1 EDO-Teoria Tratamento Numerico Parte 1e2

  • Published on
    18-Dec-2015

  • View
    10

  • Download
    5

DESCRIPTION

Equaes Difereciais

Transcript

  • 123

    6- EDOs: TEORIA E TRATAMENTO NUMRICO

    Introduo

    Muitos problemas importantes e significativos da engenharia, das cincias fsicas e das cincias sociais, formulados em termos matemticos, exigem a determinao de uma funo que obedece a uma equao que contm uma ou mais derivadas da funo desconhecida. Estas equaes so equaes diferenciais. Talvez o exemplo mais conhecido seja o da lei de Newton F = m.a . Se u = u(t) a posio no instante t de uma partcula de massa m submetida a uma fora F, temos

    =

    dtdu

    utFdt

    udm ,,

    2

    2

    (1)

    onde a fora F pode ser funo de t, u, e da velocidade dtdu

    . A fim de determinar o movimento da

    partcula sob a ao da fora F necessrio encontrar a funo u que obedea (1). O nosso objetivo discutir propriedades de solues de equaes diferenciais ordinrias e descrever alguns mtodos que se mostram eficientes para encontrar as solues do ponto de vista analtico e numrico. 6.1- CONCEITOS BSICOS

    6.1.1 Definies e Classificao das Equaes Diferenciais

    Definio 6.1.1.1: Uma das classificaes mais evidentes se baseia em a funo desconhecida depender de uma s varivel independente ou de diversas variveis independentes. No primeiro caso, na equao diferencial s aparecem derivadas ordinrias e a equao a equao diferencial ordinria (E.D.O.). No segundo caso, as derivadas so derivadas parciais, e a equao uma equao diferencial parcial (E.D.P.). Um exemplo de uma E.D.O. dado pela equao

    )()(1)()(

    2

    2

    tEtQCdt

    tdQR

    dttQd

    L =++ , (2)

    enquanto que um exemplo de e.d.p. uma equao do tipo potencial

    0),(),(

    2

    2

    2

    2

    =

    +

    yyxu

    xyxu

    . (3)

    Definio 6.1.1.2: Uma outra classificao a que depende do nmero de funes desconhecidas que esto envolvidas. Quando se quiser determinar apenas uma funo, basta uma equao. Quando forem duas ou mais as funes desconhecidas, necessrio ter um sistema de equaes diferenciais. Por exemplo, as equaes de Lotka-Volterra (ou predador-presa), importantes modelos de ecologia, tm a forma:

    yxycdtdy

    yxxadtdx

    ...

    ...

    g

    a

    +-=

    -= , (4)

    onde x(t) e y(t) so as populaes da presa e do predador, respectivamente. As constantes a, c, a , g esto baseadas em observaes empricas e dependem das espcies particulares que esto sendo estudadas.

  • 124

    Definio 6.1.1.3: A ordem de uma equao diferencial a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equao. Neste sentido, uma equao da forma

    F[t, u(t), u(t), u(t), ...., u(n)(t)] = 0 (5) uma equao diferencial ordinria de ordem n. Observao: conveniente denotar u(t) por y e conseqentemente suas derivadas ficam escritas em funo de y. Geralmente consideramos equaes diferenciais que se apresentam na forma

    ),...,,,,( )1(''')( -= nn yyyyxfy (6) Definio 6.1.1.4: Uma soluo de uma equao diferencial ordinria do tipo (6), no intervalo

    ba

  • 125

    Teorema 6.1.2.1: (de Existncia e Unicidade de Soluo para uma E.D.O. Linear de Ordem Um):

    Seja uma E.D.O. da forma ),(' yxfy = (9)

    onde a funo f(x, y) est definida em um domnio D do plano xy que contm o ponto ( 00 , yx ). Se a funo f(x, y) satisfaz as condies:

    f(x, y) uma funo contnua de duas variveis em D;

    f(x, y) admite derivada parcial yf

    contnua com relao a x e y em D.

    Ento existe uma, e somente uma soluo )(xy j= da equao que satisfaz a condio

    00 )( yxy = . Exemplo 6.1.3: Considere a E.D.O. de 1a ordem

    y' = x.y +e-y.

    O segundo membro da equao f(x, y) = x.y + e-y e sua derivada parcial yexyf --=

    so contnuas

    com relao a x e a y em todos os pontos do plano xy . Em virtude do teorema de existncia e unicidade, o conjunto em que a equao tem soluo nica todo o plano xy .

    6.2- EQUAES DIFERENCIAIS DE 1A ORDEM E 2A ORDEM

    6.2.1 Equaes de 1a Ordem a Variveis Separveis

    s vezes conveniente usar como varivel x em vez de t para designar a varivel independente de uma equao diferencial. Neste caso, a equao geral de primeira ordem assume a forma

    ),( yxfdxdy

    = . (1)

    Se a equao (1) no-linear, isto , se f no uma funo linear da varivel dependente y, no existe um mtodo geral para resolver a equao. Consideremos uma subclasse das equaes de primeira ordem para as quais um processo direto de integrao pode ser usado.

    Em primeiro lugar, reescrevemos a equao (1) na forma

    M(x,y)+N(x,y)dxdy

    = 0 . (2)

    sempre possvel conseguir isto fazendo M(x,y) = - f(x,y) e N(x,y) = 1, mas pode haver outras maneiras. Caso M seja uma funo apenas de x e N seja uma funo apenas de y, a equao (2) se torna

    M(x) + N(y) dxdy

    = 0 . (3)

    Uma equao deste tipo dita separvel porque escrita na forma diferencial M(x) dx + N(y)dy = 0 (4)

    na qual, caso se deseje, os termos que envolvem cada varivel podem ser separados pelo sinal de igualdade. Exemplo 6.1.4:

    Mostrar que a equao 2

    2

    1 yx

    dxdy

    -= de varivel separvel e encontre sua soluo.

  • 126

    Exemplo 6.1.5: Mostre que a soluo da E.D.O. com condio inicial

    -=-

    ++=

    1)0()1(2

    243 2

    yy

    xxdxdy

    dada por 4221)( 23 +++-= xxxxy . Exemplo 6.1.6:

    Achar a soluo do problema de valor inicial

    =+

    =

    1)0(21

    cos2

    yyxy

    dxdy

    .

    Resposta.: )1||(lnarcsen)( 2 -+= yyyx .

    6.2.2- Exerccios

    6.2.2.1) xy

    dxdy

    = Sol.: y = c.x

    6.2.2.2) (1 + y) dx (1-x) dy = 0 Sol.: xxc

    y-+

    =1

    6.2.2.3) 3'. yyyx =- Sol.: 21 ycxy +=

    6.2.2.4) 0).(cot)(cos.sen)( 22 =+ dyygxdxyxtg . Sol.: cxy += 22 secseccos

    6.2.2.5)

    =

    =+

    1)0(

    )1(

    y

    edxdy

    ye xx Sol.: )2

    1ln(

    212 xey +

    =-

    6.2.2.6) yx

    dxdy 2

    = Sol.: cxy =- 32 23

    6.2.2.7) 0)sen(2 =+ xydxdy

    Sol.: 0)cos(1

    =+ yseCxy

    ; y = 0.

    6.2.2.8) )2(cos).(cos 22 yxdxdy

    = Sol.:

    +=

    =--

    4

    )12(0)2cos(

    )2sen(2)2(2

    ny

    yseCxxytg

    p

    6.2.2.9) y

    x

    eyex

    dxdy

    +-

    =-

    Sol.: Ceexy xy =-+- - )(222

    6.2.2.10) )1( 3

    2'

    xyx

    y+

    = Sol.: Cxy =+- 32 1ln23

    6.2.2.11) 212' )1(. yyx -= Sol.: 1];sen[ln =+= yCxy

    6.2.2.12)

    ==+

    3/)2/(0 cos(3y)dy dx sen(2x)

    ppy; Sol.: 3)2cos(3)3sen(2 += xy

  • 127

    6.2.2.13)

    -=

    +=

    21

    )0(

    4)1(

    3

    2'

    y

    yxx

    y Sol.:

    212 +

    -=x

    y

    6.2.2.14)

    =+-

    =

    0)0(23

    2'

    yy

    ey

    x

    Sol.: 01232 =--++ xeyy x

    6.2.3 Equaes de 1a Ordem Homogneas Definio 6.2.3.1: Uma funo f(x,y) diz-se homognea de grau n nas variveis x e y se para todo

    l , 0>l , temos: ),(),( yxfyxf nlll = ,

    onde n = grau de homogeneidade. Exemplo 6.2.1:

    a) Se 3 33),( yxyxf += ento,

    temos, =+=+= ),()(()((),( 3 333 33 yxfyxyxyxf llllll f homognea de grau 1.

    b) 2

    33

    .),(

    yxyx

    yxf-

    = homognea de grau zero.

    Definio 6.2.3.2: Tambm podemos chamar uma E.D.O. de homognea se f(x,y) uma funo homognea de grau zero ou se M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0, onde M e N so funes homogneas de mesmo grau. 6.2.3.1- Mtodo de Resoluo

    Impe-se uma soluo do tipo y = u(x). x, sendo que a equao diferencial antes escrita na forma:

    ),( yxfdxdy

    = ,

    onde dxdu

    xudxdy

    .+= e ),(),( yxfyxf ll= (hiptese), tomamos x1=l , ficando

    ),1(),( xyfyxf = e como

    xy

    u = , temos que f(x,y) = f(1,u).

    A E.D.O. passa a ser escrita como:

    uufdxdu

    xufdxdu

    xu -==+ ),1(.),1(. , que uma E.D.O. de variveis separveis. Assim,

    integrando chegamos :

    +=- Cxdx

    uufdu

    ),1(.

    Substituindo u por xy

    , aps a integrao, obtm-se a soluo da E.D.O. original.

  • 128

    6.2.3.2 Exerccios

    6.2.3.2.1) 22 yx

    xydxdy

    -= Soluo: ||ln2 cyyx -=

    6.2.3.2.2)

    ==-+

    0)4(0..2)( 22

    yydyxdxyx

    Soluo: x

    xy4

    1. -=

    6.2.3.2.3) 0)()( =--+ dyxydxyx Soluo: 2

    2 1)(2)(xC

    xy

    xy

    =++-

    6.2.3.2.4) 0)()32( =-++ dyxydxyx Soluo: ||ln|2

    2|ln

    2

    2

    Cxuu

    uu=

    +

    +

    6.2.3.2.5) 03)( 233 =++ dyxydxyx Soluo: 3 2 ))(1

    1(21

    )(cx

    xxy -=

    6.2.3.2.6) 0))cos(.())cos(.( =+- dyxy

    xdxxy

    yx Soluo: ||ln)sen( xCxy -=

    6.2.4- Equaes de 1a Ordem Lineares com Coeficientes Variveis Definio 6.2.4.1: Uma equao diferencial linear de primeira ordem uma equao da forma

    )()(' xQyxPy =+ , onde P(x) e Q(x) so funes contnuas. Se, na definio anterior, assumirmos Q(x) = 0 para todo x, podemos separar as variveis e integrar ento como segue (desde que y 0):

    +-=-=-==+ CdxxPydxxPdyyxPdxdy

    yyxP

    dxdy

    ln)(ln)(1

    )(1

    0)(

    Expressamos a constante de integrao sob a forma ln|C|a fim de modificar, como a seguir, a forma da ltima equao:

    CeyeCy

    dxxPCy

    dxxPCydxxPdxxP

    ==-=-=- - )()(

    .)(ln)(||ln||ln .

    Observemos em seguida que, pela regra do produto, +=+=+=

    dxxPdxxPdxxPdxxP

    x

    dxxP

    x

    dxxP

    x eyxPyexyPeyeDyeyDyeD)(')()(')()()( ))(()()()()( .

    Conseqentemente, multiplicando ambos os membros de )()(' xQyxPy =+ por dxxP

    e)(

    , a equao resultante pode ser escrita como

    =dxxPdxxP

    x exQyeD)()(

    )()( . Integrando ambos os membros, obtemos a seguinte soluo implcita da E.D.O. de a1 ordem :

    += KdxexQeydxxPdxxP )()(

    ).(. ,

    para uma constante K. Resolvendo esta equao em relao a y, somos levados a uma soluo

    explcita. A expresso dxxP

    e)(

    um fator integrante da equao diferencial. Exemplo 6.2.2:

  • 129

    Resolva a E.D.O. 223 xyxdxdy

    =- .

    Como P(x) = -3x2, calculamos o fator integrante 323 xdxx ee -

    -= .

    Multiplicando ambos os membros da E.D.O. obtm-se: 33333 222 ).(3 xxx

    xxx exyeDexyexdxdy

    e ----- ==- .

    Integrando ambos os lados, obtemos

    +-=+-== ---3333

    .31

    )(31

    . 2 xxxx eCxyCedxexey .

    Exemplo 6.2.3: Resolva a E.D.O. 03..5 5'2 =++ xyxyx , com x 0. Dividindo ambos os membros por x2, obtemos:

    3' 35

    xyx

    y -=+ .

    O fator integrante dado por 5|ln|5

    5

    || xee xdx

    x == . Se x > 0, ento |x|5 = x5. Se x < 0, |x|5 = - x5. Em qualquer caso, a multiplicao por |x|5 de ambos os membros da forma padronizada d

    8584'5 3)(35. xyxDxyxyx x -=-=+ . Integrando ambos os membros da igualdade acima, obtemos como soluo:

    +-=+-=-= 549

    85

    3)(

    33.

    xCx

    xyCx

    dxxyx .

    Exemplo 6.2.4: Resolva a equao diferencial )cos(..2)sec()(.' xxxxtgyy +=+ .

    Clculo do fator integrante: |)sec(|)|sec(|ln xee xtgxdx

    == . Desprezando o valor absoluto e multiplicando por ambos os lados, chegamos

    xxxyDxxxxxtgxyxy x .2)(sec))sec(.()sec().cos(2)(sec)().sec(.)sec(22' +=+=+ .

    Integrando ambos os membros, obtm-se: )cos()()sen()()()sec(. 22 xCxxxyCxxtgxy ++=++= .

    6.2.4.1- Tcnica Alternativa Para Resoluo de uma E.D.O. Linear De 1A Ordem

    Suponha que y(x) = u(x).v(x), onde v(x) uma soluo particular da E.D.O. .0)(' =+ yxPy

    Derivando y com relao x, obtm-se:

    ...dxdu

    vdxdv

    udxdy

    +=

    Considerando a E.D.O. )().( xQyxPdxdy

    =+ e substituindo a derivada de y com relao a x,

    obtemos:

    )(.).(. xQvuxPdxdu

    vdxdv

    u =++

    )(.).( xQdxdu

    vvxPdxdv

    u =+

    +

  • 130

    Determinao de v(x): Imponha que a expresso entre colchetes seja zero, isto :

    dxxPv

    dvvxP

    dxdv

    ).(0).( -==+

    Substitua a expresso de v(x) encontrada na equao:

    )(. xQdxdu

    v =

    e determine u(x). Finalizando, obtemos y(x) = u(x).v(x). 6.2.4.2- Exerccios

    6.2.4.2.1) )cos(.5)(cot. xexgydxdy

    =+ Soluo: ]).[sec(cos)( cos cexxy x +-=

    6.2.4.2.2) 0.3..5. 5'2 =++ xyxyx Soluo: 5

    4

    3)(

    xcx

    xy +-=

    6.2.4.2.3) )ln(' xyxy =+ Soluo; 1ln)( -+=xc

    xxy

    6.2.4.2.4) 0))cos(.( 2 =-+ xdydxyxx Soluo; cxxxxy += sen)(

    6.2.4.2.5) 0).3.2( 323 =--+ dxxyxydyx Soluo: 21

    33

    ..2

    )( xexcx

    xy +=

    6.2.4.2.6) xxxydxdy

    x 23. 23 -++= Soluo: xcxxxx

    xy .)ln(.2.32

    )( 23

    +-+=

    6.2.4.2.7) 0).2(.2 =-=- dxexydxxdy x Soluo: 2

    .)( xx ecexy +=

    6.2.4.2.8) xeyy 2' 2 =+ Sol.: xx

    cee

    xy 22

    4)( -+=

    6.2.4.2.9) 23' =- yy Sol.: xcexy 332

    )( +-=

    6.2.4.2.10) 5' 3. xyyx =- Sol.: 35

    2)( cx

    xxy +=

    6.2.4.2.11) )sec(cos)(cot' xxgyy =+ Sol.: )sen(

    )(xcx

    xy+

    =

    6.2.4.2.12) xexyyx =++'. Sol.: xcx

    xe

    xyx

    +-=2

    )(

    6.2.4.2.13) 0).2(2 =-+ dxeyxdyx x Sol.:2

    )(x

    cexy

    x +=

    6.2.4.2.14) )sen()(.' xxtgyy =+ Sol.: ])sec(|)[lncos()( cxxxy += 6.2.4.2.15) 0))cos(.( 2 =-+ xdydxyxx Sol.: cxxxxy += )sen(.)(

    6.2.4.2.1) xexyxyx 3' .)32(. -=++ Sol.: xexcx

    xy 323)( -

    +=

    6.2.4.2.16) 0)sen(().( =-+ dxxydyxtg Sol.:)sen(

    )sen(21

    )(x

    cxxy +=

    6.2.4.2.17) 322' .3 xexyxy -+=+ Sol.:

    3

    )(31

    )( xecxxy -++=

    6.2.4.2.18)

    =+=-

    2)1(. 2'

    yxxyyx

    Sol.: )1)ln(.()( ++= xxxxy

  • 131

    6.2.4.2.19)

    ==++ -

    0)1(.. '

    yeyxyyx x

    Sol.: )1

    1()(x

    exy x -= -

    6.2.4.2.20) A equao diferencial dt

    dVCI

    dtdI

    R =+ descreve um circuito eltrico que consiste em

    uma fora eletromotriz V com uma resistncia R e capacitncia C ligadas em srie. Se V constante e se I(0) = I0, expresse I como funo de t.

    Resp.: RCt

    eItI-

    = .)( 0 6.2.5 Equaes de 1a Ordem Exatas e Fatores Integrantes

    Considere a equao diferencial de a1 ordem do tipo 022 '2 =++ xyyyx . (1) Esta equao no separvel. No entanto observe que a funo 22 .),( yxxyx +=j satisfaz a propriedade que:

    xyx

    =+j22 e xy

    y2=

    j

    . (2)

    Assim a E.D.O. pode ser escrita como

    0)()( 2222 =+

    ++

    dxdy

    xyxy

    xyxx

    . (3)

    Admitindo que y seja funo de x (utilizando a Regra da Cadeia), pode-se escrever a (3) na forma

    0)( 22 =+ xyxdxd

    . (4)

    Portanto, cxyx =+ 22 , (5)

    onde c uma constante arbitrria, uma expresso implcita (soluo) de (1). Ao resolver (1), a etapa principal foi o reconhecimento da existncia de uma funo

    ),( yxj que obedecia (2). De modo mais geral, considere a equao diferencial

    M(x,y)+N(x,y) 'y = 0. (6) Suponha que se possa identificar uma funo ),( yxj tal que

    ),(),( yxMyxx

    =j

    e ),(),( yxNyxy

    =j

    , (7)

    de modo que ),( yxj = c obedea a equao y = )(xf , como uma funo derivvel de x. Ento:

    M(x,y)+N(x,y) 'y = )](,[ xxdxd

    dxdy

    yxfj

    jj=

    +

    ,

    sendo que (6) pode ser reescrita como:

    0)](,[ =xxdxd

    fj . (8)

    Neste caso, (6) uma equao diferencial exata. A soluo de (6) ou de sua equivalente (8) dada implicitamente por cyx =),(j , (9) onde c uma constante arbitrria.

  • 132

    No exemplo estudado, foi fcil encontrar a sua soluo, devido ao reconhecimento da funo desejada j . Para os casos em que isto no possvel, existe um teorema para verificao desta condio: Teorema 6.2.5.1: Sejam M, N, My, Nx funes contnuas no domnio retangular (conexo) R:

    ba

  • 133

    ou xyxyh --= 2'21

    )( . Como o 2o membro depende de x e y, impossvel encontrar h(y). Portanto

    no h uma funo ),( yxj que satisfaa as derivadas parciais. Algumas vezes, possvel converter uma equao diferencial que no seja exata numa exata, multiplicando-a por um fator integrante apropriado. Multipliquemos a equao

    0),(),( =+ dyyxNdxyxM (11) por uma funo m e tentemos encontr-la de modo que

    0),().,(),().,( =+ dyyxNyxdxyxMyx mm (12) seja exata. Sabe-se, de antemo, que a equao acima ser exata se, e somente se,

    xy NM )()( mm = , (13)

    isto , m dever obedecer seguinte equao diferencial de a1 ordem 0)( =-+- mmm xyxy NMNM . (14)

    Se uma funo m satisfizer (14), ento (12) ser exata. A soluo de (12) poder ento ser obtida pelo mtodo anteriormente descrito. A soluo encontrada satisfaz (11) pois o fator integrante m ser cancelado. Supondo que m dependa somente de x e do fato que xy NM )()( mm = , obtm-se

    mm

    N

    NM

    dxd xy-=

    que o fator integrante procurado. Exemplo 6.2.6:

    Encontre o fator integrante e resolva a equao 0)()3( '22 =+++ yxyxyxy . (*)

    J sabemos que esta equao no exata. Determinamos um fator integrante que dependa exclusivamente de x. Ao determinar a expresso

    xxyxyxyx

    yxN

    yxNyxM xy 1)2(23),(

    ),(),(2

    =+

    +-+=

    -,

    observamos que o fator integrante depende exclusivamente de x e para encontr-lo basta resolver a equao diferencial

    xxxdx

    d== )(m

    mm.

    Multiplicando (*) por )(xm , obtm-se:

    0)()3( '2322 =+++ yyxxxyyx que exata e, aps sua resoluo, encontra-se

    cyxyx =+ 22321

    .

    6.2.5.1- Exerccios

    Determinar se as equaes so exatas ou no. Para as equaes exatas, encontre a soluo: 6.2.5.1.1) 0)22()32( ' =-++ yyx Sol.: Cyyxx =-++ 23 22 6.2.5.1.2) 0)22()42( ' =-++ yyxyx Sol.: No exata 6.2.5.1.3) 0)36()223( 222 =+-++- dyxydxxyx Sol.: Cyyxyxx =+++- 322 323 6.2.5.1.4) 0)22()22( '22 =+++ yxyxyxy Sol.: Cxyyx =+ 222 6.2.5.1.5) 0))cos(2)cos(())sen(2)sen(( =++- dyxyedxxyye xx

  • 134

    Sol.: Cxyye x =+ )cos(2)sen( ; y = 0. 6.2.5.1.6) 0))sen(3()3)sen(( =--+ dyyexdxyye xx Sol.: No exata 6.2.5.1.7) 0)3)2cos(()2)2sen(2)2cos(( =-++- dyxxedxxxexye xyxyxy Sol.: Cyxxe xy =-+ 3)2cos( 2

    6.2.5.1.8) 0)2(ln)6( =-++ dyxdxxxy

    , x > 0 Sol.: Cyxxy =-+ 23ln. 2

    6.2.5.1.9) 0)ln())ln(( =+++ dyxyxydxxyyx , x > 0, y > 0 Sol.: No exata

    6.2.5.1.10) 0)( 2

    322=

    +

    +

    yx

    ydyxdx Sol.: Cyx =+ 22

    Encontre o valor de b para o qual a equao exata e resolver cada equao com o valor

    encontrado: 6.2.5.1.11) 0)()( 222 =+++ dyxyxdxybxxy Sol.: b=3; Cyxyx =+ 322 2 6.2.5.1.12) 0)( 22 =++ dybxedxxye xyxy Sol.: b=1; Cxe xy =+ 22 6.2.6 Equaes de 2a Ordem Lineares Homogneas com Coeficientes Constantes Definio 6.2.6.1: Uma equao diferencial ordinria de 2a ordem tem a forma

    ),,(2

    2

    dxdy

    yxfdx

    yd= (1)

    onde f uma funo conhecida. Dizemos que a equao (1) linear quando a funo f linear em y e suas derivadas, isto , quando

    yxqdxdy

    xpxgdxdy

    yxf )()()(),,( --= , (2)

    onde g, p e q so funes da varivel independente x. Neste caso, a equao (1) fica )()()( '" xgyxqyxpy =++ (3)

    Definio 6.2.6.2: Se a equao (1) no tem a forma (3), ento ela denominada no linear. Para uma E.D.O. de 2a ordem, um problema de valor inicial constitudo por um par de condies iniciais

    00 )( yxy = e 10' )( yxy = (4)

    onde 0y e 1y so nmeros dados. Observao: Note que so necessrias duas condies iniciais para uma equao de segunda ordem, pois falando em termos gerais, so necessrias duas integraes para se chegar a soluo. Um exemplo de ocorrncia de uma equao linear de 2a ordem dado pelo movimento de um corpo ligado a uma mola, e muitos outros sistemas oscilantes simples, que descrito por uma equao da forma:

    )(2

    2

    tFkudtdu

    dtud

    m =++ g , (5)

    onde m, g e k so constantes e F uma funo.

  • 135

    Definio 6.2.6.3: Uma E.D.O. linear de 2a ordem homognea se o termo g(x) em (3) for nulo para todo x. No sendo assim, a equao no-homognea. Observao: O termo g(x) denominado no-homogneo. Consideremos a E.D.O. linear homognea de 2a ordem

    0'" =++ qypyy (*) Propriedades 6.2.6.4: 1. Se y1 e y2 so solues particulares da E.D.O. linear homognea de 2a ordem (*) ento y1 + y2 tambm soluo da equao. 2. Se y1 uma soluo de (*) e C uma constante, o produto Cy1 tambm soluo desta equao.

    6.2.6.1- A Independncia Linear e o Wronskiano

    Definio 6.2.6.1.1: Duas solues y1 e y2 de (*) denominam-se linearmente independentes (L.I.)

    no intervalo [a,b] se sua razo teconsyy

    tan2

    1 . Em caso contrrio, as solues chamam

    linearmente dependentes (L.D.). Em outras palavras, duas solues y1 e y2 so L.D. se l$ tal que

    l=2

    1

    yy

    quando x [a,b].

    Exemplo 6.2.7:

    A equao 0" =- yy admite como solues ex , e-x , 3.ex e 5.e-x. As funes ex e e-x so L.I.

    em todo o domnio e por esta razo xxx

    eee 2=- que varia com x . Ao passo que

    xe e 3 xe so L.D.

    pois 33

    =xx

    ee

    (constante).

    Definio 6.2.6.1.2: Se 21 yey so funes de x, ento o determinante

    W( '2

    '1

    2121 ), yy

    yyyy =

    denomina-se determinante do Wronski ou Wronskiano das funes dadas. Propriedades: 1. Se as funes y1 e y2 so L.D. em [a,b], ento o Wronskiano em [a,b] zero. De fato, se 12 yy l= donde l constante, ento

    '1

    '2 yy l= e

    0),( '1

    '1

    11'1

    '1

    11'2

    '1

    2121 ==== yy

    yyyyyy

    yyyy

    yyW lll

    .

    2. Se o Wronskiano W(y1,y2) das solues y1 e y2 da equao homognea no se anula em um ponto x = x0 de [a, b], ento ele no se anula para qualquer valor de x neste intervalo.

  • 136

    Observao: Se o Wronskiano nulo para certo valor de x = x0, ento este determinante tambm igual a zero para qualquer valor de x no intervalo considerado. 3. Se as solues y1 e y2 de (*) so L.I. em [a,b], ento o Wronskiano formado por estas solues no se anular em nenhum ponto do intervalo. 4. Se y1 e y2 so solues de (*), ento

    2211 ycycy += , onde c1 e c2 so constantes arbitrrias, uma soluo geral de (*).

    6.2.6.2 Razes da Equao Caracterstica Tipos de Solues

    Neste momento, vamos dirigir nossas atenes para o caso em que os termos que

    acompanham yyy ,, '" de (*) so constantes, ou seja, estaremos interessados em resolver uma E.D.O. de 2a ordem do tipo

    0. '" =++ cybyya , (6) onde a, b, c so constantes dadas. Antes de mostrarmos a forma de soluo, consideremos o seguinte exemplo:

    0" =- yy (7) Para esta equao, tm-se a=1, b=0 e c=-1. Com um pouco de meditao, observamos que

    uma funo que satisfaz (7) y(t) = et. Seguindo o mesmo raciocnio, observamos que y(t) = e-t tambm satisfaz (7). Com o tempo, veremos que a combinao destas duas solues tambm satisfaz (7). Com isto, verifica-se que solues do tipo )()()( 2211 tyctycty += apresentam uma soluo de (7) na forma geral. Observao: Para determinar os valores das constantes so necessrias duas condies iniciais. Voltando equao (6), j vimos que solues do tipo exponencial, so vlidas. Suponhamos que rtey = , onde r o parmetro a ser determinado. Temos que rtrey =' e

    rtery 2" = . Levando as expresses de y, y e y em (6), obtm-se:

    ( ) 0 0 202 =++ =++ cbrarecbrar rtert (8) A equao (8) denominada equao caracterstica. A soluo desta equao caracterstica

    envolve um estudo do sinal do delta da equao. Caso 1: >D 0 razes reais e distintas. Suponha r1 e r2 as duas razes. Neste caso tem-se como soluo trety 1)(1 = e

    trety 2)(2 = e portanto, a soluo geral fica trtr ecectyctycty 21 212211 )()()( +=+= . (9)

    Observao: Verifique que (9) satisfaz (6). Exemplos 6.2.8: a) Encontre a soluo da E.D.O. 065 '" =++ yyy , sujeita s condies iniciais:

    3)0(2)0( ' == yey .

  • 137

    b) Encontre a soluo do P.V.I.

    =

    =

    =+-

    21

    )0(

    2)0(

    0384

    '

    '"

    y

    y

    yyy

    Soluo: 223

    25

    21

    )(tt

    eety +-= .

    Caso 2: =D 0 razes reais e iguais. Neste caso. Tem-se que acb 42 = e ento a

    brr

    221-== .

    Assim, obtemos como soluo, para a E.D.O. do tipo xrexy =)(1 . A soluo rxexxy .)(2 = tambm

    satisfaz. Portanto a soluo geral para este caso : rxexccxy ).()( 21 += . (10)

    Caso 3:

  • 138

    6.2.6.3.4) 032 '" =-+ yyy 6.2.6.3.5) 023 '" =++ yyy 6.2.6.3.6) 06 '" =-- yyy 6.2.6.3.7) 032 '" =+- yyy 6.2.6.3.8) 05 '" =+ yy 6.2.6.3.9) 0994 '" =+- yyy 6.2.6.3.10) 022 '" =-- yyy

    Nos problemas abaixo, encontrar a soluo das E.D.O. de 2a ordem:

    6.2.6.3.11) 022 '" =+- yyy Sol. )]sen()cos([)( 21 tctcetyt +=

    6.2.6.3.12) 062 '" =+- yyy Sol. )]5sen()5cos([)( 21 tctcetyt +=

    6.2.6.3.13) 082 '" =-+ yyy Sol. tt ececty 422

    1)(-+=

    6.2.6.3.14) 022 '" =++ yyy Sol. )]sen()cos([)( 21 tctcetyt += -

    6.2.6.3.15) 0136 '" =++ yyy Sol. )]2sen()2cos([)( 213 tctcety t += -

    6.2.6.3.16) 094 " =+ yy Sol. )23

    sen()23

    cos()( 21t

    ct

    cty +=

    6.2.6.3.17) 025,12 '" =++ yyy Sol. )]2

    sen()2

    cos([)( 21t

    ct

    cety t += -

    6.2.6.3.18) 0499 '" =-+ yyy Sol. 34

    23

    1)(tt

    ececty-

    +=

    6.2.6.3.19) 025,1'" =++ yyy Sol. )]sen()cos([)( 212 tctcetyt

    += -

    6.2.6.3.20) 025,64 '" =++ yyy Sol. )]23

    sen()23

    cos([)( 212 tc

    tcety t += -

    6.2.6.3.21)

    ===+

    1)0(;0)0(04

    '

    "

    yyyy

    Sol. )2sen(21

    )( tty =

    6.2.6.3.22)

    ===++

    0)0(;1)0(054

    '

    '"

    yyyyy

    Sol. )]sen(2)[cos()( 2 ttety t += -

    6.2.6.3.23)

    ===+-

    2)2(;0)2(052

    '

    '"

    pp yyyyy

    Sol. )2sen()( 2 tety tp--=

    6.2.6.3.24)

    -===+

    4)3(;2)3(0

    '

    "

    pp yyyy

    Sol. )sen()32()cos()321()( ttty --+=

    6.2.6.3.25)

    ===++

    1)0(;3)0(025,1

    '

    '"

    yyyyy

    Sol. )]sen(25

    )cos(3[)( 2 ttetyt

    +=-

    6.2.6.3.26)

    -===++

    2)4(;2)4(022

    '

    '"

    pp yyyyy

    Sol. )sen(2)cos(2)( )4()4( tetety tt -- +=pp

    6.2.6.3.27) 02 '" =+- yyy Sol. ][)( 21 tccetyt +=

    6.2.6.3.28) 069 '" =++ yyy Sol. ][)( 213 tccetyt

    +=-

    6.2.6.3.29) 0344 '" =-- yyy Sol. 23

    22

    1)(tt

    ececty +=-

  • 139

    6.2.6.3.30) 09124 '" =++ yyy Sol. ][)( 2123

    tccetyt

    +=-

    6.2.6.3.31) 0102 '" =+- yyy Sol. )]3sen()3cos([)( 21 tctcety

    t += 6.2.6.3.32) 096 '" =+- yyy Sol. ][)( 21

    3 tccety t +=

    6.2.6.3.33) 04174 '" =++ yyy Sol. tt

    eccety 4214)(-

    -

    +=

    6.2.6.3.34) 092416 '" =++ yyy Sol. ][)( 2143

    tccetyt

    +=-

    6.2.6.3.35) 042025 '" =+- yyy Sol. ][)( 2152

    tccetyt

    +=

    6.2.6.3.36) 022 '" =++ yyy Sol. )]2sen()2cos([)( 212 tctcety

    t+=

    -

    6.2.7 Equaes de 2a Ordem Lineares No Homogneas com Coeficientes Constantes 6.2.7.1 - Mtodo dos Coeficientes Indeterminados

    A forma geral da equao )('" tgqypyy =++ .

    Suponhamos que g(t) seja produto de uma funo exponencial por um polinmio, tendo a forma

    tn etPtg

    a)()( = , (1) onde )(tPn um polinmio de grau n. Alguns casos podem ocorrer: 1. O nmero a no uma raz da equao caracterstica 02 =++ qprr . Ento se torna necessrio encontrar uma soluo particular da forma:

    tn

    nnp eAtAtAty

    a)...()( 110 +++=- = tn etQ

    a)( (2) O trabalho agora se concentra em determinar os coeficientes do polinmio. Esta tarefa consiste em substituir py na equao original, ou seja, deriva-se tantas vezes quanto for a ordem da derivada e iguala-se com o lado direito da E.D.O. lembrando uma regra fundamental: Dois polinmios so iguais se, e somente se, seus coeficientes so iguais termo a termo. 2. O nmero a uma raz simples da equao caracterstica. Para esta situao, a soluo que deve satisfazer a E.D.O.ter a forma: tn

    nnp eAtAtAtty

    a)....()( 110 +++=- = tn etQt

    a)( (3) Novamente, o trabalho concentra-se em derivar a expresso (3) de modo a determinar seus coeficientes, impondo como soluo da E.D.O.. 3. O nmero a uma raz dupla da equao caracterstica. Nesta situao, a soluo que deve satisfazer a E.D.O. ter a forma: tn

    nnp eAtAtAtty

    a)....()( 1102 +++= - = tn etQt

    a)(2 (4) Na tabela abaixo, encontram-se resumidos as solues particulares para o caso no homogneo:

  • 140

    g(t) Raz Soluo Particular ( )(ty p ) t

    nnn eatata a)...( 110 +++

    - a21 rer t

    nnn eAtAtA a)...( 110 +++

    - aa == 21 rour

    tn

    nn eAtAtAt a)...( 110 +++-

    a=r (a raz dupla) tn

    nn eAtAtAt a)...( 1102 +++ -

    Suponhamos agora que g(t) seja da forma ]sen)(cos)([ xxQxxPe x bba + onde P(x) e Q(x) so polinmios. Deve-se encontrar uma soluo para o caso particular onde a forma desta soluo depende da raiz do polinmio caracterstico. O problema que, como temos na funo f(t) que produto de uma exponencial por uma funo trigonomtrica do tipo sen xb ou cos xb , a raiz a ser considerada dever necessariamente ter a forma ba i+ , sendo que a dever ser comparada parte real ou o coeficiente da exponencial e b dever ser comparado com o argumento do ngulo. Por exemplo, se tivermos uma funo, para o caso no homogneo, da forma

    )4cos()( 5 tetg t= e as razes do polinmio caracterstico forem da forma 5 4i, obteremos como soluo particular uma funo da forma:

    ))]4sen()4cos(([)( 5 tBtAetty t += , que ser determinada quando descobrirmos o valor das constantes A e B. Agora considere por exemplo a situao, para o caso no homogneo, onde )3(cos)( ttf = e as razes do polinmio caracterstico so da forma 2 3i. Neste caso, teremos uma soluo, para o caso particular, da forma

    )3sen()3cos()( tBtAty += , onde novamente, basta determinar os valores de A e B. Observao: Se aparecer polinmios multiplicando as funes trigonomtricas, ser necessrio impor na soluo particular, polinmios de mesmo grau que do caso no homogneo, e compar-los a fim de determinar o valor dos coeficientes. Resumindo, para este caso temos os seguintes resultados: g (t)

    Razes --

    + ba i Soluo Particular ( )(ty p )

    ]sen)(cos)([ ttQttPe t bba + baba ii +=+--

    ]sen)(cos)([ ttQttPte t bba--

    +

    baba ii ++--

    ]sen)(cos)([ ttQttPe t bba--

    + 6.2.7.2- Exerccios

    Resolva as equaes abaixo:

    6.2.7.2.1) xyyy =++ 34 '" Sol.: 94

    31)( 321 -++=

    -- xececxy xx

    6.2.7.2.2) xexyy 32" )1(9 +=+ Sol.: xexxxcxcxy 3221 )815

    271

    181

    ()3sen()3cos()( +-++=

    6.2.7.2.3) xexyyy )2(67 '" -=+- Sol.: xxx exxececxy )259

    101

    ()( 621 +-++=

  • 141

    6.2.7.2.4) xeyyy 265 '" =+- Sol.: xxx eececxy ++= 322

    1)(

    6.2.7.2.5) teyyy -=-- 22'" Sol.: ttt teececty -- -+=32

    )( 22

    1

    6.2.7.2.6) 3" xkyy =+ Sol.: xk

    xk

    xKcxKcxy2

    321

    61)sen()cos()( -++=

    6.2.7.2.7) )cos(252 '" xyyy =++

    Sol.: )sen(51

    )cos(52

    )2sen()2cos([)( 21 xxxcxcexyx +++= -

    6.2.7.2.8) )2cos(4" xyy =+ Sol.: )2sen(41

    )2sen()2cos()( 21 xxxcxcxy ++=

    6.2.7.2.9) )cos(3 2" xeyy x=- Sol.: ]sen53

    cos103

    [)( 221 xxeececxyxxx +++= -

    6.2.7.3 - Mtodo da Variao dos Parmetros

    A forma geral da equao )('" tgqypyy =++ .

    Objetivo: Determinar uma soluo particular de uma equao no homognea. Vantagem: um mtodo geral, ou seja, no exige hipteses detalhadas sobre a forma da soluo. Idia Bsica: Substituir os coeficientes da soluo encontrada no caso homogneo por funes

    )(1 tu e )(2 tu de modo que a soluo reescrita, seja soluo da no homognea. Exemplo 6.2.9:

    Considere a E.D.O. )sec(cos34" tyy =+ , (1)

    cuja soluo para o caso homogneo ( 04" =+ yy ), (2)

    tem a forma )2sen()2cos()( 21 tctcty += . (3)

    A idia do mtodo impor como soluo, para o caso particular, uma equao da forma )2sen()()2cos()()( 21 ttuttuty += , (4)

    de modo que esta torne soluo para o caso no homogneo. Derivando (4) uma vez, obtm-se:

    )2sen()()2cos()()2cos()(2)2sen()(2)( '2'121

    ' ttuttuttuttuty +++-= . (5) Imponha que

    0)2sen()()2cos()( '2'1 =+ ttuttu (6)

    De (5), obtemos )2cos()(2)2sen()(2)( 21

    ' ttuttuty +-= (7) Derivando (7), obtemos:

    )2cos()(2)2sen()(2)2sen()(4)2cos()(4)( '2'121

    " ttuttuttuttuty +---= . (8) Introduzindo as equaes (8) e (4) em (1), obtm-se:

    )sec(cos3)2cos()(2)2sen()(2 '2'1 tttuttu =+- (9)

    Neste ponto, queremos escolher u1(t) e u2(t) de modo a satisfazer (6) e (9) simultaneamente. De (6),

  • 142

    )2sen()2cos(

    )()( '1'2 t

    ttutu -= (10)

    Levando (10) em (9), chegamos :

    )cos(32

    )2sen()sec(cos3)('1 t

    tttu -=-= (11)

    Retornando em (10), com )('1 tu , obtm-se para )('2 tu :

    )sen(3)sec(cos23

    )sen(2))(sen21(3

    )2sen()2cos()cos(3

    )(2

    '2 ttt

    tt

    tttu -=

    -== (12)

    Integrando (11) e (12), obtm-se: 11 )sen(3)( cttu +-= (13)

    22 )cos(3|)(cot)sec(cos|ln23

    )( cttgttu ++-= (14)

    Assim,

    )2sen()2cos()2sen()]cos(3|)(cot)sec(cos|ln23

    [)2cos()sen(3)( 21 tctctttgtttty +++-+-= (15)

    A expresso (15) uma soluo geral para a equao (1). Pensando agora no caso geral, consideremos a equao:

    )('" tgqypyy =++ (16) Admitindo que a soluo da equao homognea tem a forma:

    )()()( 2211 tyctyctyh += (17) e levando em conta que o M.V.P. impe como soluo para o caso no homogneo uma soluo do tipo

    )()()()()( 2211 tytutytuty p += , (18)

    devemos determinar )(1 tu e )(2 tu . Derivando (18) em relao a t, obtm-se:

    )()()()()()()()()( '22'112

    '21

    '1

    ' tytutytutytutytuty p +++= . (19)

    Como no exemplo anterior, consideramos nula a soma que envolve os termos )('1 tu e )('2 tu , ou seja,

    0)()()()( 2'21

    '1 =+ tytutytu . (20)

    Derivando a expresso (19), levando em considerao (20), obtm-se:

    )()()()()()()()()( "22"11

    '2

    '2

    '1

    '1

    " tytutytutytutytuty p +++= . (21) Levando em conta as expresses (18), (19) e (21), chegamos : )()()()()()]()()()[()]()()()[( '2

    '2

    '1

    '12

    '2

    "221

    '1

    "11 tgtytutytutqytpytytutqytpytytu =+++++++ (22)

    Cada expresso entre colchetes de (22) nula, pois y1 e y2 so solues da equao homognea. Portanto, a equao (22) se reduz

    )()()()()( '2'2

    '1

    '1 tgtytutytu =+ . (23)

    De modo a determinar as expresses de u1(t) e u2(t), devemos resolver o sistema:

    =+=+

    )()()()()(0)()()()(

    '2

    '2

    '1

    '1

    2'21

    '1

    tgtytutytutytutytu

    . (24)

    Observe que o determinante deste sistema

    ),( 21'2

    '1

    21 yyWyyyy

    = ,

    que o Wronskiano das solues y1 e y2.

  • 143

    Observao: Lembre-se que para que o sistema tenha soluo nica, devemos ter W(y1,y2) 0. Resolvendo este sistema, chegamos facilmente s expresses:

    ),()()(

    21

    2'1 yyW

    tgtyu -= e

    ),()()(

    21

    1'2 yyW

    tgtyu = (25)

    Integrando estas expresses, chegamos :

    -= ),()()(

    )(21

    21 yyW

    tgtytu e = ),(

    )()()(

    21

    12 yyW

    tgtytu (26)

    que substituindo em (18) determinam a soluo para o caso particular de (16). 6.2.7.4- Exerccios

    Resolva as equaes abaixo: 6.2.7.4.1) )(cot" xgyy =+ Sol.: xxgxxcxcxy sen|)(cot)sec(cos|lnsencos)( 21 -++= . 6.2.7.4.2) )(" xtgyy =+ Sol.: xxtgxxcxcxy cos|)()sec(|lnsencos)( 21 +-+= . 6.2.7.4.3) )3(sec99 2" tyy =+ Sol.: )3sen()3cos()3sen(|)3()3sec(|ln1)( 21 tctctttgtty ++++-= 6.2.7.4.4) tetyyy 22'" 44 --=++ Sol.: |]|ln[)( 21

    2 ttccety t -+= -

    6.2.7.4.5) )2

    sec(2"4t

    yy =+

    Sol.: )2

    sen(.4)2

    cos(.|)2

    cos(|ln8)2

    sen()2

    cos()( 21t

    tttt

    ct

    cty +++=

    6.3- Reduo de um Sistema de Equaes uma Equao de Ordem n Um modo fcil de integrar o sistema de n equaes diferenciais

    )(1

    tfxadtdx

    ij

    n

    jij

    i += =

    para i = 1, 2, 3, ..., n. (1)

    consiste em reduzi-lo a uma equao de ordem n. Este mtodo conduz a resoluo do sistema para uma equao diferencial linear de coeficientes constantes. Considere, por exemplo, o sistema de duas equaes abaixo:

    ++=

    ++=

    )2.1( )(

    )1.1( )(

    tgdycxdtdy

    tfbyaxdtdx

    Aqui, a, b, c, d so coeficientes constantes; f(t), g(t) so funes dadas. De (1.1), vemos que

    ))((1

    tfaxdtdx

    by --= (2)

    Introduzindo y na segunda equao do sistema e dtdy

    pela derivada do segundo membro de

    (1), obtemos uma equao diferencial de 2a ordem em x(t):

  • 144

    0)(2

    2

    =+++ tPCxdtdx

    Bdt

    xdA , (3)

    onde A, B, C so constantes.

    Observao: ),,( 21 CCtxx = e, introduzindo em (1) o valor encontrado de x, assim como dtdx

    ,

    encontramos y. Exemplo 6.3.1:

    Resolva o sistema de equaes:

    +=

    +=

    )( 1

    )( 1

    IIxdtdy

    Iydtdx

    .

    De (I), tira-se

    1-=dtdx

    y (III)

    Derivando (III) e substituindo em (II), resulta em uma equao diferencial linear de a2 ordem com coeficientes constantes:

    012

    2

    =-- xdt

    xd, (IV)

    cuja soluo geral tem a forma: 1)( 21 -+=

    - tt eCeCtx , sendo que de (III), obtm-se para y a seguinte expresso:

    1)( 21 --=-tt eCeCty ,

    obtendo assim tanto x(t), quanto y(t). Exemplo 6.3.2:

    Consideremos a E.D.O. linear de segunda ordem: 2''' -=+ xyxy , para x > 0.

    Fazendo a substituio z = y, obtemos a E.D.O. linear de a1 ordem: x.z + z = x 2,

    cuja soluo geral (que utiliza o mtodo do fator integrante) :

    -+=

    -dxe

    xCexz

    dxxdxx12

    1)(1

    ,

    onde um clculo simples nos fornece z (x) = 22

    -+x

    xC

    e portanto,

    ++-== 12

    ln.24

    )()( CxCxx

    dxxzxy .