10 Lista Exercicios EDO Trajetorias Ortogonais

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    09-Aug-2015

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UTFPR Campus Toledo Disciplina: Equaes Diferenciais Ordinrias Professora: Jocelaine Cargnelutti

LISTA 10 Trajetrias Ortogonais 1 lista da Prova 2

Trajetrias Ortogonais

Na discusso que segue, estamos interessados em encontrar uma famlia de curvas

G ( x, y, c1 ) = 0 que interceptam, com ngulos retos, uma outra famlia de curvas H ( x, y, c2 ) = 0 dada.G ( x, y , c1 ) = 0 so chamadas trajetrias ortogonais de H ( x, y , c2 ) = 0 . (e vice-versa)

Definio: Curvas Ortogonais Duas curvas c1 e c2 so ortogonais em um ponto se, e somente se, suas retas tangentes T1 e T2 so perpendiculares no ponto de interseo. Exceto no caso em que T1 e T2 so paralelas aos eixos coordenados, queremos dizer que os coeficientes angulares m1 e m2 das retas tangentes T1 e T2 so negativos inversos um do outro (m1.m2 = -1).

Definio: Trajetrias ortogonais Quando todas as curvas de uma famlia G ( x, y, C1 ) = 0 interceptam ortogonalmente todas as curvas de outra famlia H ( x, y, C 2 ) = 0 , ento dizemos que as famlias so trajetrias ortogonais uma da outra. Portanto, uma trajetria ortogonal uma curva que intercepta toda a curva de uma famlia em um ngulo reto. Trajetrias ortogonais ocorrem na construo de mapas meteorolgicos e no estudo de eletricidade e magnetismo. Por exemplo, em um campo eltrico em volta de dois corpos de cargas opostas, as linhas de fora so perpendiculares s curvas eqipotenciais.

Mtodo de Clculo Para encontrar as trajetrias ortogonais de uma da famlia de curvas, primeiro encontramos a equao diferencialdy = f ( x, y ) que tem como soluo geral essa famlia dx dy 1 . Resolvendo conhecida. A equao diferencial da famlia ortogonal ento = dx f ( x, y )

essa ltima equao obtemos as trajetrias ortogonais.

Exerccios propostos: 1) Encontre as trajetrias ortogonais de cada uma das famlias de curvas dadas: 1.1) 1.2) 1.3) 1.4) 1.5) 1.6) 1.7) 1.8)x 2 + 3 y 2 = c13 R: y = c2 x 2 2 R: 3y x = c2

y=

c1 x3

y 2 = 2 ( x c1 ) y = c1 x 4 x 2 2 y 2 = c1 y = ce 2 x y=3

x R: y = c2e2 2 R: x + 4 y = c2 c y= 1 x2 R:2 R: y = ( x c1 )

c1 1 + x22

R:

2 y 2 = e ln x + x 2 + c2

y + 3 x y = c1

2 2 R: y x = c2 x