1 O fator integrante

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  • Mtodos Matemticos 2012 Notas de Aula

    Equaes Diferenciais Ordinrias II

    A C Tort

    25 de setembro de 2012

    1 O fator integrante

    Suponha que a EDO de primeira ordem seja da forma:

    y(x) + p(x) y(x) = g(x). (1)

    Multiplicando a EDO por u(x):

    u(x) y(x) + u(x) p(x) y(x) = u(x) g(x). (2)

    Definindo:

    u(x) = u(x) p(x), (3)

    ficamos com:

    u(x) y(x) + u(x) y(x) = u(x) g(x), (4)

    ou ainda:

    d [u(x) y(x)] = u(x) g(x). (5)

    Portanto,

    u(x) y(x) =

    u(x) g(x) dx + C, (6)

    onde C uma constante de integranao que deve ser determinada com uma condio adicional sobre y(x). Segueque:

    y(x) =

    u(x) g(x) dx + C

    u(x). (7)

    Para obter o fator integrante u(x) voltamos Eq. (3) :

    d u(x)

    dx= u(x) p(x). (8)

    Usando o mtodo de separao de variveis rescrevemos esta equao na forma:

    d u

    u= p(x) dx. (9)

    Integrando obtemos:

    email: tort@ufrj.br

    1

  • Notas de Aula. AC TORT 2012 2

    ln u =

    p(x) dx + K, (10)

    ou ainda fazendo K = 0 e invertendo:

    u(x) = exp

    (

    p(x) dx

    )

    . (11)

    Exemplo 1 A lei de resfriamento de Newton Seja T a temperatura do meio ambiente e (t) a temperatura de umcorpo imerso nesse meio. A lei do resfriamento de Newton nos diz que:

    d

    dt= ( T ) , (12)

    onde uma constante, a constante de resfriamento, que depende de condies especficas ao meio e ao corpo.Para obter uma soluo geral desta equao com o mtodo do fator integrante escrevemos:

    d

    dt+ = T, (13)

    e fazemos as identificaes: p(t) = e g(t) = T . Segue que:

    u(t) = exp

    dt = exp ( t), (14)

    e, logo,

    (t) =

    exp ( t) T dt + C

    exp ( t)=

    T exp( t)/ + C

    exp ( t)= T + C exp ( t) . (15)

    Para determinar C deve-se conhecer a temperatura do corpo em um determinado instante t0 (problema do valorinicial) (t0) = 0.

    EXERCCIO 1: Mostre que se (t0) = 0, a temperatura do corpo varia de acordo com:

    (t) = T + (0 T ) exp [ (t t0)] . (16)

    EXERCCIO 2: A que mecanismo de transmisso de calor a lei de resfriamento de Newton est associada?

    Exemplo 2 CSI - Rio Suponha que um cadver seja encontrado em condies suspeitas no instante t0 = 0. Atemperatura do corpo medida imediatamente pelo perito e o valor obtido 0 = 29 oC. O corpo retirado da cenado suposto crime e duas horas depois sua temperatura novamente medida e o valor encontrado 1 = 23 o C. Ocrime parece ter ocorrido durante a madrugada e corpo foi encontrado pela manh bem cedo. A percia ento faz asuposio adicional de que a temperarura do meio ambiente entre a hora da morte tm e a hora em que o cadver foiencontrado t0 tenha se mantido mais ou menos constante T 20 o C. A percia sabe tambm que a temperaturanormal de um ser humano vivo de 37 o C. Com esses dados como a percia pode determinar a hora do crime?

    Soluo O primeiro passo reunir os dados. Temos t0 = 0 (por simplicidade), 0 = 29 o C ; t1 = 2 h, 1 = 23 o C;T = 20 o C. O segundo passo determinar a constante de resfriamento para este caso com a soluo (16):

    1 T = (0 T ) exp ( t1) . (17)

    Aplicando logartmos e substituindo valores:

    = 1

    t1ln

    (

    1 T

    0 T

    )

    = 1

    2ln

    (

    23 20

    29 20

    )

    = 1

    2ln

    (

    1

    3

    )

    0.55 h1. (18)

  • Notas de Aula. AC TORT 2012 3

    Agora usamos uma vez mais a soluo (16) para estimar a hora da morte tm:

    m = T + (0 T ) exp (0.55 tm) . (19)

    Procedendo como no clculo de :

    tm = 1

    ln

    (

    m T

    0 T

    )

    = 1

    0.55ln

    (

    37 20

    29 20

    )

    = 1

    0.55ln

    (

    17

    9

    )

    1.16 h. (20)

    Portanto, o crime ocorreu h um pouco mais de uma hora antes do corpo ser descoberto.

    4 2 0 2 420

    25

    30

    35

    40

    t (horas)

    Tem

    pera

    tura

    (C

    )

    Curva de resfriamento

    Figura 1: Curva de resfriamento.

    EXERCCIO 3: Quais so os pontos fracos desta tcnica pericial?

    Diferenciais exatas

    Dada uma funo de duas variveis u(x, y) sua diferencial total ou exata se escreve:

    du =u

    xdx +

    u

    ydy. (21)

    Suponha agora que u(x, y) = C, onde C uma constante. Ento:

    du(x, y) = 0. (22)

    Exemplo 3 Considere:

    u = x + x2y3 = C. (23)

    A diferencial exata desta funo

    du =(

    1 + 2xy3)

    dx + 3x2y2dy = 0. (24)

    Segue que:

    dy

    dx= y =

    (

    1 + 2xy3)

    3x2y2. (25)

  • Notas de Aula. AC TORT 2012 4

    Isto siginifca que se nos fosse dada esta ltima EDO, poderamos manipul-la algebricamente colocando-a naforma de uma diferencial exata e depois integr-la.

    Resumindo: uma EDO de primeira ordem da forma:

    M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, (26)

    dita ser exata se o L.E. desta equao diferencial for uma diferencial total ou exata de uma funo u(x, y), isto:

    u

    x= M (x, y) ,

    u

    y= N (x, y) . (27)

    Neste caso, u(x, y) = C a soluo implcita da EDO. Por outro lado, possvel provar que a condio necessariae suficiente para que a Eq. (26) seja uma diferencial exata que:

    M(x, y)

    y=

    N(x, y)

    x. (28)

    Exemplo 4 Resolvendo uma equao diferencial exata Considere

    (

    x3 + 3xy2)

    dx +(

    3x2y + y3)

    dy = 0. (29)

    Comeamos fazendo o teste de exatido:

    M(x, y) = x3 + 3xy2,M(x, y)

    y= 6xy, (30)

    N(x, y) = 3x2y + y3,N(x, y)

    x= 6xy, (31)

    logo, a ED exata. Podemos escrever:

    u =

    M(x, y) dx + K(y) =

    (

    x3 + 3xy2)

    dx + K(y)., (32)

    ou ainda:

    u =x4

    4+

    3

    2x2y2 + K(y). (33)

    Para determinar K(y) escrevemos:

    u

    y= N, (34)

    ou

    3x2y +dK (y)

    dy= 3x2y + y3. (35)

    Segue que:

    dK (y)

    dy= y3, K(y) =

    y4

    4+ C. (36)

    Portanto, a soluo

    u(x, y) =1

    4

    (

    x4 + 6x2y2 + y4)

    = C. (37)

  • Notas de Aula. AC TORT 2012 5

    Exemplo 5 Um contra-exemplo Considere:

    y dx xdy = 0. (38)

    Agora M(x, y) = y e N(x, y) = x. Segue que Mx(x, y) = 1 e Ny(x, y) = 1. Portanto a equao diferencialacima no exata, o que no significa que no possa ser resolvida, mas o mtodo que usamos acima falha. Paraverificar esta afirmativa procedamos como no Exemplo 4:

    u =

    M(x, y) dx + K(y) = yx + K(y). (39)

    u

    y= N = x +

    dK (y)

    dy. (40)

    Mas N(x, y) = x, logo:

    x +dK (y)

    dy= x (41)

    ou ainda:

    dK (y)

    dy= 2x, (42)

    que uma contradio j que K e dK/dy dependem somente de y.

    EXERCCIO 4: Resolva a EDO:

    y dx xdy = 0, (43)

    pelo mtodo de separao de variveis. Resposta: y = Cx.

    Referncias

    [1] E. Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics. (Wileyl: New York) 1993.

    [2] G. E. H. Reuter: A Elementary Differential Equations & Operators. (Routledge & Kegan Paul: London)1958.

    [3] W. E. Boyce & R. C. DiPrima: Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems 6th ed.(Wileyl: New York) 1997.

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