01 - EDO - ENL - UFAL

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Prof. Eduardo Nobre LagesContatos:Julho de 2014Macei Alagoas Brasilenl@lccv.ufal.br (82) 3214-1293Equaes Diferenciais OrdinriasReferncia:Referncia:Equaes Diferenciais Elementares e Equaes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de ContornoProblemas de Valores de ContornoWilliam E. William E. BoyceBoyce & Richard C. Di Prima& Richard C. Di Prima88aa EdioEdioRio de Janeiro: LTC Rio de Janeiro: LTC 20062006Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinriasReferncia:Referncia:Equaes Diferenciais com Aplicaes Equaes Diferenciais com Aplicaes em Modelagemem ModelagemDennis G. Dennis G. ZillZillSo Paulo: So Paulo: ThomsonThomson 20032003Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinriasReferncia:Referncia:Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais Uma Introduo Uma Introduo a Mtodos Modernos e suas Aplicaesa Mtodos Modernos e suas AplicaesJames R. James R. BrannanBrannan & William E. & William E. BoyceBoyceRio de Janeiro: LTC Rio de Janeiro: LTC 20082008Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinriasReferncia:Referncia:AdvancedAdvanced EngineeringEngineering MathematicsMathematicsErwin Erwin KreyszigKreyszig99thth EditionEditionSingaporeSingapore: : John John WileyWiley & Sons & Sons 20062006Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinriasEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALIntroduo s Equaes Diferenciais Definio: Tratam-se de equaes envolvendo uma funo incgnita e suas derivadas, alm de variveis independentes. Qual a motivao para se estudar equaes diferenciais? Exemplos:0x4)x(y)x(y9 )t,x(uE)t,x(u xx, x a varivel independente y(x) a funo incgnita x e t so as variveis independentes u(x,t) a funo incgnita As equaes diferenciais esto presentes na formulaodiferencial dos modelos representativos dos fenmenosestudados nas cincias fsicas, biolgicas e sociais.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALn Algumas aplicaes das equaes diferenciais:Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes DiferenciaisEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALn Algumas aplicaes das equaes diferenciais (continuao):Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes DiferenciaisEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALn Algumas aplicaes das equaes diferenciais (continuao):Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais22 yayy --=EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALn Algumas aplicaes das equaes diferenciais (continuao):Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes DiferenciaisEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEncontrar uma funo incgnita que satisfaa identicamente a equao diferencial. Quando essa funo a mais geral possvel, associada a constantes de integrao, ela dita soluo geral. Quando a soluo apresentada para alguns valores especficos das constantes de integrao essa dita soluo particular. Certas equaes diferenciais possuem ainda soluo que foge ao formato geral, denominada de soluo singular.n O que desejamos quando encontramos uma equao diferencial?Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes DiferenciaisEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALn Exemplificando os tipos de soluo:)x(y)x(y =xCe)x(y =Soluo geral xxe3)x(ye)x(y-==Solues particularesC=-2C=0C=1C=2C=-1Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes DiferenciaisEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALn Exemplificando os tipos de soluo (continuao):0)x(y)x(yx)x(y 2 =+-2CCx)x(y -=Soluo geral 9x3)x(y1x)x(y-=-=Solues particulares4x)x(y2=Soluo singularSolues particularesSoluo singularIntroduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes DiferenciaisEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALnSer que ns sabemos resolver equaes diferenciais?Simmmm!!!! No curso de Clculo Diferencial e Integral, a cada integral resolvida tinha-se uma equao diferencial solucionada.Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes DiferenciaisEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALn Classificaes: Ordinria (EDO) versus Parcial (EDP) a depender se a equao diferencial apresenta uma ou mais variveis independentes. Linear versus No Linear a depender se os termos envolvendo a funo incgnita e suas derivadas se apresentam na forma linear. Homognea versus No Homognea a depender se o termo que independe da funo incgnita e suas derivadas identicamente nulo.n Exemplos:EDO de 1a ordem, no linear e no homognea0x4)x(y)x(y9 =+EDP de 2a ordem, linear e homognea)t,x(uE)t,x(u xx,r=&&n Ordem de uma equao diferencial: Ordem da mais alta derivada da funo incgnita presente equao diferencial.EDO de 2a ordem, no linear e homognea0)t(sengL)t( =q+q&&Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes DiferenciaisEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Formas de apresentao da equao diferencial: Forma Normal ))x(y,x(f)x(y =n Campo de direes: Forma Diferencial 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+ Baseia-se na apresentao da equao diferencial na forma normal. Geometricamente a forma normal estabelece, em qualquer ponto (x,y), o valor do coeficiente angular (y=dy/dx) da reta tangente soluo da equao diferencial neste ponto. O campo de direes pode ser visualizado pelo desenho de pequenos segmentos de reta num conjunto representativo de pontos no plano xy.Ex: y=x+2xyEx: (1+2y)dx-(1/x)dy=0EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Campo de direes (continuao):y=f(x,y)=x+2xyEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Campo de direes (continuao):y=f(x,y)=x+2xyEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALQual a relao entre Qual a relao entre os campos de os campos de direes e as direes e as solues das solues das equaes equaes diferenciais? diferenciais? EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Campo de direes (continuao):EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Campo de direes (continuao):y=f(x,y)=x+2xycampo de direessoluesEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Problema de Valor Inicial (PVI): Um PVI de uma equao diferencial ordinria de 1 ordem consiste em encontrar uma soluoparae que satisfaz a condio inicial condio inicial onde x0 algum valor de interesse da varivel independente e y0 o correspondente valor desejado da varivel de estado do problema.y(x))f(x,(x)y =y(x)y =00 y)y(x = A condio inicial condio inicial usualmente fixa um valor especfico para a constante de integraoconstante de integrao presente na soluo soluo geralgeral da equao diferencial.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Problema de Valor Inicial (PVI): Um PVI de uma equao diferencial ordinria de 1 ordem est sujeito a trs questionamentosExistncia de soluoUnicidade da soluoIntervalo de validade da soluoTeorema: Se a funo f(x,y(x)) do PVI contnua em um retngulo aberto R onde a< x EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEsse problema no tem soluo uma vez que a derivada de u no definida em um intervalo contendo o tempo inicial t = 1.EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Problema de Valor Inicial (PVI):Inexistncia de soluoConsidere o PVI2)1( ,3 =-= utuuEnto no h uma curva soluo (curva integral) que passa pelo ponto (1;2).EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Problema de Valor Inicial (PVI):No unicidade de soluoConsidere o PVI0)0( ,2 == uuuPode-se verificar que tanto u(t) = 0 como u(t) = t2 so solues desse PVI para t > 0.Mais de uma curva integral passa por esse estado inicial.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Problema de Valor Inicial (PVI):Intervalo de validade da soluoConsidere os dois similares PVI0)0( ,1 2 =-= uuu0)0( ,1 2 =+= uuuO primeiro PVI tem soluo)tanh(11)( 22teetu tt=+-=que existe para qualquer valor de t.O segundo PVI tem soluo)tan()( ttu =que existe apenas no intervalo p/2 < t < p/2.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Mtodos de Soluo: Situao elementar na forma normal)x(f)x(y = Cdx)x(f)x(y += C10x)xsen()x(y5x)xcos()x(y2++-=+-=Exemplo:A soluo representa uma famlia de curvasObs: Esta mesma sequncia pode ser empregada para y(x)=f(y), s que, neste caso, determina-se x em funo de y.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Mtodos de Soluo (continuao):0dxdyy9x4ou 0)x(y)x(y9x4 =+=+Exemplo: C9ydy4xdx09ydy4xdx =+\=+ Cy29x2 22 =+A soluo representa uma famlia de elipses centradas na origem Situao elementar na forma diferencial0dy)y(Ndx)x(M =+ Cdy)y(Ndx)x(M =+ Conhecida como equao diferencial com variveis separveisEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Mtodos de Soluo (continuao): Situao particular na forma normal que pode ser reduzida a uma equao diferencial com variveis separveis=xyf)x(y)x(ux)x(u)x(yx)x(u)x(y +==\Com variveis separveisMudana de varivel:x)x(y)x(u =0du)u(fu1dxx1ou f(u)u(x)(x)xu =-+=+Fazendo a substituio na equao original tem-se queCdu)u(fu1ln(x) =-+ Ao se determinar a soluo implcita da ED, faz-se a substituio de u(x) por y(x)/x, definindo-se a soluo em termos das variveis originais.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemCdu1uu2)xln(u1u21)u(f 2 =++\ -=\ Exemplo: -==+-yxxy21you 0xyyxy2 22( ) ( ) K1uxou C1uln)xln( 22 =+=++\A soluo representa uma famlia de circunfernciasRetornando s variveis originais e arrumando a expresso tem-se queKxyx 22 =+EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Mtodos de Soluo (continuao): Equao diferencial exatax)y,x(Ny)y,x(M=Definio: A equao diferencial dita exata quando as funes M(x,y) e N(x,y) da forma diferencial gozam da propriedadedy)y,x(Ndx)y,x(Mdyy)y,x(udxx)y,x(udu +=+=Quando um equao diferencial exata, ento existe uma funo u(x,y) tal que o seu diferencial total representa o membro esquerdo da equao diferencial, ou seja,y)y,x(Mx)y,x(Nou x)y,x(uyy)y,x(ux == sabido que para as funes suaves a derivada cruzada de segunda ordem independe da sequncia de derivao, ou seja,)y,x(Ny)y,x(u e )y,x(Mx)y,x(u==Condio j garantidaEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem Equao diferencial exata (continuao)Soluo: Partimos de uma das igualdades entre as derivadas parciais da funo u(x,y) e as funes M(x,y) e N(x,y). Substituindo agora esse resultado na segunda igualdade tem-se( ) )y,x(N)y(fdx)y,x(My=+Como du(x,y) tambm igual a zero, tem-se que a funo u(x,y) uma constante, de onde se conclui que a soluo implcita da equao diferencial exata dada por( ) Cdydx)y,x(Mydy)y,x(Ndx)y,x(M =-+ ( )-=\ dx)y,x(My)y,x(Ndy)y(df( ) -= dydx)y,x(Mydy)y,x(N)y(f)y(fdx)y,x(M)y,x(u)y,x(Mx)y,x(u+==Considerando a primeira delas,Cuidado!EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem Equao diferencial exata (continuao)Exemplo: [ ] 0dyy2)y3cos(x3dx)y3(xsen2 2 =++Verificando se a equao diferencial exataexata. ED a )y3cos(x6xNyM Comoy2)y3cos(x3)y,x(N e )y3(xsen2)y,x(M 2==+==( ) ( ) )y3sen(xdyMdxy)y3cos(x3Mdxyy)y3sen(xNdy e )y3sen(xMdx22222=\=+== Desenvolvendo as parcelas temoschegando-se soluo implcita: Cy)y3sen(x 22 =+EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Fator de integrao de uma ED no exata: Motivao - possvel transformar uma ED exata em uma no exata multiplicando-a por uma certa funo.exata. no 0dy2xydx porm , =+exata 0dy2xxydx2=+Exemplo: Idia Encontrar uma certa funo (fator de integrao) que transforme uma ED no exata em um exata.exata. no seja 0dy)y,x(Ndx)y,x(M que Considerar =+)FN(x)FM(yexata seja 0FNdyFMdx | ?)y,x(F=\=+=ProblemaEste problema mais complicado que o original. Troquei uma EDO por uma EDP.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Fator de integrao de uma ED no exata (continuao):Vamos supor que o fator de integrao seja funo apenas de uma das variveis, ou seja, F=F(x) ou F=F(y).EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Fator de integrao de uma ED no exata (continuao):-=+===xNyMN1dxdFF1xNFNdxdFyMF)FN(x)FM(y ento , )x(FF SeF=F(x) s existir se o membro direita for independente da varivel y.Possibilidades: O membro direita independe de y Determinamos o fator de integrao, reescrevemos a ED (agora exata) e solucionamos com o mtodo j apresentado. Caso contrrio Tentamos encontrar um fator de integrao que s dependa da varivel y, ou seja, F=F(y).-=yMxNM1dydFF1F=F(y) s existir se o membro direita for independente da varivel x.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Fator de integrao de uma ED no exata (continuao):Exemplo: ( ) 0xydy2dxy3x4 2 =++exata no ED y2xNy6yMxy2)y,x(N e y3x4)y,x(M 2\===+=Existe algum fator de integrao do tipo F=F(x)?( ) possvel F(x)Fx2y2y6xy21xNyMN1=\=-=-2x)x(F)xln(2)Fln(dxx2dFF1x2dxdFF1==\=\=Trabalhando as etapas posteriores chegamos a seguinte soluo implcita da equao diferencialCyxx 234 =+EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Equao diferencial ordinria linear: Formato )x(q)x(y)x(p)x(y 0 =+ Homognea 0)x(y)x(p)x(y 0 =+Variveis separveis---===-==+=+dx)x(pdx)x(pCdx)x(pC000000Ke)x(yee)x(ye)x(ydx)x(pC)yln(C)yln(dx)x(pCdyy1dx)x(p0dyy1dx)x(p0 =+Soluo:Na forma diferencialEmpregando o procedimento j apresentadoSoluo geralEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem No Homognea )x(q)x(y)x(p)x(y 0 =+No exataSoluo:( ) 0dydx)x(qy)x(p0 =+-Na forma diferencialProcurando um fator de integrao no formato F=F(x)n Equao diferencial ordinria linear (continuao):possvel )x(pxNyMN1dxdFF10 \=-===\= dx)x(p00 0e)x(Fdx)x(p)Fln(dx)x(pdFF1( )( ) ( )Cdx)x(peyyedx)x(qeydx)x(pedx)x(peydydx)y,x(Mydx)x(pedx)y,x(Myyedy)y,x(N e dx)x(qeydx)x(pedx)y,x(M0dyedx)x(qy)x(pe0dx)x(pdx)x(pdx)x(p0dx)x(p0dx)x(p0dx)x(pdx)x(pdx)x(p0dx)x(pdx)x(p0dx)x(p00000000000=-+-=\==-==+- Desenvolvendo o procedimento j apresentadoSoluo geral +=\ -Cdx)x(qee)x(ydx)x(pdx)x(p 00EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Aplicaes das EDOs de primeira ordem:Problema de Dissoluo: Em um reservatrio, armazena-se uma quantidade conhecida de um produto dissolvido em um volume de gua. A partir de um dado instante, este reservatrio passa a ser abastecido por uma tubulao que despeja uma soluo desse produto em uma concentrao de c (M/L3), a uma vazo de q (L3/T). Neste mesmo instante, abre-se um orifcio na parte inferior do reservatrio, permitindo-se um vazo de sada tambm de q (L3/T). Pede-se encontrar o histrico da quantidade do produto em pauta no reservatrio.Vazo = q Concentrao = cVazo = qEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOs 1a OrdemProblema de Dissoluo: (continuao)EDOCondio inicial 0Q)0(Q =tVq0tVqeQ e1cV)t(Q +=Contribuio da concentrao de entradaContribuio da quantidade inicial=V)t(Qcqdt)t(dQ0dQcVQVqdt =+Forma normalForma diferencialSoluoEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALcV/Q0=0,6cV/Q0=0,4cV/Q0=0,2qt/VQ(t)/Q0Dois parmetros de Dois parmetros de influncia do modeloinfluncia do modelotVq tVq 00e e1 QcV QQ(t) --+-=EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemProblema de Dissoluo: (continuao)Soluo normalizadaEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Aplicaes das EDOs de primeira ordem (continuao):Problema de Aquecimento/Resfriamento: A Lei de Newton de aquecimento/resfriamento estabelece que a taxa de variao de temperatura de um corpo proporcional diferena de temperatura do corpo e do meio envolvente. Pede-se encontrar o histrico da temperatura de um corpo quando a temperatura do meio envolvente mantida constante.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemProblema de Aquecimento/Resfriamento: (continuao)EDOCondio inicial 0TT(0) =( )[ ]tTTkdtdT(t)me -=( ) 0dTTTk1dtme=--Forma normalForma diferencialSoluo( ) kt0meme eTTTT(t) ---=Contribuioda temperaturado meio envolventeContribuio da diferena de temperaturaEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALT0/Tme=0,7ktT(t)/T meT0/Tme=0,9T0/Tme=1,1T0/Tme=1,3Dois parmetros de Dois parmetros de influncia do modeloinfluncia do modeloEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemProblema de Aquecimento/Resfriamento: (continuao)Soluo normalizadakt me0meeTT11TT(t) ---=EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Aplicaes das EDOs de primeira ordem (continuao):Trajetrias Ortogonais: Em muitos problemas de engenharia, assim como em outras reas, conhecida uma famlia de curvas, busca-se uma outra famlia de curvas que interceptam perpendicularmente as curvas da famlia inicial. As curvas dessa segunda famlia so denominadas trajetrias ortogonais. No escoamento de fluido, as trajetrias descritas pelas partculas fluidas chamam-se linhas de corrente, e as trajetrias ortogonais so denominadas de linhas equipotenciais. Para um escoamento em torno de um canto ortogonal as linhas de corrente so dadas por xy=c. Encontrar as expresses das linhas equipotenciais, representadas na figura abaixo pela curvas tracejadas.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemTrajetrias Ortogonais: (continuao)Linhas de correntecxy =xyy -=Derivada implcitacampo de direeslinhas de correnteEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemTrajetrias Ortogonais: (continuao)Linhas equipotenciaisyxy =EDOSoluo geralVariveis separveis2xCy +=campo de direeslinhas de correntelinhas equipotenciaisEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemViscoelasticidade: Modelo linear de Kelvin)t()t(E)t()t()t()t( AM eh+e=s\s+s=s &Por equilbrioSolucionando a equao diferencial resultante+hs=e\+hs=ehh-hh-Cdt)t(ee)t(Cdt)t(ee)t(tEtEdtEdtE)t( , )t( eshESoluo geral dependente da funo de carregamentohs=eh+e)t()t(E)t(ou & EDO Linear No Homognean Aplicaes das EDOs de primeira ordem (continuao):EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdems=s )t(No ensaio de flunciaImpondo a condio inicial do problematEtEtEtEtEtEtECeE)t(CeEe)t(Cdtee)t(Cdtee)t(h-hh-hh-hh-+s=e\+hhs=e\+hs=e\+hs=e EC0CE0)0( s-=\=+s\=e -s=e h- tEe1E)t(Soluo geral0 5 10 1500.51t25,0E =h00,1E =h00,4E =h)()t(eese=)t()t(JMdulo de Fluncia do MaterialViscoelasticidade: Modelo linear de Kelvin (continuao)EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem)t()t()t( 10 s=s=sPor equilbrio necessrio prescrever a tenso ou a deformao em funo do tempo)t( , )t( eshE0E)t()t(E)t( e )t(E)t( 111000 eh+e=se=s &Das relaes constitutivas)t()t()t( 10 e+e=eDa equao de compatibilidade+hs+s=eh+e00 EE1)t(E)t()t(E)t(&&s=s )t(No ensaio de fluncia+hs=eh+e0EE1)t(E)t(&0E)0( s=e+ Condio inicial-s+s=e h- tE0e1EE)t(Viscoelasticidade: Modelo do slido linearpadron Aplicaes das EDOs de primeira ordem (continuao):EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdeme=e )t(No ensaio de relaxaoe=s 0E)0(+ Condio inicial+hs+s=eh 00 EE1)t(E)t(E &oueh=sh++sEE)t(EE)t( 00&++e=sh+- tEE0000eEEEEE)t(Viscoelasticidade: Modelo do slido linear padro (continuao)EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Programas comerciais de matemtica simblica: DeriveDerive MathcadMathcad MathematicaMathematica MatlabMatlab MapleMapleResoluo analtica e/ou numricaEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Programas comerciais de matemtica simblica (continuao):MapleEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Programas comerciais de matemtica simblica (continuao):MapleEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Programas comerciais de matemtica simblica (continuao):MapleEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Mtodos aproximados:Motivao: possvel empregar os conhecimentos do Clculo Diferencial para a determinao da soluo particular aproximada do problema de valor inicial (PVI) dado por))x(y,x(f)x(y = 0y)a(y =Mtodos a serem discutidos: Mtodo das aproximaes sucessivas de Mtodo das aproximaes sucessivas de PicardPicard Mtodo de TaylorMtodo de Taylor Mtodo Mtodo Explcito de Explcito de EulerEuler Mtodo do Ponto Mtodo do Ponto MdioMdio Mtodo do Ponto Mdio ModificadoMtodo do Ponto Mdio ModificadoEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Mtodos aproximados (continuao):Mtodo das aproximaes sucessivas de Picard:Da expresso acima cria-se a equao de recorrnciado mtodo na formaIntegrando-se a EDO do PVI e considerando-se a correspondente condio inicial tem-se+=xx00y(t))dtf(t,yy(x)K1,2,3,k com (t))dtyf(t,y(x)yxx1-k0k0=+= podendo-se assumir00 y(t)y =EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemMtodo das aproximaes sucessivas de Picard (continuao):Exemplo:2y(0) com 1y(x)(x)y =-=A soluo analtica da EDO pode ser determinada, por exemplo, considerando-a com variveis separveis, de onde se conclui quexe1y(x) +=Aplicando-se o Mtodo de Picard, tem-sex21dt2(x)yx01 +=+= Considere o PVI dado por( )2xx2dtt12(x)y2x02 ++=++= 6x2xx2dt2tt12(x)y32x023 +++=+++= My(x)(x)y6(x)y3(x)y2(x)y1EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Mtodos aproximados (continuao):Mtodo de Taylor:Do Clculo Diferencial, sabe-se que uma funo y(x) pode ser representada, a partir de um ponto x=a, atravs da seguinte srie polinomial:( ) ( )( ) ( ) K+-+-+-+-+=4)4(32ax!4)a(yax!3)a(y ax!2)a(yax)a(y)a(y)x(y( )=-=0ii)i(ax!i)a(y)x(youA srie em pauta encontrada forando-se que esta possui o mesmo valor da funo y(x) e de suas infinitas derivadas em x=a.Baseia-se na representao da soluo particular da equao diferencial em srie polinomial (srie de Taylor).EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemMtodo de Taylor (continuao):Exemplo:Qual a srie de Taylor da funo y(x)=sen(x) em relao ao ponto x=0?LK-+-+-==-=-==-=====!9x!7x!5x!3xx)x(sen)x(y1)0(y)xcos()x(y0)0(y)x(sen)x(y1)0(y)xcos()x(y0)0(y)x(sen)x(y9753Se a srie for truncada at um nmero finito de termos, passaramos a ter uma representao aproximada para a funo y(x).EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOs 1a OrdemMtodo de Taylor (continuao):Exemplo (continuao):Grau 1Grau 5Grau 3sen(x)EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemMtodo de Taylor (continuao):Como gerar a srie de Taylor da soluo particular do PVI dado por y(x)=f(x,y(x)) com y(a)=y0? 0y)a(y =)y,a(f))a(y,a(f)a(y 0==?)a(y =?)a(y =...EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFAL)x(y EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemMtodo de Taylor (continuao):Como gerar a srie de Taylor da soluo particular do PVI dado por y(x)=f(x,y(x)) com y(a)=y0? (continuao) ?)a(y =))x(y,x(fdxd=( )= )x(yy,x, fff +=dx)x(dyff y,x, +=)y,a(f)y,a(f)y,a(f)a(y 0y,00x, +=\EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFAL)x(y EDOs 1a OrdemMtodo de Taylor (continuao):Como gerar a srie de Taylor da soluo particular do PVI dado por y(x)=f(x,y(x)) com y(a)=y0? (continuao) ?)a(y y,x, fffdxd )x(y 20y,0yy,00xy,00y,0x,0xx,)y,a(f)y,a(f)y,a(f)y,a(f2)y,a(f )y,a(f)y,a(f)y,a(f)a(y 2y,yy,2y,x,xy,xx, ffffffff2f dxdyfffyfffx y,x,y,x, EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemMtodo de Taylor (continuao):Exemplo:1y(0) com )x(y)x(y =-=A soluo analtica da EDO pode ser determinada considerando-a com variveis separveis, de onde se conclui que -xey(x) =De acordo com o Mtodo de Taylor, as derivadas da soluo em x=0 necessrias para a construo da respectiva srie so dadas poretc ,1)0(y)0(y ,1)0(y ,1y(0) =-=-==chegando-se aK+-+-=!3x!2xx1)x(y32Considere o PVI dado porEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemMtodo de Taylor (continuao):Exemplo (continuao):S1(x)S2(x)S3(x)S4(x)S5(x)S6(x)S7(x)y(x)=e-x IntervaloIntervalo versusversus PrecisoPreciso versusversus Termos da srieTermos da srie Termos da srieTermos da srie versusversus Derivadas parciaisDerivadas parciais versusversus TdioTdioEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Mtodos aproximados (continuao):Mtodo Explcito de Euler:Se for empregado intervalos uniformes de passo h, este mtodo resulta na seguinte equao de recorrncia:h)x(y)x(y~)x(y~ nn1n +=+Baseia-se na representao da soluo particular da equao diferencial em srie polinomial truncada (srie de Taylor) at o termo linear, no sendo exigida com isso nenhuma deduo extra, porm o intervalo de interesse subdividido em vrios subintervalos.[ ]h )x(y~,xf)x(y~)x(y~ nnn1n +=+ouEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALetcEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Mtodos aproximados (continuao):Mtodo Explcito de Euler (continuao):xyx0 x1 x2y0y1~y2~ y(x): soluo particularh hSupondo que y(x) seja contnua e |f,y(x,y)| L dentro do domnio de interesse, tendo ainda |y(x)| M, possvel mostrar queonde Dn representa o erro absoluto, ou seja,( )[ ]1eL2hMD Lxxn 0n --( ) ( )nnn xy~xyD -=D2D1EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemMtodo Explcito de Euler (continuao):Exemplo:1y(0) com )x(y)x(y =-=Considere o PVI dado porEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Mtodos aproximados (continuao):Mtodo do Ponto Mdio:2nnn1n2nnn1nh!2)x(yh)x(y)x(y~)x(y~h!2)x(yh)x(y)x(y~)x(y~+-=++=-+Trata-se de um mtodo com grau de preciso mais altoque o Mtodo de Euler.Para deduo da equao de recorrncia, estimam-se os valores da soluo particular em vizinhanas de x=xnatravs da srie de Taylor truncada no termo quadrtico(da apresentar uma melhor preciso). Com isso,Substraindo-se as partes acima, tem-seh)x(y2)x(y~)x(y~ n1n1n =- -+que leva a[ ]h y~,xf2)x(y~)x(y~ nn1n1n += -+Exige um tratamento particular no 1o passoEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemMtodo do Ponto Mdio (continuao):Exemplo:1y(0) com )x(y)x(y =-=Considere o PVI dado porO primeito pontofoi estimado pelo Mtodo de Euler(100 passos)EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Mtodos aproximados (continuao):Mtodo do Ponto Mdio Modificado:22/1n2/1n2/1nn22/1n2/1n2/1n1n2h!2)x(y2h)x(y)x(y~)x(y~2h!2)x(y2h)x(y)x(y~)x(y~+-=++=+++++++Continua sendo um mtodo com grau de preciso mais altoque o Mtodo de Euler pois na deduo da equao de recorrncia estimam-se os valores da soluo particular em vizinhanas de pontos, inclusive um que auxiliar no passo, atravs da srie de Taylor truncada no termo quadrtico, ou seja,Substraindo-se os termos acima, tem-seh)x(y)x(y~)x(y~ 2/1nn1n ++ =-que leva a[ ]h y~,xf)x(y~)x(y~ 2/1n2/1nn1n +++ +=O ponto mdio pode ser estimado pelo Mtodo de Eulerem um passoEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOsEDOs 11aa OrdemOrdemMtodo do Ponto Mdio Modificado (continuao):Exemplo:1y(0) com )x(y)x(y =-=Considere o PVI dado porEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFAL EDOLs 2a Ordem Equao diferencial ordinria linear: homognea nocontrrio casohomognea0)x(q variveisescoeficient comcontrrio caso constantes escoeficient comconstantes funes so )x(p e )x(p 10)x(q)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y 01 Formato geral 0)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y 01 Considerando a homognea Princpio da superposio: se y1(x) e y2(x) so solues da ED, ento qualquer combinao linear dessas funes, dada por c1y1(x)+c2y2(x), tambm soluo. Com coeficientes constantes: estima-se a soluo no formato y(x)=elx, motivado pelo formato da soluo da EDO linear de 1a ordem. ll2p4pp2p4pprazes0211202111 Substituindo-se na ED, chega-se denominada equao caracterstica, dada por 0pp 012 ll Se essas funes forem independentes, essa combinao representa a soluo geral. EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs 2a OrdemEDOL2OH com coeficientes constantes (continuao):Caso 1: razes reais e distintasCaso 2: razes imaginriasx2x121 ececy(x) ll +=Soluo geralx2x121 ececy(x) ll +=Soluo geralReformatao da soluo geralx)bia(2x)bia(1 ececy(x)-+ +=bia e bia 21 -=l+=l+( )dsenidcosee cdic +=+As razes so conjugadas:Identidade de Euler:Novo formato da soluo geral[ ] [ ])bx(isen)bxcos(ec)bx(isen)bxcos(ecy(x) ax2ax1 -++=[ ])bx(isen)cc()bxcos()cc(ey(x) 2121ax -++=[ ])bx(senc)bxcos(ce)x(y 21ax +=EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs 2a OrdemEDOL2OH com coeficientes constantes (continuao):Caso 3: razes reais e iguaisCom as razes 1=2==p1/2, temos que procurar uma outra funo da base de gerao da soluo geral. Assim como quando estudamos espaos vetoriais, a base deve ser formada por entidades linearmente independentes, cujo conceito pode ser facilmente adaptado quando se trata de espao de funes.O procedimento a seguir permitir encontrar uma outra funo da base a partir de uma j conhecida, vlido inclusive para a ED com coeficientes variveis. Em particular, esse ser til para tratar o caso em questo.)x(y)x(u(x)y 12 Admitir para garantir que sejam LI.Como essa nova funo tambm deve satisfazer a ED, fazemos a substituio no intuito de determinar u(x). Portanto, 0uypyuyupyuyu2yu 10111111 0uypypyuypy2uy 101111111 0upyy2u 111 x)x(u Portanto, a soluo geral dada porx2x1 xecec)x(y EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs 2a Ordem0KuuCuM =++ &&&Equao de movimentoEDOL2OHEDOL2OH com coeficientes constantes (continuao):Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livreCKMu,u,u &&&Equao caracterstica 02 2002 =w+lxw+lMC2 e MK onde 0uu2u 020200 =xw=w=w+xw+ &&&( )120 -xx-w=lRazes0uMKuMCuou =++ &&&EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALAmplitude ngulo de faseEDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)Caso 1: Sistema harmnico no amortecido 0=( )120 =Razes 0i=Soluo geral ( ) ( ) ( )tsinCtcosCtu 0201 +=( ) ( )= tcosAtu 0Condies iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === &=+=00020020uvarctan e vuA Soluo do PVI ( ) +=000020020uvarctantcosvutuEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFAL1.00 =0)0(u e 1)0(u == &1.0)0(u e 6.0)0(u == &EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)Caso 1: Sistema harmnico no amortecido (cont.)0=1.0)0(u5.0)0(u==&1.00 =2.00 =EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)( )120 =Razes ( )20 1i =Soluo geral ( ) ( ) ( )[ ]t1sinCt1cosCetu 202201t0 += ( ) ( )= t1cosAetu 20t0Condies iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === &+=++= 0002200200002 uv11arctan e vuvu211A Soluo do PVI ( ) L=tuCaso 2: Sistema subamortecido quando (Movimento harmnico amortecido)10 EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)Caso 2: Sistema subamortecido quando (cont.)10 EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)( )120 =RazesSoluo geral ( ) t12t112020eCeCtu++=Condies iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === &( ) ( )12v1uC e 12v1uC 20020022002001+=++=Soluo do PVI ( ) L=tuCaso 3: Sistema superamortecido quando 1>EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)Caso 3: Sistema superamortecido quando (cont.)1>No h vibrao e sim um retorno lento posio de equilbrio.1.030 ==0)0(u e 1)0(u == &1.0)0(u e 2.0)0(u == &EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)( )120 =Razes 0=Soluo geral ( ) t2t1 00 teCeCtu +=Condies iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === &000201 vuC e uC +==Caso 4: Sistema com amortecimento crtico 1=Soluo do PVI ( ) ( ) t000t0 00 tevueutu ++=EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)Caso 4: Sistema com amortecimento crtico (cont.)1=O amortecimento crtico representa o limite para o movimento no oscilatrio e, consequentemente, o movimento retorna ao repouso no menor prazo, sem qualquer oscilao.1.010 ==0)0(u e 1)0(u == &1.0)0(u e 2.0)0(u == &EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)Uso do MapleEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs 2a Ordem)t(Qk)t(Q)t(Qk)t(Qk)t(Q)t(Qk)t(QTTLLTTLCCTTCCTCEquaes governantes:EDOL2OH com coeficientes constantes (continuao):Exemplo: Reatores qumicos em bateladaHiptese: reaes de 1a ordem e irreversveis0)0(Q0)0(QQ)0(QLTCCondies iniciais:EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs 2a OrdemTcnica de soluo via substituio visando o desacoplamento:Exemplo: Reatores qumicos em batelada (continuao) 0)t(Qkk)t(Qkk)t(Q TTLCTTTLCTT Isolando a quantidade de produto da zona de carga na equao de reao da zona de transio e substituindo na equao de reao da zona de cargatk2tk1TTLCT eCeC)t(Q com soluo geral tktkT TLCT eeC)t(Q Com a condio inicial relacionada ao produto da zona de transiotkCCTeQ)t(Q Retornando com essa soluo na equao isolada inicial e impondo a condio inicial da quantidade de produto da zona de carga tktkTLCTCTTCTTL eekkkQ)t(Q Finalmente retornando com essa soluo de QT na equao de reao da zona de lodo e impondo a correspondente condio inicial TLCTtkCTtkTLTLCTL kkekekkkQ)t(Q TLCT EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs 2a OrdemExemplo: Reatores qumicos em batelada (continuao)t2C e)t(Q t2tT ee2)t(Q 1e2e)t(Q tt2L (M) 1Q (1/T) 1k (1/T) 2k TLCT EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs Ordem Nn Equao diferencial ordinria linear:homognea nocontrrio casohomognea0)x(q variveisescoeficient comcontrrio casoconstantes escoeficient comconstantes funes so )x(p , ,)x(p 1n0-K)x(qy)x(py)x(py)x(py 01)1n(1n)n( =++++ -- L Formato geral Considerando a equao homogneaSoluo geral: a soluo geral da equao homognea tem o formato c1y1(x)+ c2y2(x)+...+cnyn(x), onde as funes yi(x) formam a base da soluo.Com coeficientes constantes: Extrapolao do procedimento que foi feito para a equao diferencial ordinria linear de 2a ordem. Aqui, precisam ser determinadas razes de polinmios de grau N. No tratamento das razes repetidas, passa a ser considerada a funo u(x) no formato x, x2, etc, a depender do nmero de repeties da raiz.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs Ordem N Considerando a equao no homogneaSoluo geral: a soluo geral da equao no homognea tem o formato yh(x)+ yp(x), onde a primeira parcela corresponde soluo da equao homognea e a segunda parcela representa alguma soluo particular da equao no homognea.Soluo particular: Existem dois procedimentos para a determinao da soluo particular. Mtodo dos coeficientes a determinar Pode ser empregado quando a equao diferencial possui coeficientes constantes e a funo q(x) apresenta-se no formato polinomial, exponencial e trigonomtrico. A idia principal do mtodo consiste em admitir a soluo particular como uma expresso similar a da funo q(x), envolvendo coeficientes incgnitos que so determinados ao se tentar satisfazer a equao diferencial.n Equao diferencial ordinria linear (continuao):EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs Ordem NExistem trs regras para a definio da expresso da soluo particular: Mtodo dos coeficientes a determinar (continuao)Regra Bsica Se q(x) uma das funes da coluna esquerda da tabela abaixo, a soluo particular escolhida no formato da coluna direita.q(x) yp(x)keax Ceaxkxm Cmxm+...+C1x+C0Kcos(wt) ou Ksen(wt) Ccos(wt)+Dsen(wt)Regra da Modificao Se q(x) uma soluo da equao homognea, ento multiplique a escolha da regra anterior por x (ou por x2, x3, ..., etc, a depender do nmero de repeties das razes da equao caracterstica).Regra da Soma Se q(x) a soma de funes da coluna esquerda da tabela acima, ento escolha a soluo particular como a soma dos formatos das correspondentes funes da coluna direita.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs Ordem NExemplos: Mtodo dos coeficientes a determinar (continuao)1) 2x8y4y =+1x2)x2sen(B)x2cos(A)x(y2C e 0C ,1CCxCxC)x(y)x2sen(B)x2cos(A)x(y22100122ph-++=\==-=++=+=2) xey2y3y =+-xx2xxpx2xhxeBeAe)x(y1CCxe)x(yBeAe)x(y-+=\-==+=3) xeyy2y x +=+-2xex21BxeAe)x(y1D e 2D ,21CDxDeCx)x(yBxeAe)x(yx2xx1001x2pxxh++++=\===++=+=EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs Ordem NSoluo particular (continuao): Mtodo da variao dos parmetros Trata-se de um mtodo mais geral, onde a soluo particular definida como uma combinao das funes base da soluo da equao homognea na forma)x(y)x(u...)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y nn2211p +++=onde as funes ui(x) so determinadas ao se tentar satisfazer a equao diferencial em estudo.Para ilustrar o processo, vamos considerar uma equao diferencial ordinria linear de 2a ordem qualquer, ou seja,cujas soluo geral da equao homognea escrita na forma)x(q)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y 01 =++)x(yc)x(yc)x(y 2211h +=Conforme estabelece este mtodo, vamos assumir que a soluo da equao particular tem o formato)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y 2211p +=EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs Ordem N Mtodo da variao dos parmetros (continuao)Diferenciando a soluo particular temos que)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y 22221111p +++=Diferenciando mais uma vez essa funo temos que)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y 22221111p +++=Quando impomos a equao diferencial e organizamos as parcelas encontramos que( )( ))x(q)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y)x(u)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y)x(u2211202122101111=+++++++Para balancear o nmero de incgnitas e o nmero de restries, como at o momento s temos como restrio a ED, vamos impor uma outra restrio na formaficando a primeira derivada da soluo particular apenas como0)x(y)x(u)x(y)x(u 2211 =+)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y 2211p +=EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs Ordem N Mtodo da variao dos parmetros (continuao)Arrumando as duas equaes de restrio no formato matricial tem-se= )x(q0)x(u)x(u)x(y)x(y)x(y)x(y212121)x(W)x(q)x(y)x(u e )x(W)x(q)x(y)x(u 1221 =-=cuja soluo nos forneceonde W(x) conhecido como o Wronskiano das funes y1(x) e y2(x), e representa o determinante da matriz dos coeficientes do sistema acima. Uma vez que essas funes so linearmente independentes, sabe-se que o Wronskiano diferente de zero, consequentemente o sistema apresenta a soluo acima.Integrando-se as expresses acima chega-se s funes desejadas =-= dx)x(W)x(q)x(y)x(u e dx)x(W)x(q)x(y)x(u 1221permitindo-se formar a soluo particular.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDOLs Ordem NExemplo: Mtodo da variao dos parmetros (continuao)xey4y4yx2=+x2x2h BxeAe)x(y +=dxW(x)(x)q(x)y(x)u 21 =dxW(x)(x)q(x)y(x)u 12 =[ ]1)xln(xe)x(y x2p =x22x21 xe)x(y e e)x(y onde ==Resolvendo a equao homogneaDeterminando o Wronskiano (Este nome feio mesmo!))x(y)x(y)x(y)x(y)x(W2121=Soluo geral )x(y)x(y)x(y ph +=x=)xln(=Resolvendo a equao particular[ ]1-ln(x)xeBxeAe)x(y 2xx2x2 ++=x4e=NobreRectangleEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDONLs 2 Ordemn Equao diferencial ordinria no linear:( ) 0,,, = yyyxF Formato geral Situaes tratadas analiticamenteMtodo da reduo de ordem: trata equaes diferenciais ordinrias de segunda ordem em que a funo incgnita y(x) ou a varivel independente x no est presente na equao diferencial, ou seja, F(x, y, y) = 0 ou F(y, y, y) = 0.Para essas situaes particulares pode-se empregar uma mudana de varivel na forma u = y, reduzindo-se a ordem da equao diferencial a ser resolvida.Soluo geral: no existem procedimentos analticos que permitem construir a soluo geral de qualquer equao diferencial ordinria no linear, em particular para as equaes de 2 ordem.Esta estratgia de mudana de varivel pode ser aplicada em EDOLHs de 2 ordem com coeficientes variveis (vide equao da difuso de calor em regime estacionrio sem gerao interna em domnios circulares e esfricos).EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDONLs 2 OrdemMtodo da reduo de ordem (continuao)Pela simples substituio de y = u e y = u na equao diferencial original tem-se F(x, u, u) = 0, que de 1 ordem.Caso F(x, y, y) = 0Desde que F(x, u, u) = 0 possa ser resolvida na nova funo incgnita u(x), determina-se a funo incgnita original y(x) por integrao.Exemplo:22 yxy =22)()( xuuxyxu ==221)( DdxCxxy ++-= ( ) 211 arctan)( DxDDxy +-=\\ LCxxu+-=\\ 21)( LEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALEDONLs 2 OrdemMtodo da reduo de ordem (continuao)Utiliza-se a substituio y = u para transformar a equao diferencial em outra em que a nova varivel independente seja y e a nova funo incgnita u.Caso F(y, y, y) = 0Usando a Regra da CadeiaExemplo:2yy =2 e udyduudyduuyuy ===yCedxdy= ( )21ln)( DxDxy +-=\\ LyCeyu =\\ )( Ldyduudxdydydudxduy ===0,, =dyduuuyFescreve-se a nova equao diferencial que precisa ser resolvida na formaEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALSistema de EDOs de 1a Ordemn Soluo numrica com o MATLAB (continuao):Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao foradaCKMu,u &)t(FEquao de movimentoAdaptao do problema funo do MATLABM)t(F)t(u)t(v2)t(v)t(v)t(u200 +w-xw-==&&M)t(F)t(u)t(u2)t(uou )t(F)t(Ku)t(uC)t(uM 200 =w+xw+=++ &&&&&&J comentamos sobre estes parmetrosEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALODE45 Solve non-stiff differential equations, medium order method.[T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0) with TSPAN = [T0 TFINAL] integrates the system of differential equations y' = f(t,y) from time T0 to TFINAL with initial conditions Y0. Function ODEFUN(T,Y) must return a column vector corresponding to f(t,y). Each row in the solution array Y corresponds to a time returned in the column vector T. To obtain solutions at specific times T0,T1,...,TFINAL (all increasing or all decreasing), use TSPAN = [T0 T1 ... TFINAL]. [T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0,OPTIONS) solves as above with default integration properties replaced by values in OPTIONS, an argument created with the ODESET function. See ODESET for details. Commonly used options are scalar relative error tolerance 'RelTol' (1e-3 by default) and vector of absolute error tolerances 'AbsTol' (all components 1e-6 by default).[T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0,OPTIONS,P1,P2...) passes the additional parameters P1,P2,... to the ODE function as ODEFUN(T,Y,P1,P2...), and to all functions specified in OPTIONS. Use OPTIONS = [] as a place holder if no options are set. ODE45 can solve problems M(t,y)*y' = f(t,y) with mass matrix M that is nonsingular. Use ODESET to set the 'Mass' property to a function MASS if MASS(T,Y) returns the value of the mass matrix. If the mass matrix is constant, the matrix can be used as the value of the 'Mass' option. If the mass matrix does not depend on the state variable Y and the function MASS is to be called with one input argument T, set 'MStateDependence' to 'none'. ODE15S and ODE23T can solve problems with singular mass matrices. See also other ODE solvers: ODE23, ODE113, ODE15S, ODE23S, ODE23T, ODE23TBoptions handling: ODESET, ODEGEToutput functions: ODEPLOT, ODEPHAS2, ODEPHAS3, ODEPRINTODE examples: RIGIDODE, BALLODE, ORBITODESistema de EDOs de 1a Ordemn Soluo numrica com o MATLAB:EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFAL0 50 100 150 200 250 300-80-60-40-20020406080Sistema de EDOs de 1a Ordemn Soluo numrica com o MATLAB (continuao):function dydt=mmaforcado(t,y,flag,ksi,w0,fmax_m,wf)% Adaptao funo ODE45 da equao de movimento do sistema % massa-mola-amortecedor submetido a uma fora senoidal. % Os parmetros do sistema so:% ksi = C/M (normalizao do amortecimento do sistema em relao massa)% w0 = K/M (normalizao da rigidez do sistema em relao massa)% A forca aplicada, F(t)=Fmax*sen(wf*t), descrita pelos seguintes parmetros:% fmax_m = Fmax/M (normalizao da forca mxima)% wf (frequncia da forca aplicada)dydt(1,1)=y(2);dydt(2,1)=-2*ksi*w0*y(2)-w0^2*y(1)+fmax_m*sin(wf*t);>>[t,y]=ode45('mmaforcado',[0 300],[0 0],[],0.1,0.1,1,0.2);plot(t,y(:,1))EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALTransformada de Laplacen Transformao integralTransforma uma funo f(t) em outra funo F(s). A funo K(t, s) chamada ncleo da transformao e F(s) chamada transformada de f(t).( ) ( ) ( )K=badttfstsF ,n Transformao integral e as equaes diferenciaisEquao algbrica no domnio dos sEquao diferencial no domnio dos tSoluo no domnio dos tSoluo no domnio dos sTransformao integralTransformao inversaResoluo da equao algbricaEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALA integralser chamada transformada de Laplace de f, desde que a integral convirja.Transformada de Laplacen DefinioSeja f(t) uma funo definida para t 0. ( ) ( )( ) ( )-==0dttfetfsF stLn AvaliaoComo a transformada de Laplace definida por uma integral imprpria, a avaliao deve ser conduzida como( ) ( )( ) ( ) -==AstAdttfetfsF0limLPara simplificar as etapas de avaliao da transformada de Laplace, omite-se o sinal de limite.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFAL-0dte stTransformada de Laplacen Linearidade da transformada de Laplace( ) =1L--=0se st 0 ,1 >= ss-0tdte stn Exemplos( ) =tL --+-=001 dtesste stst 0 ,12 >= ss( )11 Ls=( ) =+ t51L( ) ( )( ) =++ tfctfc nnL11L ( )( ) ( )( )tfctfc nnLL ++L11( ) ( ) =+ tLL 51 251ss+Nos livros didticos que tratam deste assunto normalmente so apresentadas tabelas com a transformada de Laplace para vrias funes elementares.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALTransformada de LaplaceEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALTransformada de LaplaceEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFAL( )- 0dttfe stTransformada de Laplacen A transformada de Laplace das derivadas de f(t)( )( ) = tfL( ) ( )-- +=00dttfestfe stst( ) ( )( )tfsf L+-= 0( )- 0dttfe st( )( ) = tfL( ) ( )-- +=00dttfestfe stst( ) ( )( )tfsf +-= L0( ) ( ) ( )( )tfssff L200 +--=EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFAL( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )tfsfssff nnnn L+----= --- 000 121 L( ) ( ) ( ) ( )( )tfsfsfsf L32 000 +---=( )- 0dttfe stTransformada de Laplacen A transformada de Laplace das derivadas de f(t) (cont.)( )( ) = tfL( ) ( )-- +=00dttfestfe stst( ) ( )( )tfsf +-= L0( )( )-0dttfe nst( )( )( )=tf nLL=EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALAplica-se a transformada de Laplace equao diferencial do PVI chegando-se aTransformada de Laplacen A transformada de Laplace das derivadas de f(t) (cont.)3)0( e 1)0( ,102 -===++ yyyyy( ) ( ) ( ) ( )102 LLLL =++ yyyAplicao:Considere o problema de valor inicial a seguir e encontre a transformada de Laplace da soluo.( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )1100200 2 LLLL =++-++-- yysyyssyy( ) ( ){ } ( )syysyss 10123 2 =++-++- LLL( ) ( )121022+++-=sssssyLA funo y(t) cuja transformada de Laplace a encontrada corresponde soluo do PVI, ou seja, a soluo do PVI a transformada de transformada de LaplaceLaplace inversainversa da funo encontrada.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALtt ee 56761 -+-=++--516711611ss-LTransformada de Laplacen A transformada de Laplace inversaSeja f(t) tal que L (f(t)) = F(s), ento dizemos que f a transformada de Laplace inversa de F e denotamos por( ) ( )( )sFtf -1L=n Exemplosn Linearidade da transformada de Laplace inversa( ) ( )( ) =++ sFcsFc nn- L111L ( )( ) ( )( )sFcsFc n-n- 1111 LL ++L=+ 4321s-L =+ 2212223s-L =+ 2212223s-L ( )t2sin23=-+-54221sss-L++--=51671161 11ss-- LLFraes ParciaisFraes ParciaisEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFAL chegou-se seguinte transformada de Laplace da soluo do PVI Transformada de Laplace Finalizando o PVI com o uso da transformada de Laplace 3)0(1)0(102 y e y ,yyyNa aplicao da transformada de Laplace ao PVI Como j dito, a soluo do PVI a transformada de Laplace inversa da funo acima, ou seja, 1210221sssssty -L 121022sssssyL 211121910sss-L 21111112119110sss---LLLtt tee 12910EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALSolues em Sriesn Srie de potncias( )=-0nn0n xxan Equaes diferenciais lineares com coeficientes variveis0y)x(Rdxdy)x(Qdxyd)x(P 22=++( ) constante. onde 0yxyxyx 222 u=u-++Equao de Bessel:( ) ( ) constante. onde 0y1yx2yx1 2 a=+aa+--Equao de Legendre:Exemplos presentes em muitos problemas em fsica matemtica:0xyy =-Equao de Airy:EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALSolues em Sriesn Ponto Ordinrio e Ponto Singular0)x(P 0 Um ponto x0 chamado de ponto ordinrioponto ordinrio quandocaso contrrio esse chamado de ponto singularponto singular.n Soluo em srie na vizinhana de um ponto ordinrio x0( )=-=0nn0n xxa)x(yAo assumir esse formato para a soluo, o problema agora consiste em se determinar os valores dos coeficientes an.Determinam-se os coeficientes substituindo-se a srie de potncias na equao diferencial em questo, resultando numa equao polinomial cujos coeficientes envolvem os coeficientes da srie de potncias.Ao resolver a equao polinomial, determinam-se os coeficientes da srie de potncias, que so escritos em funo de dois dos coeficientes, posteriormente determinados a partir das condies de contorno do problema tratado.EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALSolues em Sriesn Exemplo0xyy =- (equao de Airy) Como P(x) = 1, todo ponto ordinrio. Escrevendo a soluo em srie de potncias, por exemplo, navizinhana da origem==0nnnxa)x(y=-=1n1nnnxa)x(y=--=2n2nn x)1n(na)x(y=+ ++=0nn2n x)1n)(2n(a)x(youEDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALSolues em Sriesn Exemplo (cont.) Substituindo na equao diferencial tem-se0xaxx)1n)(2n(a0nnn0nn2n =-++ ==+=+=+ =++0n1nn0nn2n xax)1n)(2n(a=-=+ =+++1nn1n1nn2n2 xax)1n)(2n(aa2... 3, 2, 1,n para a)1n)(2n(a e 0a 1n2n2 ==++= -+EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALSolues em Sriesn Exemplo (cont.) Da equao de recorrncia envolvendo os coeficientes dasrie de potncias:32aa 03 =43aa 14 =054aa 25 ==6532a65aa 036 ==7643a76aa 147 ==...n=1 n=2n=3 n=4n=5 087aa 58 ==n=6986532a98aa 069 ==n=7... 3, 2, 1,n para )2n)(1n(aa e 0a 1n2n2 =++== -+EDO Prof. Eduardo Nobre Lages LCCV/CTEC/UFALSolues em Sriesn Exemplo (cont.) Soluo geral da equao de Airy:( )( )( )( ) ++++++++-++++=+LLLLLL1n3n37643x7643x43xxa n31n36532x6532x32x1a)x(y1n3741n3630 Os dois coeficientes restantes a0 e a1 correspondem s constantes de integrao da equao diferencial, determinados a partir das condies de contorno. Geometricamente eles representam, respectivamente, o valor da funo e da derivada na origem. A soluo apresenta comportamento oscilatrio at a origem e exponencial depois dela.