FEP0111 - F´ ısica I Relato ´rio do Experimento 1 Sistema Massa - Mola Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa 4 de novembro de 2005 Sum´ ario 1 Introdu¸ c˜ ao 2 Objetivos 3 Procedimento experimental 3.1 M´ etodo est´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 M´ etodo dinˆ amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Resultados 4.1 M´ etodo est´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 M´ etodo dinˆ amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Discuss˜ ao e conclus˜ ao 2 2 2 2 2 3 3 5 8 1 1 Introdu¸ c˜ ao Esse relat´ orio descreve o experimento Sistema Massa - Mola, realizado no dia 7 de outubro de 2005, na turma A de laborat´ orio de f´ ısica da disciplina FEP0111 - F´ ısica I, ministrada para o Instituto Oceanogr´ afico. Aplicam-se conceitos b´ asicos de f´ ısica experimental, como teoria de erros e medidas, assim como alguns conceitos de mecˆ anica, centrando-se no estudo de um sistema constitu´ ıdo por uma mola e uma massa fixada. 2 Objetivos Este experimento tem como objetivo a determina¸ ca ˜o da constante el´ astica k , de uma mola, por meio de an´ alise gr´ afica. Esta determina¸ ca ˜o ser´ a efetuada de duas maneiras distintas: est´ atica e dinamicamente. 3 3.1 Procedimento experimental M´ etodo est´ atico Nessa etapa do experimento, utilizamos corpos de diferentes massas, para medir, com uma escala vertical milimetrada, a distens˜ ao de uma mola de constante el´ astica k . O sistema em estudo pode ser observado na Figura 1. Figura 1: Sistema massa-mola vertical. O corpo de massa m ´ e colocado no apoio ao final da mola, onde ´ e exercida a a¸ ca ˜o da for¸ ca peso e a for¸ ca restauradora da mola, em sentido oposto. Foram colocados 5 objetos de massas diferentes na base da mola, e medido o deslocamento ∆x para cada objeto. O peso de cada objeto foi medido em uma balan¸ ca digital com precis˜ ao de 0, 0001kg . O deslocamento ∆x foi medido atrav´ es de uma r´ egua graduada de acr´ ılico, de 30cm, com incerteza de 0, 0005m. Os dados obtidos est˜ ao dispon´ ıveis na Tabela 1. 3.2 M´ etodo dinˆ amico Nessa etapa do experimento utilizamos os Objetos 1, 2, 3, 4 e 5, no mesmo esquema experimental da Figura 1, mas nesse caso colocamos o sistema para 2 medida m ± 0,0001 (kg) x ± 0,0005 (m) F ± 0,0001 (N) Objeto 1 0,0615 0,1040 0,6015 Objeto 2 0,1112 0,1870 1,0875 Objeto 3 0,0184 0,0300 0,1799 Objeto 4 0,0199 0,0345 0,1946 Objeto 5 0,0202 0,0335 0,1976 Tabela 1: Medidas da massa, for¸ ca e deslocamento vertical da mola oscilar. Utilizando um cronˆ ometro, com precis˜ ao de 1 milisegundo, efetuamos a medida do tempo ocorrido ap´ os dez oscila¸ co ˜es, determinando assim o per´ ıodo de oscila¸ ca ˜o da mola. Foram utilizadas 10 oscila¸ co ˜es ao inv´ es de somente 1, para obter uma medida mais confi´ avel do per´ ıodo da mola, pois em experimentos em que se usa cronˆ ometro h´ a sempre um certo atraso do medidor em acion´ a-lo no come¸ co e fim do evento de interesse a ser medido. Com 10 oscila¸ co ˜es se dilui esse efeito na primeira e u ´ltima oscila¸ ca ˜o. Os dados desse experimento est˜ ao dispon´ ıveis na Tabela 2. medida m ± 0,0001 (kg) t1 0 ± 0,01 (s) T ± 0,001 (s) Objeto 1 0,0615 6,93 0,693 Objeto 2 0,1112 9,04 0,904 Objeto 3 0,0184 4,59 0,459 Objeto 4 0,0199 4,75 0,475 Objeto 5 0,0202 4,28 0,428 Tabela 2: Medidas da massa m, tempo t1 0 de dez oscila¸ co ˜es e per´ ıodo T 4 4.1 Resultados M´ etodo est´ atico Uma maneira de analisar os dados da Tabela 1 ´ e atrav´ es do diagrama de dispers˜ ao de F por ∆x, com o qual temos uma visualiza¸ ca ˜o mais direta do comportamento do sistema. No eixo das abscissas colocamos os valores das distens˜ oes da mola (deslocamento vertical), no eixo das ordenadas colocamos as correspondentes for¸ cas que proporcionam esta varia¸ ca ˜o em x. O gr´ afico resultante das medidas da Tabela 1 se encontra na Figura 2. Podemos observar uma rela¸ ca ˜o linear bem forte entre as duas quantidades. Sabemos pela Lei de Hooke [2] que: F = kx e portanto: k= ∆F ∆x Podemos portanto obter o valor da constante el´ astica da mola atrav´ es do coeficiente angular da reta de regress˜ ao linear de m´ ınimos quadrados passando pela origem. Fazendo esse ajuste no R [3], obtemos: > mod.reg summary(mod.reg) 3 Força correspondente (N) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.05 0.10 0.15 Deslocamento vertical da mola ∆x (m) Figura 2: Sistema massa-mola vertical. Gr´ afico de diagrama de dispers˜ ao dos valores de distens˜ ao da mola (∆x) pelas for¸ cas F . Call: lm(formula = forcas ~ -1 + deltax) Residuals: 1 2 -0.00268 0.00113 3 4 5 0.00562 -0.00583 0.00298 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) deltax 5.8095 0.0206 283 9.4e-10 *** --Signif. codes: 0 ’***’ 0.001 ’**’ 0.01 ’*’ 0.05 ’.’ 0.1 ’ ’ 1 Residual standard error: 0.00455 on 4 degrees of freedom Multiple R-Squared: 1, Adjusted R-squared: 1 F-statistic: 7.98e+04 on 1 and 4 DF, p-value: 9.42e-10 Onde obtemos que k = 5, 81 ± 0, 02N/m. A reta ajustada se encontra na Figura 3, onde podemos observar que o ajuste se adequou muito bem aos dados. 4 Força correspondente (N) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.05 0.10 0.15 Deslocamento vertical da mola ∆x (m) Figura 3: Sistema massa-mola vertical. Gr´ afico de diagrama de dispers˜ ao dos valores de distens˜ ao da mola (∆x) pelas for¸ cas F , com a reta ajustada utilizando a rela¸ ca ˜o F = kx, com k = 5, 81 estimado pelo ajuste de m´ ınimos quadrados. 4.2 M´ etodo dinˆ amico Analisamos os dados da Tabela 2 atrav´ es de um gr´ afico di-log de T por m. No eixo das abscissas colocamos os valores das diferentes massas, e no eixo das ordenadas colocamos os correspondentes valores do per´ ıodo de oscila¸ ca ˜o. O gr´ afico referente aos dados da Tabela 2 se encontra na Figura 4. Temos [1] que o per´ ıodo T se relaciona a ` constante el´ astica da mola k , atrav´ es da equa¸ ca ˜o: T = 2π m . k Aplicando o logaritmo nos dois lados da equa¸ ca ˜o acima, obtemos: m k log T = log 2π √ 2π = log √ + log m k 2π log m = log √ + 2 k 5 Perído de osciliação T (s) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Massa do objeto m (kg) Figura 4: Comportamento do per´ ıodo de acordo com a massa do sistema oscilante, T × m. Obtemos assim, que em escala di-log, a rela¸ ca ˜o entre o per´ ıodo e a massa ´ e linear em k . Basta ent˜ ao ajustarmos uma reta ao gr´ afico 4, fixado o coeficiente m angular em log e obtermos o intercepto. Dado esse ajuste: 2 log T = β0 + log m , 2 (1) 2π , temos um estimador da constante notamos ainda que igualando β0 a log √ k el´ astica da mola k : 2π β0 = log √ ⇒ k = k Fazendo esse ajuste no R, obtemos: 2π eβ0 2 (2) > mod.dinam mod.dinam Call: lm(formula = log(T) ~ offset(log(massas)/2)) Coefficients: (Intercept) 1.11 6 ˆ0 = 1, 1120. Usando a equa¸ assim β ca ˜o 2, temos k = 4.27. Uma forma alternativa de obter k , ´ e realizar o ajuste baseado diretamente na rela¸ ca ˜o da equa¸ ca ˜o 1. Para isso basta usarmos um procedimento de ajuste de m´ ınimos quadrados n˜ ao lineares. Fazemos isso no R com os comandos abaixo, utilizando como valor de partida a estimativa de k obtida pelo m´ etodo acima: > mod.nlin mod.nlin Nonlinear model: data: k 4.7948 residual regression model T ~ 2 * pi * sqrt(massas/k) parent.frame() sum-of-squares: 0.013346 Onde vemos que obtemos a estimativa para k um pouco maior de 4, 79. Na Figura 5 temos as retas no gr´ afico di-log para os dois ajustes diferentes. Os dois ajustes se aproximam razoavelmente dos valores observados, mas nenhum dos dois fica t˜ ao bom quanto o ajuste obtido no gr´ afico do experimento est´ atico. Perído de osciliação T (s) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 método linear, k = 4.27 método não−linear, k = 4.79 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Massa do objeto m (kg) Figura 5: Comportamento do per´ ıodo de acordo com a massa do sistema oscilante, T × m, com os dois ajustes de k . 7 5 Discuss˜ ao e conclus˜ ao Atrav´ es desse experimento foi poss´ ıvel obter o valor da constante el´ astica da mola por meio de dois experimentos diferentes. Duas abordagens de an´ alise no m´ etodo est´ atico, permitiram ainda obter duas estimativas diferentes para o valor de k . Na Tabela 3 temos um resumo das estimativas obtidas. m´ etodo est´ atico dinˆ amico: linear dinˆ amico: n˜ ao-linear estimativa 5, 81 ± 0, 02 4, 27 ± 0, 02 4, 79 ± 0, 01 Tabela 3: Estimativas obtidas para a constante el´ astica da mola k , nesse experimento Consideramos que o melhor valor a ser adotado ´ e o obtido no experimento est´ atico, ou seja k = 5, 81. Por raz˜ oes anal´ ıticas, consideramos esse valor melhor pois como pudemos observar na Figura 3 a reta ajustada ficou muito mais pr´ oxima dos dados nesse caso. Outra raz˜ ao para escolhermos essa estimativa ´ e por motivos experimentais. No experimento est´ atico as condi¸ co ˜es estavam melhor controladas, e haviam menos vari´ aveis influenciadas pelos experimentadores. Bastava colocar uma dada massa no suporte da mola e medir o deslocamento ∆x com a reta. No caso do experimento dinˆ amico era mais complicado conseguir obter medi¸ co ˜es confi´ aveis, principalmente no caso das massas menores, pois muitas vezes o sistema entrava em movimento de pˆ endulo, e t´ ınhamos que come¸ car a medi¸ ca ˜o novamente para aquele objeto. Al´ em disso, as medi¸ co ˜es ficavam sujeitas aos reflexos do operador do cronˆ ometro, apesar desse efeito ser atenuado pelo uso de 10 oscila¸ co ˜es para se obter a estimativa da medi¸ ca ˜o do per´ ıodo. Referˆ encias [1] M´ aximo, A. e Alvarenga, B. 1997. Curso de F´ ısica 1. S˜ ao Paulo: Scipione. [2] Halliday, D., Resnick, R. e Walker, J. 2001. Fundamentos de F´ ısica: Mecˆ anica 1. Rio de Janeiro: LTC. [3] R Development Core Team, R: A language and environment for statistical computing, R Foundation for Statistical Computing, (2004). Sobre A vers˜ ao eletrˆ onica desse arquivo pode ser obtida em http://www.feferraz. net Copyright (c) 1999-2005 Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa. ´ E dada permiss~ ao para copiar, distribuir e/ou modificar este documento sob os termos da Licen¸ ca de Documenta¸ ca ~o Livre GNU (GFDL), vers~ ao 1.2, publicada pela Free Software Foundation; Uma c´ opia da licen¸ ca em est´ a inclusa na se¸ ca ~o intitulada "Sobre / Licen¸ ca de Uso". 8
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FEP0111 - F´ ısica I Relato ´rio do Experimento 1 Sistema Massa - Mola Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa 4 de novembro de 2005 Sum´ ario 1 Introdu¸ c˜ ao 2 Objetivos 3 Procedimento experimental 3.1 M´ etodo est´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 M´ etodo dinˆ amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Resultados 4.1 M´ etodo est´ atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 M´ etodo dinˆ amico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Discuss˜ ao e conclus˜ ao 2 2 2 2 2 3 3 5 8 1 1 Introdu¸ c˜ ao Esse relat´ orio descreve o experimento Sistema Massa - Mola, realizado no dia 7 de outubro de 2005, na turma A de laborat´ orio de f´ ısica da disciplina FEP0111 - F´ ısica I, ministrada para o Instituto Oceanogr´ afico. Aplicam-se conceitos b´ asicos de f´ ısica experimental, como teoria de erros e medidas, assim como alguns conceitos de mecˆ anica, centrando-se no estudo de um sistema constitu´ ıdo por uma mola e uma massa fixada. 2 Objetivos Este experimento tem como objetivo a determina¸ ca ˜o da constante el´ astica k , de uma mola, por meio de an´ alise gr´ afica. Esta determina¸ ca ˜o ser´ a efetuada de duas maneiras distintas: est´ atica e dinamicamente. 3 3.1 Procedimento experimental M´ etodo est´ atico Nessa etapa do experimento, utilizamos corpos de diferentes massas, para medir, com uma escala vertical milimetrada, a distens˜ ao de uma mola de constante el´ astica k . O sistema em estudo pode ser observado na Figura 1. Figura 1: Sistema massa-mola vertical. O corpo de massa m ´ e colocado no apoio ao final da mola, onde ´ e exercida a a¸ ca ˜o da for¸ ca peso e a for¸ ca restauradora da mola, em sentido oposto. Foram colocados 5 objetos de massas diferentes na base da mola, e medido o deslocamento ∆x para cada objeto. O peso de cada objeto foi medido em uma balan¸ ca digital com precis˜ ao de 0, 0001kg . O deslocamento ∆x foi medido atrav´ es de uma r´ egua graduada de acr´ ılico, de 30cm, com incerteza de 0, 0005m. Os dados obtidos est˜ ao dispon´ ıveis na Tabela 1. 3.2 M´ etodo dinˆ amico Nessa etapa do experimento utilizamos os Objetos 1, 2, 3, 4 e 5, no mesmo esquema experimental da Figura 1, mas nesse caso colocamos o sistema para 2 medida m ± 0,0001 (kg) x ± 0,0005 (m) F ± 0,0001 (N) Objeto 1 0,0615 0,1040 0,6015 Objeto 2 0,1112 0,1870 1,0875 Objeto 3 0,0184 0,0300 0,1799 Objeto 4 0,0199 0,0345 0,1946 Objeto 5 0,0202 0,0335 0,1976 Tabela 1: Medidas da massa, for¸ ca e deslocamento vertical da mola oscilar. Utilizando um cronˆ ometro, com precis˜ ao de 1 milisegundo, efetuamos a medida do tempo ocorrido ap´ os dez oscila¸ co ˜es, determinando assim o per´ ıodo de oscila¸ ca ˜o da mola. Foram utilizadas 10 oscila¸ co ˜es ao inv´ es de somente 1, para obter uma medida mais confi´ avel do per´ ıodo da mola, pois em experimentos em que se usa cronˆ ometro h´ a sempre um certo atraso do medidor em acion´ a-lo no come¸ co e fim do evento de interesse a ser medido. Com 10 oscila¸ co ˜es se dilui esse efeito na primeira e u ´ltima oscila¸ ca ˜o. Os dados desse experimento est˜ ao dispon´ ıveis na Tabela 2. medida m ± 0,0001 (kg) t1 0 ± 0,01 (s) T ± 0,001 (s) Objeto 1 0,0615 6,93 0,693 Objeto 2 0,1112 9,04 0,904 Objeto 3 0,0184 4,59 0,459 Objeto 4 0,0199 4,75 0,475 Objeto 5 0,0202 4,28 0,428 Tabela 2: Medidas da massa m, tempo t1 0 de dez oscila¸ co ˜es e per´ ıodo T 4 4.1 Resultados M´ etodo est´ atico Uma maneira de analisar os dados da Tabela 1 ´ e atrav´ es do diagrama de dispers˜ ao de F por ∆x, com o qual temos uma visualiza¸ ca ˜o mais direta do comportamento do sistema. No eixo das abscissas colocamos os valores das distens˜ oes da mola (deslocamento vertical), no eixo das ordenadas colocamos as correspondentes for¸ cas que proporcionam esta varia¸ ca ˜o em x. O gr´ afico resultante das medidas da Tabela 1 se encontra na Figura 2. Podemos observar uma rela¸ ca ˜o linear bem forte entre as duas quantidades. Sabemos pela Lei de Hooke [2] que: F = kx e portanto: k= ∆F ∆x Podemos portanto obter o valor da constante el´ astica da mola atrav´ es do coeficiente angular da reta de regress˜ ao linear de m´ ınimos quadrados passando pela origem. Fazendo esse ajuste no R [3], obtemos: > mod.reg summary(mod.reg) 3 Força correspondente (N) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.05 0.10 0.15 Deslocamento vertical da mola ∆x (m) Figura 2: Sistema massa-mola vertical. Gr´ afico de diagrama de dispers˜ ao dos valores de distens˜ ao da mola (∆x) pelas for¸ cas F . Call: lm(formula = forcas ~ -1 + deltax) Residuals: 1 2 -0.00268 0.00113 3 4 5 0.00562 -0.00583 0.00298 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) deltax 5.8095 0.0206 283 9.4e-10 *** --Signif. codes: 0 ’***’ 0.001 ’**’ 0.01 ’*’ 0.05 ’.’ 0.1 ’ ’ 1 Residual standard error: 0.00455 on 4 degrees of freedom Multiple R-Squared: 1, Adjusted R-squared: 1 F-statistic: 7.98e+04 on 1 and 4 DF, p-value: 9.42e-10 Onde obtemos que k = 5, 81 ± 0, 02N/m. A reta ajustada se encontra na Figura 3, onde podemos observar que o ajuste se adequou muito bem aos dados. 4 Força correspondente (N) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.05 0.10 0.15 Deslocamento vertical da mola ∆x (m) Figura 3: Sistema massa-mola vertical. Gr´ afico de diagrama de dispers˜ ao dos valores de distens˜ ao da mola (∆x) pelas for¸ cas F , com a reta ajustada utilizando a rela¸ ca ˜o F = kx, com k = 5, 81 estimado pelo ajuste de m´ ınimos quadrados. 4.2 M´ etodo dinˆ amico Analisamos os dados da Tabela 2 atrav´ es de um gr´ afico di-log de T por m. No eixo das abscissas colocamos os valores das diferentes massas, e no eixo das ordenadas colocamos os correspondentes valores do per´ ıodo de oscila¸ ca ˜o. O gr´ afico referente aos dados da Tabela 2 se encontra na Figura 4. Temos [1] que o per´ ıodo T se relaciona a ` constante el´ astica da mola k , atrav´ es da equa¸ ca ˜o: T = 2π m . k Aplicando o logaritmo nos dois lados da equa¸ ca ˜o acima, obtemos: m k log T = log 2π √ 2π = log √ + log m k 2π log m = log √ + 2 k 5 Perído de osciliação T (s) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Massa do objeto m (kg) Figura 4: Comportamento do per´ ıodo de acordo com a massa do sistema oscilante, T × m. Obtemos assim, que em escala di-log, a rela¸ ca ˜o entre o per´ ıodo e a massa ´ e linear em k . Basta ent˜ ao ajustarmos uma reta ao gr´ afico 4, fixado o coeficiente m angular em log e obtermos o intercepto. Dado esse ajuste: 2 log T = β0 + log m , 2 (1) 2π , temos um estimador da constante notamos ainda que igualando β0 a log √ k el´ astica da mola k : 2π β0 = log √ ⇒ k = k Fazendo esse ajuste no R, obtemos: 2π eβ0 2 (2) > mod.dinam mod.dinam Call: lm(formula = log(T) ~ offset(log(massas)/2)) Coefficients: (Intercept) 1.11 6 ˆ0 = 1, 1120. Usando a equa¸ assim β ca ˜o 2, temos k = 4.27. Uma forma alternativa de obter k , ´ e realizar o ajuste baseado diretamente na rela¸ ca ˜o da equa¸ ca ˜o 1. Para isso basta usarmos um procedimento de ajuste de m´ ınimos quadrados n˜ ao lineares. Fazemos isso no R com os comandos abaixo, utilizando como valor de partida a estimativa de k obtida pelo m´ etodo acima: > mod.nlin mod.nlin Nonlinear model: data: k 4.7948 residual regression model T ~ 2 * pi * sqrt(massas/k) parent.frame() sum-of-squares: 0.013346 Onde vemos que obtemos a estimativa para k um pouco maior de 4, 79. Na Figura 5 temos as retas no gr´ afico di-log para os dois ajustes diferentes. Os dois ajustes se aproximam razoavelmente dos valores observados, mas nenhum dos dois fica t˜ ao bom quanto o ajuste obtido no gr´ afico do experimento est´ atico. Perído de osciliação T (s) 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 método linear, k = 4.27 método não−linear, k = 4.79 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 Massa do objeto m (kg) Figura 5: Comportamento do per´ ıodo de acordo com a massa do sistema oscilante, T × m, com os dois ajustes de k . 7 5 Discuss˜ ao e conclus˜ ao Atrav´ es desse experimento foi poss´ ıvel obter o valor da constante el´ astica da mola por meio de dois experimentos diferentes. Duas abordagens de an´ alise no m´ etodo est´ atico, permitiram ainda obter duas estimativas diferentes para o valor de k . Na Tabela 3 temos um resumo das estimativas obtidas. m´ etodo est´ atico dinˆ amico: linear dinˆ amico: n˜ ao-linear estimativa 5, 81 ± 0, 02 4, 27 ± 0, 02 4, 79 ± 0, 01 Tabela 3: Estimativas obtidas para a constante el´ astica da mola k , nesse experimento Consideramos que o melhor valor a ser adotado ´ e o obtido no experimento est´ atico, ou seja k = 5, 81. Por raz˜ oes anal´ ıticas, consideramos esse valor melhor pois como pudemos observar na Figura 3 a reta ajustada ficou muito mais pr´ oxima dos dados nesse caso. Outra raz˜ ao para escolhermos essa estimativa ´ e por motivos experimentais. No experimento est´ atico as condi¸ co ˜es estavam melhor controladas, e haviam menos vari´ aveis influenciadas pelos experimentadores. Bastava colocar uma dada massa no suporte da mola e medir o deslocamento ∆x com a reta. No caso do experimento dinˆ amico era mais complicado conseguir obter medi¸ co ˜es confi´ aveis, principalmente no caso das massas menores, pois muitas vezes o sistema entrava em movimento de pˆ endulo, e t´ ınhamos que come¸ car a medi¸ ca ˜o novamente para aquele objeto. Al´ em disso, as medi¸ co ˜es ficavam sujeitas aos reflexos do operador do cronˆ ometro, apesar desse efeito ser atenuado pelo uso de 10 oscila¸ co ˜es para se obter a estimativa da medi¸ ca ˜o do per´ ıodo. Referˆ encias [1] M´ aximo, A. e Alvarenga, B. 1997. Curso de F´ ısica 1. S˜ ao Paulo: Scipione. [2] Halliday, D., Resnick, R. e Walker, J. 2001. Fundamentos de F´ ısica: Mecˆ anica 1. Rio de Janeiro: LTC. [3] R Development Core Team, R: A language and environment for statistical computing, R Foundation for Statistical Computing, (2004). Sobre A vers˜ ao eletrˆ onica desse arquivo pode ser obtida em http://www.feferraz. net Copyright (c) 1999-2005 Fernando Henrique Ferraz Pereira da Rosa. ´ E dada permiss~ ao para copiar, distribuir e/ou modificar este documento sob os termos da Licen¸ ca de Documenta¸ ca ~o Livre GNU (GFDL), vers~ ao 1.2, publicada pela Free Software Foundation; Uma c´ opia da licen¸ ca em est´ a inclusa na se¸ ca ~o intitulada "Sobre / Licen¸ ca de Uso". 8
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