01 - EDO - ENL - UFAL

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    29-Sep-2015

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Slides Professor Eduardo Nobre

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  • Prof. Eduardo Nobre LagesContatos:

    Julho de 2014Macei Alagoas Brasil

    enl@lccv.ufal.br (82) 3214-1293

    Equaes Diferenciais Ordinrias

  • Referncia:Referncia:Equaes Diferenciais Elementares e Equaes Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de ContornoProblemas de Valores de ContornoWilliam E. William E. BoyceBoyce & Richard C. Di Prima& Richard C. Di Prima88aa EdioEdioRio de Janeiro: LTC Rio de Janeiro: LTC 20062006

    Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinrias

  • Referncia:Referncia:Equaes Diferenciais com Aplicaes Equaes Diferenciais com Aplicaes em Modelagemem ModelagemDennis G. Dennis G. ZillZillSo Paulo: So Paulo: ThomsonThomson 20032003

    Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinrias

  • Referncia:Referncia:Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais Uma Introduo Uma Introduo a Mtodos Modernos e suas Aplicaesa Mtodos Modernos e suas AplicaesJames R. James R. BrannanBrannan & William E. & William E. BoyceBoyceRio de Janeiro: LTC Rio de Janeiro: LTC 20082008

    Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinrias

  • Referncia:Referncia:AdvancedAdvanced EngineeringEngineering MathematicsMathematicsErwin Erwin KreyszigKreyszig99thth EditionEditionSingaporeSingapore: : John John WileyWiley & Sons & Sons 20062006

    Equaes Diferenciais Equaes Diferenciais OrdinriasOrdinrias

  • ED

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    Introduo s Equaes Diferenciais Definio: Tratam-se de equaes envolvendo uma funo

    incgnita e suas derivadas, alm de variveis independentes.

    Qual a motivao para se estudar equaes diferenciais?

    Exemplos:

    0x4)x(y)x(y9

    )t,x(uE)t,x(u xx,

    x a varivel independente y(x) a funo incgnita

    x e t so as variveis independentes u(x,t) a funo incgnita

    As equaes diferenciais esto presentes na formulaodiferencial dos modelos representativos dos fenmenosestudados nas cincias fsicas, biolgicas e sociais.

  • EDO

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    n Algumas aplicaes das equaes diferenciais:

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

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    n Algumas aplicaes das equaes diferenciais (continuao):

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

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    n Algumas aplicaes das equaes diferenciais (continuao):

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

    22 yayy --=

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    n Algumas aplicaes das equaes diferenciais (continuao):

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

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    Encontrar uma funo incgnita que satisfaa identicamente a equao diferencial. Quando essa funo a mais geral possvel, associada a constantes de integrao, ela dita soluo geral. Quando a soluo apresentada para alguns valores especficos das constantes de integrao essa dita soluo particular. Certas equaes diferenciais possuem ainda soluo que foge ao formato geral, denominada de soluo singular.

    n O que desejamos quando encontramos uma equao diferencial?

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

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    n Exemplificando os tipos de soluo:)x(y)x(y =

    xCe)x(y =Soluo geral x

    x

    e3)x(ye)x(y-=

    =

    Solues particulares

    C=-2

    C=0

    C=1

    C=2

    C=-1

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

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    n Exemplificando os tipos de soluo (continuao):

    0)x(y)x(yx)x(y 2 =+-

    2CCx)x(y -=Soluo geral 9x3)x(y

    1x)x(y-=

    -=

    Solues particulares4x)x(y

    2

    =

    Soluo singular

    Solues particulares

    Soluo singular

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

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    nSer que ns sabemos resolver equaes diferenciais?

    Simmmm!!!! No curso de Clculo Diferencial e Integral, a cada integral resolvida tinha-se uma

    equao diferencial solucionada.

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

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    n Classificaes: Ordinria (EDO) versus Parcial (EDP) a depender se a

    equao diferencial apresenta uma ou mais variveis independentes.

    Linear versus No Linear a depender se os termos envolvendo a funo incgnita e suas derivadas se apresentam na forma linear.

    Homognea versus No Homognea a depender se o termo que independe da funo incgnita e suas derivadas identicamente nulo.

    n Exemplos:EDO de 1a ordem, no linear e no homognea0x4)x(y)x(y9 =+

    EDP de 2a ordem, linear e homognea)t,x(uE)t,x(u xx,r=&&

    n Ordem de uma equao diferencial: Ordem da mais alta derivada da funo incgnita presente equao diferencial.

    EDO de 2a ordem, no linear e homognea0)t(sengL)t( =q+q&&

    Introduo s Equaes DiferenciaisIntroduo s Equaes Diferenciais

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Formas de apresentao da equao diferencial:

    Forma Normal ))x(y,x(f)x(y =

    n Campo de direes:

    Forma Diferencial 0dy)y,x(Ndx)y,x(M =+

    Baseia-se na apresentao da equao diferencial na forma normal.

    Geometricamente a forma normal estabelece, em qualquer ponto (x,y), o valor do coeficiente angular (y=dy/dx) da reta tangente soluo da equao diferencial neste ponto.

    O campo de direes pode ser visualizado pelo desenho de pequenos segmentos de reta num conjunto representativo de pontos no plano xy.

    Ex: y=x+2xy

    Ex: (1+2y)dx-(1/x)dy=0

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Campo de direes (continuao):

    y=f(x,y)=x+2xy

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Campo de direes (continuao):

    y=f(x,y)=x+2xy

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    Qual a relao entre Qual a relao entre os campos de os campos de direes e as direes e as solues das solues das

    equaes equaes diferenciais? diferenciais?

    EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Campo de direes (continuao):

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    n Campo de direes (continuao):

    y=f(x,y)=x+2xy

    campo de direessolues

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Problema de Valor Inicial (PVI): Um PVI de uma equao diferencial ordinria de 1 ordem

    consiste em encontrar uma soluo

    para

    e que satisfaz a condio inicial condio inicial

    onde x0 algum valor de interesse da varivel independente e y0 o correspondente valor desejado da varivel de estado do problema.

    y(x))f(x,(x)y =

    y(x)y =

    00 y)y(x =

    A condio inicial condio inicial usualmente fixa um valor especfico para a constante de integraoconstante de integrao presente na soluo soluo geralgeral da equao diferencial.

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    n Problema de Valor Inicial (PVI): Um PVI de uma equao diferencial ordinria de 1 ordem

    est sujeito a trs questionamentos

    Existncia de soluo

    Unicidade da soluo

    Intervalo de validade da soluo

    Teorema: Se a funo f(x,y(x)) do PVI contnua em um retngulo aberto R onde a< x

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    Esse problema no tem soluo uma vez que a derivada de u no definida em um intervalo contendo o tempo inicial t = 1.

    EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Problema de Valor Inicial (PVI):

    Inexistncia de soluoConsidere o PVI

    2)1( ,3 =-= utuu

    Ento no h uma curva soluo (curva integral) que passa pelo ponto (1;2).

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Problema de Valor Inicial (PVI):

    No unicidade de soluoConsidere o PVI

    0)0( ,2 == uuu

    Pode-se verificar que tanto u(t) = 0 como u(t) = t2 so solues desse PVI para t > 0.

    Mais de uma curva integral passa por esse estado inicial.

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    n Problema de Valor Inicial (PVI):

    Intervalo de validade da soluoConsidere os dois similares PVI

    0)0( ,1 2 =-= uuu

    0)0( ,1 2 =+= uuu

    O primeiro PVI tem soluo

    )tanh(11)( 2

    2

    teetu t

    t

    =+-

    =

    que existe para qualquer valor de t.

    O segundo PVI tem soluo)tan()( ttu =

    que existe apenas no intervalo p/2 < t < p/2.

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    n Mtodos de Soluo: Situao elementar na forma normal

    )x(f)x(y = Cdx)x(f)x(y += C

    10x)xsen()x(y

    5x)xcos()x(y

    2

    ++-=+-=Exemplo:

    A soluo representa uma famlia de curvas

    Obs: Esta mesma sequncia pode ser empregada para y(x)=f(y), s que, neste caso, determina-se x em funo de y.

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    n Mtodos de Soluo (continuao):

    0dxdyy9x4ou 0)x(y)x(y9x4 =+=+Exemplo:

    C9ydy4xdx09ydy4xdx =+\=+ Cy

    29x2 22 =+

    A soluo representa uma famlia de elipses centradas na origem

    Situao elementar na forma diferencial0dy)y(Ndx)x(M =+ Cdy)y(Ndx)x(M =+

    Conhecida como equao diferencial com variveis separveis

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Mtodos de Soluo (continuao): Situao particular na forma normal que pode ser reduzida

    a uma equao diferencial com variveis separveis

    =

    xyf)x(y

    )x(ux)x(u)x(yx)x(u)x(y +==\

    Com variveis separveis

    Mudana de varivel:x

    )x(y)x(u =

    0du)u(fu

    1dxx1ou f(u)u(x)(x)xu =

    -+=+

    Fazendo a substituio na equao original tem-se que

    Cdu)u(fu

    1ln(x) =-

    + Ao se determinar a soluo implcita da ED, faz-se a substituio de u(x) por y(x)/x, definindo-se

    a soluo em termos das variveis originais.

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    Cdu1u

    u2)xln(u1u

    21)u(f 2 =+

    +\

    -=\

    Exemplo:

    -==+-

    yx

    xy

    21you 0xyyxy2 22

    ( ) ( ) K1uxou C1uln)xln( 22 =+=++\

    A soluo representa uma famlia de circunferncias

    Retornando s variveis originais e arrumando a expresso tem-se que

    Kxyx 22 =+

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    n Mtodos de Soluo (continuao): Equao diferencial exata

    x)y,x(N

    y)y,x(M

    =

    Definio: A equao diferencial dita exata quando as funes M(x,y) e N(x,y) da forma diferencial gozam da propriedade

    dy)y,x(Ndx)y,x(Mdyy

    )y,x(udxx

    )y,x(udu +=

    +

    =

    Quando um equao diferencial exata, ento existe uma funo u(x,y) tal que o seu diferencial total representa o membro esquerdo da equao diferencial, ou seja,

    y)y,x(M

    x)y,x(Nou

    x)y,x(u

    yy)y,x(u

    x

    =

    =

    sabido que para as funes suaves a derivada cruzada de segunda ordem independe da sequncia de derivao, ou seja,

    )y,x(Ny

    )y,x(u e )y,x(Mx

    )y,x(u=

    =

    Condio j garantida

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    Equao diferencial exata (continuao)Soluo: Partimos de uma das igualdades entre as derivadas parciais da funo u(x,y) e as funes M(x,y) e N(x,y).

    Substituindo agora esse resultado na segunda igualdade tem-se

    ( ) )y,x(N)y(fdx)y,x(My

    =+

    Como du(x,y) tambm igual a zero, tem-se que a funo u(x,y) uma constante, de onde se conclui que a soluo implcita da equao diferencial exata dada por

    ( ) Cdydx)y,x(My

    dy)y,x(Ndx)y,x(M =

    -+

    ( )

    -=\ dx)y,x(My

    )y,x(Ndy

    )y(df

    ( )

    -= dydx)y,x(My

    dy)y,x(N)y(f

    )y(fdx)y,x(M)y,x(u)y,x(Mx

    )y,x(u+==

    Considerando a primeira delas,

    Cuidado!

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    Equao diferencial exata (continuao)Exemplo: [ ] 0dyy2)y3cos(x3dx)y3(xsen2 2 =++Verificando se a equao diferencial exata

    exata. ED a )y3cos(x6xN

    yM Como

    y2)y3cos(x3)y,x(N e )y3(xsen2)y,x(M 2

    =

    =

    +==

    ( ) ( ) )y3sen(xdyMdxy

    )y3cos(x3Mdxy

    y)y3sen(xNdy e )y3sen(xMdx

    22

    222

    =

    \=

    +==

    Desenvolvendo as parcelas temos

    chegando-se soluo implcita: Cy)y3sen(x 22 =+

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Fator de integrao de uma ED no exata: Motivao - possvel transformar uma ED exata em uma

    no exata multiplicando-a por uma certa funo.

    exata. no 0dy2xydx porm , =+exata 0dy

    2xxydx

    2

    =+Exemplo:

    Idia Encontrar uma certa funo (fator de integrao) que transforme uma ED no exata em um exata.

    exata. no seja 0dy)y,x(Ndx)y,x(M que Considerar =+

    )FN(x

    )FM(y

    exata seja 0FNdyFMdx | ?)y,x(F

    =

    \=+=

    Problema

    Este problema mais complicado que o original.

    Troquei uma EDO por uma EDP.

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Fator de integrao de uma ED no exata (continuao):

    Vamos supor que o fator de integrao seja funo apenas de uma das variveis, ou seja, F=F(x) ou F=F(y).

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Fator de integrao de uma ED no exata (continuao):

    -

    =

    +=

    =

    =

    xN

    yM

    N1

    dxdF

    F1

    xNFN

    dxdF

    yMF)FN(

    x)FM(

    y ento , )x(FF Se

    F=F(x) s existir se o membro direita for independente da varivel y.

    Possibilidades: O membro direita independe de y Determinamos o fator de integrao, reescrevemos a ED (agora exata) e solucionamos com o mtodo j apresentado. Caso contrrio Tentamos encontrar um fator de integrao que s dependa da varivel y, ou seja, F=F(y).

    -

    =yM

    xN

    M1

    dydF

    F1

    F=F(y) s existir se o membro direita for independente da varivel x.

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    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Fator de integrao de uma ED no exata (continuao):Exemplo: ( ) 0xydy2dxy3x4 2 =++

    exata no ED y2xNy6

    yM

    xy2)y,x(N e y3x4)y,x(M 2

    \=

    =

    =+=

    Existe algum fator de integrao do tipo F=F(x)?

    ( ) possvel F(x)Fx2y2y6

    xy21

    xN

    yM

    N1

    =\=-=

    -

    2x)x(F)xln(2)Fln(dxx2dF

    F1

    x2

    dxdF

    F1

    ==\=\=

    Trabalhando as etapas posteriores chegamos a seguinte soluo implcita da equao diferencial

    Cyxx 234 =+

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Equao diferencial ordinria linear: Formato )x(q)x(y)x(p)x(y 0 =+

    Homognea 0)x(y)x(p)x(y 0 =+Variveis

    separveis

    -

    -

    -

    =

    =

    =

    -=

    =+

    =+

    dx)x(p

    dx)x(pC

    dx)x(pC

    0

    0

    0

    0

    0

    0

    Ke)x(yee)x(y

    e)x(y

    dx)x(pC)yln(

    C)yln(dx)x(p

    Cdyy1dx)x(p

    0dyy1dx)x(p0 =+

    Soluo:Na forma diferencial

    Empregando o procedimento j apresentado

    Soluo geral

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    No Homognea )x(q)x(y)x(p)x(y 0 =+No

    exataSoluo:

    ( ) 0dydx)x(qy)x(p0 =+-Na forma diferencialProcurando um fator de integrao no formato F=F(x)

    n Equao diferencial ordinria linear (continuao):

    possvel )x(pxN

    yM

    N1

    dxdF

    F1

    0 \=

    -

    =

    ==\= dx)x(p00 0e)x(Fdx)x(p)Fln(dx)x(pdFF1

    ( )

    ( ) ( )

    Cdx)x(peyyedx)x(qeydx)x(pe

    dx)x(peydydx)y,x(My

    dx)x(pedx)y,x(My

    yedy)y,x(N e dx)x(qeydx)x(pedx)y,x(M

    0dyedx)x(qy)x(pe

    0dx)x(pdx)x(pdx)x(p

    0dx)x(p

    0dx)x(p

    0dx)x(p

    dx)x(pdx)x(p0

    dx)x(p

    dx)x(p0

    dx)x(p

    0000

    00

    000

    00

    =-+-

    =

    \=

    =-=

    =+-

    Desenvolvendo o procedimento j apresentado

    Soluo geral

    +=\

    -Cdx)x(qee)x(y

    dx)x(pdx)x(p 00

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Aplicaes das EDOs de primeira ordem:Problema de Dissoluo: Em um reservatrio, armazena-se uma quantidade conhecida de um produto dissolvido em um volume de gua. A partir de um dado instante, este reservatrio passa a ser abastecido por uma tubulao que despeja uma soluo desse produto em uma concentrao de c (M/L3), a uma vazo de q (L3/T). Neste mesmo instante, abre-se um orifcio na parte inferior do reservatrio, permitindo-se um vazo de sada tambm de q (L3/T). Pede-se encontrar o histrico da quantidade do produto em pauta no reservatrio.

    Vazo = q Concentrao = c

    Vazo = q

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    EDOs 1a Ordem

    Problema de Dissoluo: (continuao)

    EDO

    Condio inicial 0Q)0(Q =

    tVq

    0

    tVq

    eQ e1cV)t(Q +

    =

    Contribuio da concentrao de entrada

    Contribuio da quantidade inicial

    =

    V)t(Q

    cqdt

    )t(dQ

    0dQcVQ

    Vqdt =

    +

    Forma normal

    Forma diferencial

    Soluo

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    L

    cV/Q0=0,6

    cV/Q0=0,4

    cV/Q0=0,2

    qt/V

    Q(t)

    /Q0

    Dois parmetros de Dois parmetros de influncia do modeloinfluncia do modelo

    tVq t

    Vq

    00

    e e1 QcV

    QQ(t) --

    +

    -=

    EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemProblema de Dissoluo: (continuao)

    Soluo normalizada

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Aplicaes das EDOs de primeira ordem (continuao):Problema de Aquecimento/Resfriamento: A Lei de Newton de aquecimento/resfriamento estabelece que a taxa de variao de temperatura de um corpo proporcional diferena de temperatura do corpo e do meio envolvente. Pede-se encontrar o histrico da temperatura de um corpo quando a temperatura do meio envolvente mantida constante.

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    Problema de Aquecimento/Resfriamento: (continuao)

    EDO

    Condio inicial 0TT(0) =

    ( )[ ]tTTkdt

    dT(t)me -=

    ( ) 0dTTTk1dt

    me

    =-

    -

    Forma normal

    Forma diferencial

    Soluo

    ( ) kt0meme eTTTT(t) ---=

    Contribuioda temperatura

    do meio envolvente

    Contribuio da diferena de temperatura

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    L

    T0/Tme=0,7

    kt

    T(t)/

    T me

    T0/Tme=0,9

    T0/Tme=1,1

    T0/Tme=1,3

    Dois parmetros de Dois parmetros de influncia do modeloinfluncia do modelo

    EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemProblema de Aquecimento/Resfriamento: (continuao)

    Soluo normalizada

    kt

    me

    0

    me

    eTT11

    TT(t) -

    --=

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Aplicaes das EDOs de primeira ordem (continuao):Trajetrias Ortogonais: Em muitos problemas de engenharia, assim como em outras reas, conhecida uma famlia de curvas, busca-se uma outra famlia de curvas que interceptam perpendicularmente as curvas da famlia inicial. As curvas dessa segunda famlia so denominadas trajetrias ortogonais. No escoamento de fluido, as trajetrias descritas pelas partculas fluidas chamam-se linhas de corrente, e as trajetrias ortogonais so denominadas de linhas equipotenciais. Para um escoamento em torno de um canto ortogonal as linhas de corrente so dadas por xy=c. Encontrar as expresses das linhas equipotenciais, representadas na figura abaixo pela curvas tracejadas.

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    Trajetrias Ortogonais: (continuao)

    Linhas de corrente

    cxy =xyy -=

    Derivada implcita

    campo de direeslinhas de corrente

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    Trajetrias Ortogonais: (continuao)

    Linhas equipotenciais

    yxy =EDO

    Soluo geral

    Variveis separveis

    2xCy +=

    campo de direeslinhas de correntelinhas equipotenciais

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    Viscoelasticidade: Modelo linear de Kelvin

    )t()t(E)t()t()t()t( AM eh+e=s\s+s=s &Por equilbrio

    Solucionando a equao diferencial resultante

    +

    hs

    =e\

    +

    hs

    =e

    hh-

    hh-

    Cdt)t(ee)t(

    Cdt)t(ee)t(

    tEtE

    dtEdtE

    )t( , )t( es

    h

    E

    Soluo geral dependente da funo

    de carregamento

    hs

    =eh

    +e)t()t(E)t(ou & EDO Linear No

    Homognea

    n Aplicaes das EDOs de primeira ordem (continuao):

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    s=s )t(No ensaio de fluncia

    Impondo a condio inicial do problema

    tEtEtE

    tEtEtEtE

    CeE

    )t(CeE

    e)t(

    Cdtee)t(Cdtee)t(

    h-

    hh-

    hh-

    hh-

    +s

    =e\

    +

    hhs

    =e\

    +

    hs

    =e\

    +

    hs

    =e

    EC0C

    E0)0( s-=\=+s\=e

    -

    s=e h

    - tE

    e1E

    )t(

    Soluo geral

    0 5 10 150

    0.5

    1

    t

    25,0E =h

    00,1E =h

    00,4E =h

    )()t(

    ee

    se

    =)t()t(J

    Mdulo de Fluncia do Material

    Viscoelasticidade: Modelo linear de Kelvin (continuao)

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    )t()t()t( 10 s=s=sPor equilbrio

    necessrio prescrever a tenso ou a deformao em

    funo do tempo

    )t( , )t( es

    h

    E

    0E

    )t()t(E)t( e )t(E)t( 111000 eh+e=se=s &Das relaes constitutivas)t()t()t( 10 e+e=eDa equao de compatibilidade

    +

    hs

    +s

    =eh

    +e00 E

    E1)t(E

    )t()t(E)t(&

    &

    s=s )t(No ensaio de fluncia

    +

    hs

    =eh

    +e0E

    E1)t(E)t(&0E

    )0( s=e+ Condio inicial

    -

    s+

    s=e h

    - tE

    0

    e1EE

    )t(

    Viscoelasticidade: Modelo do slido linearpadro

    n Aplicaes das EDOs de primeira ordem (continuao):

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    e=e )t(No ensaio de relaxao

    e=s 0E)0(+

    Condio inicial

    +

    hs

    +s

    =eh 00 E

    E1)t(E

    )t(E &

    ou

    eh

    =sh+

    +sEE)t(EE)t( 00&

    +

    +e

    =s

    h+

    - tEE

    00

    00

    eEEEE

    E)t(

    Viscoelasticidade: Modelo do slido linear padro (continuao)

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Programas comerciais de matemtica simblica:

    DeriveDerive

    MathcadMathcad

    MathematicaMathematica

    MatlabMatlab

    MapleMaple

    Resoluo analtica e/ou numrica

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Programas comerciais de matemtica simblica (continuao):

    Maple

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Programas comerciais de matemtica simblica (continuao):Maple

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Programas comerciais de matemtica simblica (continuao):Maple

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Mtodos aproximados:Motivao: possvel empregar os conhecimentos do Clculo Diferencial para a determinao da soluo particular aproximada do problema de valor inicial (PVI) dado por

    ))x(y,x(f)x(y = 0y)a(y =

    Mtodos a serem discutidos:

    Mtodo das aproximaes sucessivas de Mtodo das aproximaes sucessivas de PicardPicard Mtodo de TaylorMtodo de Taylor Mtodo Mtodo Explcito de Explcito de EulerEuler Mtodo do Ponto Mtodo do Ponto MdioMdio Mtodo do Ponto Mdio ModificadoMtodo do Ponto Mdio Modificado

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Mtodos aproximados (continuao):Mtodo das aproximaes sucessivas de Picard:

    Da expresso acima cria-se a equao de recorrnciado mtodo na forma

    Integrando-se a EDO do PVI e considerando-se a correspondente condio inicial tem-se

    +=x

    x0

    0

    y(t))dtf(t,yy(x)

    K1,2,3,k com (t))dtyf(t,y(x)yx

    x1-k0k

    0

    =+=

    podendo-se assumir

    00 y(t)y =

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    Mtodo das aproximaes sucessivas de Picard (continuao):Exemplo:

    2y(0) com 1y(x)(x)y =-=

    A soluo analtica da EDO pode ser determinada, por exemplo, considerando-a com variveis separveis, de onde se conclui que

    xe1y(x) +=

    Aplicando-se o Mtodo de Picard, tem-sex21dt2(x)y

    x

    01 +=+=

    Considere o PVI dado por

    ( )2xx2dtt12(x)y

    2x

    02 ++=++=

    6x

    2xx2dt

    2tt12(x)y

    32x

    0

    2

    3 +++=

    +++=

    M

    y(x)(x)y6

    (x)y3(x)y2(x)y1

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Mtodos aproximados (continuao):Mtodo de Taylor:

    Do Clculo Diferencial, sabe-se que uma funo y(x) pode ser representada, a partir de um ponto x=a, atravs da seguinte srie polinomial:

    ( ) ( )

    ( ) ( ) K+-+-

    +-

    +-+=

    4)4(

    3

    2

    ax!4

    )a(yax!3

    )a(y

    ax!2

    )a(yax)a(y)a(y)x(y

    ( )

    =

    -=0i

    i)i(

    ax!i

    )a(y)x(y

    ou

    A srie em pauta encontrada forando-se que esta possui o mesmo valor da funo y(x) e de suas infinitas derivadas em x=a.

    Baseia-se na representao da soluo particular da equao diferencial em srie polinomial (srie de Taylor).

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    Mtodo de Taylor (continuao):Exemplo:

    Qual a srie de Taylor da funo y(x)=sen(x) em relao ao ponto x=0?

    L

    K

    -+-+-==

    -=-==-=

    ====

    !9x

    !7x

    !5x

    !3xx)x(sen)x(y

    1)0(y)xcos()x(y0)0(y)x(sen)x(y

    1)0(y)xcos()x(y0)0(y)x(sen)x(y

    9753

    Se a srie for truncada at um nmero finito de termos, passaramos a ter uma representao aproximada para a funo y(x).

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    EDOs 1a OrdemMtodo de Taylor (continuao):

    Exemplo (continuao):

    Grau 1

    Grau 5

    Grau 3

    sen(x)

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    Mtodo de Taylor (continuao):Como gerar a srie de Taylor da soluo particular do PVI dado por y(x)=f(x,y(x)) com y(a)=y0?

    0y)a(y =

    )y,a(f))a(y,a(f)a(y 0==

    ?)a(y =

    ?)a(y =

    ...

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    L

    )x(y

    EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemMtodo de Taylor (continuao):

    Como gerar a srie de Taylor da soluo particular do PVI dado por y(x)=f(x,y(x)) com y(a)=y0? (continuao)

    ?)a(y =

    ))x(y,x(fdxd

    =( )= )x(y

    y,x, fff +=dx)x(dyff

    y,x, +

    =

    )y,a(f)y,a(f)y,a(f)a(y 0y,00x, +=\

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    )x(y

    EDOs 1a OrdemMtodo de Taylor (continuao):

    Como gerar a srie de Taylor da soluo particular do PVI dado por y(x)=f(x,y(x)) com y(a)=y0? (continuao)

    ?)a(y y,x, fffdxd )x(y

    20y,0yy,00xy,00y,0x,0xx,

    )y,a(f)y,a(f)y,a(f)y,a(f2)y,a(f

    )y,a(f)y,a(f)y,a(f)a(y

    2y,yy,

    2y,x,xy,xx, ffffffff2f

    dxdyfff

    yfff

    x

    y,x,y,x,

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    Mtodo de Taylor (continuao):Exemplo:

    1y(0) com )x(y)x(y =-=

    A soluo analtica da EDO pode ser determinada considerando-a com variveis separveis, de onde se conclui que -xey(x) =

    De acordo com o Mtodo de Taylor, as derivadas da soluo em x=0 necessrias para a construo da respectiva srie so dadas por

    etc ,1)0(y)0(y ,1)0(y ,1y(0) =-=-==chegando-se a

    K+-+-=!3

    x!2

    xx1)x(y32

    Considere o PVI dado por

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    Mtodo de Taylor (continuao):Exemplo (continuao):

    S1(x)

    S2(x)

    S3(x)

    S4(x)

    S5(x)

    S6(x)

    S7(x)

    y(x)=e-x

    IntervaloIntervalo versusversus PrecisoPreciso versusversus Termos da srieTermos da srie Termos da srieTermos da srie versusversus Derivadas parciaisDerivadas parciais versusversus TdioTdio

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Mtodos aproximados (continuao):Mtodo Explcito de Euler:

    Se for empregado intervalos uniformes de passo h, este mtodo resulta na seguinte equao de recorrncia:

    h)x(y)x(y~)x(y~ nn1n +=+

    Baseia-se na representao da soluo particular da equao diferencial em srie polinomial truncada (srie de Taylor) at o termo linear, no sendo exigida com isso nenhuma deduo extra, porm o intervalo de interesse subdividido em vrios subintervalos.

    [ ]h )x(y~,xf)x(y~)x(y~ nnn1n +=+ou

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    L

    etc

    EDOsEDOs 11aa OrdemOrdemn Mtodos aproximados (continuao):

    Mtodo Explcito de Euler (continuao):

    x

    y

    x0 x1 x2

    y0

    y1~y2~ y(x): soluo particular

    h h

    Supondo que y(x) seja contnua e |f,y(x,y)| L dentro do domnio de interesse, tendo ainda |y(x)| M, possvel mostrar que

    onde Dn representa o erro absoluto, ou seja,

    ( )[ ]1eL2

    hMD Lxxn 0n --

    ( ) ( )nnn xy~xyD -=

    D2

    D1

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    Mtodo Explcito de Euler (continuao):Exemplo:

    1y(0) com )x(y)x(y =-=Considere o PVI dado por

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Mtodos aproximados (continuao):Mtodo do Ponto Mdio:

    2nnn1n

    2nnn1n

    h!2

    )x(yh)x(y)x(y~)x(y~

    h!2

    )x(yh)x(y)x(y~)x(y~

    +-=

    ++=

    -

    +

    Trata-se de um mtodo com grau de preciso mais altoque o Mtodo de Euler.Para deduo da equao de recorrncia, estimam-se os valores da soluo particular em vizinhanas de x=xnatravs da srie de Taylor truncada no termo quadrtico(da apresentar uma melhor preciso). Com isso,

    Substraindo-se as partes acima, tem-seh)x(y2)x(y~)x(y~ n1n1n =- -+

    que leva a[ ]h y~,xf2)x(y~)x(y~ nn1n1n += -+

    Exige um tratamento particular no 1o passo

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    Mtodo do Ponto Mdio (continuao):Exemplo:

    1y(0) com )x(y)x(y =-=Considere o PVI dado por

    O primeito pontofoi estimado pelo Mtodo de Euler

    (100 passos)

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    n Mtodos aproximados (continuao):Mtodo do Ponto Mdio Modificado:

    22/1n

    2/1n2/1nn

    22/1n

    2/1n2/1n1n

    2h

    !2)x(y

    2h)x(y)x(y~)x(y~

    2h

    !2)x(y

    2h)x(y)x(y~)x(y~

    +-=

    ++=

    +++

    ++++

    Continua sendo um mtodo com grau de preciso mais altoque o Mtodo de Euler pois na deduo da equao de recorrncia estimam-se os valores da soluo particular em vizinhanas de pontos, inclusive um que auxiliar no passo, atravs da srie de Taylor truncada no termo quadrtico, ou seja,

    Substraindo-se os termos acima, tem-seh)x(y)x(y~)x(y~ 2/1nn1n ++ =-

    que leva a[ ]h y~,xf)x(y~)x(y~ 2/1n2/1nn1n +++ +=

    O ponto mdio pode ser

    estimado pelo Mtodo de Euler

    em um passo

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOsEDOs 11aa OrdemOrdem

    Mtodo do Ponto Mdio Modificado (continuao):Exemplo:

    1y(0) com )x(y)x(y =-=Considere o PVI dado por

  • ED

    O P

    rof.

    Ed

    ua

    rdo

    No

    bre

    La

    ge

    s

    LC

    CV

    /CT

    EC

    /UF

    AL

    EDOLs 2a Ordem Equao diferencial ordinria linear:

    homognea nocontrrio caso

    homognea0)x(q

    variveisescoeficient comcontrrio caso

    constantes escoeficient comconstantes funes so )x(p e )x(p 10

    )x(q)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y 01 Formato geral

    0)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y 01 Considerando a homognea

    Princpio da superposio: se y1(x) e y2(x) so solues da ED, ento qualquer combinao linear dessas funes, dada por c1y1(x)+c2y2(x), tambm soluo.

    Com coeficientes constantes: estima-se a soluo no formato y(x)=elx, motivado pelo formato da soluo da EDO linear de 1a ordem.

    l

    l

    2

    p4pp

    2

    p4pp

    razes

    0

    2

    11

    2

    0

    2

    11

    1

    Substituindo-se na ED, chega-se denominada equao caracterstica, dada por

    0pp 012 ll

    Se essas funes forem independentes, essa combinao representa a soluo geral.

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOLs 2a Ordem

    EDOL2OH com coeficientes constantes (continuao):

    Caso 1: razes reais e distintas

    Caso 2: razes imaginrias

    x2

    x1

    21 ececy(x) ll +=Soluo geral

    x2

    x1

    21 ececy(x) ll +=Soluo geral

    Reformatao da soluo geral

    x)bia(2

    x)bia(1 ececy(x)

    -+ +=

    bia e bia 21 -=l+=l+

    ( )dsenidcosee cdic +=+As razes so conjugadas:

    Identidade de Euler:

    Novo formato da soluo geral

    [ ] [ ])bx(isen)bxcos(ec)bx(isen)bxcos(ecy(x) ax2ax1 -++=[ ])bx(isen)cc()bxcos()cc(ey(x) 2121ax -++=[ ])bx(senc)bxcos(ce)x(y 21ax +=

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    EDOLs 2a OrdemEDOL2OH com coeficientes constantes (continuao):

    Caso 3: razes reais e iguaisCom as razes 1=2==p1/2, temos que procurar uma outra funo da base de gerao da soluo geral. Assim como quando estudamos espaos vetoriais, a base deve ser formada por entidades linearmente independentes, cujo conceito pode ser facilmente adaptado quando se trata de espao de funes.O procedimento a seguir permitir encontrar uma outra funo da base a partir de uma j conhecida, vlido inclusive para a ED com coeficientes variveis. Em particular, esse ser til para tratar o caso em questo.

    )x(y)x(u(x)y 12 Admitir para garantir que sejam LI.Como essa nova funo tambm deve satisfazer a ED, fazemos a substituio no intuito de determinar u(x). Portanto, 0uypyuyupyuyu2yu 10111111

    0uypypyuypy2uy 101111111 0up

    yy2u 11

    1

    x)x(u

    Portanto, a soluo geral dada porx

    2x

    1 xecec)x(y

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOLs 2a Ordem

    0KuuCuM =++ &&&

    Equao de movimento

    EDOL2OH

    EDOL2OH com coeficientes constantes (continuao):

    Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livreC

    K

    Mu,u,u &&&

    Equao caracterstica 02 2002 =w+lxw+l

    MC2 e

    MK onde 0uu2u 0

    20

    200 =xw=w=w+xw+ &&&

    ( )120 -xx-w=lRazes

    0uMKu

    MCuou =++ &&&

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    Amplitude ngulo de fase

    EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)

    Caso 1: Sistema harmnico no amortecido 0=( )120 =Razes 0i=

    Soluo geral ( ) ( ) ( )tsinCtcosCtu 0201 +=( ) ( )= tcosAtu 0

    Condies iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === &

    =

    +=

    00

    02

    0

    020

    u

    varctan e

    vuA

    Soluo do PVI ( )

    +=

    00

    00

    2

    0

    020

    u

    varctantcos

    vutu

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    1.00 =

    0)0(u e 1)0(u == &1.0)0(u e 6.0)0(u == &

    EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)

    Caso 1: Sistema harmnico no amortecido (cont.)0=

    1.0)0(u5.0)0(u

    =

    =

    &

    1.00 =2.00 =

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)

    ( )120 =Razes ( )20 1i =Soluo geral ( ) ( ) ( )[ ]t1sinCt1cosCetu 202201t0 +=

    ( ) ( )= t1cosAetu 20t0Condies iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === &

    +=

    ++

    = 00

    02

    2

    0

    020

    0

    002 u

    v

    11

    arctan e v

    uvu2

    11A

    Soluo do PVI ( ) L=tu

    Caso 2: Sistema subamortecido quando (Movimento harmnico amortecido)

    10

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)

    Caso 2: Sistema subamortecido quando (cont.)10

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)

    ( )120 =RazesSoluo geral ( ) t12t11

    20

    20

    eCeCtu

    ++=

    Condies iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === &( ) ( )

    12v1uC e

    12v1uC

    20

    02

    0022

    0

    02

    001

    +

    =

    ++

    =

    Soluo do PVI ( ) L=tu

    Caso 3: Sistema superamortecido quando 1>

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)

    Caso 3: Sistema superamortecido quando (cont.)1>

    No h vibrao e sim um retorno lento posio de equilbrio.

    1.03

    0 =

    =

    0)0(u e 1)0(u == &1.0)0(u e 2.0)0(u == &

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)

    ( )120 =Razes 0=Soluo geral ( ) t2t1 00 teCeCtu +=

    Condies iniciais ( ) ( ) ( ) 00 v0u0v e u0u === &000201 vuC e uC +==

    Caso 4: Sistema com amortecimento crtico 1=

    Soluo do PVI ( ) ( ) t000t0 00 tevueutu ++=

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    EDOLs 2a OrdemExemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)

    Caso 4: Sistema com amortecimento crtico (cont.)1=

    O amortecimento crtico representa o limite para o movimento no oscilatrio e, consequentemente, o movimento retorna ao repouso no menor prazo, sem

    qualquer oscilao.

    1.01

    0 =

    =

    0)0(u e 1)0(u == &1.0)0(u e 2.0)0(u == &

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOLs 2a Ordem

    Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao livre (cont.)

    Uso do Maple

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    EDOLs 2a Ordem

    )t(Qk)t(Q

    )t(Qk)t(Qk)t(Q

    )t(Qk)t(Q

    TTLL

    TTLCCTT

    CCTC

    Equaes governantes:

    EDOL2OH com coeficientes constantes (continuao):

    Exemplo: Reatores qumicos em batelada

    Hiptese: reaes de 1a ordem e irreversveis

    0)0(Q0)0(QQ)0(Q

    L

    T

    C

    Condies iniciais:

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    EDOLs 2a OrdemTcnica de soluo via substituio visando o desacoplamento:

    Exemplo: Reatores qumicos em batelada (continuao)

    0)t(Qkk)t(Qkk)t(Q TTLCTTTLCTT

    Isolando a quantidade de produto da zona de carga na equao de reao da zona de transio e substituindo na equao de reao da zona de carga

    tk2

    tk1T

    TLCT eCeC)t(Q com soluo geral

    tktkT TLCT eeC)t(Q Com a condio inicial relacionada ao produto da zona de transio

    tkC

    CTeQ)t(Q

    Retornando com essa soluo na equao isolada inicial e impondo a condio inicial da quantidade de produto da zona de carga tktk

    TLCT

    CTT

    CTTL eekk

    kQ)t(Q Finalmente retornando com essa soluo de QT na equao de reao da zona de lodo e impondo a correspondente condio inicial

    TLCTtkCTtkTLTLCT

    L kkekekkkQ)t(Q TLCT

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    EDOLs 2a OrdemExemplo: Reatores qumicos em batelada (continuao)

    t2C e)t(Q

    t2tT ee2)t(Q

    1e2e)t(Q tt2L

    (M) 1Q (1/T) 1k (1/T) 2k TLCT

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOLs Ordem N

    n Equao diferencial ordinria linear:

    homognea nocontrrio casohomognea0)x(q

    variveisescoeficient comcontrrio casoconstantes escoeficient comconstantes funes so )x(p , ,)x(p 1n0

    -K

    )x(qy)x(py)x(py)x(py 01)1n(

    1n)n( =++++ -- L

    Formato geral

    Considerando a equao homogneaSoluo geral: a soluo geral da equao homognea tem o formato c1y1(x)+ c2y2(x)+...+cnyn(x), onde as funes yi(x) formam a base da soluo.Com coeficientes constantes: Extrapolao do procedimento que foi feito para a equao diferencial ordinria linear de 2a ordem. Aqui, precisam ser determinadas razes de polinmios de grau N. No tratamento das razes repetidas, passa a ser considerada a funo u(x) no formato x, x2, etc, a depender do nmero de repeties da raiz.

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOLs Ordem N

    Considerando a equao no homogneaSoluo geral: a soluo geral da equao no homognea tem o formato yh(x)+ yp(x), onde a primeira parcela corresponde soluo da equao homognea e a segunda parcela representa alguma soluo particular da equao no homognea.

    Soluo particular: Existem dois procedimentos para a determinao da soluo particular. Mtodo dos coeficientes a determinar Pode ser empregado quando a equao diferencial possui coeficientes constantes e a funo q(x) apresenta-se no formato polinomial, exponencial e trigonomtrico. A idia principal do mtodo consiste em admitir a soluo particular como uma expresso similar a da funo q(x), envolvendo coeficientes incgnitos que so determinados ao se tentar satisfazer a equao diferencial.

    n Equao diferencial ordinria linear (continuao):

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOLs Ordem N

    Existem trs regras para a definio da expresso da soluo particular:

    Mtodo dos coeficientes a determinar (continuao)

    Regra Bsica Se q(x) uma das funes da coluna esquerda da tabela abaixo, a soluo particular escolhida no formato da coluna direita.

    q(x) yp(x)keax Ceax

    kxm Cmxm+...+C1x+C0Kcos(wt) ou Ksen(wt) Ccos(wt)+Dsen(wt)

    Regra da Modificao Se q(x) uma soluo da equao homognea, ento multiplique a escolha da regra anterior por x (ou por x2, x3, ..., etc, a depender do nmero de repeties das razes da equao caracterstica).Regra da Soma Se q(x) a soma de funes da coluna esquerda da tabela acima, ento escolha a soluo particular como a soma dos formatos das correspondentes funes da coluna direita.

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOLs Ordem N

    Exemplos:

    Mtodo dos coeficientes a determinar (continuao)

    1) 2x8y4y =+

    1x2)x2sen(B)x2cos(A)x(y

    2C e 0C ,1CCxCxC)x(y

    )x2sen(B)x2cos(A)x(y

    2

    210012

    2p

    h

    -++=\

    ==-=++=

    +=

    2) xey2y3y =+-

    xx2x

    xp

    x2xh

    xeBeAe)x(y

    1CCxe)x(yBeAe)x(y

    -+=\

    -==

    +=

    3) xeyy2y x +=+-

    2xex21BxeAe)x(y

    1D e 2D ,21CDxDeCx)x(y

    BxeAe)x(y

    x2xx

    1001x2

    p

    xxh

    ++++=\

    ===++=

    +=

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOLs Ordem N

    Soluo particular (continuao):

    Mtodo da variao dos parmetros Trata-se de um mtodo mais geral, onde a soluo particular definida como uma combinao das funes base da soluo da equao homognea na forma

    )x(y)x(u...)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y nn2211p +++=

    onde as funes ui(x) so determinadas ao se tentar satisfazer a equao diferencial em estudo.

    Para ilustrar o processo, vamos considerar uma equao diferencial ordinria linear de 2a ordem qualquer, ou seja,

    cujas soluo geral da equao homognea escrita na forma

    )x(q)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y 01 =++

    )x(yc)x(yc)x(y 2211h +=Conforme estabelece este mtodo, vamos assumir que a

    soluo da equao particular tem o formato)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y 2211p +=

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOLs Ordem N

    Mtodo da variao dos parmetros (continuao)

    Diferenciando a soluo particular temos que)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y 22221111p +++=

    Diferenciando mais uma vez essa funo temos que)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y 22221111p +++=

    Quando impomos a equao diferencial e organizamos as parcelas encontramos que

    ( )( )

    )x(q)x(y)x(u)x(y)x(u)x(y)x(p)x(y)x(p)x(y)x(u

    )x(y)x(p)x(y)x(p)x(y)x(u

    2211

    202122

    101111

    =++++

    +++

    Para balancear o nmero de incgnitas e o nmero de restries, como at o momento s temos como restrio a ED, vamos impor uma outra restrio na forma

    ficando a primeira derivada da soluo particular apenas como

    0)x(y)x(u)x(y)x(u 2211 =+

    )x(y)x(u)x(y)x(u)x(y 2211p +=

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDOLs Ordem N

    Mtodo da variao dos parmetros (continuao)

    Arrumando as duas equaes de restrio no formato matricial tem-se

    =

    )x(q

    0)x(u)x(u

    )x(y)x(y)x(y)x(y

    2

    1

    21

    21

    )x(W)x(q)x(y)x(u e

    )x(W)x(q)x(y)x(u 1221 =-=

    cuja soluo nos fornece

    onde W(x) conhecido como o Wronskiano das funes y1(x) e y2(x), e representa o determinante da matriz dos coeficientes do sistema acima. Uma vez que essas funes so linearmente independentes, sabe-se que o Wronskiano diferente de zero, consequentemente o sistema apresenta a soluo acima.

    Integrando-se as expresses acima chega-se s funes desejadas

    =-= dx)x(W)x(q)x(y)x(u e dx

    )x(W)x(q)x(y)x(u 1221

    permitindo-se formar a soluo particular.

  • ED

    O

    P

    r

    o

    f

    .

    E

    d

    u

    a

    r

    d

    o

    N

    o

    b

    r

    e

    L

    a

    g

    e

    s

    L

    C

    C

    V

    /

    C

    T

    E

    C

    /

    U

    F

    A

    L

    EDOLs Ordem N

    Exemplo:

    Mtodo da variao dos parmetros (continuao)

    x

    ey4y4yx2

    =+

    x2x2h BxeAe)x(y +=

    dxW(x)(x)q(x)y(x)u 21 =

    dxW(x)(x)q(x)y(x)u 12 =

    [ ]1)xln(xe)x(y x2p =

    x22

    x21 xe)x(y e e)x(y onde ==

    Resolvendo a equao homognea

    Determinando o Wronskiano (Este nome feio mesmo!)

    )x(y)x(y)x(y)x(y)x(W

    21

    21

    =

    Soluo geral )x(y)x(y)x(y ph +=

    x=

    )xln(=

    Resolvendo a equao particular

    [ ]1-ln(x)xeBxeAe)x(y 2xx2x2 ++=

    x4e=

    NobreRectangle

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDONLs 2 Ordem

    n Equao diferencial ordinria no linear:

    ( ) 0,,, = yyyxF Formato geral

    Situaes tratadas analiticamenteMtodo da reduo de ordem: trata equaes diferenciais ordinrias de segunda ordem em que a funo incgnita y(x) ou a varivel independente x no est presente na equao diferencial, ou seja, F(x, y, y) = 0 ou F(y, y, y) = 0.Para essas situaes particulares pode-se empregar uma mudana de varivel na forma u = y, reduzindo-se a ordem da equao diferencial a ser resolvida.

    Soluo geral: no existem procedimentos analticos que permitem construir a soluo geral de qualquer equao diferencial ordinria no linear, em particular para as equaes de 2 ordem.

    Esta estratgia de mudana de varivel pode ser aplicada em EDOLHs de 2 ordem com coeficientes variveis (vide equao da difuso de calor em regime estacionrio sem gerao interna em domnios circulares e esfricos).

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDONLs 2 Ordem

    Mtodo da reduo de ordem (continuao)

    Pela simples substituio de y = u e y = u na equao diferencial original tem-se F(x, u, u) = 0, que de 1 ordem.

    Caso F(x, y, y) = 0

    Desde que F(x, u, u) = 0 possa ser resolvida na nova funo incgnita u(x), determina-se a funo incgnita original y(x) por integrao.

    Exemplo:22 yxy =

    22)()( xuuxyxu ==

    22

    1)( DdxCx

    xy ++

    -= ( ) 211 arctan)( DxDDxy +-=\\ LCx

    xu+

    -=\\ 21)( L

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LEDONLs 2 Ordem

    Mtodo da reduo de ordem (continuao)

    Utiliza-se a substituio y = u para transformar a equao diferencial em outra em que a nova varivel independente seja y e a nova funo incgnita u.

    Caso F(y, y, y) = 0

    Usando a Regra da Cadeia

    Exemplo:2yy =

    2 e udyduu

    dyduuyuy ===

    yCedxdy

    = ( )21ln)( DxDxy +-=\\ L

    yCeyu =\\ )( L

    dyduu

    dxdy

    dydu

    dxduy ===

    0,, =

    dyduuuyF

    escreve-se a nova equao diferencial que precisa ser resolvida na forma

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LSistema de EDOs de 1a Ordem

    n Soluo numrica com o MATLAB (continuao):Exemplo: Sistema massa-mola-amortecedor em vibrao forada

    C

    K

    M

    u,u &

    )t(F

    Equao de movimento

    Adaptao do problema funo do MATLAB

    M)t(F)t(u)t(v2)t(v

    )t(v)t(u

    200 +w-xw-=

    =

    &

    &

    M)t(F)t(u)t(u2)t(uou )t(F)t(Ku)t(uC)t(uM 200 =w+xw+=++ &&&&&&

    J comentamos sobre estes parmetros

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    L

    ODE45 Solve non-stiff differential equations, medium order method.[T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0) with TSPAN = [T0 TFINAL] integrates the system of

    differential equations y' = f(t,y) from time T0 to TFINAL with initial conditions Y0. Function ODEFUN(T,Y) must return a column vector corresponding to f(t,y). Each row in the solution array Y corresponds to a time returned in the column vector T. To obtain solutions at specific times T0,T1,...,TFINAL (all increasing or all decreasing), use TSPAN = [T0 T1 ... TFINAL].

    [T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0,OPTIONS) solves as above with default integration properties replaced by values in OPTIONS, an argument created with the ODESET function. See ODESET for details. Commonly used options are scalar relative error tolerance 'RelTol' (1e-3 by default) and vector of absolute error tolerances 'AbsTol' (all components 1e-6 by default).

    [T,Y] = ODE45(ODEFUN,TSPAN,Y0,OPTIONS,P1,P2...) passes the additional parameters P1,P2,... to the ODE function as ODEFUN(T,Y,P1,P2...), and to all functions specified in OPTIONS. Use OPTIONS = [] as a place holder if no options are set.

    ODE45 can solve problems M(t,y)*y' = f(t,y) with mass matrix M that is nonsingular. Use ODESET to set the 'Mass' property to a function MASS if MASS(T,Y) returns the value of the mass matrix. If the mass matrix is constant, the matrix can be used as the value of the 'Mass' option. If the mass matrix does not depend on the state variable Y and the function MASS is to be called with one input argument T, set 'MStateDependence' to 'none'. ODE15S and ODE23T can solve problems with singular mass matrices.

    See also other ODE solvers: ODE23, ODE113, ODE15S, ODE23S, ODE23T, ODE23TBoptions handling: ODESET, ODEGEToutput functions: ODEPLOT, ODEPHAS2, ODEPHAS3, ODEPRINTODE examples: RIGIDODE, BALLODE, ORBITODE

    Sistema de EDOs de 1a Ordemn Soluo numrica com o MATLAB:

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    L

    0 50 100 150 200 250 300-80

    -60

    -40

    -20

    0

    20

    40

    60

    80

    Sistema de EDOs de 1a Ordemn Soluo numrica com o MATLAB (continuao):

    function dydt=mmaforcado(t,y,flag,ksi,w0,fmax_m,wf)% Adaptao funo ODE45 da equao de movimento do sistema % massa-mola-amortecedor submetido a uma fora senoidal. % Os parmetros do sistema so:% ksi = C/M (normalizao do amortecimento do sistema em relao massa)% w0 = K/M (normalizao da rigidez do sistema em relao massa)% A forca aplicada, F(t)=Fmax*sen(wf*t), descrita pelos seguintes parmetros:% fmax_m = Fmax/M (normalizao da forca mxima)% wf (frequncia da forca aplicada)

    dydt(1,1)=y(2);dydt(2,1)=-2*ksi*w0*y(2)-w0^2*y(1)+fmax_m*sin(wf*t);

    >>[t,y]=ode45('mmaforcado',[0 300],[0 0],[],0.1,0.1,1,0.2);plot(t,y(:,1))

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LTransformada de Laplace

    n Transformao integral

    Transforma uma funo f(t) em outra funo F(s). A funo K(t, s) chamada ncleo da transformao e F(s) chamada transformada de f(t).

    ( ) ( ) ( )K=b

    a

    dttfstsF ,

    n Transformao integral e as equaes diferenciais

    Equao algbrica no domnio dos s

    Equao diferencial no domnio dos t

    Soluo no domnio dos t

    Soluo no domnio dos s

    Transformao integral

    Transformao inversa

    Resoluo da equao algbrica

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    L

    A integral

    ser chamada transformada de Laplace de f, desde que a integral convirja.

    Transformada de Laplacen Definio

    Seja f(t) uma funo definida para t 0.

    ( ) ( )( ) ( )

    -==0

    dttfetfsF stL

    n AvaliaoComo a transformada de Laplace definida por uma integral imprpria, a avaliao deve ser conduzida como

    ( ) ( )( ) ( ) -==A

    st

    AdttfetfsF

    0

    limL

    Para simplificar as etapas de avaliao da transformada de Laplace, omite-se o sinal de limite.

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    L

    -

    0

    dte st

    Transformada de Laplacen Linearidade da transformada de Laplace

    ( ) =1L-

    -=0s

    e st 0 ,1 >= ss

    -

    0

    tdte st

    n Exemplos

    ( ) =tL

    -

    -

    +-=00

    1 dtess

    te stst 0 ,12 >= ss( )11 L

    s=

    ( ) =+ t51L

    ( ) ( )( ) =++ tfctfc nnL11L ( )( ) ( )( )tfctfc nnLL ++L11

    ( ) ( ) =+ tLL 51 251ss

    +

    Nos livros didticos que tratam deste assunto normalmente so apresentadas tabelas com a transformada de Laplace para vrias funes elementares.

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LTransformada de Laplace

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LTransformada de Laplace

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    L

    ( )

    - 0

    dttfe st

    Transformada de Laplacen A transformada de Laplace das derivadas de f(t)

    ( )( ) = tfL

    ( ) ( )

    -- +=0

    0dttfestfe stst

    ( ) ( )( )tfsf L+-= 0

    ( )

    - 0

    dttfe st( )( ) = tfL

    ( ) ( )

    -- +=0

    0dttfestfe stst

    ( ) ( )( )tfsf +-= L0( ) ( ) ( )( )tfssff L200 +--=

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    L

    ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )tfsfssff nnnn L+----= --- 000 121 L

    ( ) ( ) ( ) ( )( )tfsfsfsf L32 000 +---=

    ( )

    - 0

    dttfe st

    Transformada de Laplacen A transformada de Laplace das derivadas de f(t) (cont.)

    ( )( ) = tfL

    ( ) ( )

    -- +=0

    0dttfestfe stst

    ( ) ( )( )tfsf +-= L0

    ( )( )

    -

    0

    dttfe nst( )( )( )=tf nLL=

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    L

    Aplica-se a transformada de Laplace equao diferencial do PVI chegando-se a

    Transformada de Laplacen A transformada de Laplace das derivadas de f(t) (cont.)

    3)0( e 1)0( ,102 -===++ yyyyy

    ( ) ( ) ( ) ( )102 LLLL =++ yyy

    Aplicao:Considere o problema de valor inicial a seguir e encontre a transformada de Laplace da soluo.

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )1100200 2 LLLL =++-++-- yysyyssyy

    ( ) ( ){ } ( )s

    yysyss 10123 2 =++-++- LLL

    ( ) ( )1210

    2

    2

    +++-

    =sss

    ssyLA funo y(t) cuja transformada de Laplace a encontrada corresponde soluo do PVI,

    ou seja, a soluo do PVI a transformada de transformada de LaplaceLaplace inversainversa da funo encontrada.

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    L

    tt ee 567

    61 -+-=

    ++

    --

    51

    67

    11

    611

    ss-L

    Transformada de Laplacen A transformada de Laplace inversa

    Seja f(t) tal que L (f(t)) = F(s), ento dizemos que f a transformada de Laplace inversa de F e denotamos por

    ( ) ( )( )sFtf -1L=

    n Exemplos

    n Linearidade da transformada de Laplace inversa

    ( ) ( )( ) =++ sFcsFc nn- L111L ( )( ) ( )( )sFcsFc n-n- 1111 LL ++L

    =

    + 43

    21

    s-L =

    + 221

    22

    23

    s-L =

    + 221

    22

    23

    s-L ( )t2sin

    23

    =

    -+-

    542

    21

    sss-L

    ++

    --=

    51

    67

    11

    61 11

    ss-- LL

    Fraes ParciaisFraes Parciais

  • ED

    O P

    rof.

    Ed

    ua

    rdo

    No

    bre

    La

    ge

    s

    LC

    CV

    /CT

    EC

    /UF

    AL

    chegou-se seguinte transformada de Laplace da soluo do PVI

    Transformada de Laplace Finalizando o PVI com o uso da transformada de Laplace

    3)0(1)0(102 y e y ,yyy

    Na aplicao da transformada de Laplace ao PVI

    Como j dito, a soluo do PVI a transformada de Laplace inversa da funo acima, ou seja,

    12

    102

    21

    sss

    ssty -L

    12

    102

    2

    sss

    ssyL

    2

    1

    1

    12

    1

    910

    sss

    -L

    2

    111

    1

    112

    1

    19

    110

    sss

    ---LLL

    tt tee 12910

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LSolues em Sries

    n Srie de potncias

    ( )

    =

    -0n

    n0n xxa

    n Equaes diferenciais lineares com coeficientes variveis

    0y)x(Rdxdy)x(Q

    dxyd)x(P 2

    2

    =++

    ( ) constante. onde 0yxyxyx 222 u=u-++Equao de Bessel:

    ( ) ( ) constante. onde 0y1yx2yx1 2 a=+aa+--Equao de Legendre:

    Exemplos presentes em muitos problemas em fsica matemtica:

    0xyy =-Equao de Airy:

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LSolues em Sries

    n Ponto Ordinrio e Ponto Singular

    0)x(P 0 Um ponto x0 chamado de ponto ordinrioponto ordinrio quando

    caso contrrio esse chamado de ponto singularponto singular.

    n Soluo em srie na vizinhana de um ponto ordinrio x0

    ( )

    =

    -=0n

    n0n xxa)x(y

    Ao assumir esse formato para a soluo, o problema agora consiste em se determinar os valores dos coeficientes an.Determinam-se os coeficientes substituindo-se a srie de potncias na equao diferencial em questo, resultando numa equao polinomial cujos coeficientes envolvem os coeficientes da srie de potncias.Ao resolver a equao polinomial, determinam-se os coeficientes da srie de potncias, que so escritos em funo de dois dos coeficientes, posteriormente determinados a partir das condies de contorno do problema tratado.

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LSolues em Sries

    n Exemplo

    0xyy =- (equao de Airy) Como P(x) = 1, todo ponto ordinrio.

    Escrevendo a soluo em srie de potncias, por exemplo, navizinhana da origem

    =

    =0n

    nnxa)x(y

    =

    -=1n

    1nnnxa)x(y

    =

    --=2n

    2nn x)1n(na)x(y

    =+ ++=

    0n

    n2n x)1n)(2n(a)x(y

    ou

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LSolues em Sries

    n Exemplo (cont.)

    Substituindo na equao diferencial tem-se

    0xaxx)1n)(2n(a0n

    nn

    0n

    n2n =-++

    =

    =+

    =

    +

    =+ =++

    0n

    1nn

    0n

    n2n xax)1n)(2n(a

    =-

    =+ =+++

    1n

    n1n

    1n

    n2n2 xax)1n)(2n(aa2

    ... 3, 2, 1,n para a)1n)(2n(a e 0a 1n2n2 ==++= -+

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LSolues em Sries

    n Exemplo (cont.)

    Da equao de recorrncia envolvendo os coeficientes dasrie de potncias:

    32aa 03

    =43

    aa 14 =

    054

    aa 25 ==

    6532a

    65aa 036

    =

    =

    7643a

    76aa 147

    =

    =

    ...

    n=1 n=2

    n=3 n=4

    n=5 087

    aa 58 ==n=6

    986532a

    98aa 069

    =

    =n=7

    ... 3, 2, 1,n para )2n)(1n(

    aa e 0a 1n2n2 =++== -+

  • EDO

    Pr

    of. E

    duar

    do N

    obre

    Lag

    es

    LCC

    V/C

    TEC

    /UFA

    LSolues em Sries

    n Exemplo (cont.)

    Soluo geral da equao de Airy:

    ( )( )

    ( )( )

    +

    +++

    +

    +

    +

    +

    -++

    +

    +=

    +

    LL

    L

    LL

    L

    1n3n37643x

    7643x

    43xxa

    n31n36532x

    6532x

    32x1a)x(y

    1n374

    1

    n363

    0

    Os dois coeficientes restantes a0 e a1 correspondem s constantes de integrao da equao diferencial, determinados a partir das condies de contorno.

    Geometricamente eles representam, respectivamente, o valor da funo e da derivada na origem.

    A soluo apresenta comportamento oscilatrio at a origem e exponencial depois dela.