instante t (segundos) depois de comear a queda. Durante os primeiros 16 segundos, a resistncia do ar de v/2. Posteriormente, enquanto o pra-quedas est aberto, a resistncia do ar de 8v. Encontre uma expresso para v(t) em qualquer instante t maior que 16s. (use g=10m/s).11.Lana-se uma pedradosolo,verticalmente paracima comuma velocidadeinicialde 20m/s. (considere nula a resistncia do ar e g=10m/s2). a) Quanto tempo levar e qual ser sua velocidade quando a pedra atingir novamente o solo?b) Quanto tempo levar a pedra para atingir altura mxima e qual ser essa altura?12. Uma importante ferramenta na pesquisa arqueolgica a determinao da idade por radio carbono. Este o modo de determinar a idade de certos restos de madeira, plantas, ossos humanos ou de animais, artefatos, etc. O procedimento foi desenvolvido pelo qumico W. Libby (1908-1980) no incio dos anos 50 e isso lhe deu o prmio 3Nobel de Qumica em 1960. A determinao de idade por radio carbono est baseada no fato de que alguns restos de madeira ou plantas contm quantidades residuais de carbono 14 C14, istopo radioativo de carbono. Este istopo acumulado durante a vida da planta e comea a decair com a sua morte. A meia vida de um istopo radioativo significa otempoemque a metade da quantidade original se decompe. Como a meia vida do carbono 14 longa (aproximadamente 5745 anos), quantidades mensurveis de carbono 14 esto presentes aps milhares de anos. Libby mostrou que se aproximadamente 0,002 ou mais da quantidade original de carbono 14 ainda est presente, ento pode-se determinar precisamente a proporo de quantidade original de carbono 14 que resta, por dosagem de laboratrio adequada. Em outros termos:SeQ(t) aquantidadedecarbono14notempot eQ0aquantidadeoriginal, entoarazo0Q) t ( Qpoderser determinada, pelo menos se esta quantidade no for muito pequena.a) Supondo que Q(t) satisfaa a equaokQdtdQ , determine a constante k de decaimento para o carbono 14.b) Encontre a expresso Q(t) em qualquer tempo, se( )oQ 0 Q .c) Suponha que se descubram certos restos arqueolgicos em que a quantidade residual de carbono 14 seja de 20% da quantidade original. Determine a idade desses restos.13. Num castelo ingls existe uma velha mesa redonda de madeira que muitos afirmam ser a famosa Tvola Redonda do Rei Arthur. Por meio de um contador Geiger (instrumento que mede a radioatividade) constatou-se que a massa M, atualmente existente na mesa, de 0,894 vezes a massa M0de C14que existe num pedao de madeira viva com o mesmo peso da mesa. M0 tambm a massa de C14 que existia na mesa quando esta foi feita a t anos. A mesa pode ser a famosa Tvola Redonda ?(As lendas do Rei Arthur remontam os sculos 11-12).14. Numa caverna da Frana, famosa pelas pinturas pr-histricas, foram encontrados pedaos de carvo vegetal nos quais a radioatividade do C14era 0,145 vezes a radioatividade normalmente encontrada num pedao de carvo feito hoje. Calcule a idade do carvo encontrado e com isto d uma estimativa para a poca em que as pinturas foram feitas.15. Suponha que um acidente nuclear tenha elevado o nvel de radiao por cobalto, em uma certa regio, a 100 vezes o nvel aceito para a habitao humana, isto , Qo= 100Qa, sendo Qao nvel aceito para a habitao humana. Ignorando a presena provvel de outros elementos radioativos, determine quanto tempo dever passar para que a regio seja novamente habitvel, sabendo que a meia-vida do cobalto radioativo 5,27 anos. 16. Sabe-sequeumaculturadebactriascresceaumataxaproporcional quantidadepresente. Apsumahora obervam-se 1000 ncleos de bactrias na cultura, e aps 4 horas, 3000 ncleos. Determine:a) Uma expresso para o nmero de ncleos presentes na cultura, num tempo arbitrrio t. b) O nmero de ncleos inicialmente existentes na cultura.17. Conhecemos de observaes experimentais, que a temperatura superficial de umobjeto varia numa taxa proporcional diferena entre a temperatura do objeto e a do meio ambiente. Esta a lei do resfriamento de Newton. Portanto, seT(t)atemperaturadoobjetonotempoteaT atemperaturaambienteconstante, temosarelao ( ) k , T T kdtdTadepende do material de que constituda a superfcie do objeto.Aplicao: Usando estes dados, considere uma substncia posta numa corrente de ar. Sendo a temperatura do ar 30oC e resfriando a substncia de 100oC para 70oC em 15 minutos, encontre o momento em que a temperatura da substncia ser de 40oC.18. Ocorpodeumavtimadeassassinatofoi descoberto. Operitodapolciachegou1:00hdamadrugadae, imediatamente, tomouatemperaturadocadver, queerade34,8oC. Umahoramaistardeeletomounovamentea temperatura e encontrou 34,1oC. A temperatura do quarto onde se encontrava a vtima era constante a 20oC. Use a lei 4do resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte, admitindo que a temperatura normal de uma pessoa viva 36,5oC.19. Um jarro de leite, inicialmente a 25oC, deixado para esfriar na varanda onde a temperatura 0oC. Suponha que a temperatura do leite tenha cado para 15oC aps 20 minutos. Quando a mesma ser de 5oC?20. Um objetocom temperatura desconhecida colocado em um quarto que mantido temperatura constante igual a 20C. Se, aps 10 minutos, a temperatura do objeto de 30C e aps 20 minutos a temperatura de 25C, determine a temperatura inicial do corpo, supondo vlida a Lei do Resfriamento de Newton:Utilize os resultados do texto abaixo para resolver as questes 21 e 22.A equao bsica que rege a quantidade de corrente I (em ampres) em um circuito simples do tipo RL (figura 1),consistindo de uma resistnciaR(em ohms), um indutorL(em henryes) e uma fora eletromotriz (fem)E(em volts) LEILRdtdI + .Para um circuito do tipo RC (figura 2) consistindo de uma resistncia R, um capacitor C (em farads), uma fora eletromotriz E, a equao que rege a quantidade de carga eltrica q (em coulombs) no capacitor REqRC1dtdq + e a relao entre q e I dada por dtdqI . 21.Um circuito RL tem fem de 5 volts, resistncia de 50 ohmse indutncia de 1 henry.A corrente inicial zero. Determine a corrente no circuito no instante t.22. Um circuito RC tem fem de 5 volts, resistncia de 10 ohms, capacitncia de 10-2 farads e inicialmente uma carga de 5 coulombs no capacitor. Determine:a) A corrente transitria; b) A corrente estacionria.Respostas1. a) sim. b) sim. c) sim. d) sim.e) no.f) sim2. a) y = 1 Cex. b) x3 = Cy. c)2xCe y d) C4t2te4 2y+ + .e)t/4Ce 8 i f) y2 + cos(x2) = C.g) 0 1 Ce ey y x + ++.h)2 + y2 = C ( 4 + x2 )i) y = C sen(x)j) tg2(x) cotg2(y) = C k) ( ) ( ) y Ctg e 13x l)( ) C x x ln y2 2 2+ m)C 2e 2xe yx x+ n ) 2 ln(1+u) = 4t + t2 + C 0)C 1 x ln x y2+ + p) 4 arctgy = x4 4x2 +4lnx + C q) (1+y2) = C(1+x2)1 r) ln( 1+y)2 = x2 2x + C s) C 1 x ln 5 x y + + + t) lny = 1/x+ x + C 5Figura 1: circuito RL Figura 2: circuito RC3. a) y = x2/4. b) ( )1]1+ 2x 2e 14eln yc) (x2 1)(y2 +1) = 6. d) lny = cossecx cotgxe) ( )2 1x arcsen2y12+ . f) ( )( ) 3 y 2ln y 2e2 x cos + +.4. a) i) y= 2 ; ii) y = (x/2) + K . b)i)yey = 3x2ii)( ) K 3x 1 ey+ . c) i) y+ y = 0 ii) y2 = 2x + K.d)i) 2xy= y ii) y2 + 2x2 = K.e) i) y y= xii) y = K / x. f)i) 2xy= 3y ii) 3y2 + 2x2 = K.g) i) x y+ y = 0ii) y2 x2 = K. h)i) y+ 2y = 0ii) x y2 = K..5.a) x2 + y2 ln(x2) = 1.b)5 ) 1 (2 2 + x y c) 313122 xy d)xy = 16. a) y2 + 2x2 = C. b) y2 = Cx7. a) sim, 1. b) sim, 0. c) no. d) sim, 2. e) sim, 1. f) no.g) sim, 0. h) sim, 8. a) y = x e kx .b) y = x ln(x) kx.c) y = k(xy + x2 )9. a);C e 2 xe 2 yx x+ b)C 1 x ln x y2+ + ;c) (1+y2) = C(1+x2)1d) 4arctg(y/x) = lnC(x2+y2);e) ln( 1+y)2 = x2 2x + C;f) lnx = sen(y/x) + C;g) 2 C x x32x 2 y + + ; h) lny = 1/x+ x + C; i) 2ln(1+u) = 4t + t2 + C; j) 4 arctgy = x4 4x2 +4lnx + C; k) y = xln( lnx + C );l) ln(x2+y2) 2lnx2 = C; m) C 1 x ln 5 x y + + + ; 10.( )10t101e 1600e 1500 100 t v ,_ + .11. a) t = 4s;v = 20m/s; b) t = 2s;smax = 20m12. a) ( )57452 lnk ; b) ( )( )t57452 lnoe Q t Q,_ ; c) ( )( )( ) 57452 ln5 ln t anos; 13 t 928 anos, a mesa pode ser a famosa Tvola Redonda.14. ( )( ).57452 ln0,145 lnt (aproximadamente 16000 anos atrs). 15. 2 ln100 ln ) 27 , 5 (t35 anos16.a)( )0,366t694e t N .b) 694;17. ( )15 .56 , 07 ln t;18. t 2,24 horas, tomete subtraia de 1 hora.19. Aps 63 minutos. 20. 40 C; 21. Resp.: 101e101) t ( It 50+ amp.Comentrio:Aquantidade t 50e101chamadacorrentetransitria,poistendeazero(sedesvanece)quando t. Aquantidade 110chamadacorrenteestacionria. QuandotacorrenteI(t)tendeparaacorrente estacionria.22. Resp.: (a) t 10e299 amp.;(b) 0 amp.6